6．4 多元函数微分法的应用
6．4．1 微分在几何上的应用
1．空间曲线的切线和法平面 设空间曲线的参数方程为：)(),(),(t w z t y t x ===ψϕ这里假定)(),(),(t w t t ψϕ都在],[βα上可导。
在曲线上取对应于t =t 0的一点M 0(x 0 y 0 z 0)及对应于t =t 0+t 的邻近一点M (x 0+x y 0+y z 0+z ). 作曲线的割线MM 0 其方程为 z z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 当点M 沿着趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线. 考虑
t z
z z t
y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000 当M M 0 即t 0时 得曲线在点M 0处的切线方程为
)
()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-. 曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量
T =(j (t 0) y (t 0) w (t 0))
就是曲线在点M 0处的一个切向量. 法平面: 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线
在点M 0 处的法平面 其法平面方程为
j (t 0)(x -x 0)+y (t 0)(y -y 0)+w (t 0)(z -z 0)=0.
例1：求曲线2342
1,31,41t z t y t x ===的平行于平面023=++z y x 的切线方程。 解：曲线上任一点处的切向量{}t t t T ,,23=，平面的法向量{}2,3,1=→
n ，由题设条件有：→⊥n T ，即0=⋅→
n T ，故{}{
}2,3,1,,23⋅t t t =02323=++t t t ， 解得2,1,0--=t 。
对应01=t 的点)0,0,0(1M 有切向量{}0,0,01=T ，由于切向量须为非零向量，故无意义舍去；
对应12-=t 的点)21,31,41(2-M 有切向量{}1,1,12--=T ，此时切线方程为 1
21131141--=+=--z y x 对应23-=t 的点)2,3
8,4(3-M 有切向量{}2,4,83--=T ，此时切线方程为 1223844--=+=--z y x 讨论：1. 若曲线的方程为：y =j (x ) z =y (x )，问其切线和法平面方程是什么形式 提示：曲线方程可看作参数方程: x =x y =j (x ) z =y (x ) 切向量为T =(1 j (x ) y (x )).
2. 若曲线的方程为：F (x y z )=0 G (x y z )=0. 问其切线和法平面方程又是什么形式
提示：两方程确定了两个隐函数: y =j (x )
z =y (x ) 曲线的参数方程为
x =x y =j (x ) z =y (x ) 由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz 切向量为) , ,1(dx
dz dx dy =T . 例2：求曲线⎩⎨⎧=++=++0
6222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线及法平面方程。
解：为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++010222dx
dz dx dy dx dz z dx dy y x 解方程组得z
y x z dx dy --= z y y x dx dz --=. 在点(1 -2 1)处 0=dx dy 1-=dx
dz 从而T =(1 0 -1).
所求切线方程为：1
10211--=+=-z y x 法平面方程为：(x -1)+0(y +2)-(z -1)=0 即x -z =0.
另解：为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x
方程组在点(1 -2 1)处化为：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-112dx dz dx dy dx dz dx dy 解方程组得0=dx dy 1-=dx dz 从而T =(1 0 -1).
所求切线方程为：1
10211--=+=-z y x 法平面方程为：(x -1)+0(y +2)-(z -1)=0 即x -z =0.
2．曲面的切平面与法线
设曲面的方程为：F (x y z )=0 M 0(x 0 y 0 z 0)是曲面上的一点 并设函数F (x y z )的偏导数在该点连续且不同时为零. 在曲面上 通过点M 0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为
)(),(),(t w z t y t x ===ψϕ
t =t 0对应于点M 0(x 0 y 0 z 0) 且j (t 0) y (t 0) w (t 0)不全为零. 曲线在点的切向量为
T =(j (t 0) y (t 0) w (t 0)).
考虑曲面方程F (x y z )=0两端在t =t 0的全导数:
F x (x 0 y 0 z 0)j (t 0)+F y (x 0 y 0 z 0)y (t 0)+F z (x 0 y 0 z 0)w (t 0)=0.
引入向量 n =(F x (x 0 y 0 z 0) F y (x 0 y 0 z 0) F z (x 0 y 0 z 0)) 易见T 与n 是垂直的. 因为曲线是曲面上通过点M 0的任意一条曲线 它们在点M 0的切线都与同一向量n 垂直 所以曲面上通过点M 0的一切曲线在点M 0的切线都在同一个平面上. 这个平面称为曲面在点M 0的切平面. 这切平面的方程式是
F x (x 0 y 0 z 0)(x -x 0)+F y (x 0 y 0 z 0)(y -y 0)+F z (x 0 y 0 z 0)(z -z 0)=0. 曲面的法线: 通过点M 0(x 0
y 0 z 0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 法线方程为
)
, ,() , ,() , ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-. 曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 向量
