专题十五 坐标系与参数方程第四十一讲坐标系与参数方程

坐标系与参数方程直角坐标系是由X轴和Y轴组成的二维平面。

在直角坐标系中，一个点的位置可以通过它在X轴和Y轴上的坐标值来确定。

例如，点P的坐标为(x,y)，其中x是点P在X轴上的位置，y是点P在Y轴上的位置。

直角坐标系可以方便地表示直线、抛物线、圆等曲线。

参数方程是一种描述曲线的数学表达方式，其中曲线上的每个点都是由参数变量的函数关系决定的。

参数方程中通常有两个参数变量，例如t和s，分别表示曲线上一些点的位置。

通过固定其中一个参数变量并对另一个参数变量进行取值，可以得到曲线上的一系列坐标点，从而描绘出整个曲线。

参数方程可以用于描述比较复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。

与直角坐标系不同，参数方程可以很方便地表示曲线上的点的倾斜和弯曲程度。

通过调整参数变量的取值范围，还可以对曲线进行调整和变形。

举一个简单的例子来说明直角坐标系和参数方程的区别和应用。

考虑一条直线y=2x+1、在直角坐标系中，我们可以通过给定的函数关系来确定直线上任意点的坐标。

例如，当x=0时，y=1，这表示直线过点(0,1)。

当x=2时，y=5，这表示直线过点(2,5)。

而在参数方程中，我们可以将直线表示为x=t，y=2t+1，其中t是参数变量。

通过对参数变量t进行取值，可以得到直线上的一系列坐标点。

例如，当t=0时，x=0，y=1，这表示直线过点(0,1)；当t=1时，x=1，y=3，这表示直线过点(1,3)。

可以看出，直角坐标系和参数方程在表示曲线上的点的方式上有所不同。

直角坐标系通过给定的函数关系来确定曲线上的点的坐标，而参数方程通过参数变量的函数关系来确定曲线上的点的坐标。

在实际应用中，根据不同的需要和问题，我们可以选择使用直角坐标系或参数方程来描述曲线。

直角坐标系更适用于描述直线、抛物线和圆等简单的曲线，而参数方程更适用于描述复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。

通过选择适当的表示方式，我们可以更方便地理解和分析曲线的形状和特性。

总之，坐标系与参数方程是数学中常用的表示曲线的方式。

坐标系与参数方程讲义高考目标：（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（2） 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.（3） 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.（4）了解参数方程，了解参数的意义.（5） 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.1、在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积2、已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为 参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.3、已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数)上，对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=，M 为PQ 的中点．（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．4、已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=。

（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

5、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。

高中数学坐标系与参数方程数学中的坐标系与参数方程是高中数学中的重要概念和工具。

坐标系是一种用于描述和定位点的系统，而参数方程是一种利用参数来描述曲线和图形的方程。

本文将详细介绍坐标系和参数方程的概念、性质以及在解决实际问题中的应用。

一、坐标系坐标系是一种用于描述和定位点的系统。

常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和空间坐标系等。

其中，直角坐标系是最常用的一种坐标系。

1. 直角坐标系直角坐标系又称笛卡尔坐标系，由两个相互垂直的数轴组成，分别为x轴和y轴。

通过给每个点分配一个唯一的有序数对(x, y)，可以精确定位平面上的任意一点。

2. 极坐标系极坐标系以原点O和极轴作为基准，通过极径r和极角θ来描述平面上的点。

其中，极径r表示原点O到点P的距离，极角θ表示OP 与极轴的正向夹角。

3. 空间坐标系空间坐标系用于描述三维空间中的点。

最常用的空间坐标系是直角坐标系，由三条相互垂直的坐标轴x、y和z组成。

二、参数方程参数方程是一种利用参数来描述曲线、图形或曲面的方程。

通过引入参数，可以更方便地描述和分析不同类型的曲线和图形。

1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，一般使用参数t来描述。

平面曲线的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别是x和y关于参数t的函数。

2. 三维空间曲线的参数方程对于三维空间曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)。

通过给定的参数值t，可以确定空间曲线上的每个点的坐标。

3. 曲面的参数方程曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u 和v是两个参数。

通过给定不同的参数值，可以得到曲面上的各个点的坐标。

三、坐标系和参数方程的应用坐标系和参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在几何和解析几何中的问题求解过程中起到关键作用。

以下是坐标系和参数方程在实际问题中的应用示例。

1. 几何图形分析通过在直角坐标系或极坐标系中表示几何图形的方程，可以对其进行分析和研究。

3 ⎪ π专题十五 坐标系与参数方程 第四十一讲 坐标系与参数方程2019 年1..（2019 全国 I 理 22）[选修 4—4：坐标系与参数方程]⎧ 1- t 2 ⎪⎪x = 1+ t 2在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨⎪ y = ⎩ 4t 1+ t 2（t 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2ρ cos θ + 3ρ sin θ +11 = 0 ．（1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．2.（2019 全国 II 理 22）[选修 4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O 为极点，点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0) 在曲线C : ρ = 4 s in θ 上，直线 l 过点A (4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P .（1）当θ= π时，求 ρ 及 l 的极坐标方程； 03（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.3.（2019 全国 III 理 22）[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，A (2, 0) ，B ( 2, π) ，C ( 2,3π) ，D (2, π) ，弧»AB ，B»C ，C »D 4 4所在圆的圆心分别是(1, 0) ， ，(1, π) ，曲线 M 是弧»，曲线 M 是弧» ，曲线 M是弧C »D .(1, )21AB2BC3（1）分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；（2）曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在 M 上，且| OP |= ，求 P 的极坐标.⎩ 2⎨y = 4sin θ,⎧x = 2 + 2 cos θ , 4.（2019 天津理 12）设a ∈ R ，直线ax - y + 2 = 0 和圆⎨ y = 1+ 2sin θ（θ 为参数）相切，则a 的值为.2010-2018 年1．(2018 北京)在极坐标系中，直线 ρ cos θ + ρ sin θ = a (a > 0) 与圆 ρ =2 cos θ 相切，则a = ．2．（2017 北京）在极坐标系中，点 A 在圆 ρ 2 - 2ρ cos θ - 4ρ sin θ + 4 = 0 上，点 P 的坐标为(1, 0) ），则| AP | 的最小值为．π3．（2017 天津）在极坐标系中，直线4ρ cos(θ - 数为．) +1 = 0 与圆 ρ = 2 sin θ 的公共点的个64．（2016 北京）在极坐标系中，直线 ρ cos θ - 3ρ sin θ -1 = 0 与圆 ρ = 2 cos θ 交于 A , B两点，则| AB |= ．5．（2015 广东）已知直线l 的极坐标方程为2ρ sin(θ - π) =4A (2 2,7π) ，则点Α 到直线l 的距离为 ．42 ，点 Α 的极坐标为6．（2015 安徽）在极坐标系中，圆 ρ = 8sin θ 上的点到直线θ = π(ρ ∈ R ) 距离的最大值3是7．(2018 全国卷Ⅰ) [选修 4–4：坐标系与参数方程]（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的方程为 y = k |x | + 2 ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 ρ + 2ρ cos θ - 3 = 0 ．(1)求C 2 的直角坐标方程；(2)若C 1 与C 2 有且仅有三个公共点，求C 1 的方程． 8．(2018 全国卷Ⅱ)[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = 2 cos θ,（ θ 为参数），直线l 的参数⎩17 ⎩⎨y = sin θ⎩⎨y = 1- tπ⎩ ⎧x = 1+ t cos α方程为⎨ y = 2 + t sin α（ t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求l 的斜率．9．(2018 全国卷Ⅲ)[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，e O 的参数方程为⎧x = cos θ，（θ 为参数），过点(0, - 2) ⎩ 且倾斜角为α 的直线l 与e O 交于 A ， B 两点． (1)求α 的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．10．(2018 江苏)C ．[选修 4—4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)在极坐标系中，直线l 的方程为 ρ sin( π- θ ) = 2 ，曲线C 的方程为 ρ = 4 cos θ ，求直线l6 被曲线C 截得的弦长．⎧x = 3cos θ11．（2017 新课标Ⅰ）在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨ y = sin θ ，(θ 为参数)，直线l 的参数方程为⎧x = a + 4t( t 为参数)．⎩ (1)若 a = -1 ，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为 ，求a ．12．（2017 新课标Ⅱ）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1 的极坐标方程为 ρ cos θ = 4 ．(1) M 为曲线C 1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足| OM | ⋅ | OP |= 16 ，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线C 上，求∆OAB 面积的最大值．(2, ) 2313．（2017 新课标Ⅲ）在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎧x = 2 + t( t 为参数)，1⎨y = k t10 ⎨ t ⎩ ⎩⎩ ⎧x = -2 + m 直线l 的参数方程为⎪m （m 为参数）．设l 与l 的交点为 P ，当k 变化时，P 2 ⎨ 1 2⎪⎩ y = k的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3 ： ρ (cos θ + sin θ ) -= 0 ， M 为l 3 与C 的交点，求 M 的极径．⎧x = -8 + t 14．（2017 江苏）在平面坐标系中 xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪y =（ t 为参数），⎪⎧ x = 2s 2⎩⎪ 2曲线C 的参数方程为 ⎨ ⎪⎩ y = 2 2s线l 的距离的最小值．（ s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点 P 到直15．（2016 年全国 I ）在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = a cos t（t 为参1⎨ y = 1+ a sin t数，a ＞0）．在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 ：ρ = 4 cos θ ．（I ）说明C 1 是哪种曲线，并将C 1 的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3 的极坐标方程为θ =a 0 ，其中a 0 满足tan a 0 =2 ，若曲线C 1 与C 2 的公共点都在C 3 上，求 a ．16．（2016 年全国II ）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x + 6)2+ y 2 = 25 ． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；⎧x = t cos α（II ）直线 l 的参数方程是⎨ y = t sin α（t 为参数），l 与C 交于 A 、B 两点， AB = ，求 l 的斜率．⎧⎪x =3 cos α17．（2016 年全国 III ）在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨⎪y = sin α （α 为22 ⎨ y = 2sin θ , 2⎩参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标 方程为 ρ sin(θ + π) = 2 ．4（Ⅰ）写出C 1 的普通方程和C 2 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点 P 在C 1 上，点 Q 在C 2 上，求| PQ | 的最小值及此时 P 的直角坐标．⎧x = 1 + 1 t , ⎪⎪ 18．（2016 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎨⎪ y = ⎩ 2 3t ,2(t 为参数)， 椭圆C 的参数方程为⎧x = cos θ ,⎩ (θ 为参数)，设直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点，求线段 AB 的长．19．（2015 新课标Ⅰ）在直角坐标系 xOy 中，直线C 1 ：x = -2 ，圆以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 1 ， C 2 的极坐标方程；C ：(x -1)2 + ( y - 2)2= 1 ， （Ⅱ）若直线 C 的极坐标方程为 θ =π(ρ ∈ R ) , 设 C 与 C 的交点为 M , N , 求3∆C 2 MN 的面积．42320．（2015 新课标Ⅱ）在直角坐标系 xOy 中，曲线C ：⎧x = t cos α ,（ t 为参数， t ≠0）1⎨y = t sin α ,其中 0 ≤α < π ，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2 ：ρ = 2 sin θ ， C 3 ： ρ = 2 3 cos θ ．（Ⅰ）求C 2 与C 3 交点的直角坐标；（Ⅱ）若C 1 与C 2 相交于点 A ， C 1 与C 3 相交于点 B ，求| AB | 的最大值．21．（2015 江苏）已知圆 C 的极坐标方程为 ρ 2+ 2 2ρ sin(θ - π) - 4 = 0 ，求圆 C 的半径.4 ⎧x = 3 + 1 t⎪⎪ 2 22．（2015 陕西）在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎨⎪ y = 3 t ⎩ 2（ t 为参数）．以⎨y = 2 - 2t⎩ ⎨⎩ 2（Ⅰ）写出⊙ C 的直角坐标方程；（Ⅱ） P 为直线l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．23．（2014 新课标Ⅰ）已知曲线C ： x + y 4 9 = 1，直线l ： ⎧x = 2 + t （ t 为参数）．⎩(Ⅰ) 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线，交l 于点 A ，求| PA | 的最大值与最小值．24．（2014 新课标Ⅱ）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ρ = 2 cos θ ，θ ∈ ⎡0, π ⎤ ．（Ⅰ）求 C 的参数方程；⎣⎢ 2 ⎥⎦（Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 3x + 2 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定 D 的坐标．25．（2013 新课标Ⅰ）已知曲线C 的参数方程为⎧x = 4 + 5cos t( t 为参数），以坐标原点为1⎨y = 5 + 5sin t极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 ρ = 2 sin θ 。

完整版坐标系与参数方程知识点一、坐标系的概念坐标系是为了方便描述平面或空间中点的位置而引入的一种系统。

常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和参数方程坐标系。

二、直角坐标系直角坐标系是最常见的一种坐标系。

在二维空间中，直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴和y轴。

点在直角坐标系中的位置可以用有序数对(x,y)表示，分别代表点在x轴和y轴上的距离。

三、极坐标系极坐标系是一种以原点为中心，以角度和半径表示点的位置的坐标系。

在极坐标系中，点的位置由有序数对(r,θ)表示，其中r代表点到原点的距离，θ代表与正x轴的夹角。

四、参数方程与轨迹参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。

一般形式的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。

通过改变参数t的取值范围，可以获得曲线上的一系列点，从而绘制出整条曲线。

五、参数方程与直角坐标系的转换将直角坐标系的点(x,y)转换为参数方程的形式，可以使用以下步骤：1.将x和y分别表示为t的函数：x=f(t)，y=g(t)。

2.给定t的取值范围，求出对应的x和y的取值。

将参数方程的点(x,y)转换为直角坐标系的形式，可以使用以下步骤：1.通过解参数方程的两个方程，消去t，得到一个方程只包含x和y。

2.求解得到与x和y的关系式。

六、参数方程的性质参数方程可以表示各种各样的曲线，具有以下性质：1.参数方程可以用来表示直线、圆、椭圆、双曲线等曲线。

2.参数方程可以描述曲线的形状、方向、起点和终点等信息。

3.参数方程可以通过调整参数的取值范围来绘制出曲线的其中一部分或整条曲线。

七、应用场景参数方程在数学和物理学中有广泛的应用，例如：1.研究物体的运动轨迹，包括抛体运动、行星运动等。

2.描述动态系统的变化过程，如混沌系统、非线性振动等。

3.研究曲线的特殊性质，如曲率、曲线的长度等。

八、参数方程的解析与图像通过解析参数方程，可以得到曲线的方程，从而进一步研究曲线的性质。

坐标系与参数方程坐标系是研究平面几何的基本工具之一、它是由两条互相垂直的直线组成的。

这两条直线分别称为x轴和y轴，它们的交点称为原点。

坐标系通过给每个点一个特定的位置来描述平面上的点。

参数方程是用参数的形式来表示曲线或者曲面的方程。

参数方程通常采用参数t来表示，可以用来描述曲线或者曲面上各个点的位置。

通过参数的变化，我们可以得到构成曲线或曲面的各个点的坐标。

下面，我们来详细讨论一下坐标系和参数方程。

1.坐标系：在平面直角坐标系中，我们用有序数对(x,y)表示一个点的位置。

其中，x表示该点到y轴的水平距离，y表示该点到x轴的竖直距离。

这种方法可以将平面上的每个点都唯一地用一对数表示出来。

例如，点A的坐标是(2,3)表示它的x坐标是2，y坐标是3坐标系可以帮助我们确定点之间的位置关系。

通过计算两点之间的距离和角度，我们可以得出很多几何性质。

此外，坐标系还可以方便地描述线段、直线、圆等几何图形。

在三维空间中，我们可以沿每个轴线引入一个新的坐标轴，这样就构成了三维直角坐标系。

类似地，我们用有序数对(x,y,z)来表示一个点的位置，其中x表示到y轴的水平距离，y表示到x轴的竖直距离，z表示到xy平面的高度。

2.参数方程：参数方程主要用于描述曲线或者曲面上的点的位置。

它通常以参数t 的形式表示。

例如，曲线C的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f和g是关于t的函数。

我们可以通过改变参数t的值来得到曲线上的不同点的坐标。

与直角坐标系不同，参数方程可以帮助我们更好地描述复杂的曲线。

例如，用参数方程可以很容易地描述一个圆的轨迹，而在直角坐标系中，这个描述就相对复杂。

参数方程的优点是可以表示一些复杂的曲线或者曲面，并且可以通过改变参数t的值来得到曲线或曲面上的不同点。

然而，参数方程也有一些缺点。

比如，在分析曲线和曲面的性质时，往往需要进行复杂的计算。

此外，在参数方程中，曲线的方程可能是隐式的，不容易直观地理解。