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第17章 相关分析唯物论者认为，任何事物之间都是有联系的，这种联系间存在着强弱、直接或间接的差别。
相关分析就是通过定量的指标来描述这种联系。
提到相关分析，许多人会认为，研究的是两个变量间的关系。
但实际上，广义的相关分析研究的可以是一个变量和多个变量之间的关系，也可以是研究两个变量群，甚至于多个变量群之间的关系。
17.1 相关分析简介测量相关程度的相关系数有很多，各种参数的计算方法、特点各异。
有的基于卡方值、有的则主要考虑预测效果。
有些是对称性的，有些是非对称性的（在将变量的位置互换时，对称性参数将不变，非对称性参数则会改变）。
大部分关联强度参数的取值范围在0~1之间，0代表完全不相关，1代表完全其取值范围则在-1到11.连续变量的相关指标这种情况是最多见的，此时一般使用积差相关系数，又称为Pearson 相关系数，来表示其相关性的大小，其数值介于-1~1之间，当两个变量的相关性达到最大，散点呈一条直线时取值为-1或1，正负号表明了相关的方向；如两变量完全无关，则取值为0。
积差相关系数应用非常广泛，但严格地讲只适用于两变量呈线性相关时。
此外，作为参数方法，积差相关分析有一定的适用条件，当数据不能满足这些条件时，分析者可以考虑使用Spearman 等级相关系数来解决这一问题。
2. 有序变量的相关指标对于有序的等级资料的相关性，又往往称其为一致性，所谓一致性高，就是指行变量等级高的列变量等级也高，行变量等级低的列变量等级也低。
如果行变量等级高而列变量等级低，则称其为不一致。
3. 名义变量的相关指标 见教材，p328-329。
4. 其他特殊指标 见教材，p329。
也可参考 李沛良书第四章p80-118。
17.1.2 SPSS 中的相应功能SPSS 的相关分析功能基本可以在两个过程中完成。
1. “交叉表：统计量”子对话框 （1）“相关性”复选框：适用于两个连续变量的分析，计算行-列变量的Pearson 相关系数和Spearman 相关系数。
全基因组关联分析(Genome-wide association study;GWAS)是应用基因组中数以百万计的单核苷酸多态性(single nucleotide ploymorphism ，SNP)为分子遗传标记，进行全基因组水平上的对照分析或相关性分析，通过比较发现影响复杂性状的基因变异的一种新策略。
随着基因组学研究以及基因芯片技术的发展，人们已通过GWAS方法发现并鉴定了大量与复杂性状相关联的遗传变异。
近年来，这种方法在农业动物重要经济性状主效基因的筛查和鉴定中得到了应用。
全基因组关联方法首先在人类医学领域的研究中得到了极大的重视和应用，尤其是其在复杂疾病研究领域中的应用，使许多重要的复杂疾病的研究取得了突破性进展，因而，全基因组关联分析研究方法的设计原理得到重视。
人类的疾病分为单基因疾病和复杂性疾病。
单基因疾病是指由于单个基因的突变导致的疾病，通过家系连锁分析的定位克隆方法，人们已发现了囊性纤维化、亨廷顿病等大量单基因疾病的致病基因，这些单基因的突变改变了相应的编码蛋白氨基酸序列或者产量，从而产生了符合孟德尔遗传方式的疾病表型。
复杂性疾病是指由于遗传和环境因素的共同作用引起的疾病。
目前已经鉴定出的与人类复杂性疾病相关联的SNP位点有439 个。
全基因组关联分析技术的重大革新及其应用，极大地推动了基因组医学的发展。
(2005年, Science 杂志首次报道了年龄相关性视网膜黄斑变性GWAS结果,在医学界和遗传学界引起了极大的轰动, 此后一系列GWAS陆续展开。
2006 年, 波士顿大学医学院联合哈佛大学等多个研究机构报道了基于佛明翰心脏研究样本关于肥胖的GWAS结果(Herbert 等. 2006);2007 年, Saxena 等多个研究组联合报道了与2 型糖尿病( T2D ) 关联的多个位点, Samani 等则发表了冠心病GWAS结果( Samani 等. 2007); 2008 年, Barrett 等通过GWAS发现了30 个与克罗恩病( Crohns ' disrease) 相关的易感位点; 2009 年, W e is s 等通过GWAS发现了与具有高度遗传性的神经发育疾病——自闭症关联的染色体区域。
回归分析与相关分析导言回归分析与相关分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系。
在本文中，我们将对回归分析和相关分析进行详细探讨，并介绍它们的原理、应用和实例。
一、回归分析回归分析是通过建立一个数学模型来描述一个或多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们预测因变量的取值，并理解自变量对因变量的影响程度。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最常见的一种方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
通过最小二乘法，我们可以得到最佳拟合直线，从而预测因变量的取值。
1.2 多元线性回归多元线性回归是对简单线性回归的拓展，它可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法，我们可以得到最佳的多元回归方程，从而预测因变量的取值。
1.3 逻辑回归逻辑回归是回归分析在分类问题上的一种应用。
它能够根据自变量的取值，预测因变量的类别。
逻辑回归常用于预测二分类问题，如预测一个学生是否会被大学录取。
二、相关分析相关分析是研究两个或多个变量之间相关关系的一种方法。
它可以帮助我们了解变量之间的关联程度，以及一个变量是否能够作为另一个变量的预测因子。
2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是一种衡量两个连续变量之间线性相关程度的统计量。
它的取值范围在-1到1之间，当相关系数接近1时，表示两个变量正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量无相关关系。
2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种衡量两个变量之间的非线性相关程度的统计量。
它的取值范围也在-1到1之间，但它适用于衡量非线性关系和顺序关系。
斯皮尔曼相关系数广泛应用于心理学和社会科学领域。
应用实例为了更好地理解回归分析与相关分析的应用，让我们通过一个实际案例来说明。
假设我们想研究某个国家的人均GDP与教育水平之间的关系。
我们收集了10个州的数据，包括每个州的人均GDP和受教育程度指数。
我们可以利用回归分析来建立一个数学模型，从而预测人均GDP与受教育水平之间的关系。
SPSS相关分析的原理及应用1. 简介SPSS（Statistical Package for the Social Sciences）是一种常用的数据统计和分析软件，广泛应用于社会科学、教育、医学等领域。
其相关分析功能是SPSS的重要组成部分，可用于研究数据中变量之间的关系以及预测未来的趋势。
本文将介绍SPSS相关分析的原理和应用。
2. 原理2.1 相关分析的基本概念相关分析用于研究两个或多个变量之间的关系。
其中最常用的是皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient），用于衡量连续变量之间的线性相关性。
皮尔逊相关系数的取值范围为-1到1，接近1表示正相关，接近-1表示负相关，接近0表示无相关。
2.2 相关分析的假设在进行相关分析之前，需要满足一定的假设条件。
这些假设包括： - 变量是正态分布的； - 变量之间的关系是线性的； - 变量具有线性相关性。
2.3 相关系数的计算方法在SPSS中，可以使用相关分析功能来计算皮尔逊相关系数。
该功能可以同时计算多个变量之间的相关系数，并自动生成相关矩阵。
相关矩阵展示了所有变量两两之间的相关性，便于进一步分析和解释。
3. 应用3.1 研究变量之间的关系相关分析在社会科学研究中经常用于分析变量之间的关系。
例如，研究人员可以使用相关分析来研究收入与教育水平之间的关系，分析变量之间的相关性可以帮助研究者发现潜在的模式和趋势。
3.2 预测未来的趋势相关分析可用于预测未来的趋势。
例如，一个公司可以使用历史销售数据和市场营销费用作为变量，通过相关分析来预测未来销售额与市场营销费用之间的关系。
这可以帮助公司制定更有效的市场策略和预算安排。
3.3 评估变量之间的相关性相关分析可以帮助研究者评估变量之间的相关性。
例如，在医学研究中，研究人员可以使用相关分析来评估不同药物剂量与患者疾病症状之间的相关性。
这可以帮助研究人员确定最佳药物剂量，并了解不同剂量的效果差异。
空间自相关分析与犯罪热点识别犯罪问题一直是社会关注的焦点之一。
随着城市化进程的加快和人口的快速增长，犯罪案件在城市中的分布呈现出明显的空间集聚现象。
了解犯罪热点的分布特征并准确识别热点区域，对于制定有效的犯罪预防和打击策略具有重要意义。
本文将介绍空间自相关分析的基本原理及其在犯罪热点识别中的应用。
一、空间自相关分析的基本原理空间自相关分析是一种统计方法，用于衡量地理空间上相邻地区之间的相似性和自相关性。
它能够帮助我们发现和理解地理现象的空间模式和关联程度。
常用的空间自相关指数有Moran's I指数和Geary's C指数等。
Moran's I指数是最常用的空间自相关指数之一。
它通常用来衡量地理现象的全局空间自相关程度。
其计算公式如下：I = n * ∑(wij * (xi - x)(xj - x)) / S0 * ∑(xi - x)^2其中，n是地理单元的数量，wij是地理单元i和j之间的空间权重，xi和xj是地理单元i和j上的变量值，x是变量的均值，S0是变量的方差。
Geary's C指数则衡量了地理现象的局部空间自相关程度。
其计算公式如下：C = (n - 1) * ∑(wij * (xi - xj)^2) / 2 * S0^2其中，n是地理单元的数量，wij是地理单元i和j之间的空间权重，xi和xj是地理单元i和j上的变量值，S0是变量的方差。
二、空间自相关分析在犯罪热点识别中的应用空间自相关分析在犯罪热点识别中有着广泛的应用。
通过计算犯罪数据的空间自相关性，可以帮助我们确定是否存在犯罪的空间集聚现象，并定位犯罪热点区域。
在进行犯罪热点识别时，首先需要获取犯罪数据和地理边界数据。
犯罪数据可以是某一时间段内的犯罪案件记录，地理边界数据可以是行政区划或其他地理单元。
接下来，需要计算地理单元之间的空间权重。
空间权重的计算可以基于距离、邻近关系或其他相关指标。
常用的空间权重矩阵包括邻接矩阵、距离矩阵和K近邻矩阵等。
一、典型相关分析的概念典型相关分析(canonical correlation analysis ) 就是利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。
它的基本原理是：为了从总体上把握两组指标之间的相关关系，分别在两组变量中提取有代表性的两个综合变量U1和V1 (分别为两个变量组中各变量的线性组合)，利用这两个综合变量之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性。
二、条件：典型相关分析有助于综合地描述两组变量之间的典型的相关关系。
其条件是，两组变量都是连续变量，其资料都必须服从多元正态分布。
~*、相关计算如果我们记两组变量的第一对线性组合为U1 1X V1 1Y1(a11 1 1 a21 , , a p1 )1 (11 ,21 , ,q1 )Var (U1) 1Var (X ) 111 1Var (V1) 1Var (Y ) 1 1 22 1 1典型相关分析就是求和，使二者的相关系数达到最大。
1 1典型相关分析希望寻求 a 和b 使得p 达到最大，但是由于随 机变量乘以常数时不改变它们的相关系数， 为了防止不必要的结 果重复出现，最好的限制是令 Var(U) =1和Var (V ) = 11.实测变量标准化;2.求实测变量的相关阵R;XXl，…,X3.求A 和B;A1XXXY 1YYYX B1YY YX1XXXY4、求A 和B 的特征根及特征向量;A 关于 ，的特征向量(a i ,比，…，ap )，求B 关于i的特征向量(bi 1, b i2, •…bi P ) 5、计算Vi 和Wi ；V i b i1X 1 b i2X 21X Y Y Yrp1!qqb ip X p Wiai1Y 1ai2丫 2a iq Y qR「i6、Vi 和Wi 的第i 对典型相关系数应用典型相关分析的场合是：可以使用回归方法, 但有两个或两个以上的因变量；特别是因变量或准则 变量相互间有一定的相关性，无视它们之间相互依赖 的关系而分开处理，研究就毫无意义。
相关分析的原理与应用1. 相关分析的基本概念相关分析是一种常用的统计分析方法，用于探索和量化两个或多个变量之间的关系。
相关分析可以帮助我们理解变量之间的关系，判断它们是否呈现出一定的趋势或者相互影响的模式。
2. 相关分析的原理相关分析的原理基于统计学中的相关系数的概念。
常用的相关系数有Pearson相关系数、Spearman相关系数和Kendall相关系数等，它们分别适用于不同类型的数据。
•Pearson相关系数适用于具有线性关系的连续型数据。
它衡量的是两个变量之间的线性相关程度，取值范围为-1到1，正值表示正相关，负值表示负相关，0表示无相关。
•Spearman相关系数适用于非线性关系和有序数据。
它是用秩次而不是具体数值来计算的，能够发现变量之间的单调关系，取值范围也为-1到1。
•Kendall相关系数也适用于非线性关系和有序数据，它衡量的是两个变量之间的等级相关程度，取值范围同样为-1到1。
3. 相关分析的应用相关分析在许多领域都有广泛的应用，包括科学研究、经济分析、市场调查等。
下面列举几个常见的应用场景：3.1. 数据分析相关分析可以帮助我们分析数据之间的关系，发现变量之间的联系和规律。
通过计算相关系数，我们可以量化变量之间的相关程度，从而更好地理解数据。
3.2. 金融市场分析在金融市场中，相关分析可以用于分析不同金融资产之间的关系。
例如，我们可以计算不同股票之间的相关系数，判断它们之间的相关性，以便进行投资组合的优化和风险控制。
3.3. 市场调查在市场调查中，相关分析可以帮助我们探索不同变量之间的关系，如产品价格和销量、广告投放和营销效果等。
通过分析相关系数，我们可以确定哪些变量对销售和市场表现具有显著影响。
3.4. 学术研究在学术研究中，相关分析可以用于探索变量之间的关系，验证假设或者建立模型。
通过分析相关系数，我们可以得到变量之间的相关关系，并据此进行进一步的研究和分析。
4. 相关分析的注意事项在进行相关分析时，需要注意以下几点：•相关不等于因果：相关系数只能描述变量之间的相关程度，不能说明因果关系。
相关原理
一、两个随机变量的相关系数
通常，两个变量之间若存在一一对应的确定关系，则称两者存在着函数关系。
当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某一变量数值的确定，另一却可能取许多不同的值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。
下图表示由两个随机变量x和y组成的数据点的分布情况。
左图中个点分布很散，可以说变量x和变量y之间是无关的。
右图中x和y虽无确定关系，但从统计结果、从总体看，大体上具有某种程度上的线性关系，因此说他们之间有着相关关系。
变量x和y之间的相关程度常用相关系数ρxy表示
ρxy=E[(x−μx)(y−μy)]
σxσy
式中E-------数学期望；
μx-------随机变量x的均值，μx=E[x]；
μy-------随机变量y的均值，μx=E[y]；
σxσy-------随机变量x、y的标准差
σx2=E[(x−μx)2]
σy2=E[(y−μy)2]
利用柯西-许瓦兹不定式
E[(x−μx)( y−μy)]2≤E[(x−μx)2] E[(y−μy)2]
故知｜ρxy｜≤1。
当数据点分布愈接近于一条直线时，ρxy的绝对值愈接近1，x,y的线性关系度愈好，ρxy的正负号则是表示一变量随另一变量的增加而增或减。
当ρxy接近于零，则可认为x,y两变量之间完全无关，但仍可能存在着某种非线性的相关关系甚至函数关系。
二、信号的自相关函数
假如x（t）是某各态历经随机过程的一个样本记录，x（t+τ）是x（t）时移τ后的样本，在任何t=t i时刻，从两个样本上分别得到两个值x(t i)和x(t i+τ)，而且x（t）和x（t+τ）具有相同的均值和标准差。
例如把ρ
简写成ρx(τ),那么有，
x（t）x（t+τ）
ρx(τ)=lim
T→∞
1
T
∫[x(t)−μx][x(t+τ)−μx]dt
T
σx2
将分子展开并注意到
lim T→∞1
T
∫x(t)dt
T
=μx
lim T→∞1
T
∫x(t+τ)dt
T
=μx
从而得
ρx(τ)=lim
T→∞1
T ∫x(t)x(t+τ)dt−μx2 T
σx2
对各态历经随机信号及功率信号可定义自相关函数R X(τ)为
R X(τ)=lim
T→∞1
T
∫x(t)x(t+τ)dt
T
则
ρx(τ)=R X(τ)−μx 2
σx2
显然ρx(τ)和R X(τ)均随τ而变化，而两者成线性关系。
如果该随机过程的均值μx=0，则ρx(τ)=R X(τ)
σx2。
自相关函数具有下列性质：
1）由ρx(τ)=R X(τ)−μx2
σx2
可得R X(τ)= ρx(τ) σx2+μx2
又因为｜ρxy｜≤1，所以μx2−σx2≤R X(τ)≤μx2+σx2 2）自相关函数在τ=0时为最大值，并等于该随机信号的均方值φx2
R X(0)=lim
T→∞1
T
∫x(t)x(t)dt
T
=φ
x
2
证明：任何正函数的数学期望恒为非负值，即
E{[X(t)±X(t+τ)]2}≥0
E{X2(t)±2X(t)X(t+τ)+X2(t+τ)}≥0
而E[X2(t)]= E[X2(t+τ)]= R X(0)
带入前式可得2R X(0) ±2R X(τ) ≥0
于是R X(0) ≥｜R X(τ)｜
需要注意的是
因为R X(0) ≥｜R X(τ)｜，所以并不排除在其他τ≠0的地方R X(τ)也有可能出现同样的最大值。
例如：随机相位正弦函数x（t）=x0sin(ω0t+φ)的自相关函数
R X(τ)=x02
2
cosω0τ
在τ=2nπ
ω0
,n=0,±1, ±2,⋯⋯时，均出现最大值
x02
2。
取随机相位正弦波为x（t）=4sin(π
2
t+θ)
其中θ是在(0,2π)上均匀分布的的随机变量。
求自相关函数：
R X(t1t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[4sin(π
2t1+θ)∗4sin(π
2
t2+θ)]
=16E[sin(π
2t1+θ)∗sin(π
2
t2+θ)]
=16∫sin(π
2t1+θ)
2π0sin(π
2
t2+θ)1
2π
dθ
=4
π
∫[cosπ
2
(t1−t2)
2π
−cos(π
2
(t1+t2)+2θ)]
=8 cosπ
2
(t1−t2)
syms t1 t2 k y1=4*sin((pi/2)*t1+k); y2=4*sin((pi/2)*t2+k); y=y1*y2; R=1/(2*pi)*int(y,k,0,2*pi); ezmeshc(R)
3）当τ足够大或τ→∞ 时，随机变量x（t）和x(t+τ)之间不存在内在联系，彼此无关，故
ρX(τ)τ→∞→0ρX(
τ)
τ→∞
→R X2
4）自相关函数为偶函数，即
R X(τ)= R X(−τ)
证明: R X(τ)=E[X(t)X(t+τ)]= E[X(t+τ)X(t)] = R X(−τ)
5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，其幅值与原周期信号的幅值有关，而丢失了原信号的相位信息。
