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最短距离算法范文最短路径算法被广泛应用于许多领域，例如路由算法、导航系统、网络优化等。
本文将介绍三种常见的最短距离算法：Dijkstra算法、贝尔曼-福特算法和弗洛伊德算法。
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种基于贪心的算法，用于解决单源最短路径问题。
在一个有向加权图中，该算法从源节点开始，逐步选择与源节点距离最短的节点，直到到达目标节点。
具体步骤如下：1）创建一个距离列表，记录源节点到每个节点的距离，初始状态为无限大。
2）将源节点的距离设置为0，并标记为已访问。
3）从源节点开始，遍历与当前节点相邻的节点，并更新距离列表中的距离。
4）选择一个当前距离最小的节点，标记为已访问。
5）重复步骤3和步骤4，直到目标节点被标记为已访问或没有节点可访问。
2.贝尔曼-福特算法：贝尔曼-福特算法是一种解决任意两个节点之间最短路径的算法。
该算法通过多次迭代，逐步更新节点之间的距离，直到收敛到最短路径为止。
具体步骤如下：1）创建一个距离列表，记录源节点到每个节点的初始距离，初始状态为无限大。
2）将源节点的距离设置为0。
3）重复以下步骤N-1次（N为图中节点的个数）：a)遍历图中的每条边，如果当前边的权重与源节点到边的起点的距离之和小于边的终点的距离，则更新边终点的距离。
4）遍历图中的每条边，如果存在一条边满足上述条件，则图中存在负权重环，算法无法得出最短路径。
5）如果没有负权重环，则距离列表即为最短路径。
3.弗洛伊德算法：弗洛伊德算法是一种解决任意两个节点之间最短路径的算法。
该算法通过多次迭代，逐步更新节点之间的距离，直到收敛到最短路径为止。
与贝尔曼-福特算法不同的是，弗洛伊德算法可以处理含有负权重边的图。
具体步骤如下：1）创建一个邻接矩阵，用于记录每对节点之间的初始距离。
2）通过多次迭代，根据节点之间的中间节点更新距离矩阵。
3）重复以下步骤N次（N为图中节点的个数）：a)遍历图中的每对节点，如果当前节点之间的距离大于通过一些中间节点的距离之和，则更新距离矩阵中的距离。
计算两点之间的最短距离题⽬链接:题⽬⼤意:给定N个点的坐标,找出距离最短的两个点的序号.如果最短距离相同,输出序号最⼩的⼀组.题⽬要求输出三种不同计算⽅式下的最短距离序号:欧⼏⾥得距离:Math.sqrt(|x2-x1|2+|y2-y1|2)曼哈顿距离:|x2-x1|+|y2-y1|棋盘距离:Math.max(|x2-x1|,|y2-y1|)因为N的个数是5000个,可以直接双重循环取得最⼩距离. 单纯的理解⼀下三种距离.Accept代码:import java.io.BufferedReader;import java.io.IOException;import java.io.InputStreamReader;import java.util.ArrayList;import java.util.List;import java.util.StringTokenizer;public class source {public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());int N = Integer.parseInt(st.nextToken());int[][] points = new int[N+1][2];for(int i = 1;i<=N;i++){st = new StringTokenizer(br.readLine());points[i] = new int[]{Integer.parseInt(st.nextToken()),Integer.parseInt(st.nextToken())};}List<int[]> result = getEuclidPosition(points);for(int[] ans:result){System.out.println(ans[0]+" "+ans[1]);}}private static List<int[]> getEuclidPosition(int[][] points){double minEuclidDistance = Integer.MAX_VALUE;int[] euclidPosition = new int[2];double minCityDistance = Integer.MAX_VALUE;int[] cityPosition = new int[2];double minChessDistance = Integer.MAX_VALUE;int[] chessPosition = new int[2];CalcMinPoint calcMinPointEuclid;CalcMinPoint calcMinPointCity;CalcMinPoint calcMinPointChess;for(int i = 1;i<points.length;i++){for(int j = 1;j<points.length;j++){if(i == j){continue;}double euclidDistance = getEuclidDistance(points[i],points[j]);double cityDistance = getCityDistance(points[i],points[j]);double chessDistance = getChessDistance(points[i],points[j]);calcMinPointEuclid = new CalcMinPoint(minEuclidDistance, euclidPosition, i, j, euclidDistance).invoke(); minEuclidDistance = calcMinPointEuclid.getMinEuclidDistance();euclidPosition = calcMinPointEuclid.getEuclidPosition();calcMinPointCity = new CalcMinPoint(minCityDistance, cityPosition, i, j, cityDistance).invoke(); minCityDistance = calcMinPointCity.getMinEuclidDistance();cityPosition = calcMinPointCity.getEuclidPosition();calcMinPointChess = new CalcMinPoint(minChessDistance, chessPosition, i, j, chessDistance).invoke(); minChessDistance = calcMinPointChess.getMinEuclidDistance();chessPosition = calcMinPointChess.getEuclidPosition();}}List<int[]> result = new ArrayList<int[]>();result.add(euclidPosition);result.add(cityPosition);result.add(chessPosition);return result;}private static double getChessDistance(int[] point, int[] point1) {return Math.max(Math.abs(point[0]-point1[0]),Math.abs(point[1]-point1[1]));}private static double getCityDistance(int[] point, int[] point1) {return Math.abs(point[0]-point1[0])+Math.abs(point[1]-point1[1]);}private static double getEuclidDistance(int[] p1, int[] p2){return Math.pow(p1[0]-p2[0],2)+Math.pow(p1[1]-p2[1],2);}private static class CalcMinPoint {private double minEuclidDistance;private int[] euclidPosition;private int i;private int j;private double euclidDistance;public CalcMinPoint(double minEuclidDistance, int[] euclidPosition, int i, int j, double euclidDistance) { this.minEuclidDistance = minEuclidDistance;this.euclidPosition = euclidPosition;this.i = i;this.j = j;this.euclidDistance = euclidDistance;}public double getMinEuclidDistance() {return minEuclidDistance;}public int[] getEuclidPosition() {return euclidPosition;}public CalcMinPoint invoke() {if(minEuclidDistance > euclidDistance){minEuclidDistance = euclidDistance;if(i < j){euclidPosition = new int[]{i,j};}else{euclidPosition = new int[]{j,i};}}else if(minEuclidDistance == euclidDistance){int position0 = -1;int position1 = -1;if(i<j){ position0 = i; position1 = j; } else{ position0 = j; position1 = i; } if(euclidPosition[0]>position0){ euclidPosition = new int[]{position0,position1};}else if(euclidPosition[0] == position0 && euclidPosition[1]>position1){euclidPosition = new int[]{position0,position1};}}return this;}}}。
平面n个点的最短连线算法
平面n个点的最短连线算法是一个经典的计算几何问题，通常被称为旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）。
这个问题要求找到一条路径，使得一个旅行商从给定的n个城市（在平面上表示为点）出发，访问每个城市恰好一次，然后返回起始城市，且所走的总距离最短。
解决TSP问题有多种算法，包括暴力搜索、动态规划、遗传算法、模拟退火等。
然而，对于大规模问题（即n很大时），这些算法往往难以在合理时间内找到最优解，因为TSP 是一个NP-hard问题，即没有已知的多项式时间复杂度的算法能够解决所有规模的TSP问题。
在实际应用中，通常使用启发式算法来寻找近似最优解。
这些算法虽然不能保证找到最优解，但可以在较短的时间内找到一个相对较好的解。
一种常用的启发式算法是最近邻算法（Nearest Neighbor Algorithm），它从一个点开始，每次选择离当前点最近的未访问过的点作为下一个访问点，直到所有点都被访问过为止。
另一种常用的启发式算法是遗传算法（Genetic Algorithm），它模拟生物进化过程中的自然选择和遗传机制，通过不断迭代搜索空间来寻找近似最优解。
遗传算法通常能够找到比最近邻算法更好的解，但也需要更长的计算时间。
总之，平面n个点的最短连线问题是一个NP-hard问题，没有已知的多项式时间复杂度的算法能够解决所有规模的问题。
在实际应用中，通常使用启发式算法来寻找近似最优解。
10个节点最短路径算法题最短路径算法是图论中的一种重要算法，用于计算两个节点之间的最短路径。
在以下内容中，将介绍并讨论10个与最短路径算法相关的题目，并给出相关参考内容，以加深对该算法的理解。
1. Dijkstra算法题目：给定一个加权有向图和一个源节点，请找出从源节点到每个其他节点的最短路径。
参考内容：《算法导论》（Introduction to Algorithms）一书中第24章，提供了关于Dijkstra算法原理和实现的详细解释。
2. Bellman-Ford算法题目：给定一个加权有向图和一个源节点，请找出从源节点到每个其他节点的最短路径，其中图中可能存在负权边。
参考内容：《算法导论》第24章，提供了Bellman-Ford算法的详细解释和实现。
3. Floyd-Warshall算法题目：给定一个有向图，请找出任意两个节点之间的最短路径。
参考内容：《算法导论》第25章，提供了Floyd-Warshall算法的详细解释和实现。
4. A*算法题目：给定一个加权有向图、一个源节点和一个目标节点，请找出从源节点到目标节点的最短路径。
参考内容：《人工智能：一种现代方法》（ArtificialIntelligence: A Modern Approach）一书中第3章，提供了A*算法的详细解释和实现。
5. Johnson算法题目：给定一个加权有向图，请找出任意两个节点之间的最短路径，其中图中可能存在负权边。
参考内容：《算法导论》第25章，提供了Johnson算法的详细解释和实现。
6. SPFA算法题目：给定一个加权有向图和一个源节点，请找出从源节点到每个其他节点的最短路径。
参考内容：各种算法教材、博客文章和论文中提供了SPFA算法的详细解释和实现，如《算法导论》第24章。
7. Yen's算法题目：给定一个加权有向图、一个源节点和一个目标节点，请找出从源节点到目标节点的K条最短路径。
参考内容：论文《Finding the K Shortest Loopless Paths in a Network》中提供了Yen's算法的详细解释和实现。
算法的思想 (2)算法的描述 (2)算法的举例 (2)A*算法 (2)原理简介 (2)详细内容 (2)A*算法误区 (17)A*算法总结(Summary of the A* Method) (17)F LOYD算法 (17)定义 (17)核心思路 (18)算法过程 (18)优缺点分析 (18)J OHNSON算法 (23)Johnson算法要求 (23)Johnson算法结构要求 (23)Johnson算法数据结构 (23)Johnson算法的内容 (23)Johnson算法源程序 (23)D IJKSTRA算法 (27)算法简介 (27)算法描述 (27)复杂度分析 (27)算法实现 (28)测试样例 (30)算法应用的实例 (34)算法的思想设图中有n个结点，设置一个集会u，存放已经求出最短路径的结点（初始时u中的元素是源点），v-u是尚未确定最短路径的顶点的集合。
每次从v-u集合中找这样一个结点best_j：best_j是u集合中结点的邻接点，到源点的距离最短（等于到父结点的距离加上父结点到源点的距离）。
然后把该best_j置入u集合中，直到u=v。
算法的描述最短路经计算分静态最短路计算和动态最短路计算。
静态路径最短路径算法是外界环境不变，计算最短路径。
主要有Dijkstra算法，A*算法。
动态路径最短路是外界环境不断发生变化，即不能计算预测的情况下计算最短路。
典型的有D*算法。
算法的举例A*算法原理简介A*（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路最有效的方法。
公式表示为：f(n)=g(n)+h(n),其中f(n) 是节点n从初始点到目标点的估价函数，g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。
保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数h(n)的选取：估价值h(n)<= n到目标节点的距离实际值，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。
一点到n点距离之和最小值
一点到n点距离之和最小值的问题属于图论中的最小生成树问题。
最小生成树是指通过连接图中的所有节点，并且边的权重之和最小的树。
解决这个问题的常用算法有Prim算法和Kruskal算法：
1. Prim算法：
- 从任意一个节点开始，将该节点加入到生成树中。
- 选择与生成树中节点相邻的边中权重最小的边，并将连接
的节点加入到生成树中。
- 重复第2步，直到生成树包含了所有的节点为止。
2. Kruskal算法：
- 将图中所有边按照权重从小到大排列。
- 依次选择权重最小的边，若该边的两个节点不在同一个连
通分量中，则将该边加入生成树，并将这两个节点所在的连通分量合并。
- 重复第2步，直到生成树中含有n-1条边为止。
以上两种算法最终得到的生成树即为所求解的最小生成树，一点到n点距离之和即为最小生成树的权重之和。
需要注意的是，最小生成树问题要求图是连通的，即任意两个节点之间都存在路径。
如果图不连通，则无法求解最小生成树。
在图论中，从一个节点到另一个节点所经过的路径中，有一条路径的长度最短，这个最短路径称为最短路径。
而在实际应用中，我们经常需要求解从起始点到各终点的最短路径及其长度，这是一个十分重要且基础的问题。
在本文中，我们将从简到繁，由浅入深地探讨从 v0 到各终点的最短路径及长度。
1. 单源最短路径在图论中，单源最短路径指的是求解从一个固定的起始点 v0 到图中所有其他点的最短路径及其长度。
常见的解决方法有 Dijkstra 算法和Bellman-Ford 算法。
Dijkstra 算法是一种贪心算法，它通过不断扩展已经找到的最短路径来逐步求解出所有点的最短路径。
而 Bellman-Ford 算法则是一种动态规划算法，它通过不断更新距离数组来逐步求解出所有点的最短路径。
通过这两种算法，我们可以很方便地求解出从 v0 到各终点的最短路径及长度。
2. 多源最短路径除了单源最短路径外，有时我们还需要求解图中任意两点之间的最短路径及其长度，这就是多源最短路径问题。
常见的解决方法有 Floyd-Warshall 算法和 Johnson 算法。
Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法，它通过不断更新距离矩阵来逐步求解出任意两点之间的最短路径。
而 Johnson 算法则是一种优化算法，它通过重新赋权和Dijkstra 算法来求解出任意两点之间的最短路径。
通过这两种算法，我们可以很方便地求解出任意两点之间的最短路径及长度。
3. 应用实例分析在实际应用中，最短路径问题有着广泛的应用。
比如在交通规划中，我们需要求解出从一个城市到另一个城市的最短路径及长度，以便合理规划交通路线。
在网络通信中，我们需要求解出从一个网络节点到另一个网络节点的最短路径及长度，以便提高数据传输效率。
在人工智能中，我们需要求解出从一个状态到另一个状态的最短路径及长度，以便优化决策过程。
通过对最短路径问题的研究和应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。
算法导论求n个点的最小距离
2010-01-20 17:23
在中文算法导论649页
算法：
0：把所有的点按照横坐标排序
1：用一条竖直的线L将所有的点分成两等份
2：递归算出左半部分的最近两点距离d1，右半部分的最近两点距离d2，取
d=min(d1,d2)
3：算出“一个在左半部分，另一个在右半部分”这样的点对的最短距离d3。
4：结果＝min(d1,d2,d3)
关键就是这第3步。
貌似这需要n^2的时间，把左边每个点和右边每个点都对比一下。
其实不然。
秘密就在这里。
首先，两边的点，与分割线L的距离超过d的，都可以扔掉了。
其次，即使两个点P1,P2（不妨令P1在左边，P2在右边）与分割线L的距离（水平距离）都小于d，如果它们的纵坐标之差大于d，也没戏。
就是这两点使得搜索范围大大减小：
对于左半部分的，与L的距离在d之内的，每个P1来说：右半部分内，符合以上两个条件的点P2最多只有6个！
原因就是：
d是两个半平面各自内，任意两点的最小距离，因此在同一个半平面内，任何两点距离都不可能超过d。
我们又要求P1和P2的水平距离不能超过d，垂直距离也不能超过d，在这个d*2d 的小方块内，最多只能放下6个距离不小于d的点。
因此，第3步总的比较距离的次数不超过n*6。
第3步的具体做法是：
3.1 删除所有到L的距离大于d的点。
O(n)
3.2 把右半平面的点按照纵坐标y排序。
O(nlogn)
3.3 对于左半平面内的每个点P1，找出右半平面内纵坐标与P1的纵坐标的差在d以内的点P2，计算距离取最小值，算出d3。
O(n*6) = O(n)
因为3.2的排序需要O(nlogn)，
所以整个算法的复杂度就是O(n((logn)^2))。
改进：
我们对3.2这个排序的O(nlogn)不太满意。
既然整个算法是递归的，我们可以利用第2步的子递归中已经排好序的序列，在第3.2部归并这两个子列，这样3.2的复杂度变成了O(n)。
这样，整个算法就是O(nlogn)的。
代码如下: VC6.0下编译通过
#include "stdafx.h"
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define MAX 10000
typedefstruct point{
intx,y;
}POINT;
double delta = MAX ;
inttotalnum;
POINT mem_p1,mem_p2;
int cmx(const void *a,const void *b) //比较x坐标
{
return ((POINT *)a)->x-((POINT *)b)->x;
}
intcmy(const void *a,const void *b) //比较y坐标
{
return ((POINT *)a)->y-((POINT *)b)->y;
}
double min(double p1,double p2)
{
return p1>p2?p2:p1;
}
double dist(POINT s1,POINT s2) //求两点的距离
{
double dx = s1.x-s2.x;
double dy = s1.y-s2.y;
return sqrt(dx*dx + dy*dy);
}
void rec_cl_pair(POINT a[],inti,int j)
{
double temp,xx;
int k;
if(j-i<3)//小于或等于三个点的时候可以直接求得最小距离
{
qsort(a+i,j-i+1,sizeof(a[0]),cmy);//按Y坐标从小到大排列 xx = dist(a[i],a[i+1]);//两个点的距离
if(j-i==1)//只有两个点的时候直接返回
{
if(xx<delta)
{
mem_p1 = a[i];
mem_p2 = a[i+1];
delta = xx;
}
return;
}
double t = dist(a[i+1],a[i+2]); //有三个点的情况
if(t<delta)
{
mem_p1 = a[i+1];
mem_p2 = a[i+2];
delta = t;
}
t = dist(a[i],a[i+2]);
if(t<delta)
{
mem_p1 = a[i];
mem_p2 = a[i+2];
delta = t;
}
return;
}
k=(i+j)/2;
double middle=a[k].x;//中线点
rec_cl_pair(a,i,k);//求左边点的最小距离
rec_cl_pair(a,k+1,j);//求右边点的最小距离
int t=0;
POINT v[100];
for(k=i;k<=j;k++)
{
if(a[k].x>middle-delta && a[k].x < middle+ delta)
{
t++;
v[t] = a[k];//存入离中线距离小于delta的点
}
} //t-1为剩余点的个数
qsort(v+1,t,sizeof(v[1]),cmy);//以Y坐标的大小进行排序
for(k=1;k<t;k++)
{
for(int s=k+1;s<min(double(t),double(k+7));s++)
{
temp = dist(v[k],v[s]);
if(temp<delta)
{
delta = temp;
mem_p1=v[k];
mem_p2 = v[s];
}
}
}
}
void close_pair(POINT a[])
{
int n = totalnum;
qsort(a+1,n,sizeof(a[1]),cmx);//a接收的是a+1地址，按X坐标从小到大排列
rec_cl_pair(a,1,n);
}
void main(intargc, char *argv[])
{
POINT *a;
scanf("%d",&totalnum); //输入点的总数
a = (POINT *)malloc(sizeof(point)*(totalnum+1));//多申请一个内存空间a[0]不用
for(int i=1;i<=totalnum;i++)
scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);//输入点的X和Y坐标
close_pair(a);
printf("最近点对的距离为:%.3f\n",delta);//地址从a+1开始
printf("最短距离的两个点
为:\n(%d,%d)\n(%d,%d)\n",mem_p1.x,mem_p1.y,mem_p2.x,mem_p2.y);
}。
