函数也可以如此美丽-Julia集的分形艺术

分形与分形艺术我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。

基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。

分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。

一、分形几何与分形艺术什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。

什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。

这些例子在我们的身边到处可见。

分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。

“分形” 一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。

Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。

Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。

如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。

图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。

当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。

这正如前面提到的“蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。

微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。

分形全纯复流形超弦图示分形微分几何学超弦理论第一部分无限分形螺旋闭合环上全纯复流形的表达附件04-02复联络线性化表示的伪正交.jpg(52.77 KB)05-120ricci_flow.jpg(57.47 KB)2#分形几何是现代概念的古老话题分形和分形几何是现代概念的古老话题：从十进制阿拉伯数学的表达，到家天下的思维，从科学到艺术，分形实际上与人类文明早就交织在一起，但作为一门几何及数学解析的学科，分形几何学是20世纪60、70年代之后逐步发展壮大起来的，分形不仅是几何更是工业及现代通讯的技术要素。

将分形思维用于超弦理论的构建是我2004年发现分形螺旋闭合环及其后发现上面有全纯复流形结构的事情，在分形几何特例、微分几何学流形解析、复流形分形的基础上，我们建立分形微分几何学。

3#分形：分形是一类自然现象，在不同标度（尺度）上，结构的自相似，或在同一尺度上分支结构的自相似；另外是一种结构拓展程序的自相似，这就包括线性拓展相似和复迭代相似，线性拓展如六角或三角形雪花拓展Koch 结构，复迭代的如Julia sets 和Mandelbrot sets，动物的组织器官，植物的枝干叶面，森林系统植物群落的分布，社会结构中人才的分布，都可能是服从分形结构的。

实际上研究分形常常与三类结构有关：自相似结构，迭代系统和孤立子系统。

其中迭代系统包括混沌系统的初始条件迭代，而几何性复迭代其迭代逻辑中有结构的自相似。

4#分形：美妙、自然、神秘Mandelbrot分形解析中有一个分数维度的论述，在这里我们给予一次解析理论的变革：将分形的层阶定义为维度，将分形的结构定义为函数这样我们最终会在微分几何学和复结构维度逻辑中解析理论的维度和函数相互融合。

5#对Mandelbrot的维度计算方式变革，主要在于那种分数维度所能反映的分形结构的信息模糊，没有真正抓住分形特征的结构层次性规范，同时如果离开了分形结构的函数，分形的结构意义不明确，我们将分形阶维度和分形结构函数确定了，那事物的分形也就像坐标系中的函数确定了。

Julia集的分形特征及可视化分形是一种数学概念，指在自相似的基础上具有无限细节的形态。

而Julia集则是分形中的一种形式，以其美丽而复杂的图形而著称。

本文将介绍Julia集的分形特征以及如何进行可视化。

1. Julia集的定义和数学原理Julia集是由法国数学家Gaston Julia于20世纪初提出的，它属于复变函数的一种特殊表现形式。

对于复变函数f(z) = z^2 + c，其中z是复平面上的数值，c是一个常数。

Julia集就是将平面上的每个点代入该函数后，根据函数的迭代公式进行迭代。

如果点在迭代过程中趋于无穷大，则该点不属于Julia集；如果点在迭代过程中保持有限，则该点属于Julia集。

2. Julia集的分形特征Julia集的分形特征主要体现在其图形形态上。

对于不同的常数c，Julia集呈现出各种各样的形状，常常具有分支、层次分明的特点。

具体来说，Julia集的边界是由无数个自相似的小部分组成的，即边界上的任意一小段都可能与整个边界相似。

这种无限细节的结构使得Julia 集的形态异常复杂，充满了美感。

3. Julia集的可视化方法为了更好地理解和欣赏Julia集的分形特征，我们可以通过可视化方法将其呈现出来。

以下是两种常用的Julia集可视化方法：a. 色彩填充法：通过对Julia集中的每个点进行迭代计算，根据迭代的结果来为每个点上色。

根据迭代的次数，可以确定每个点的颜色深浅，从而呈现出Julia集图像的细节。

同时可以通过调整常数c的值来观察Julia集形态的变化。

b. 迭代绘制法：从画布的左上角开始，按照一定的步长遍历整个画布，对每个点进行迭代计算并绘制。

通过较小的步长和足够的迭代次数，可以绘制出更加精细的Julia集图像。

同时可以通过调整常数c的值来观察Julia集形态的变化。

4. Julia集的应用领域Julia集作为一种迷人的分形形式，已经在多个领域得到了广泛的应用和研究。

其中，数学、物理、计算机图形学等领域是主要的应用领域。

分形的图像及应用吕克林【摘要】本文首先阐述了分形的基本概念，并具体介绍了一些典型的分形曲线和分形集，加深读者对分形的理解。

重点描述如何生成分形的计算机图像，以及分形主要的应用领域，强调计算机科学与其他学科之间的紧密联系。

【期刊名称】《创新科技》【年(卷),期】2014(000)024【总页数】3页(P94-96)【关键词】分形;自相似;迭代;Mandelbrot【作者】吕克林【作者单位】河南省科学技术信息研究院，河南郑州 450003【正文语种】中文【中图分类】TP391.4随着计算机图形学的发展，最近几年，分形作为一种艺术形式已经相当流行。

对分形有一个基本的了解，能提高人们的鉴赏力，帮助人们更好地体会分形艺术的美。

分形作为一门刚刚诞生的学科，正在许多领域开展应用和探索。

很多传统的科学难题，都由于分形的引入取得了显著的进展。

1.1 分形的出现。

中国的海岸线有多长？很明显，这取决于测量所用的标度单位。

若以公里为标尺，会遗漏大量的细节，标尺越小，测出的海岸线就越长。

随着计算机的迅速发展，人们在讨论和处理一系列问题的时候，逐渐感到无法描述一些自然界普遍存在的对象，如海岸线，树木，岩石，云团，闪电等等。

同样对于星系分布，凝聚生长，湍流等复杂现象，也需要一门新的学科来描述。

1973年，B.B.Mandelbrot在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。

Fractal一词由他所创，其原意具有不规则，支离破碎等意义。

分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的学科，也被称为大自然的几何学。

1.2 自相似性。

自相似性是指部分与整体具有相似的性质。

在自然界中，具有自相似性的客观对象是非常多的。

除了山形的起伏，河流的弯曲，树木的分枝结构外，生物体内也有许多例子，如血管或气管的分岔，神经网络等。

抽象的自相似例子就更多了，例如数列0112122312232334…，这是一个去掉奇数项后，仍然得到自身的数列。

下文中将提到的Cantor集是一个更好，更有故事的例子。

分形几何与分形艺术 Revised as of 23 November 2020分形几何与分形艺术作者：我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。

基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。

分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。

一、分形几何与分形艺术什么是分形几何通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。

什么是自相似呢例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。

这些例子在我们的身边到处可见。

分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。

"分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。

Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。

Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。

如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。

图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。

当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。

这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。

神奇的分形艺术（二）：一条连续的曲线可以填满整个平面虽然有些东西似乎是显然的，但一个完整的定义仍然很有必要。

比如，大多数人并不知道函数的连续性是怎么定义的，虽然大家一直在用。

有人可能会说，函数是不是连续的一看就知道了嘛，需要定义么。

事实上，如果没有严格的定义，你很难把下面两个问题说清楚。

你知道吗，除了常函数之外还存在其它没有最小正周期的周期函数。

考虑一个这样的函数：它的定义域为全体实数，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0。

显然，任何有理数都是这个函数的一个周期，因为一个有理数加有理数还是有理数，而一个无理数加有理数仍然是无理数。

因此，该函数的最小正周期可以任意小。

如果非要画出它的图象，大致看上去就是两根直线。

请问这个函数是连续函数吗？如果把这个函数改一下，当x为无理数时f(x)=0，当x为有理数时f(x)=x，那新的函数是连续函数吗？Cauchy定义专门用来解决这一类问题，它严格地定义了函数的连续性。

Cauchy定义是说，函数f在x=c处连续当且仅当对于一个任意小的正数ε，你总能找到一个正数δ使得对于定义域上的所有满足c-δ< x <c+δ的x都有f(c)-ε<f(x)<f(c)+ε。

直观地说，如果函数上有一点P，对于任意小的ε，P点左右一定范围内的点与P的纵坐标之差均小于ε，那么函数在P点处连续。

这样就保证了P点两旁的点与P无限接近，也就是我们常说的“连续”。

这又被称作为Epsilon-Delta定义，可以写成“ε-δ定义”。

有了Cauchy定义，回过头来看前面的问题，我们可以推出：第一个函数在任何一点都不连续，因为当ε< 1时，δ范围内总存在至少一个点跳出了ε的范围；第二个函数只在x=0处是连续的，因为此时不管ε是多少，只需要δ比ε小一点就可以满足ε-δ定义了。

在拓扑学中，也有类似于ε-δ的连续性定义。

假如一个函数f(t)对应空间中的点，对于任意小的正数ε，总能找到一个δ使得定义域(t-δ,t+δ)对应的所有点与f(t)的距离都不超过ε，那么我们就说f(t)所对应的曲线在点f(t)处连续。

分形艺术之朱利亚集合在服装上的应用作者：严密来源：《戏剧之家》2017年第23期【摘要】分形把数学方程式的抽象转化为可见、易懂的艺术图画。

将枯燥的数学与艺术进行了完美融合。

近年来越来越多的领域都在利用分形艺术进行设计，本文从分形艺术的朱丽亚集合为切入点，探索其在服装上的应用。

【关键词】分形；朱丽亚集合；自相似性；细节中图分类号：TS941.2 文献标志码：A 文章编号：1007-0125（2017）23-0096-01一、朱利亚集合分形的生成朱丽亚集合是以法国数学家加斯顿·朱利亚命名的数学概念。

朱利亚集合的数学定义非常简单，但它生成的图像复杂得令人不可思议，其中蕴含了丰富而深邃的数学原理。

朱利亚集合的图像是一种分形图形。

它的一个关键特点是，无论将图像放大多少倍，总能呈现出无穷无尽的丰富细节。

分形图形的另一个特点是“自相似性”。

图形的每一个微小局部，都和整个图形的样子相似。

公式中的Z是变量，C是常量。

不同的C对应生成不同的图像：Zn+1=Zn2+C。

朱利亚集合的公式用到了“复数”的概念，Z和C都是复数。

复数由“实部”和“虚部”两部分组成。

可将复数看作二维平面上的点（x，y）：横坐标x是实部，纵坐标y是虚部。

即一个复数就是一个坐标（x，y）而已。

随意在坐标系上选择一个点，例如（0.6，0.5）这个复数。

现在将它作为初始值Z1带入到朱利亚集合的公式中，为了便于观察，暂时将公式中的常量C设为-0.5。

经过公式计算，得到一个新的复数Z2（-0.4，0.6）。

显然，这时坐标值发生了改变。

朱利亚集合的公式是个迭代公式，即每次计算的结果需再次代入公式计算，并不断重复此过程。

也就是说，由Z1计算得到Z2，由Z2计算得到Z3，等等。

多次迭代后Z值的变化趋势：Z1（0.6，0.5）；Z2（-0.4，0.6）；Z3（-0.7，0.5）；Z4（-0.2，0.7）；Z5（-0.9，0.3）；Z6（0.2，0.5）；Z7（-0.7，0.2）；Z8（0.0，0.3）；Z9（-0.6，0.0）；Z10（-0.1，0.0）。

神奇又美丽的函数
函数世界中存在着许多神奇而美丽的函数，它们具有独特的性质和令人惊叹的图像。

以下是几个例子：
1. Mandelbrot集合：Mandelbrot集合是一个复变函数的图像，其定义是通过迭代计算来确定每个复数是否属于集合。

它的图像展现出复杂而美丽的分形结构，具有无限细节和自相似性。

2. Sine函数：正弦函数是最基本和广为人知的函数之一。

它以平滑的波形展现出周期性的特征。

正弦函数在物理、工程和计算机图形学等领域中广泛应用，能够描述周期性振动和波动的行为。

3. Fibonacci数列：Fibonacci数列是一种数学序列，其每个数都是前两个数之和。

这个数列展现出令人惊叹的数学规律和比例美感，被广泛应用于自然界、艺术和设计领域。

4. Logistic映射：Logistic映射是一种简单的非线性映射函数，其图像表现出复杂的混沌行为。

在参数范围内，它可以产生非常多样和随机的图案，展示出混沌系统的美学魅力。

5. Julia集合：Julia集合是复变函数与参数结合的图像，类似于Mandelbrot集合。

它通过迭代计算来确定复数参数的每个值是否属于集合，其图像呈现出丰富的几何形态和复杂的分形结构。

这些函数展示了数学的奇妙之处，具有艺术性、美学性和科学性的结合。

它们的图像启发人们探索数学和自然之间的联系，并在艺术、科学和计算机图形学等领域中产生了广泛的应用和研究。

经典的分形算法小宇宙2012-08-11 17:46:33小宇宙被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。

它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。

它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。

分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。

1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。

1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。

1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。

这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。

1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。

1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。

1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。

1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。

以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。

真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。

、分形理论1.1、引言欧氏几何、三角学、微积分学使我们能够用直线、圆、抛物线等其他简单曲线来建立现实世界中的形状模型。

比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空等，它们所描述的几何对象是规则和光滑的。

而在自然界中存在着大量的复杂事物：变幻莫测的云彩、雄浑壮阔的地貌、回转曲折的海岸线、动物的神经网络、不断分叉的树枝、纵横交流的血管烧结过程中形成的各种尺寸的聚积团等等。

面对这些事物和现象，传统科学显得束手无策。

因为目前还没有哪一种几何学能更好地描述自然形态，象山、云、火这类的自然形态尚缺少必要的数学模型。

近30 年来，科学家们朦胧地“感觉” 到了另一个几何世界，即关于自然形态的几何学，或者说分形几何学。

这种几何学把自然形态看作是具有无限嵌套层次的逻辑结构，并且在不同尺度之下保持某种相似的属性，例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。

这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。

于是在变换与迭代的过程中得到描述自然形态的有效方法(其中L系统和IFS方法便是典型的代表)。

分形理论是非线性科学的一个重要分支，主要研究的就是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的具有自相似性且没有特征长度的形状和现象。

1.2、分形理论的起源与发展1967年美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。

海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。

我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体态的相似。

在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的 1 00公里长的海岸线与放大了的10 公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。

Ｊｕｌｉａ分形Julia FractalsXING Yan1,HONG Pei-lin2(1.School of Science,Hefei Univesity of Technology,Hefei 230009,China;2.The 38th Research Institute of CETC,Hefei 230009,China):In recent years fractal theory and its construction methods have been attracting much attention. Julia sets are one of the most famous types of fractals using the nonlinear complex mapping f(z)=zm+c as the iteration function. The escape time algorithm is the familiar method of creating Julia sets. This paper first gives the steps of the escape time algorithm, then shows the experiment results of Julia sets for different parameters m and c . From the graphic examples, some features of the usual quadratic Julia sets (m=2) and generalized high-order Julia sets (m>2) are given.1 引言分形几何是研究和描述复杂曲线和图案的一种强有力的工具。

近年来，分形技术受到广泛重视，在数学、物理、化学、生物及计算机科学各领域都展开了分形理论、技术和应用的研究。

神奇的分形艺术神奇的分形艺术（一）：无限长的曲线可能围住一块有限的面积Brain Storm | 2007-07-05 9:45| 21 Comments | 本文内容遵从CC版权协议转载请注明出自很多东西都是吹神了的，其中麦田圈之谜相当引人注目。

上个世纪里人们时不时能听见某个农民早晨醒了到麦田地一看立马吓得屁滚尿流的故事。

上面这幅图就是97年在英国Silbury山上发现的麦田圈，看上去大致上是一个雪花形状。

你或许会觉得这个图形很好看。

看了下面的文字后，你会发现这个图形远远不是“好看”可以概括的，它的背后还有很多东西。

在说明什么是分形艺术前，我们先按照下面的方法构造一个图形。

看下图，首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。

这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。

用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换为等边三角形的两边，得到了16条更小的线段。

然后继续对16条线段进行相同的操作，并无限地迭代下去。

下图是这个图形前五次迭代的过程，可以看到这样的分辨率下已经不能显示出第五次迭代后图形的所有细节了。

这样的图形可以用Logo语言很轻松地画出来。

你可能注意到一个有趣的事实：整个线条的长度每一次都变成了原来的4/3。

如果最初的线段长为一个单位，那么第一次操作后总长度变成了4/3，第二次操作后总长增加到16/9，第n次操作后长度为(4/3)^n。

毫无疑问，操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长。

难以置信的是这条无限长的曲线却“始终只有那么大”。

当把三条这样的曲线头尾相接组成一个封闭图形时，有趣的事情发生了。

这个雪花一样的图形有着无限长的边界，但是它的总面积却是有限的。

换句话说，无限长的曲线围住了一块有限的面积。

有人可能会问为什么面积是有限的。

虽然从上面的图上看结论很显然，但这里我们还是要给出一个简单的证明。

三条曲线中每一条的第n次迭代前有4^(n-1)个长为(1/3)^(n-1)的线段，迭代后多出的面积为4^(n-1)个边长为(1/3)^n的等边三角形。

分形图形中茹利亚集（2013-7-17）牛顿分形：在区域[ –2，2]2内确定40000个规则点（初值点），横坐标为实部，纵坐标为虚部，构造40000个复数。

分别以这些复数做迭代初始值，用牛顿迭代法求解方程：。

将收敛到三个根的初值点分别做三种色，称为牛顿分形图；将不收敛的初值点的集合称为Julia 集。

013=−z图1牛顿迭代法收敛域 图2 牛顿迭代法不收敛域在计算过程中使用向量化编程，将这40000个复数做为200阶的复方阵进行数据块迭代。

MATLAB 程序如下(文件名:newtonlab3)r1=1;r2=-(1+i*sqrt(3))/2;r3=conj(r2); %给出方程z 3– 1 = 0的三个根t=linspace(-2,2,200);[x,y]=meshgrid(t); %确定40000个网格点坐标Z=x+i*y;A0=ones(size(x)); %设置迭代初值及不收敛域矩阵A1=zeros(size(x));A2=A1;A3=A1; %设置收敛域矩阵for n=1:8Z=Z-(Z.^3-1)./(3*Z.^2+eps); %实现牛顿迭代endII=find(abs(Z-r1)<=.05);A1(II)=ones(size(Z(II))); %给第一收敛域矩阵赋值 II=find(abs(Z-r2)<=.05);A2(II)=ones(size(Z(II))); %给第二收敛域矩阵赋值 II=find(abs(Z-r3)<=.05);A3(II)=ones(size(Z(II))); %给第三收敛域矩阵赋值 A0=A0-A1-A2-A3;A=A0+2*A1+3*A2+4*A3; %给不收敛域矩阵赋值 figure(1),pcolor(x,y,A0),shading interp %绘Julia 图figure(2),pcolor(x,y,A),shading interp %绘收敛域图另两个图形是与混沌相关的分形图，一是Julia 图，二是Mandelbrot 图图3 Julia 图 图4 Mandelbrot 图 Julia 图的出现是为了研究计算格式的迭代行为，其中，。