北师大版数学高一(北师大)必修3学案 互斥事件

课题：互斥事件(第1课时)
【教学目标】
1．知识与技能：
理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用范围和具体运算法则解决简单的概率问题.
2．过程与方法：
通过引导学生判断互斥事件和对立事件的两个概念的联系和区别，提高分析问题的能力；通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和利用数学知识解决实际问题的能力.
3．情感态度价值观：
通过本节的学习，进一步培养学生用随机的观点认识世界，体会数学在实际生活中的广泛应用，激发学习的兴趣.
【教学重点】
互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的概率计算公式.
【教学难点】
互斥事件和对立事件的联系与区别.
【教学方法】
探究发现式.
【教学手段】
学生导学案，多媒体课件.
【教学过程】
敬业、协作、启智、进取
2
敬业、协作、启智、进取
4
高中数学必修三导学案
敬业、协作、启智、进取
6。

2．3互斥事件预习课本P138～146，思考并完成以下问题(1)互斥事件的定义是什么？(2)对立事件的定义是什么？(3)互斥事件与对立事件有什么区别和联系？(4)互斥事件的概率加法公式是什么？[新知初探]1．互斥事件(1)定义：在一个试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．(2)规定：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．(3)公式：在一次随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(4)公式的推广：如果随机事件A1，A2，…，A n中任意两个是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．[点睛](1)如果事件A与B是互斥事件，那么A与B两事件同时发生的概率为0.(2)从集合的角度看，记事件A所含结果组成的集合为集合A，事件B所含结果组成的集合为集合B，事件A与事件B互斥，则集合A与集合B的交集是空集，如图所示．2．对立事件(1)定义：在一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A 与B 称作对立事件，事件A 的对立事件记为A －.(2)性质：P (A )＋P (A －)＝1，即P (A )＝1－P (A －)．[点睛] 两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件；两个事件为互斥事件，它们未必是对立事件．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对立事件一定是互斥事件．( )(2)A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．( )(3)若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.( )(4)事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．两次都不中靶D ．只有一次中靶解析：选C 连续射击两次的结果有四种：①两次都中靶；②两次都不中靶；③第一次中靶，第二次没有中靶；④第一次没有中靶，第二次中靶．“至少有一次中靶”包含①③④三种结果，因此互斥事件是②.3．抽查10件产品，记事件A 为“至少有2件次品”，则A 的对立事件为( )A ．至多有2件次品B ．至多有1件次品C ．至多有2件正品D ．至少有2件正品解析：选B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．4．甲乙两人下围棋比赛，已知比赛中甲获胜的概率为0.45，两人平局的概率为0.1，则甲输的概率为________．解析：记事件A ＝“甲胜乙”，B ＝“甲、乙战平”，C ＝“甲不输”，则C ＝A ＋B ，而A ，B 是互斥事件，故P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.55.由于甲输与不输为对立事件，故甲输的概率为：1－P (C )＝1－0.55＝0.45.答案：0.45互斥事件和对立事件的判断[典例]B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.[解](1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E 是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．[活学活用]某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生；(4)至少1名男生与至少1名女生．解：从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果；两男或两女或一男一女．(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件.[典例]0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中8环以下的概率．[解]“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”是彼此互斥的，可运用互斥事件的概率加法公式求解．记“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)法一：P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7环的概率为0.87.法二：事件“至少射中7环”的对立事件是“射中7环以下”，其概率为0.13，则至少射中7环的概率为1－0.13＝0.87.(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中8环以下的概率为0.29.运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤(1)确定各事件彼此互斥；(2)求各事件分别发生的概率，再求其和．值得注意的是：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．[活学活用]在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；(2)小明考试及格．解：分别记小明的成绩在“90分及90分以上”，在“80～89分”，在“70～79分”，在“60～69分”为事件B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.互斥、对立事件与古典概型的综合应用[典例中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．[解]记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，法一：由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为 P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34. (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512＋412＋212＝1112. 法二：(1)故取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1＋A 2的对立事件为A 3＋A 4.所以取得1球为红球或黑球的概率为P (A 1＋A 2)＝1－P (A 3＋A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－212－112＝912＝34. (2)A 1＋A 2＋A 3的对立事件为A 4，所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．[活学活用]某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A ，B ，C .由图知3支球队共有球员20名．则P (A )＝520，P (B )＝320，P (C )＝420. (1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D .则D ＝A ＋B ＋C ，∵事件A ，B ，C 两两互斥，∴P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝520＋320＋420＝35. (2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E ，则E 为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，∴P (E )＝1－P (E )＝1－220＝910.[层级一 学业水平达标]1．许洋说：“本周我至少做完三套练习题．”设许洋所说的事件为A ，则A 的对立事件为( )A ．至多做完三套练习题B ．至多做完二套练习题C ．至多做完四套练习题D ．至少做完三套练习题解析：选B 至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题．2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．以上说法都不对解析：选B 因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.910解析：选D 记3个红球分别为a 1，a 2，a 3,2个白球分别为b 1，b 2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的基本事件有(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10个．由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用A 表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件A 表示“所取的3个球中没有白球”，则事件A 包含的基本事件有1个：(a 1，a 2，a 3)，所以P (A )＝110.故P (A )＝1－P (A )＝1－110＝910. 4．事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A )＝________. 解析：因为事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，所以P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又因为P (A )＝2P (B )，所以P (A )＋12P (A )＝35， 所以P (A )＝25. 答案：25[层级二 应试能力达标]1．若P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1，则事件A 与B 的关系是( )A ．互斥不对立B ．对立不互斥C ．互斥且对立D ．以上说法都不对答案：C2．若事件A 和B 是互斥事件，且P (A )＝0.1，则P (B )的取值范围是( )A ．[0,0.9]B ．[0.1,0.9]C ．(0,0.9]D ．[0,1] 解析：选A 由于事件A 和B 是互斥事件，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.1＋P (B )，又0≤P (A ∪B )≤1，所以0≤0.1＋P (B )≤1，又P (B )≥0，所以0≤P (B )≤0.9，故选A.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 表示“向上的点数是奇数”，事件B 表示“向上的点数不超过3”，则P (A ＋B )＝( )A.12B.23C.56 D ．1解析：选B A 包含向上点数是1,3,5的情况，B 包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A ＋B 包含了向上点数是1,2,3,5的情况．故P (A ＋B )＝46＝23. 4．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )A.710B.35C.45D.110解析：选B 这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的基本事件数是18个，而基本事件共有30个，所以所求的概率为1830＝35. 5．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则“出现奇数点或2点”的概率为________． 解析：“出现奇数点”的概率为P (A )，“出现2点”的概率为P (B )，且事件A 与B 互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23. 答案：236．某一时期内，一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下：．解析：法一：记“最高水位在[8,10)内”为事件A 1，记“最高水位在[10,12)内”为事件A 2，记“最高水位不超过12 m ”为事件A 3，由题意知，事件A 1，A 2彼此互斥，而事件A 3包含基本事件A 1，A 2，所以P (A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.2＋0.3＝0.5.法二：记“最高水位在[12,14)内”为事件B 1，记“最高水位不超过12 m ”为事件B 2，由题意知，事件B 1和B 2互为对立事件，所以P (B 2)＝1－P (B 1)＝1－0.5＝0.5.答案：0.57．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.那么，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________． 解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ＋B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即“任意取出2粒恰好是同一色”的概率为1735. 答案：17358．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件．则(1)P (D )＝110. (2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.9．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解：(1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，12 (1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．∴P(A)＝327＝19.即“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件B包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．∴P(B)＝1－P(B)＝1－327＝8 9.即“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.。

第4课时互斥事件1.了解事件间的相互关系,理解互斥事件、对立事件的概念.2.通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式.3.会用概率的加法公式求某些事件的概率.重点:互斥事件的概念及其概率的加法公式,在此基础上讨论对立事件,以及用古典概型解决实际应用问题.难点:互斥事件和对立事件的区别与联系.老师把一枚骰子抛掷后,看了下点数,然后盖住,叫四个同学猜,甲说是3点,乙说点数是奇数,丙说不超过3点,丁说点数是偶数,老师听后微笑地说,有三人猜对了.问题1:甲和丁的猜测、乙和丁的猜测是不可能同时发生的,若丁猜对了,则甲、乙都猜错了,与老师的说法矛盾,所以只能是丁猜错了,其他三人都猜对了,故点数为3.问题2:(1)在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A和B称作互斥事件.(2)A+B事件:A+B事件发生是指事件A和事件B至少有一个发生.若事件A和事件B是互斥事件,则P(A+B)=.(3)不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件.事件A的对立事件记作,可以得出两事件的概率关系为P()=1-P(A).问题3:互斥事件与对立事件有何关系?如何从集合的角度理解对立事件与互斥事件?对立事件是特殊的互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.对立事件只有两个,互斥事件可能有多个,如在一次试验中A1,A2,…,A n事件只有1个发生,则A1,A2,…,A n互斥.从集合的角度来看,事件A、B互斥是指事件A所含的结果组成的集合与事件B所含的结果组成的集合的交集为空集;事件A与B对立,是指事件B所含的结果组成的集合,是全集I中由事件A所含的结果组成的集合的补集,即A∩B=⌀,且A∪B=I.如图,A、B互斥,A∩B=⌀,即P(A∩B)=0.A、B对立,A∩B=⌀,且A∪B=I,即P(A∩B)=0且P(A∪B)=P(A+B)=1.问题4:如果A1,A2,…,A n两两互斥,此时,A1,A2,…,A n的概率满足P(A1+A2+…+A n)=P(A)+P(A)+…+P(A n).奇怪的选举假定有张、王、李三个同学竞选学生会主席.民意测验表明,选举中有愿意选张不愿选王,有愿意选王不愿选李.是否是愿意选张而不愿选李的多?直观感觉的答案显然是肯定的.其实结果是:不一定!奇怪的选举使入迷惑的地方是我们以为“好恶”关系总是可以传递的,就像A>B,B>C,可以推出A>C那样.但事实上,“好恶”关系是不可以传递的.这个例子说明,在对两个以上事物作两两对比选择时,有可能产生矛盾.1.在一批产品中取出三件,设A表示“三件产品全不是次品”,B表示“三件产品全是次品”,C表示“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是().A.A与C互斥B.B与C互斥C.任两个均互斥D.任两个均不互斥【解析】A表示三件产品都是正品,B表示三件产品都是次品,C表示一件正品两件次品,两件正品一件次品和三件正品,即A与B互斥,B与C互斥,A与C不互斥.【答案】B2.某校派出甲、乙两支球队参加全市足球冠军赛,甲、乙两队夺冠的概率分别是和,则该校球队夺得全市足球冠军的概率为().A.B.C.D.【解析】由题目可知,两支球队夺冠为互斥事件,且P(甲夺冠)=,P(乙夺冠)=,故P=P(甲夺冠)+P(乙夺冠)=+=.【答案】D3.某射击运动员在一次射击命中9环的概率是0.23,命中8环的概率是0.20,不够8环的概率是0.30,则这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率是.【解析】P=1-0.30-0.20=0.50.【答案】0.504.在数学考试中,小明的成绩在[90,100]分的概率是0.18,在[80,90)分的概率是0.51,在[70,80)分的概率是0.15,在[60,70)分的概率是0.09,在[0,60)分的概率是0.07,计算:(1)小明的考试成绩在80分以下的概率;(2)小明的考试成绩在60分及60分以上的概率.【解析】分别记小明的考试成绩在[90,100]分、[80,90)分、[70,80)分、[60,70)分、[0,60)分为事件C、D、E、F、G,这五个事件彼此互斥.(1)小明的考试成绩在80分以下的事件记为A,则P(A)=P(E+F+G)=P(E)+P(F)+P(G)=0.15+0.09+0.07=0.31.(2)小明的考试成绩在60分及60分以上的事件记为B,则P(B)=P(C+D+E+F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.也可考虑用对立事件:P(B)=1-P()=1-0.07=0.93.互斥事件与对立事件的判断一个射手进行一次射击,记“命中的环数大于8”为事件A,“命中的环数大于5”为事件B,“命中的环数小于4”为事件C,“命中的环数小于6”为事件D.那么A、B、C、D中有多少对互斥事件?是否有对立事件?【方法指导】判断两个事件是不是互斥事件,就是考察它们能否同时发生.如果不能同时发生,则是互斥事件;反之则不是互斥事件.【解析】A与C,A与D,B与C是互斥事件,但不是对立事件.因为此三组中的任意两个事件都是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中一个一定发生,故二者不是对立事件.B与D既是互斥事件,又是对立事件.【小结】要判断两个事件是不是互斥事件、是不是对立事件,只需要找出各个事件包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,这样便可判断是否互斥,在互斥的前提下判断是否对立.A+B事件概率的计算(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率;(2)求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率.【方法指导】记这个地区的年降水量在[100,150)、[150,200)、[200,250)、[250,300)(mm)范围内分别为事件A、B、C、D.这四个事件是彼此互斥的,根据互斥事件的概率加法公式即可得出结果.【解析】(1)年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率是P(A+B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37.(2)年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率是P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55.【小结】注意互斥事件的概念,只有当A、B两事件互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B)才成立.互斥事件与对立事件概率的应用做投掷2颗骰子的试验,用(x,y)表示点P的坐标,其中x表示第1颗骰子出现的点数,y表示第2颗骰子出现的点数.(1)求点P在函数y=x的图像上的概率;(2)求点P不在函数y=x+1的图像上的概率;(3)求点P的坐标(x,y)满足16<x2+y2≤25的概率.【方法指导】投掷两颗骰子时,可能出现的点数的情况总数为36个,另外要注意点在函数图像或不在函数图像上的条件,对于否定性问题常利用对立条件求解.【解析】每颗骰子出现的点数都有6种情况,所以基本事件总数为36个.(1)记“点P在函数y=x的图像上”为事件A,则事件A有6个基本事件,即A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},∴P(A)==.(2)记“点P不在函数y=x+1的图像上”为事件B,则“点P在函数y=x+1图像上”为事件,其中事件有5个基本事件.即={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)},∴P(B)=1-P()=1-=.(3)记“点P坐标满足16<x2+y2≤25”为事件C,则事件C有7个基本事件.即C={(1,4),(2,4),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},∴P(C)=.【小结】在求解古典概型的概率时,如果事件包含的基本事件的个数较多,情况较为复杂,可考虑对事件进行适当的分类以求出基本事件数,分成若干彼此互斥的事件,这是分类讨论思想的运用;在讨论时应遵循不重不漏的原则,先根据问题的需要确定一个分类标准,然后按照这个标准把符合要求的各类情况一一列举出来,并分别进行求解.判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.(1)“抛一石块,下落”;(2)“某人射击一次,中靶”;(3)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;(4)“没有水分,种子能发芽”.【解析】根据定义,事件(1)是必然事件;事件(4)是不可能事件;事件(2)(3)是随机事件.由经验公式知,(1)求等候就餐人数为[4,16)的概率;(2)若等候就餐的人数大于或等于16,则应增加一个新窗口,请问增加新窗口的概率是多少?【解析】(1)记“等候就餐人数为[4,16)”为事件A,“等候就餐人数为[4,8)”为事件A1,“等候就餐人数为[8,12)”为事件A2,“等候就餐人数为[12,16)”为事件A3,则A=A1+A2+A3,且A1,A2,A3彼此互斥,所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.16+0.30+0.30=0.76.(2)要增加新窗口,则等候就餐的人数大于或等于16,包含两种情况:等候就餐的人数为[16,20)和[20,+∞),记“等候就餐的人数大于或等于16”为事件B,“等候就餐的人数为[16,20)”为事件B1,“等候就餐的人数为[20,+∞)”为事件B2,则B=B1+B2,且B1,B2互斥,P(B)=P(B1)+P(B2)=0.10+0.04=0.14.故增加新窗口的概率是0.14.某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:(1)该队员只属于一支球队的概率;(2)该队员最多属于两支球队的概率.【解析】(1)设“该队员中属于一支球队”为事件A,则事件A的概率P(A)==.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B,则事件B的概率P(B)=1-=.1.抛掷一枚骰子,向上的点数是1或2为事件A,向上的点数是2或3为事件B,则().A.A⊆BB.A=BC.A=D.A+B表示向上的点数是1或2或3【解析】可知A、B既不互斥,也不存在包含关系.【答案】D2.袋中有红、黄、白色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取3次,则下列事件概率为的是().A.颜色全相同B.颜色全不相同C.颜色不全相同D.颜色无红色【解析】有放回地抽取3次,共有27种不同的取法,而颜色全相同的情况有3种,颜色全相同的概率为,由对立事件可知,颜色不全相同的概率为1-=.【答案】C3.袋内装有大小相同的红球、白球和黑球各若干个,从中摸出一球,摸出红球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.6,则摸出白球的概率是.【解析】摸一球的结果包含了摸出红球、摸出黑球、摸出白球这三个互斥事件,这三个事件的概率之和为1,故摸出白球的概率为1-0.3-0.6=0.1.【答案】0.14.:计算:(1)派出医生至多2人的概率;(2)派出医生至少2人的概率.【解析】(1)P=0.3+0.16+0.1=0.56.(2)P=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.(2013年·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为().A.B. C. D.【解析】五人中选用三人,列举可得基本事件个数是10个,“甲或乙被录用”的对立事件是“甲乙都没有被录用”,即录用的是其余三人,只含有一个基本事件,故所求概率是1-=.。

2.3 互斥事件一、互斥事件1．互斥事件的定义在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．2．事件A与B至少有一个发生给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋A n表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件A n中至少有一个发生．3．互斥事件的概率加法公式一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生(即A1，A2，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．二、对立事件及其概率的求法公式1．定义在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A 与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为A.2．性质P(A)＋P(A)＝1，即P(A)＝1－P(A)．思考：(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？[提示] (1)因为1为奇数，所以A⊆B.(2)①看两个事件是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是．1．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是( )A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．不互斥、不对立C[必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．]2．从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论哪个是正确的( )A．A与C互斥B．B与C互斥C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥C[由题意可知，事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．]3．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A．① B．②④C．③ D．①③C[从1～9中任取两个数，有以下三种情况．(1)两个均为奇数，(2)两个均为偶数，(3)一个奇数和一个偶数，故③为对立事件．]4．从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1,0)的概率是________．0．2[设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B＝A＋C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.]对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生．[解] 从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果：两男或两女或一男一女．(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件但不是对立事件；(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生．若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．2．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．1．(1)抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A．A与B B．B与CC．A与D D．B与D(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则下列结论正确的序号为________．①A与B是互斥而非对立事件；②A与B是对立事件；③B与C是互斥而非对立事件；④B与C是对立事件．(3)从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．①至少有1个白球，都是白球；②至少有1个白球，至少有一个红球；③至少有1个白球，都是红球．[解] (1)C (2)④[(1)A与D互斥，但不对立．(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，所得到的基本事件有6种：得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点、得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点．事件A 包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为3点、得到的点数为5点， 事件B 包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点， 事件C 包含的结果有得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点，所以B 与C 是对立事件．故填④.](3)解：①不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件．②不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是互斥事件．③是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件．【例2】 袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512.(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率； (2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．[思路探究] 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．[解] (1)从袋中任取一球，记事件A 为“得到红球”，B 为“得到黑球”，C 为“得到黄球”，D 为“得到绿球”，则事件A ，B ，C ，D 两两互斥．由已知P (A )＝13，P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512， P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝512，∴P (B ＋C ＋D )＝1－P (A )＝1－13＝23.∵B 与C ＋D ，B ＋C 与D 也互斥，∴P (B )＝P (B ＋C ＋D )－P (C ＋D )＝23－512＝14，P (D )＝P (B ＋C ＋D )－P (B ＋C )＝23－512＝14，P (C )＝1－P (A ＋B ＋D )＝1－(P (A )＋P (B )＋P (D ))＝1－⎝⎛⎭⎪⎫13＋14＋14＝1－56＝16.故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14.(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球， ∴得到的球是红球或黄球，即事件A ＋C ， ∴P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )＝13＋16＝12，故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为12.1．解决本题的关键是明确取到不同颜色的球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式求解．2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也用上述规律．2．(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为( )A ．0.42B ．0.38C ．0.2D ．0.8(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．[解] (1)C [记分别摸一个球为红球、白球和黑球为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 为互斥事件，且A ＋B ＋C 为必然事件，由题意知P (A )＋P (B )＝0.58，P (A )＋P (C )＝0.62，P (A )＋P (B )＋P (C )＝1，解得P (A )＝0.2.](2)设A ，B ，C 分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D 表示军火库爆炸，已知P (A )＝0.2，P (B )＝0.12，P (C )＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A ，B ，C 是互斥事件，且D ＝A ＋B ＋C ，所以P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.1．若令A ＝“小明考试及格”，A ＝“小明考试不及格”，则事件A 与事件A 能不能同时发生，或者都不发生？为什么？提示：不可能同时发生，由于事件A 与A 是互斥事件，所以不可能同时发生，事件A 与A 也不可能都不发生，因为一次考试中，小明的成绩要么及格，要么不及格，二者必居其一，故A 与A 必有一个发生．2．将一枚质地均匀的骰子随机抛掷一次，观察骰子向上一面的点数．设U ＝“出现点数的全体”，A ＝“出现的点数是偶数”，B ＝“出现的点数是奇数”，则A ，U 是互斥事件吗？A ，B 是互斥事件吗？B ，U 是互斥事件吗？”提示：A ，U 不是互斥事件，A ，B 是互斥事件，B ，U 不是互斥事件．【例3】 一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．[思路探究] 先设出有关的互斥事件，然后把所求事件的概率转化为求某些互斥事件和的概率，另外也可考虑用古典概型以及对立事件来解决．[解] 法一：利用等可能事件求概率．(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9(种)不同取法，任取1球有12种取法．所以任取1球得红球或黑球的概率为P 1＝912＝34.(2)从12个球中任取一球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为P 2＝5＋4＋212＝1112.法二：利用互斥事件求概率．记事件A 1＝{任取1球为红球}；A 2＝{任取1球为黑球}；A 3＝{任取1球为白球}；A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得 (1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法三利用对立事件求概率的方法．(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝912＝34.(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率.3．据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：(2)求至少2人排队等候的概率．[解] 记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A，B，C，则A，B，C两两互斥．(1)至多2人排队等候的概率是P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74.1．互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立；对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3．求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.1．思考辨析(1)已知事件A 与事件B ，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． ( )(2)若三个事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.( ) (3)事件A 与事件B 互斥，则事件A 与B 互为对立事件．( ) (4)事件A 与事件B 若满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．( )[解析] (1)×，A 与B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． (2)×，P (A )＋P (B )＋P (C )的值不确定． (3)×，A 与B 不一定对立．(4)×，例如a ，b ，c ，d 四个球，选中每个球的概率相同，事件A 为选中a ，b 两个球，则P (A )＝12；事件B 为选中b ，c 两个球，则P (B )＝12，则P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，若“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为________．0．05 [“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件， 所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与抽到“一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.] 3．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为________． 1928[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.]4．在数学考试中，小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.(1)求小明在数学考试中，取得80分以上(含80分)成绩的概率；(2)求小明考试及格的概率(60分才及格)．[解] 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.。

学案必修三第三章第2节互斥事件（2）一、学习目标1、进一步理解互斥事件与对立事件的概念；2、会用枚举法与树状图计算一些随机事件所含的基本事件数；3、掌握较复杂事件概率的求法。

二、重点与难点重点：互斥事件与对立事件概率公式的进一步应用难点：复杂事件概率的求法三、课前预习1、设A、B为两个事件，当事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作；2、若A、B是互斥事件，那么P（A+B）= ；3、对立事件A与A必有一个发生，故A+A为①事件，从而P（A+A）= ②，又A与A互斥，所以有P（A+A）= ③，故P（A）+P（A）= ④，即P（A）=1- ⑤。

四、堂中互动教师点拔1：（1）O型血与B型血可以输给小明，其概率求为用这两种血型的人数之和比上总人数就可得出结果；（2）因为事件“血不能输给小明”与（1）中事件“血可以输给小明”是对立事件，其概率就可以利用对立事件的概率求法公式来求得。

例1、黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给 AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？点评：在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率，进而再求所求事件的概率。

教师点拔2：用枚举法算出所有的可能结果数，其中能打开锁的只有一种结果，设其概率为P（A），则不能打开锁的概率为1- P（A）。

例2、小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数密码由4个数字2，4，6，8按一定顺序构成。

小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随机地输入由2，4，6，8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少？点评：求概率时采用迂回的策略，不直接求有关事件的概率，转而求其对立事件的概率，从而达到求有关事件概率的目的，体现了数学中“正难则反”的数学思想。

2.3互斥事件学习目标 1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断.预习教材P138－146完成下列问题：知识点1集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A 空集空集是任何集合的子集∅⊆B集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}定义公式互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不可能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件(1)若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；(2)若A1，A2，…，A n中任意两个事件互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)发生是指事件A和事件B至少有一个发生.【预习评价】1.在同一试验中，设A，B是两个随机事件，若A∩B＝∅，则称A与B是两个对立事件，此说法对吗？提示不对，若A∩B＝∅，仅能说明A与B的关系是互斥的，只有A∪B为必然事件，A∩B为不可能事件时，A与B才互为对立事件.2.在同一试验中，对任意两个事件A，B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？提示不一定.只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立.知识点4概率的几个基本性质1.概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.2.互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，A＋B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A＋B的频率f n(A＋B)＝f n(A)＋f n(B)，则概率的加法公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B).3.对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝1－P(B).【预习评价】(正确的打√，错误的打×)(1)事件发生频率与概率是相同的()(2)随机事件和随机试验是一回事()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(6)两互斥事件的概率和为1()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×题型一事件的关系与判断【例1】判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.解(1)是互斥事件.理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.(2)不是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.(3)不是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.(4)是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生.规律方法如果A.B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A.B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交.【训练1】一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6.7.8.9.10环.解A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件(至少一个发生).题型二概率的加法公式【例2】从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A＝“抽到的是一等品”，事件B＝“抽到的是二等品”，事件C＝“抽到的是三等品”，且P(A)＝0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.05.求下列事件的概率：(1)事件D＝“抽到的是一等品或三等品”；(2)事件E＝“抽到的是二等品或三等品”.解(1)事件D即事件A＋C，因为事件A＝“抽到的是一等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，P(D)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.7＋0.05＝0.75.(2)事件E即事件B＋C，因为事件B＝“抽到的是二等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，P(E)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.1＋0.05＝0.15.规律方法在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.【训练2】在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.解分别记小明的成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的，根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.小明考试及格的概率为P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.【探究1】同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率.解方法一设“至少有一个5点或6点”为事件A，同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：12345 6 1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)所以P(A)＝2036＝5 9.方法二设“至少有一个5点或6点”为事件A，“至少有一个5点或6点”的对立事件是“既没有5点也没有6点”，记为A－.如上表，“既没有5点也没有6点”的结果共有16个，则“既没有5点也没有6点”的概率为P(A－)＝1636＝49.所以“至少有一个5点或6点”的概率为P(A)＝1－P(A－)＝1－49＝59.【探究2】玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)＝512，P(B)＝13，P(C)＝16，P(D)＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.解方法一(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝512＋13＝34.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝512＋13＋16＝1112.方法二(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A＋B的对立事件为C＋D，所以P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－P(C)－P(D)＝1－16－112＝34，即“取出1个球为红球或黑球”的概率为34.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A＋B ＋C 的对立事件为D ，所以P (A ＋B ＋C )＝1－P (D )＝1－112＝1112， 即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为1112.【探究3】 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A.B.C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A.B.C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.规律方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A－)求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法.课堂达标1.对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.不互斥、不对立解析必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立.答案 C2.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A.A⊆DB.B∩D＝∅C.A∪C＝DD.A∪C＝B∪D解析“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D.答案 D3.从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c }的子集的概率是34，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是________. 解析 该子集恰是{a ，b ，c }的子集的概率为P ＝1－34＝14. 答案 144.从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________.解析 设“x ∈(－∞，－1]”为事件A ，“x 是负数”为事件B ，“x ∈(－1,0)”为事件C ，由题意知，A ，C 为互斥事件，B ＝A ＋C ，∴P (B )＝P (A )＋P (C )，P (C )＝P (B )－P (A )＝0.5－0.3＝0.2. 答案 0.25.某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为________. 解析 因为抽到次品的概率为0.01，所以抽到正品的概率是1－0.01＝0.99. 答案 0.99课堂小结1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系.互斥未必对立，对立一定互斥.2.互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ).3.求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.。

2.3 互斥事件-北师大版必修3教案一、教学目标•了解互斥事件的概念，理解互斥事件之间的关系；•熟悉互斥事件的基本概率解题方法；•掌握常见的互斥事件的应用场景及计算方法。

二、教学内容及进度安排教学内容授课时间（分钟）互斥事件的概念10互斥事件之间的关系15互斥事件的基本概率解题方法30常见的互斥事件的应用场景及计算方法45三、教学重难点及教学方法重点•互斥事件的概念；•互斥事件之间的关系；•互斥事件的基本概率解题方法。

难点•常见的互斥事件的应用场景及计算方法。

教学方法•实例分析法：通过实际场景加深学生对于互斥事件的理解；•讨论法：促进学生间的高效互动和知识共享；•练习法：让学生通过大量的习题巩固所学知识。

四、教学过程第一步：引入讲师通过一个生动的例子，介绍互斥事件的概念及常见应用场景，激发学生学习兴趣。

第二步：讲授互斥事件的概念1.讲师介绍互斥事件的概念及相关定义和术语；2.讲师通过丰富的例子和练习题，帮助学生理解互斥事件的概念和特点。

第三步：讲解互斥事件之间的关系1.讲师讲解互不重叠事件和互斥事件之间的关系；2.讲师通过图示和实例，帮助学生更好的理解并记忆原则和公式。

第四步：讲解互斥事件的基本概率解题方法1.讲师讲解互斥事件的基本概率公式和解题步骤；2.讲师通过多个具体实例，帮助学生掌握互斥事件的概率计算方法及技巧。

第五步：讲解常见的互斥事件的应用场景及计算方法1.讲师介绍重要的互斥事件场景及计算方法；2.学生讨论互相学习经验，并共同总结。

第六步：练习1.学生独立完成教材中的练习题；2.学生互相检查并讲解思路和解题方法；3.讲师巡视问答，辅导学生。

第七步：总结讲师对教学内容进行总结，并鼓励学生对于以后的学习更加用心和努力。

五、教学评估与作业教学评估1.考试评估：以教材上的测试题为主；2.练习评估：以课后‘思考题’为主；3.作业评估：以互相修改教科书上的重难点题目为主。

作业针对性设计的习题（见教材），塑造生动的实例，让学生独立完成，夯实基础知识。

北师大版高中必修32.3互斥事件教学设计
一、教学目标
•理解互斥事件及其概率公式的基本概念；
•掌握互斥事件的概率计算方法；
•培养学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学重点和难点
教学重点
•互斥事件的基本概念；
•互斥事件的概率计算方法。

教学难点
•互斥事件的概率计算方法。

三、教学过程设计
第一步：引入
教师通过展示某个事件发生的概率，引出互斥事件的概率计算方法，激发学生的兴趣和好奇心。

第二步：讲解
•互斥事件的基本概念；
•互斥事件的概率计算方法。

第三步：概率计算方法的练习
将学生分成小组，在教师指导下进行互斥事件的概率计算方法的练习。

第四步：现实应用探究
教师引导学生探究互斥事件在现实生活中的应用，例如红绿灯的亮灭、上下楼梯的方式等，让学生深刻理解互斥事件的实际应用。

第五步：总结
教师带领学生总结所学内容，回答学生的问题，解决疑惑。

四、教学小贴士
•在解题过程中，要注意把握互斥事件的特征，及时求出概率。

•在应用中，要注意区分互斥事件和不互斥事件，正确应用互斥事件的概率计算方法。

五、教学反思
通过这节课的教学，学生更加深入地理解了互斥事件及其概率公式的基本概念和计算方法，培养了分析问题和解决问题的能力。

但是，在练习中发现部分学生没有掌握好互斥事件的计算方法，需要在后续教学中加强练习。

同时，应用探究中的案例可以再丰富一些，让学生更好的理解互斥事件在现实生活中的应用。