2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题12数列的综合问题教学案理含解析

数列综合问题高中数学教案
知识点：数列的综合
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握数列的综合方法，解决相关数学问题。

教学重点：数列的综合求解方法。

教学难点：在实际问题中运用数列的综合方法解决问题。

教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师向学生介绍本节课的学习内容，引导学生了解数列的综合概念。

并通过一个简单的例子引出数列综合问题。

二、讲解与实践（15分钟）
1. 讲解数列的综合方法，说明综合的含义及求解步骤。

2. 通过几个示例讲解综合求解数列问题的步骤，引导学生掌握方法。

3. 学生进行练习，巩固数列综合的求解方法。

三、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些实际问题，让学生尝试用数列综合方法解决问题。

2. 学生结合实际问题进行讨论，分享不同解题思路。

四、作业布置（5分钟）
布置练习题作业，相关综合数列问题的练习。

五、课堂小结（5分钟）
总结本节课的重点内容，强调数列综合方法的重要性，并提醒学生作业要认真完成。

教学反思：本节课通过讲解数列的综合方法，让学生了解了数列的综合应用，实际问题中的数列综合求解方法。

通过多种实例的讲解和练习，学生对数列综合方法有了更深入的理解和掌握。

在今后的教学过程中，可以结合更多实际问题，让学生更好地运用数列综合方法解决各种数学问题。

数列的求和问题【2019年高考考纲解读】高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现了转化与化归的思想． 【重点、难点剖析】 一、分组转化法求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． 二、错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列． 三、裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1或⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和． 【高考题型示例】 题型一、分组转化法求和例1、若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ>0，n∈N *)． (1)证明数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .解析：(1)∵S n ＝2a n －λ，当n ＝1时，得a 1＝λ， 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－λ， ∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以λ为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝λ2n －1.(2)∵λ＝4，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，∴T 2n ＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋ (22)＋2n ＋1 ＝(22＋24＋ (22))＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝4－4n ·41－4＋n 3＋2n ＋12＝4n ＋1－43＋n (n ＋2)， ∴T 2n ＝4n ＋13＋n 2＋2n －43. 【变式探究】在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 3＝4，a 3是a 2－2与a 4的等差中项，若a n ＋1＝2nb (n ∈N *)． (1)求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{}c n 满足c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1，求数列{}c n 的前n 项和S n .(2)由(1)得，c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1＝2n＋12n －12n ＋1＝2n＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴数列{}c n 的前n 项和S n ＝2＋22＋…＋2n ＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝21－2n1－2＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝2n ＋1－2＋n2n ＋1(n ∈N *)．【感悟提升】在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．【变式探究】已知{a n }为等差数列，且a 2＝3，{a n }前4项的和为16，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝88，且数列{}b n －a n 为等比数列(n ∈N *)．(1)求数列{a n }和{}b n －a n 的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .(2)由(1)得b n ＝3n＋2n －1， 所以S n ＝()3＋32＋33＋ (3)＋()1＋3＋5＋…＋2n －1＝3()1－3n1－3＋n ()1＋2n －12＝32()3n －1＋n 2＝3n ＋12＋n 2－32(n ∈N *)． 【变式探究】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2an ＋(－1)n·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }为等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.因此{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1. (2)∵b n ＝2an＋(－1)n·a n ＝22n ＋1＋(－1)n·(2n ＋1)＝2×4n＋(－1)n·(2n ＋1)，∴T n ＝2×(41＋42＋…＋4n )＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n(2n ＋1)]＝8（4n－1）3＋G n .当n 为偶数时，G n ＝2×n2＝n ，∴T n ＝8（4n－1）3＋n ；当n 为奇数时，G n ＝2×n －12－(2n ＋1)＝－n －2，∴T n ＝8（4n－1）3－n －2，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8（4n－1）3＋n （n 为偶数），8（4n－1）3－n －2 （n 为奇数）. 题型二、错位相减法求和例2、[2018·浙江卷]已知等比数列{an }的公比q >1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{bn }满足b 1＝1，数列{(bn ＋1－bn )an }的前n 项和为2n 2＋n . (1)求q 的值；(2)求数列{bn }的通项公式．【解析】 (1)解：由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项， 得a 3＋a 5＝2a 4＋4，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28， 解得a 4＝8.由a 3＋a 5＝20，得8⎝⎛⎭⎪⎫q ＋1q ＝20，解得q ＝2或q ＝12.因为q >1，所以q ＝2.(2)解：设cn ＝(bn ＋1－bn )an ，数列{cn }的前n 项和为Sn .由cn ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，Sn －Sn －1，n ≥2，解得cn ＝4n －1.由(1)可得an ＝2n －1，所以bn ＋1－bn ＝(4n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，故bn －bn －1＝(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2， bn －b 1＝(bn －bn －1)＋(bn －1－bn －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(4n －9)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋…＋7×12＋3.设Tn ＝3＋7×12＋11×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2，则12Tn ＝3×12＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(4n －9)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 所以12Tn ＝3＋4×12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2－(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，因此Tn ＝14－(4n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2.又b 1＝1，所以bn ＝15－(4n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.【变式探究】已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，满足S n ＝13a 1(a n －1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <89.解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1(a 1－1)＝13a 21－13a 1，∵a 1≠0，∴a 1＝4.∴S n ＝43(a n －1)，∴当n ≥2时，S n －1＝43(a n －1－1)，两式相减得a n ＝4a n －1(n ≥2)，∴数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n.(2)∵a n b n ＝log 2a n ＝2n ，∴b n ＝2n 4n ，∴T n ＝241＋442＋643＋…＋2n 4n ，14T n ＝242＋443＋644＋…＋2n 4n ＋1，两式相减得34T n ＝24＋242＋243＋244＋…＋24n －2n 4n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋142＋143＋144＋…＋14n －2n 4n ＋1＝2×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－2n 4n ＋1＝23－23×4n －2n 4n ＋1＝23－6n ＋83×4n ＋1. ∴T n ＝89－6n ＋89×4n <89.【变式探究】已知数列{a n }满足a 1＝a 3，a n ＋1－a n 2＝32n ＋1，设b n ＝2n a n (n ∈N *)．(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由b n ＝2na n ，得a n ＝b n 2n ，代入a n ＋1－a n 2＝32n ＋1得b n ＋12n ＋1－b n2n ＋1＝32n ＋1，即b n ＋1－b n ＝3，所以数列{b n }是公差为3的等差数列，又a 1＝a 3，所以b 12＝b 38，即b 12＝b 1＋68，所以b 1＝2，所以b n ＝b 1＋3(n －1)＝3n －1(n ∈N *)．(2)由b n ＝3n －1，得a n ＝b n 2n ＝3n －12n ，所以S n ＝22＋522＋823＋…＋3n －12n ，12S n ＝222＋523＋824＋…＋3n －12n ＋1， 两式相减得12S n ＝1＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －3n －12n ＋1＝52－3n ＋52n ＋1， 所以S n ＝5－3n ＋52n (n ∈N *)．【感悟提升】(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列． (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．【变式探究】已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)．数列{b n }是公差d 不等于0的等差数列，且满足：b 1＝32a 1，b 2，b 5，b 14成等比数列．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)n ＝1时，a 1＋12a 1＝1，a 1＝23，n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧S n＝1－12a n，S n －1＝1－12a n －1，S n －S n －1＝12()a n －1－a n ，∴a n ＝13a n －1(n ≥2)， {a n }是以23为首项，13为公比的等比数列，a n ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . b 1＝1，由b 25＝b 2b 14得，()1＋4d 2＝()1＋d ()1＋13d ，d 2－2d ＝0，因为d ≠0，解得d ＝2， b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)c n ＝4n －23n ，T n ＝23＋632＋1033＋…＋4n －23n ，① 13T n ＝232＋633＋1034＋…＋4n －63n ＋4n －23n ＋1，② ①－②得，23T n ＝23＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋133＋…＋13n －4n －23n ＋1＝23＋4×19－13n ＋11－13－4n －23n ＋1 ＝43－23n －4n －23n ＋1， 所以T n ＝2－2n ＋23n (n ∈N *)．【变式探究】公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝10，且a 1，a 3，a 9成等比数列. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公差为d ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝10，a 23＝a 1·a 9，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝10，（a 1＋2d ）2＝a 1（a 1＋8d ）. 解之得a 1＝1，且d ＝1. 因此a n ＝n .(2)令c n ＝n3n ，则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝13＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n3n ，① 13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n3n ＋1，② ①－②得：23T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －n 3n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13－n 3n ＋1＝12－12×3n －n 3n ＋1，∴T n ＝34－2n ＋34×3n .【变式探究】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式.所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.题型三 裂项相消法求和例3、[2018·天津卷]设{an }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为Sn (n ∈N *)，{bn }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{an }和{bn }的通项公式．(2)设数列{Sn }的前n 项和为Tn (n ∈N *)， ①求Tn ；②．【解析】(1)解：设等比数列{an }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0.由q >0，可得q ＝2，故an ＝2n －1.设等差数列{bn }的公差为d .由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故bn ＝n . (2)若b n ＝1a n ·a n ＋1，其前n 项和为T n ，若T n >919成立，求n 的最小值．解 (1)由2S n ＝a 2n －2S n －1＋1知， 2S n －1＝a 2n －1－2S n －2＋1()n ≥3，两式相减得，2a n ＝a 2n －a 2n －1－2a n －1， 即2()a n ＋a n －1＝()a n －a n －1()a n ＋a n －1， 又数列{a n }为递增数列，a 1＝1，∴a n ＋a n －1>0， ∴a n －a n －1＝2()n ≥3，又当n ＝2时，2()a 1＋a 2＝a 22－2a 1＋1，即a 22－2a 2－3＝0，解得a 2＝3或a 2＝－1(舍)，a 2－a 1＝2，符合a n －a n －1＝2，∴{a n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ∈N *)． (2)b n ＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12n ＋1， 又∵T n >919，即12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12n ＋1>919，解得n >9，又n ∈N *，∴n 的最小值为10. 【变式探究】设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2＋5n . (1)求证：数列{3an}为等比数列； (2)设b n ＝2S n －3n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n b n 的前n 项和T n .(2)解 ∵b n ＝4n 2＋7n ， ∴n a n b n ＝1（4n ＋3）（4n ＋7）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋3－14n ＋7，∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋111－115＋…＋14n ＋3－14n ＋7 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫17－14n ＋7＝n7（4n ＋7）. 【变式探究】设正项等比数列{a n }，a 4＝81，且a 2，a 3的等差中项为32(a 1＋a 2).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 3a 2n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，数列{c n }满足c n ＝14S n －1，T n 为数列{c n }的前n 项和，若T n <λn恒成立，求λ的取值范围.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3＝81，a 1q ＋a 1q 2＝3（a 1＋a 1q ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝3. 所以a n ＝a 1qn －1＝3n.(2)由(1)得b n ＝log 332n －1＝2n －1， S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n [1＋（2n －1）]2＝n 2∴c n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝n2n ＋1. 若T n ＝n 2n ＋1<λn 恒成立，则λ>12n ＋1(n ∈N *)恒成立， 则λ>⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1max，所以λ>13.。

函数的应用【2019年咼考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1) ①确定函数零点；②确定函数零点的个数；③根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围.⑵函数简单性质的综合考查•函数的实际应用问题.(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查.利用函数性质解决相关的最值•题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法.【重点、难点剖析】1 •函数的零点与方程的根(1) 函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x) = 0的实数x叫做函数f(x)的零点.(2) 函数的零点与方程根的关系函数F(x) = f (x) —g(x)的零点就是方程f(x) = g(x)的根，即函数y = f (x)的图象与函数y= g(x)的图象交点的横坐标.(3) 零点存在性定理如果函数y = f (x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a) • f (b)<0，那么，函数y=f (x)在区间(a, b)内有零点，即存在c€(a, b)使得f (c) = 0,这个c也就是方程f (x) = 0的根.注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.(4) 二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解.2. 应用函数模型解决实际问题的一般程序读题建模求解反馈文字语言? 数学语言? 数学应用？检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导11数的有关知识加以综合解答.3. 在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x),即把方程写成f(x) = g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系•【题型示例】题型一函数的零点一f(x) _ I c * % w ? 一例1、(2018年全国I卷理数)已知函数J Unx, x>0. 能)=.若g( x)存在2个零点.，则a 的取值范围是A. [ - 1, 0)B. [0 , +R)C. [ - 1 , +R)D. [ 1, +R)【答案】C【解析】画出函数画的图像，匚司在y轴右侧的去掉，再画出直线庄m,之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个有两个解，也就是函数回有两个零点，此时满足EKZU, 即心T|,故选C.【答案】C【变式探究】【2017课标3,理11】已知函数■' '- - ■'' 有唯一零点，则a='■•■' 有唯一零点，则a=A. -121B.—3C. 12 D. 1交点，即方程『何=p—日1【答案】CA.21B. 31C. 2D. 1当g x =0时，x =1，当x ::: 1时，g x :: 0，函数g x 单调递减,当x . 1时，g x• 0 ,函数g x单调递增,当x =1时，函数取得最小值g 1 =2 ,设疋f - ，当x = 1时，函数取得最小值一1 ,若m 0 ,函数h(x]与的数ag(x)没有交点」当-日<0时,-咫⑴"⑴时，此时的数阳(对和怨0)有一个交点'即-ax2 =—1 f解得& = * .故选C-【变式探究】(1)(2015 •海南)已知函数.f(x) = In x- 2的零点为x o,贝U x o所在的区间是() A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3) D . (3,4)(2) [ x]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9] = 2, [ —4.1] =- 5.已知f(x) = x —[x]( x€ R), g(x) = log 4(x —1)，则函数h( x) = f (x) - g(x)的零点个数是()A. 1 B . 2 C . 3 D . 4⑴答案：C 解析："」£严在(山+却上是增ffl数，又加)=蚯 1 一转卜=lnl-2<0?人2)=ln2-打»切，只3尸In 3」寸池5€阳,故选C⑵答案：B解析：函数h(x) = f (x) - g(x)的零点个数可转化为函数f (x)与g(x)图象的交点个数，作出函数f (x) = x-与函数g (x ) = log 4(x — 1)的大致图象，如图，由图知，两函数图象的交若函数y = f (x ) — a 在区间［—3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是____________________________________________________________________________________________ . 【答案】0, 1【解析】函数y = f (x ) — a 在区间［—3,4］上有互不相同的10个零点，即函数y = f (x ), x € ［ — 3,4］与y = a 一 一 一 一 1 一_的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数 f (x )在一个周期内的图象如图， 可知当0 v a v 2时满足题意.【方法技巧】 1 •确定函数零点的常用方法 (1)解方程判定法，若方程易求解时用此法.⑵零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识.(3) 数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手，可以转化为某 一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题，常 转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.x + 1, - 1< x <0,[x ] =x , O w x <1, x — 1, 1 w x <2,x 2— 2x +13的函数，当x € [0,3)时,f (x )=2(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系，从而构建不等式 题型二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建 关于参数的方程或不等式求解.解析 令 h (x ) = — x — a ,若g (x )存在2个零点，贝y y = f (x )的图象与y = h (x )的图象有2个交点，平移y = h (x )的图象可知，当直线 y = — x — a 过点(0,1)时，有2个交点, 此时 1 = — 0— a , a =— 1.当y =— x — a 在y = — x +1上方，即a <— 1时，仅有1个交点，不符合题意;当y =— x — a 在y = — x + 1下方，即a >— 1时，有2个交点，符合题意. 综上，a 的取值范围为［—1,+^). 故选C._ _ 一 一 1 2【变式探究】 已知偶函数f (x )满足f (x — 1) = f ---------- ，且当x € ［ — 1,0］时，f (x )= x ,若在区间［—1,3］内,T x函数g (x ) = f (x ) — log a (x + 2)有3个零点，则实数 a 的取值范围是 ____________ . 答案 (3,5)1 解析 •••偶函数f (x )满足f (x — 1) = f ---------- ,(组)求解.e x , x w o , 例2、(2018 •全国I )已知函数f (x )=< In x , x >0,取值范围是( )A . [ — 1,0)B . [0 ,+s)C. [ — 1 ,+s )D. [1 ,+s)答案 Cg ( x ) = f (x ) + x + a .若g (x )存在2个零点，则a 的则 g (x ) = f (x ) — h (x ).y = h (x )图象的示意图，如图所示.T x 且当x € ［—1,0］时,f (x) = x2,1••• f (x — 2) = f (x — 1- 1) = f x_］= f (x ),•••函数f (x )的周期为2，在区间［—1,3］内函数g (x ) = f (x ) — log a (x + 2)有3个零点等价于函数 f (x )的图象与y = log a (x + 2)的图象在区间［—1,3］内有3个交点. 当0<a <1时，函数图象无交点，数形结合可得a >1且f Og a3<1，解得3<a <5.|lOg a 5>1.【感悟提升】(1)方程f (x ) = g (x )根的个数即为函数 y = f (x )和y = g (x )图象交点的个数.⑵ 关于x 的方程f (x ) — vm= 0有解，m 的范围就是函数 y = f (x )的值域.|2x — a , x <0,【变式探究】(2018 •四川省凉山州诊断性检测)已知函数f (x ) =(a € R),若函数f (x )在|3x — a , x >0R 上有两个零点，贝U a 的取值范围是( )A . (0,1]B . [1 ,+s)『严―6 >ft解折；函数斫二应晚尺上有两个険且&卸数血-个施二方程廿―盘在巧Q]上有一个解』 再根据当/{-巧0]时，0<2^=1,可得0远1. 故选A.【举一反三】函数f (x ) =，方程[f (x )] 2— (1) f (x ) + 1 — m= 0有4个不相等实根，则 m 的取值范围是e答案 C C. (0,1) U (1,2)答案AD. (—s,1)C.e 2— e + 1 B. ，+mD. e 2— ee 2+ e ，-pm A.号解析根据题意画出函数f (x)的图象.x 1 — x当 x >0 时，f (x ) = r ,贝y f '(x ) = — (X >0), e e1故f (1)=-为f (x )在(0,+s )上的最大值. e2 设 t = f (x ) , t — ( 1) t + 1 — m= 0 有两个根 t i , t 2,由图可知，对应两个 x 值的t值只有一个， 故可设11对应一个x 值，t 2对应3个x 值. 右=0，情况为 1t20， e 当属于第一种情况时，将 0代入方程得 m= 1,2 1 此时二次方程t — (m^ 1)t +1 — m= 0的根是确定的，一个为 0, —个为2>-,不符合第一种情况的要求；e 1 m+12— + 1 — m <0,当属于第二种情况时， e e 1 — m>0,2n e — e + 1 即—2 <m <1.e + e题型三、函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域•其解题步骤是： (1)阅读 理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题. (2)数学建模：弄清题目中的已 知条件和数量关系，建立函数关系式. (3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果. (4)实际 问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.【例4】经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y (升)与速度x (千米/时)(50 < x < 120)的关系 可近似表示为：75 x 2— 130x + 斗肛If ；, 75 y =彳 x12 — 60, x € [80, 120].(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低?1t1>e ，x € [50 , SO(2)已知A B 两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 解 (1)当 x € [50,80)时， y =秒&― 130x + 4 900) = ^( x — 65) 2+ 675],1当x = 65时，y 有最小值 675= 9.75 当x € [80,120]时，函数单调递减，故当 x = 120时，y 有最小值10.因为9<10,故当x = 65时每小时耗油量最低.(2)设总耗油量为I ，由题意可知I = y •空x①当 x € [50,80)时,120 8,' I = y • —= x + x 5 \ x 4 900 x = ，即x = 70时，I 取得最小值16.x 120 1 440②当x € [80,120]时，I = y ・「= ---------- — 2为减函数.当x = 120时，I 取得最小值10.因为10<16,所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少.【感悟提升】(1) 解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.(2) 对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【变式探究】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新 工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨, 一 1 2月处理成本y (兀)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y = ^x — 200x + 80 000 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利 用的化工产品价值为 100元.(1) 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 4 900 ------- —130 x 当且仅当85 4 900 — 130 = 16,(2) 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为'{x • 80 000 - 200= 200, 1 80 000当且仅当-x = -------- ，即x = 400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为2 x⑵设该单位毎月茯利为S 」则 S= 1 OOx-j -1 OO JC - ■字-200x+ £0 000 )= -|x ; + 300^-80 000= -1(^-300)—35 000/因为 400<r<600?所以当时，S 有最大值-4。

《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。

2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。

3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。

二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。

2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。

3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。

4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。

5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。

2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。

2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。

3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。

五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。

2. 第二课时：等比数列的应用举例。

3. 第三课时：数列的求和公式及应用。

4. 第四课时：数列的通项公式的应用。

5. 第五课时：数列在函数中的应用。

6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。

六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。

2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。

3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。

七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。

2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。

3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。

八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。

数列的综合问题【2019年高考考纲解读】1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．【重点、难点剖析】一、利用S n，a n的关系式求a n1．数列{a n}中，a n与S n的关系a n＝Error!2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{a n}中，满足a n＋1－a n＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项a n.a n＋1(3)在已知数列{a n}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数a n列的通项a n.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．二、数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．三、数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．【高考题型示例】题型一、利用S n，a n的关系式求a n例1、已知等差数列{a n}中，a2＝2，a3＋a5＝8，数列{b n}中，b1＝2，其前n项和S n满足：b n＋1＝S n＋2(n∈N*)．1(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；a n(2)设c n＝，求数列{c n}的前n项和T n.b n解(1)∵a2＝2，a3＋a5＝8，∴2＋d＋2＋3d＝8，∴d＝1，∴a n＝n(n∈N*)．∵b n＋1＝S n＋2(n∈N*)，①∴b n＝S n－1＋2(n∈N*，n≥2)．②由①－②，得b n＋1－b n＝S n－S n－1＝b n(n∈N*，n≥2)，∴b n＋1＝2b n(n∈N*，n≥2)．∵b1＝2，b2＝2b1，∴{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴b n＝2n(n∈N*)．【感悟提升】给出S n与a n的递推关系，求a n，常用思路：一是利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求a n.【变式探究】已知数列{a n}的前n项和S n满足：a1a n＝S1＋S n.(1)求数列{a n}的通项公式；a n(2)若a n>0，数列{log 32}的前n项和为T n，试问当n为何值时，T n最小？并求出最小值．2解(1)由已知a1a n＝S1＋S n，①可得当n＝1时，a21＝a1＋a1，解得a1＝0或a1＝2，当n≥2时，由已知可得a1a n－1＝S1＋S n－1，②2①－②得a1(a n－a n－1)＝a n.若a1＝0，则a n＝0，此时数列{a n}的通项公式为a n＝0.若a1＝2，则2(a n－a n－1)＝a n，化简得a n＝2a n－1，即此时数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n＝2n(n∈N*)．综上所述，数列{a n}的通项公式为a n＝0或a n＝2n.(2)因为a n>0，故a n＝2n.a n设b n＝log2 ，则b n＝n－5，显然{b n}是等差数列，32由n－5≥0，解得n≥5，所以当n＝4或n＝5时，T n最小，5(－4＋0) 最小值为T4＝T5＝＝－10.2题型二数列与函数、不等式的综合问题x1＋λx例2、已知函数f(x)＝ln(1＋x)－.1＋x(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；1 1 1 1(2)设数列{a n}的通项a n＝1＋＋＋…＋，证明：a2n－a n＋>ln 2.2 3 n4n(1)解由已知可得f(0)＝0，x1＋λx∵f(x)＝ln(1＋x)－，1＋x1－2λx－λx2∴f′(x)＝，且f′(0)＝0.1＋x2①若λ≤0，则当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)≥f(0)＝0，不合题意；1②若0<λ< ，21－2λ则当0<x< 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，λ1－2λ∴当0<x< 时，f(x)>f(0)＝0，不合题意；λ1③若λ≥，2则当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x≥0时，f(x)≤f(0)＝0，符合题意．1综上，λ≥.231∴实数λ的最小值为.21 1 1 1 1 1 1(2)证明由于a2n－a n＋＝＋＋＋…＋＋＋，4n n＋1 n＋2 n＋3 2n－1 2n4n1 x2＋x若λ＝，由(1)知，f(x)＝ln(1＋x)－，2 2＋2x且当x>0时，f(x)<0，x2＋x即>ln(1＋x)，2＋2x1 2n＋1 n＋1令x＝，则>ln ，n2n n＋1n1 1 n＋1∴＋>ln ，2n2n＋1n1 1 n＋2＋>ln ，2n＋12n＋2n＋11 1 n＋3＋>ln ，2n＋22n＋3n＋2…，1 1 2n＋>ln .22n－14n2n－1以上各式两边分别相加可得1 1 1 1 1 1 1 1＋＋＋＋＋＋…＋＋2n2n＋12n＋12n＋22n＋22n＋322n－14n n＋1 n＋2 n＋3 2n>ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln ，n n＋1 n＋2 2n－11 1 1 1 1 1即＋＋＋…＋＋＋n＋1 n＋2 n＋3 2n－1 2n4nn＋1 n＋2 n＋3 2n2n>ln ···…·＝ln ＝ln 2，n n＋1 n＋2 2n－1 n1∴a2n－a n＋>ln 2.4n【感悟提升】解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视．(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件．(3)不等关系证明中进行适当的放缩．【变式探究】已知等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，满足S4＝2a4－1，S3＝2a3－1. (1)求{a n}的通项公式；1 1 1(2)记b n＝log2(a n·a n＋1)(n∈N*)，数列{b n}的前n项和为T n，求证：＋＋…＋<2.T1 T2 T n(1)解设{a n}的公比为q，4由S4－S3＝a4，S4＝2a4－1得，2a4－2a3＝a4，a4所以＝2，所以q＝2.又因为S3＝2a3－1，a3所以a1＋2a1＋4a1＝8a1－1，所以a1＝1，所以a n＝2n－1(n∈N*)．(2)证明由(1)知b n＝log2(a n＋1·a n)＝log2(2n×2n－1)＝2n－1，1＋2n－1所以T n＝n＝n2，21 1 1 1 1 1 1 1 1所以＋＋…＋＝＋＋…＋<1＋＋＋…＋T1 T2 T n 12 22 n2 1 × 2 2 × 3 n－1n1 1 1 1 1＝1＋1－＋－＋…＋－2 23 n－1 n1＝2－<2.n题型三数列的实际应用例3、科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m>0)．(1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．解设2018年的碳排放总量为a1,2019年的碳排放总量为a2，…，(1)由已知，a1＝400×0.9＋m，a2＝0.9×(400 × 0.9＋m)＋m＝400×0.92＋0.9m＋m＝324＋1.9m.(2)a3＝0.9×(400 × 0.92＋0.9m＋m)＋m＝400×0.93＋0.92m＋0.9m＋m，…，a n＝400×0.9n＋0.9n－1m＋0.9n－2m＋…＋0.9m＋m1－0.9n＝400×0.9n＋m ＝400×0.9n＋10m(1－0.9n)1－0.95＝(400－10m)×0.9n＋10m.由已知∀n∈N*，a n≤550，(1)当400－10m＝0，即m＝40时，显然满足题意；(2)当400－10m>0，即m<40时，由指数函数的性质可得(400－10m)×0.9＋10m≤550，解得m≤190.综合得m<40；(3)当400－10m<0，即m>40时，由指数函数的性质可得10m≤550，解得m≤55，综合得40<m≤55.综上可得所求m的范围是(0，55].【感悟提升】常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值y＝N(1＋p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋nr)．r1＋r n a(4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b＝.1＋r n－1【变式探究】2018年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2019年起，在今后的若干年内，每年继续投资2 千万元用于此项目.2018年该项目的净收入为5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记2018 年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为该项目赢利．3 3(参考数值：(2 )7 ≈17，(2 )8 ≈25，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7)(1)试求f(n)的表达式；(2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．解(1)由题意知，第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为8＋2(n－1)＝2n＋6(千万元)，1 1 3 1 3 1 3第1年至此后第n(n∈N*)年的累计净收入为＋×1＋×2＋…＋×n－2 (2 ) 2 (2 ) 2 (2 ) 2161 32[1－(2 )n]3＝＝n－1(千万元)．(2 )31－23∴f(n)＝(2 )n－1－(2n＋6)3＝(2)n－2n－7(千万元)．(2)方法一∵f(n＋1)－f(n)＝3 3 [(2 )n＋1－2n＋1－7] [(2 )n－2n－7]－1 32[(2 )n－4]＝，∴当n≤3时，f(n＋1)－f(n)<0，故当n≤4时，f(n)递减；当n≥4时，f(n＋1)－f(n)>0，故当n≥4时，f(n)递增．15 又f(1)＝－<0，23f(7)＝(2 )7－21≈17－21＝－4<0，3f(8)＝(2 )8－23≈25－23＝2>0.∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2025年开始并持续赢利．3方法二设f(x)＝(2 )x－2x－7(x≥1)，3 3则f′(x)＝(2 )x ln －2，令f′(x)＝0，23 2 2 2得(2 )x＝＝≈＝5，3 ln 3－ln 2 1.1－0.7ln2∴x≈4.从而当x∈[1,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．15 又f(1)＝－<0，23f(7)＝(2 )7－21≈17－21＝－4<0，73f(8)＝(2 )8－23≈25－23＝2>0.∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2025年开始并持续赢利．题型四与数列相关的综合问题1例4、设f(x)＝x2＋2x，f′(x)是y＝f(x)的导函数，若数列{a n}满足a n＋1＝f′(a n)，且首2项a1＝1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{b n}的前n项和为T n，请写出适合条件T n≤S n的所有n的值.1解(1)由f(x)＝x2＋2x，得f′(x)＝x＋2.2∵a n＋1＝f′(a n)，且a1＝1.∴a n＋1＝a n＋2则a n＋1－a n＝2，因此数列{a n}是公差为2，首项为1的等差数列.∴a n＝1＋2(n－1)＝2n－1.【感悟提升】1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.1 1(2)由(1)可得＝，a n2n811 n2[1－(2 )]1 1 1 1 所以T n＝＋＋…＋＝＝1－.2 22 2n 1 2n1－21 1 11 000 |1－－1|2n 1 000由|T n－1|< ，得< ，即2n>1 000，又∵n∈N*，因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10，1于是，使|T n－1|< 成立的n的最小值为10.1 0009。

专题12 数列1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则A ． 当101,102b a => B ． 当101,104b a => C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .故B 项不正确. 故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.4．【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10D ．12【答案】B【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d ,的关系，从而求得结果.5．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>【答案】B【解析】令()ln 1,f x x x =--则()11f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+.若公比0q >，则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意； 若公比1q ≤-，则()()212341110,a a a a a q q +++=++≤但()()212311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣⎦，即()12341230l n a a a a a a a +++≤<++，不合题意；因此()210,0,1q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，故选B.【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如()2ln 1,e 1,e 10.x x x x x x x ≥+≥+≥+≥6．【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C ． 【秒杀解】因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=， 则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C ．【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.7．【2017年高考全国I 卷理数】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 8．【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有7(12)38112x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ． 【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．9．【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ． 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.10．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．11．【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=___________．【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．12．【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．13．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为___________． 【答案】 0，10-.【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.14．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是___________． 【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组.15．【2018年高考全国I 卷理数】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--，故答案是63-.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.16．【2018年高考北京卷理数】设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为___________．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，()133343663616 3.n a d d d a n n =∴+++=∴=∴=+-=-，，， 【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.17．【2018年高考江苏卷】已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}nB x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为___________． 【答案】27【解析】所有的正奇数和()2n n *∈N 按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列|{}n a 中，25前面有16个正奇数，即5621382,2a a ==.当n =1时，1211224S a =<=，不符合题意；当n =2时，2331236S a =<=，不符合题意；当n =3时，3461248S a =<=，不符合题意；当n =4时，4510<12=60S a =，不符合题意；……；当n =26时，()2752621221(141)441625032121=2516S a⨯-⨯+=+=+=<-，不符合题意；当n =27时，()8527221222(143)21484+62=546>12=5420S a ⨯-⨯+=+=-,符合题意.故使得+1>12n n S a 成立的n 的最小值为27.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n 项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.18．【2017年高考全国II 卷理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑___________． 【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-++-=-=+++∑． 【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．19．【2017年高考全国III 卷理数】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 =___________．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.20．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =___________． 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．21．【2017年高考北京卷理数】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =___________． 【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么221312a b -+==． 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 22．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n nb n =-+.【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-． 所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．【名师点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.23．【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（2）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（3）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．【答案】(1) 1,3,5,6（答案不唯一）；(2)见解析；(3)见解析. 【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一） （2）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤.所以00m n a a <·（3）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中. 又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件. 所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.24．【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N ．【答案】（1）31n a n =+；32nn b =⨯（2）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,2,d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n nn n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯．所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯．（2）（i ）()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-． 所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n n a c -=⨯-． （ii ）()()22221111211n n niini iiiiii i i i a c a a c a a c====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑()()12212439412n n n ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N ．【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．25．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．26．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,n c n *=∈N 证明：12+.n c c c n *++<∈N【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ． 所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．（2）*n c n ===∈N ． 我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12k c c c +++<．那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<<==．即当1n k =+时不等式也成立． 根据（i ）和（ii），不等式12n c c c +++<对任意*n ∈N 成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.27．【2018年高考全国II 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 关于n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.28．【2018年高考全国III 卷理数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【答案】（1）1(2)n n a -=-或12n n a -=；（2）6m =. 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m=，解得6m =.综上，6m =.【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.29．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．【答案】（1）2q =；（2）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =.（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S . 由11,1,, 2.n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（1）可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+.设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅，因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.30．【2018年高考江苏卷】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）． 【答案】（1）；（2）见解析.【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．（1）由条件知：．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即对n =1，2，3，4均成立，即11，1d 3，32d 5，73d 9，得． 因此，d 的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即，即当时，d 满足． 因为，则，从而，，对均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．75[,]32112(,)n n n a n d b -=-=112|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤75[,]32111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+2,3,,1n m =+1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n m q q -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+2,3,,1n m =+下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．①当时，， 当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当x >0时，，所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，d 的取值范围为．31．【2018年高考天津卷理数】设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ，（i ）求n T ；（ii ）证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N . 【答案】（1）12n n a -=，n b n =；（2）（i ）122n n T n +=--；（ii ）见解析.【解析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（1）设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n m q q ≤≤1() 20n n nn q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m11(2)[,]m mb q b q m m-因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（2）（i ）由（1），有122112nn n S -==--，故 1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.（ii ）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑. 【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.32．【2017年高考天津卷理数】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．【答案】（1）32n a n =-，2nn b =；（2）1328433n n +-⨯+. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=． 又因为0q >，解得2q =．所以，2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -= ①． 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-．所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =．（2）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得23112(14)324343434(31)44(314n n n n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=----111)4(32)48n n n ++⨯=--⨯-，得1328433n n n T +-=⨯+． 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+． 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和． 33．【2017年高考山东卷理数】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2.（1）求数列{x n }的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】（1）12n n x -=；（2） 【解析】（1）设数列的公比为q ，由已知0q >.由题意得，所以，nT (21)21.2n n n T -⨯+={}n x 1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩23520q q --=因为0q >,所以，因此数列的通项公式为（2）过…，向轴作垂线，垂足分别为…，, 由(1)得记梯形的面积为. 由题意， 所以…+=…+ ①， 又…+ ②， ①-②得121132(222)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯= 所以 【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 34．【2017年高考江苏卷】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k nnnk n ka aa a aa --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．12,1q x =={}n x 12.n n x -=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b 101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”， 因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．【名师点睛】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得21n n n n n a a a a a --+++++=124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证起始项也满足即可．35．【2017年高考北京卷理数】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（1）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】（1）111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-.所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-， 所以{}n c 是等差数列.（2）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--.所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时，①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列.②当10d =时，对任意1n ≥，1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列.③当10d <时，当21d n d >时，有12nd d <. 所以1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n-+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--对任意正数M ，取正整数12112211||max{,}M b d a d d d m d d +-+-->-，故当n m ≥时，nc M n>. 【名师点睛】近几年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对新的信息的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二问难度较大，适合选拔优秀学生. 36．【2017年高考浙江卷】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）．证明：当n *∈N 时， （1）0＜x n +1＜x n ；（2）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （3）112n -≤x n ≤212n -．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）用数学归纳法证明：0n x >． 当n =1时，x 1=1>0． 假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0()n x n *>∈N ．所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>，。

数列的综合问题1．删去正整数数列1,2,3，… 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2 018项是( ) A ．2 062 B ．2 063 C ．2 064 D ．2 065 答案 B解析 由题意可得，这些数可以写为12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，第k 个平方数与第k ＋1个平方数之间有2k 个正整数，而数列12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，452共有2 025项，去掉45个平方数后，还剩余2 025－45＝1 980(个)数，所以去掉平方数后第2 018项应在2 025后的第38个数，即是原来数列的第2 063项，即为2 063.2．已知数列{a n }满足0<a n <1，a 41－8a 21＋4＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ＋4a 2n 是以8为公差的等差数列，设{a n }的前n 项和为S n ，则满足S n >10的n 的最小值为( ) A ．60 B ．61 C ．121 D ．122 答案 B解析 由a 41－8a 21＋4＝0，得a 21＋4a 21＝8，所以a 2n ＋4a 2n＝8＋8(n －1)＝8n ，所以⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋2an2＝a 2n ＋4a 2n＋4＝8n ＋4， 所以a n ＋2a n＝22n ＋1，即a 2n －22n ＋1a n ＋2＝0，所以a n ＝22n ＋1±22n －12＝2n ＋1±2n －1，因为0<a n <1，所以a n ＝2n ＋1－2n －1，S n ＝2n ＋1－1， 由S n >10得2n ＋1>11， 所以n >60.∴a n ＝2n 2＋3n ，由题意可知，∴每10项中有4项能被5整除，∴数列{a n }的前100项中，能被5整除的项数为40.7．设x ＝1是函数f (x )＝a n ＋1x 3－a n x 2－a n ＋2x ＋1(n ∈N *)的极值点，数列{a n }满足 a 1＝1，a 2＝2，b n ＝log 2a n ＋1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019等于( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020 答案 A解析 由题意可得f ′(x )＝3a n ＋1x 2－2a n x －a n ＋2， ∵x ＝1是函数f (x )的极值点， ∴f ′(1)＝3a n ＋1－2a n －a n ＋2＝0， 即a n ＋2－3a n ＋1＋2a n ＝0. ∴a n ＋2－a n ＋1＝2()a n ＋1－a n ，∵a 2－a 1＝1，∴a 3－a 2＝2×1＝2，a 4－a 3＝2×2＝22，…，a n －a n －1＝2n －2，以上各式累加可得a n ＝2n －1.∴b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n＝n . ∴2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019＝2 018⎝⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＋…＋12 018×2 019＝2 018⎝⎛⎭⎪⎫1－12 019＝2 018－2 0182 019＝2 017＋12 019. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019＝2 017. 8．对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n 恒成立，则实数k 的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125 解析 由题意可知a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n ＋1，∴a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1，①a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)·2n ，②由①－②，得2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝2n ＋2(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝4，符合上式，∴a n ＝2n ＋2(n ∈N *)，∴a n －kn ＝(2－k )·n ＋2， 令b n ＝(2－k )·n ＋2，∵S n ≤S 5，∴b 5≥0，b 6≤0，解得73≤k ≤125，∴k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝43(a n －1)，则(4n －2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫16a n ＋1的最小值为__________．答案 4解析 ∵S n ＝43(a n －1)，∴S n －1＝43(a n －1－1)(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝43(a n －a n －1)，∴a n ＝4a n －1，又a 1＝S 1＝43(a 1－1)，∴a 1＝4，∴{a n }是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n，∴(4n －2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫16a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4n16＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫164n ＋1 ＝2＋4n16＋164n ≥2＋2＝4，当且仅当n ＝2时取“＝”．10．已知数列{a n }的首项a 1＝a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *，a n <a n＋1恒成立，则a 的取值范围是______________．答案 (3,5)解析 由条件S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)， 得S n ＋1＋S n ＝4(n ＋1)2， 两式相减，得a n ＋1＋a n ＝8n ＋4， 故a n ＋2＋a n ＋1＝8n ＋12， 两式再相减，得a n ＋2－a n ＝8，由n ＝2，得a 1＋a 2＋a 1＝16⇒a 2＝16－2a ， 从而a 2n ＝16－2a ＋8(n －1)＝8n ＋8－2a ； 由n ＝3，得a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＝36⇒a 3＝4＋2a ， 从而a 2n ＋1＝4＋2a ＋8(n －1)＝8n －4＋2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a <16－2a ，8n ＋8－2a <8n －4＋2a ，8n －4＋2an ＋＋8－2a ，解得3<a <5.11．已知数列{a n }中，a 1＝1，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若函数f (n )＝1n ＋a 1＋2n ＋a 2＋3n ＋a 3＋…＋n n ＋a n(n ∈N *，且n >2)，求函数f (n )的最小值； (3)设b n ＝1a n，S n 表示数列{b n }的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式g (n )，使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出g (n )的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由．解 (1)点P (a n ，a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上， 即a n ＋1－a n ＝1，且a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n (n ∈N *)．(3)∵b n ＝1n ⇒S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，∴S n －S n －1＝1n(n ≥2)，即nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1，∴(n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1，…，2S 2－S 1＝S 1＋1， ∴nS n －S 1＝S 1＋S 2＋…＋S n －1＋n －1， ∴S 1＋S 2＋…＋S n －1＝nS n －n ＝(S n －1)·n (n ≥2)， ∴g (n )＝n .12．已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *. (1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n3n －1.(1)解 由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝qn －1.由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列， 可得2a 3＝3a 2＋2，即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q >0，故q ＝2.所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)证明 由(1)可知，a n ＝qn －1.所以双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋qn －.由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43.因为1＋q2(k －1)>q2(k －1)， 所以1＋qk －>qk －1(k ∈N *)．于是e 1＋e 2＋…＋e n >1＋q ＋…＋q n －1＝q n －1q －1.故e 1＋e 2＋…＋e n >4n－3n3n －1.13.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式S n ＝ka n ＋1，k 为不等于0的常数． (1)试判断数列{a n }是否为等比数列； (2)若a 2＝12，a 3＝1.①求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n 的表达式；②设b n ＝log 2S n ，数列{c n }满足c n ＝1b n ＋3b n ＋4＋b n ＋2·2nb ，数列{c n }的前n 项和为T n ，当n >1时，求使4n －1T n <S n＋3＋n ＋122成立的最小正整数n 的值．解 (1)若数列{a n }是等比数列，则由n ＝1得a 1＝S 1＝ka 2，从而a 2＝ka 3. 又取n ＝2，得a 1＋a 2＝S 2＝ka 3，于是a 1＝0，显然矛盾，故数列{a n }不是等比数列． (2)①由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12k ，a 1＋12＝k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，k ＝1，从而S n ＝a n ＋1.当n ≥2时，由S n －1＝a n ，得a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝2a n ，此时数列是首项为a 2＝12，公比为2的等比数列．综上所述，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，2n －3，n ≥2.从而其前n 项和S n ＝2n －2(n ∈N *)．②由①得b n ＝n －2， 从而c n ＝1n ＋n ＋＋n ·2n －2.记C 1＝12×3＋13×4＋…＋1n ＋n ＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝n n ＋，记C 2＝1·2－1＋2·20＋…＋n ·2n －2，则2C 2＝1·20＋2·21＋…＋n ·2n －1，两式相减得C 2＝(n －1)·2n －1＋12， 从而T n ＝n n ＋＋(n －1)·2n －1＋12＝n ＋1n ＋2＋(n －1)·2n －1， 则不等式4n －1T n <S n ＋3＋n ＋122可化为n ＋n －n ＋＋2n ＋1<2n ＋1＋n ＋122，即n 2＋n －90>0，因为n ∈N *且n ≠1，故n >9， 从而最小正整数n 的值是10.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n －n ＝2(a n －2)(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n －1}为等比数列；(2)若b n ＝a n ·log 2(a n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . (1)证明 ∵S n －n ＝2(a n －2)，当n ≥2时，S n －1－(n －1)＝2(a n －1－2)， 两式相减，得a n －1＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1－1，∴a n －1＝2(a n －1－1)， ∴a n －1a n －1－1＝2(n ≥2)(常数)．又当n ＝1时，a 1－1＝2(a 1－2)， 得a 1＝3，a 1－1＝2，∴数列{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)解 由(1)知，a n －1＝2×2n －1＝2n，∴a n ＝2n＋1，又b n ＝a n ·log 2(a n －1)， ∴b n ＝n (2n＋1)， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n)＋(1＋2＋3＋…＋n )， 设A n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n， 则2A n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，两式相减，得－A n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝－2n 1－2－n ×2n ＋1，∴A n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.又1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2，∴T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2＋n n ＋2(n ∈N *)．15．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2(S n ＋n ＋1)(n ∈N *)，令b n ＝a n ＋1.(1)求证：{b n }是等比数列；(2)记数列{nb n }的前n 项和为T n ，求T n ； (3)求证：12－12×3n <1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <1116. (1)证明 a 1＝2，a 2＝2(2＋2)＝8，a n ＋1＝2(S n ＋n ＋1)(n ∈N *)， a n ＝2(S n －1＋n )(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1＝3a n ＋2(n ≥2)． 经检验，当n ＝1时上式也成立， 即a n ＋1＝3a n ＋2(n ≥1)． 所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 即b n ＋1＝3b n ，且b 1＝3.故{b n }是首项为3，公比为3的等比数列． (2)解 由(1)得b n ＝3n，nb n ＝n ·3n.T n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，3T n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1，两式相减，得－2T n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝－3n 1－3－n ×3n ＋1，化简得T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －34×3n ＋34.(3)证明 由1a k ＝13k －1>13k ，得1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n >13＋13＋…＋13 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝12－12×13n .又1a k ＝13k －1＝3k ＋1－13k－k ＋1－<3k ＋13k－k ＋1－＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫13k －1－13k ＋1－1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <12＋32⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1－133－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133－1－134－1＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－13－1 ＝12＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1－13n ＋1－1 ＝12＋316－32×13n ＋1－1<1116， 故12－12×3n <1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <1116.。

2019-2020年高考数学重点难点讲解数列综合应用教案旧人教版纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.●难点磁场(★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式；(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn；(3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.●案例探究［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n －1万元，所以，n年内的总投入为an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1=4000×［1－()n］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1.=1600×［()n－1］(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.［例2］已知Sn=1++…+,(n∈N*)设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.错解分析：本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)(n ∈N*)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f(n)的最小值大于［logm(m －1)］2－［log(m －1)m ］2.解：∵Sn=1++…+.(n ∈N*)0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112>+-+++-+=+-+++=+-+++=-+++++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又∴f(n+1)＞f(n)∴f(n)是关于n 的增函数∴f(n) min=f(2)=∴要使一切大于1的自然数n ，不等式f(n)＞［logm(m －1)］2－［log(m －1)m ］2恒成立只要＞［logm(m －1)］2－［log(m －1)m ］2成立即可由得m ＞1且m ≠2此时设［logm(m －1)］2=t 则t ＞0 于是⎪⎩⎪⎨⎧>->02011209t t 解得0＜t ＜1由此得0＜［logm(m －1)］2＜1解得m ＞且m ≠2.●锦囊妙计1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.(3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则 (d1+d2+…+dn)的值是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题2.(★★★★★)在直角坐标系中，O 是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________.3.(★★★★)从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“xx年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(xx年~xx年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.三、解答题5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件：a1=1,a2=r(r＞0),且{anan+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…).(1)求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)成立的q的取值范围；(2)求bn和，其中Sn=b1+b2+…+bn；(3)设r=219.2－1，q=，求数列{}的最大项和最小项的值.6.(★★★★★)某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)；(2)证明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b，当n变化时，求Pn(b).7.(★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)xx年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至xx年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？(3)从1996年至xx年可节约多少平方公里土地？8.(★★★★★)已知点的序列An(xn，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….(1)写出xn与xn－1、xn－2之间关系式(n≥3);(2)设an=xn+1－xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明；(3)求xn.参考答案难点磁场解：(1)设f(x)=a(x－)2－，由f(1)=0得a=1.∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1.(2)将f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式对任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：且t≠0，解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n)(3)由于圆的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜=(t+1)n+1设{rn}的公比为q，则①②②÷①得q==t+1，代入①得rn= ∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n －1］歼灭难点训练一、1.解析：当a=n 时y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1由｜x1－x2｜=，得dn=，∴d1+d2+…+dn1)111(lim )(lim 1111113121211)1(132121121=+-=+++∴+-=+-++-+-=+++⋅+⋅=∞→∞→n d d d n n n n n n n n答案：A二、2.解析：由1,x1,x2,4依次成等差数列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,∴P1(2,2),P2(3,4).∴=(3,4) ∴,5||,22,14862121===+=OP OP OP 110252221sin ||||21102sin ,102722514||||cos 21212121212121=⨯⨯⨯==∴=∴=⨯=∴∆OP P OP S OP P OP OP OP P P OP 答案：13.解析：第一次容器中有纯酒精a －b 即a(1－)升，第二次有纯酒精a(1－)－，即a(1－)2升，故第n 次有纯酒精a(1－)n 升.答案：a(1－)n4.解析：从xx 年到xx 年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈1xx0(亿元).答案：1xx0三、5.解：(1)由题意得rqn －1+rqn ＞rqn+1.由题设r ＞0,q ＞0,故从上式可得：q2－q －1＜0，解得＜q ＜,因q ＞0,故0＜q ＜;(2)∵0,212212212221212121≠=++=++=∴==---+++++++q a a q a q a a a a a b b q a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n .b1=1+r ≠0，所以{bn}是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而bn=(1+r)qn-1.当q=1时，Sn=n(1+r),1)1(),2()3()1( ,0)10( ,111lim ,0)1)(1(1lim 1lim ,1)1)(1(,1;11)1)(1(1lim 1lim ,1)1)(1(,10;0)1(1lim 1lim -∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+-==-+-=--+=>+-=-+-=--+=<<=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n q r b q q r q S q r q S qq r S q rq q r q S qq r S q r n S 有由所以时当时当.2.2011log )1)(1(log log )1(log ])1[(log ])1[(log log log 2222122212-+=-+++=++=-+n q n r q n r q r q r b b n n n n,从上式可知，当n －20.2＞0，即n ≥21(n ∈N*)时，Cn 随n 的增大而减小，故1＜Cn ≤C21=1+=2.25 ①当n －20.2＜0，即n ≤20(n ∈N*)时，Cn 也随n 的增大而减小，故1＞Cn ≥C20=1+=－4 ②综合①②两式知，对任意的自然数n 有C20≤Cn ≤C21,故{Cn}的最大项C21=2.25，最小项C20=－4.6.解：(1)第1位职工的奖金a1=，第2位职工的奖金a2=(1－)b ，第3位职工的奖金a3=(1－)2b ，…，第k 位职工的奖金ak= (1－)k －1b;(2)ak －ak+1=(1－)k －1b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3)设fk(b)表示奖金发给第k 位职工后所剩余数，则f1(b)=(1－)b,f2(b)=(1－)2b,…,fk(b)=(1－)kb.得Pn(b)=fn(b)=(1－)nb,故.7.解：设an 表示第n 年的废旧物资回收量，Sn 表示前n 年废旧物资回收总量，则数列{an}是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.(1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨) (2)S6=2.016.1101%)201(]1%)201[(1066-⨯=-+-+=99.2992≈99.3(万吨) ∴从1996年到xx 年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)(3）由于从1996年到xx 年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)，∴从1996年到xx 年共节约：≈3 平方公里.8.解：(1)当n ≥3时，xn=;a a x x x x x x x a a x x x x x x x a a x x a 41)21(21)(212,21)(212,)2(2332334212212232121=--=--=-+=-=-=--=-+=-==-=由此推测an=(－)n-1a(n ∈N)证法一：因为a1=a ＞0,且1111121)(2122----+-=-=-=-+=-=n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x a (n ≥2)所以an=(－)n-1a.证法二：用数学归纳法证明：(ⅰ)当n=1时，a1=x2－x1=a=(－)0a,公式成立；(ⅱ)假设当n=k 时，公式成立，即ak=(－)k －1a 成立.那么当n=k+1时，ak+1=xk+2－xk+1=k k k k k k a x x x x x 21)(212111-=--=-++++ .)21()21(21111公式仍成立a a )(k k -+--=--=据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n ∈N ，公式an=(－)n-1a 成立.(3)当n ≥3时，有xn=(xn －xn －1)+(xn －1－xn －2)+…+(x2－x1)+x1=an －1+an －2+…+a1,由(2)知{an}是公比为－的等比数列，所以a.2019-2020年高考数学重点难点讲解 直线方程及其应用教案 旧人教版 直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容.应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的. ●难点磁场(★★★★★)已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求证：abc+2＞a+b+c.●案例探究［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？命题意图：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值.错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB 的最大值.如果坐标系选择不当，或选择求sinACB 的最大值.都将使问题变得复杂起来.技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值.解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C(x,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值.由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(acos α,asin α)、(bcos α,bsin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为： kAC=tanxCA=,.cos sin tan x b b xCB k BC -==αα于是tanACB=ααααcos )(sin )(cos )(sin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x x ab b a x x b a ab x b a由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则tanACB ≤,当且仅当=x ，即x=时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C(,0),因此，学生距离镜框下缘 cm 处时，视角最大，即看画效果最佳. ［例2］预算用xx 元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解，属★★★★★级题目.知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解.错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设.技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解.解：设桌椅分别买x,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得 ∴A 点的坐标为(，) 由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得 ∴B 点的坐标为(25，)所以满足约束条件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知，目标函数z=x+y 在可行域内的最优解为(25，)，但注意到x ∈N,y ∈N*,故取y=37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.［例3］抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p ＞0).一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，折射后又射向抛物线上的点Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l ：2x －4y －17=0上的点N ，再折射后又射回点M(如下图所示)(1)设P 、Q 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明：y1·y2=－p2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M 关于PN 所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用.本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力，属★★★★★★级题目. 知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程.错解分析：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ 的斜率不存在时.技巧与方法：点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键.(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F(，0)，设直线PQ 的方程为y=k(x －) ①由①式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px 中，整理，得y2－y －p2=0,由韦达定理，y1y2=－p2.当直线PQ 的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y1·y2= －p2.(2)解：因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，所以直线MN 与直线QN 关于直线l 对称，设点M(，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+'⨯-+'⨯-=⨯-'-'017244244121214414y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-='='1451y x直线QN 的方程为y=－1,Q 点的纵坐标y2=－1，由题设P 点的纵坐标y1=4，且由(1)知：y1·y2=－p2,则4·(－1)=－p2,得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x.(3)解：将y=4代入y2=4x,得x=4，故P 点坐标为(4，4)将y=－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x=,故N 点坐标为(，－1)由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x+y －12=0,设M 点关于直线NP 的对称点M1(x1,y1)⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+++⨯-=-⨯--14101224244121)2(4414111111y x y x x y 解得则又M1(,－1)的坐标是抛物线方程y2=4x 的解，故抛物线上存在一点(，－1)与点M 关于直线PN 对称.●锦囊妙计1.对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等.2.对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称.中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具.3.线性规划是直线方程的又一应用.线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域.求线性目标函数z=ax+by 的最大值或最小值时，设t=ax+by,则此直线往右(或左)平移时，t 值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解.4.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)设M=，则M 与N 的大小关系为( )A.M ＞NB.M=NC.M ＜ND.无法判断2.(★★★★★)三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( )A.15B.30C.36D.以上都不对二、填空题3.(★★★★)直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是_________.4.(★★★★)自点A(－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2－4x －4y+7=0相切，则光线l 所在直线方程为_________.5.(★★★★)函数f(θ)=的最大值为_________，最小值为_________.6.(★★★★★)设不等式2x －1＞m(x2－1)对一切满足|m|≤2的值均成立，则x 的范围为_________.三、解答题7.(★★★★★)已知过原点O 的一条直线与函数y=log8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y=log2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上.(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.8.(★★★★★)设数列{an}的前n 项和Sn=na+n(n －1)b ，(n=1,2,…),a 、b 是常数且b ≠0.(1)证明：{an}是等差数列.(2)证明：以(an,－1)为坐标的点Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.(3)设a=1,b=,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C 外时，r 的取值范围.参考答案难点磁场证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc －1)x+2－b －c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1＜b ＜1. ∵f(－1)=1－bc+2－b －c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0f(1)=bc －1+2－b －c=(1－b)(1－c)＞0∴线段y=(bc －1)x+2－b －c(－1＜x ＜1)在x 轴上方，这就是说，当|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1时，恒有abc+2＞a+b+c.歼灭难点训练一、1.解析：将问题转化为比较A(－1，－1）与B(10xx ，10xx ）及C(10xx ，10xx ）连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y=x ，点A 在直线的下方，∴kAB ＞kAC,即M ＞N. 答案：A2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<≤<11110110y x y x点(x,y ）应在如右图所示区域内当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11;当x=5时，y=7,8,9,10,11.以上共有15个，x,y 对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个.答案：C二、3.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点.答案：P(5，6）4.解析：光线l 所在的直线与圆x2+y2－4x －4y+7=0关于x 轴对称的圆相切.答案：3x+4y －3=0或4x+3y+3=05.解析：f(θ)=表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率.答案： 06.解析：原不等式变为(x2－1)m+(1－2x)＜0,构造线段f(m)=(x2－1)m+1－2x,－2≤m ≤2,则f(－2)＜0,且f(2)＜0.答案：三、7.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x1、x2，由题设知x1＞1,x2＞1,点A(x1,log8x1),B(x2,log8x2).因为A 、B 在过点O 的直线上，所以,又点C 、D 的坐标分别为(x1,log2x1）、(x2,log2x2). 由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====由此得kOC=kOD,即O 、C 、D 在同一直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴，有log2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1∴x2=x13将其代入,得x13log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1知log8x1≠0,故x13=3x1x2=,于是A(，log8).9.(1)证明：由条件，得a1=S1=a,当n ≥2时，有an=Sn －Sn －1=［na+n(n －1)b ］－［(n －1)a+(n －1)(n －2)b ］=a+2(n －1)b.因此，当n ≥2时，有an －an －1=［a+2(n －1)b ］－［a+2(n －2)b ］=2b.所以{an}是以a 为首项，2b 为公差的等差数列.(2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a a a b n n na a a S n S n n ∴所有的点Pn(an,－1)(n=1,2,…)都落在通过P1(a,a －1)且以为斜率的直线上.此直线方程为y －(a －1)= (x －a),即x －2y+a －2=0.(3)解：当a=1,b=时，Pn 的坐标为(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆C 外的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+->-010*******)1(222r r r r r 即由不等式①,得r ≠1由不等式②，得r ＜－或r ＞+由不等式③，得r ＜4－或r ＞4+再注意到r ＞0,1＜－＜4－=+＜4+故使P1、P2、P3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞) ① ② ③。

2019-2020年高三数学数列综合问题教案同步教案新人教A版一、教学进度高考总复习之八------数列综合问题数列的求和问题，数列的综合问题。

二、学习指导无论是给了递推公式，还是给了前n项的和与通项之间的关系式。

都不能直接知晓它与我们所熟悉的等差数列或等比数列的哪一种有关，以及是怎样一种关系。

这就需要我们仔细观察题设条件及结论的特点，适当进行变化，间接地与等差，等比数列挂上钩，这之中不乏探索的过程，也就是说，这种变化并无明确的法则，只能是依据经验和题目特点进行尝试，这也就是难点之所在。

三、典型例题讲评例1．已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且满足对一切正整数n，有S n=(a n－1)，在数列｛b n｝中，b n= 4n+3。

（1）求数列｛a n｝的通项公式（2）把两个数列的公共项按它们的原先的顺序排成新数列｛C n｝，求它的通项公式。

用S n－S n—1即可求出a n，但此式成立的前提是n≥2，在此外得到a n=3a n—1后不能立即得出｛a n｝成等比的结论，一定要先验证a1≠0，切记！在第（2）小题中，如何求出“公共项”是关键，首先应注意，“公共项”是指在｛a n｝和｛b n｝中都出现了的项，但相应项数未必一样，不能出现“令a n=b n”这样的式子，而只能令a n=b m，得出n与m间关系，在本题中，我们不难求出a n=3n，令3n=4m+3，n与m的关系怎样求？如写为n=log3(4m+3)或m=，前者来的必是整数，后者亦来必是整娄，只有当n为奇数（记n=2k －1）时才是整数，（可用二项式定理说明）了即便这样因b1=7，故｛a2｝中奇数项并不能从1开始，而只能从3开始，这都是解题时必须加以注意的。

例2．已知在△ABC中，三边长的平方a2、b2、c2成等差数列。

（1）求证：cotA、cotB、cotC成等差数列；（2）求证：、、成等差数列。

在第（1）小题中，cotA、cotB、cotC成等差如何用a2、b2、c2成等差挂上钩？极易盲目转换，误入歧途，已知为边际关系，欲证为角际关系，应往边上靠，但余切公式甚少，化为弦：要证cotA、cotB、cotC成等差，即证、、成等差，由正、余弦定理知，即证、、成等差，由已知立得。

一、自我诊断 知己知彼1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n【答案】A【解析】该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(12＋122＋…＋12n )＝n 2＋1－12n .2．已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝)()1(1n f n f ++，n ∈N *.记数列{a n }的前n项和为S n ，则S 2 018＝( )A. 2 017－1B. 2 018－1C. 2 019－1D. 2 019＋1 【答案】 C【解析】由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝21x∴a n ＝)()1(1n f n f ++＝1n ＋1＋n ＝n ＋1－n ，S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 018－2 017)＋( 2 019－ 2 018)＝ 2 019－1.3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 【答案】(1)a n ＝2n －1. (2)3n －12.【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 1＝1，b 2b 4＝a 5，所以b 1q ·b 1q 3＝9. 解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.4.已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，首项a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】(1)a n ＝n .(2)T n ＝()21+n n ＋2n ＋1－2 【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得，a 22＝a 1a 4，即(1＋d )2＝1＋3d ，解得d ＝0或d ＝1. 又d ≠0，∴d ＝1，可得a n ＝n . (2)由(1)得b n ＝n ＋2n ，∴T n ＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝()21+n n ＋2n ＋1－2. 5.在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21n S .(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .【答案】(1)S n ＝12n －1. (2)T n ＝n2n ＋1.【解析】 (1)∵S 2n ＝a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21n S ，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-21n S ，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0， ①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列． ∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--121121n n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211n ＝n2n ＋1. 6．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】(1)a n ＝2n＋1.(2)T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.【解析】 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2， a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2，∴a n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋1.(2)b n ＝na n ＝n ·2n ＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )． 令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1.两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2n 1－2－n ·2n ＋1，∴T ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.∵1＋2＋3＋…＋n ＝nn ＋2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.二、温故知新 夯实基础1.数列通项公式的求法（1）⎩⎨⎧≥-==-21,11n s s n s a n n n ， 型常规方法是将n s 递推成1-n s ,然后令1--=n n n s s a 消去递推公式中的n s 项（n ≥2）.但是在一些特殊情况下，将n a 改写成1--n n s s 后可消去n a 项，先求n s ，再求n a 。