22.1二次函数的概念
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22.1.1二次函数
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答案
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5.一台机器原价 60 万元,如果每年的折旧率为 x,两年后这台机器的价格为 y
万元,则 y 与 x 之间的函数关系式为
.
y=60(1-x)2
关闭
答案
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6.有一矩形的长是 4 cm、宽是 3 cm,如果将其长与宽都增加 x cm,对应的面
积增加 y cm2,那么 y 与 x 之间的函数关系式为
A.1
B.-1
C.2
D.-1 或 2
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根据题意,得
������2-m = 2,解方程 ������-2 ≠ 0.
m2-m=2,得
m1=2,m2=-1.又因为
m-2≠0,
故 m=2 不合题意,舍去.所以 m=-1.
关闭
B
解析 答案
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3.已知二次函数 y=1-3x+5x2,它的二次项系数为 a,一次项系数为 b,常数项为 c,那么 a,b,c 分别为( ) A.a=1,b=-3,c=5 B.a=5,b=-3,c=1 C.a=5,b=-3,c=1 D.a=1,b=3,c=5
C.y=(x+3)2-x2
D.y=���1���2-x
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选项 B,D 中的函数都不是整式函数,选项 C 中的函数化简后为 y=6x+9, 它们都不是二次函数;根据二次函数的定义,选项 A 中的函数是二次函关闭 A数.
解析 答案
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5.一台机器原价 60 万元,如果每年的折旧率为 x,两年后这台机器的价格为 y
万元,则 y 与 x 之间的函数关系式为
.
y=60(1-x)2
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6.有一矩形的长是 4 cm、宽是 3 cm,如果将其长与宽都增加 x cm,对应的面
积增加 y cm2,那么 y 与 x 之间的函数关系式为
A.1
B.-1
C.2
D.-1 或 2
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根据题意,得
������2-m = 2,解方程 ������-2 ≠ 0.
m2-m=2,得
m1=2,m2=-1.又因为
m-2≠0,
故 m=2 不合题意,舍去.所以 m=-1.
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B
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3.已知二次函数 y=1-3x+5x2,它的二次项系数为 a,一次项系数为 b,常数项为 c,那么 a,b,c 分别为( ) A.a=1,b=-3,c=5 B.a=5,b=-3,c=1 C.a=5,b=-3,c=1 D.a=1,b=3,c=5
C.y=(x+3)2-x2
D.y=���1���2-x
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选项 B,D 中的函数都不是整式函数,选项 C 中的函数化简后为 y=6x+9, 它们都不是二次函数;根据二次函数的定义,选项 A 中的函数是二次函关闭 A数.
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二次函数的概念及解析式
如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个
全等的直角三角形（图中阴影部分）。设
AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为
y(cm2),求：
（1）y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。
（2）当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75。
• 比较二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和一元二次方 程ax2+bx+c=0（a≠0）,说出他们的联系与不同点。
• 联系：（1）两者都是等式，且都有相同的式子 ax2+bx+c;
•
（2）方程ax2+bx+c=0可以看做是函数
y=ax2+bx+c的y=0时的特殊形式。
• 不同点：前者是函数，有两个变量；后者是方程， 只有一个变量，且变量的值是确定的。
m24m22 m≠ 0
m4,n∈ Rk , R
• ⑵当函数是一次函数时，满足
① 若 m 24m21
m23,nR,kR
② 若 m 24m 20 2n60
m2 2,n3,kR
• ⑶当函数是反比例函数时，满足
m2 4m 2 1
2n 6 0
k 0
编辑课件
m 1 或 m 3 ,n3 ,k0
练一练
•
一次项 -12x，一次项系数 -12 常数项 23
•
⑵不是二次函数 该函数的解析式不是整式
•
⑶不是二次函数 y=(x-5)2-x2=-10x+25是一次函数
•
⑷是二次函数
•
二次项 -2t2, 二次项系数 -2
•
一次项 0t2， 一次项系数 0 常数项 1
编辑课件
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数(教案)
另外，在小组讨论环节，我发现学生们在讨论二次函数在实际生活中的应用时，想法非常丰富，但有时候会偏离主题。针对这一点，我考虑在今后的教学中，可以适当引导学生们聚焦主题，同时鼓励他们发挥创意，将所学知识应用到更广泛的领域。
此外，我也注意到，在解答学生疑问时，需要更加耐心和细致。有些学生对于二次函数的理解可能还不够深入，这就需要我在课后给予他们更多的关注和指导，帮助他们真正掌握这部分内容。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
5.二次函数的实际应用：求解最值问题。
二、核心素养目标
1.理解并掌握二次函数的定义、图像与性质，培养直观想象和逻辑推理能力；
2.学会运用二次函数顶点式及其图像变换，提高问题解决能力和数学建模素养；
3.通过二次函数的实际应用，培养数据分析、数学抽象及数学应用素养，增强解决实际问题的能力；
4.在探索二次函数图像与性质的过程中，培养数学运算和数学探究素养，提高合作交流与反思评价的能力。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数：
1.二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数；
2.二次函数的图像与性质：开口方向、顶点、对称轴、最小（大）值；
3.二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k；
4.二次函数的图像变换：平移、伸缩；
此外，我也注意到，在解答学生疑问时，需要更加耐心和细致。有些学生对于二次函数的理解可能还不够深入，这就需要我在课后给予他们更多的关注和指导，帮助他们真正掌握这部分内容。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
5.二次函数的实际应用：求解最值问题。
二、核心素养目标
1.理解并掌握二次函数的定义、图像与性质，培养直观想象和逻辑推理能力；
2.学会运用二次函数顶点式及其图像变换，提高问题解决能力和数学建模素养；
3.通过二次函数的实际应用，培养数据分析、数学抽象及数学应用素养，增强解决实际问题的能力；
4.在探索二次函数图像与性质的过程中，培养数学运算和数学探究素养，提高合作交流与反思评价的能力。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数：
1.二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数；
2.二次函数的图像与性质：开口方向、顶点、对称轴、最小（大）值；
3.二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k；
4.二次函数的图像变换：平移、伸缩；
数学人教版九年级上册22.1.1二次函数概念
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。 解：由题意得： Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x (0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12 ＝192（m2）
1 m n ( n 1) 2
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛.比赛的场数m与球队n有什么关系？
即:
1 2 1 m n n 2 2
此式表示了比赛场数m与 球队个数n之间的关系, 对于n的每一个值,m都有一个对应值,即m是n的函数.
问题3:
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划 今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的 值而确定, y与x之间的关系怎样表示?
m 2 2
小结：二次函数 2 a 0) 定义：二次函数 y ax bx c(a, b, c是常数，
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。
（2）a,b,c为常数，a≠0
（3）等式右边最高次数为2，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项
(4)x的取值范围是任意实数
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)² +1
(3) s=3－2t² 1 __ (5)y= －x x²
(2) y=(x+3)² －x²
(6) v=8π r²
解: (1) y =3(x2-2x+1)+1 (4) y=(x+3)² -x² =x2+6x+9-x2 =3x2-6x+3+1
人教新课标版 初中数学九年级上册第二十二章22.1.1 二次函数课件
的 函数 .
广东省怀集县城南初级中学
陈妙兰
3
三、研学教材
正方体的六个面是全等的正方形，
设正方体的棱长为 x，表面积为 y. 对于 x的每一个值，y都有一个对应
值，它们具体关系式可以表示 为： y=6x2 .
4
知识点一 列函数表达式
问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进 行一场比赛，比赛的场次数 m与球队数n
哪些不是？若是二次函数，请指出各项对
应项的系数． （1）y＝1－3x2 解：是二次函数。
二次项系数是-3，一次项系数是0，常数项是1.
广东省怀集县城南初级中学
陈妙兰
13
（2）y＝3x2＋2x 解：是二次函数。
二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是0.
（3）y＝x (x－5)＋2 解：y=x2-5x+2是二次函数。
一次项和常数项，但不能没有二次项。
10
二次函数的定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是
常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。其中x 是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二 次项，b为一次项系数，bx叫做一次项， c为常数项。
11
１、下列函数中，是二次函数的是（ A ）
y x2 -A1．
分析：若这种产品今年的原产量是 20 t.
按每年都比上一年的产量增加 x 倍计算，
明年的产量应该为 20(1+x) .
后年的产量应该为： 20(1+x)(1+x).
即两年后的产量为： y=20(1+x)2 .
也可以表示为：
y=20x2+40x+20 .
对于上式，两年后的产量 y 与计划增产的
广东省怀集县城南初级中学
陈妙兰
3
三、研学教材
正方体的六个面是全等的正方形，
设正方体的棱长为 x，表面积为 y. 对于 x的每一个值，y都有一个对应
值，它们具体关系式可以表示 为： y=6x2 .
4
知识点一 列函数表达式
问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进 行一场比赛，比赛的场次数 m与球队数n
哪些不是？若是二次函数，请指出各项对
应项的系数． （1）y＝1－3x2 解：是二次函数。
二次项系数是-3，一次项系数是0，常数项是1.
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陈妙兰
13
（2）y＝3x2＋2x 解：是二次函数。
二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是0.
（3）y＝x (x－5)＋2 解：y=x2-5x+2是二次函数。
一次项和常数项，但不能没有二次项。
10
二次函数的定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是
常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。其中x 是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二 次项，b为一次项系数，bx叫做一次项， c为常数项。
11
１、下列函数中，是二次函数的是（ A ）
y x2 -A1．
分析：若这种产品今年的原产量是 20 t.
按每年都比上一年的产量增加 x 倍计算，
明年的产量应该为 20(1+x) .
后年的产量应该为： 20(1+x)(1+x).
即两年后的产量为： y=20(1+x)2 .
也可以表示为：
y=20x2+40x+20 .
对于上式，两年后的产量 y 与计划增产的
初三数学上册(人教版)第二十二章二次函数22.1知识点总结含同步练习及答案
描述：2.二次函数的图象与性质（）的图象与性质（）的图象与性质（、、 是常数，）的图象与性质所以 ．m =2y =a x 2a ≠0y =a (x −h +k )2a ≠0y =a +bx +c x 2a b c a ≠函数 （）在上的最值问题：y =a +bx +c a ≠0y =a +bx +c x 2a >0m <x <n描述：例题：3.二次函数图象的变换平移“上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是 进行加减．对称旋转函数图象旋转可以看成先把原图象上的点（通常我们选择顶点）绕着旋转中心旋转，得到旋转后的点的坐标，即可得到新的函数．x （1） 将二次函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位后，所得图象的函数表达式是______．（2） 如果保持抛物线 的图象不动，把 轴、 轴分别向上、向右平移 个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是_____．解：（1） ；（2） ．（1） “上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是 进行加减．（2） 把 轴、 轴分别向上、向右平移 个单位，就相当于把函数分别向下、向左平移 个单位．y =x 212y =2x 2x y 2y =(x −1+2)2y =2(x +2−2)2x x y 22将二次函数 的图象绕坐标原点 旋转 ，则旋转后的图象对应的解析式为______．y =−2x −1x 2O 180∘y =−−2x +12描述：例题：4.二次函数的解析式设一般式 （）若已知条件或根据已知可推出图象上三个点，可以设成一般式，将已知条件代入解析式，得出关于 、、 的三元一次方程组，解方程即可．设顶点式 （）若已知条件或根据已知可推出函数的顶点或对称轴与最值时，可以设成顶点式，将已知条件代入解析式，求出待定系数．设交点式 （）若已知条件或根据已知可推出图象上纵坐标相同的两个点的坐标为 和 时，可以设交点式，将已知条件代入解析式，求出待定系数．解：．可以看成先把原图象上的点绕着坐标原点 旋转 ，得到旋转后的点的坐标，即可得到新的函数．y =−−2x +1x 2O 180∘（1） 抛物线 关于 轴对称的图象为______．（2） 在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为____．（3） 将抛物线 的图象绕它的顶点 旋转 ，则旋转后的抛物线的函数关系式为______．解：（1） ；（2） ；（3） ．y =−2x −3x 2x y =+x −2x 2x y y =−2x +1x 2A 180∘y =−+2x +3x 2y =−+x +2x 2y =−+2x −1x 2y =a +bx +c x 2a ≠0a b c y =a (x −h +k )2a ≠0y =a (x −)(x −)+m x 1x 2a ≠0(,m )x 1(,m )x 2二次函数的图象经过 ，， 三点，求该二次函数的解析式．分析：已知条件中给出三个点，所以可以设一般式．解：设二次函数的解析式为 （）．将 ，， 三点代入，得解得即二次函数的解析式为 ．A (1,2)B (0,−1)C (−2,5)y =a +bx +c x 2a ≠0A (1,2)B (0,−1)C (−2,5)⎧⎩⎨a +b +c =2,c =−1,4a −2b +c =5.⎧⎩⎨a =2,b =1,c =−1.y =2+x −1x 2已知二次函数的图象的顶点为 ，且过点 ，求该二次函数的解析式．分析：已知一个顶点和另一个点，所以可以设顶点式．解：设二次函数的解析式为 ．将点 的坐标代入，解得 ．所以二次函数的解析式为 ．A (−1,4)B (2,−5)y =a (x +1+4)2B (2,−5)a =−1y =−(x +1+4=−−2x +3)2x 2已知抛物线与 轴的交点坐标是 ，，且抛物线经过 ，求抛物线的解析x A (−2,0)B (1,0)C (2,8)四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
二次函数课件
函数,叫做二次函数.x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的
二次项系数,一次项系数和常数项.
2.二次函数的一般情势：y=ax2+bx+c.
3.注意：二次函数自变量的取值范围是： 一般情况是全体实数,实际问题要符合实际意义.
典例精讲
二次函数的概念
知识点一
【例1-1】下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次
∴y=[6+2(x-1)][95-5(x-1)]，
即y=-10x2+180x+400(其中x是正整数,且1≤x≤10)；
(2)由题意可得：-10x2+180x+400=1120，
解 得：
x1=6，x2=12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
当堂训练
建立二次函数的模型
Hale Waihona Puke 知识点二在如图所示的一张长、宽分别为50cm 和30cm的矩形铁皮的四个
求出y关于x的函数关系式；
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
典例精讲
建立二次函数的模型
知识点二
解：(1)∵第一档次的产品一天能生产95件,每件利润6元,每提高一个档
次,每件利润加2元,但一天产量减少5件，
∴第x档次,提高了(x-1)档,利润增加了2(x-1)元．
人教版九年级(上)数学教学课件
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境导入 探究新知 知识归纳 典例精讲 当堂训练
知识要点
01 二次函数的概念
精讲精练
02 建立二次函数的模型
知识归纳
二次函数的概念
九年级数学人教版第二十二章二次函数22.1.1二次函数定义(同步课本知识图文结合例题详解)
九年级数学第22章二次函数
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两
年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两
年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x
之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_2_0_(_1_+_x_)件，
再经过一年后的产量是_____2_0_(_1_+_x_)_(_1件+x，) 即两年后的
2
是二次函数关系.
九年级数学第22章二次函数
4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长 和宽相等,高比长多0.5m. (1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积 S(m2)如何表示? (2)如果涂漆每平米所需要的费用是5元,涂漆每个长方体所需 要费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么? 解析：（1）S=2x2+x(x+0.5)×4=6x2+2x （2）y=5S=5×(6x2+2x)
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0____.
九年级数学第22章二次函数
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩 形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一 种函数？ 解析：S=a( 60 -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.
函 数
关系Leabharlann 一次函数y=kx+b(k≠0)
正比例函数 y=kx(k≠0)
反比例函数
y= k (k≠0)
x
二次函数
九年级数学第22章二次函数
问题1：
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表 面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.
22.1.1二次函数
量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间
的关系应该怎样表示？
y 20x2 40x 20
2、下列函数关系式中,是二次函数的是( D )
A. y = 2x B. y = mx2
C.
y
1 x2
D.
y = (a2+1)x2-ax+a （a是常数）
4、若函数 y (m 1)xm23m2 为二次
函数，求m的值。
(7) y (x 1)2 x2 不是
(8) y x2 2 不是 x
(9)y = mx2 不是
(10)y = (a2+1)x2-ax+a（a是常数）是
2、把函数 y=(5x+7)(x-3)+2x-5 化成一
般形式，并写出各项系数。
3、指出下列函数的二次项系数,一次项系数, 常数项分别是多少?
（1）自变量的最高指数是2；
（2）解析式为整式；
（3）一次项、常数项可以为0，但二次项绝对不 能为0，即a≠0
1、下列函数中,哪些是二次函数?是二次函数的
请指出各项系数。
(1) y x2 是
（2）
y 1 x 2
不是
(3) y 1 不是 x2
(4) y 4 不是 x
(5) y x(1 x) 是 （6） y 5x 1不是
6、已知函数 y (a 2 4)x2 (a 2)x 3 （1）当a为何值时，此函数是二次函数？ （2）当a为何值时，此函数是一次函数？
课后练习
1、写出下列函数的表达式,
（1）圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之 间的关系__S_=_π_r2
的关系应该怎样表示？
y 20x2 40x 20
2、下列函数关系式中,是二次函数的是( D )
A. y = 2x B. y = mx2
C.
y
1 x2
D.
y = (a2+1)x2-ax+a （a是常数）
4、若函数 y (m 1)xm23m2 为二次
函数，求m的值。
(7) y (x 1)2 x2 不是
(8) y x2 2 不是 x
(9)y = mx2 不是
(10)y = (a2+1)x2-ax+a（a是常数）是
2、把函数 y=(5x+7)(x-3)+2x-5 化成一
般形式，并写出各项系数。
3、指出下列函数的二次项系数,一次项系数, 常数项分别是多少?
（1）自变量的最高指数是2；
（2）解析式为整式；
（3）一次项、常数项可以为0，但二次项绝对不 能为0，即a≠0
1、下列函数中,哪些是二次函数?是二次函数的
请指出各项系数。
(1) y x2 是
（2）
y 1 x 2
不是
(3) y 1 不是 x2
(4) y 4 不是 x
(5) y x(1 x) 是 （6） y 5x 1不是
6、已知函数 y (a 2 4)x2 (a 2)x 3 （1）当a为何值时，此函数是二次函数？ （2）当a为何值时，此函数是一次函数？
课后练习
1、写出下列函数的表达式,
（1）圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之 间的关系__S_=_π_r2
二次函数ppt课件
22.1.1 二次函数
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
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九年级数学学案
班级：
姓名：
22.1.1 二次函数（1） 一.学习目标
目标 A 目标 B 通过实例体会二次函数是刻画现实世界的有效模型. 理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式.
3.做一做： (1)下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和 常数项。 ① ② ③ ④ y x(1 x)
3x 2 ； ② y = x 2 - x (1 + x ) ； ③ y = x 2 (x 2 + x ) - 4 ；
， 其中 a = ，
C. y (a 2 1) x 2
3.已知函数 y (m 2 4) x 2 (m 2) x 3 （ m 为常数） ． (1) 当 m __________时，该函数为二次函数； (2) 当 m _________时，该函数为一次函数． 训练 C 综合运用
二．问题引领 问题 A 列实际问题中的函数关系式
⑤ y ( x 1) 2 ( x 1)(x 1)
3x 2 7 x 12 ⑥ y －
1.正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为 x，表面积为 y，写出 y 与 x 的关系。
反思:判断一个函数是否是二次函数，应考虑哪些条件？
5. 某广告公司设计一副周长为 12 米的矩形广告牌，广告设计等费用为每平方米 1000 元，设矩形的一边为 x m ，面积为 s m2。 ⑴求出 s 与 x 之间的函数关系式，并确定 X（m） 自变量 x 的取值范围； S（m ） ⑵若边长为整数，请你填写下表，并探究 设计费(元) 当 x 取何值时，广告牌的设计费最多.
(2) y (m 1) xm m 3x 1 是二次函数，则 m 的值为______________． 2. n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系式。 三.专题训练 训练 A 通过实际问题建立二次函数模型 ）
2
1. 根据下列问题列出的函数关系式，其中不是二次函数的是（ 3. 如图，一块草地是长 80m、宽 60m 的矩形，欲在中间修筑两条互 相垂直的宽为 x 数关系式. m 的小路，这时草坪面积为 y m ．求 y 与 x 的函
2
【拓广探索】 富根老伯想利用一边长为 a 米的旧墙及可以围成 24 米长的旧木料，建造猪舍三间， 如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形. (1)如果设猪舍的宽 AB 为 x 米，则猪舍的总面积 S（米 2）与 x 有怎样的函数关系？ (2)请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为 32 米 2， 应该如何安排猪舍的长 BC 和宽 AB 的长度？旧墙的长度是否 会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
四．课堂小结 知识要点：二次函数的一般形式 特殊形式有 方法技巧：判定二次函数的三个条件. ； .
1. 观察上述函数关系有哪些共同之处？
归纳：一般地， 形如 其中 x 是自变量， a 是__ 2.想一想： （1）二次项系数 a 为什么不等于 0？
， （ a, b, c是常数，且a _____，b是___ ____，c是____
）的函数为二次函数。 ____． 3. 某种产品现在年产量是 20 件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的 产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示？
（2）一次项系数 b 和常数项 c 可以为 0 吗？
九年级数学学案
班级：
姓名：
训练 B
识别二次函数 ② y 3x2 5 ； ③y＝200x2＋400x＋200；④ y x3 2x ；
2
五．课后作业 1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离 s（米）与时间 t（秒）的数据如下 时间 t （秒） 1 2 3 4 … 表：写出用 t 表示 s 的函数关系式. 距离 s （米） 2 8 18 32 … 2.下列函数：① y = D. y (a 2 1) x 2 ④ y=
1 + x ； ⑤ y = x (1 - x ) ， 其中是二次函数的是 x2 ，c = .
3.二次函数 y x 2 x 1，当 x=-1 时，y= 4.当 m= 时，函数 y = (m 2 + m )x m
2
；当 y=1 时，x=
- 2m - 1
.
பைடு நூலகம்
是关于 x 的二次函数.
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一个 矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 60m 的栅栏围住（如图 4）．若 设绿化带的 BC 边长为 xm，绿化带的面积为 ym2． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）是否存在 x 的某个值，使得绿化带的面积为 450 m2，若存在，求出这个值；若 不存在，说明理由.
b=
1．观察：① y 6x2 ；
1 ⑤ y x2 3 ； x
⑥ y x 1 x 2 ．这六个式子中二次函数有
（只填序号） ，并分别说出各二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 2. 对于任意实数 a，一定是二次函数的是（ A. y (a 1) 2 x 2 B. y (a 1) x 2 ）
2
A.正方形的面积 S(m2)关于边长 a(m)的函数 B.圆的面积 S(m2)关于半径 r(m)的函数 C.等边三角形的面积 S(m2)关于边长 a(m)的函数 D.一个直角三角形的一条直角边长为 3，它的斜边长 y 关于另一条直角边长 x 的
问题 B
二次函数的定义
函数 2.矩形窗户的周长为 6m，写出窗户的面积 y 与窗户的宽 x 之间的函数关系式，并确 定自变量 x 的取值范围.
班级：
姓名：
22.1.1 二次函数（1） 一.学习目标
目标 A 目标 B 通过实例体会二次函数是刻画现实世界的有效模型. 理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式.
3.做一做： (1)下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和 常数项。 ① ② ③ ④ y x(1 x)
3x 2 ； ② y = x 2 - x (1 + x ) ； ③ y = x 2 (x 2 + x ) - 4 ；
， 其中 a = ，
C. y (a 2 1) x 2
3.已知函数 y (m 2 4) x 2 (m 2) x 3 （ m 为常数） ． (1) 当 m __________时，该函数为二次函数； (2) 当 m _________时，该函数为一次函数． 训练 C 综合运用
二．问题引领 问题 A 列实际问题中的函数关系式
⑤ y ( x 1) 2 ( x 1)(x 1)
3x 2 7 x 12 ⑥ y －
1.正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为 x，表面积为 y，写出 y 与 x 的关系。
反思:判断一个函数是否是二次函数，应考虑哪些条件？
5. 某广告公司设计一副周长为 12 米的矩形广告牌，广告设计等费用为每平方米 1000 元，设矩形的一边为 x m ，面积为 s m2。 ⑴求出 s 与 x 之间的函数关系式，并确定 X（m） 自变量 x 的取值范围； S（m ） ⑵若边长为整数，请你填写下表，并探究 设计费(元) 当 x 取何值时，广告牌的设计费最多.
(2) y (m 1) xm m 3x 1 是二次函数，则 m 的值为______________． 2. n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系式。 三.专题训练 训练 A 通过实际问题建立二次函数模型 ）
2
1. 根据下列问题列出的函数关系式，其中不是二次函数的是（ 3. 如图，一块草地是长 80m、宽 60m 的矩形，欲在中间修筑两条互 相垂直的宽为 x 数关系式. m 的小路，这时草坪面积为 y m ．求 y 与 x 的函
2
【拓广探索】 富根老伯想利用一边长为 a 米的旧墙及可以围成 24 米长的旧木料，建造猪舍三间， 如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形. (1)如果设猪舍的宽 AB 为 x 米，则猪舍的总面积 S（米 2）与 x 有怎样的函数关系？ (2)请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为 32 米 2， 应该如何安排猪舍的长 BC 和宽 AB 的长度？旧墙的长度是否 会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
四．课堂小结 知识要点：二次函数的一般形式 特殊形式有 方法技巧：判定二次函数的三个条件. ； .
1. 观察上述函数关系有哪些共同之处？
归纳：一般地， 形如 其中 x 是自变量， a 是__ 2.想一想： （1）二次项系数 a 为什么不等于 0？
， （ a, b, c是常数，且a _____，b是___ ____，c是____
）的函数为二次函数。 ____． 3. 某种产品现在年产量是 20 件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的 产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示？
（2）一次项系数 b 和常数项 c 可以为 0 吗？
九年级数学学案
班级：
姓名：
训练 B
识别二次函数 ② y 3x2 5 ； ③y＝200x2＋400x＋200；④ y x3 2x ；
2
五．课后作业 1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离 s（米）与时间 t（秒）的数据如下 时间 t （秒） 1 2 3 4 … 表：写出用 t 表示 s 的函数关系式. 距离 s （米） 2 8 18 32 … 2.下列函数：① y = D. y (a 2 1) x 2 ④ y=
1 + x ； ⑤ y = x (1 - x ) ， 其中是二次函数的是 x2 ，c = .
3.二次函数 y x 2 x 1，当 x=-1 时，y= 4.当 m= 时，函数 y = (m 2 + m )x m
2
；当 y=1 时，x=
- 2m - 1
.
பைடு நூலகம்
是关于 x 的二次函数.
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一个 矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 60m 的栅栏围住（如图 4）．若 设绿化带的 BC 边长为 xm，绿化带的面积为 ym2． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）是否存在 x 的某个值，使得绿化带的面积为 450 m2，若存在，求出这个值；若 不存在，说明理由.
b=
1．观察：① y 6x2 ；
1 ⑤ y x2 3 ； x
⑥ y x 1 x 2 ．这六个式子中二次函数有
（只填序号） ，并分别说出各二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 2. 对于任意实数 a，一定是二次函数的是（ A. y (a 1) 2 x 2 B. y (a 1) x 2 ）
2
A.正方形的面积 S(m2)关于边长 a(m)的函数 B.圆的面积 S(m2)关于半径 r(m)的函数 C.等边三角形的面积 S(m2)关于边长 a(m)的函数 D.一个直角三角形的一条直角边长为 3，它的斜边长 y 关于另一条直角边长 x 的
问题 B
二次函数的定义
函数 2.矩形窗户的周长为 6m，写出窗户的面积 y 与窗户的宽 x 之间的函数关系式，并确 定自变量 x 的取值范围.