中考数学压轴题破解策略专题24《特殊平行四边形的存在性》

平行四边形存在性问题【知识储备】①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式： 类型一 几何背景下的平行四边形存在性问题【典题练习】1．（2023•河北二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 从点D 出发，以1cm /s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（ ）A ．当t ＝3s 时，四边形ABMP 为矩形B ．当t ＝4s 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD ＝PM 时，t ＝3sD ．当CD ＝PM 时，t ＝3s 或5s【分析】根据题意，表示出DP ，BM ，AP 和CM 的长，当四边形ABMP 为矩形时，根据AP ＝BM ，列方程求解即可；当四边形CDPM 为平行四边形，根据DP ＝CM ，列方程求解即可；当CD ＝PM 时，分两种情况：①四边形CDPM 是平行四边形，②四边形CDPM 是等腰梯形，分别列方程求解即可．【解答】解：根据题意，可得DP ＝t cm ，BM ＝t cm ，∵AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴AP ＝（8﹣t ）cm ，CM ＝（6﹣t ）cm ，当四边形ABMP 为矩形时，AP ＝BM ，即8﹣t ＝t ，解得t ＝4，故A 选项不符合题意；当四边形CDPM 为平行四边形，DP ＝CM ，)2,2),(),,(21212211y y x x P y x B y x A ++坐标为（，则其中点若即t＝6﹣t，解得t＝3，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即6﹣t＝t，解得t＝3，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝8﹣t+，又∵BM＝t，∴8﹣t+＝t，解得t＝5，综上，当CD＝PM时，t＝3s或5s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．2．（2023春•盱眙县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（）A．B．8C．4或D．或8【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝t cm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故选：D．3．（2022春•曹县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或5【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质可得BF＝DF＝12cm，可得AD ＝AF+DF＝18cm＝BC，由平行四边形的性质可得PF＝EQ，列出方程可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故选：C．4．（2023春•大竹县校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t＝时，四边形AECF是平行四边形．【分析】先根据平行四边形的性质求出OB的长，从而得到OE的长，再由平行四边形的性质得到OE＝OF进而得到关于t的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得OE＝OB﹣BE＝OB﹣t，OF＝2t，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝12cm，∴OB＝OD＝6cm，∴OE＝6﹣t，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，∴6﹣t＝2t，∴t＝2，∴当t＝2时，四边形AECF是平行四边形，故答案为：2．5．（2023秋•红山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间t（秒）．（1）求DQ、PC的代数表达式；（2）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；（2）根据平行四边形的性质知DQ＝CP，分当P从B运动到C时，当P从C运动到B时，两种情况进行求解即可；（3）分PQ＝QD、PQ＝PD、QD＝PD三种情况讨论求出t值即可．【解答】解：（1）根据题意，DQ＝（16﹣t）cm，PC＝（21﹣2t）cm；（2）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，∴当t＝5秒时，四边形PQDC是平行四边形；（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，∵cm，AH＝BP，∴，∴．当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t cm，QD＝（16﹣t）cm，∵QD2＝PQ2＝t2+122，∴（16﹣t）2＝122+t2，解得．当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+16﹣2t）2，∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2，即3t2﹣32t+144＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，∴方程无实根，综上可知，当秒或秒时，△PQD是等腰三角形．6．（2023春•和平区校级月考）已知▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D 运动．（1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数．（2）如图2，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为cm2．（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，则t＝秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）可证AB＝AP，从而可证AB＝BP＝AP，即可求解；（2）设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，可得S△DPF＝S△P AB，即可求解；（3）当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12﹣t＝12﹣4t时，②当12﹣t ＝24﹣4t时，③当12﹣t＝4t﹣12时，④当12﹣t＝4t﹣24时，⑤当12﹣t＝36﹣4t时，⑥当12﹣t＝4t﹣36时，即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠CBP，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∵AB＝BP，∴AB＝BP＝AP，∴△ABP是等边三角形，∴∠ABP＝60°，∴∠ABC＝120°．（2）如图，设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△CDF＝•CD＝S▱ABCD，S△PBC＝h2•BC＝S▱ABCD，∴S△PBC＝S△CDF＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S▱ABCD，∴S△P AB+S△PCD＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S△P AB+S△PCD，∴S△DPF＝S△P AB，∵△ABP是等边三角形，∴S△DPF＝S△P AB＝＝3，故答案为：；（3）∵PD∥BQ，∴当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，∵（s），∴0≤t＜12，①当12﹣t＝12﹣4t时，解得：t＝0（不合题意，舍去）；此时当P与A重合，Q与C重合；②当12﹣t＝24﹣4t时，解得：t＝4；③当12﹣t＝4t﹣12时，解得：t＝4.8；④当12﹣t＝4t﹣24时，解得：t＝7.2；⑤当12﹣t＝36﹣4t时，解得：t＝8；⑥当12﹣t＝4t﹣36时，解得：t＝9.6；综上所述：t为4秒或4.8秒或7.2秒或8秒或9.6秒．类型二“三定一动”求平行四边形的顶点坐标当平面直角坐标系中有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；【典题练习】7．（2022春•西双版纳期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是．【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）综上所述，点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）；故答案为：（4，0）或（﹣2，0）或（2，2）．8．（2018春•大邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2；（3）若以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的点D的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；（3）分别以AB、BC、AC为对角线画平行四边形可得到D点坐标．【解答】解：（1）如图，△A11C1为所作；（2如图，△A2B2C2为所作；（3）满足条件的点D的坐标为（2，2）或（﹣4，﹣2）或（﹣6，4）．9．（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以O，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性得出OA和OB的值，然后确定A点和B点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）根据△ABC的面积为15，得出AC的长，确定C点的坐标即可；（3）分情况根据平行四边形的性质分别求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A点和B点的坐标得，解得，∴直线AB的解析式为y＝；（2）∵△ABC的面积为15，∴AC•OB＝15，即AC×6＝15，∴AC＝5，∵OA＝8，∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，即C（﹣3，0）；（3）存在，∵D点在直线AB上，设D（a，a+6），∵BC平分∠ABO，∴CD＝OC，即＝3，解得a＝﹣，∴D（﹣，），设直线DE的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣4，∴E（0，﹣4），设点P的坐标为（m，n），①以CE为对角线时，此时以O，C，E，P为顶点的四边形是矩形，∵O（0，0），C（﹣3，0），E（0，﹣4），∴P（﹣3，﹣4）；②以OE为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P'（3，﹣4）；③以OC为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P''（﹣3，4）；综上所述，符合条件的P点坐标为（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．类型三“两定两动”求平行四边形的顶点坐标当坐标系中有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同类型二。

中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P、A、C三点是确定的，过△P AC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33右，上D1(2, 7)．右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33由于C(0, 3)33下，左D2(－4, 1)．下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33由于P(－1, 4)11右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11右，下D3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y ＝－x ＋4，得A (4, 0)，直线AB 与坐标轴的夹角为45°．在O 、A 、C 、D 四个点中，O 、A 是确定的，以线段OA 为分类标准．如图3-2，如果OA 是菱形的对角线，那么点C 在OA 的垂直平分线上，点C (2,2)关于OA 的对称点D 的坐标为(2,－2)．如果OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O 为圆心，OA 为半径的圆与直线AB 的交点恰好为点B (0, 4)，那么正方形AOCD 的顶点D 的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例❹ 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP ＝90°，那么MA ND MD NP =；如图5-3，如果∠QAP ＝90°，那么GQ KA GA KP=．图5-2 图5-3例❻ 如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4 例❼如图7-1，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，E、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．图7-1 【解析】（1）证明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH的对角线FH＝4是确定的，当EG＝FH＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH为直径画圆，你看看，这个圆与AD有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形．如图7-4，当E与A重合时，△ABG与△DCE都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD ＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEF A．（1）如果平行四边形DEF A为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEF A为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEF A．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4 您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。

特殊平行四边形存在性课前预习1.一般情况下我们如何处理存在性问题（1）研究背景图形坐标系背景下研究 ____________ 、 ____________ ；几何图形研究____________、 ____________、____________．（2）根据不变特征，确定分类标准研究定点，动点，定线段，确定分类标准不变特征举例：① 等腰三角形（两定一动）以定线段作为 _________或者 ___________来分类，利用_______________确定点的位置．② 等腰直角三角形（两定一动）以________________来分类，然后借助 _________或者___________确定点的位置．（3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解（4）结果验证2.用铅笔做讲义第1，2 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了 2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．知识点睛1.存在性问题处理框架：①研究背景图形．②根据不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．④结果验证．2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例：①菱形存在性问题（两定两动）转化为等腰三角形存在性问题；以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标．②正方形存在性问题（两定两动）转化为等腰直角三角形存在性问题；根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标．精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 l ：y2x 4 与x轴交于点A，与y轴交于点 B．（ 1）求点 A，B 的坐标．（ 2）若 P 是直线 x2上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以 A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．yO A xyBO A xB2.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直角梯形 OABC的顶点 A 在 y 轴正半轴上，顶点C的坐标为(18，0 )， A B∥O C，∠OCB=45°，且 BC=12 2 ．（1）求点 B 的坐标．（2）直线 BE与线段 OA交于点 E，且 OE=6．若 P 是直线 BE上的一动点，则在坐标平面内是否存在点 Q，使得以 O， E，P，Q为顶点的四边形是菱形若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．yB AEC O xyB AEC O x3.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，□ABCD的顶点 A，B 的坐标分别为 A(0 ，3) ，B( 3 ，0)，顶点C在x轴正半轴上，顶点D在第一象限，且AD= 2 3 ．若M 为坐标平面内一点，则在第一象限内是否存在点F，使得以A， C， F， M 为顶点的四边形是正方形若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．yA DB OC xyA DB OC x4.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A，B，C的坐标分别为 A( 9 ，0) ，B(16 ，0) ，C(0 ，12) ， D是线段 BC上的一动点（不与点 B， C重合），过点 D作直线DE⊥OB，垂足为点 E．若 M为坐标平面内一点，则在直线DE上是否存在点 N，使得以 C，B，M，N 为顶点的四边形是正方形若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．yCDA O EB xyCA OB xyCA OB x【参考答案】课前预习1．（1）坐标、表达式；边、角、形（2）①腰底两圆一线②直角顶点两腰相等45 °角精讲精练A ，0) ，B ，-4)1．（1） (2 (0（2）存在，点 Q的坐标为 (0 ，4) ，(-4 ，-2) ， (-4 ， -6) 或(4 ，7 )2 2．（1）B(-6 ，12)（2）存在，点 Q 的坐标为 (6 ， 6) ，( 3 2 ， 3 2 ) ，( 3 2 ， 3 2 ) 或( 3 ， 3)．存在，点 F 的坐标为 (3 ， 3 3 ) ， 3 3 ， 3)3 (或 (33 ， 3 3 )22．存在，点 N 的坐标为 (12 ， 28) ， (4 ， 16) ， (14 ， 14) 或 (2 ， 2) 4。

压轴题必备中考数学“动点坐标”问题，这个万能解法人人都能学会！中考数学压轴题考什么？“存在性问题”一定榜上有名。

而再深入研究，你就会发现：这些试题中，有近四分之一都是在考查“平行四边形的存在性问题（包括矩形和菱形）”。

滑动查看更多“平行四边形存在性”中考题所以，今天这篇文章，洋葱君就为你重点讲解这种特殊四边形的存在性问题（含平行四边形、矩形和菱形），该如何用一个“通法”来解决。

▲存在性问题专题第二讲之“特殊四边形”要想找到解题“通法”，就要找出这类特殊四边形存在性问题的共同点，进而归纳相应解题策略。

那么，这类问题有什么共同点呢？经过大量对比分析后，洋葱君终于发现：大多数这类问题，都是题目中已知四边形中两个固定的顶点坐标，求另外两个移动的顶点坐标。

那如果几何直观能力比较差，有什么其他的方法解答呢？别担心，今天洋葱君为你带来一个非常实用的解题“通法”——对角线平分求解法。

（其中，菱形和矩形需要以等腰三角形和直角三角形的方法为基础，建议先点击这里回顾“两圆一线”和“两线一圆”模型。

）对角线平分求解法首先，你需要了解的是，解决存在性问题的根本在于“将判定定理代数化”，即：先分析图形运动方式，然后用含未知数的式子表示出点和线，最后代入判定定理的代数表达，列方程求解。

那么问题来了，对于平行四边形来说，有五种判定定理呢，我们该选择哪种来作为“通法”呢？•两组对边分别平行？•两组对边分别相等？•一组对边平行且相等？•两组对角分别相等？•对角线互相平分？如果你想不出该用哪种，就看一下这个洋葱解题课视频的分析过程吧，相信看过之后，很快你就能得到答案了。

▲完整视频请在洋葱APP中观看，视频位置：初中数学人教版-中考二轮-存在性-平行四边形存在性问题-构成平行四边形没错，就是选择“对角线互相平分”来作为常用“通法”，根据视频可以看出这种判定方法有两个优点：（1）具有稳定性由于“对角线互相平分”是利用“中点坐标公式”来列方程，列出的方程是整式方程，次数不超过二次，所以它的计算量不依赖于题目条件。

中考数学“特殊四边形的存在性问题”题型解析由抛物线上的点构成特殊四边形的问题，需要根据特殊四边形的性质与判定去确定点的坐标，然后求解 . 具体而言，解该类题时，我们要根据题目中的条件，科学地进行分类，然后画出图形，再根据这个四边形的性质或判定求出这点的坐标，若这一点是根据特殊四边形的特性得到的坐标，我们还应将这一点代入到抛物线的解析式中去验证是否是抛物线上的点 .本节主要来讨论下特殊四边形：平行四边形、菱形、矩形的存在性问题 .类型一：平行四边形问题【例题1】如图，抛物线y = 1/2 x^2 + bx + c 经过点A（-1,0）和点B（3,0），同时交y 轴于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，且以A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点P 的坐标 .【分析】（1）根据抛物线经过A , B 两点即可求得b , c 的值，可解题；（2）以A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 横坐标为4 或- 4，将x = 4 或- 4 代入抛物线解析式即可求得y 的值，即可解题 .【解析】（1）把A（-1,0），B（3,0）代入y = 1/2 x^2 + bx + c 中，∴抛物线的解析式是y = 1/2 x^2 - x - 3/2 .（2）①当AB 为边时，只要PQ∥AB 且PQ = AB = 4 即可 .又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4 或- 4 ，这时符合条件的点P 有两个，分别记为P1 , P2，把x = 4 代入y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,得y = 5/2 ,把x = - 4 代入y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,得y = 21/2 ,此时P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2）；②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可 .又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1，∴点P 的横坐标为2，这时符合条件的P 只有一个记为P3 ,而且当x = 2 时，y = - 3/2 ,此时P3（2，- 3/2），综上，满足条件的P 为P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2），P3（2，-3/2）.类型二：菱形问题【例题2】如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y = -x + b 与坐标轴交于C，D 两点，直线AB 与坐标轴交于A , B 两点，线段OA , OC 的长是方程x^2 - 3x + 2 = 0 的两个根（OA > OC）.（1）求点A , C 的坐标；（2）直线AB 与直线CD 交于点E，若点E 是线段AB 的中点，反比例函数y = k/x （k ≠0 ）的图象的一个分支经过点E，求k 的值；（3）在（2）的条件下，点M 在直线CD 上，坐标平面内是否存在点N，使以点B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0 即可得出OA , OC 的值，再根据点所在的位置即可得出A , C 的坐标；（2）根据点C 的坐标利用待定系数法即可求出直线CD 的解析式，根据点A , B 的横坐标结合点E 为线段AB 的中点即可得出点E 的横坐标，将其代入直线CD 的解析式中即可求出点E 的坐标，再利用待定系数法即可求出k 的值；（3）假设存在，设点M 的坐标为（m , - m + 1）, 分别以BE 为边、BE 为对角线来考虑 .根据菱形的性质找出关于m 的方程，解方程即可得出点M 的坐标，再结合点B , E 的坐标即可得出点N 的坐标 .【解析】（1）x^2 - 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）= 0 ,∴x1 = 1 , x2 = 2 ,∵OA > OC ,∴OA = 2 , OC = 1 ,∴A（-2,0），C（1,0）；（2）将C（1,0）代入y = - x + b 中，得0 = - 1 + b , 解得b = 1 ,∴直线CD 的解析式为y = - x + 1 .∵点E 为线段AB 的中点，A（-2,0），B 的横坐标为0 ，∴点E 的横坐标为- 1 .∵点E 为直线CD 上一点，∴E（-1,2）.将点E（-1,2）代入y = k/x （k ≠0 ）中，得2 = k / -1 , 解得k = -2 ;（3）假设存在，设点M 的坐标为（m , - m + 1）,以点B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形分两种情况（如上图所示）类型三：矩形问题【例题3】【解题策略】这三道例题分别呈现了运动变化过程中的平行四边形、菱形、矩形的存在性问题，三道例题的思路都是要依据特殊四边形的性质构图并建立方程求点的坐标 .特别地，由于菱形任意三个顶点组成的三角形都是等腰三角形，因此可将菱形问题转化为等腰三角形的存在性问题；而矩形问题则可转化为直角三角形的问题，要注意体会相关知识之间的联系 .。

抛物线上的特殊平行四边形问题探究专题导入导图：给出两点确定平行四边形关系如下图：导例如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2思路点拨1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值O A．3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q 的上下位置关系，分两种情况列方程．答案：(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-． ①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得225x =-±．此时点Q 的坐标为(225,225)-+-（如图3），或(225,225)--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=．解得4x =-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．图3 图4 图5典例类型一：已知“两点”判断平行四边形存在性问题例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx +n 经过点A （3，0）、B （0，﹣3），点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ． （1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．（2）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM 的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=32时，PM最长为=94，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．类型二：菱形的存在性问题例2 如图2所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c 经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）【分析】（1）把已知点坐标代入解析式；（2）取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得；（3）①由已知，注意相似三角形的分类讨论．②设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况．类型三：正方形的存在性问题例3如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），①如图2，若点P 在直线AB 上方，连接OP 交AB 于点D ，求的最大值；②如图3，若点P 在x 轴的上方，连接PC ，以PC 为边作正方形CPEF ，随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E 或F 恰好落在y 轴上，直接写出对应的点P 的坐标．【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）作PF ∥BO 交AB 于点F ，证△PFD ∽△OBD ，得比例线段，则PF 取最大值时，求得的最大值；（3）（i ）点F 在y 轴上时，P 在第一象限或第二象限，如图2，3，过点P 作PH ⊥x 轴于H ，根据正方形的性质可证明△CPH ≌△FCO ，根据全等三角形对应边相等可得PH ＝CO ＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii ）点E 在y 轴上时，过点PK ⊥x 轴于K ，作PS ⊥y 轴于S ，同理可证得△EPS ≌△CPK ，可得PS ＝PK ，则P 点的横纵坐标互为相反数，可求出P 点坐标；点E 在y 轴上时，过点PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，同理可证得△PEN ≌△PCM ，可得PN ＝PM ，则P 点的横纵坐标相等，可求出P 点坐标．由此即可解决问题． 专题突破1、如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2。

中考数学压轴题解题策略综合题之平行四边形存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例1、 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ，如果以点P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．图1-1【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△P AC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）．由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A (－3,0)，C (0, 3)，P (－1, 4)．由于A (－3,0)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 C (0, 3)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 D 1(2, 7)．由于C (0, 3)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 A (－3,0)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 D 2(－4, 1)．由于P (－1, 4)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 C (0, 3)，所以A (－3,0)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 D 3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例2、如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例3、如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,－2)．如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例4、如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例5、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y 轴负半轴交于点C ，且CD ＝4AC ．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA NDMD NP=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么GQ KAGA KP=．图5-2 图5-3例6、如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (,3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4。

专题24 特殊平行四边形的存在性破解策略在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题． 例题讲解例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．经过点A 的直线l ：y ＝ax ＋a 与抛物线的另一交点为C ，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，那么以点A ，C ，P ，Q 为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P 的坐标;若不能，请说明理由．解：以点A ，C ，P ，Q 为都顶点的四边形能成为矩形．令ax 2－2a －3a ＝ax ＋a ．解得x 1＝－1，x 2＝4， 所以点A 的坐标为（－1，0），C 的坐标为（4，5a ）．因为y ＝ax 2－2ax －3a ，所以抛物线的对称轴为x ＝1．则x P ＝1． ①若AC 是矩形的一条边，如图，则x A ＋x P ＝x C ＋x Q ，可得x Q ＝－4，从而点Q 坐标为（－4，21a ）． 同样y A ＋y P ＝y C ＋y Q ，可得y P ＝26a ，从而点P 坐标为（1，26a ）．因为AC ＝PQ ，所以有22＋（26a ）2＝82＋（16a ）2， 解得)(77,7721舍去=-=a a ，此时点P 的坐标为（1，7726-）②若AC 是矩形的一条对角线，如图．则x A ＋x C ＝x P ＋x Q ，可得x Q ＝2，从而点Q 坐标为（2，－3a ）． 同样y A ＋y C ＝y P ＋y Q ，可得y P ＝8a ，从而点P 坐标为（1，8a ）．因为AC ＝PQ ，所以有52＋（5a ）2＝12＋（11a ）2， 算得)(21,2143舍=-=a a ，所以此时点P 的坐标为（1，－4） 综上可得，以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，7726-）或（1，－4）．例2：如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的中心与原点重合，C ，D 两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒．（1）菱形ABCD 的边长是_____，面积是_____，高BE 的长是_____;（2）若点P 的速度为每秒1个单位．点Q 的速度为每秒k 个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t ＝4秒时的情形，并求出k 的值．解：（1）5，24，4．8．（2）要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，翻折前后两个图形是全等的，所以要满足四边形是菱形只需△APQ 为等腰三角形即可．当t ＝4时，AP ＝4．①如图，当点Q 在线段BC 上时，PQ ≥BE ＞AP ，同理，AQ ＞AP ，所以只存在QA ＝QP 的等腰三角形．过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AC 于点F ，则AH ＝PH ＝21AP ＝2 易证：△AFH ∽△CFQ ∽△ADO ， 所以43===AODO CQFQ AHFH可得522,1033,23===CQ FQ FH从而k ＝10114=CQ ②当Q 在BA 上时，有两种情况的等腰三角形存在：（i ）如图1，当AP ＝AQ 时，此时点P ，Q 关于x 轴对称，BQ ＝PD ＝1 所以，k ＝234=+BQ CB （ⅱ）如图3，当PA ＝PQ 时，过点P 作PH ⊥AB 于点H ．易证△AHP ∽△AEB ，所以AH AP AE AB=，其中AE ＝227.5AB BE -= 所以AH ＝2825，AQ ＝2AH ＝5625，所以k ＝97450CB BQ +=． （ⅲ）由①可得，AP 的垂直平分线与BC 相交，所以点Q 在线段AB 上时，不存在AQ ＝PQ 这种情况．综上所得，满足条件的k 值为32，1110，9750．y xP QHE A CB DO例3 如图，二次函数212y x x c =-+的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M ′．问：是否存在抛物线212y x x c =-+使得四边形AMBM ′为正方形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．xyBM′MAO解：存在易得AMBM ’是菱彤，所以当AB ＝MM ′时，四边彤AMBM ′是正方形 设点A 的坐标为（x 1，0），B 的坐标为（x 2，0）．令2102x x c -+=所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝2c 所以AB ＝()212124x x x x +-＝48.c -点M 的纵坐标为2421.42ac b c a --=若四边形AMBM ’为正方形，则有214822c c --=⨯．解得1213,.22c c ==-又因为已知抛物线与x 轴有两个交点， 所以()2214140.2b ac c ∆=-=--⨯>解得c ＜12， 所以c 的值为3.2-．所以存在抛物线21322y x x =--，使得四边彤AMBM '为正方形． 进阶训练1．已知抛物线C 1： y ＝－2x 2＋8x －6与抛物线C 关于原点对称，抛物线C 2与x 轴分别交于点A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）顶点为N ． （1）求抛物线C 2的表达式；（2）若抛物线C 1与抛物线C 2同时以每秒1 个单位的速度沿x 轴方向分别向左、向右运动，此时记A ，B ，C ，D ，M ，N 在某一时刻的新位置分别为A'，B'，C'，D'，M'，N'，当点A'与点D'重合时运动停止，在运动过程中，四边形B'，M'，C'，N'能否形成矩形？ 若能，求出此时运动时间t （秒）的值；若不能，请说明理由．解：（1）抛物线C 2的表达式为2286y x x =++ （2）能．1＝[提示]（2）如图，由轴对称的性质可得四边形C 'N 'B 'M '为平行四边形．所以当∠B 'M 'C '＝90 或B 'C '＝M 'N '时．四边形为矩形，由此可列方程，从面求得t ．2．如图，抛物线22725()326y x =--与x 轴的右交点为A ，与y 轴的交点为B ，设E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，若四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形． （1）该四边形的面积为24时，判断平行四边形OEAF 是否为菱形；（2）是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？ 若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．xyAFEBO解：（1）当点E 的坐标为（3，－4）时，平行四边形OAEF 是菱形;（2）不存在，理由：若平行四边形OEAF 是正方形，则OA ⊥EF 且OA ＝EF ．此时的点E 不在抛物线上．3．如图，抛物线经过原点O 与x 轴上一点A （4，0），抛物线的顶点为E ，它的对称轴x 轴交于点D ，直线y ＝－2x －1经过抛物线上一点B （－2，m ），与抛物线的对称轴交于点F ． （1）求抛物线的表达式；（2）Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度均速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q ，A ，E ， M 四点顶点的四边形是菱形？ 若能，请直接写出点M 的运动时间；若不能，请说明理由．xyDFBE A O解：（1）抛物线的表达式为214y x x =-； （2）能，t 的值为45-，6，45+或132． [提示]（2）如图，点M 的运动过程中，以Q ，A ，E ，M 为顶点的四边形是菱形有以下四种情况，根据菱形的性质即可求得对应的t 的值． xyQ 1DFBEA OxQ 2A E BFDOxy Q 3A E BFDOxyQ 4A E BFDO4．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A （－1，0）两点，且与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连结B D ．（1）P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，请求出点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F ，M ，N ，G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．xyCPDBEAO解：（1）点P 的坐标为（2，2），（2）点M 的坐标为1211213133130000.22⎛⎫⎛⎫⎫⎫-+ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，[提示]（1）易求得抛物线的l 表达式为223y x x =-++．所以C （0，3），D （1，4），E （1，0），从而直线BD 的表达式为y ＝－2x ＋6．设点P 的坐标为（t ，－2t ＋6）．若PE ＝P C ．则有t 2＋（－2t ＋6－3）()()22126t t =-+-+，解得t ＝2，从而得到点P 的坐标为（2．2）．（2）可设点M 的坐标为（m ，0），则点G 的坐标为（m ，223m m -++）．而以F ，M ，N ，G为顶点的四边形是正方形．所以MF ＝MG ，从而2223m m m -=-++，解得m =，或m =M 的坐标．。