高等数学 含参变量的积分

三、含参变量的无穷积分设二元函数(,)f x u 在区域(,)D a x u αβ≤<+∞≤≤有定义，[,]u αβ∀∈，无穷积分(,)af x u d x +∞⎰都收敛，即[,]u αβ∀∈都对应唯一一个无穷积分（值）(,)af x u dx +∞⎰，于是，(,)af x u dx +∞⎰是[,]αβ上的函数，表为()(,),[,]au f x u dx u ϕαβ+∞=∈⎰，称为含参变量的无穷积分，有时也简称为无穷积分，u 是参变量．已知无穷积分()af x dx +∞⎰与数值级数1n n u ∞=∑的敛散性概念、敛散性判别法及其性质基本上是平行的，不难想到含参变量的无穷积分(,)af x u dx +∞⎰与函数级数1()nn ux ∞=∑之间亦应如此．讨论函数级数的和函数的分析性质时，函数级数的一致收敛性起着重要作用；同样，讨论含参变量的无穷积分的函数分析性质时，一致收敛性同样也起着重要的作用．[,]u αβ∀∈，无穷积分(,)af x u dx +∞⎰都收敛，即[,]u αβ∀∈，有(,)lim(,)A aaA f x u dx f x u dx +∞→+∞=⎰⎰，即0,,u u A a A A ε∀>∃≥∀>，有(,)(,)(,)A aaAf x u d x f x u d x f x u d x ε+∞+∞-=<⎰⎰⎰． （4）一般来说，相等的ε之下，不同的,u u A 也不同。

是否存在一个通用的0A a ≥，0,[,]A A u αβ∀>∀∈，有（4）式成立呢？事实上，有些参变量的无穷积分在[,]αβ上存在0A ，于是，有下面的一致收敛概念：定义 若000,,,,A a A A u I ε∀>∃≥∀>∀∈有(,)(,)(,)A aaAf x u dx f x u dx f x u dx ε+∞+∞-=<⎰⎰⎰，则称无穷积分(,)af x u d x +∞⎰在区间I 一致收敛；若无穷积分(,)af x u dx +∞⎰在区间I不存在通用的0A a ≥，就称(,)af x u dx +∞⎰在区间I 非一致收敛．现将一致收敛与非一致收敛对比如下： 一致收敛： 000,,,,A a A A u I ε∀>∃≥∀>∀∈有(,)Af x u dx ε+∞<⎰；非一致收敛：0000,,,A a A A u I ε∃>∀≥∃>∃∈，有00(,)A f x u dx ε+∞≥⎰．例5 证明：积分0xu ue d x +∞-⎰在区间[,](0)a b a >一致收敛，在[0,)+∞上非一致收敛．证：设0A >，则1()xutt A uA aAA uA uued x xu tuedt e dt ee a u b u+∞+∞+∞-----===≤≤≤⎰⎰⎰．0ε∀>，要使不等式Aa e ε-<成立，只要11ln0A aε>≥。

ξ12.3 含参变量的积分一、含参变量的有限积分设二元函数f （x,u)在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）有定义，],,[βα∈∀u 一元函数f(x,u)在[a,b]可积，即积分dxu x f a b),(⎰存在 ],[βα∈∀u 都对应唯一一个确定的积分（值)),(u x f a b⎰dx .于是，积分dx u x f a b),(⎰是定义在区间],[βα的函数，记为],[,),()(βαϕ∈=⎰u dx u x f ab u ,称为含参变量的有限积分，u 称为参变量。

下面讨论函数)(u ϕ在区间 ],[βα的分析性质，即连续性、可微性与可积性定理 1 若函数),(u x f 在矩形域R ),(βα≤≤≤≤u b x a 连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间也连续。

证明有，使取],,[u ],,[βαβα∈∆+∆∈∀u u u.),(),()()(.)],(),([)()dx u x f u u x f abu u u dx u x f u u x f abu u u -∆+≤-∆+-∆+=-∆+⎰⎰ϕϕϕϕ（根据ξ10.2定理8，函数),(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即,,:),(),(,0,02121221,1δδδε<-<-∈∀>∃>∀y y x x R y x y x 有ε<-),(),(2211y x f y x f .特别地，.:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有 .),(),(ε<-∆+u x f u u x f 于是，,δ<∆u 有)(),(),()()(a b dx u x f u u x f ab u u u -<-∆+≤-∆+⎰εϕϕ 即函数在区间连续.设[]βα,0∈u ，由连续定义，有)()(lim ),(limu u dx u x f a bu u u u ϕϕ==→→⎰=dx u x f a b dx u x f a b u u ),(lim ),(00→⎰⎰=. 由此可见，当函数),(u x f 满足定理1的条件时，积分与极限可以交换次序. 定理2 若函数),(u x f 与uf∂∂在矩形域R(βα≤≤≤≤u b x a ,)连续，则函数在区间[βα,]可导，且[]βα,∈∀u ，有dxu u x f a b u du d∂∂=⎰),()(ϕ 或dx u u x f a b dx u x f abdu d ∂∂=⎰⎰),(),(. 简称积分号下可微分.证明 [][],,u,,,βαβα∈∆+∆∈∀u u u 使取有[].),(),()()(dx u x f u u x f abu u u -∆+=-∆+⎰ϕϕ （1） 已知uf∂∂在R 存在，根据微分中值定理，有 .10,),(),(),('<<∆∆+=-∆+θθu u u x f u x f u u x f u 将它代入（1）式，等号两端除以u ∆，有.10,),()()('<<∆+=∆-∆+⎰θθϕϕdx u u x f ab u u u u u 在上面等式等号两端减去dx u x f abu ),('⎰，有d x u x f abu u u u u ),()()('⎰-∆-∆+ϕϕ dx u x f u u x f ab u u ),(),(''-∆+≤⎰θ. 根据 ξ10.2定理8，函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续，即,0,0>∃>∀δε,:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有.),(),(''εθ<-∆+u x f u u x f u u 从而，有),(),()()('a b dx u x f abu u u u u -≤-∆-∆+⎰εϕϕ即 dx u x f abuu u u u u ),()()(lim '0⎰=∆-∆+→∆ϕϕ 或.),()(dx u u x f a b u dud∂∂=⎰ϕ 定理2指出，当函数),(u x f 满足定理2的条件时，导数与积分可以交换次序. 定理 3 若函数),(u x f 在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间[]βα,可积，且.).(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ （2） 简称积分号下可积分.证明 根据定理1，函数)(u ϕ在[]βα,连续，则函数)(u ϕ在区间[]βα,可积.下面证明等式（2）成立.[]βα,∈∀t ，设.),()(,),()(21dx du u x f t a b t L du dx u x f a b t t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰αα根据4.8ξ定理1，有.),()('1dx t x f abt L ⎰=已知du u x f t ),(⎰α与du u x f tt ),(⎰∂∂α都在R 连续，根据定理2，有dx du u x f ta b dt d t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰),()('2α =dx du u x f t t a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰⎰),(α =dx t x f ab),(⎰.于是，[]βα,∈∀t ，有()().'2'1t L t L =.由1.6ξ例1，()(),21C t L t L =-其中C 是常数.特别地,当α=t 时，()(),021==ααL L 则C=0,即()()β==t t L t L 当.21时，有()(),21ββL L =即.),(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ定理3指出，当函数),(u x f 满足定理3的条件时，关于不同变量的积分可以交换次序。

第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。