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习题6
6-1．设固有长度m 50.20=l 的汽车，以m/s 0.30=v 的速度沿直线行驶，问站在路旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多少
解：l l =
2
112
x =-
+L
22112u c ≈-，214
002
1 1.25102u l l l l m c
-∆=-=⨯=⨯。
6-2．在参考系S 中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了
m 105.18⨯=x 处，经历时间为s 00.1=t ∆，试计算该过程对应的固有时。 解：以粒子为S '系，c t x u 5.0/=∆∆=
利用t '∆=∆
0.866t s '∆==。
6-3．从加速器中以速度c v 8.0=飞出的离子在它的运动方向上又发射出光子。求这光子相对于加速器的速度。
解：设加速器为S 系，离子为S '系，利用：21x x x
v u v uv c
'+=
'+， 则：220.80.811x x x v u c c v c uv c c c c
'++=
=='⨯+
+ 。
6-4 1000m 的高空大气层中产生了一个π介子，以速度0.8v c =飞向地球,假定该π介子在其自身的静止参照系中的寿命等于其平均寿命6
2.410s -×，试分别从下面两个角度，即地面上观测者相对π介子静止系中的观测者来判断该π介子能否到达地球表面。 解：（1）地面上的观察者认为时间膨胀：
有t ∆=
，∴66410t sa -∆=
=⨯
由8
6
0.8310410
9601000l v t m m -=∆=⋅⨯⋅⨯=<，∴到达不了地球；
（2）π介子静止系中的观测者认为长度收缩：
有l l =
600l m == 而6
8
2.4100.8310576600s v t m m -=∆=⨯⋅⋅⨯=<，∴到达不了地球。
6-5 长度01m l =的米尺静止于'S 系中，与x ′轴的夹角'θ=30°，'S 系相对
S 系沿x 轴运动，在S 系中观测者测得米尺与x 轴夹角为=θ45°。试求：
（1）'S 系和S 系的相对运动速度。（2）S 系中测得的米尺长度。
解：（1）米尺相对S '静止，它在,x y ''轴上的投影分别为：
0cos 0.866m x L L θ''==，0sin 0.5m y L L θ''==。
米尺相对S 沿x 方向运动，设速度为v ，对S 系中的观察者测得米尺在x 方
向收缩，而y
方向的长度不变，即：x L L =，y y L L '=
故
：tan y y x
x
L L L L L θ''=
=
=
把ο
45θ=及,y
L L ''
0.5
0.866
=，故 ：0.816v c = (2)在S 系中测得米尺长度为0.707m sin 45y L L ==︒
。
6-6 一门宽为a ，今有一固有长度0l (0l ＞a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u 至少为多少
解：门外观测者测得杆长为运动长度，l l =，当
a l ≤时，可
认为能被拉进门，则：a l ≤
解得杆的运动速率至少为：u =
6-7 两个惯性系中的观察者O 和O '以（c 表示真空中光速）的相对速度相互接近，如果O 测得两者的初始距离是20m ，则O '测得两者经过多少时间相遇
解： O 测得相遇时间为t ∆：020
0.6L t v c
∆=
=
O ' 测得的是固有时t '∆：∴
t
t γ∆'∆=
=88.8910s -=⨯，
或者，O '测得长度收缩：0208.01L L L =-=β
808
0.80.820
8.8910s 0.60.6310
L t c -⨯'∆=
==⨯⨯⨯
6-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路
程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少 解： 由长度缩短公式得：5
31122
0=
-⇒-='ββ
l l ，c v 54=
6-9．两个宇宙飞船相对于恒星参考系以0.8c 的速度沿相反方向飞行，求两飞船的相对速度。
解：设宇宙船A 为S 系，测得恒星的速度为0.8x v c =，宇宙船B 为S '系，
测得恒星的速度为'
0.8x
v c =-，两个飞船的相对速度为u ， 根据洛伦兹速度变换公式：'
'
2
1x x x v u
v uv c
+=+，有： 2
0.80.80.81c u
c cu c -+=-+
得：0.976u c = 。
6-10．从S 系观察到有一粒子在01=t 时由m 1001=x 处以速度c
v 98.0=
沿x 方向运动，s 10后到达2x 点，
如在S '系(相对S 系以速度c u 96.0=沿x 方向运动)观察，粒子出发和到达的时空坐标2211
,,,x t x t ''''各为多少(0='=t t 时，S '与S 的原点重合)，并算出粒子相对S '系的速度。
解：利用洛仑兹变换：2u
t x t -
'=
，x '=，
0.28==，有：
1122610.960100 1.14710u c
t x t s --
-⨯'===-⨯；
222220.96109.8 2.11u c t x c
t s --⨯'===； m c c c c
u ut x x 14.357)96.0(1096.0100)(12
22111=-⨯-=--='；
m c c c c c
u ut x x 8222
2221014.2)96.0(11096.08.9)(1⨯=-⨯-=--='；
'
8220.980.96 1.014100.96110.98x x x v u c c v u c
v c c c
--===⨯--⨯m/s 。
6-11．一飞船静长0l ，以速度u 相对于恒星系作匀速直线飞行，飞船内一小球从尾部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为v ，试算出恒星系观察者测得小球的运动时间。
解：设恒星系为S 系，飞船为S '系，由题意：v
l t 0
=
'∆， ∴)
(1)1()(1)1()(122
2
0222222c
u v v c u
l c u t x c u t c u x c u t t -+=-'∆'∆+'∆=-'∆+
'∆=∆。
6-12．一个静止的0
K 介子能衰变成一个+π介子和一个-π介子，这两个π介子的速率均为c 85.0．现有一个以速率c 90.0相对于实验室运动的0
K 介子
