四川省简阳市高中阶段教育学校招生高三数学适应性考试试题

2023-2024学年四川省成都市简阳市高三模拟试题训练数学（文科）模拟试题一、单项选择题1.复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则2i1z =-（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【正确答案】C【分析】根据复数的几何意义表示出z ，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.【详解】复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则2i z=-，所以()()()()()()2i 1i 2i 1i 2i 2i 2ii 1i 1i 12i 11i 1i 1i 2z ++=====+=-+-----+.故选：C ．2.已知全集{}2|560U x x x =∈--≤Z ，集合(){}|30A x x x =∈-≥Z ，{}1,2,4B =则集合{1,5,6}-等于（）A.()UA B⋂ð B.()U A B ðC.()U A B∩ð D.()U A B ⋂ð【正确答案】B【分析】先表示出集合U 与集合A 的等价条件，然后根据交集，并集和补集的定义进行分析求解即可．【详解】由题意知{}|16{1,0,1,2,3,4,5,6}U x x =∈-≤≤=-Z ，{}|03{0,1,2,3}A x x =∈≤≤=Z ，所以{0,1,2,3,4}A B ⋃=，{}()1,5,6U A B ∴-= ð，故选：B ．3.某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是（）A.该公司2022年营收总额约为30800万元B.该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多C.该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多D.该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%【正确答案】D【分析】根据题意给的数据，结合选项依次计算即可求解.【详解】A：湖南省的营收额约为2156万元，占比7.00%，所以2022年营收额约为2156308007.00%=万元，故A正确；B：华南地区的营收额占比为19.34%，河南省的营收额占比为6.19%，有19.34% 3.126.19%=，所以华南地区的营收额比河南省的3倍还多，故B正确；C：华东地区的营收额占比为35.17%，西南地区的营收额占比为13.41%，东北地区的营收额占比为11.60%，湖北的营收额占比为7.29%，有13.41%+11.60%+7.29%=32.3%<35.17%，故C正确；D：湖南的营收额占比为7.00%，华中地区的营收额占比为20.48%，有7.00%34.2%20.48%=，故D错误.故选：D.4.如图，网格小正方形的边长为1，网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A.14B.7C.143D.73【正确答案】C【分析】由三视图还原出原几何体为三棱台以及各边的关系，先证明1CC ⊥平面ABC ，得出棱台的高.然后求出上下底面的面积，根据棱台的体积公式，即可得出答案.【详解】如图，由三视图还原可得，原几何体为三棱台，且有1CC CA ⊥，1CC CB ⊥，AC BC ⊥，1111AC B C ⊥.因为CA ⊂平面ABC ，CB ⊂平面ABC ，CA CB C ⋂=，所以1CC ⊥平面ABC .又12CC =，所以，三棱台的高即为12h CC ==.又2AC =，4BC =，111AC =，112B C =，AC BC ⊥，1111ACB C ⊥，所以11124422ABCS SAC BC ==⨯⨯=⨯=，111211111112122A B C S S AC B C ==⨯⨯=⨯⨯=，所以，由棱台的体积公式(121213V S S S S h =+()114142233=⨯++⨯=.故选：C.5.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（）A.13B.23C.49D.59【正确答案】D【分析】根据题意，由列举法分别得到三个数之积为偶数的情况数与三个数之和不小于9的情况，即可得到结果.【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为()()()()()()()()()()1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,3,5,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，10种情况，若这三个数之积为偶数有()()()()()()()()()1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，9种情况，它们之和不小于9共有()()()()()1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，5种情况，从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为59P =．故选:D ．6.函数()21ln 11x x x f x x x -+⎛⎫= ⎪--⎝⎭的图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】先求得()f x 的定义域并化简其解析式，再利用函数奇偶性排除选项CD ，最后利用特值法排除选项B ，进而得到正确选项A.【详解】由101xx+>-，可得11x -<<，则()f x 定义域为()1,1-，则()22111ln ln ln 11111x x x x x x x f x x x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()111ln ln ln 111x x x f x x x x f x x x x --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--==-= ⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 为偶函数，其图像关于y 轴对称，排除选项CD ；又111112ln ln 30122212f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎪-⎝⎭，则排除选项B ，正确选项为A.故选：A7.将函数()cos f x x π=图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移13个单位长度，得到()g x 的图象，则()2021g =（）A.12-B.32C.12D.2【正确答案】C【分析】由图像伸缩平移变换知，()1cos[(cos()2326g x x x πππ=-=-，将2021x =代入即可求得结果.【详解】由图像伸缩平移变换知，()1cos[(cos()2326g x x x πππ=-=-，则()202112021cos()262g ππ=-=故选：C8.已知点F 是抛物线:C 24y x =的焦点，过点F 的直线交抛物线C 于点P ，交y 轴于点Q ，若2FQ FP =，则点P 的坐标为A.1()2B.(2,1)±C.(1,2)± D.1(,2【正确答案】D【分析】根据2FQ FP =可知，点P 为FQ 的中点，利用中点公式可得点P 的横坐标，将其代入到24y x =可得其纵坐标.【详解】因为2FQ FP =，所以P 为FQ 的中点，因为2p =，所以12p=，所以(1,0)F ，因为Q 的横坐标为0，所以P 的横坐标为12，将其代入到24y x =可得点P 的纵坐标为，故点P 的坐标为1(,2.故选：D本题考查了向量的线性运算，考查了中点坐标公式，考查了抛物线的几何性质，属于基础题.9.数列{}n a 中，1log (2)(N )n n a n n *+=+∈，定义：使12k a a a ⋅⋅⋅ 为整数的数k (N )k *∈叫做期盼数，则区间[1,2023]内的所有期盼数的和等于（）A.2023B.2024C.2025D.2026【正确答案】D【分析】利用换底公式与累乘法把123k a a a a ⋅⋅⋅⋯⋅化为2log (2)k +，然后根据123k a a a a ⋅⋅⋅⋯⋅为整数，可得22n k =-，最后由等比数列前n 项和公式求解．【详解】解：()()+1lg 2log (2)lg 1n n n a n n +=+=+ ，*()N n ∈，()()1232lg 2lg 3lg 4lg 5log (2)lg 2lg 3lg 4lg 1k k a a a a k k +∴⋅⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋅⋅=++ ，又123k a a a a ⋅⋅⋅⋯⋅ 为整数，2k ∴+必须是2的n 次幂*()N n ∈，即22n k =-．[1,2023]k ∈内所有的“幸运数”的和：()()()()2341022222222S =-+-+-+⋯+-102(12)20202612-=-=-，故选：D ．10.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y y +-=，若直线1y kx =-上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的值不可能是（）A.1- B.14-C.12D.34【正确答案】B【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，依题意P 、C 及两切点构成正方形且PC =，即可得到不等式，求出k 的取值范围，即可判断.【详解】由2240x y y +-=，得22(2)4x y +-=，则圆心()0,2C ，半径2r =，因为过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，所以P 、C 及两切点构成边长为2的正方形，且对角线PC =又P 在直线1y kx =-上，则圆心到直线的距离d =≤，解得4k ≥或4k ≤-，即,,44k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭，根据选项，满足条件的为B ．故选：B ．11.如图，在已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为平行四边形，,,,E M N P 分别是111,,,BC BB A D AA 的中点，以下说法错误的是（）A.若1BC =，12AA =，则1DP BC ^B.//MN CD C.//MN 平面1C DED.若AB BC =，则平面11AA C C ⊥平面1A BD 【正确答案】B【分析】利用正切值相等可说明11AD A APD ∠=∠，由此可得1AD DP ⊥，结合平行关系可知A 正确；由//CD MP ，MP MN M ⋂=可知B 错误；通过证明四边形DEMN 为平行四边形可得//MN DE ，由线面平行判定可知C 正确；根据BD AC ⊥，1BD AA ⊥，由线面垂直和面面垂直的判定可知D 正确.【详解】对于A ，连接1AD，111111tan 2AA AA AD A A D BC∠=== ，1tan 212AD BCAPD AP AA ∠===，11AD A APD ∴∠=∠，又1111π2AD A D AA ∠+∠=，11π2APD D AA ∴∠+∠=，即1AD DP ⊥；11////C D CD AB ，11C D A C D B ==，∴四边形11ABC D 为平行四边形，11//BC AD ∴，1DP BC ∴⊥，A 正确；对于B ，连接,MP CM ，,M P 分别为11,BB AA 中点，MP//AB ∴，又//AB CD ，//MP CD ∴，MN MP M ⋂= ，MN ∴与CD 不平行，B 错误；对于C ，连接1,EM B C ，,M E 分别为1,BB BC 中点，1//EM B C ∴，112EM B C =；11//A B CD ，11A B CD =，∴四边形11A B CD 为平行四边形，11//A D B C ∴，11A D B C =，N Q 为1A D 中点，112ND A D ∴=，//ND EM ∴，ND EM =，∴四边形DEMN 为平行四边形，//DE MN ∴，又DE ⊂平面1C DE ，MN ⊄平面1C DE ，//MN ∴平面1C DE ，C 正确；对于D ，连接1A B ，AB BC = ，四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥；1AA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ∴⊥，又1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11AAC C ，BD ∴⊥平面11AAC C ，BD ⊂Q 平面1A BD ，∴平面11AA C C ⊥平面1A BD ，D 正确.故选：B .12.已知关于x 的方程2x e ax =有三个不等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A.1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.(),e +∞ D.()2,e +∞【正确答案】B【分析】参变分离后可根据直线y a =与函数()()20xe f x x x=≠的图象有3个不同的交点可得实数a 的取值范围.【详解】问题等价于2xe a x=又三个不等的实数根，令()()20xe f x x x =≠，()()32x e x f x x-'=，当(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，当()2,+x ∈∞时，()0f x ¢>，当()0,2x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-和()2,∞+上为增函数，在()0,2上为减函数，又()0f x >，且极小值为()224e f =，()f x 的图象如图所示：因此y a =与()f x 的图象有三个不同的交点时，24e a >.故选：B.方法点睛：对于导数背景下的函数零点问题，我们可以针对不同的题型采取不同的策略：（1）填空题或选择题类：可以采用参变分离的方法把参数的范围问题归结为动直线与不含参数的函数的图象的交点问题，后者可以利用导数来刻画图象；（2）解题类：一般不可以利用参变分离的方法来处理，因为函数的图象可能有渐近线，一般地利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理来判断.二、填空题13.函数x y xe =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为_______．【正确答案】0x y -=【分析】利用导数的几何意义求函数图象在某一点处的切线方程.【详解】因为()x f x xe =，所以()()'11x x x f x e xe x e =⋅+=+.有()00f =，()'01f =，所以函数()x f x xe =的图象在点(0,0)处的切线方程为()010y x -=⋅-，即0x y -=.故答案为.0x y -=14.已知向量a ，b 满足1a =，b = ，a ，b 的夹角为150°，则2a b + 与a 的夹角为______.【正确答案】60︒【分析】根据向量数量积的定义，求得a b ⋅的值，利用平面向量的几何意义和数量积的运算律求得|2|1a b += 、1()22a a b +⋅= ，结合夹角公式计算即可求解.【详解】因为1,a b == ，a 与b 的夹角为150︒，所以3cos1502a b a b ︒⋅==- ，所以()222222|2|2444||||41a b a b a b a b a b a b +=+=+=⋅=+⋅++ ，得|2|1a b += ，又21()222a a a b a b ⋅=++⋅= ，所以22()1cos ,22a b a a a b a a b ++⋅==+ ，又因为,002,18a a b ︒⎡⎤∈⎣⎦+ ，所以,602a a b ︒+= .故答案为.60︒15.写出一个具有下列性质①②的数列{}n a 的通项公式n a =______．①122n n n a a a ++=+；②数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值．【正确答案】26n -(答案不唯一)【分析】根据122n n n a a a ++=+判断数列{}n a 是等差数列，根据n S 存在最小值可知等差数列首项为负数，公差为正数，从而可写出满足条件的等差数列．【详解】∵122n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 是等差数列，∵数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，∴等差数列{}n a 的公差0d >，10a <，显然26n a n =-满足题意．故26n -．16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点,M N 是C 的一条渐近线上的两点，且2MN MO = （O 为坐标原点），12MN F F =．若P 为C 的左顶点，且135MPN ∠= ，则双曲线C 的离心率为_____【分析】根据2MN MO = ，可得,M N 关于原点对称，从而可得四边形12MF NF 为平行四边形，再根据12MN F F =，可得四边形12MF NF 为矩形，再求出,M N 的坐标，求出,PM PN ，再利用余弦定理构造齐次式即可得解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，因为2MN MO = ，所以ON MO = ，所以,M N 关于原点对称，又12OF OF =，所以四边形12MF NF 为平行四边形，又12MN F F =，所以四边形12MF NF 为矩形，因为以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，不妨设,M N 所在的渐近线方程为()00,,b y x M x y a=，则()00,N x y --，由222b y x a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得,x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，不妨设()(),,,M a b N a b --，因为P 为双曲线的左顶点，所以(),0P a -，所以PM PN b ===，又2,135MN c MPN ∠== ，由余弦定理得222||||||2||||cos135MN MP NP MP NP =+-⋅，即22224()c a a b b =++++2b a =，所以离心率c e a ===．方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得a 、c 的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率e 的值或取值范围；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程或不等式，然后转化为关于e 的方程或不等式求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围.三、解答题17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos 2sin cos sin A B A A B =-．（1）求sin sin C A的值；（2）若3b =，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：11cos 16B =；条件②：15sin 4C =；条件③：ABC 的周长为9．【正确答案】（1）2（2）4【分析】（1）根据三角恒等变换分析运算即可；（2）由（1）可得2c a =，若选条件①：利用余弦定理可求得,a c ，进而面积公式分析运算；若选条件②：分C 为锐角和C 为钝角两种情况讨论，利用余弦定理可求,a c ，结合题意分析判断；若选条件③：根据题意可求得,a c ，利用余弦定理结合面积公式运算求解.【小问1详解】∵sin cos 2sin cos sin A B A A B =-，则()2sin sin cos cos sin sin sin A A B A B A B C =+=+=，∴sin 2sin C A=.【小问2详解】由（1）可得sin 2sin C A =，由正弦定理可得2c a =，若选条件①：由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，即2224911416a a a +-=，注意到0a >，解得2a =，则4c =，由三角形的性质可知此时ABC 存在且唯一确定，∵11cos 016B =>，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin 16B ==，∴ABC 的面积11sin 2422164ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△.若选条件②：∵c a >，可得C A >，则有：若C 为锐角，则1cos 4C ==，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，即2219446a a a+-=，整理得：2260a a +-=，且0a >，解得32a =，则3c =；若C 为钝角，则1cos 4C ==-，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=，即2219446a a a+--=，整理得：2260a a --=，且0a >，解得2a =，则4c =；综上所述：此时ABC 存在但不唯一确定，不合题意.若条件③：由题意可得：9a b c ++=，即329a a ++=，解得2a =，则4c =，由三角形的性质可知此时ABC 存在且唯一确定，由余弦定理可得222416911cos 0222416a cb B ac +-+-===>⨯⨯，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin 16B ==，∴ABC的面积11sin 2422164ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△.18.一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x （单位：千万元）对每件产品成本y （单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入i x 和每件产品成本()1,2,3,,10i y i = 的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：6.8x =，70y =，10113i i x ==∑，10211 1.6i i x ==∑，101350i i i y x ==∑.（1）根据散点图可知，可用函数模型b y a x=+拟合y 与x 的关系，试建立y 关于x 的回归方程；（2）已知该产品的年销售额m （单位：千万元）与每件产品成本y 的关系为222001005002510y y m y =-+++-.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x 为何值时，年利润的预报值最大？（注：年利润=年销售额一年投入成本）参考公式：对于一组数据()11,u v 、()22,u v 、L 、(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小乘估计分别为：1221n i i i n i i u v nuv u nuβ==-=-∑∑， ˆv u αβ=-.【正确答案】（1）20010y x=+（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值【分析】（1）令1u x=，可得出y 关于u 的线性回归方程为y u αβ=+，利用最小二乘法可求出β、α的值，即可得出y 关于x 的回归方程；（2）由20010y x=+可得20010x y =-，可计算出年利润M 关于y 的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得M 的最小值及其对应的x 值.【小问1详解】解：令1u x=，则y 关于u 的线性回归方程为y u αβ=+，由题意可得1221103502102001.60.910n i n i i i i u y u y u uβ==--===--∑∑，702000.310y x αβ=-=-⨯=，则10200y u =+，所以，y 关于x 的回归方程为20010y x=+.【小问2详解】解：由20010y x=+可得20010x y =-，年利润222002001010010500251010y y M m x y y =--=-+++----()212090.8500y =--+，当20y =时，年利润M 取得最大值，此时20020020102010x y ===--，所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值.19.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,E F 分别为1,AD CC 的中点.（1）已知点G 满足14DD DG = ，求证,,,B E G F 四点共面；（2）求点1C 到平面BEF 的距离.【正确答案】（1）证明见解析（2）21【分析】（1）作1DD 中点H ，连接,AH HF ，根据ABFH 是平行四边形和EG 为中位线，得到∥EG BF 证明；（2）设1C 到平面BEF 的距离为h 和E 到平面1BC 的距离为2AB =，利用11C BEF E BC F V V --=求解.【小问1详解】证明：如图，作1DD 中点H ，连接,AH HF ，因为ABFH 是平行四边形，所以BF AH ∥，在AHD 中，EG 为中位线，故EG AH ∥，所以∥EG BF ，故,,,B E G F 四点共面．【小问2详解】设1C 到平面BEF 的距离为h ，点E 到平面1BC 的距离为2AB =，在BEF △中，BE BF EF ===．故BEF △的面积212BEF S=．同理11BC F S =，由三棱锥1C BEF -的体积11C BEF E BC F V V --=，所以111233BEF BC F S h S ⋅=⋅，得42121h =．故1C 到平面BEF 的距离为42121．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，A ，B 是其左、右顶点，M 是椭圆上异于A ，B 的动点，且34MA MB k k ⋅=-．（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 为直线4x =上一点，PA ，PB 分别与椭圆交于C ，D 两点．①证明：直线CD 过椭圆右焦点2F ；②椭圆的左焦点为1F ，求1CF D 的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【正确答案】（1）22143x y +=（2）①证明见解析；②定值为8.【分析】（1）由题意可得2a =，()2,0A -，()2,0B ，设()()000,2M x y x ≠±，可得22220044b x y b +=，进而根据题意即可求解；（2）①设(4,)(0)P t t ≠，联立直线和椭圆方程，求得22254218,2727t t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，222266,33t t D t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，进而得到2F C ，2F D ，再根据向量共线的定义即可得证；②根据椭圆的定义即可求解.【小问1详解】由已知得：2a =，()2,0A -，()2,0B ，设()()000,2M x y x ≠±，因为M 在椭圆上，所以22220044b x y b +=①因为2000200032244MA MBy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--，将①式代入，得2222004123b b x x -=-，得23b =，所以椭圆22:143x y C +=．【小问2详解】①证明：设(4,)(0)P t t ≠，则6PA t k =，6:2PA l x y t=-，同理可得2PB t k =，2:2PB l x y t =+，联立方程2262143x y t x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得21827C t y t =+，2254227C t x t -=+，则22254218,2727t t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．同理联立方程2222143x y t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得263D t y t -=+，22263D t x t -=+，则222266,33t tD t t⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.又椭圆的右焦点为()21,0F ，所以222227318,2727t t F C t t ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ ，222296,33t t F D t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，因为22222227361890273273t t t t t t t t---⨯-⨯=++++，说明C ，D ，1F 三点共线，即直线CD 恒过1F 点．②周长为定值．因为直线CD 恒过1F 点，根据椭圆的定义，所以1CF D 的周长为48a =．21.已知函数()2ln 22x f x x ax =+-，a 为常数，且0a >.（1）判断()f x 的单调性；（2）当01a <<时，如果存在两个不同的正实数m ，n 且()()14f m f n a +=-，证明.2m n +>【正确答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）运用导数，分类讨论01a <≤与1a >时()f x 的单调性.（2）计算(1)f 的值，结合已知可得()()()21f m f n f +=，运用()f x 的单调性进而可设01m n <<<，运用()f x 的单调性及已知条件等量代换将问题转化为求证()()214f m f m a +-<-（01m <<），构造函数()()()2F x f x f x =+-，()0,1x ∈运用导数研究其单调性即可求证.【小问1详解】∵()2ln 22x f x x ax =+-，∴()21212x ax f x x a x x-+'=+-=，()0,x ∈+∞，记()221g x x ax =-+，①当2440a ∆=-≤，即01a <≤时，()2210g x x ax =-+≥恒成立，所以()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.②当2440a ∆=->，即1a >时，方程有两个不等实根，且1202a x a ==->，2202a x a +==+>，∴(0,x a ∀∈-，2210x ax -+>，()0f x ¢>，()f x 单调递增，(x a a ∀∈-+，2210x ax -+<，()0f x '<，()f x 单调递减，()x a ∀∈++∞，2210x ax -+>，()0f x ¢>，()f x 单调递增，综上所述：①当01a <≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，②当1a >时，()f x 在(0,a 和()a +∞上单调递增，在(a a +上单调递减.【小问2详解】∵()1122f a =-，∴()()()1421f m f n a f +=-=，由（1）可知01a <<时，()f x 在()0,∞+上单调递增，故不妨设01m n <<<，要证：2m n +>，即证：21n m >->，又∵当01a <<时，()f x 在()0,∞+上单调递增，∴只需证()()2f n f m >-，又∵()()14f m f n a +=-，∴只需证：()()142a f m f m -->-，即证：()()214f m f m a +-<-，（01m <<），记()()()2F x f x f x =+-，()0,1x ∈，()()()()()()32111222222x F x f x f x x a x a x x x x -'''=--=+----+=---，∴当()0,1x ∈时，()0F x '>恒成立，()F x 单调递增，∴()()()12114F x F f a <==-，∴原命题得证.即2m n +>.方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22.杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022），简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办；2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变。

2024届四川省成都市高三高考适应性考试数学（文）模拟试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则实数的所有可能取值的集合为（{}{}1,1,20A B x ax =-=+=∣B A ⊆a ）A.B.C.D.{}2-{}2{}2,2-{}2,0,2-2.复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（ ）2i1i a z -+=-a C.-D.- B.2C.-1D.-23.已知为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（）,a b 0a b >>A. B.11a b >()()ln 1ln 1a b +>+C.33a b >>>4.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（）A.33B.34C.35D.365.函数的大致图象是（）()()1ln 1f x x x =+-A. B.C. D.6.在区间上随机地取一个数，使恒成立的概率是（）[]2,4-x 2sin x x …A. B. C. D.131223347.设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若24y x=F P Q ，则（ ）30PQF ∠= PQ =A. C. 23438.变量满足约束条件则目标函数的取值范围是（ ）,x y 22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩ (3)z x y =+-A. B. C. D.3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,69.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为，()0146V h S S S =+'+其中分别是上､下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑,S S '0S h 材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米､宽10米，堆高1米，上底面的长､宽比下底面的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A.51车B.52车C.54车D.56车10.设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围ABC ,,A B C ,,a b c 2,2c B C ==a b +为（）A.B.()2,10()2+C.D.(24++()4+11.已知菱形中，，现将菱形沿对角线折起，当时，三棱锥ABCD π3A =ABCDBD AC =的体积为，则此时三棱锥外接球的表面积为（ ）A BCD -92A BCD -A. B.D.28π7π40π12.在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数,M N ()f x =图象上的动点，对任意的最小值为（ ）()()e ln x g x ax ax =-0,a MN>11-1+第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为__________.()()ln 2f x x =+-14.若函数的图象关于直线对称，则__________.()sin cos f x a x x=+π6x =-a =15.已知双曲线的左､右焦点分别为为左支上一点，22221(0,0)x y a b a b -=>>12,,F F P 的内切圆圆心为，直线与轴交于点，若双曲线的离心率为，则12122π,3PF F PF F ∠=I PI x Q 54__________.PI IQ=16.已知数列满足，函数在处取得最大值，若{}n a 1ln 1n n a a +=+()ln 1xf x x =+0x x =，则__________.()420ln 1a a x =+12a a +=三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，P ABCD -,AD BC PA =∥.4,5,3AD BC AC PB PC AB ======（1）设的中点为，求与所成角的余弦值；PC M BM PA （2）求三棱锥的体积.P ABC -18.（本小题满分12分）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.12（1）求前三个问题回答结束后乙获胜的概率；（2）求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.19.（本小题满分12分）已知数列满足，当时，{}n a 121,1a a ==3n (12)2,,21,.n n n n a a n a a n ---+⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）求和，并证明当为偶数时是等比数列；4a 6a n {}1n a +（2）求.13529a a a a ++++ 20.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的2:2(1)E x py p =>F ()1,1P -E 两条切线，切点分别为.,,5M N FM FN +=（1）求抛物线的方程；E （2）过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于P 12,l l 1l E ,A B 2l E 两点，连接，设的斜率分别为，问：,C D ,,,AD BC AC BD ,,AC AB BD ,,AC AB BD k k k 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.AC AB BD AB k k k k +21.（本小题满分12分）设.()()21e sin 3x f x a x =-+-（1）当的零点个数；a =()f x （2）函数，若对任意，恒有，求实数的取值()()2sin 22h x f x x x ax =--++0x …()0h x >a 范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的渐近线方程为，直线过点xOy 22:1C mx ny +=(),3,0y x D =±-l，且倾斜角为.以点为极点，以从点出发与轴正方向同方向的射线为极轴，建立()1,0B 60 D D x 极坐标系，点在曲线上.5π6,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭C （1）写出曲线在第二象限的一个参数方程和直线的极坐标方程；C l （2）曲线与直线相交于点，线段的中点为，求的面积.C l ,M N MN Q DBQ 23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设.()22123f x x x =---（1）解不等式：；()4f x >-（2）设的最大值为，已知正数和满足，令，求()f x M a b a b M +=2222a b Z a b b a =+++的最小值.Z答案及解析1.【正确答案】D 当时，；当时，.故选D.B =∅0a =B ≠∅2a =±2.【正确答案】D 因为在复平面上对应的点位()()()()()2i 1i 22i 2i 1i 1i 1i 2a a a a z -++--+--+===--+于虚轴上，所以即.故选D.20,20,a a --=⎧⎨-≠⎩2a =-3.【正确答案】B 对于A ，若，则不能推出；若，则必定有，11a b >0a b >>0a b >>11a b <所以既不是充分条件也不是必要条件，故A 错误.对于B ，若，则根据对数函()()ln 1ln 1a b +>+数的单调性可知，但不能推出，但是1101a b a b +>+>⇒>>-0a b >>，故B 正确.对于C ，因为等价于，所以是充分必要01a b a b >>⇒>>-330a b >>0a b>>条件，故C 错误.对于D ，则必有，所以是充分不必要条件，故>10a b >>…D 错误.故选B.4.【正确答案】B 据条件可得，符号为“”表示的二进制数为，则其表示的十进制数是.故选B.01234502120202021234⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=5.【正确答案】B 因为，所以，故排除C ，D ；当()()1ln 1f x x x =+-113ln 0222f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭时，恒成立，排除A.故选B.2x >()()()1ln 10f x x x =+->6.【正确答案】A 设函数，则，所以为递增函数，()2sin f x x x=-()2cos 0f x x =->'()f x 且0，所以当时，；当时，，所以不等式()0f =0x >()()00f x f >=0x …()()00f x f =…的解集为.又因为，所以不等式的解集为.由长度比的2sin x x …(],0∞-[]2,4x ∈-2sin x x …[]2,0-几何概型的概率计算可得，使恒成立的概率是.故选A.2sin x x …()()021423P --==--7.【正确答案】C 由题易知，的倾斜角为，从而.PF 1202411cos120312p PQ PF ====-+ 故选C.8.【正确答案】B 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，三个交点的坐标22,24,41x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩………分别为，目标函数，即，当目标函数()()10,1,,3,2,02⎛⎫ ⎪⎝⎭33z x y x y =+-=-+3y x z =+-过点时取得最大值为5，过点时取得最小值为，所以目标函数()2,0z 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭z 12的取值范围是.故选B.3z x y =+-1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.【正确答案】B 由条件可知，上底面长18米､宽8米，中截面长19米､宽9米，则上底面面积（平方米），中截面面积（平方米），下底面面积188144S =⨯=0199171S =⨯=（平方米），所以这堆建筑材料的体积2010200S =⨯='（立方米），所以这堆建筑材料约重（吨）()15141144417120063V =⨯⨯+⨯+=514 1.52573⨯=，需要的卡车次为，所以至少需要运52车.故选B.257551.4÷=10.【正确答案】C 在中，由及正弦定理，得ABC 2,ππ3,2B C A B C C c ==--=-=.又为锐角三角形，所以()()22sin3sin224cos 2cos 1sin C C a b C C C++==+-ABC ，即，所以，则ππ0,022B A <<<<ππ02,0π322C C <<<-<ππ64C <<.故选C.(24a b +∈++11.【正确答案】A 如图1，连接交于点，不妨设菱形的边长为，则AC BD E ABCD a .将菱形沿对角线折起，如图2所示，分别为正AE CE a==ABCD BD 12,OO 的中心，过点分别作平面和平面的垂线交于点，则,ABD CBD 12,O O ABD CBD O .在等腰中，1212,O E O E AO CO ====AEC,AE CEAC ===平面，则，所以BD ⊥AEC 11193322A BCDAEC V S BD a -=⋅=⨯⨯=，即（舍去），得.在中，由余弦定理，得429360a a --=212a =23a =-a =AEC，则在直角中，，所以.设三棱锥2π3AEC ∠=1OO E 1π6O OE ∠=11OO E ==外接球的半径为，则，故外接球的表面积为.故选A.A BCD-R 222117R OO AO =+=24π28πR =12.【正确答案】B 令，即点在圆()y f x ==()22(2)10x y y -+=…M 心为，半径为1的半圆上.，当且仅当()2,0()()()ln e 1ln 11x ax g x x ax x x +⎡⎤=-+++++⎣⎦…时等号成立，所以曲线的一条切线为.通过数形结合可知，当()ln 0x ax +=()g x 1y x =+分别为对应切点，且.与两切线垂直时，取得最小值，即的最小值为圆心,M N MN MN MN 到直线的距离减去半径，即的最小值为.过圆心()2,01y x =+MN11=-与垂直的直线方程为，与直线平行的函数的切线方程为()2,01y x =+2y x =-+1y x =+()f x 设，所以当且仅当即2y x =-+()(),,,M M N N M x y N x y ()2,2ln 021,M M M M NN N N N N y x y x x ax y x y x ⎧⎪⎪=-+⎪⎪=-+⎨⎪+=⎪⎪=-+⎪=+⎩时，取到最小值.综上所述，.故选B.121,223,,22e N M NM x x y y a -⎧⎧=⎪⎪⎪⎪=⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩MN 1MN …13.【正确答案】由题意，得且，即.[)1,2-10x +…20x ->12x -<…14.【正确答案】因为的周期且直线()()sin cosf x a x x x ϕ=+=+2πT =为对称轴，所以点为的对称中心，所以，解得π6x =-π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π1032f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.a =15.【正确答案】2 设，则，所以，又因为PIIQ λ=1212PF PF F Q F Q λ==1122PF F QPF F Q λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以在中，由余弦定理，得21122,2,PF PF a F Q F Q c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩12,.PF c a PF c a λλ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩12PF F ，即2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F ∠=+-⋅⋅，所以，即()2221()()(2)222c a c a c c a c λλλ⎛⎫+=-+--⋅⋅- ⎪⎝⎭()()24242e e λλ+=+.又因为，所以.()212eλλ+=+54e =2λ=16.【正确答案】-2 因为，所以令，则()21ln (1)x xx f x x '+-=+()11ln 1ln x u x x x x x +=-=+-在上单调递减，且.由零点存在定理可知，存()u x ()0,∞+()()22312ln20,e 102e u u =->=-<在唯一的，使得，即，即①，所以()202,e x ∈()00u x =0001ln x x x +=()0000ln 11x f x x x ==+在上单调递增，在上单调递减.由，得()f x ()00,x ()0,x ∞+1ln 1n n a a +=+.又，得②.433221ln 1,ln 1,ln 1a a a a a a =+=+=+()420ln 1a a x =+()323043ln 11ln 1a a f a x a a +===+由①②可知，，则，所以，即，()()0301f x f a x ==30a x =2301ln ln a a x +==2001ln 1a x x =-=所以，所以0，即.1201ln ln a a x +==-()()2111a a +++=122a a +=-17.解：（1）如图，设的中点为，连接.AC N ,MN BN 因为分别是的中点，,M N ,PC AC 所以，1152,,222MN PA MC PC MN ====∥PA 所以是异面直线与所成角或其补角.BMN ∠BM PA 在中，.BPC 2222224552cos 22455BC PC PB BCP BC PC ∠+-+-===⋅⋅⨯⨯在中，，BCM 22222552572cos 4242254BM BC MC BC MC BCP ∠⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭所以BM =在中，因为，所以，ABC 222AB BC AC +=AB BC ⊥所以.1522BN AC ==在中，，BMN22222575242cos 2BM MN BN BMN BM MN ∠⎛⎫+-+-====⋅⋅所以与.BM PA （2）因为，AD ∥,BC AD BC =所以四边形是平行四边形.ABCD 又由（1）知，即，AB BC ⊥90ABC ∠=所以四边形是长方形，ABCD 则.3,CD AB CD ==∥,,AB AB AD CD AD ⊥⊥因为，222AB AP BP +=所以.AB AP ⊥又因为平面，,,AD AP A AD AP ⋂=⊂PAD 所以平面.AB ⊥PAD 又因为平面，AB ⊂ABCD所以平面平面.ABCD ⊥PAD 如图，过点作，垂足为，连接.P PH AD ⊥H ,HB HC 因为平面平面，平面平面平面，ABCD ⊥PAD ABCD ⋂,PAD AD PH =⊂PAD 所以平面.PH ⊥ABCD 又因为平面，,HB HC ⊂ABCD 所以.,PH HB PH HC ⊥⊥又因为，所以.PB PC =HB HC =又因为，,,AB AD CD AD AB CD ⊥⊥=所以，AH DH =即是的中点.H AD 因为平面，CD ∥,AB AB ⊥PAD 所以平面，CD ⊥PAD 所以，CD PD ⊥所以，所以，222225316PD PC CD =-=-=4PD =所以，PA AD PD ==所以为等边三角形，PAD 所以PH =所以11134332P ABC ABC V S PH -=⋅=⨯⨯⨯⨯= 即三棱锥的体积为P ABC -18.解：（1）设“甲回答问题且得分”为事件，“甲回答问题但对方得分”为事件，“乙回答问题A A 且得分”为事件，“乙回答问题但对方得分”为事件.B B 记“前三个问题回答结束后乙获胜”为事件.C前三个问题回答的情况有8种：，,,,,,,,AAA AAA AAB AAB ABB ABB ABA ABA 其中事件只包含了1种情况，即，C ABB 所以，()()18P C P ABB ==即前三个问题回答结束后乙获胜的概率为.18（2）记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件.D 由（1）可得，.()()()()11178163232P D P AAA P AAAB P AAABB =++=++=即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为.73219.解：（1）由已知，得.4264213,217a a a a =+==+=当且为偶数时，，3n …n 221n n a a -=+即.()2121n n a a -+=+又，212a +=所以当为偶数时，数列是以2为首项，2为公比的等比数列.n {}1n a +（2）由（1）可知，当为偶数时，，即.n 12122n n a -+=⋅221n n a =-当为奇数时，设，n ()*21n k k =+∈N 则21221k k k a a a +-=+2121k k a -=-+222321k k k a a --=-++1232121k k k a --=-+-+=111212121k k a -=-+-++-+()121212kk a⋅-=-+-121k k +=--所以当为奇数时，，n 12122n n n a ++=-所以()()()()1231513529212223215a a a a ++++=-+-+-++- ()()1521211515122⨯-+⨯=--162122.=-20.解：（1）设切点，221212,,,22x x M x N x p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则以为切点的切线方程为.M ()21112x x y x x p p -=-因为切线过点，()1,1P -所以.211220x x p --=同理，，222220x x p --=所以.12122,2x x x x p +==-又因为，()2221212122522222x x x x x xp p FM FN p p pp+-+=+++=+=所以，即.2320p p -+=()()120p p --=又因为，所以，1p >2p =所以抛物线的方程为.E 24x y =（2）设直线的方程为.1l()11y k x +=-联立直线和抛物线的方程，得1l E ()21,4,y kx k x y ⎧=-+⎨=⎩所以.()24410x kx k -++=设，()()()(),,,,,,,A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y 则.4A B x x k +=同理，4C D x x k+=-所以C AD BAC BD C A D By y y y k k x x x x --+=+--22224444C A D BC AD Bx x x x x x x x --=+--44C AD Bx x x x ++=+()()4A B C D x x x x +++=0,=所以，()0AC AB BD AB AC BD AB k k k k k k k +=+⋅=所以等于定值0.AC AB BD AB k k k k +21.解：（1）当.a =()()e sin 3,e cos x x f x x f x x=+-=+'①当时，，则，(),0x ∞∈-()[]e 0,1,sin 1,1x x ∈∈-()0f x <所以在上无零点.()f x (),0∞-②当时，，则在上单调递增.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0f x '>()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦又因为，()πln22π020,e 2e 202f f ⎛⎫=-<=->-= ⎪⎝⎭所以，()00π0,,02x f x ⎡⎤∃∈=⎢⎥⎣⎦所以在上有一个零点.()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦③当时，，π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()πln42e 13e 40f x >-->-=所以在上无零点.()f x π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭综上所述，当时，函数在上只有一个零点.a =()f x (),∞∞-+（2）对任意，恒有，0x …()0h x >即恒成立，()221e 210x ax ax --+->即恒成立，22211e xx ax a -+<-即恒成立.()222110e xx ax a -+--<设，()()[)22211,0,e xx ax g x a x ∞-+=--∈+则.()()()()21212221ee xxx x a x a x a g x '⎡⎤---+-++--⎣⎦==①当时，在上单调递增，在上单调递减，12a -…()g x ()0,1()1,∞+所以只需，()()2max 22()110e ag x g a -==--<即()()e e 210,a a ++->解得.()e 2,1,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭又因为，12a -…所以.e 2,e a ∞+⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭②当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调102a -<<()g x ()0,21a +()21,1a +()1,∞+递减，所以只需()()00,10.g g ⎧<⎪⎨<⎪⎩由，()()()2222110,020e ag a g a -=--<=-<解得，这与矛盾，舍去.)e 2,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭102a -<<③当时，在上单调递减，0a =()g x ()0,∞+所以只需，得，这与矛盾，舍去.()00g <22a >0a =④当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，0a >()g x ()0,1()1,21a +()21,a ∞++所以只需()()210,00.g a g ⎧+<⎪⎨<⎪⎩因为，且，()()()()2222121(21)22112221110e e a a a a a a g a a a +++-++++=--=--<10a +>所以.2121e a a +->又，所以()2020,0g aa <=->a >所以，212110.4ea a +->->>>>所以满足条件.)a ∞∈+综上所述，实数的取值范围是.a )e 2,e ∞∞+⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭22.解：（1）设曲线的方程为.C 221x y λλ-=点的直角坐标为.5π6,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,-将点的直角坐标代入曲线的方程，得，AC 201λ=所以，27λ=-所以曲线的普通方程为，C 2212727y x -=所以曲线在第二象限的一个参数方程为参数.（参数方程不唯一）C ,x y α⎧=⎪⎨=⎪⎩π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭设在轴上方直线上任意一点的极坐标为，连接.x l E (),ρθED 在中，，由正弦定理，得，即BED 4DB =sin sin DB EDBED EBD ∠∠=，()()4sin 60sin 18060ρθ=--所以，()4sin60sin 60ρθ=-所以()sin 60ρθ-= 经验证，在轴上及轴下方直线上的点也满足上式，x x l 所以直线的极坐标方程为l ()sin 60ρθ-= （2）设直线的参数方程为（为参数）.l 11,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 联立直线的参数方程和曲线的普通方程，得.l C 22560t t --=设对应的参数为，则.，,BM BN 12,t t 1212t t +=所以.1BQ =在中，DBQ 11sin 41sin12022DBQ S DB BQ DBQ ∠=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 23.解：（1）因为是偶函数，所以只需针对时的情况展开讨论.()f x 0x …()f x 当时，，此时不等式化为，得，舍[)0,1x ∈()()2221235f x x x x =---=-254x ->-21x >去；当时，，此时不等式化为，，所以x ⎡∈⎣()()22212337f x xx x =---=-2374x ->-(;x ∈当时，，此时不等式化为，得)x ∞∈+()()2221235f x xx x =---=-+254x -+>-，所以.29x <)x ∈综上所述，所求不等式的解集为.()()1,33,1⋃--（2）由（1）可知，当时，的值域为；[)0,1x ∈()f x [)5,4--当的值域为；(),x f x ⎡∈⎣[)4,2-当的值域为.)(),x f x ∞∈+(],2∞-因此，当时，的值域为，x ∈R ()f x (],2∞-所以的最大值为2，则，()f x 2a b +=所以，()()222233222221111()2222a b a b a b a b a b a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…即①，当且仅当时等号成立.22211()4222a b a b b a ++=⨯=…1a b ==因为，2a b =+…1ab …所以，222()2422a b a b ab ab +=+-=-…即②，当且仅当时等号成立.222a b +…1a b ==由①+②，得，当且仅当时等号成立，22224a b a b b a +++…1a b ==所以的最小值为4.Z。

O P图2 简阳市2014年高中阶段教育学校招生适应性考试数 学全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分120分。

考试时间共120分钟。

注意事项：1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号。

考试结束，将试卷和答题卡一并交回。

2．选择题每小题选出的答案须用2B 铅笔在答题卡上把对应题目．．．．的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案。

非选择题须用黑色墨水的钢笔或签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答，答案无效。

第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．1．81的平方根是A ．9B ．±9C ．3D ．±3 2．若点(,2)P a a -在第四象限，则a 的取值范围是（ ） A.20a -<< B.02a << C.2a > D.0a <3．函数y ax b =+与cy x=的图象,如图1所示,则 A.a >0,b >0,c >0 B. a <0,b <0,c <0 C.a <0,b >0,c >0 D. a <0,b <0,c >04．全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程共10千米,自行车队的速度是长跑队速度的2.5倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为x 千米/时,那么根据题意可列方程为A.x 10+2=x 5.210+21 B.x 5.210-x 10=20.5- C.x 10-x 5.210= 20.5- D.x 10-x5.210=2+0.55．如图2,在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a >b ),把余下的部分剪拼成一个矩形,通过计算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是A ．a 2-b 2=(a-b )(a+b )B ．(a+b )2=a 2+2ab+b 2C ．(a-b )2=a 2-2ab+b 2D ．(a +2b )(a -b )=a 2+ab -2b 26．某校九年级一、二班学生参加同一次数学测验,经统计计算后得到下表:班级 参加人数 中位数 方差 平均数 一班 55 78 135 75 二班558112675小亮根据上表分析得出如下结论:①一、二两班学生的平均水平相同;②二班的优秀人数多于一班的优秀人数(成绩≥80分为优秀);③一班成绩波动情况比二班成绩波动大.上述结论正确的是图1图4D AB CE 图图6 A.①②③ B.①② C.①③ D.②③7．如图3，⊙O 的半径为5，若OP =3，，则经过点P 的弦长可能是 （ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 8．如图4，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =，AE =3，则tan ∠DBE 的值是A ．12B ．2C ．52D ．55 9．在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是A. B. C. D10.二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图5所示，则下列结论中正确的是（ ） A ．a ＞0 B ．当﹣1＜x ＜3时，y ＞0C ．c ＜0D ．当x ≥1时，y 随x 的增大而增大第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共6个小题,每小题3分,共18分）把答案直接填在题中横线上． 11．已知关于x 的方程21x mx +=-的解是正数，则m 的范围是 12．一个口袋中装有4个白色球，1个红色球，7个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是白色球的概率是________________.13．如图6，边长为a 的正方形发生形变后成为边长为a 的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h ,记ak h=，我们把k 叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是060，则形变度k = ．14．如图7是某几何体的三视图， 该几何体的表面积是 ．15．一个正方体的每个面分别标有数字1,2,3,4,5,6.根据如图8中该正方 体A 、B 、C 三种状态所显示的数字， 可推出“？”处的数字是 .16．请阅读下列语句：①一个数的相反数是它本身，则这个数一定是正数；②方程20ax bx c ++=，当240b ac ->时，方程一定有两个不等实根；③函数y kx b =+，当0k >时，图象有可能不经过第二象限； ④两边一角对应相等的两个三角形全等；图5图7ADB CE图12ADBCE图13图9161514人数6013年龄/岁41525图10图11G B FC xOyAHD E 图14⑤某校对A B 、两个班在一次数学测试中成绩统计为：A 班的方差2A S >B 班的方差2B S ，得出结论是：B 班的成绩比A 班的好．其中正确的是 (只填序号)三、解答题：（本大题共8个小题，共72分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分6分）已知式子2244a b b a -+-有意义，求：222(2)4ab a b -+-的值．18．（本小题满分8分）如图9，在A 岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O 处时，发现A 岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B 处，发现A 岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？ (参考数据：2≈1.414，3≈1.732)19．（本小题满分8分）如图10是某训练班全体学生年龄的统计图。

2023-2024学年四川省成都市简阳市高考适应性考试数学（理）模拟试题一、单选题1．已知集合(){}{ln 10},21,xA x xB y y x A =-<==-∈，则A B ⋃=（）A ．()1,2B ．()1,3C ．()1,3-D ．()1,-+∞【正确答案】B【分析】化简集合,A B ，根据并集的定义求A B ⋃.【详解】因为不等式()ln 10x -<的解集为()1,2，所以()1,2A =，函数21,x y x A =-∈的值域为()1,3，所以()1,3B =，所以()1,3A B = ，故选：B.2．已知i 为虚数单位，22023i i i 1iz +++=- ，则复数z 在复平面上所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】B【分析】先根据复数的乘方求出22023i i i +++ ，再根据复数的除法运算即可得解.【详解】因为41424344i i i i i 1i 10k k k k +++++++=--+=，则()()()220231i i i i 111i 1i 1i 1i 1i 22z -++++-====-----+ ，所以11i 22z =-+在复平面上所对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限.故选：B.3．在()321x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（）A ．12B ．12-C ．6D ．6-【正确答案】D【分析】根据题意，由二项式的展开式可得只有()1x +中的1与32x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的1232C x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭相乘才会得到x ，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为2303122333333222C C C C2x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅⎭⎛-+⋅-+⋅- ⎪⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭⎭⎝⎝，所以只有()1x +中的1与32x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的1232C x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭相乘才会得到x ，即1232C 6x x x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，所以x 的系数为6-.故选:D.4．如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图：下列结论中错误的是（）A ．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加B ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C ．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平D ．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢【正确答案】D【分析】利用折线图、条形图及扇形图的特点即可求解.【详解】对于A ，从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A 正确；对于B ，从扇形图中能够明显地看出2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B 正确；对于C ，从条形图中能够明显地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平，故C 正确；对于D ，由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D 错误.故选：D.5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F M 分别为所在棱的中点，P 为下底面的中心，则下列结论中错误的是（）A ．平面1EFC ⊥平面11C AACB ．1//MP AC C ．1MP C D ⊥D ．//EF 平面11AD B 【正确答案】C【分析】根据空间线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，由,E F 分别为所在棱的中点得//EF BD ，由正方体的性质易知AC BD ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，所以1AA EF ⊥，AC EF ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11C AAC ，所以EF ⊥平面11C AAC ，EF ⊂平面1EFC ，所以平面1EFC ⊥平面11C AAC ，故A 选项正确；对于B 选项，P 为下底面1111D C B A 的中心，故P 为1111,A C B D 的中点，因为M 为所在棱1AA 的中点，所以1//MP AC ，故B 选项正确；对于C 选项，若1MP C D ⊥，由B 选项知1//MP AC ，则有11AC C D ⊥，令一方面，由正方体的性质知1AC D △为直角三角形，1AD DC ⊥，所以，11AC C D ⊥不满足，故C 选项错误；对于D 选项，由A 选项知//EF BD ，由正方体的性质易知11//B D BD ，所以11//B D EF ，11B D ⊂平面11AD B ，EF ⊄平面11AD B ，所以//EF 平面11AD B ，故D 选项正确.故选：C6．已知实数x ，y 满足约束条件2202201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则x y x +的最大值是（）A ．2B ．83C ．3D ．4【正确答案】C【分析】作出可行域，根据x yx+的几何意义，即可求得答案.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示（阴影部分），解方程组220220x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得6525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故62,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解2201x y y +-=⎧⎨=⎩，可得121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故1,12C ⎛⎫⎪⎝⎭，y x 表示的是可行域内的点与原点()0,0O 连线的斜率，1,23OA OC k k =-=,根据y x 的几何意义可知yx的最大值为2，1x y yx x+=+的最大值为123+=.故选：C.7．在ABC 中，a，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B b C a c =-，ABC S =△且b ，则（）A ．1sin2C =B ．cos B =C ．a c +=D ．a c +=【正确答案】C【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出B ，由面积公式求出ac ，再由余弦定理求出a c +，即可得解.【详解】cos cos 2B bC a c=-，由正弦定理可得cos sin cos 2sin sin B BC A C=-，整理可得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，所以sin cos sin cos sin()sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==，A 为三角形内角，sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∵(0,π)B ∈，π3B ∴=，则sin B =，故B 错误；∵ABC S =△b =11sin 22ac B a c ac ==⨯⨯，解得3ac =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得22223()3()9a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=或a c +=-，故C 正确，D 错误.又22223()()3a c ac a c ac a c =+-=-+=-+，所以a c =，则三角形ABC 为等边三角形，所以π3C =，则sin 2C =，故A 错误.故选：C.8．为弘扬传统文化，某校进行了书法大赛，同学们踊跃报名，在成绩公布之前，可以确定甲、乙、丙、丁、戊5名从小就练习书法的同学锁定了第1至5名．甲和乙去询问成绩，组委会对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是五人中最差的．”则最终丙和丁获得前两名的概率为（）A ．29B ．49C ．827D ．427【正确答案】D【分析】分甲是最后一名，则乙可能是二、三、四名和甲不是最后一名，则甲乙需排在二、三、四名求出总事件的个数，再求出最终丙和丁获得前两名的方法总数，再由古典概率公式代入即可得出答案.【详解】由概率的相关性质，只需分析甲乙丙丁戊五人情况即可．①若甲是最后一名，则乙可能是二、三、四名，剩下三人共有33A 种情况，此时共有333A 18=种情况；②若甲不是最后一名，则甲乙需排在二、三、四名，有23A 种情况，剩下三人共有33A 种情况，此时有2333A A 36=种情况．则一共有361854+=种不同的名次情况，最终丙和丁获得前两名的情况有()222222A A A 8+=种，故丙和丁获得前两名的概率845427P ==．故选：D.9．已知()23sin 8cos2xf x x =-，若()()f x f θ≤恒成立，则sin θ=（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-【正确答案】A【分析】若()()f x f θ≤恒成立，即()()max f f x θ=，由余弦的二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，求出()max f x ，此时()sin 1θϕ+=，则π2π2k θϕ=-+，由诱导公式即可得出答案.【详解】()()21cos 3sin 8cos3sin 83sin 4cos 45sin 422x x f x x x x x x ϕ+=-=-⋅=--=+-，其中4tan 3ϕ=-，3cos 5ϕ=，所以当()sin 1x ϕ+=时，()max 1f x =.若()()f x f θ≤恒成立，则()()max 1f f x θ==，此时()sin 1θϕ+=，则π2π2k θϕ+=+，即π2π2k θϕ=-+，π3sin sin 2πcos 25k θϕϕ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭.故选：A.10．定义：设不等式()0F x <的解集为M ，若M 中只有唯一整数，则称M 是最优解．若关于x的不等式22320x x mx ---+<有最优解，则实数m 的取值范围是（）A ．27,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．7,22⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．727,2,234⎡⎫⎡⎤--⋃⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦D ．727,2,234⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【正确答案】D【分析】将不等式转化为2232x x mx --<-.设()223f x x x =--，()2g x mx =-，根据m 的取值范围分类，作出()(),f x g x 的图象，结合图象，即可求得m 的取值范围.【详解】22320x x mx ---+<可转化为2232x x mx --<-.设()223f x x x =--，()2g x mx =-，则原不等式化为()()f x g x <.易知m ＝0时不满足题意.当m >0时，要存在唯一的整数0x ，满足()()00f x g x <，在同一平面直角坐标系中分别作出函数()223f x x x =--，()2g x mx =-的图象，如图1所示则(2)(2)(3)(3)(4)(4)f g f g f g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，即322032542m m m ≥-⎧⎪<-⎨⎪≥-⎩，解得2734m <≤.当m <0时，要存在唯一的整数0x ，满足()()00f x g x <，在同一平面直角坐标系中分别作出函数()223f x x x =--，()2g x mx =-的图象，如图2所示则()()()()()()001122f g f g f g ⎧≥⎪-<-⎨⎪-≥-⎩，即3202522m m ≥-⎧⎪<--⎨⎪≥--⎩，解得722m -≤<-.综上，实数m 的取值范围是727,2,234⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.故选：D11．以双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别交于A ，B ，C ，D四点，若四边形ABCD2，则该双曲线的离心率为（）A2B ．2CD【正确答案】B【分析】先由双曲线与圆的对称性得到004ABCD S x y =，再将00b y x a=代入22200x y a +=，从而得到20a x c=，0ab y c =，进而结合2ABCD S =得到关于,,a b c 的齐次方程，由此转化为关于双曲线离心率e 的方程即可得解.【详解】依题意，根据双曲线与圆的对称性，可得四边形ABCD为矩形，如图，不放设点()()0000,0,0A x y x y >>位于第一象限，则0000224ABCD S x y x y =⨯=，因为双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，则00b y x a =，以双曲线()222210x y a b a b-=>>的实轴为直径的圆的方程为222x y a +=，则22200x y a +=，将00b y x a =代入22200x y a +=，得222200b x x a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则222202a b x a a +⋅=，即22202c x a a ⋅=，所以4202a x c =，则20a x c=，故0ab y c =，又2ABCDS =，所以2004x y ，则224a abc c⨯⨯=，则24ab =，所以224163a b c =，则()2224163a c a c -=，即4224316160c a c a -+=，所以2424031166c c a a⨯-+=⨯，即42316160e e -+=，解得24e =或243e =，因为1e >，所以2e =或3e =.故选：B.12．已知函数()f x 和()g x 的定义域为()5R,22f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，且()12y f x =+为偶函数，()()220g x g x +--=，且()11y g x =+-为奇函数，对于[]0,2x ∀∈，均有()()33x f x g x x +=+，则()()20222022f g ⋅=（）A ．1B ．66C ．72D ．2022【正确答案】C【分析】根据()522f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，求出()f x 的周期15T =，由()12y f x =+为偶函数求出()()20f f =；根据()()220g x g x +--=，求出()g x 的周期24T =，由()11y g x =+-求出()()022g g =-+；再根据[]0,2x ∀∈，均有()()33x f x g x x +=+，令0,2x x ==即可列出关于()()2,2f g 的方程组，求出()()28,29f g ==，最后根据函数的周期性可得()()()()20222022228972f g f g ⋅=⋅=⨯=.【详解】依题意，因为()522f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()5522f x f x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，所以()()5f x f x +=，所以()f x 的周期15T =，所以()()()2022404522f f f =⨯+=，又因为()12y f x =+为偶函数，所以()()1212f x f x +=-，所以()y f x =的图象关于直线1x =对称，所以()()20f f =；因为()()220g x g x +--=，即()()22g x g x +=-，所以()()4g x g x +=，所以()g x 的周期24T =，所以()()()2022505422g g g =⨯+=，因为()11y g x =+-为奇函数，所以()()1111g x g x -+-=-++，所以()y g x =的图象关于点()1,1对称，所以()()022g g =-+；因为对于[]0,2x ∀∈，均有()()33x f x g x x +=+，所以()()23221732f g =+=+，()()0313000f g +==+，所以()()()()002221f g f g -=++=，由()()()()22172221f g f g ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：()()28,29f g ==，所以()()()()20222022228972f g f g ⋅=⋅=⨯=，故选：C.本题考查了函数的周期性、奇偶性以及对称性，利用题设给定的公式转化化简是关键，转化时要注意奇偶性的运用，可以利用函数的周期将问题转化到题中给定函数的区间内，最后进行对x 赋值即可得到相应的方程组，求解方程组即可.二、填空题13．已知直线4320x y m ++=与圆22:(3)(1)1C x y ++-=相交，则整数m 的一个取值可能是__________.【正确答案】3（或4,5,6，只需填写一个答案即可）【分析】利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合直线与圆相交的条件即可求解.【详解】由圆22:(3)(1)1C x y ++-=，得圆C 的圆心为()3,1C -，半径为1，所以圆心()3,1C -到直线4320x y m ++=的距离为295m d -=，因为直线4320x y m ++=与圆22:(3)(1)1C x y ++-=相交所以2915m -<，解得27m <<，所以整数m 的所有可能取值为3,4,5,6.故3（或4,5,6，只需填写一个答案即可）.14．已知点M 在直线BC 上，点A 在直线BC 外，若AB AC AB AC +=-，且4AB =uu u r ，2AC = ，则AM的最小值为______.【正确答案】5【分析】根据条件可得出0AB AC ⋅=从而得出AB AC ⊥，进而得出BC ，根据题意知，当AM BC⊥时，AM 最小，从而得出可得出AM 的最小值．【详解】根据题意，当AM BC ⊥时，AM最小；由AB AC AB AC +=- ，222222AB AC AB AC AB AC AB AC ∴++⋅=+-⋅ ，∴0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥，∴BC = ，∴当AM BC ⊥时，由面积法得24=⨯ ，AM = ，所以AM 的最小值为5.15．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为________．【正确答案】894π/894π【分析】先把三视图还原成几何体，设1O 为矩形ABCD 的中心，2O 为SAB △的外心，O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，由1OO ⊥平面ABCD ，2OO ⊥平面SAB 可证明四边形21HO O O 为矩形，在2O HA 中利用勾股定理求出2SO ，在2O SO 中利用勾股定理求出外接球半径SO ，代入球的表面积公式即可.【详解】如图，根据三视图可还原得四棱锥S ABCD -：设1O 为矩形ABCD 的中心，2O 为SAB △的外心，O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，过S 做SH ⊥平面ABCD ，连接2211,,,,,OS OO H O O O A O 由三视图可知四边形ABCD 为矩形，4BC =,2AB =,H 为AB 的中点，2SH =，1AH =.因为四棱锥S ABCD -外接球的球心O 满足1OO ⊥平面ABCD ，2OO ⊥平面SAB ，所以21//HO OO ，又2HO ⊂平面SAB ，所以22OO HO ⊥，同理得11OO HO ⊥.所以四边形21HO O O 为矩形.在矩形ABCD 中，12HO =，在2O HA 中，因为22222HO HA AO +=，即()2222221SO SO -+=，所以254SO =，在2O SO 中，外接球半径222225894164SO SO OO =+=+=，所以外接球的表面积为89894ππ164⨯=.故89π416．已知2e ln 20⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭axa x a 在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，则实数a 的取值范围________．【正确答案】[)e,+∞【分析】令()2e ln 2axf x a x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，再分a<0和0a >两种情况讨论，当0a >时，不等式即为()()e ln e ln 22ax ax a a ax ax ≥++++在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，令()ln h x x x =+，即()()e 2axh a h ax ≥+，易得函数()ln h x x x =+在()0,∞+上递增，则e 2ax a ax ≥+在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即2e 0axx a --≥，构造函数()2e axg x x a =--，利用导数求出函数的最小值即可.【详解】令()2e ln 2axf x a x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当a<0时，e 0ax a <，当21x a >-+时，2ln 0x a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，此时()2e ln 20axf x a x a ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，显然题设不成立，当0a >时，()2e ln 20axf x a x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即()e ln 2ln 20axa ax a -+--≥，即()()e ln e ln 22ax axa a ax ax ≥++++在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，令()ln h x x x =+，即()()e 2axh a h ax ≥+，因为()()1100h x x x>'=+>，所以函数()ln h x x x =+在()0,∞+上递增，所以e 2ax a ax ≥+在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即2e 0axx a --≥，令()2e axg x x a=--，则()e 1ax g x a '=-，当ln a x a <-时，()0g x '<，当ln ax a>-时，()0g x '>，所以函数()g x 在ln ,a a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，当ln 2a a a -≤-，即2e a ≥时，函数()g x 在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，而22e 0g a -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以2e a ≥时，e 2ax a ax ≥+在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，当ln 2a a a-<-，即20e a <<时，函数()g x 在2ln ,a aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min ln ln 10a a g x g a a -⎛⎫=-=≥ ⎪⎝⎭，解得2e e a <≤，综上所述，实数a 的取值范围为[)e,+∞.故答案为.[)e,+∞方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.三、解答题17．已知等差数列{}n a 前n 项和为363,5,27n S a S S =-=，数列{}n b 前n 项积为()123n n n T +=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)设2n nn a b c n n=+，求数列{}n c 的前n 项和n Q .【正确答案】(1)21n a n =-，3nn b =(2)1331n n Q n +=-+【分析】（1）求得数列{}n a 的公差，由此求得n a .利用()12nn n T b n T -=≥求得n b .（2）利用裂项相消求和法求得n Q .【详解】（1）{}n a 是等差数列，6345627,27S S a a a -=∴++=，即：55327,9a a ==，又35a =，53253a a d -∴==-，()()3353221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=-.又()()()121123323n n n n n n n n T b n T +--===≥，当1n =时，113b T ==，符合上式，3n n b ∴=.（2）由（1）可得：()122213331n n n n nn n a b c n n n n n n+-⋅===-+++，23243111233333333332324311n n n n n Q c c c n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AB ⊥，且PD PB =，底面ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=．(1)证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)若PA PC ⊥，求平面PCD 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．【正确答案】(1)见解析【分析】（1）连接BD ，证明BD ⊥平面APC ，再由BD ⊂平面ABCD ，得出平面APC ⊥平面ABCD ．（2）作辅助线，利用线面垂直的判定证明PH ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，建立坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）连接DB 交AC 于点O ，连接PO ．因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，且O 为BD 的中点．因为PB ＝PD ，所以PO ⊥BD ．又因为AC ，PO ⊂平面APC ，且AC PO O = ，AC PO ⊂，平面APC 所以BD ⊥平面APC ．又BD ⊂平面ABCD ，所以平面APC ⊥平面ABCD ．（2）取AB 中点M ，连接DM 交AC 于点H ，连接PH ．因为3BAD π∠=，所以△ABD 是等边三角形，所以DM ⊥AB ．又因为PD ⊥AB ，PD DM D ⋂=，,PD DM ⊂平面PDM ，所以AB ⊥平面PDM ．所以AB ⊥PH ．由（1）知BD ⊥PH ，且AB BD B = ，,AB BD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD ．由ABCD 是边长为2的菱形，在△ABC中，cos303AM AH ==︒，cos 30AO AB =⋅︒=由AP ⊥PC ，在△APC中，28333PH AH HC =⋅=⨯=，所以3PH =．以O 为坐标原点，OB 、OC分别为x 轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,A ，()1,0,0B，()C，0,3H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,33P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1,,33DP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,CD =-，()AD =- ．设平面PCD 的法向量为()1111,,n x y z =，所以1111111000+033x n CD n DP x y z ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩ ，令11y =得(1n =．设平面PAD 的法向量为()2222,,n x y z =，所以2222222000033x n AD n DP x y z ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩，令21y =得22n =-⎭．设平面PCD 与平面PAD 的夹角为θ．所以，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅>=<=所以，平面PCD 与平面PAD 19．设两名象棋手约定谁先赢()1,N k k k >∈局，谁便赢得全部奖金a 元.已知每局甲赢的概率为p (0<p <1)，乙赢的概率为1－p ，且每局比赛相互独立.在甲赢了m (m <k )局，乙赢了n (n <k )局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？请回答下面的问题.(1)规定如果出现无人先赢k 局而比赛意外终止的情况，那么甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比进行分配.若a =243，k =4，m =2，n =1，23p =，则甲应分得多少奖金？(2)记事件A 为“比赛继续进行下去且乙赢得全部奖金”，试求当k =4，m =2，n =1时比赛继续进行下去且甲赢得全部奖金的概率f (p ).规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，请判断当34p ≥时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.【正确答案】(1)216元(2)不一定，理由见解析【分析】（1）根据比赛继续进行的局数进行分类讨论，求得甲赢得全部奖金的概率，进而求得甲应分得的奖金.（2）先求得()P A 、()f p ，利用导数求得()f p 的最小值，从而求得()P A 的最大值，由此作出判断.【详解】（1）设比赛再继续进行X 局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部奖金.当X =2时，甲以4：1赢，得224(2)39P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；当X =3时，甲以4：2赢，得122228(3)C 133327P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭；当X =4时，甲以4：3赢，得2132224(4)C 133327P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭.于是，甲赢得全部奖金的概率为48424892727279++==，进而得甲应分得的奖金为82432169⨯=（元）.（2）设比赛继续进行Y 局且乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.当Y =3时，乙以4：2赢，得3(3)(1)P Y p ==-；当Y =4时，乙以4：3赢，得1333(4)C (1)3(1)P Y p p p p ==-=-.所以，乙赢得全部奖金的概率333()(1)3(1)(13)(1)P A p p p p p =-+-=+-.于是，甲赢得全部奖金的概率()()()31131f p p p =-+-.对f (p )求导，得322()3(1)(13)3(1)(1)12(1)f p p p p p p '=---+⋅--=-.因为314p ≤<，所以()0f p '>，得f (p )在3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是严格增函数，于是min 3243()4256f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.由此可知，max 24313()10.05080.05256256P A =-=≈>，即乙赢的最大概率大于0.05，所以事件A 不一定是小概率事件.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，以C 的短轴为直径的圆与直线6y ax =+相切.(1)求C 的方程；(2)直线l ：(1)(0)y k x k =-≥与C 相交于A ，B 两点，过C 上的点P 作x 轴的平行线交线段AB 于点Q ，直线OP 的斜率为k '（O 为坐标原点），△APQ 的面积为1S .BPQ V 的面积为2S ，若21||||AP S BP S ⋅=⋅，判断k k '⋅是否为定值？并说明理由.【正确答案】(1)22184x y +=；(2)是定值，12.【分析】（1）利用椭圆离心率及圆的切线性质，建立关于,a b 的方程组，解方程组作答.（2）由给定的面积关系可得直线PQ 平分APB ∠，进而可得直线,AP BP 的斜率互为相反数，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算判断作答.【详解】（1）由椭圆C的离心率为2得：22212a b a -=，即有222a b =，由以C 的短轴为直径的圆与直线6y ax =+b =，联立解得228,4a b ==，所以C 的方程是22184x y +=.（2）k k '⋅为定值，且12k k '⋅=，因为21||||AP S BP S ⋅=⋅，则121||||sin ||||sin 21||||sin ||||sin 2AP PQ APQS AP AP APQBP S BP BPQBP PQ BPQ ∠∠===∠∠，因此sin sin APQ BPQ ∠=∠，而(0,π)APQ BPQ ABP ∠+∠=∠∈，有APQ BPQ ∠=∠，于是PQ 平分APB ∠，直线,AP BP 的斜率,AP BP k k 互为相反数，即0AP BP k k +=，设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由22184(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2222(21)4280k x k x k +-+-=，即有212221224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，而102010200AP BP y y y y k k x x x x --+=+=--，则()02102010(0)()()y y x x y y x x --+--=，即10202010[)(1)]()(][1)(k x y x x k x y x x ---+---120012002)(2)0()(kx x y kx k x x x y k =-+++++=于是220000222842()2()02121k k k y kx k x y k k k -⋅-++⋅++=++22200002(28)4()2()(21)0k k k y kx k x y k k ⇔--+++++=，化简得：20000021)(8)0(y x k x k x y -+-+=，且又因为00(,)P x y 在椭圆上，即2200184x y +=，即220028x y +=，22000028y x x x --+=-，从而222000000021)(20()y x k y x x k x y -+--++=，0000(2[1)0)(]y k x x k y ---=，又因为00(,)P x y 不在直线:(1)l y k x =-上，则有0020y k x -=，即0012y k k k x '⋅=⋅=，所以k k '⋅为定值，且12k k '⋅=.方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．已知函数21()(1ln )ln 2f x x ax x x =+--．(1)当1a =时，求函数()f x 的极值．(2)若()f x 有三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，①求实数a 的取值范围；②证明：131343x x x x a ++>．【正确答案】(1)极小值为32，无极大值(2)①2a >；②证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，确定函数单调性，进而求得函数()f x 的最小值；（2）①当2a ≤时，判断函数的单调性，说明不合题意，当2a >时，根据导数判断函数的单调情况，结合零点存在定理，判断函数有三个零点，符合题意；②由题意可判断三个零点的范围且满足131x x =，因为要证明131343x x x x a ++>，即33143x a x ++>，也即2333413x x ax ++>，又因为3331ln x a x x -=，故只要证明()23323331ln 41a x a x x x ->++，故构造函数()()2231ln 41x x x x x ϕ-=-++，利用其单调性证明()2231ln 41x x x x ->++即可证明结论成立.【详解】（1）解：当1a =时，()1ln f x x x x'=--，令()()1ln g x f x x x x '==--，则()222213124x x x g x x x ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==>，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，由()10g =，所以()0,1x ∈时，()()0f x g x '=<；当()1,x ∈+∞时，()()0f x g x '=>．所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以函数()f x 有极小值为()312f =，无极大值；（2）①解：由()()()1ln 0g x f x x a x x x '==-->，所以()2211x ax ax x g x x x+--+'==，因为12x x+≥,仅当1x =时取等号，于是，当2a ≤时，()0g x '≥，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，此时至多有一个零点，不符合，当2a >时，令210x ax -+=，得2a x =，当0,2a x ⎛-∈⎪ ⎪⎝⎭或,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当x ⎝⎭时，()0g x '<，所以函数()g x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减，注意到()10g =，当2a >时，122a a ⎛+∈⎪ ⎪⎝⎭，所以02a g ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，02a g ⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭，又333()3ln g a a a a a --=-+，333()3ln g a a a a a -=--，令1()ln 1,(0),()x h x x x x h x x-'=-+>=，当01x <<时，()0h x '>，当1x >时，()0h x '<，所以函数()h x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以ln 1≤-x x ，故ln 12a a a <->，，则333233()3(1)331(1)0g a a a a a a a a a --<-+-<-+-+=--<，23333333()3(1)3311(1)10g a a a a a a a a a a a --->---=-+-+-=-+->，因此()g x 在32()a a --，内恰有一个零点（即在0)2(a ，有一个零点），在()22a a -+，内有一个零点，即1x =，在32()a a +内有一个零点，故()g x 有三个零点，则2a >；②证明：由题意知12301x x x <<=<，又注意到()1g g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()()31310g g x g x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，即131x x =，当1x >时，先证明不等式()2231ln 41x x x x ->++恒成立，设()()2231ln 41x x x x x ϕ-=-++，则()()()()2422221211(1)04141x x x x x x x x x x ϕ++-'=-=>++++，所以函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增，于是()()10x ϕϕ>=，即当1x >时，不等式()2231ln 41x x x x ->-++恒成立．由()30g x =，可得()23332333311ln 41a x x a x x x x --=>++，因此2333413x x ax ++>，两边同除以3x ，得33143x a x ++>，而131x x =，故131343x x x x a ++>．本题考查了利用导数求解函数的最值以及根据零点个数求参数范围和证明不等式问题，综合性强，计算量大，对学生的综合数学素养有很高的要求，解答时要能熟练应用导数的相关知识，比如求导，判断导数正负，判断单调性,解决函数零点问题等，解答的关键在于能根据要证明的不等式合理变式，从而构造恰当的函数，利用导数解决问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，若P 为曲线1C 上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋转60︒得到OQ ，动点Q 的轨迹为曲线2C ．(1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)在极坐标系中，点2π4,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，射线()π06θρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于异于极点O 的A ，B 两点，求MAB △的面积．【正确答案】(1)π4sin 3ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)4【分析】（1）假设曲线1C 上的动点P 的极坐标为()00,P ρθ，设(),Q ρθ，即可得到00π3ρρθθ=⎧⎪⎨=+⎪⎩，再由P 点在4sin ρθ=上即可求出Q 的轨迹方程；（2）首先求出AB 及点M 到射线()π06θρ=≥的距离h ，即可求出MAB △的面积.【详解】（1）解：假设曲线1C 上的动点P 的极坐标为()00,P ρθ，设(),Q ρθ，由题意00π3ρρθθ=⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为004sin ρθ=，所以π4sin 3ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以曲线2C 的极坐标方程为π4sin 3ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）解：由题意可得12ππ4sin 4sin 262AB ρρ=-=-=，又因为2π4,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭到射线()π06θρ=≥的距离π4sin 42h ==，所以1124422MAB S AB h =⋅=⨯⨯=△.23．已知222,,R ,9a b c a b c +∈++=，求证：(1)abc ≤；(2)2223a b c a b c b c c a a b ++++>+++.【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三元基本不等式即可得证.（2）利用基本不等式推得24b c a b c a ++≥+，24c a b c a b ++≥+，24c a b c a b ++≥+，再相加即可得证．【详解】（1）因为222,,R ,9a b c a b c +∈++=，所以222a b c ++≥，即9≥，当且仅当a b c ==且2229a b c ++=，即a b c ===时，等号成立，3≤，即22227a b c ≤，故abc ≤（2）因为,,R a b c +∈，因为24a b c a b c ++≥=+，当且仅当24a b c b c +=+，即2a b c =+取得等号，同理可得24b c a b c a ++≥+，当且仅当2b a c =+取得等号，同理可得24c a b c a b ++≥+，当且仅当2c b a =+取得等号，上面三式相加可得2222a b c a b c a b c b c c a a b +++++≥+++++，即2222a b c a b c b c c a a b ++++≥+++，当且仅当2a b c =+，2b a c =+，2c b a =+且2229a b c ++=，即a b c ===因为0a b c ++>，所以23a b c a b c ++++>，所以2223a b c a b c b c c a a b ++++>+++.。

简阳通材实验学校初中2017届学业水平暨高中阶段招生适应性考试数 学 试 卷全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页。

全卷满分120分，考试时间共120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、报名号（考号）写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内。

同时在答题卡背面第3页顶端用2B 铅笔涂好自己的座位号。

2．第Ⅰ卷每小题选出的答案不能答在试卷上，必须用2B 铅笔在答题卡上把对应题目．．．．的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案。

第Ⅱ卷必须用0.5mm 黑色墨水签字笔书写在答题卡上的指定位置。

不在指定区域作答的将无效。

3．考试结束，监考人员只将答题卡收回。

第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．4的平方根为（ ）A ．1B ． 2C ．-2D ．±2 2．下列计算正确的是（ ）A .3x －x = 2B . 2x ÷x = 2C .(2x 3)2 =4x 5D . x 2 ·x 3=x 6 3．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）A ．必然事件B ．确定事件C ．随机事件D ．不可能事件 4．如图1，AB ∥CD ，AD =CD ，∠C ＝80°，则∠BAD 的度数等于（ ） A ．20° B ．25° C ．30° D ．40° 5．四川南骏汽车集团有限公司是四川省商用车产业龙头企业！2014年，公司确定了“调整、升级、转型、跨越”的经营方针，确定实现产销商用车7.5万辆，计划销售收入约649800万元．请将649800万元用科学计数法且保留两位有效数字表示为（ ）A ．6.4×108元B ．6.4×109元C ．6.5×108元D ．6.5×109元6．已知点M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）DC BA(图1)7．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！如图2，选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙）．8．如图3，这四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序，则排序正确的是（ ）①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）；②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）；③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）；④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）A ． ①②④③B ．③④②①C ．③②④①D ．①④②③9．如图4，在平面直角坐标系中，有一正方形AOBC ，反比例函数y =kx 经过正方形对角线的交点，半径为4-△ABC ，则k 的值为（ ）A ．2B ．4C ．D ．10．如图5，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0）（2，1），（1，1）（1，2）（2，2），……，根据这个规律，第2014个点的坐标为（ ）A ．（45,34）B ．（45,33）C ．（45,12）D ．（45,11）A B C D A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡相应区域作答，超出答案区域的答案无效。

2023_2024学年四川省成都市简阳市高三三诊模拟考试数学（文）模拟测试卷一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}24A x x =-<<{}2log 1B x x =<A B = A ．B ．{}22x x -<<{}24x x -<<C ．D ．{}02x x <<{}01x x <<【正确答案】C【分析】根据对数不等式求解,再求解即可.2{|log 1}B x x =<A B ⋂【详解】因为,故.{}2{|log 1}|02B x x x x =<=<<A B ={}02x x <<故选：C.2）A ．B ．1i+1i-C ．D ．1i2+1i 2-【正确答案】A【分析】根据复数的模长公式化简分子，再运用复数的除法运算进行化简求值即可．()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2++====+--+故选：A ．3．已知直线，，若，则的值为（ ）()1:3453l a x y a++=-()2:258l x a y ++=12l l //a A ．B ．C ．或D ．或47-1-7-1-2-【正确答案】A根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，由此可解得实数的值.a a 【详解】已知直线，，且，()1:3453l a x y a++=-()2:258l x a y ++=12l l //则，解得.()()()()35883253a a a a ⎧++=⎪⎨+≠-⎪⎩7a =-故选：A.结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直：已知直线和直线.1111:0l A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=（1）且；121221//l l A B A B ⇔=1221A C A C ≠（2）.2112210A A l B B l +⇔=⊥4．某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm ）均在区间内，按照，，，，[]10,20[)10,12[)12,14[)14,16[)16,18分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm 的为“优质苗”．则[]18,20所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（ ）A ．20B ．40C ．60D ．88【正确答案】C【分析】根据频率分布直方图计算出“优质苗”的占比,再乘以100可得结果【详解】由频率分布直方图可知，“优质苗”的占比为，()0.20.120.6+⨯=因此，所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为.1000.660⨯=故选：C.5．命题“”，命题“”，则p 是q 的（ ）:p 2R,10x x mx ∀∈-+>:q 2m <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】先根据命题求出的范围，再根据充分性和必要性的定义得答案.p m【详解】对于命题，，得，:p 2R,10x x mx ∀∈-+> 240m ∴∆=-<22m -<<可以推出，但是不能推出，22m -<< 2m <2m <22m -<< p 是q 的充分不必要条件.∴故选：A.6．已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为{}n a 14a=384S =()21238log a a a a （ ）A ．B ．C ．D ．70727476【正确答案】B 【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，可得出等比数列{}n a q 0q >q 的通项公式，再利用对数的运算性质以及等差数列的求和公式可求得所求代数式的值.{}n a 【详解】设等比数列的公比为，则，，{}n a q 0q >()()223114184S a q q q q =++=++=整理可得，解得，所以，，2200q q +-=4q =114n n n a a q -==所以，.()()()()12382123822188log log 444421238722a a a a ⨯+⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯++++== 故选：B.7．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ）9cm AB =3cm CD =A B C ．D 333cm3【正确答案】A【分析】求出青铜器的上面、中间和下面几何体的体积，即得解.【详解】解：青铜器的最上面的圆柱的体积，2313π()2V =⨯⨯中间的圆台的体积为，31981(ππcm 344⨯+⨯=最下面的圆台的体积为.31981(ππcm 344⨯++=所以该青铜器的体积为.123V V V ++=3m 故选：A 8．在中，，的角平分线交于点D ，的面积是ABC 2π3BAC ∠=BAC ∠AD BC ABD △面积的3倍，则（ ）ADC △tan B =ABCD【正确答案】A【分析】利用面积之比可得，，作边上高，垂足为，即可求.3c b =AB H tan B 【详解】因为，1sin 231sin 2ABDADCAB AD BADS AB S AC AC AD CAD ⋅⋅∠===⋅⋅△△即，在中，作边上高，垂足为，3c b =ABC AB H 则，sin sin tan cos CH b CAH b CAH B BH AB AH AB b CAH ∠∠=====++∠故选:A.9．已知函数，，若存在2个零点，则实数a 的取值()e ,0ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩()()2g x f x x a =++()g x 范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭[)0,∞+1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】A【分析】题目转化为函数的图像与直线有2个交点，画出图像，根据图像()y f x =2y x a =--知，解得答案.21a -≤【详解】存在2个零点，故函数的图像与直线有2个交()()2g x f x x a =++()y f x =2y x a =--点，画出函数图像，如图，平移直线，可以看出当且仅当，即时，y x =-21a -≤12a ≥-直线与函数的图像有2个交点.2y x a =--()y f x =故选：A10．在中，，，为的中点，将绕旋转至，ABC 2AB AC ==BC =D BC ACD AD APD使得的外接球表面积为（ ）BP =P ABD -A B C ．D ．5π8π【正确答案】C【分析】推导出平面，计算出的外接圆的直径，可得出三棱锥AD ⊥PBD PBD △2r的外接球直径为，再利用球体表面积公式可求得结果.P ABD -2R =【详解】如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相12O O 2r h 12O O O等，则为圆柱的外接球球心.O 12O O 翻折前，在中，，为的中点，则，ABC 2AB AC ==BC =DBC AD BC ⊥且，1AD ===翻折后，则有，，AD BD ⊥AD PD ⊥又因为，、平面，所以，平面，BD PD D =BD PD ⊂PBD AD ⊥PBD 由已知BD PD BP ===PBD△将三棱锥置于圆柱上，使得的外接圆为圆，APBD -12O O PBD △2O 所以，的外接圆直径为，PBD △22r==所以，三棱锥的外接球直径为，P ABD -2R ===R =因此，三棱锥的外接球表面积为.P ABD -224π4π5πR =⨯=故选：C.11．已知是坐标原点，是双曲线的左焦点，平面内一点满O F ()2222:10,0x y E a b a b -=>>M 足是等边三角形，线段与双曲线交于点，且，则双曲线的离心OMF MF EN MN NF=E 率为（ ）AB CD【正确答案】A【分析】设双曲线的右焦点为，根据是等边三角形得，再由E 2F OMF MF OF c==可得，在中利用余弦定理可得，再由双曲线定义可得答案.MN NF=2cNF =2FNF △2NF 【详解】设双曲线的右焦点为，连接，E 2F 2NF 因为是等边三角形，所以，OMF MF OF c==，又，所以，60OFM ︒∠=MN NF =2c NF =在中，，2FNF △2222222NF NF FF NF FF =+-⋅2213cos 4NFF c ∠=，则，则2c a==故选：A.12．已知函数,则不等式的解集为（ ）()222e e 287x x f x x x --=++-+()()232f x f x +>+A ．B ．1(1)3--，1(,1)(,)3-∞--+∞ C ．D ．1(1)3-，1(,(1,)3-∞-⋃+∞【正确答案】B 【分析】化简，得到，令()222e e 2(2)1x x f x x --=++--()22e e 21x x f x x -+=++-，令，求得，得到在上单调递增，()()2g x f x =+()()h x g x '=()e e 4x x h x -'=++()g x ()0+∞，且函数为偶函数，进而得到上单调递减，把不等式转化为()g x ()0-∞，()()232f x f x +>+，列出不等式，即可求解.()()21g x g x +>【详解】由函数，()222222e e 287e e 2(2)1x x x x f x x x x ----=++-+=++--所以，令，()22e e 21x x f x x -+=++-()()22e e 21x x g x f x x -=+=++-可得()e e 4x x g x x-=-+'令且，()()e e 4x x h x g x x -'==-+()00h =可得在上恒成立，所以，()e e 40x x h x -'=++>()0+∞，()()()00,0h x h x >=>所以在上单调递增，()g x ()0+∞，又由，()()22e e 2()1e e 21x x x x g x x x g x ---=++--=++-=所以函数为偶函数，则在上单调递减，()g x ()0-∞，又由，即，即，()()232f x f x +>+()()21g x g x +>21x x+>整理得，解得或，23410x x ++>13x >-1x <-即不等式的解集为.()()232f x f x +>+1(,1)(,)3-∞--+∞ 故选：B.二、填空题13．已知向量，，则的值为______.()2,1a =()1,2b =-ab+【分析】由坐标运算结合模长公式求解即可.【详解】因为，所以()1,3a b += a b += 14．已知等差数列中，，则数列的通项公式是___________.{}n a 377,3a a =={}n a 【正确答案】/10n a n =-10n a n =-+【分析】设公差为d ，由基本量代换列方程组，解出，即可得到通项公式.1a d 、【详解】设等差数列的公差为d ，由题意可得：，{}n a 31712763a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩解得：，191a d =⎧⎨=-⎩所以.()1110n a a n d n=+-=-故答案为.10n a n=-15．曲线在点处的切线方程为______．ln xy x x =+()1,1【正确答案】21y x =-【分析】利用导数几何意义求解即可.【详解】，221ln 1ln 11x xx x y x x ⋅--'=+=+，112k =+=则切线方程为：，即.()121y x -=-21y x =-故21y x =-三、双空题16．已知椭圆的长轴长为为上的两个动点，()2222:10x y C a b a b +=>>4,P Q C 且直线与斜率之积为（为坐标原点），则椭圆的短轴长为_______，OP OQ 14-O C _________.22OP OQ +=【正确答案】25【分析】根据椭圆长轴长、离心率可求得，由此可得短轴长及椭圆方程；设b ，，根据斜率关系，结合两角和差公式可整理得到()2cos ,sin P αα()2cos ,sin Q ββ，利用两点间距离公式，结合诱导公式和同角三角函数关系可求得结果.()ππ2k k αβ-=+∈Z 【详解】椭圆的长轴长为，，又离心率C 24a =2a ∴=c e a ==c ∴=，椭圆的短轴长为，椭圆；1b ∴==∴C 22b =∴22:14x C y +=设，，()2cos ,sin P αα()2cos ,sin Q ββ，，sin sin sin sin 12cos 2cos 4cos cos 4OP OQ k k αβαβαβαβ∴⋅=⋅==-()cos cos sin sin cos 0αβαβαβ∴+=-=()ππ2k k αβ∴-=+∈Z 2222224cos sin 4cos sin OP OQ ααββ∴+=+++2222ππ4cos πsin π4cos sin 22k k ββββ⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22224sin cos 4cos sin 5ββββ=+++=故；.25关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质，求解距离平方和的关键是能够通过三角换元的方式，结合斜率关系得到所满足的关系式，进而结合诱导公式来进行求解.,αβ四、解答题17．已知数列前n 项和为．从下面①②中选择其中一个作为条件解答试题，若选择{}n a n S 不同条件分别解答，则按第一个解答计分．①数列是等比数列，，且成等差数列；{}n a 26S =2344,2,a a a ②数列是递增的等比数列，，；{}n a 1432a a =2312a a +=(1)求数列的通项公式；{}n a (2)已知数列的前n 项的和为，且．证明：．{}n b nT()()2211log log n n n b a a +=⋅1n T <【正确答案】(1)2nn a =(2)证明见解析【分析】（1）选①：根据等比数列基本量的计算，求出首项及公比即可求解；1a q选②：根据等比数列的性质有，结合已知求出即可得公比，从而得答案；1423a a a a =23,a a q （2）由（1）根据对数的运算性质求出，然后利用裂项相消求和法求出即可证明.n b n T 【详解】（1）选①：因为数列是等比数列，设公比为，，且，，成等{}n a q 26S =24a 32a 4a 差数列，所以，解得，所以；1132111644a a q a q a q a q +=⎧⎨+=⎩12,2a q ==1222n n n a -=⨯=选②：因为数列是递增的等比数列，，，{}n a 1432a a =2312a a +=所以，所以，，1423233212a a a a a a ==⎧⎨+=⎩234,8a a ==322aq a ==所以；222422n n nn a a q --==⨯=（2）由（1）知：，且，n 2n 2n 11111b log a log a n(n 1)n n 1+===-⋅++*N n ∈所以.111111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 18．2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式．为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该()*20n n ∈N 校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关．男生女生合计了解10n不了解5n合计()20P K k ≥0.100.050.0250.010.001k 2.706 3.841 5.0246.63510.828附表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++(1)求n 的值．(2)现采用分层抽样的方法在调查结果“了解中国航天事业”的学生中抽取5人，再从这5人中抽取3人进行第二次调查，以便了解学生获得中国航天事业信息的渠道，则至少有2名男生被第二次调查的概率．【正确答案】(1)2n =(2)710【分析】（1）求出，再对照临界值表结合题意可得，即可得解；2K 25.0246.635K ≤<（2）先根据分层抽样求出所抽取5人中男生和女生的人数，再根据古典概型即可得解.【详解】（1）完成列联表如图所示：男生女生合计了解15n10n 25n不了解5n10n15n合计20n 20n40n，()224015101058251520203n n n n n K nn n n n ⨯-⨯==⨯⨯⨯由题意可得，解得，85.024 6.6353n≤< 1.884 2.488125n ≤<又因，所以；*N n ∈2n =（2）由（1）得了解中国航天事业的学生有人，25250⨯=其中男生有人，女生有人，3020则所抽取5人中男生有人，女生有人，530350⨯=520250⨯=则至少有2名男生被第二次调查的概率.21332335C C C 7C 10P +==19．在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，，，P ABCD -ABCD 60ABC ∠=︒PB PD =.PA AC ⊥(1)证明：平面；BD ⊥PAC (2)若，M 为棱上一点，满足，求点到平面的距离.3PA =PC 23CM CP=A MBD 【正确答案】(1)证明见解析；【分析】（1）连接交于，连接，利用线面垂直的判定推理作答.BD AC O PO （2）求出点到平面的距离，再利用等体积法求解作答.M ABCD 【详解】（1）在四棱锥中，连接交于，连接，如图，因为底面P ABCD -BD AC O PO 是菱形，则，ABCD BD AC ⊥又是的中点，，则，而平面，O BD PB PD =BD PO ⊥,,AC PO O AC PO =⊂ PAC 所以平面.BD ⊥PAC （2）连接，由平面，平面，则，,,BM MD MO BD ⊥PAC PA ⊂PAC BD PA ⊥而，平面，因此平面，PA AC ⊥,,⋂=⊂AC BD O AC BD ABCD PA ⊥ABCD又是边长为6的菱形，，则面积ABCD 60ABC ︒∠=6,AC BD ==ABD △，132ABD S =⨯= 过作交于，而，且，M ME PA //AC E 3PA =23CM CP=则，显然，于是面积，2,1ME EO ==ME AC ⊥MO =MBD 12MBD S =⨯= 令点到平面的距离为，又平面，由，A MBD h ME ⊥ABCD A MBD M ABD V V --=即，得，解得1133BMD ABD S h S ME ⋅⋅=⋅⋅ 11233h ⋅=⨯h =所以点到平面A MBD 20．已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点.l ()1,0P ()2:20C y px p =>,A B (1)若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程；l M AB M C (2)若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标.Q x P ,AQ BQ 0AQ BQ k k +=Q 【正确答案】(1)24y x=(2)Q()1,0-【分析】（1）由题知直线的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；l （2）设出直线的方程及的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出l Q 将韦达定理代入，化简求出参数即可得点的坐标.AQ BQk k +0AQ BQ k k +=Q 【详解】（1）因为直线的斜率为1且过点，l ()1,0P 所以直线的方程为：，l 1y x =-设，()()1122,,,A x y B x y 由，得：，221y px y x ⎧=⎨=-⎩()22210x p x -++=所以，121222,1x x p x x +=+=所以，121222y y x x p +=+-=因为为线段的中点，的纵坐标为2，M AB M 所以，1222y y p +==所以抛物线的方程为.24y x=（2）设直线的方程为：，，l ()1y k x =-()(),01Q m m ≠，得：，()221y px y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩()2222220k x k p x k -++=所以，21212222,1k px x x x k ++==由()()()()()()122112121211AQ BQ k x x m k x x m y y k k x m x m x m x m --+--+=+=----()()()12122121222kx x km km k x x x x m x x m +-++=-++()222222222122k pk km k km k m p m k k+-+⋅+-⋅++=()()22222222202222k km km p k k k k k p k m mk ⎡⎤+-+⋅⎢⎥⎣⎦=-++=+由，0k ≠所以，()2202222k k km km k pk +-++=⋅即，220mp p k k --=所以，1m =-所以点的坐标为.Q ()1,0-21．已知函数（a 为非零常数），记（），()31e 6xf x ax =-1()()n n f x f x +'=N n ∈0()()f x f x =．(1)当时，恒成立，求实数a 的最大值；0x >0f x ≥（）(2)当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：1a =2()()nn i i g x f x ==∑3n ≥nx t =()n y g x =且所有点在一条定直线上．()0n n g t >(,())n n n t g t 【正确答案】(1)32e 9(2)证明见解析.【分析】（1）转化为时求，令，利用导数求出可得答案；0x >3min 6e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭x a x ()36e x h x x =()min h x （2）求出，，可得，时，()()1f x f x '=()()21f x f x '=()()32f x f x '=()4e xf x =4n ≥，当时，，利用导数求出时，()exn f x =3n ≥()()()21e 1nx n i i g x f x n x ===---∑1ln1n x t n ==-取得最小值，且，可得答案；()n y g x =()()ln 1ln 20=-≥>n n g t n 【详解】（1）由，，()0f x ≥33min 16e 0e 06x xx ax a x ⎛⎫>⇒-≥⇒≤ ⎪⎝⎭令，，()36e x h x x =()()3264e 3e 3e 66x x xx x x h x x x -⋅-⋅=⋅=⋅'时，，时，()0,3x ∈()0h x '<()3,x ∈+∞()0h x '>∴在上单调递减，上单调递增，()h x ()0,3()3,+∞∴，()()33min6e 2e 3279h x h ===∴，32e 9a ≤即的最大值为；a 32e 9（2）解：，∴，，()31e 6x f x x =-()()211e 2xf x f x x '==-()()21e x f x f x x '==-，，()()32e 1x f x f x '==-()4e xf x =时，，4n ≥()e xn f x =当时，，3n ≥()()()()2e e 13e 1e 1nx x x x n i i g x f x x n n x ===-+-+-=---∑，令，()()1e 1xng x n '=--()10ln 1ng x x n '=⇒=-当时，，单调递减，1ln 1x n <-()0n g x '<()n g x 当时，，单调递增，1ln1x n >-()0n g x '>()n g x ∴时，取得最小值，1ln1n x t n ==-()n y g x =且，()()()111ln 1ln 1ln 2011n n g t n n n n =-⋅--=-≥>--∴为在定直线上运动；()(),n n n t g t ()1ln ,ln 11n n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭y x =-方法点睛：对于求参数的取值范围的问题，可以转化为求函数最值的问题，本题考查了利用导数解决求参数、函数的最值、函数零点的问题，考查了学生分析问题、解决问题以及运算的能力，属于难题.22．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为，直线的参数方程为（t 为参数）.4cos ρθ=l 1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩(1)若，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；π4ϕ=(2)过点向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.()0,3P -【正确答案】(1)，2y x =+224x y x+=(2)的轨迹为以点为半径的圆Q 1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据直线的参数方程和求解；利用，求解；l π4ϕ=ρcos x θ=222x y ρ+=（2）在时直接求出Q 的坐标，在时，写出过点P 且与直线l 垂直的直线方程，0ϕ=0ϕ≠与直线l 的方程联立消参求得Q 的轨迹方程，然后检验，进而得到答案.【详解】（1）解：由直线的参数方程为l 1cos ,1sin ,x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩∵，π4ϕ=1,1,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线l 的普通方程为，即.11y x -=+2y x =+由得，4cos ρϕ=24cos ρρθ=因为，，cos x ρθ=222x y ρ+=所以曲线的直角坐标方程为.C 224x y x +=（2）若，由，可知直线l 的方程为，0ϕ=1·tan 1y t ϕ=+=1y =于是过点向直线l 作垂线，垂足为.()0,3P -()0,1Q 若，由直线l 的参数方程可知直线l 的斜率为，0ϕ≠tan ϕ∴过点且与直线l 垂直的直线方程为.()0,3P -13tan y x ϕ=--联立方程组整理得，()tan 11,13,tan y x y x ϕϕ⎧=⋅++⎪⎨=--⎪⎩2223y y x x +-=--∴点的轨迹方程为，Q 22230x y x y +++-=即，()22117124x y ⎛⎫+++=⎪⎝⎭显然，点也在上，()0,1()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭所以动点的轨迹为以点为半径的圆.Q 1,12⎛⎫--⎪⎝⎭23．已知函数.()3f x x =+(1)解不等式；()38f x x +->(2)若在上恒成立，求实数的最小值.()()39f x m x x ≤-++(),-∞+∞m 【正确答案】(1)()(),44,∞∞--⋃+(2)12【分析】（1）分、、三种情况解不等式即可；3x ≤-33x -<<3x ≥（2）由，可得，由可得()()39f x m x x ≤-++339x m x x +≥-++3923x x x -++≥+在上恒成立，进而求解.31392x x x +≤-++(),-∞+∞【详解】（1）因为，()333f x x x x +-=++-所以解不等式，338x x ++->而，2,333=6,332,3x x x x x x x -≤-⎧⎪++--<<⎨⎪≥⎩当时，不等式为，解得；3x ≤-2x ->8<4x -当时，不等式为不成立，不等式无解；33x -<<68>当时，不等式为，解得.3x ≥28x >>4x 综上所述，不等式的解集为.()38f x x +->()(),44,∞∞--⋃+（2）由，可得，()()39f x m x x ≤-++339x m x x +≥-++因为，当且仅当，即或时等号成立.3923x x x -++≥+()()390x x -+≥9x ≤-3x ≥所以在上恒成立，31392x x x +≤-++(),-∞+∞故要使在上恒成立，只须，()()39f x m x x ≤-++(),-∞+∞12m ≥即实数的最小值为.m 12。

2023-2024学年四川省成都市高三适应性考试（理）数学模拟试题一、单选题1．若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A ．1i +B ．1i-C ．1i-+D ．1i--【正确答案】A【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2．若集合{}2560A x x x =--≤，{}7B x x =>，则()R A B ⋂=ð（）A ．(]1,7-B ．(]1,6-C ．()7,+∞D ．()6,+∞【正确答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2560x x --≤，即()()610x x -+≤，解得16x -≤≤，所以{}{}256016A x x x x x =--≤=-≤≤，()()R ,16,A ∴=-∞-+∞ ð，又{}7B x x =>，()()R 7,A B +∞∴= ð．故选：C ．3．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A ．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B ．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C ．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D ．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大【正确答案】C【分析】利用极差的概念，平均数的概念以及根据统计图表的相关知识判断选项即可.【详解】对于A ，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.58.51-=，A 错误；对于B ，两班的德育分相等，B 错误；对于C ，高三（1）班的平均数为9.59.259.599.59.355++++=，（2）班的平均数为9.58.599.599.15++++=，故C 正确；对于D ，两班的体育分相差9.590.5-=，而两班的劳育得分相差9.258.50.75-=，D 错误，故选：C ．4．某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为（）A B ．C ．5D ．4【正确答案】A【分析】根据三视图还原四面体，该四面体的四个面都是直角三角形，确定最长的棱，利用勾股定理可以计算其长度.【详解】：四面体如图所示，其中SB ⊥平面ABC ，且ABC 中，90ACB ∠=︒.由SB ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC 得到SB AB ⊥，同理SB BC ⊥，所以棱长最大为SA ，则SA ==故选：A5．设π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（）A ．-2B ．2C ．-4D ．4【正确答案】C【分析】先用两角差的正切公式可求出tan α的值，再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为πtan 11tan 41tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以5tan 3α=，故πtan 1tan 441tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，故选：C ．6．函数22sin 3()cos x xf x x x+=+在[,]-ππ的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C先利用定义判断出函数是奇函数，可排除A ，再求出()f π判断正负，可排除BD.【详解】()()()()()222sin 32sin 3()cos cos x x x xf x f x x x x x -+-+-==-=-+-+- ，()f x \是奇函数，故A 错误；222sin 33()0cos 1f πππππππ+==>+- ，故BD 错误.故选：C.思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a ，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =与向量(2,1)n =-垂直的概率为（）A ．19B ．29C ．13D ．23【正确答案】B求出组成向量(,)m a b = 的个数和与向量(2,1)n =-垂直的向量个数，计算所求的概率值．【详解】解：从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a ，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b ，可以组成向量(,)m a b =的个数是339⨯=（个)；其中与向量(2,1)n =- 垂直的向量是(1,2)m = 和(2,4)m =，共2个；故所求的概率为29P =．故选：B ．8．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为31.2mg /cm ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg 20.3≈，lg 30.477)≈（）A ．8B ．9C ．10D ．11【正确答案】A【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为 1.2(10.2)n y =-，在根据题意列出不等式解出即可．【详解】过滤第一次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-；过滤第两次污染物的含量减少20%，则为21.2(10.2)-；过滤第三次污染物的含量减少20%，则为31.2(10.2)-；过滤第n 次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-n ；要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，则1.2(10.2)0.2-≤n ，即5()64≥n，两边取以10为底的对数可得5lg()lg 64≥n，即52lg(lg 2lg38⨯≥+n ，所以lg 2lg 313lg 2n +≥-，因为lg 20.3,lg 30.477≈≈，所以lg 2lg 30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯，所以7.77n ≥，又*n ∈N ，所以min 8n =，故排放前需要过滤的次数至少为8次．故选：A ．9．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为（）A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2【正确答案】C【分析】过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解．【详解】如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由抛物线定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1，|FC |＝3a ＝3，所以p ＝|FG |＝12|FC |＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x ，故选：C.10．已知5log 2a =，0.7log 0.1b =，0.40.7c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b<<【正确答案】A【分析】由55log 1log 2log <<0.70.7log 0.1log 0.71>=，10.400.70.70.7<<即可判断出大小．【详解】55log 1log 2log <<，即102a <<，0.70.7log 0.1log 0.7>，即1b >，10.400.70.70.7<<，即0.71c <<，所以a c b <<，故选：A ．11．当π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()πcos 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是1,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（）A ．π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π5π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2π5π,918⎡⎤⎢⎣⎦【正确答案】D【分析】解法一：画出函数的图象，由x 的范围求出π33x +的范围，根据()f x 的值域可得答案；解法二：由x 的范围求出π33x +的范围，根据cos y x =的图象性质和()f x 的值域可得答案．【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可知5πππ33633x m ≤+≤+，因为π5πcos 66f ⎛⎫== ⎪⎝⎭2π19f cos π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，要使()f x 的值域是1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，只要2π5π918m ≤≤，即2π5π,918m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；解法二：由题π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可知5πππ33633x m ≤+≤+，由cos y x =的图象性质知，要使()f x 的值域是1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则π7ππ336m ≤+≤，解之得2π5π,918m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：D.12．如图，圆台12O O 的上、下底面圆半径分别为1、2，高12O O =S 、A 分别为其上、下底面圆周上一点，则下列说法中错误的是（）A ．该圆台的体积为3B ．直线SA 与直线12O O 所成角最大值为π3CD ．直线1AO 与平面12SO O 【正确答案】B【分析】对于A ，根据圆台的体积公式，可得答案；对于B ，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；对于C ，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案；对于D ，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案.【详解】对于A 选项，()π124π33V =++⋅=，则A 选项正确．对于B 选项，如图（1），过S 作SD 垂直于下底面于点D ，则12//O O SD ，所以直线SA 与直线12O O 所成角即为直线SA 与直线SD 所成角，即ASD ∠为所求，而tanAD ASD SD ∠==13AD ≤≤，所以tanAD ASD SD ∠=∈⎣⎦，πtan 3<=，则B 选项错误．对于C 选，设上底面半径为1R ，下底面半径为2R ，若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为3，假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为123R R +=，所以圆台存在内切球，C选项正确；对于D 选项，如图（3），平面12SO O 即平面12SO O C ，过点A 做AH BC ⊥交BC 于点H ，因为SD 垂直于下底面，而AH 含于下底面，所以SD AH ⊥，又SD BC D = ，且,BC SD ⊂平面12SO O C ，所以AH ⊥平面12SO O C ，所以直线1AO 与平面12SO O C 所成角即为1AO H ∠，且11tan AH AO H O H∠=．设AH x =，则2O H =，所以1O H ，其中[]0,2AH x =∈，所以11tan AH AO H O H ∠==当0x =时，1tan 0AO H ∠=，当(]0,2x ∈时，1tan AO H ∠可知函数y =(]0,2上单调递增，所以当2x =时，1tan AO H ∠有最大值，最大值为2，所以D 选项正确．故选：B.本题考查立体几何的内切球问题，线面角的最值求解，异面直线所成角的求解，圆台的体积的求解.对于D 选项这样的动点问题求最值，如果不能从图形中找到最值对应的点的位置，那么可以通过求函数最值的方法求解.二、填空题13．某高中在校学生有2000人．为了响应“光体育运动”号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级跑步a b c 登山xyz其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________．【正确答案】36人【详解】根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×3235＋＋＝36.14．二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的系数为______．【正确答案】7【分析】利用二项式定理直接求解.【详解】因为4(1)x -的二项展开式的通项公式为()14C rr r T x +=-，所以二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的项为()()424224441C C 7x x x x ⨯-+⨯-=，故二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的系数为7.故7.15．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且3b =，2a c -=，23A π=.则ABC 的面积为______.【分析】由余弦定理结合已知条件可求出5c =，即可由面积公式求出面积.【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，3b =，2a c -=，23A π=，()222123232c c c ⎛⎫∴+=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得5c =，则ABC 的面积为11sin 352224S bc A ==⨯⨯⨯=.故答案为.416．已知点()4,0F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若2AF FB =，则双曲线C 的方程为______．【正确答案】221124x y -=【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令点A 在直线0bx ay -=上，2216a b +=，如图，因为AF OA ⊥，则4||4bAF b ===，而2AF FB =，即有||2||2,||3FB AF b AB b ===，||OA a ==，sin 4b AOF ∠=，由2AF FB = 知，点,A B 在y 轴同侧，于是π2(0,)2AOB AOF ∠=∠∈，22cos 12sin 108b AOB AOF ∠=-∠=->，28b <，在Rt AOB △中，||OB =由cos OA OB AOB =∠得：2(1)8ba ⋅-，整理得：22228(16)(2)(8)b b b -=+-，化简得4214400b b -+=，解得24b =或210b =（舍去），所以24b =，212a =，所以双曲线方程为221124x y -=．故答案为.221124x y -=三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差为正数，且11a =，若26114,2,a a a a -分别是等比数列{}n b 的前三项．(1)分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)求数列11{}n n a a +的前n 项之和n S ．【正确答案】(1)21,3nn n a n b =-=(2)21n n S n =+【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，然后由已知可得()()()2111513d a a d a d -=++，解方程组可求出d 的值，从而可求得数列{}n a 的通项公式，进而根据题意可求出{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得11111(22121n n a a n n +=--+，再利用裂项相消法求出n S .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，因为2a ，612a a -，14a 是等比数列{}n b 的前三项，所以()2612142a a a a -=，即()()()2111513d a a d a d -=++，化简得12d a =，又11a =，所以2d =．得()12121n a n n =+-=-．由（1），可得数列{}n b 的前三项分别为13b =，29b =，327b =，显然该等比数列{}n b 的公比为3，首项为3．所以3nn b =．综上，两数列的通项公式分别为21,3n n n a n b =-=．（2）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+．则11111111(1...)(1)2335212122121 nn Sn n n n =-+-++-=-=-+++18．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图，如图所示．(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．【正确答案】(1)40（分钟）(2)①可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%；②选B款订餐软件，理由见解析【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算即可求得平均数；（2）①计算出使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分的频率，比较即可得解；②计算出使用B款订餐软件商家的“平均送达时间”的平均数，与使用A款订餐软件商家的“平均送达时间”的平均数进行比较即可得解.【详解】（1）依题意可得：使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为：15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40（分钟）．（2）①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%＞75%．故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%．②使用B 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40．所以选B 款订餐软件．19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，120ABC ∠=︒，1PB =，PB AB ⊥．(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小．【正确答案】(1)证明见解析(2)60︒【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证AC PB ⊥，再根据题意，结合面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）根据题意可建立以点B 为原点，以直线BA BP BE 、、为x y z 、、轴的空间直角坐标系，再利用空间向量法，即可求出二面角的大小．【详解】（1）证明：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，且PB AB ⊥，PB ⊂面PAB ，∴PB ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂面ABCD ，∴AC PB ⊥，由菱形性质知AC BD ⊥，∵PB BD B ⋂=，∴AC ⊥平面PBD ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PBD ⊥平面PAC ．（2）解：如图，设CD 的中点为E ，∵112CE CD ==，60BCE ∠=︒，2BC =，BE CE ∴⊥∴BE AB ⊥，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，且BE AB ⊥，BE ⊂平面ABCD ∴BE ⊥面PAB ，又PB AB ⊥，所以,,BE PB AB 两两互相垂直，所以以点B 为原点，以直线BA BP BE 、、为x y z 、、轴，如图所示建立空间直角坐标系，可得()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,1,0P，(C -，(D ，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，而(AD =- ，()2,1,0AP =-，由00m AD m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，取x =得)=m ，设平面PBC 的一个法向量为(),,n a b c = ，且()0,1,0BP =，(BC =- ，由0n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00b a =⎧⎪⎨-=⎪⎩，取a =)n =，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，则1cos cos ,2m n m n m n θ⋅===⋅ ，所以60θ=︒，故平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为60︒．20．如图．已知圆22:(2)81M x y -+=，圆22:(2)1N x y ++=．动圆S 与这两个圆均内切．(1)求圆心S 的轨迹C 的方程；(2)若()2,3P 、()2,3Q -是曲线C 上的两点，A B 、是曲线C 上位于直线PQ 两侧的动点．若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值．【正确答案】(1)2211612x y +=(2)3【分析】（1）设动圆S 与两个已知圆的切点分别为12,T T ，根据椭圆的定义可得点S 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，求出,a b 可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为12y x t =+，代入椭圆方程，由0∆>得t 的范围，利用韦达定理得四边形APBQ 的面积()2121234S x x x x =+-【详解】（1）如图，设动圆S 与两个已知圆的切点分别为12,T T ，由12ST ST =，91,8224SM SN SM SN ∴-=+∴+=>+=，所以点S 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，所以22228,4,24,2,16412a a c c b a c =====-=-=，所以点S 的轨迹方程为：2211612x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为12y x t =+，代入2211612x y+=中，整理得22120x tx t ++-=，()224120t t ∆=-->，解得44t -<<，12x x t +=-，21212x x t =-，四边形APBQ 的面积121632S x x =⨯⨯-==当0=t 时，max S =APBQ面积的最大值为关键点点睛：第二问关键点是利用韦达定理表示四边形APBQ 的面积再求最值，能较好的考查学生思维能力、分析问题及解决问题的能力.21．若函数()()211ln 022f x a x x a x =-++>有两个零点12,x x ，且12x x <.(1)求a 的取值范围；(2)若()f x 在()1,0x 和()2,0x 处的切线交于点()33,x y ，求证.()312221x x x a <+<+【正确答案】(1)()0,∞+(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求函数单调性，根据单调性及函数图象的变化趋势结合零点个数求解；（2）构造函数()()ln 1g x x x =--，利用单调性证明ln 1≤-x x 证明右边，再利用导数求切线方程得出()22121212ln ln x x a x x -=-，左边可转化为()11ln 12t t t t ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，利用导数证明即可.【详解】（1）()2a x af x x x x-+'=-=当0a ≤，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减，不可能两个零点；当0a >时，令()0f x '=得x(x ∈，()0f x ¢>，()f x 单调递增，)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，∵0x →，()f x→-∞；()10ff a ≥=>；x →+∞，()f x →-∞∴(x ∈有唯一零点且)x ∈+∞有唯一零点，满足题意，综上：()0,a ∈+∞；（2）先证右边：令()()ln 1g x x x =--则()1xg x x-'=，∴()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()g x 的最大值为()10f =，∴()0g x ≤，即ln 1≤-x x ，∴()()()()22111121ln 212122102222f a a a a a a a a a a +=+-+++≤⋅-+++=-<且21a +>∴221x a <+，又∵()10f >，∴11<x ，∴()1221121x x a a +<++=+；再证左边：曲线()y f x =在()1,0x 和()2,0x 处的切线分别是()1111:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2222:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭联立两条切线得123121x x x a x x +=+，∴123121x x ax x x +=+，由题意得()222111221222111ln 022211ln ln ln 022a x x a x x a x x a x x a ⎧-++=-⎪⎪⇒=⎨-⎪-++=⎪⎩，要证3122x x x <+，即证1232x x x +>，即证121a x x >，即证122112121ln x x x x xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭>，令121x t x =<，即证()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭，令()11ln 2h t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()22102t h t t-'=-<，∴()h t 在()0,1单调递减，∴()()10h t h >=，∴()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭得证.综上.()312221x x x a <+<+关键点点睛：导数题目中的证明题，主要观察所证不等式，直接构造函数，或者将不等式转化变形后，利用导数判断函数的单调性及最值，利用函数的单调性或有界性求证，对观察、运算能力要求较高，属于难题.22．已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩（其中t 为参数），曲线C 是以点(0,2)C 为圆心，且过坐标原点的圆．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)若M ，直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求||||||||MB MA MA MB +的值．【正确答案】(1):4sin C ρθ=，()π:R 3l θρ=∈(2)12【分析】（1）根据直角坐标方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==即可化成极坐标方程，由参数方程消参即可得普通方程，再由普通方程化为极坐标.（2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理，结合直线的参数方程中参数的几何意义即可求解，或者由两点坐标公式求解.【详解】（1）由曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=，由cos ,sin x y ρθρθ==得其极坐标方程为4sin ρθ=．又由直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得直线y =，所以直线l 的极坐标方程为()πR 3θρ=∈．（2）解法一：将直线l的参数方程代入曲线可得，221140222t t t ⎫⎫⎛⎫++-+=⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭，整理可得，()2440t +--+=．设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,t t 是方程的两个根．由韦达定理可得，121244t t t t ⎧+=-⎪⎨=-+⎪⎩．所以，1221||||||||t t MB MA MA MB t t +=+()22212121212122t t t t t t t t t t +-+==2424---+==解法二：联立直线l 与曲线C 的方程2240y x y y⎧=⎪⎨+-=⎪⎩可得，20x =，解得10x =，2x =．代入y =可得，10y =，23y =．不妨设()0,0A ，)B，则2MA =，)21MB =-．所以，)21||||||||2MB MA MA MB +=+23．已知函数()12f x x x a =--+.(1)当12a =时，求不等式()0f x 的解集；(2)当1a -时，若函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方，证明.232b a ->【正确答案】(1){2xx -∣或0}x (2)证明见解析【分析】（1）分类讨论x 的范围得到()f x 的解析式，然后列不等式求解即可；（2）根据()f x 的单调性得到max ()1f x a =+，然后根据函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方得到()112g a a b a -=-+>+，即可证明232b a ->.【详解】（1）当12a =时，()12,211123,1222,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，所以当12x <-时，20x +≤，解得2x ≤-；当112x -≤≤时，30x -≤，解得01x ≤≤；当1x >时，20x --≤，解得1x >.综上，不等式()0f x ≤的解集为{2xx ≤-∣或0}x ≥.（2）证明：当1a ≥-时，()21,12321,121,1x a x a f x x x a x a a x x a x ++<-⎧⎪=--+=--+-≤≤⎨⎪--->⎩，所以当x a =-时，()f x 取得最大值，且max ()1f x a =+.要使函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方，由数形结合可知，必须满足()112g a a b a -=-+>+，即232b a ->，原不等式得证.。

2023-2024学年四川省成都市高三适应性考试数学（理）模拟试题一、单选题1．已知集合{}21xA x =<，则A =R ð（）A ．(),0∞-B ．(],0-∞C ．()0,∞+D ．[)0,∞+【正确答案】D【分析】根据补集的定义结合指数函数分析运算.【详解】由题意可得.{}{}210xA x x x =≥=≥R ð故选：D.2．已知复数i1ia ++为纯虚数，则实数a 等于（）A ．－1B ．0C ．1D ．2【正确答案】A【分析】根据复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果.【详解】因为()()()()()()i 1i 11ii 1i 1i 1i 2a a a a +-++-+==++-为纯虚数，所以1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-.故选：A.3．等差数列{}n a 中，53710a a a -=-，则{}n a 的前9项和为（）A ．180-B ．90-C ．90D ．180【正确答案】C【分析】根据下标和性质求出5a ，再根据等差数列前n 项和公式及下标和性质计算即可.【详解】因为53710a a a -=-，所以57310a a a +=+，又7352a a a +=，所以510a =，所以()1959599299022a a a S a +⨯====.故选：C.4．设m n 、为两条不重合直线，αβ、是两个不重合平面，则正确命题为（）A ．若//,//m n αα，则//m nB ．若//,,//m n αβαβ⊥，则//m nC ．若//,m m αβ⊥，则αβ⊥D ．若,//,//m n αβαβ⊥，则m n⊥【正确答案】C【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于选项A ，//m α，//n α，m 与n 可以平行、异面或者相交，故A 错误；对于选项B ，因为//αβ，m α⊥，所以m β⊥.又//n β，所以m n ⊥，故B 错误；对于选项C ，由//m α，则存在直线l ⊂α，使得//m l ，又m β⊥，所以l β⊥，且l ⊂α，所以αβ⊥.故C 正确；对于选项D ，因为αβ⊥，可设l αβ= ，则当//m l ，//n l 时，可得到//m α，//n β，但此时//m n .故D 错误.故选：C5．若直线1(0,0)ax by a b +=>>，与22:1O x y +=e 相切，则2+a b 最大值为（）AB C ．3D ．5【正确答案】B【分析】由条件可得221a b +=，然后设,s cos in b a θθ==，由三角函数的知识可得答案.【详解】22:1O x y +=e 的圆心为()0,0，半径为1，因为直线1(0,0)ax by a b +=>>，与22:1O x y +=e 相切，1=，即221a b +=，所以可设,s cos in b a θθ==，所以()2cos 2sin a b θθθϕ⎡+=+=+∈-⎣，其中1tan 2ϕ=，故选：B6．某人每天早上在7:008:00 任一时刻随机出门上班，他的报纸每天在7:408:20~任一时刻随机送到，则该人在出门时能拿到报纸的概率为（）A ．112B ．1112C ．16D ．56【正确答案】A【分析】设某人离开家时间距离7:00为x 分钟，送报时间距离7:00为y 分钟，某人能拿到报纸，则x y ≥，画出(),x y 区域及在(),x y 中x y ≥对应区域，计算面积即可得答案.【详解】设某人离开家时间距离7:00为x 分钟，送报时间距离7:00为y 分钟，则0604080x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，某人能拿到报纸，则x y ≥.画出(),x y 区域，为下图矩形ABCD ，(),x y 中x y ≥对应区域如下图EBF △所示，设矩形ABCD 面积为S ，则该人在出门时能拿到报纸的概率为1202012604012EBFS S ⨯⨯==⨯ .故选：A7．已知双曲线22221x y a b-=离心率为2，实轴长为2，则焦点到渐近线的距离=（）A ．1B ．2CD【正确答案】D【分析】由题目条件可得双曲线焦点，渐进线，即可得答案.【详解】由对称性，设双曲线右焦点为(),0F c ，则由题可得22122a a c c e a =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨===⎩⎪⎩，则b ==by x a==，又()2,0F ，=.故选：D8．若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈=⎪-⎝⎭，则tan α=（）A．15BC．3D．3【正确答案】A【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos 4α∴，sin tan cos 15ααα∴=.故选：A.关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.9．F 为C ：22(0)y px p =>的焦点，点M 在曲线C 上，且M 在第一象限，若3MF =，且直线MF斜率为MFO △的面积=（）A ．1BC ．2D．【正确答案】B【分析】根据题意求出M 点坐标，即可求MFO △的面积.【详解】如图，设点(M x ，0x >32p MF x =+=，所以32px =-，2p x =-=，得2p =，或12p =（舍去），所以(M ，112MFO S =⨯⨯= 故选：B10．1111ABCD A B C D -为棱长为2的正方体，点M N 、分别为1AA ，11C D 的中点，给出以下命题：①直线MC 与NB 是异面直线；②点M 到面NBC ；③若点M N C 、、三点确定的平面与AB 交于点P ，则1AP =，正确命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【正确答案】B【分析】利用异面直线定义，结合图形，即可判断①，对②，利用线面垂直判定定理，得出线面垂直，则垂线段的长即为点到面的距离，进而求解，对③，延展平面，结合正方体性质，即可求解.【详解】对①，由图可知，M 不在平面NCB 内，故直线MC 与NB 是异面直线，故①正确；对②，取11A B 的中点Q ，过M 作ME BQ ⊥，连接NQ ，由1111ABCD A B C D -为2的正方体，N 是11C D 的中点，可得NQ ⊥平面11A B BA ，因为ME ⊂平面11A B BA ，所以NQ ME ⊥，因为ME BQ ⊥，NQ ME ⊥，BQ ，NQ ⊂平面BNQ ，所以ME ⊥平面BNQ ，故ME 即为点M 到面BNQ 距离，又//NQ BC ，所以,,,N Q B C 四点共面，所以ME 即为点M 到面NBC 距离，由条件可求，MQ =BQ =，BM =所以222cos210MQ BQ BM MQE MQ BQ +-∠=⋅，所以sin MQE ∠=sin ME MQ MQE =⋅∠==，所以点M 到面NBC ，故②错误；对③，如图，将面MNC 扩展，取1AG BF ==，则2GF AB ==，取GF 的中点O ，连接MO ，则MO 与AB 的交点即为点M N C 、、三点确定的平面与AB 的交点P ，因为1MA AG ==，所以A 为MG 的中点，又//AB GF ，所以1122AP GO ==，故③错误.故选：B.11．A B 、分别为2222:1x y E a b+=左右顶点，点P 在圆222:a O x y += 上，线段AP 与E 交于另一点Q ．若tan 3tan PBA QBA ∠=∠，则椭圆E 的离心率e =（）A ．13B ．12C ．32D ．63【正确答案】D【分析】设()cos ,sin Q a b θθ，得到22tan tan b PAB QBA a ∠⋅∠=和tan tan 1PAB PBA ∠⋅∠=，两式相除即可求解.【详解】设()cos ,sin Q a b θθ，则sin tan tan cos b PAB QAB a a θθ∠=∠=+，sin tan cos b QBA a a θθ∠=-，两式相乘得22222222222sin sin tan tan cos sin b b b PAB QBA a a a aθθθθ∠⋅∠===-,①因为直径所对的角是直角，所以π2PAB PBA ∠+∠=所以tan tan 1PAB PBA ∠⋅∠=,②①除以②得22tan 1tan 3QBA b PBA a ∠==∠，故16133e -故选：D12．已知()f x 、()g x 分别为R 上的奇函数和偶函数，且()()e cos xf xg x x +=+，ππ2ln sin cos 1212a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，14log 3b =，31log 2c =，则()g a 、()g b 、()g c 大小关系为（）A ．()()()g c g a g b <<B ．()()()g a g b g c <<C ．()()()g a g c g b <<D ．()()()g b g a g c <<【正确答案】C【分析】利用函数奇偶性的定义求出函数()f x 、()g x 的解析式，利用导数分析函数()g x 在()0,∞+上的单调性，并比较a 、b 、c 的大小关系，结合函数()g x 在()0,∞+上的单调性可得出()g a 、()g b 、()g c 的大小关系.【详解】因为()f x 、()g x 分别为R 上的奇函数和偶函数，且()()e cos xf xg x x +=+，则()()()e cos xf xg x x --+-=+-，所以，()()()()e cos e cos x x f x g x x f x g x x -⎧+=+⎪⎨-+=+⎪⎩，所以，()()e e 2e e cos 2x x x xf xg x x--⎧-=⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩，当0x >时，()e e sin 2x x g x x --'=-，令()e e sin 2x xh x x --=-，其中0x >，则()e e cos cos 1cos 02x xh x x x x -+'=->=-≥，函数()h x 在()0,+∞上单调递增，则()()00h x h >=，因此函数()g x 在()0,∞+上为增函数，因为πππππsincos sin sin 121212432⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以，312ln ln 222a ===<=，14441log 3log 3log 22b ==>=，3311log log 2log 22c ==>=，因为()()()(22222ln 2ln 4ln 3ln 3ln 3ln 2ln 4ln 3ln 220ln 4ln 3ln 3ln 4ln 3ln 4ln 3ln 4b c +⎛⎫- ⎪--⋅⎝⎭-=-=>=>⋅⋅⋅，所以，0b c a >>>，所以，()()()g a g c g b <<，因为函数()g x 为R 上的偶函数，故()()()g a g c g b <<.故选：C.二、填空题13．()241(1)x x -+展开式中2x 项的系数=________.【正确答案】5【分析】根据二项式展开式的特征，即可求解.【详解】()244241(1)(1)(1)x x x x x -+=+-+，则展开式中2x 的项为222422244C C 65x x x x x -=-=，所以2x 项的系数为5，故答案为:514．数列{}n a 前n 项和n S ，若*N ,21n n n S a ∈=-，令2log n n b a =，则{}n b 前10项和=________．【正确答案】45【分析】利用已知条件求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，进而求和即可.【详解】数列{}n a 前n 项和n S ，由21n n S a =-①得当1n =时11121S a a =-=解得11a =，当2n ≥时1121n n S a --=-②，由①②式作差得出()122n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是等比数列，首项为1，公比为2，所以12n n a -=.所以21log n n b a n =-=，从而{}n b 前10项和为012945++++= .故4515．埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为20m 的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为_____________2m ．（注：球壳厚度不计）.【正确答案】800π【分析】由已知分析需求正四棱锥的外接球的半径，根据正四棱锥的性质和外接球的性质，构造直角三角形，利用勾股定理，求得外接球的半径，从而求出金属球壳的表面积的最小值.【详解】由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱锥的外接球.如图所示，在正四棱锥S ABCD -中，20SA SB SC SD ====，20AB BC CD DA ====，O 为其外接球的球心，连接AC 与BD 相交点于O '，连接AO ，O '为顶点S 在底面ABCD 上的投影，即为正方形ABCD 的中心，设球的半径为R ，表面积为S ，则在正方形ABCD 中，12AO AC '====在Rt SO A ' 中，SO '===则OO SO SO R ''=-=，在Rt AO O '△中，OA R =，OO R '=，AO '=因为222OA AO OO ''=+，所以222(102)(102)R R =+-，化简得4002020R -=，则102R =，所以外接球的表面积为224π4π(102)800πS R==⨯=.故答案为.800π16．已知ABC 中，23120,2,45,BAC AB AC BD DC AD ∠===︒= AD BC ⋅= _________．【正确答案】35/0.6【分析】由4BD DC = 以,AB AC 为基底表示AD ，结合2AB AC =，235AD =，可得AC ,1,AB AB AC ⋅=-后即可得答案.【详解】由图可得AD AB BD =+ ，因4BD DC = ，则()4455BD BC AC AB ==- ，则222141168125525252525AD AB AC AD AB AC AB AC =+⇒=++⋅=，因120,2BAC AB AC ︒∠==，则224AB AC = ，2AB AC AC ⋅=- ，代入上式有：21212122525,AC AC AB =⇒== ，1AB AC ⋅=- .则AD BC ⋅= ()221441355555AB AC AC AB AC AB AB AC ⎛⎫+⋅-=--⋅= ⎪⎝⎭44335555-+=.故35三、解答题17．已知函数的()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭最小正周期为π，且π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)求,ωϕ；(2)将()f x 图象往右平移π3个单位后得函数()g x ，求()()f x g x +的最大值及这时x 值的集合．【正确答案】(1)2ω=，0ϕ=(2)1；x 的集合为5ππ,Z 12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）根据周期确定参数ω，再根据14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭结合ϕ的取值范围确定ϕ；（2）先确定函数()g x 的解析式，化简()()f x g x +，确定最大值，再利用整体法确定取最大值时x 值的集合．【详解】（1）因为最小正周期为π，所以2π=2πω=；由π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知，ππsin 2144f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ22π42k ϕ⨯+=+，Z k ∈，得2πk ϕ=，Z k ∈，又因为ππ22ϕ-<<，所以0ϕ=．（2）由（1）知()sin2f x x =，因为将()f x 图象往右平移π3个单位后得函数()g x ，所以()π3g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()π2πsin 2sin 233g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()()2πsin 2sin 23f g x x x x ⎪+-=⎛⎫+ ⎝⎭2π2πsin 2sin 2cos cos 2sin33x x x +-=1sin 2sin 2cos 222x x x =⎛⎫+⨯--⨯⎪⎝⎭sin 2cos 2212x x -⨯=ππsin 2cos cos 2sin33x x -=πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为R x ∈，所以()()f x g x +的最大值为1，当ππ22π32x k -=+，即5ππZ 12x k k =+∈，时取得，故取最大值时x 值的集合为5ππ,Z 12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．18．为了了解中学生是否有运动习惯，我校以高一新生中随机抽取了100人，其中男生40人，女生60人，调查结果显示，男生中只有20%表示自己不喜欢运动，女生中有32人不喜欢运动，为了了解喜欢运动与否是否与性别有关，构建了22⨯列联表：不喜欢运动喜欢运动总计男生女生总计(1)请将22⨯列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为“喜欢运动”与性别有关.(2)从男生中按“是否喜欢运动”为标准采取分层抽样方式抽出10人，再从这10人中随机抽出2人，若所选2人中“不喜欢运动”人数为x ，求x 分布列及期望.附：()()()()22(),n ad bc k n a b c d a b c d a c b d -==+++++++，()20P k k ≥0.0250.010.001k 5.024 6.63510.8【正确答案】(1)列联表见解析；有99%把握认为“喜欢运动”与性别有关(2)分布列见解析；25【分析】（1）根据卡方的计算即可求解，（2）根据超几何分布的概率公式即可求解概率，【详解】（1）不喜欢运动喜欢运动总计男生83240女生322860总计406010022100(8283232)10011.111 6.635406040609k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，有99%把握认为“喜欢运动”与性别有关.（2）抽出的10人中，2人不喜欢运动，8人喜欢运动.()28210C 280C 45P x ===()1128210C C 161C 45P x ===()22210C 12C 45P x ===x012P28451645145()2816120124545455E x =⨯+⨯+⨯=.19．直三棱柱111ABC A B C -中，12ACBC CC ===，D 为BC 的中点，点E 在1AA 上，1AD DC ⊥.(1)证明：BC ⊥平面1A AD ；(2)若二面角11A DE C --大小为30︒，求以11A E D C ,,,为顶点的四面体体积.【正确答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）根据直棱柱的性质得到1C C ⊥平面ABC ，即可得到1C C AD ⊥，从而证明AD ⊥平面1C DC ，则AD BC ⊥，再由1AA BC ⊥，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，设AE h =，利用空间向量法得到方程，求出h ，再根据锥体的体积公式计算可得.【详解】（1）∵111ABC A B C -为直三棱柱，∴1C C ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴1C C AD ⊥.又1AD DC ⊥，111DC CC C ⋂=，11DC ,CC ⊂平面1C DC ，∴AD ⊥平面1C DC ，BC ⊂平面1C DC ，∴AD BC ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥，1AA AD A ⋂=，1,AA AD ⊂平面1A AD ，∴BC ⊥平面1A AD .（2）因为AC BC =，D 为BC 的中点，AD BC ⊥，所以AB AC =，∴ABC 为正三角形，如图建立空间坐标系，由（1）易知平面1A ED 法向量()11,0,0n =u r，设AE h =，∵()DE h = ，()11,0,2DC =，设平面1DEC 的法向量为()2,,n x y z =u u r，则22100n DE n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020hz x z +=+=⎪⎩，取(2n h =-- ，由1212cos302n n n n ⋅==⋅︒ ，解得1h =或1h =-（舍去），∵11122A ED S =⨯=△，点1C 到平面1A ED 距离为1，∴以11A E D C ,,,为顶点的四面体体积为11326V =⨯=.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为2，且C经过点1,2⎛ ⎝⎭．(1)求椭圆C 方程；(2)直线(0)y kx k =>与椭圆C 交于点,M N F 、为C 的右焦点，直线MF NF 、分别交C 于另一点1M 、1N ，记FMN 与11FM N △的面积分别为12S S 、，求12S S 的范围．【正确答案】(1)2212x y +=(2)12(1,9)S S ∈【分析】（1C经过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭可得答案；（2）设()00,M x y ，令1MF FM λ= 可得1M 坐标，代入椭圆方程得032x λ=-，设1NF FN μ=，可得1N 坐标，代入椭圆方程得032x μ=+，利用1211111||||sin 21sin 2MF NF MFN S S M F N F N FM⋅⋅∠=⋅⋅∠及0x 的取值范围可得答案．【详解】（1）由离心率为2，且C经过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭可得221112c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c =+，解得222,1a b ==，所以椭圆C 22:12x y +=；（2）设()00,M x y ，则()00,N x y --，()1,0F ，令1MF FM λ= ，()001,x y MF -=-，可得001(1),x y M λλλ+--⎛⎫⎪⎝⎭，代入2212x y +=，得[]()22022(1)12y x λλλ-+-+=，又220012x y +=，得032x λ=-，设1NF FN μ= ，()001,x F y N +=，可得001(1),x y N μμμ⎛⎫++⎪⎝⎭，代入2212x y +=，得()()220022112y x μμμ⎡⎤++⎣⎦+=，又220012x y +=，得032x μ=+，∵11||||,MF NF FM FN λμ==，∴210211111||||sin 2941sin 2MF NF MFN S x S M F N F N FMλμ⋅⋅∠===-⋅⋅∠，∵(0x ∈，()20,2x ∈，∴()121,9S S ∈．关键点点睛：本题第二问的关键点是设()00,M x y ，令1MF FM λ= ，1NF FN μ=，分别求出1M 、1N 坐标，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.21．设函数()()2cos 10f x x ax x =-+≥.(1)若()f x 最小值为0，求a 的范围；(2)令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()11,1,2,,,22i i i A g i n n *⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,,1i k i n =- ，证明.12176n k k k n -+++>- 【正确答案】(1)12a ≥(2)证明见解析【分析】（1）求得()2sin f x ax x '=-，对实数a 的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数()f x 在[)0,∞+上的单调性，结合()min 0f x =可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）可得()2cos 102x x x ≥-≥，设π02m n <<<，取点(),sin M m m 、(),sin N n n ，证明出sin sin cos m nn m n->-，可得出21112i i k +>-，再利用不等式的基本性质结合等比数列求和公式可证得结论成立.【详解】（1）解：因为()()2cos 10f x x ax x =-+≥，则()2sin f x ax x '=-，令()2sin h x ax x =-，则()2cos h x a x '=-，且()021h a '=-.①当()0210h a -'=<时，即当12a <时，因为函数()h x '在()0,π上增函数，()0210h a -'=<，()π210h a '=+>，所以，存在()00,πx ∈，使得()00h x '=，且当00x x <<时，()0h x '<，所以，函数()h x 在()00,x 上单调递减，故当()00,x x ∈时，()()0f x h x '=<，则函数()f x 在()00,x 上单调递减，所以，()()000f x f <=，这与()f x 在[)0,∞+上的最小值为0矛盾，舍去；②当()0210h a -'=≥时，即当12a ≥时，()2cos 0h x a x '=-≥且()h x '不恒为零，所以，函数()f x '在[)0,∞+上单调递增，故当0x ≥时，()()00f x f ''≥=且()f x '不恒为零，所以，函数()f x 在[)0,∞+上为增函数，当0x ≥时，()()00f x f ≥=，合乎题意.综上所述，12a ≥.（2）证明：由（1）知()2cos 102x x x ≥-≥，设π02m n <<<，取点(),sin M m m 、(),sin N n n ，直线MN 的斜率为sin sin MN m nk m n-=-，()cos g x x '=，则()cos g n n '=，所以，曲线()y g x =在x n =处的切线的斜率为cos n ，接下来证明cos MN k n >，即证sin sin cos m nn m n->-，即证()cos sin sin 0m n n m n --+>，令()()cos sin sin r x x n n x n =--+，其中0x n <<，则()cos cos r x n x '=-，令()cos cos p x n x =-，则函数()p x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故当0x n <<时，()()0p x p n ''<=，此时函数()p x 单调递减，即函数()r x '在()0,n 上单调递减，所以，当0x n <<时，()()0r x r n >=，故()()0r m r n >=，所以，当π02m n <<<时，sin sin cos m nn m n->-，所以，121111sinsin 1122cos 1112222i i i i i i ik +++-=>>--.，所以，1213521111111222n n k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111184711711664614n n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=--=-+⋅>- ⎪⎝⎭-.方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．在直角坐标系中，曲线1C的参数方程x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求12,C C 的极坐标方程；(2)设P 点的直角坐标为()1,0，直线l 经过P 点，l 交2C 于点,,A B l 交1C 于点M ，求PA PBPM⋅的最大值．【正确答案】(1)()5πR 6θρ=∈，4ρ=(2)30【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.（2）利用一元二次方程根与系数的关系，利用三角函数的变换求出结果.【详解】（1）由曲线1C：x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t得：0x =，化简极坐标方程为：()5πR 6θρ=∈，曲线2C ：4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），消去参数θ得：2216x y +=，可得极坐标方程为.4ρ=（2）因P 点的直角坐标为()1,0，设直线l 的倾斜角为α，0πα<<，则直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数，0πα<<），代入2C 的直角坐标方程整理得，22cos 150t t α+-=，则1215t t =-，设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则11111cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，22221cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，00001cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，则1215PA PB t t ⋅===，直线l 代入1C的直角坐标方程整理得，012cos π3t α-==⎛⎫- ⎪⎝⎭，则0PM t ==，因02π112cos 3t α=≥⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1230PA PB t t PM t ⋅=≤.即PA PBPM⋅的最大值为30.23．已知函数()244f x x x =++-．(1)求()10f x ≥的解集；(2)若()f x 最小值为m ，正实数,,a b c 满足a b c m ++=，证明：11192a b b c c a m++≥+++．【正确答案】(1)[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）分区间讨论即可求解，（2）利用图象可得()f x 的最小值，进而利用柯西不等式即可求解.【详解】（1）若2x ≤-，则24410x x ---+≥，得103x ≤-．若24-<<x ，则24410x x +-+≥，得24x ≤<．若4x ≥，则24410x x ++-≥，得4x ≥．∴解集[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎝⎦．（2）()3,28,243,4x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，()f x的图象如下：故当2x =-时，min ()6f x =，∴6a b c m ++==．∵()()()2111(111)9a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++⋅+++++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当a b b c c a +=+=+，即2a b c ===时，等号成立，∴111992()2a b b c c a a b c m ++≥+++++.。

简阳市2015年高中阶段教育学校招生适应性考试数 学全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．全卷满分120分，考试时间共120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、 选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1. 在实数032-，2-中，最小的数是 ( ) A ．32- B ．0 C ． D ．2-2. 为了实现道路畅通工程，我省今年计划公路建设累计投资92．7亿元，该数据用科学记数法可表示为 ( ) A ． 9.27×109B ．92.7×108C ．9.27×1010D ．0.927×10103. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 下列运算正确的是 ( )A ．222()a b a b -=-B ．11()33-= C ． 3(2)8-= D ．633a a a -=6. 在数轴上表示不等式组10240x x +>⎧⎨-⎩≤的解集，正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．7. 下列函数：①y x =-；②1y x=-；③21y x =+；④2y x =（x ＜0），y 随x 的增大而减小的函数有（ ） A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个8. 如图1，动点P 从点B 出发，以2厘米/秒的速度沿路径B —C —D —E —F —A 运动，设运动时间为t （秒），当点P 不与点A 、B 重合时，△ABP 的面积S （平方厘米）关于时间t （秒）的函数图象2所示，若AB=6厘米，则下列结论正确的是 （ ） A.图1中BC 的长是4厘米 B.图2中的a 是12 C.图1中的图形面积是60平方厘米 D.图2中的b 是199. 如图，每个底边为2的等腰三角形顶角的顶点都在反比例函数xy 6=（x>0）的图像上，第1个等腰三角形顶角的顶点横坐标为1，第2个等腰三角形的顶点横坐标为3，……以此类推，用含n 的式子表示第n 个等腰三角形底边上的高为（ ）10. 二次函数21y ax bx =++（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是（ ） A ．0＜t ＜1 B ．0＜t ＜2 C ．1＜t ＜2 D ．﹣1＜t ＜1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共6个小题,每小题3分,共18分）把答案直接填在题中横线上．11. 比较大小：-7____-2π（填大于，小于，或等于） 12. 因式分解：a a 165-= ____13. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的正弦值为 ．14. 反比例函数6y x=-的图象上有两点A （2，y 1）和B （-1，y 2），则y 1___ y 215. 如图：钝角三角形ABC 的面积为18，最长边AB=12，BD 平分∠ABC ，点M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值为______．16. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列四个结论：①∠BOC ＝90º＋21∠A ； ②EF=BE+CF ；③设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝21mn ； ④EF 是△ABC 的中位线．其中正确的结论是_____________．三、解答题：（本大题共8个小题，共72分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分7分）(本题共2个小题，第1小题3分，第2小题4分，共7分)（１）()01023322160sin 4---⎪⎭⎫ ⎝⎛--（２）先化简，再求值：()22(2)(2)5a b a b a b a +-++-,其中a=6, b=13-.18. （本小题满分8分）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿第13题图第15题图第16题图童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．第18题图19. （本小题满分8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM=DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：（1）AE=AB；（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．20. （本小题满分8分）如图：我国海监船沿东西方向的海岸线l 上的M、N处停泊着我国渔民的捕鱼船，MN=1km,我国海监船在点M 的正东方向30km的点O处，观测到一日系船正匀速直线航向我国海域，当该日系船位于点O的北偏东30°方向上的A处（OA=km320）时，我方开始向日方喊话，但该日系船仍匀速航行，40min后，又测该日系船位于点O的正北方向上的点B处，且OB=20km. （参考）1.732(1)求该日系船航行的速度。