1.3.1函数的单调性与导数_图文.ppt
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1.3.1函数的单调性与导数
二次函数 f ( x) ax 2
2 y 3 x 3 x 的单调区间。 （1）求函数
解法一： 利用二次函数图象特征，对称轴求单调区间。 解法二： y ' 6 x 3 1 1 令y ' 0得x , 令y ' 0得x 2 1 2 2 y 3 x 3 x 的单调递增区间为 ( , ) 2 1 单调递减区间为 ( , ) 2
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
1 y x
y
y x 2x 1
2
y 3
y
x
y
o
x
o
1
x
1 o
x
在（－ ∞ ，0），（0, ＋∞） 在（－ ∞ ，1）上是减 上是减函数。但在定义域 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。 上不是减函数。
在(－ ∞,＋∞)上 是增函数
判断函数单调性有哪些方法？ 定义法 图象法
(1) 1 (ln x ) . x
（4）.对数函数的导数:
(2)
1 (log a x) . x ln a
（5）.指数函数的导数:
(1) ( 2) (e x ) e x . (a x ) a x ln a(a 0, a 1).
一、复习回顾
函数 y = f (x) 在给定区间 I上，当 x 1、x 2 ∈I 且 x 1＜ x 2 时
y
y f ( x)
1 2
x o
y
y f ( x)
y
o y
1
2
x
y f '( x )
１ 2 x
(A)
y f ( x)
2 x o
(B) y y f ( x)
1.3.1函数的单调性与导数( 二)
§1.3.1函数的单调性与导数（二） 学习目标1.会利用函数单调性与导数的关系，求参数的范围；2.会利用函数单调性与导数的关系，证明简单的不等式.3.会求复合函数的单调区间.学习过程1.复习：导数求函数单调区间的步骤2..例题展示：【例1】求下列函数的单调区间：（1）)1ln()(-=x x f ; (2)x x x f ln )(-=. (3));2ln()(2--=x x x f (4)2)(-=x e x f x【例2】试利用函数单调性证明下面不等式：（1）);,0(,sin π∈<x x x（2）);1,0(,02∈>-x x x （3）;0,1≠+>x x e x（4）.0,ln ><<x e x x x练习：已知,1>x 求证：).1ln(+>x x【例3】►已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．小结：函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)即可．【例4】已知函数).0(2)1ln()(2≥+-+=k x k x x x f （1）当,2=k 求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）求)(x f 的单调区间.巩固练习：1.函数x x y cos +=在),(+∞-∞内是（ ）A 增函数B 减函数C 有增有减D 不能确定2.函数c ax y +=2在区间),0(+∞内单调递增，则c a ,应满足（ ）A.0c =<且0a . B .是任意实数且c 0>a . C .0c 0,a ≠<且. D.是任意实数且c 0<a 3.对于Ｒ上的可导的任意函数，若满足,0)()1(≥'-x f x 则必有（ ） Ａ．)1(2)2()0(f f f <+ Ｂ．)1(2)2()0(f f f >+ Ｃ．)1(2)2()0(f f f ≥+ Ｄ．)1(2)2()0(f f f ≤+4.函数),1()(<<-=b a ex x f x 则（ ） A ．)()(b f a f =.B.)()(b f a f <.C.)()(b f a f >.D.)(),(b f a f 大小不确定 5.“0>a ”是“函数ax x x f +=3)(在区间),0(+∞上是增函数”的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且,0)2(=f 当0>x 时有,0)()(2<-'xx f x f x 则不等式0)(2>x f x 的解集是（ ） A.),2()0,2(+∞- B.)2,0()2,( --∞ C.)2,0()0,2( - D.),2()2,2(+∞-7．函数[],2,0,sin 21)(π∈-=x x x x f 则其单调增区间为 . 8.若函数2)(p x p x x f +-=在),1(+∞上是增函数，则实数p 的取值范围是 .9.已知x e x x x f 211)(+-=,求)(x f 的单调区间.10.已知下列函数①);0()(>+=a x ax x f ②)0(13)(23≥+-=k x kx x f ；③).(ln )(R a x a x x f ∈-=试分别讨论它们的单调区间.11.已知函数).(21)()(2R b x b bx x x f ∈-++=若其在区间)31,0(上单调递增，求b 的取值范围.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
1
自 测 自 评
1 2 4．函数 y＝ x －ln x 的单调递减区间为( 2 A．(－1,1] C．[1，＋∞) B．(0,1] D．(0，＋∞)
)
栏 目 链 接
答案：B
栏 目 链 接
题型1
求函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)； (2)f(x)＝3x2－2ln x.
栏 目 链 接
题型2
证明函数的单调性
例2 求证：函数f(x)＝ex－x＋1在(0，＋∞)内是增函数，
在(－∞，0)内是减函数．
栏 目 链 接
分析：先求导数，再推证在该区间内导数恒大于零或 恒小于零，即可证明函数单调性问题．
证明：由f(x)＝ex－x＋1，得f′(x)＝ex－1. 当x∈(0，＋∞)时，ex－1＞0，即f′(x)＞0，
跟 踪 训 练
1．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x4－2x2＋3； ex (2)f(x)＝ . x－2
栏 目 链 接
解析：(1)函数 f(x) 的定义域为 R. f′(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)． 令 f′(x)＞0，则 4x(x＋1)(x－1)>0， 解得－1<x<0 或 x>1， 所以函数 f(x)的单调递增区间 为(－1,0)和(1，＋∞)．
栏 目 链 接
∴f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，0)内是减函数．
点评： 函数 f(x) 在某一区间上 f′(x) ＞ 0 是 f(x) 是增函
数的充分不必要条件，若在此区间内有有限个点使f′(x) ＝0，f(x)在该区间内为增函数，因此，在证明f(x)在给 定区间内是增函数时，证明f′(x)≥0(但f′(x)＝0不恒成立) 即可．
1.3.1函数的单调性与导数1-人教A版高中数学选修2-2课件
令(x
1)(x x2
1)
0，解得 1
x
0或0
x
1
y x 1 的单调减区间是(1,0)和(0,1) x
注: 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止 一个，这些单调区间一般不能用“∪”连接，而 只能用“逗号”或“和”分开。
四、课堂练习 1、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x 2 2x 4; (2) f ( x) e x x;
2
3
3
因 此 ， 函 数f ( x)的 递 增 区 间 是(2k 2 ,2k 2 )(k Z );
3
3
递 减 区 间 是(2k 2 ,2k 4 )(k Z ).
3
3
(2) f ( x) x ln(1 x) 1 2
解：函数的定义域是(1,)，f ( x) 1 1 x 1 . 2 1 x 2(1 x)
2
2
归纳： 1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单 调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求 单调性问题时，应考虑导数法。
2°求可导函数f(x)单调区间的步骤： ①求定义域
②求f'(x)
③令f'(x)>0解不等式⇒f(x)的递增区间 f'(x)<0解不等式⇒f(x)的递减区间
(2) f ( x) x 2 2x 3;
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
(4) f ( x) 2x 3 3x 2 24x 1.
解:
(3)因为f ( x) sin x x, x (0, )，所以f ( x) cos x 1 0.
因此，函数f ( x) sin x x在x (0, )上单调递减
1.3.1函数的单调性与导数-人教A版高中数学选修2-2课件
已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减
当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴
内的图象平缓.
设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
2：求函数 y 3x2 3x 的单调区间。
解： y' 6x 3
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
2
2
y 3x2 3x 的单调递增区间为 (1 , ) 2
单调递减区间为 (, 1) 2
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间。
解： y' 9x2 6x 3x(3x 2)
步骤：
（1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即 函数的单调区间。
练习:判断下列函数的单调性
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;
函数的单调性与导数-图课件
单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。
1.3.1函数的单调性与导数
已知函数f(x)=ax³ +3x² -x+1在R上是减函数， 求a的取值范围。 解：f(x)=ax³ +3x² -x+1在R上是减函数，
∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，
∴a<0且△=36+12a≤0，
∴a ≤-3
玉林市一中高二数学组
练习2 已知函数f (x )= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0, 若f (x )在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
'(x)>0(或<0) 但由f（xf ）在这个区间上单调递增（递减） 而仅仅得到 是不够的。还有可 能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，
本题用到一个重要的转化： 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x)min
玉林市一中高二数学组
2．用定义证明函数的单调性的一般步骤： 取值→作差→变形→定号→下结论 3. 判断函数单调性有哪些方法？ 定义法
图象法
玉林市一中高二数学组
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然
分析：
当x 3或x 2时，f '( x ) 0; f ( x )在此区间递增 当x 3或x 2时，f '( x ) 0. f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数
f ( x ) 图象的大致形状。
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A B
∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，
∴a<0且△=36+12a≤0，
∴a ≤-3
玉林市一中高二数学组
练习2 已知函数f (x )= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0, 若f (x )在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
'(x)>0(或<0) 但由f（xf ）在这个区间上单调递增（递减） 而仅仅得到 是不够的。还有可 能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，
本题用到一个重要的转化： 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x)min
玉林市一中高二数学组
2．用定义证明函数的单调性的一般步骤： 取值→作差→变形→定号→下结论 3. 判断函数单调性有哪些方法？ 定义法
图象法
玉林市一中高二数学组
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然
分析：
当x 3或x 2时，f '( x ) 0; f ( x )在此区间递增 当x 3或x 2时，f '( x ) 0. f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数
f ( x ) 图象的大致形状。
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A B
2019-2020学年人教A版数学选修2-2课件：第1章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝± 33a，
当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
∴f(x)在－
33a，
33a上为减函数，
∴f(x)的单调递减区间为－
33a，
33a，
∴ 33a＝1，即 a＝3.
第三十四页，编辑于星期六：二十三点 二十八 分。
2．(变条件)若函数 f(x)＝x3－ax－1 在(－1,1)上单调递减，求 a 的范围．
得 x1＝ 33，x2＝－ 33(舍去)，用 x1 分割定义域 D，得下表：
x
0，
3
3
3 3
33，＋∞
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
↗
∴函数 f(x)的单调递减区间为0， 33，单调递增区间为 33，＋∞.
第二十页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
(2)函数的定义域为 D＝(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′
0－
－
0＋
f(x) ↗
↘
↘
↗
∴函数 f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－
∞，－1)和(1，＋∞)．
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 二十八 分。
角度 2 含参数的函数的单调区间 【例 3】 讨论函数 f(x)＝12ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性． 思路探究： 求函数的定义域 ―→ 求f′x ―分―a＞―0―，―a―＝→0 解不等式f′x＞0或f′x＜0 ―→ 表述fx的单调性
第八页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
D [∵函数 f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当 x＞ 0 时，f′(x)＜0，
课件14：1.3.1 函数的单调性与导数
【解析】由函数y＝xf′(x)的图象可知当x<－1时，xf′(x)<0， f′(x)>0， ∴f(x)为增，当－1<x<0时，xf′(x)>0，f′(x)<0，此时f(x)为 减，当0<x<1时，xf′(x)<0，f′(x)<0此时f(x)为减函数；当 x>1时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)为增函数，∴选C．
例 1 (1)f′(x)是函数 y＝f(x)的导函数，若 y＝f′(x)的图象 如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是 ( D )
【解析】由导函数图象可知函数 f(x)在(－∞，0)上增函数， 排除 A，C，在(0,2)上为减函数，排除 B，故选 D．
(2)证明函数 f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数． 证明：∵f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝1－x2lnx， 令 f′(x)>0.可知 lnx<1，即 0<x<e.
由此我们得出： 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在区间(a，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调 __递__增__； (2)如果在区间(a，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调 _递__减___．
2．函数的变化快慢与导数的关系 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个 函数在这个范围内变化较___快___，其图象比较__陡__峭__． 即|f ′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的 变化率就越大．
2．利用导数证明或判断函数单调性的思路 求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b) 上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递 减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有 单调性．
课件12：1.3.1 函数的单调性与导数
温馨提示 在区间(a，b)内f′(x)＞0，是f(x)在该区间 内单调递增的充分不必要条件．例如，f(x)＝x3在R 上为增函数，但f′(0)＝0.
2．函数单调性与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)内： (1)如果|f′(x)|越大，函数在区间(a，b)内变化越快， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)； (2)如果|f′(x)|越小，函数在区间(a，b)内变化越慢， 函数的图象就比较“平缓”(向上或向下)．
变式训练 函数y＝ax3－x在R上是减函数，求a的取值 范围．
解：因为y＝ax3－x在R上是减函数，所以y′＝3ax2－1≤0
在R上恒成立，即3ax2≤1在R上恒成立．
当x＝0时，要满足题意，则a∈R；
当
x≠0
时，3ax2≤1
在
R
上恒成立，等价于
1 a≤3x2
在 R 上恒成立，则 a≤0.
综上可得a的取值范围是(－∞，0]．
归纳升华 1．利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的基本 步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求出函数f(x)的导数f′(x)； (3)令f′(x)＞0，在定义域内解不等式，求得x的相应区间为 f(x)的单调递增区间；
(4)令f′(x)＜0，在函数定义域内解不等式，求得x的相应区 间为f(x)的单调递减区间． 注意：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进 行．②函数的单调区间之间只能用“和”或“，”隔开， 不能用符号“∪”连接．
4．已知函数y＝f(x)，x∈(a，b)的单调性，求参数的取值 范围的步骤： (1)求导数y′＝f′(x)； (2)转化为f′(x)≤0(≥0)在x∈(a，b)上恒成立问题； (3)由不等式恒成立求参数的取值范围； (4)验证等号是否成立．