高中2010年数学高考萃取精华复习测试题8

2010高考数学萃取精华30套（25）1. 南京市二模17、（本小题满分15分，第一问3分，第二问4分，第三问8分。

） 如图，直角三角形ABC 的顶点坐标(2,0)A -，直角顶点(0,22)B -，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．（1）求BC 边所在直线方程；（2）M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程； （3）若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程．17、（1）∵2AB k =-，AB BC ⊥，∴22CB k =，∴2:222BC y x =- 【3分】 （2）在上式中，令0y =，得(4,0)C ，∴圆心(1,0)M又∵3AM =，∴外接圆的方程为22(1)9x y -+=【7分】（3）∵(1,0)P -，(1,0)M∵圆N 过点(1,0)P -，∴PN 是该圆的半径又∵动圆N 与圆M 内切，∴3MN PN =-，即3MN PN +=【11分】 ∴点N 的轨迹是以M 、P 为焦点，长轴长为3的椭圆， ∴32a =，1c =，【13分】 2254b ac =-=， ∴轨迹方程为2219544x y += 【15分】18、（本小题满分15分，第一问4分，第二问3分，第三问8分。

）已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=-，（其中实数y 和x 不同时为零），当||2x <时，有a b ⊥，当||2x ≥时，//a b ．(1) 求函数式()y f x =；（2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）若对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．18、（1）当||2x <时，由a b ⊥得2(3)0a b x x y ⋅=--=，33y x x =-；（||2x <且0x ≠）当||2x ≥时，由//a b .得23xy x =-- ∴323,(220)().(22)3x x x x y f x x x x x⎧--<<≠⎪==⎨≥≤-⎪-⎩且或【4分】（2）当||2x <且0x ≠时，由2'33y x =-<0,解得(1,0)(0,1)x ∈-，【6分】 当||2x ≥时，222222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>-- ∴函数()f x 的单调减区间为（－1，０）和（０，1）【8分】 （3）对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥即2(3)m x x -≥-，也就是23xm x ≥-对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞恒成立， 由（2）知当||2x ≥时，222222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>-- ∴函数()f x 在(-,-2]∞和[2,+)∞都单调递增【12分】又2(2)234f --==-，2(2)234f ==-- 当2x ≤-时2()03xf x x=>-，∴当(,2]x ∈-∞-时，0()2f x <≤ 同理可得，当2x ≥时，有2()0f x -≤<，综上所述得，对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞， ()f x 取得最大值2； ∴实数m 的取值范围为2m ≥.【15分】19、（本小题满分14分，第一问9分，第二问5分。

2010高考数学萃取精华30套（21）1. 聊城一模20．（本小题满分12分）已知等比数列}{n a 中，432,,a a a 分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且,211=a 公比.1≠q （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知数列}{n b 满足n n n S a b ,log 221=是数列}{n b 的前n 项和，求证：当.1,5<≥n n S a n 时20．解：（1）由已知得).(24332a a a a -=- 从而得01322=+-q q解得121==q q 或（舍去） …………4分 所以.)21(4na =…………6分（2）由于.2)1(),1(2)21(log 221nn n n nn n n S a n n S n b +=+=⋅== 因此所证不等式等价于：.)5()1(2≥+>n n n n①当n=5时，因为左边=32，右边=30，所以不等式成立； ②假设)5(≥=k k n 时不等式成立，即),1(2+>k k k两边同乘以2得).2)(1(21++>+k k k这说明当n=k+1时也不等式成立。

由①②知，当)1(25+>≥n n n n时成立。

因此，当1,5<≥n n S a n 时成立。

…………12分21．（本小题满分12分）已知函数)('),(4)(23x f R a ax x x f ∈-+-=是)(x f 的导函数。

（1）当a=2时，对于任意的)(')(],1,1[],1,1[n f m f n m +-∈-∈求的最小值； （2）若存在),0(0+∞∈x ，使,0)(0>x f 求a 的取值范围。

21．解：（1）由题意知.43)(',42)(223x x x f x x x f +-=-+-=令.340,0)('或得==x x f当x 在[-1，1]上变化时，)(),('x f x f 随x 的变化情况如下表：)(],1,1[m f m -∈∴对于的最小值为,4)0(-=f x x x f 43)('2+-=Θ的对称轴为,22=x 且抛物线开口向下)('],1,1[n f n -∈∴对于的最小值为.7)1('-=-f)(')(n f m f +∴的最小值为-11。

2010高考数学萃取精华30套（3）1．泉州模拟21．（本小题满分12分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA（1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由。

解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x =得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==∴ 4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA PB PA Θ………………………………3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -= ① 同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -= ② 由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x ),14,(222-=x x )1,2(21-+xx P 4),2,2(2121-=-+=x x x x 42)14)(14(2221222121x x x x x x +--=--+=⋅ …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x所以0)(2=+⋅故存在λ=1使得0)(2=+⋅λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅ ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得：0442=--m kx x 016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --= 由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P k k B k k A )11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA)2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk k k +--=--+-=⋅………………………………10分)1(24)1()(2222kk k k ++=+-=故存在λ=1使得0)(2=+⋅λ…………………………………………12分 22．（本小题满分14分）设函数x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数。

2010高考数学萃取精华30套（9）1. 冀州一模20、已知数列{}n a 满足11a =，212a =，且2[3(1)]22[(1)1]n nn n a a ++-=---， （n=1,2,3,）.（1）求3456,,,a a a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令212n n n b a a -=⋅，记数列{}n b 的前n 项的和为n T ，求证：n T <3.20、解：（1）分别令n=1，2，3，4可求得3456113,,5,48a a a a ==== ………2分 当n 为奇数时，不妨设n=2m1，*m N ∈，则21212m m a a +--=， 21{}m a -为等差数列，21m a -=1+2(m1)=2m1, 即n a n =。

………4分当n 为偶数时，设n=2m ，*m N ∈，则22220m m a a +-=， 2{}m a 为等比数列，12111()222m m m a -==，故21()2n n a =，综上所述，**2(21)1()2)2n n n n m m N a n m m N ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩（ ………6分 （2）2121(21)2n n n n b a a n -==-231111135(21)2222n n T n =⨯+⨯+⨯++- ………8分2311111113(23)(21)22222n n n T n n +=⨯+⨯++-+- 两式相减：2311111112()(21)222222n n n T n +=++++--1111(1)1142(21)12212n n n -+-=+--- ………10分2332n nn T +=-，故3n T < ………12分 注：若求出3456,,,a a a a 猜想出通项（1）问给2分，在上面基础上（2）问解答正确给8分。

21、已知、分别是直线x y 33=和x y 33-=上的两个动点，线段AB 的长为32，是AB 的中点．（1）求动点的轨迹C 的方程；（2）过点)0,1(Q 任意作直线l （与轴不垂直），设l 与（1）中轨迹C 交于M N 、两点，与轴交于点．若RM MQ λ=，RN NQ μ=，证明：λμ+为定值． 21、解：（1）设),(y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ．∵是线段AB 的中点，∴1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ………2分∵A B 、分别是直线3y x =和3y x =-上的点，∴11y =和223y x =-．∴1212,.3x x y y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩…………4分又23AB =12)()(221221=-+-y y x x ． …………5分∴22412123y x +=，∴动点的轨迹C 的方程为2219x y +=． …………6分 （2）依题意，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(1)y k x =-． 设),(33y x M 、),(44y x N 、),0(5y R ，则M N 、两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.19,)1(22y x x k y 消去并整理，得2222(19)18990k x k x k +-+-=， …………8分 ∴22439118k k x x +=+， ① 23429919k x x k-=+． ② ∵λ=，∴[]),()0,1(),0(),(33533y x y y x -λ=-即⎩⎨⎧λ-=--λ=.,)1(35333y y y x x ∴)1(33x x -λ=．∵l 与轴不垂直，∴13≠x ，∴331x x -=λ，同理441x x -=μ． ………10分∴443311x x x x -+-=μ+λ34343434()21()x x x x x x x x +-=-++． 将①②代入上式可得49-=μ+λ． …………12分22、已知0,1a a >≠且函数()log (1)xa f x a =-。

2010高考数学萃取精华30套（28）1. 台州二模(20)（本题满分14分）数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项的和n S 满足()12-=n n n S a S .（Ⅰ）证明：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）设22+=n nn S S log b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足6≥n T 的最小正整数n . (20)解（Ⅰ）()12-=n n n S a S()21()(1)2n n n n S S S S n -∴=--≥11,n n n n S S S S --∴=-即1111,n n S S --= 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是1为首项，1为公差的等差数列. ………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知212,log n n n S b n n+=∴=， ()()221234562log log 6,12342n n n n T n +++⎛⎫∴=⨯⨯⨯⨯⨯=≥ ⎪⎝⎭ 128)1)(2(≥++∴n n n N +∈ 10≥∴n ,所以满足6≥n T 的最小正整数为10. ………………………………14分(21)（本题满分15分）已知函数()().a x x x h ,x ln x x f +-=-=222（Ⅰ）求函数()x f 的极值；（Ⅱ）设函数()()(),x h x f x k -=若函数()x k 在[]31,上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围.(21)解: （Ⅰ）xx x f 22)('-= ，令'()0,01f x x x =>∴=所以)(x f 的极小值为1,无极大值. ……………………………………7分 （Ⅱ）12)(ln 2)()()('+-=∴-+-=-=xx k a x x x h x f x k ,若2,0)('==x x k 则 当[)1,2x ∈时，()'0fx <；当(]2,3x ∈时，()'0f x >．故()k x 在[)1,2x ∈上递减，在(]2,3x ∈上递增． ……………………………10分(1)0,1,(2)0,22ln 2,22ln 232ln 3.(3)0,32ln 3,k a k a a k a ≥≤⎧⎧⎪⎪∴<∴>-∴-<≤-⎨⎨⎪⎪≥≤-⎩⎩所以实数 a 的取值范围是(]22ln 2,32ln3-- ………………………………15分(22)（本题满分15分）已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到点()1,0F 的距离比到直线:2l y =-的距离小1．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）动点E 在直线l 上，过点E 分别作曲线C 的切线,EA EB ，切点为A 、B ．（ⅰ）求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；（ⅱ）在直线l 上是否存在一点E ，使得ABM ∆为等边三角形（M 点也在直线l上）？若存在,求出点E 坐标,若不存在,请说明理由.(22)解:（Ⅰ） 曲线C 的方程 y x 42= …………………………………………5分（Ⅱ）（ⅰ）设),2,(-a E )4,(),4,(222211x x B x x A ，x y x y 214'2=∴=,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(21421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x同理可得：222280x ax --=8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程)24,(2+a a AB 中点为可得又2212121212124442ABx x y y x x a k x x x x --+====--2(2)()22a aAB y x a ∴-+=-直线的方程为()22ay x AB =+∴即过定点0,2 ………………………………10分 （ⅱ）由（ⅰ）知AB 中点)24,(2+a a N ，22aAB y x =+直线的方程为 当0a ≠时，则AB 的中垂线方程为)(2242a x a a y --=+- AB ∴的中垂线与直线2-=y 的交点312(,2)4a aM +- 322222221241()(2)(8)(4)4216a a a MN a a a ++∴=-+--=++)8)(4(4)(4122212212++=-++=a a x x x x a AB若ABM ∆为等边三角形，则MN =),8)(4(43)4()8(16122222++=++∴a a a a 解得,2,42±=∴=a a 此时(2,2)E ±-, 当0a =时，经检验不存在满足条件的点E综上可得：满足条件的点E 存在，坐标为(2,2)E ±-. ……………………15分2. 树德一模20．（本题满分12分）已知实数ａ≠０，函数)()2()(2R x x ax x f ∈-=有极大值32.（1）求实数a 的值； （2）求函数)(x f 的单调区间.20． 解（Ⅰ）,44)(23ax ax ax x f +-=)2)(23(483)(2--=+-='∴x x a a ax ax x f 令0)(='x f ，得32=x 或2. ∵函数)()2()(2R x x ax x f ∈-=有极大值32， )(,0)2(x f f ∴=∴在32=x 时取得极大值. .322732)32(==a f 解得.27=a ).2)(23(27)(--='∴x x x f当32<x 时，,0)(>'x f 当232<<x 时，,0)(<'x f )(x f ∴在32=x 时，有极大值32. 27=∴a 时函数)(x f 有极大值32. ……7分（Ⅱ）由,0)2)(23(27)(>--='x x x f 得32<x 或.2>x∴函数)(x f 的单调增区间是（－),2(),32,+∞∞；单调减区间是（).2,3221．（本题满分12分）已知曲线C上任意一点到直线2x =的距离与它到点的(I)求曲线C 的方程； (II)设B 为曲线C 与y 轴负半轴的交点，问：是否存在方向向量为(1,)(0)m k k =≠的直线l ，l 与曲线C 相交于M N 、两点，使||||BM BN =，且BM 与BN 夹角为60?若存在，求出k 值，并写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

2010高考数学萃取精华30套（11）1.江西五校联考20．（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()ln 1af x x x=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）． （1）判断函数()f x 在区间(]0,e 上的单调性； （2）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．20. （1）解：∵()ln 1a f x x x =+-，∴221()a x af x x x x-'=-+=． 令()0f x '=，得x a =．①若a ≤0，则()0f x '>，()f x 在区间(]0,e 上单调递增.②若0a e <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减， 当(],x a e ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],a e 上单调递增， ③若a e ≥，则()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减. ……6分（2）解：∵()()ln 1xg x x e x =-+，(]0,x e ∈，()()()()ln 1ln 11x x g x x e x e '''=-+-+()1ln 11ln 11x x x e x e x e x x ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭由（1）可知，当1a =时，1()ln 1f x x x=+-．此时()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln10=，即1ln 10x x+-≥．当(]00,x e ∈，00x e >，001ln 10x x +-≥，∴00001()ln 1110x g x x e x ⎛⎫'=+-+≥> ⎪⎝⎭．曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解．而()00g x '>，即方程0()0g x '=无实数解．故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直……12分 21．（本小题满分12分）已知线段CD =，CD 的中点为O ，动点A 满足2AC AD a +=（a 为正常数）． （1）建立适当的直角坐标系，求动点A 所在的曲线方程；（2）若2a =，动点B 满足4BC BD +=，且OA OB ⊥，试求AOB ∆面积的最大值和最小值．21. （1）以O 为圆心，CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系若2AC AD a +=<，即0a <<A 所在的曲线不存在；若2AC AD a +==，即a =，动点A 所在的曲线方程为0(y x =；若2AC AD a +=>a >，动点A 所在的曲线方程为222213x y a a +=-.…………………………4分(2)当2a =时，其曲线方程为椭圆2214x y +=由条件知,A B 两点均在椭圆2214x y +=上，且OA OB ⊥设11(,)A x y ，22(,)B x y ，OA 的斜率为k (0)k ≠，则OA 的方程为y kx =，OB 的方程为1y x k =- 解方程组2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得212414x k =+，2212414k y k =+ 同理可求得222244k x k =+，22244y k =+ AOB ∆面积2S ==………………8分 令21(1)k t t +=>则S ==令22991125()49()(1)24g t t t t t =-++=--+> 所以254()4g t <≤，即415S ≤<当0k =时，可求得1S =,故415S ≤≤， 故S 的最小值为45，最大值为1. ……12分（2）另解：令1122(cos ,sin ),(sin ,cos )A r r B r r θθθθ-，则2222112222221cos sin 14,1sin cos 14r r r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得212222222244cos 4sin 13sin 44sin 4cos 13cos r r θθθθθθ⎧==⎪⎪++⎨⎪==⎪++⎩所以2212222166449sin cos 169sin 2r r θθθ==++，而[]2sin 20,1θ∈ 因此1214,125S r r ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即最大值是1，最小值是45.22．（本小题满分12分）函数()(01)1x f x x x =<<-的反函数为1()f x -，数列{}n a 和{}n b 满足：112a =，11()n n a f a -+=，函数1()y f x -=的图象在点()1,()()n f n n N -*∈处的切线在y 轴上的截距为n b .（1）求数列{n a }的通项公式； （2）若数列2{}n n n b a a λ-的项中仅5255b a a λ-最小,求λ的取值范围； （3）令函数2121()[()()]1x g x f x f x x --=+⋅+,01x <<.数列{}n x 满足:112x =,01n x <<且1()n n x g x +=，(其中n N *∈).证明:2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++…. 22. 解:(1)令,1xy x=- 解得;1y x y =+ 由01,x << 解得0.y > ∴函数()f x 的反函数1()(0).1xf x x x-=>+则错误！不能通过编辑域代码创建对象。

2010高考数学萃取精华30套（7）9、对于在区间[m ，n ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意x ∈[m ，n ]均有| f (x ) – g (x ) |≤1，则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是非接近的，现有两个函数f 1(x ) = log a (x – 3a )与f 2 (x ) = log a ax -1(a > 0，a ≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]． （1）若f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a 的取值范围； （2）讨论f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？ 解：（1）要使f 1 (x )与f 2 (x )有意义，则有a x a a a x a x 31003>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且要使f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义， 等价于真数的最小值大于0 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠><<⇒>-+>-+1010032031a a a a a a a 且 （2）f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的⇔| f 1 (x ) – f 2 (x )|≤1⇔ax a x aa ---1log )3(log ≤1 ⇔|log a [(x – 3a )(x – a )]|≤1⇔a ≤(x – 2a )2 – a 2≤a1对于任意x ∈[a + 2，a + 3]恒成立设h (x ) = (x – 2a )2 – a 2，x ∈[a + 2，a + 3]且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边⎪⎩⎪⎨⎧++⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇔)3( 1)2( )( 1)( max min a h a a h a x h a x h a ⎪⎩⎪⎨⎧+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧--⇔0 19265469 144 a a a a a aa ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-⇔12579 12579 54 a a a 或 12579 0-<⇔a 当12579 0-<a 时 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的 当12579 -< a < 1时，f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的．10、min{1s ，2s ，┅，n s }，max{1s ，2s ，┅，n s }分别表示实数1s ，2s ，┅，n s 中的最小者和最大者．（1）作出函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的图像；（2）在求函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的最小值时，有如下结论： min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．请说明此结论成立的理由； （3）仿照（2）中的结论，讨论当1a ，2a ，┅，n a 为实数时，函数)(x f ＝||11x x a -＋||22x x a -＋┅＋||n n x x a -(x ∈R ，1x ＜2x ＜┅＜n x ∈R )的最值．解：（1）图略；（2）当x ∈（－∞，－3）时，)(x f 是减函数，当x ∈[－3，1）时，)(x f 是减函数， 当x ∈[1，＋∞）时，)(x f 是增函数， ∴min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．（3）当1a ＋2a ＋┅＋n a ＜0时，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }；当1a ＋2a ＋┅＋n a ＞0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }； 当1a ＋2a ＋┅＋n a ＝0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(n x f }，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(n x f }．11、已知函数y =f (x)满足f (a -tan θ)=cot θ-1，（其中，a 、θ∈R 均为常数）（1）求函数y =f (x)的解析式；（2）利用函数y =f (x )构造一个数列{x n }，方法如下：对于给定的定义域中的x 1，令x 2= f (x 1)，x 3= f (x 2)，…，x n = f (x n-1)，…在上述构造过程中，如果x i (i=1,2,3,…)在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果x i 不在定义域中，则构造数列的过程停止.① 如果可以用上述方法构造出一个常数列{x n }，求a 的取值范围；② 如果取定义域中的任一值作为x 1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x n }，求a 实数的值.解：（1）令tan ,cot 1.x a y θθ=-⎧⎨=-⎩ 则tan ,cot 1.a x y θθ=-⎧⎨=+⎩①×②，并整理，得 y=xa ax --+1，∴y =f (x) =xa ax --+1， （x ≠a ）. ………………………………4分（2）①根据题意，只需当x≠a 时，方程f (x) =x 有解，① ②亦即方程 x 2+(1-a )x+1-a =0 有不等于的解.将x=a 代入方程左边，得左边为1，故方程不可能有解x=a . 由 △=(1-a )2-4(1-a )≥0，得 a ≤-3或a ≥1，即实数a 的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞ . …………………………9分 ②根据题意，xa ax --+1=a 在R 中无解，亦即当x≠a 时，方程(1+a )x=a 2+a -1无实数解. 由于x=a 不是方程(1+a )x=a 2+a -1的解，所以对于任意x ∈R ，方程(1+a )x=a 2+a -1无实数解，∴ a = -1即为所求a 的值. ……………………………………14分12、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈； （Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥ 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a + 均为正数时，12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ ． 解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分 当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a = (4)分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分 （Ⅲ）证明:要证：12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ 只要证：112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++ …………………7分 则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++令'()0g x =得12ka a a x k+++=…………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++ 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=故12()[0,]k a a a g x k +++ 在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞ 在递增所以12()k a a a x g x k +++= 当时，的最小值为12()ka a a g k+++ ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n nk k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++=1121212(1)[()()(1)()]n n n n nn n k k k nk k a a a a a a k a a a k-++++++++-++++ =11212(1)[()()]n n n n n nk k nk k a a a k a a a k -++++-+++ =1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k---++++-+++ 由定理知: 11212()()0n n n nn k k k a a a a a a -+++-+++≥ 故12()0k a a a g k+++≥1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥故112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++即:12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ .…………………………..14分 13、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证：(Ⅰ) ∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2．由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴ 2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)，∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－12.∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝14a m ，∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列.(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列.设数列{a n }的公比为q ，∵a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2．由题设，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，A ≠0，∴S m ， S m ＋2， S m ＋1不成等差数列.逆命题为假.14、已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。

2010高考数学萃取精华30套（23）1. 西工大附中三模19．(12分) 在数列{}n a 中，已知),3,2,1(12,111 =+-=-=+n n a a a n n . (1)证明数列{}n a n -是等比数列；(2) n nnn S a b ,2=令为数列{}n b 的前n 项和，求n S 的表达式.19．解：（1）解: ∵ 121+-=+n a a n n , ∴)(2)1(1n a n a n n -=+-+,∴ 2)1(1=-+-+na n a n n , 又211-=-a ,∴ 数列{}n a n -是以2为公比、以-2为首项的等比数列.…………… 6分(2)由(1)得: n n n n a 22)2(1-=⋅-=--， ∴ n n n a 2-=，122-==nn nn n a b , ∴++-+-=+++= )122()121(221n n b b b S n nn n n -+++=-)22221()12(2 ,令n n n T 223222132++++= , 则132221222121++-+++=n n n nn T ,两式相减得: 1132221122121212121++--=-++++=n n n n n nn T∴ nn n T 222+-=, 即n n S n n -+-=222. ………………………12分20. (13分)已知函数()2ln bx x a x f -=图象上一点P （2，(2)f ）处的切线方程为22ln 23++-=x y ．（1）求b a ,的值；（2）若方程()0=+m x f 在1[,e]e内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底）.20. 解(1）()2a f x bx x '=-，()242af b '=-，()2ln 24f a b =-． ∴432ab -=-，且ln 2462ln 22a b -=-++． …………………… 2分 解得a ＝2，b ＝1． …………………… 4分 （2）()22ln f x x x =-，令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+，则()222(1)2x h x x x x -'=-=，令()0h x '=，得x ＝1（x ＝－1舍去）．在1[,e]e内，当x ∈1[,1)e 时，()0h x '>，∴h (x )是增函数；当x ∈(1,e]时，()0h x '<，∴h (x )是减函数． …………………… 7分则方程()0h x =在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤ ……10分 即21e 2m <-≤． 13分21．(14分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率e =.直线l :220x y -+=与椭圆C 相交于E F 、两点,且EF =求椭圆C 的方程；(2)点P (2-，0)，A 、B为椭圆C 上的动点,当PA PB ⊥时,求证:直线AB 恒过一个定点.并求出该定点的坐标.21．解：(1)设椭圆方程为12222=+by a x (a>b>0)，11(,)E x y 22(,)F x yc e a ==令2,a t c == 则b t = 222214x y t t ∴+=…………２分 由22244220x y t x y ⎧+=⎨-+=⎩得:222210y y t -+-= ……………………………… 4分 2442(1)0t ∆=-⨯-> 212t ∴>12EF y =-== 21t ∴=椭圆C 的方程是:2214x y += …………………………………… 7分 (2) 当直线AB 不垂直于x 轴时,设AB ：y kx m =+ 11(,)A x y 22(,)B x y22244x y t y kx m⎧+=⎨=+⎩得222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 1222121212(2)(2)(1)(2)()4PA PB x x y y k x x km x x m =+++=++++++=222224(1)8(1)(2)401414m kmk km m k k--+++++=++ …………………… 10分 22125160k m km ∴+-= (65)(2)0k m k m --=625m k m k ∴==或当65m k =时，6:5AB y kx k =+恒过定点6(,0)5-当2m k =时，:2AB y kx k =+恒过定点(2,0)-，不符合题意舍去 … 12分当直线AB 垂直于x 轴时，若直线AB ：65x =- 则AB 与椭圆Ｃ相交于64(,)55A --，64(,)55B - 24444444(,)(,)()()()05555555PA PB ∴=-=+-=PA PB ⊥，满足题意综上可知，直线AB 恒过定点，且定点坐标为6(,0)5- ……………… 14分2. 濮阳市二模20．（本小题满分12分）已知椭圆的一个顶点为A （0，－1），焦点在x 轴上．若右焦点到直线x －y ＋0 的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y ＝kx ＋m （k ≠0）相交于不同的两点M 、N ．当｜AM ｜＝｜AN ｜时，求m 的取值范围．21．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝12ax 2＋bx （a ≠0） （1）若a ＝－2时，函数h （x ）＝f （x ）－g （x ），在其定义域上是增函数，求b 的取值范围； （2）在（1）的结论下，设函数ϕ（x ）＝2xe ＋b xe ，x ∈[0，ln2]，求函数ϕ（x ）的最小值；（3）设函数f （x ）的图象C 1与函数g （x ）的图象C 2交于P 、Q ，过线段PQ 的中点R作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与 C 2在N 处的切线平行?若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由。

2010高考数学萃取精华30套（1）1．重庆一模21．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由。

21．（12分）解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴=-'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）22．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上。