函数概念中对应法则

常见的函数函数的定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。

其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

常见的函数有以下5种。

1、幂函数一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。

2、指数函数基本初等函数之一。

一般地，y=ax函数（a为常数且以a>0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R。

注意，在指数函数的定义表达式中，在ax前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。

3、对数函数对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。

函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

4、三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。

不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

5、反三角函数一种基本初等函数。

它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切，正割，余割为x 的角。

函数的概念基本知识点1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的函数是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。

（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。

当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。

因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；2）无穷区间；（3）区间的数轴表示类型一、映射函数概念1．下列图象能够成为某个函数图象的是( )2．函数的图象与直线的公共点数目是( )A．B．C．或D．或3 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．（4）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则（5）A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象.类型二求函数的值1.已知f(x)=2x 2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))2已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.3．已知，若，求的值4设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 不等式)1()(f x f >的解类型三 具体函数的定义域(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； (即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.1.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)； (2). （3）(4)； (5)；02)1(2334)(++-+-+-=x x x x x f .求抽象函数的定义域1．已知函数定义域是，求)(x f y =的定义域是2．已知函数)(x f y =定义域是，求的定义域3．已知函数定义域是，求的定义域是题型四：相同函数1.下列各组函数是否表示同一个函数？ (1)(2)(3)(4)3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x （3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2；（4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。

函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。

§1.1 函数的概念 一、函数的定义
定义1 设 D 与M 是R 中非空数集, 若有对应法则 f , 使D 内每一个数 x , 都有惟一的一个数 yM 与 它相对应,则称 f 是定义在 D上的函数,记作
f : D M,
x y. D 称为 f 的定义域; f ( D) { y y f ( x ), x D} 称为 f 的值域;
(i) 有 f ( x1 ) f ( x2 ), 则称 f 为 D 上的增函数； 特别有 f ( x1 ) f ( x2 ) 时, 称 f 为严格增函数. (ii) 有 f ( x1 ) f ( x2 ), 则称 f 为 D 上的减函数； 特别有 f ( x1 ) f ( x2 ) 时, 称 f 为严格减函数.
上有下界. M R, 令 x0 arctan( M 1),
π 则 x0 0, , 且 tan x0 M 1 M , 因此 f 在 2 π 0, 2 上无上界.
2、单调函数 定义2 设 f 是定义在 D 上的函数.
若x1 , x2 D, 当 x1 x2 时,
注1 函数的有界与无界性必须标注相应的范围. 注2 无界函数的图形可用古诗
春色满园关不住，一枝红杏出墙来
来描述.
π 例5 求证 : f ( x ) tan x 在 0, 上无上界, 有下界. 2 π π 证 L 0,则 x 0, , f ( x ) L, 因此 f 在 0, 2 2
[ x]: x 的最大整数； { x}: x 的最小整数； ( x) :
y
3
2
1
1
2
x 的非负小数部分；3 2 1 O

3
4
显然：当 x Z 时,

函数的定义域、值域、解析式的求法（求直接函数定义域）例1：221533x x y x --=+- 例2：021(21)4111y x x x =+-+-+-练习1：211()1x y x -=-+练习2：函数22()44f x x x =---的定义域是（ ）A 、[2,2]-B 、(2,2)-C 、(,2)(2,)-∞-+∞UD 、{2,2}-练习3：判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， 33()g x x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。

A 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸（求抽象函数定义域）例1：设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例2：若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域练习1：若函数()y f x =的定义域是02,⎡⎤⎣⎦，则函数()()11y f x f x =++-的定义域为______________________________________________.练习2：若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。

练习3：已知函数f x ()的定义域是(]01，，则g x f x a f x a a ()()()()=+⋅--<≤120的定义域为 。

（已知定义域求未知数范围）例1：知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

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函数的对应法则1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f二，练习题1、已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。

2、求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+73、设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且在y 轴上的截距为1，在x 轴截得的线段长为22，求f(x ）的解析式4、211f (1)1x x +=-5、2211f ()x x x x-=+6、已知f （x ）为二次函数， f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=08、若)()()(y f x f y x f ⋅=+，且2)1(=f ， 求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++ ..10、已知f （x ＋x 1）＝x 3＋x31，求f (x )的解析式。

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。

则称f:为A 到B 的一个函数。

2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。

由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。

3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。

（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。

5．函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法6．分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

（一）、函数的概念1、在某变化过程中，有两个变量x、y，如果对于 x 在某个范围D 内的每一个确定的值，按照某种对应法则 f ，y 都有唯一确定的值．．．．．．．．．与之对应，那么y 就是 x 的函数，记作y=f （x），x∈D；x 叫做自变量， D为函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域；（1）、函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域 C 和对应法则 f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定 .因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，（2）、当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.（3）、函数的图像特征：直线x c与函数y f ( x)的图像最多有一个交点；2、深刻理解函数的概念【例 1】、下列与函数 y=x 是同一函数的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）(A) y x2x2log a x(D) y log a a x(B) y(C) y ax【例 2】、下面哪一个图形可以作为函数的图象⋯⋯⋯⋯⋯（）y y y yO x O x O x O x(A)(B)(C)(D)x1, x0【例 3】、已知函数f ( x)0,x0；求 f ( f (3))x 1x0练习1： .已知 f （ x） = 1, x0, 则不等式xf（ x） +x≤ 2 的解集是0, x0,____________解析： x≥0 时， f（x）=1，xf（x）+x≤2x≤1，∴ 0≤x≤1；当 x＜0 时， f（x）=0，xf（x）+x≤2 x≤2，∴ x＜0.综上 x≤1.答案： { x|x≤1}【例 4】（07 北京文 14）已知函数 f ( x)，g( x)分别由下表给出x123x123f ( x)211g (x)321则 f [ g(1)] 的值为；当 g[ f ( x)] 2 时，x．（二）函数的定义域：函数的定义域是函数的灵魂，对应法则是核心，研究函数的所有问题都要在函数的定义域内进行；忽略函数的定义域常常会导致错误；1．函数定义域的求法：（a）、根据函数的解析式：列出使函数有意义的自变量的不等式（或）不等式组，求解即可求得函数的定义域 .常涉及到的依据为：①分式的分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.【例 5】求函数下列的定义域. ⑴y lg( x x 2 )(3x 2)| x 3 | 3⑵、 y25x 2lg cosx【例 6】、函数f ( x)ax2ax 1的定义域为，那么实数a的取值Ra范围是.练习 2、函数f ( x)3x 4的定义域为，那么实数a的取值范ax 24ax3R围是-------------------------------------------------⋯⋯⋯（）(A)(－∞， +∞)(B)(0，3)(C) (－3，+∞)(D)[ 0,3) 444（b）、复合函数的定义域：设函数y f (u) u D1和 u g( x) x D2，则 y 关于 x 的函数y f [ g ( x)] 称为 y f (u) 和 u g ( x) 的复合函数，复合函数 y f [ g (x)] 的定义与有不等式组g( x)D1的解集确定x D 2【例 7】（1）、已知函数f ( x)的定义域为（0，2]，则函数y f ( 2x1)的定义域为.；函数y f (log2 x) 的定义域为.（2）、已知函数 f (2x 1)的定义域为 [1，2] ，则函数y f ( x) 的定义域为.；（c）、函数的运算若 y f ( x) x D1和 y g( x) x D 2，则函数 y f ( x) g(x)、y f (x) g(x) 的定义域为 x D1 D 2函数 y f ( x) / g( x) 的定义域为x D1 D 2 { x | g( x) 0}【例 8】已知函数f (x)的定义域为 [-1 ，1]，则函数y f (ax ) f ( x) (a1)a的定义域为.；答案 1 , 1a a（三）函数的解析式：求函数解析式常用的几种方法：待定系数法、换元法（代换法）、解方程法、1、换元（或代换）法：【例 8】：（1）、已知f(x2)2x 29x 13，求f (x).（2）、已知f (1x)x211, 求 f ( x) .x x 2x练习：设 f (cosx 1)cos2 x ，求f (x) .2、待定系数法：【例 9】:二次函数f (x)满足f (x1) f ( x) 2 x ，且 f (0) 1。

高考函数总结一、函数的概念与表示 1、函数 1函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就称y 是x 的函数,x 叫作自变量;②近代定义：设A 、B 都是非空的数的集合,f ：x →y 是从A 到B 的一个对应法则,那么从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做函数,记作y=fx,其中B y A x ∈∈,,原象集合A 叫做函数的定义域,象集合C 叫做函数的值域;B C⊆2构成函数概念的三要素 ①定义域 ②对应法则 ③值域 3、函数的表示方法 ①解析法 ②列表法 ③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式; 二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式, 求函数解析式的方法：（1） 定义法 2变量代换法 3待定系数法 4函数方程法 5参数法 6实际问题2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x 的取值的集合;求函数定义域的主要依据： 1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义； 3对数函数的真数必须大于零；4指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的,那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集; 3;复合函数定义域：已知fx 的定义域为[]b a x ,∈,其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出;三、函数的值域 1．函数的值域的定义在函数y=fx 中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域;2．确定函数的值域的原则①当函数y=fx 用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=fx 用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=fx 用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=fx 由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定; 3．求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围； ②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域； ③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；④判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥不等式法：利用不等式的性质求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域； ⑧几何意义法：由数形结合,转化距离等求值域; 四．函数的奇偶性1．定义: 设y=fx,x ∈A,如果对于任意x ∈A,都有()()f x f x -=,则称y=fx 为偶函数;设y=fx,x ∈A,如果对于任意x ∈A,都有()()f x f x -=-,则称y=fx 为奇函数;如果函数()f x 是奇函数或偶函数,则称函数y=()f x 具有奇偶性;2.性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称, ②y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同,④偶函数无反函数,奇函数的反函数还是奇函数,⑤若函数fx 的定义域关于原点对称,则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和)]()([21)]()([21)(x f x f x f x f x f --+-+=⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称 ⑦对于Fx=fgx :若gx 是偶函数,则Fx 是偶函数若gx 是奇函数且fx 是奇函数,则Fx 是奇函数 若gx 是奇函数且fx 是偶函数,则Fx 是偶函数3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称 ②看fx 与f-x 的关系 五、函数的单调性 1、函数单调性的定义一般地,设一连续函数 fx 的定义域为D ,则• 如果对于属于定义域D 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2∈D 且x 1>x 2,都有f x 1 >f x 2,即在D 上具有单调性且单调增加,那么就说f x 在这个区间上是增函数;•相反地,如果对于属于定义域D 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2∈D 且x 1>x 2,都有fx 1 <fx 2,即在D 上具有单调性且单调减少,那么就说 f x 在这个区间上是减函数;则增函数和减函数统称单调函数; 2、判断函数单调性求单调区间的方法：1从定义入手,2从图象入手,3从函数运算入手,4从熟悉的函数入手 5从复合函数的单调性规律入手 注：函数的定义域优先3、函数单调性的证明：定义法“取值—作差—变形—定号—结论”;4、一般规律1若fx,gx 均为增函数,则fx+gx 仍为增函数； 2若fx 为增函数,则-fx 为减函数； 3互为反函数的两个函数有相同的单调性；4设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;六、反函数 1、反函数的概念：设函数y=fx 的定义域为A,值域为C,由y=fx 求出()y xϕ=,若对于C 中的每一个值y,在A 中都有唯一的一个值和它对应,那么()y x ϕ=叫以y 为自变量的函数,这个函数()y xϕ=叫函数y=fx 的反函数,记作()y fx1-=,通常情况下,一般用x 表示自变量,所以记作()x fy 1-=;注：在理解反函数的概念时应注意下列问题;1只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数； 2反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤1解关于x 的方程y=fx,达到以y 表示x 的目的； 2把第一步得到的式子中的x 换成y,y 换成x ； 3求出并说明反函数的定义域即函数y=fx 的值域; 3、关于反函数的性质1y=fx 和y=f -1x 的图象关于直线y=x 对称； 2y=fx 和y=f -1x 具有相同的单调性；3y=fx 和x=f -1y 互为反函数,但对同一坐标系下它们的图象相同； 4已知y=fx,求f -1a,可利用fx=a,从中求出x,即是f -1a ； 5f -1fx=x;6若点Pa,b 在y=fx 的图象上,又在y=f -1x 的图象上,则Pb,a 在y=fx 的图象上； 7证明y=fx 的图象关于直线y=x 对称,只需证得y=fx 反函数和y=fx 相同； 七．二次函数1．二次函数的解析式的三种形式1一般式：fx=ax 2+bx+ca ≠0,其中a 是开口方向与大小,c 是Y 轴上的截距,而ab2-是对称轴; 2顶点式配方式：fx=ax-h 2+k 其中h,k 是抛物线的顶点坐标;3两根式因式分解：fx=ax-x 1x-x 2,其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标;求一个二次函数的解析式需三个独立条件,如：已知抛物线过三点,已知对称轴和两点,已知顶点和对称 轴;又如,已知fx=ax 2+bx+ca ≠0,方程fx-x=0的两根为21,x x ,则可设 fx-x=()()(),21x x x x a x x f --=-或()()()x x x x x a x f +--=21;2．二次函数fx=ax 2+bx+ca ≠0的图象是一条抛物线,对称轴ab x 2-=,顶点坐标)44,2(2a b ac a b --1a>0时,抛物线开口向上,函数在]2,(a b --∞上单调递减,在),2[+∞-a b 上单调递增,ab x 2-=时,ab ac x f 44)(2m in-= 2a<0时,抛物线开口向下,函数在]2,(a b --∞上单调递增,在),2[+∞-a b 上单调递减,abx 2-=时,ab ac x f 44)(2m ax -=3．二次函数fx=ax 2+bx+ca ≠0当042>-=∆ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1x 1,0,M 2x 2,0ax x x x x x M M ∆=-+=-=2122121214)( 4．二次函数与一元二次方程关系 方程)0(02≠=++a c bx ax的根为二次函数fx=ax 2+bx+ca ≠00=y 的x 的取值;二次函数与一元二次不等式的关系一元二次不等式)0(02<>++c bx ax 的解集为二次函数fx=ax 2+bx+ca ≠0)0(0<>y 的x 的取值范围;二次函数 △情况 一元二次方程 一元二次不等式解集Y=ax 2+bx+c a>0△=b 2-4acax 2+bx+c=0 a>0ax 2+bx+c>0 a>0ax 2+bx+c<0 a>0图象与解△>0a b x a b x 2221∆+-=∆--={}21x x x x x ><或{}21x x xx <<△=0abx x 221-=={}0x x x ≠Φ△<0 方程无解 RΦ八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n个,2零指数幂)0(10≠=a a3负整数指数幂()10,nn aa n N a-*=≠∈4正分数指数幂)0,,,1mn m n a a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂)10,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3．根式1根式的定义:一般地,如果a xn=,那么x 叫做a 的n 次方根,其中()*∈>N n n ,1,n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫被开方数;2根式的性质: ①当n 是奇数,则a a nn =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n②负数没有偶次方根, ③零的任何次方根都是零4．对数1对数的概念 如果)1,0(≠>=a a N ab,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质N M MN ①a a a log log log +=N M NM②a a alog log log -= M n M ③a n a log log =其中a>0,a ≠0,M>0,N>04对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a且且5对数的降幂公式：)10,0(log log≠>>=a a N N mnN a n a m且 九．指数函数与对数函数1、 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1互为反函数,从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x a>0且a ≠1y=log a x a>0 , a ≠1定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点 ０,1 1,０图象指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称单调性a> 1,在-∞,+ ∞上为增函数 ０＜a<1, 在-∞,+ ∞上为减函数a>1,在0,+ ∞上为增函数 ０＜a<1, 在0,+ ∞上为减函数值分布y>1 y<1y>0 y<0比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理 记住下列特殊值为底数的函数图象：3、 研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径; 十．函数的图象1、作函数图象的基本方法有两种：（1） 描点法：1、先确定函数定义域,讨论函数的性质奇偶性,单调性,周期性2、列表注意特殊点,如：零点,最大最小,与轴的交点 3、描点,连线 如：作出函数xx y 1+=的图象． （2） 图象变换法：利用基本初等函数变换作图① 平移变换：左正右负,上正下负即kx f y x f y h x f y x f y k k h h +=−−−−−→−=+=−−−−−→−=><><)()()()(,0;,0,0;,0上移下移左移右移 ② 对称变换：对称谁,谁不变,对称原点都要变)()()()()()()()()()()()(1x f y x f y x f y x f y x fy x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x x y xy y x =−−−−−−−−−→−==−−−−−−−−−−→−==−−→−=--=−−→−=-=−→−=-=−→−=-=轴下方图上翻轴上方图，将保留边部分的对称图轴右边不变，左边为右原点轴轴③ 伸缩变换：)()()()(1x Af y x f y x f y x f y A =−−−−−−−−→−==−−−−−−−−−→−=⎪⎭⎫⎝⎛倍来的仍一点的纵坐标变为原倍来的仍一点的横坐标变为原ϖϖ导数与积分1．导数的概念函数y=fx,如果自变量x 在x 0处有增量x ∆,那么函数y 相应地有增量y ∆=fx 0+x ∆－fx 0,比值x y∆∆叫做函数y=fx 在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率,即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00;如果当0→∆x 时,x y∆∆有极限,我们就说函数y=fx 在点x 0处可导,并把这个极限叫做fx 在点x 0处的导数,记作f’x 0或y’|0x x =;即fx 0=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00;2．导数的几何意义函数y=fx 在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=fx 在点px 0,fx 0处的切线的斜率;也就是说,曲线y=fx 在点px 0,fx 0处的切线的斜率是f’x 0;相应地,切线方程为y －y 0=f`x 0x －x 0; 3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;nn x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();xxe e '= ⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x ex '=.4．两个函数的和、差、积的求导法则.)'''v u v u ±=± .)('''uv v u uv +=⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -v ≠0;复合函数的导数：单调区间：一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导,如果'f )(x 0>,则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(<x ,则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ,则)(x f 为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正； 3．最值：一般地,在区间a,b 上连续的函数f )(x 在a,b 上必有最大值与最小值;①求函数ƒ)(x 在a,b 内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒa 、ƒb ；③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒa 、ƒb 比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值;4．定积分1概念：设函数fx 在区间a,b 上连续,用分点a ＝x0<x1<…<xi －1<xi<…xn ＝b 把区间a,b 等分成n 个小区间,在每个小区间xi －1,xi 上取任一点ξii ＝1,2,…n 作和式In ＝∑ni f1＝ξi △x 其中△x 为小区间长度,把n→∞即△x→0时,和式In 的极限叫做函数fx 在区间a,b 上的定积分,记作：⎰badxx f )(,即⎰badxx f )(＝∑=∞→ni n f1lim ξi △x;这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b 叫做积分区间,函数fx 叫做被积函数,x 叫做积分变量,fxdx 叫做被积式; 基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m＝111++m xm ＋Cm ∈Q, m≠－1；⎰x 1dx ＝ln x ＋C ； ⎰dx e x ＝x e ＋C ；⎰dx a x ＝a a x ln ＋C ；⎰xdx cos ＝sinx ＋C ； ⎰xdx sin ＝－cosx ＋C 表中C 均为常数;2定积分的性质 ①⎰⎰=ba badxx f k dx x kf )()(k 为常数；②⎰⎰⎰±=±ba b ab adx x g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=bacabcdxx f dx x f dx x f )()()(其中a ＜c ＜b );3定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a,x ＝ba<b,x 轴及一条曲线y ＝fxfx≥0围成的曲边梯的面积⎰=badxx f S )(;如果图形由曲线y1＝f1x,y2＝f2x 不妨设f1x≥f2x≥0,及直线x ＝a,x ＝ba<b 围成,那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-babadxx f dx x f )()(21;。

第三章 函数的概念与性质章节复习一、本章知识结构二、本章重难点概念知识点1、函数及三要素（定义域、对应法则、值域） 一、函数的概念2、区间一般区间、特殊区间、 端点大小关系、开闭区间 1、函数概念中强调三性：“任意性”、“存在性”、“唯一性”； 2、定义域、值域的结果写成集合或区间形式； 3、对应关系包括一对一、多对一。

一、判断对应法则或图象是否是一个函数（非空性、任意性x 、唯一确定性y ）二、判断两个函数是否是相同函数（定义域、对应法则） 三、求函数定义域(写成集合或区间形式)3、分段函数概念、表示方式、定义域、值域、图象4、复合函数（定义域、值域） 二、函数的表示法5、函数的单调性、单调区间 1、三种表示方法：解析法、列表法、图像法； 2、列表法表示的函数图象是一些孤立的点，函数图象呈现形式主要有2种：连续的曲线或孤立的点； 3、画函数图象方法：描点法（列表、描点、连线）6、函数的最大值、最小值7、函数的奇偶性8、幂函数（概念、图象、性质）三、题型1、求一般函数的定义域(写成集合或区间形式)函数类型定义域举例①整式函数R f(x)=x2+2x+3②分式函数分母不为0 f(x)=1 2x+3③偶次根式函数根号中式子≥0f(x)=√x2+2x−3④奇次根式函数R f(x)=√x2+2x+33⑤绝对值函数R f(x)=|x2+2x+3|⑥0次幂函数底数不为0 f(x)=(x2+2x−3)0⑦对数函数真数大于0 f(x)=log2(2x−3)⑧实际问题考虑实际意义正方形周长公式f(x)=4x(x>0)多个使函数有意义的条件用花括号连接，写成不等式组。

2、求复合函数的定义域①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域；③已知f(g(x))的定义域，求f(g(x))的定义域；④已知f(g(x))的定义域，求F(x)=f(g(x))+f(ℎ(x))的定义域关键：定义域是指自变量x的值相同对应法则f下的整体变量取值范围相同（空间不变原理）3、求简单函数的值域(写成集合或区间形式)函数类型定义域值域一次函数R R二次函数Ra>0时，[4ac−b24a,+∞)a<0时，(-∞,4ac−b24a]配方、画图、找最高点和最低点反比例函数(−∞,0)∪(0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)分式函数分母不为0 配凑法（利用基本不等式求解）4、求函数的解析式①待定系数法②换元法/配凑法③方程组法/消元法 ④赋值法最后一定要考虑定义域，定义域不是R 一定要写出来5、函数单调性的判断、证明及应用 单调递增单调递减函数f(x)在区间D 上为增函数，x 1,x 2∈D ，且x 1≠x 2，则函数f(x)在区间D 上为减函数，x 1,x 2∈D ，且x 1≠x 2，则① x 1<x 2⟺f (x 1)<f(x 2) ① x 1<x 2⟺f (x 1)>f(x 2) ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]>0 ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]<0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) 即x 与f(x)的变化趋势相同， 自变量增量与函数值增量同号。

函数中“对应法则”的本质及应用作者：符晓燕来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2012年第13期摘要：学生在学习函数时有时候会觉得难，主要是没有入门，对函数的概念没有彻底地搞清。

关键词：本质；相同的函数；双重特性中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2012）13-089-1本文通过对函数的对应法则进行剖析、应用，揭示函数对应法则的本质，以期能达到培养学生灵活解决问题的目的。

一、函数的对应法则的实质“f”只是个代号，重要的是要弄清对应法则的实质，输入的都是R中的数，如函数f(x)＝x2－x－3的对应法则的含义是指原象的平方与原象的差，再与3的差，明确了“自变量”x与“应变量”x2－x－3的对应关系。

而x2－x－3是函数f(x)的表达式，x2＋x-3是函数f(x ＋1)的表达式。

二、相同的函数的条件当两个函数的定义域，对应法则，值域相同时，我们就说两个函数相同，但是当缺少值域这个条件时，两个函数的输入的数的取值集合相同，输出的途径相同，所得的值域也一定相同。

例1 若f(12x－1)=2x+3，且f(m)=6，则m=分析对同一函数定义域，对应法则，值域应该是相同的解∵f(12x－1)=2x+3，且f(m)=6∴2x+3=6时12x－1=m∴x=32,m=－14小结利用相同函数这一性质可以求值，求参数，还可以对一些函数进行等价转化，所以很有必要对函数的定义，特别是对应法则的意义理解透彻。

三、函数f(x)中“x”的双重特性与函数的定义域函数y＝f(x)中，字母“x”具有双重身份：(1)函数的自变量，它的范围反映了函数的定义域；(2)函数的作用法则作用的对象，它反映了对应法则“f”对什么范围内的对象作用才有意义。

在同一题中的“f”是同一个对应法则，即对应法则相同，且括号里的取值集合也相同。

如函数f(x)的定义域是［1，2］，就是指自变量“x”的范围是［1，2］，同时也说明函数f(x)的对应法则f只有对［1，2］中的数作用才有意义，所以在同一题中函数 f(2－x)中令2－x=t，“f”的作用对象“t”的取值范围也应该是［1，2］。

+(3-2x)0 ;
(
1 2
,
1)∪(1,
32 )∪(
3 2
,
2]
(2) y= 25-x2 +lgcosx.
[-5,
-
3
2
)∪(-

2
,

2
)∪(
32 ,
5]
2.已知函数
f(x)
的定义域为
[-
1 2
,
12 ],
求函数
y=f(x2-x-
1 2
)
的
定义域.
[ 1- 2
5
,
0]∪[1,
1+ 5 2
]
； ； ； ；
； ； ； ；
其定义域和值域.
解: 原方程即为: lg2z-2lgz+3x=0 (x≠0).
由已知可得:
△=4-12x≥0,
∴ x≤
1 3
且 x≠0.
∵
lg+lg=2, lglg=3x,
∴
y=log+log=
lg lg
+
lg lg
=
(lg+lg)2-2lglg
lglg
=
4-6x
3. (2): [a, -a](a<0 时); {0}(a=0 时).(a>0 时原式不定义函数)
3. (3):
[a+m,
b
-m]
(m<
b-a 2
时);
{
a+b 2
}
(m=
b-a 2
时).
(m>
b-a 2
时,
原式不定义函数)

函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则，每个要素里掌握的方向不一样。

定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些。

下面一一介绍。

一、定义域1、具体函数定义域：主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。

(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。

(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；2、抽象函数的定义域：此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。

（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。

通俗一句话就是括号里的取值范围一样。

3、实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．命题点1 求具体函数的定义域例1 求下列函数的定义域.(1)y ＝3－12x ； (2)y ＝2x －1－7x ；(3)y ＝(x ＋1)0x ＋2； (4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 考点 函数的定义域题点 求具体函数的定义域解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R . (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，得0≤x ≤17， 所以函数y ＝2x －1－7x 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，17. (3)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，即x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{}x | x >－2且x ≠－1.(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0， 解得－32≤x ＜2，且x ≠0， 所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32≤x ＜2，且x ≠0.例2 (1)、(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．答案 {x |x ≥2}解析 由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，满足x >0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)、函数f (x )＝1xln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________________． 答案 [－4,0)∪(0,1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)． （3）、函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]解析 函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，1＋1x >0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1，－1≤x ≤1，∴0<x ≤1.命题点2 求抽象函数的定义域1、设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．2、若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.命题点3 已知定义域求参数的值或范围例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3， 所以a ＋b ＝－32－3＝－92. (2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (4)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 由题意知，mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，得0<m ≤4， 综上，m 的取值范围是[0,4]．二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法（构造方程组法）：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．命题角度1 待定系数法求函数解析式例1 已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝2x －1，求f (x )的解析式.解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1， ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2.反思感悟 适合用待定系数法求解析式的函数类型，通常为已知的函数类型，如一次函数，二次函数等.跟踪训练 f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )的解析式.考点 求函数的解析式题点 待定系数法求函数解析式解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.命题角度2 换元法(或配凑法)求函数解析式例2 (1)设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x 1－x(x ≠1) B.1＋x x －1(x ≠1) C.1－x 1＋x(x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t(t ≠－1)， ∴f (t )＝1－t 1＋t (t ≠－1)， 即f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1). (2)若f (2x ＋1)＝6x ＋5，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 换元法求函数解析式解 方法一 设2x ＋1＝t ，则x ＝t －12， ∴f (t )＝6·t －12＋5＝3t ＋2. ∴f (x )＝3x ＋2.方法二 f (2x ＋1)＝6x ＋5＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.反思感悟 对于形如y ＝f (g (x ))的函数，求y ＝f (x )的解析式，通常用换元法，令t ＝g (x )，从中求出(x ＝φ(t ))，然后代入表达式，求出f (t )即得f (x )的表达式.特别注意：换元法要注意新元的范围.跟踪训练 (1)若g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2，则f (x )等于( ) A.4(1－x )2＋1(x ≠1) B.4(1－x )2－1(x ≠1) C.4(1－x )2(x ≠1) D.2(1－x )2－1(x ≠1)答案 B解析 令g (x )＝1－2x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≠1)，代入得f (t )＝4(1－t )2－1(t ≠1)， ∴f (x )＝4(1－x )2－1(x ≠1). (2)若f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 换元法求函数解析式解 方法一 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2.方法二 f (x ＋1)＝(x ＋1－1)2＋4(x ＋1－1)＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)－2，∴f (x )＝x 2＋2x －2.命题角度3 构造方程组求函数解析式例3 若f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x . 反思感悟 已知关于f (x )与f (－x )的表达式或f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).跟踪训练 已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，将原式中的x 与1x互换， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，解得f (x )＝23x －x 3(x ≠0). 三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数（2）反解法（3）配方法（4）不等式法（5）单调性法（6）换元法（7）数形结合法（8）导数法例 求下列函数的值域：(1)y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1,3]；(2)y ＝3x ＋1x －2；(3)y ＝x ＋41－x ；(4)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12.解 (1)(配方法)因为y ＝3x 2－x ＋2＝3⎝⎛⎭⎫x －162＋2312，所以函数y ＝3x 2－x ＋2在[1,3]上单调递增．当x ＝1时，原函数取得最小值4；当x ＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y ＝3x 2－x ＋2(x ∈[1,3])的值域为[4,26]．(2)(分离常数法)y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ≠3}．(3)(换元法)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(4)(均值不等式法)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12， 因为x >12，所以x －12>0， 所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2， 当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号． 所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.思维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解．。

函数的对应法则指的是什么
对应法则（corresponding rule）是函数三大要素之一。

一般地说，在函数记号y = f(x)中，“f”即表示对应法则，等式y = f(x)表明，对于定义域中的任意的x值，在对应法则“f”的作用下，即可得到值域中唯一y 值。

函数概念的核心是变量y与变量x之间的对应法则。

表示这种对应法则的方法是多种多样的，通常有公式法、图象法及列表法。

但为了对函数进行一般性的研究，我们用记号y=f(x)表示变量y是变量x的函数，其中字母“f”就抽象地表示变量y与变量x的对应法则。

简单地说，自变量x可通过方法f（所谓对应法则）“变成”了因变量y。

因此，“f”是使“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，从而也就是函数的核心。

可以用一句话、一张图表、也可以是一个解析式表示。

特别地，f(a)表示自变量x=a时所得的函数值，是一个常量；而f(x)称为变量x的函数，在通常情况下，它是一个变量。

1。

函数的对应法则
1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1设是一次函数，且，求
二、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。

例2已知，求的解析式
三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3已知，求
四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5设求
五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求
二，练习题
1、已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。

2、求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7
3、设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且在y轴上的截距为1，在x轴截得的线段长为
，求f(x）的解析式
4、
5、
6、已知f（x）为二次函数， f(x-1)= -4x，解方程f(x+1)=0 8、若，且，
求值.
.
10、已知f（x＋）＝x3＋，求f(x)的解析式。

11、已知
，求；
14、已知满足，求．。

函数的概念及其表示知识梳理（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④零（负）指数幂的底数不能为零．⑤若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑥对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑦由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值． ④换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的．⑤反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑥数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑦函数的单调性法．（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．（7）分段函数：定义域不同对应法则不同的函数，解题方法-分段函数分段求。