晶体的定向和晶面符号(1)PPT
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晶体的定向和晶面符号
• 结晶轴的选择应当符合晶体固有的对称性
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
结晶学与矿物学课件-晶体定向、晶面符号和晶带定律
根據這一規律，我們可以由若干已知面或晶帶推導 出晶體上一切可能的晶面的位置。
在晶體定向、投影和運算中，晶帶和晶帶定律得到 了廣泛的應用。
晶帶定律和整數定律分別以不同的形式闡述了晶面 (面網)與晶核(行列)相互依存的幾何關係。
(2)軸角 系指晶軸正端之間的夾角，它 們分別以α (Y∧Z)、β (Z∧X)和γ(X∧Y)表 示。等軸、四方和斜方晶系晶軸為直角
坐標α＝β＝γ＝90。；在三方和六方晶系 中α＝β＝90，γ＝120。(X軸和Y軸正端 夾角)，單斜晶系中一軸傾斜從而使α＝γ ＝90，β＞90。三斜晶系中三晶軸彼此斜 交，α≠β≠γ≠90。
確定晶棱符號的方法如下：
將晶Байду номын сангаас平移，使之通過晶軸的交點、然後在 其上任一點，取座標（x、y、z），並以軸長 來度量，即求得晶棱符號： (x/a):(y/b):(z/c)=r:s:t，晶棱符號採用[ ]表 示，即[ rst]。
2．晶帶
由布拉維法則可知，晶面是網面密度較大的 面網，所以晶體上所出現的實際晶面為數是 有限的；相應地，晶面的交棱也應當是結點 分佈較密的行列，這種行列的方向也是為數 量不多的，所以晶體上的許多晶棱常具有共 向的方向而相互平行。
交棱相互平行的一組晶面的組合，稱為一個 晶帶。
通過晶體中心的直線cc，晶棱與之平行，稱 該晶帶的晶帶軸；該組晶棱的符號也就是該 晶帶軸的符號。
3、晶帶定律
晶體是一個封閉的幾何多面體，每一晶面與其它晶 面相交，必有兩個以上的互不平行的晶棱。因此， 晶體上任一晶面至少屬於兩個晶帶。這一規律稱為 晶帶定律。它也可以這樣來表述，即：任意二晶棱 (晶帶)相交必可決定一個可能晶面．而任意二晶面 相交必可決定一可能晶棱(晶帶)。
(3)軸長與軸率 晶軸系格子構造中的行列， 該行列上的結點間距稱為軸長。X、Y、Z軸 上的軸長分別以a、b、c表示。由於結點間 距極小(以nm計)，需藉X射線分析方能測定。 根據晶體外形的宏觀研究不能定出軸長， 但應用幾何結晶學的方法可以求出它們的 比率a：b：c，這一比率稱為軸率。
在晶體定向、投影和運算中，晶帶和晶帶定律得到 了廣泛的應用。
晶帶定律和整數定律分別以不同的形式闡述了晶面 (面網)與晶核(行列)相互依存的幾何關係。
(2)軸角 系指晶軸正端之間的夾角，它 們分別以α (Y∧Z)、β (Z∧X)和γ(X∧Y)表 示。等軸、四方和斜方晶系晶軸為直角
坐標α＝β＝γ＝90。；在三方和六方晶系 中α＝β＝90，γ＝120。(X軸和Y軸正端 夾角)，單斜晶系中一軸傾斜從而使α＝γ ＝90，β＞90。三斜晶系中三晶軸彼此斜 交，α≠β≠γ≠90。
確定晶棱符號的方法如下：
將晶Байду номын сангаас平移，使之通過晶軸的交點、然後在 其上任一點，取座標（x、y、z），並以軸長 來度量，即求得晶棱符號： (x/a):(y/b):(z/c)=r:s:t，晶棱符號採用[ ]表 示，即[ rst]。
2．晶帶
由布拉維法則可知，晶面是網面密度較大的 面網，所以晶體上所出現的實際晶面為數是 有限的；相應地，晶面的交棱也應當是結點 分佈較密的行列，這種行列的方向也是為數 量不多的，所以晶體上的許多晶棱常具有共 向的方向而相互平行。
交棱相互平行的一組晶面的組合，稱為一個 晶帶。
通過晶體中心的直線cc，晶棱與之平行，稱 該晶帶的晶帶軸；該組晶棱的符號也就是該 晶帶軸的符號。
3、晶帶定律
晶體是一個封閉的幾何多面體，每一晶面與其它晶 面相交，必有兩個以上的互不平行的晶棱。因此， 晶體上任一晶面至少屬於兩個晶帶。這一規律稱為 晶帶定律。它也可以這樣來表述，即：任意二晶棱 (晶帶)相交必可決定一個可能晶面．而任意二晶面 相交必可決定一可能晶棱(晶帶)。
(3)軸長與軸率 晶軸系格子構造中的行列， 該行列上的結點間距稱為軸長。X、Y、Z軸 上的軸長分別以a、b、c表示。由於結點間 距極小(以nm計)，需藉X射線分析方能測定。 根據晶體外形的宏觀研究不能定出軸長， 但應用幾何結晶學的方法可以求出它們的 比率a：b：c，這一比率稱為軸率。
第四章 晶体定向和晶面符号
r = 0×0-1×0 =0，s = 0×0-1×0 =0，t = 1×1-0×0 =1，即此晶带
的符号为(001)。
35
⒉ 求位于晶带[rst]和晶带[uvw]交点的晶面（hkl）。 因为： hr +ks +lt =0 hu +kv +lw =0 则与例（1）类比，可用下列行列式计算：
27
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
b0
b1
b2
(010)
晶面指数为简单整数.
ao
为什么?
因为指数越简单的 晶面对应到内部结构是
a1
面网密度大的面网,而面
网密度大的面网容易形
成晶面,所以实际晶体上
的晶面就是晶面指数简
单的晶面。
b3
y
28
五、晶棱符号、晶带与晶带定律
1、晶棱符号：表征晶棱方向的 符号，所有平行的晶棱具有 同一个晶棱符号。
• 晶棱符号只涉及方向, 不涉及 具体位置。
• 截距系数比：表达为[rst]
r:s:t = MR/a : MK/b : MF/c
• [r s t] = [r s t]
此例：[rst] = [123]
29
四轴定向时的晶棱符号 • 以[u v m w]的形式表达 • 也有三指数形式: [u v w] • 四指数和三指数
c 直立，b 左右， a 前后
a=bc ===90
11
斜方晶系
3L2 a b c 轴 1L2 c轴 2P法线 a b 轴
c 直立，b 左右， a 前后
abc == =90
12
单斜晶系
1L2/1P法线 b轴, 2晶棱 a c轴
c 直立，b 左右 a 前后但向前下方倾斜 使>90
3.晶体定向及晶面符号
晶体的规则连生
第一节、 晶体定向及晶面符号
一、晶体定向
（一）、概念
晶体定向 —— 在晶体中确定一个坐标系统； 1、晶轴 ------ 晶体中的坐标轴； 2、轴单位---- 各晶轴上的量度单位：a、b、c
（二）晶轴的安置
晶轴----晶体中的坐标轴；是交晶体中心一点的 三条或四条直线。（内部构造的三条或四条行 列的方向）
复三方单锥
三方双锥
复六方单锥
复四方单锥
六方双锥
四方双锥
复三方双锥
复六方双锥
复四方双锥
三方柱
六方柱
四方柱
复三方柱
复六方柱
复四方柱
四方四面体
复四方偏三角面体
菱面体
复三方偏三角面体
斜三三方方方四偏偏面方方面体面体体
六六方方偏偏方方面面体体
四方偏方面体
高级晶族的单形
四面体 八面体
立方体 四六面体
偏方复十 二面体
（a1b2：x=1a ，y= 2b ：即1: 2） （a2b4：x=2a ，y= 4b ：即2: 4）
第二节、单形和聚形
1、单形
（1）概念
由对称要素联系起来的一组晶面的总合。
八面体
菱形十二面体
（2）特点
①. 在理想情况下, 同一单形各晶面 同形等大； ②. 在实际晶体上, 同一单形各晶面 性质相同；
1、三轴系统：X 、Y、Z：适用以下5个晶系：
（1）三斜晶系
（2）单斜晶系
（3）斜方晶系
（4）四方晶系
r
（5）等轴晶系
2、四轴系统：适用以下2个晶系：
（1）三方晶系： X 、Y、U、Z （2）六方晶系： X 、Y、U、Z
一
晶 轴： 轴单位：
第一节、 晶体定向及晶面符号
一、晶体定向
（一）、概念
晶体定向 —— 在晶体中确定一个坐标系统； 1、晶轴 ------ 晶体中的坐标轴； 2、轴单位---- 各晶轴上的量度单位：a、b、c
（二）晶轴的安置
晶轴----晶体中的坐标轴；是交晶体中心一点的 三条或四条直线。（内部构造的三条或四条行 列的方向）
复三方单锥
三方双锥
复六方单锥
复四方单锥
六方双锥
四方双锥
复三方双锥
复六方双锥
复四方双锥
三方柱
六方柱
四方柱
复三方柱
复六方柱
复四方柱
四方四面体
复四方偏三角面体
菱面体
复三方偏三角面体
斜三三方方方四偏偏面方方面体面体体
六六方方偏偏方方面面体体
四方偏方面体
高级晶族的单形
四面体 八面体
立方体 四六面体
偏方复十 二面体
（a1b2：x=1a ，y= 2b ：即1: 2） （a2b4：x=2a ，y= 4b ：即2: 4）
第二节、单形和聚形
1、单形
（1）概念
由对称要素联系起来的一组晶面的总合。
八面体
菱形十二面体
（2）特点
①. 在理想情况下, 同一单形各晶面 同形等大； ②. 在实际晶体上, 同一单形各晶面 性质相同；
1、三轴系统：X 、Y、Z：适用以下5个晶系：
（1）三斜晶系
（2）单斜晶系
（3）斜方晶系
（4）四方晶系
r
（5）等轴晶系
2、四轴系统：适用以下2个晶系：
（1）三方晶系： X 、Y、U、Z （2）六方晶系： X 、Y、U、Z
一
晶 轴： 轴单位：
第三章 晶体的定向和晶面符号
A
rc
qb
O
pa
BY
.
X
12
如图：所示晶面在三个结晶轴 上的截距分别为2a、3b、6c，
Z
截距系数分别为2，3，6。
C
那么
截距系数的倒数比为
1 h:k:l=2
：1 3
：1 6
＝3：2：1
cb
aO
A
BY
该晶面的米氏符号为（321） X
晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
.
13
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单
晶面截晶轴于结点
简单的
整数比
.
14
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
确定轴单位
Z+ _ _ +Y
+
X_
B4
晶轴 行列，轴单位 结点间距
B3
B2
晶体常数 轴率a:b:c和轴角, ,
.
B1 b
O a A 1 A 2 A 3 3A 4
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
晶轴平行 对称轴
其次
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
构成双晶的两个个体之间其结晶
rc
qb
O
pa
BY
.
X
12
如图：所示晶面在三个结晶轴 上的截距分别为2a、3b、6c，
Z
截距系数分别为2，3，6。
C
那么
截距系数的倒数比为
1 h:k:l=2
：1 3
：1 6
＝3：2：1
cb
aO
A
BY
该晶面的米氏符号为（321） X
晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
.
13
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单
晶面截晶轴于结点
简单的
整数比
.
14
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
确定轴单位
Z+ _ _ +Y
+
X_
B4
晶轴 行列，轴单位 结点间距
B3
B2
晶体常数 轴率a:b:c和轴角, ,
.
B1 b
O a A 1 A 2 A 3 3A 4
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
晶轴平行 对称轴
其次
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
构成双晶的两个个体之间其结晶
第五章晶体定向和晶面符号
聚形的概念
❖ 两个以上的单形的聚合称为聚形。下图分别 表示了四方柱和四方双锥、立方体和菱形十 二面体的 聚合，用粗线勾划出了它们的聚形 的形态。显然，有多少种单形相聚，其聚形 上就会出现多少种不同的晶面，它们的性质 各异；对于理想形态而言，同一单形的晶面 同形等大。
第五章 晶体的定向和晶面符号
晶体定向：设置坐标系 晶面符号：用数学符号表示方位 1 晶体定向 选择坐标轴和确定各轴上轴单位的比值。 1.1 晶轴和晶体几何常数 晶轴：于晶体上所设置的坐标轴。 轴角：每两个晶轴正端之间的夹角。 ＝Y∧Z ＝Z∧X ＝X∧Y
晶体定向的作用：
❖ 晶体定向后就可以对晶体上所有的面、线等 进行标定，给出这些面、线的晶体学方向性 符号；
关系式 ：
θx、θy、θz
h:k:l＝a Cosθx :b Cosθy : c Cosθz 可直接求出晶面指数
❖ 零表示与晶轴的 ❖ 平行关系，负数 ❖ 表示与晶轴负端 ❖ 相交。
四轴：形式（hkil）且h+k+i＝0
h+
（三）单形符号
4 几个概念：
❖ 4.1 晶带
❖
晶面彼此相交的晶棱相互平行的一组晶面的组合。形
式 为〔rst〕
❖ 4.2 晶带定律
❖
晶体上任一晶面至少同时属于两个晶带；而一个晶带
❖ 有对称中心； ❖ 但没有对称面
斜方四面体
❖ 注意：三条边不等长， 所以没有对称面，只有 3个L2，单斜晶系，低级 晶族。
❖ L33L23P ❖ 晶系： ❖ 晶族：
复三方柱
❖ L66L27PC ❖ 晶族： ❖ 晶系：
六方柱
❖ L33P ❖ 晶族： ❖ 晶系：
复三方单锥
三方双锥
晶体定向和晶面符号
二、晶体定向原则
• 结晶轴的选择应当符合晶体固有的对称性
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴 的具体方法也不同,见表5-1(此表非常重要，要熟记).
等轴晶系的定向:
晶体几何常数为: a = b = g = 90°, a = b = c – 三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 – z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
只写出对称型中的三类对称要素 只写出对称轴，对称面，旋转反伸轴，其它对称要素 可根据组合定理推导出来 国际符号中对称要素的表示法 对称面：m 对称轴：以轴次的数字表示，如1、2、3，4和6； 旋转反伸轴：轴次数字上面加“-”号，如1、2、3、 4和6。 由于1=Li1=C,2=Li2=P=m，习惯用1代表对称中心．m代 表2。
r:s:t = MR/a : MK/b : MF/c
• [r s t] = [r s t]
此例：[r v w] = [1 2 3]
2、晶带: (zone) 彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合。 晶带轴(zone axis) 通过晶体中心的一根直线，它平行于该晶带中的所有晶 面，也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交棱，用以 表示晶带方向。
卤钠石(sulphohalite )的平行连生体
赤铜矿的连生晶体
明矾八面体的平行连生
萤石立方体的平行连生
自然铜立方体的树枝状平行连生
内 部 的 晶 体 格 子 是 连 续 的
2、双晶（孪晶） twin
定义：互不平行的同种单体，彼此间按一定的 对称关系相互取向而组成的规则连生晶体。
第四章 晶体定向和晶面符号
晶
体
的
定
向
方
法
10
四方晶系
1L4 c轴 2L2 /2P法线/2晶棱 a b轴
c 直立，b 左右， a 前后
a=bc ===90
11
斜方晶系
3L2 a b c 轴 1L2 c轴 2P法线 a b 轴
c 直立，b 左右， a 前后
abc == =90
12
单斜晶系
1L2/1P法线 b轴, 2晶棱 a c轴
交可决定一可能晶带(晶棱).
33
3、晶带方程应用
即：任一属于[u v w]晶带的晶面(h k l)，必定有： h u + k v + l w = 0 晶带方程
简单的证明： 三维空间的一般平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0 系数A、B、C决定该平面的方向，常数项D决定距原点 的距离。 那么过坐标原点且平行于(h k l)的平面方程则可以表达 为
23
考察晶体模型晶面的晶面符号：
Cube
(001) (100) (010)
Octahedron
(111) (111)
Dodecahedron
(111)
(111)
101
011
_
110
110
_
_
101
011
24
All three combined:
001
_
101
111
011 111
_ 110
100
010 110
c 直立，b 左右 a 前后但向前下方倾斜 使>90
abc ==90 >90
13
三斜晶系
四 晶体定向与晶面符号
二 、晶 面 符 号
1． 晶面符号的概念
晶体定向后，晶面在空间的相对位置即可根 据它与晶轴的关系予以确定。这种相对位置可 以用一定的符号来表征。表征晶面空间方位的 号称为晶面符号(参看图1一5一1)
米氏符号
米氏符号：用晶面在三个晶轴上的截距系数 的倒数比来表示。现举例说明如下。 如图I一5—3所示，设有一个晶面HKL在X、Y、 Z轴上的截距分别为2a、3b、6c 。 2、3、6称为 截距系数，其倒数比为1／2：1／3：1／6＝3：2： 1，去其比例符号，以小括号括之，写作(321)， 即为该晶面的米氏符号。小括号内的数字称为晶 面指数。晶面指数是按照X、Y、Z轴顺序排列的， 一般式写作(hkl)；对于三方、六方晶系晶面指数 按X、Y、U、Z轴顺序排列，一般式写作(hkil)。 若晶面平行于某晶轴，则晶面在晶轴上的截距系 数为∞，截距系数的倒数应为0。
(3)轴长与轴率 晶轴系格子构造中的行列， 该行列上的结点间距称为轴长。 X、Y、Z 轴上的轴长分别以“a。、b。、c。表示。 由于结点间距极小(以nm计)，需藉X射线分 析方能测定。根据晶体外形的宏观研究不 能定出轴长，但应用几何结晶学的方法可 以求出它们的比率a：b：c，这一比率称为 轴率。
不同物质的晶体结构不同，结点间距不同，轴长各异。 如图I一5—1a闪锌矿的“a。＝0．540nm，方铅矿的a。 ＝0．594nm。 等轴晶系晶体对称程度高，品轴X、Y、Z为彼此对称 的行列，它们通过对称要素的作用可以相互重合，因此 它们的轴长是相同的，即a＝b＝c，轴率a：b：c＝1：1： 1(图I一5—1a)。 中级晶族(四方、三方和六方晶系)晶体中只有一个高 次铀，以高次轴为Z轴，通过高次轴的作用可以使X轴与 Y轴重合，因此轴长a＝b,但与c不等，轴率a：c因晶体的 种别而异(图I一5—1b、c、d)。 低级晶族(斜方、单斜和三斜晶系)晶体对称程度低， X、Y、Z轴不能通过对称要素的作用而重合，所以α≠β≠γ， 晶体的种别不同．轴率a：b：c数值不同(图I一5一1e、f)
晶体定向和晶面符号
各晶系的定向法则
晶体的三轴定向: – 选择三个坐标轴: X, Y, Z 或者a, b, c
晶体的四轴定向: – 适用于六方晶系和三方晶系的晶体。它与三轴定向的 不同是, 除选择一个直立结晶轴外，还选择三个水平结 晶轴。
等轴晶系的定向 四方晶系的定向 斜方晶系的定向 单斜晶系的定向 三斜晶系的定向 三方和六方晶系的四轴定向
三斜晶系的定向: – 晶格常数为: α ≠ β ≠ γ ≠ 90 °, a ≠ b ≠ c – 适当的晶棱为X, Y, Z轴 – 大致上Z轴直立，Y轴左右，X轴前后
三方和六方晶系的四轴定向:
选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直c轴的平面 内选择三个相同的、即互成60°的L2或P的法线，或适当的 显著晶棱方向作为水平结晶轴，即X轴、Y轴以及d轴(U轴) – 晶格常数为: α =β = 90°, γ =120°, a=b≠c – Z直立，Y轴左右水平，X轴前后水平偏左30°
三斜 以不在同一平面内的三个主要晶棱方向为X、Y、Z轴
a ≠ b ≠ c,
α≠β≠γ ≠ 90°
二、晶面符号
表示晶面在空间相对位置的符号 米氏符号——晶面在三晶轴上截距系数的倒数比（hkl）
晶面指数——h、k、l h:k:l ＝ a/OX:b/OY:c/OZ
四轴定向时的晶面符号: –定义同三轴定向 –用(h k ī l)的形式表达 –指数依次与a、b、d和c轴相对应 –存在 h + k + ī = 0
z
x 宏观形态
y 微观结构
晶轴选择的原则
1、优选选对称轴做晶轴 2、当对称轴的数量不能满足需要时，选对称面的法线 3、前两者不足，则选平行于晶棱的方向 4、在上述前提下，应尽可能使所选晶轴彼此垂直或趋于 垂直，并使轴单位彼此相等或趋于相等(L2PC) 5、在遵循上述原则的前提下，尽量使晶轴的夹角为90度
第四章晶体的定向和晶面符号
第四章 晶体的定向和晶面符号
• • • • • 晶体定向的概念 晶体定向的原则 各晶系的定向法则 晶面符号与单形符号 晶带及晶带符号
一、晶体的定向（三轴定向）
在晶体上确定坐标系统，即选坐标轴和确 定各轴上的轴单位长度之比。 (1) 晶轴：是交于晶体中心的三条直线。为x、y、 z（或a、b、c）。 (2) 轴角:α、β、γ (3) 轴长和轴率：晶轴 是晶体中格子构造中 的行列，轴长（轴单位） 是该行列上的结点间距。 分别以 a、b、c表示， a:b:c为轴率。 （4）晶体常数： 轴率a：b：c和轴角α、β、γ
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴Z轴，在垂直Z 轴的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2 或P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶 轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(U轴) – 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b ≠ c – z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
斜方晶系 单斜晶系
a = b = g = 90
a≠b≠c a = g = 90 b > 90 a≠b≠c a≠b≠g
以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴 的主要晶棱方向为X、Z轴 以不在同一平面的三个主要的晶棱方 向为X、Y、Z轴
三斜晶系
四、晶面符号与单形符号
1.整数定律
• 任何晶面截距系数之比，都是简单的整数比。
a=b≠c a = b = 90 g = 120
a≠b≠c
三方晶系 及六方晶系
以L3或 L6 或Li6 为Z轴，以垂直Z轴并彼 此交角120°（正端）的3个L2或P法线或 晶棱方向为 X 、 Y 、 U ， 在 L i 6 3L 2 3P 对称
晶体的定向和晶面符号
三斜晶系
以不在同一平面的三个主要的晶棱方 向为X、Y、Z轴
晶体常数特点
a=b=c
= b = g = 90
a=b≠c
= b = g = 90
a=b≠c
= b = 90 g = 120
a≠b≠c
= b = g = 90
a≠b≠c
= g = 90 b > 90
a≠b≠ c
b g
各晶系的晶体几何常数特点
• 不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全不同,所 以,不同晶系的国际符号的写法也就完全不同,一定不要 弄混淆.
• 每个晶系的国际符号写法见表4－2(此表很重要，要
熟记！).
表4-3各晶系对称型的国际符号中各序位所代表的方向: 、U
晶系
选轴原则
等轴晶系 四方晶系
三方晶系 及六方晶系
斜方晶系 单斜晶系
001
_
101
111
011 111
_ 110
100
__ 111
_ 101
010 110
_
111
_
011
四轴定向的晶面符号
• 定义同三轴定向，指数的排列顺序依次为X、Y、U和Z
轴，轴率为1：1：1：C，C=c/a，
• 用(h k i l)的形式表达， h:k:i:l=1/OX:1/OY:1/OU:1/OZ
么可以表达为
hx+ky+lz=0
晶带定律的应用：
(321)
米氏指数(Miller indices)是指：用来表达晶 面在晶体上之方向的一组无公约数的整数， 它们的具体数值等于该晶面在结晶轴上所截 截距系数的倒数比。
• 如果将米氏指数按顺序连写，并置于园括
晶体定向晶面符号和晶带定律课件
演示如何利用晶带定律判断晶体 的对称性和物理性质。
06
总结与展望
晶体定向、晶面符号与晶带定律的重要性和意义
1 2 3
晶体定向 对于材料科学和物理学的研究具有重要意义，能 够确定晶体在空间中的方位，为深入研究晶体结 构和性质提供了基础数据。
晶面符号 是晶体的一个重要特征，可以用来识别和区分不 同的晶体，同时对于晶体定向和晶带定律的研究 具有关键作用。
晶面符号
如前所述，晶面符号是用来表示晶面在晶体中的相对位置和方向的 符号。
关系
晶面符号与晶带定律之间存在密切关系，通过晶带定律可以确定晶 面符号在晶带上的相对位置和方向。
晶体定向、晶面符号与晶带定律的综合应用
综合应用
在晶体学中，晶体定向、晶面符号和晶带定律是相互关联的基本概念，它们共同构成了晶体学的基础知识。
晶带定律 揭示了晶体中晶面的排列规律，对于理解晶体结 构和性质、以及材料性能的优化具有重要意义。
三者在材料科学和物理学中的应用前景
材料科学
在材料科学中，晶体定向、晶面符号和晶带定律的应用广泛，例如在材料合成、晶体工程、复合材料 等领域，可以用来指导材料的设计和制备，提高材料的性能。
物理学
在物理学中，这些理论可以用来研究晶体的物理性质，如光学、电学、热学等，预测新材料的性质， 以及为开发新的物理现象提供理论基础。
晶体定向晶面符号 和晶带定律课件
• 晶体定向 • 晶面符号 • 晶带定律 • 晶体定向、晶面符号与晶带定律的关系 • 实验操作与演示 • 总结与展望
01
晶体定向
定义与概念
晶体定向的定义
晶体定向是确定晶体中各晶面的方位和晶向的几何过程。
晶体定向的概念
晶体定向是研究晶体结构和性质的重要手段，通过对晶体的 定向研究，可以获得晶体中各晶面的方位和晶向的信息，从 而了解晶体的对称性、结构特征和物理性质等。
晶体的定向和晶面符号课件
晶体的定向和晶面符号课件
目录
• 晶体定向 • 晶面符号 • 晶体结构与性质 • 晶体学实验技术 • 晶体学研究前沿与展望 • 附录与参考文献
01
晶体定向
定义与重要性
定义
晶体定向是指通过确定晶体中某一晶 向指数或某一晶面指数的方法来确定 晶体空间结构的方法。
重要性
晶体定向是研究晶体结构的重要手段 ，通过确定晶向或晶面指数，可以获 得晶体结构对称性、空间群等信息， 有助于理解晶体性质和应用。
晶体结构
不同晶体结构具有不同的物理和 化学性质。
晶体尺寸
晶体尺寸对光学、电学和热学性 质产生影响。
晶体缺陷
晶体缺陷可以影响其物理和化学 性质。
晶体在材料科学中的应用
半导体材料
晶体硅、锗等是重要的半导体材料，用于制造电 子器件。
光学材料
某些晶体具有特殊的光学性质，如激光晶体、光 学窗口等。
结构材料
某些晶体具有高强度、高硬度等特性，可用于制 造刀具、航空航天结构件等。
晶体学研究的发展趋势与展望
多学科交叉融合
加强多学科交叉融合，促进晶体学与相关学科的协同发展 。
理论模拟与实验研究相结合
加强理论模拟与实验研究的结合，提高研究水平和深度。
国际化合作与交流
积极参与国际合作与交流，共同推动晶体学研究的进步和 发展。
06
附录与参考文献
附录
晶体的定向
确定晶体取向的常用方法：X射线衍射、反光显微镜观察等。
晶体定向的方法
01
02
03
几何作图法
通过几何作图方法确定晶 体中某一晶向指数或某一 晶面指数。
X射线衍射法
利用X射线衍射原理确定 晶体结构中的晶向和晶面 指数。
目录
• 晶体定向 • 晶面符号 • 晶体结构与性质 • 晶体学实验技术 • 晶体学研究前沿与展望 • 附录与参考文献
01
晶体定向
定义与重要性
定义
晶体定向是指通过确定晶体中某一晶 向指数或某一晶面指数的方法来确定 晶体空间结构的方法。
重要性
晶体定向是研究晶体结构的重要手段 ，通过确定晶向或晶面指数，可以获 得晶体结构对称性、空间群等信息， 有助于理解晶体性质和应用。
晶体结构
不同晶体结构具有不同的物理和 化学性质。
晶体尺寸
晶体尺寸对光学、电学和热学性 质产生影响。
晶体缺陷
晶体缺陷可以影响其物理和化学 性质。
晶体在材料科学中的应用
半导体材料
晶体硅、锗等是重要的半导体材料，用于制造电 子器件。
光学材料
某些晶体具有特殊的光学性质，如激光晶体、光 学窗口等。
结构材料
某些晶体具有高强度、高硬度等特性，可用于制 造刀具、航空航天结构件等。
晶体学研究的发展趋势与展望
多学科交叉融合
加强多学科交叉融合，促进晶体学与相关学科的协同发展 。
理论模拟与实验研究相结合
加强理论模拟与实验研究的结合，提高研究水平和深度。
国际化合作与交流
积极参与国际合作与交流，共同推动晶体学研究的进步和 发展。
06
附录与参考文献
附录
晶体的定向
确定晶体取向的常用方法：X射线衍射、反光显微镜观察等。
晶体定向的方法
01
02
03
几何作图法
通过几何作图方法确定晶 体中某一晶向指数或某一 晶面指数。
X射线衍射法
利用X射线衍射原理确定 晶体结构中的晶向和晶面 指数。
晶体定向和晶体学符号
法线
c b O a
邻近两平行晶面间的垂直距离称为 晶面间距； • 从原点作（h k l）晶面的法线； • 法线被最近邻的（h k l）面所交截 的距离即是晶面间距。
•
*
• 立方晶系晶面夹角
晶面夹角 —— 晶面法线之间的夹角
晶面与 晶面的夹角为
• 立方晶系中晶向 [h k l] 与晶面 (h k l) 垂直
晶体学基础
第三章
晶体定向和晶体学符号
Chapter Outline
晶胞选取原则 晶体学坐标系 各晶系的定向方法 原子坐标 晶向指数 晶面指数 晶带指数 晶面间距与晶面夹角
晶胞及其选取原则
空间点阵按照平行六面体划 分为许多形状和大小相同的网 格，此平行六面体称为点阵晶 胞或单元晶胞（Unit cell）。
晶面间距与晶格常数
SUMMARY
• 晶胞选取原则
• 各晶系的定向方法
• 晶向指数 • 晶面指数 • 晶带定律 • 晶面间距与晶面夹角
23
晶向指数
晶向指数
确定晶向指数4步骤
1）确定坐标系，过原点作平行于欲求晶向的直线； 2）求该直线上任一点的坐标（a，b，c）； 3）将此3个坐标值化成最小整数 u，v，w； 4）加以方括号，即[u v w]。
简单立方晶格的晶向标志
立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
晶向族<u v w>
晶向族代表由对称性联系的一系列等同晶向 的组合。
同一晶面族具有类似的指数。
{1010}: (1010), (0110), (1100) (1010), (0110), (1100)
4轴坐标晶向指数 [u v t w]
c b O a
邻近两平行晶面间的垂直距离称为 晶面间距； • 从原点作（h k l）晶面的法线； • 法线被最近邻的（h k l）面所交截 的距离即是晶面间距。
•
*
• 立方晶系晶面夹角
晶面夹角 —— 晶面法线之间的夹角
晶面与 晶面的夹角为
• 立方晶系中晶向 [h k l] 与晶面 (h k l) 垂直
晶体学基础
第三章
晶体定向和晶体学符号
Chapter Outline
晶胞选取原则 晶体学坐标系 各晶系的定向方法 原子坐标 晶向指数 晶面指数 晶带指数 晶面间距与晶面夹角
晶胞及其选取原则
空间点阵按照平行六面体划 分为许多形状和大小相同的网 格，此平行六面体称为点阵晶 胞或单元晶胞（Unit cell）。
晶面间距与晶格常数
SUMMARY
• 晶胞选取原则
• 各晶系的定向方法
• 晶向指数 • 晶面指数 • 晶带定律 • 晶面间距与晶面夹角
23
晶向指数
晶向指数
确定晶向指数4步骤
1）确定坐标系，过原点作平行于欲求晶向的直线； 2）求该直线上任一点的坐标（a，b，c）； 3）将此3个坐标值化成最小整数 u，v，w； 4）加以方括号，即[u v w]。
简单立方晶格的晶向标志
立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
晶向族<u v w>
晶向族代表由对称性联系的一系列等同晶向 的组合。
同一晶面族具有类似的指数。
{1010}: (1010), (0110), (1100) (1010), (0110), (1100)
4轴坐标晶向指数 [u v t w]
1.4晶体的定向及晶面符号
晶体定向
5. 六方晶系：具有一个六次轴（包括六次反轴）的点群。首先 选择六次轴或六次反轴作为C轴，然后将垂直于六次轴的两个 二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足六次轴的对称，a、 b轴必须满足：①单位轴长必须相等，即a0=b0；②交角为120º
晶体定向
6. 三方晶系：具有一个三次轴的点群。有2种取向方式：①六方晶
①由晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求晶带符号 根据晶带定律建立方程组：
h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0 解出：
u:v:wk1l1:l1h1:h1k1 k2l2 l2h2 h2k2
解法：①将每一个晶面的面指数在一 列上连续写2次，其指数按次序一一对 应； ②将最右及最左的纵行删去，如 右式； ③用交叉相乘方法，并依次取 出乘积差数即可。
晶面间距好像晶体的指纹，是进行物相鉴别 的重要依据。
1 晶体的定向和晶体的分类 2 晶面指数和晶棱指数 3 晶带定律 4 晶面间距
晶体定向
晶体的定向就是以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴 组成,也可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
c 大拇指
Z
β
α
O
食指
γ
a
=bc
β= a c
γ=ab
中指
b
U
Y
X
120º
坐标轴符合右手定则
晶带定律
②由晶向[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]求晶面符号 建立方程组：
得：
hu1＋kv1＋lw1 = 0 hu2＋kv2＋lw2 = 0
h:k:lv1w1:w1u1:u1v1 v2w2 w2u2 u2v2
晶带定律
晶体的定向和晶面符号54页PPT
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
晶体的定向和晶面符号
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
晶体的定向和晶面符号
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
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7
斜方晶系 （对称型：3L23PC、3L2、L22P）
3L2 X Y Z 轴 1L2 Z轴 2P法线 X Y 轴
Z 直立，Y 左右，X 前后
晶体常数特点：abc == =90
单斜晶系 （对称型：L2PC、L2、P）
1L2或1P法线 Y轴, 以垂直于Y轴的2晶
棱 X Z轴
Z 直立，Y 左右 X 前后但向前下方倾斜 使>90
:
1 r
=h:k:l
把hkl用小括号括起来，（ hkl ）就是 该晶面的米氏符号。
A
rc
qb
O
pa
BY
X
12
如图：所示晶面在三个结晶轴 上的截距分别为2a、3b、6c，
Z
截距系数分别为2，3，6。
C
那么
截距系数的倒数比为
1 h:k:l=2
：1 3
：1 6
＝3：2：1
cb
aO
A
BY
该晶面的米氏符号为（321） X
Z +_
_
+Y
+
X
_
Z+
YX+
X-
Y+
Z-
5
三、如何为晶体定向
（4）三方、六方晶系选四个晶轴 （X、Y、U、Z），其中 Z轴－直立方向，上正、下负； X轴、Y轴、U轴均在一个水平面 上，其正端的夹角为1200，其正负 如右图所示，它们都与Z轴垂直。
U+_120Fra bibliotek + X
_
1200
+Y
1200
_
Z
U
－
(1011)
U+
Z+
－
(1121)
E
U
P2
O
P2
P1 P3
D A X
－-
Y+
(1010)
X+
根据四轴定向时3个水平结晶轴的正 P 2 端互成120交角的关系，应当有：
Y h+k+i=0
B
即：3个水平结晶轴相应的晶面指数，
它们的代数和永远为0
17
五、单形符号
同一单形的各个晶面与晶 轴都有着基本相同的相对 位置
确定轴单位
Z+ _ _ +Y
+
X_
B4
晶轴 行列，轴单位 结点间距
B3
B2
晶体常数 轴率a:b:c和轴角, ,
B1 b
O a A 1 A 2 A 3 3A 4
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
其次
晶轴平行 对称轴
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
（2）晶轴要尽可能的互相垂直或近于
垂直，即尽可能使 ===90,
具a体=步b=骤c
高次轴 L2 P 法线 显著晶棱 4
三、如何为晶体定向
（3）等轴、四方、斜方、单斜及 三斜等五个晶系选三个晶轴（X、 Y、Z），其中
Z轴－直立方向，上正、下负；
X轴－对着观察者，前正、后负；
Y轴－置于左右方向，右正、左负
举例：
15
晶面的米氏符号 （hkl) 晶面指数 h:k:l 取最简单的整数比
即：h, k, l 成为3个没有公约数的整数
注意：
晶面符号中不能同时出现数字和符号（除0外）
晶面指数有正负之分 (h- k l)
晶面与结晶轴平行时，相应的晶面指数为
1 ∞
＝0
16
三方和六方晶系的晶面符号（hki-l)
h,k,i,l分别代表X，Y，U，Z轴 上的指数。其中h＋k＋i＝0
11
例如：某晶面与三个晶轴X、Y、Z分别交于A、B、C三点，
那么该晶面在三个晶轴上截距是OA、OB、OC。如果用轴
单位a、b、c度量，得到：
OA＝pa，OB=qb，OC=rc
或者说，晶面在晶轴上的截距分别为pa、qb、rc。
其中p，q，r就是该晶面的截距系数。
Z
C
截距系数的倒数比为：
1 p
：
1 q
为了准确描述晶体的形态，确定晶体的空间分布特点，
就必须……
2
二、何谓晶体定向
晶体定向：就是在晶体上建立坐标系统 选定结晶轴
晶体定向的任务：选择坐标系统，包括
结晶轴 交于晶体中心的三条直线 分别表示为X Y Z
轴单位 a、b、c（行列上结点的间距） 轴角 各晶轴正端之间的夹角
＝YZ；＝XZ；＝XY
轴率 各晶轴上的轴单位之比 a:b:c？
晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
13
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单 简单的
晶面截晶轴于结点
整数比
14
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
晶体常数特点：abc ==90 >90 8
三斜晶系
（对称型：L1、C）
选择3个显著的、而且相互间较接 近于90的晶棱方向作为X Y Z轴
Z 直立， Y 左右并朝右下方倾斜 X 大致前后方向并使之朝前下方倾斜
使>90,>90， 则可为钝角，亦可为锐角
晶体常数特点：abc 90
9
六方晶系和三方晶系
同一单形的各个晶面的指 数的绝对值不变，而只有 正负号的区别
知道了单形的一个晶面 的符号，则该单形的其 它晶面的符号即可导出
晶U30体轴 常左数后特—右点前：水a＝平b，c正=前朝=9后0偏＝左10120
四、晶面符号
晶面符号—代表晶面在空间的方位的符号 晶体定向后，晶面的空间方位可以借晶面与晶 轴的截交关系来确定。 晶面符号的表达方式—米氏符号 由英国人Miller（1839）创立 米氏符号用晶面在结晶轴上的截距系数的倒数比来表 示。
第四章 晶体的定向和晶面符号
为何要进行晶体定向 何谓晶体定向 如何为晶体定向 晶面符号
单形符号
1
一、为何要进行晶体定向
由四方柱和四方双锥 组成的两种聚形 （L44L25PC）
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC 3L44L36L29PC
要了解晶体的具体形态，只知道对称型是不够的
晶体的具体形态取决于晶体的晶面与对称要素之 间的关系
U
对称特点：晶体中唯一的高次轴为L3
或L6
Y
选择1个直立结晶轴和3个水平结晶轴
X L3/L6 Z轴，
3个彼此相交1200的L2 / P 法线/晶棱（无L2或P时） X Y U轴
X Y U 轴正向之间的夹角为120
Z
Z 轴上下直立
Y 轴左右水平，右正左负
U
X
Y
X 轴左前—右后水平，正端朝前偏左 30
Y X
6
2、各晶系晶轴选择的具体方法
等轴晶系
3L4或3个互相垂直的Li4或L2 X Y Z轴
Z 直立，Y 左右，X 前后
晶体常数特点：a=b=c
=四方=晶=系90
1L4 Z轴 以两个相互垂直的L2 X Y轴
无L2时以相互垂直的2个对称面的法线方
向或晶棱方向为X Y轴
Z 直立，Y 左右，X 前后
晶体常数特点：a=bc