2011年高考文科数学上海市卷(word版含答案)

2011年上海市高考数学试卷(文科)2011年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1、（2011•上海）若全集U=R，集合A={x|x≥1}，则C U A={x|x＜1}．考点：补集及其运算。

专题：计算题。

分析：由补集的含义即可写出答案．解答：解：∵全集U=R，集合A={x|x≥1}，∴C U A={x|x＜1}．故答案为：{x|x＜1}．点评：本题考查补集的含义．2、（2011•上海）计算=﹣2．考点：极限及其运算。

专题：计算题。

分析：根据题意，对于，变形可得，分析可得，当n→∞时，有的极限为3；进而可得答案．解答：解：对于，变形可得，当n→∞时，有→3；则原式=﹣2；故答案为：﹣2．点评：本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．3、（2011•上海）若函数f（x）=2x+1 的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（﹣2）=．考点：反函数。

专题：计算题。

分析：问题可转化为已知f（x0）=﹣2，求x0的值，解方程即可解答：解：设f（x0）=﹣2，即2x0+1=﹣2，解得故答案为点评：本题考查反函数的定义，利用对应法则互逆可以避免求解析式，简化运算．4、（2011•上海）函数y=2sinx﹣cosx的最大值为．考点：三角函数的最值。

专题：计算题。

分析：利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．解答：解：y=2sinx﹣cosx=sin（x+φ）≤故答案为：点评：本题主要考查了三角函数的最值．要求能对辅角公式能熟练应用．5、（2011•上海）若直线l过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l的方程为x+2y﹣11=0．考点：直线的点斜式方程；向量在几何中的应用。

专题：计算题。

分析：根据直线的法向量求出方向向量，求出直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程．解答：解：直线的法向量是（1，2），直线的方向向量为：（﹣2，1），所以直线的斜率为：﹣，所以直线的方程为：y﹣4=﹣（x﹣3），所以直线方程为：x+2y﹣11=0．故答案为：x+2y﹣11=0．点评：本题是基础题，考查直线的法向量，方向向量以及直线的斜率的求法，考查计算能力．6、（2011•上海）不等式的解为{x|x＞1或x＜0}．考点：其他不等式的解法。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（III 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（集合）已知集合{}1235711=，，，，，A ，{}315|=<<B x x ，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】∵{5,7,11}=A B ，∴A ∩B 中元素的个数为3. 【答案】B2．（复数）若)(11+=-z i i ，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【解析】∵)(11+=-z i i ，∴1212--===-+i iz i i ，∴=z i . 【答案】D3．（概率统计）设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10【解析】原数据的方差20.01=s ，由方差的性质可知，新数据的方差为21001000.011=⨯=s .【答案】C4．（函数）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()1--=+t I K t e ，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95=I t K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【解析】**0.23(53)()0.951--==+t K I t K e，化简得*0.23(53)19-=te ，两边取对数得，*0.23(53)In19-=t ，解得*In1935353660.230.23=+=+≈t . 【答案】C5．（三角函数）已知πsin sin 13θθ++=（），则πsin =6θ+（） A ．12B ．33C ．23D ．22【解析】∵π13sin sin cos 322θθθ+=+（）， ∴π3331sin sin sin 3cos 1322θθθθθθ⎫++==+=+=⎪⎪⎭（）， 31πcos sin 26θθθ+=+（）， π316θ+=（），故π3sin 63θ+==（）.【答案】B6．（解析几何）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若1⋅=AC BC ，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【解析】以AB 所在直线为x 轴，中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(,0)-A a ，(,0)B a ，(,)C x y ，则(,)=+AC x a y ，(,)=-BC x a y ，2221⋅=-+=AC BC x a y ，即2221+=+x y a ，故点C 的轨迹为圆.【答案】A7．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220=>y px p 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)【解析】解法一：如图A7所示，由题意可知，(2,2)D p ，(2,2)-E p ，(2,2)=OD p ，(2,2)=-OE p ，⊥OD ⊥OE ，⊥⊥OD OE ， 即22220⨯-=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2. 解法二：4=DE p 44==+OD OE p⊥OD ⊥OE ，⊥222+=OD OE DE ，即2(44)16+=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2.图A7【答案】B8．（解析几何）点(0)1-，到直线()1=+y k x 距离的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】解法一：点(0)1-，到直线()1=+y k x 的距离211+=+k d k ，则有222222(1)122=12111+++==+≤+++k k k kd k k k ，故2≤d . 解法二：已知点()01-，A ，直线()1=+yk x 过定点()10-，B ，由几何性质可知，当直线()1=+y k x 垂直直线AB 时，点()01-，A 到直线()1=+y k x 距离最大，最大值为线段AB 的长度，即max 2=d 【答案】B9．（立体几何）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．642+B ．442+C ．623+D ．423+【解析】由三视图可知，该几何体为一个四面体，如图A8所示. 其表面积(2332226234=⨯+⨯=+S图A9【答案】C10．（函数）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】∵233332log 3=log 93==c ，33log 2log 8==a a <c .∵233552log 5log 253===c 355log 3log 27==b c <b .故a <c <b.【答案】A11．（三角函数）在ABC ∆中，2cos 3C =，4=AC ，3=BC ，则tan B = A 5B ．25C ．45D ．85【解析】解法一：由余弦定理得，2222cos 9=+-⋅⋅=AB AC BC AC BC C ，即3=AB ，∴22299161cos 22339+-+-===⋅⨯⨯AB BC AC B AB BC ， ∵(0,π)∈B ，∴245sin 1cos =-=B B ，sin tan 45cos ==BB B. 解法二：3=AB ，所以△ABC 是以B 为顶角的等腰三角形.过B 作BD ⊥AC ，易得tan 25=B 22tan2tan 451tan 2==-BB B . 【答案】C12．（三角函数）已知函数1()sin sin f x x x=+，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线π=x 对称D ．f (x )的图像关于直线π2=x 对称 【解析】A ：1sin 1(sin 0)-≤≤≠x x ，当1sin 0-≤<x ，()0<f x ，故A 错误.B ：1()sin ()sin -=--=-f x x f x x，f (x )为奇函数，故B 错误. C ：1(2π)sin ()()sin -=--=-≠f x x f x f x x，故C 错误.D ：11(π)sin(π)sin ()sin(π)sin -=-+=+=-f x x x f x x x，故D 正确.【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式4125的值为 。

2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。

3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。

（结果用数值表示）4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。

5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。

6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。

7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______ 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示） 10.设等比数列{}的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。

若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________ 11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________ 12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，的最大值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2 （B ）2此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号（C）2（D）414.已知a R∈，则“1a﹥”是“1a1﹤”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）（A）4（B）8（C）12（D）16定16.设D是含数1的有限实数集，f x（）是义在D上的函数，若f x（）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f（）的可能取值只能是（）（A（B（C（D）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a R∈，函数f x（）22?asin x cos x=+（1）若f x（）为偶函数，求a的值；（2）若4fπ〔〕1=，求方程1f x=（）ππ-［，］上的解。

小学英语语法大全一、名词复数规则1．一般情况下，直接加-s，如：book-books, bag-bags, cat-cats, bed-beds2．以s. x. sh. ch结尾，加-es，如：bus-buses, box-boxes, brush-brushes, watch -watches3．以“辅音字母y”结尾，变y为i, 再加-es，如：family-families, strawberry-strawbe rries4．以“f或fe”结尾，变f或fe为v, 再加-es，如：knife-knives 、Leaf——leaves5．不规则名词复数：man-men, woman-women, policeman-policemen, policewoman-policewomen, chil d-children、foot-feet,.tooth-teeth、fish-fish, people-people, Chinese-Chinese, Japa nese-Japanese二、一般现在时一般现在时基本用法介绍【No. 1】一般现在时的功能1.表示事物或人物的特征、状态。

如：The sky is blue.天空是蓝色的。

2.表示经常性或习惯性的动作。

如：I get up at six every day.我天天六点起床。

3.表示客观现实。

如：The earth goes around the sun.地球绕着太阳转。

一般现在时的构成1. be动词：主语be(am,is,are) 其它。

如： I am a boy.我是一个男孩。

2.行为动词：主语行为动词( 其它)。

如：We study English.我们学习英语。

当主语为第三人称单数(he, she,it)时，要在动词后加"-s"或"-es"。

如：Mary likes Chi nese.玛丽喜欢汉语。

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( ) A. y = x −2B. y = x −1C. y = x 2D.2. 若a ，b ∈R ，且ab >0.则下列不等式中，恒成立的是( ) A. a 2+ b 2>2 ab B.C.D.3. 若三角方程sin x =0与sin 2 x =0的解集分别为E ，F ，则( ) A. EFB. E FC. E = FD. E ∩ F =4. 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M 的个数为…( )A. 0B. 1C. 2D. 4第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共14小题，共56.0分）5. 若全集U =R ，集合A ={x| x ≥1}，则? U A =________．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6. 计算________．7. 若函数f(x)=2 x +1的反函数为f −1(x)，则f −1(−2)=________． 8. 函数y =2sin x −cos x 的最大值为________．9. 若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l 的方程为________． 10. 不等式的解为________．11. 若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积是________．12. 在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠ CAB =75°，∠ CBA =60°，则A 、C 两点之间的距离为______千米．13. 若变量x ，y 满足条件，则z = x + y 的最大值为________．14. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．15. 行列式 (a ，b ，c ，d ∈{−1,1,2})所有可能的值中，最大的是______．16. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB =3，BD =1，则=______．17. 随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是______(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．18. 设g(x)是定义在R 上、以1为周期的函数．若函数f(x)= x + g(x)在区间[0,1]上的值域为[−2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分。

2011年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2011•上海）若全集U=R，集合A={x|x≥1}，则∁U A={x|x＜1}．【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由补集的含义即可写出答案．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥1}，∴C U A={x|x＜1}．故答案为：{x|x＜1}．【点评】本题考查补集的含义．2．（4分）（2011•上海）计算=﹣2．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，对于，变形可得，分析可得，当n→∞时，有的极限为3；进而可得答案．【解答】解：对于，变形可得，当n→∞时，有→3；则原式=﹣2；故答案为：﹣2．【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．3．（4分）（2011•上海）若函数f（x）=2x+1的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（﹣2）=．【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】问题可转化为已知f（x0）=﹣2，求x0的值，解方程即可【解答】解：设f（x0）=﹣2，即2x0+1=﹣2，解得故答案为【点评】本题考查反函数的定义，利用对应法则互逆可以避免求解析式，简化运算．4．（4分）（2011•上海）函数y=2sinx﹣cosx的最大值为．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．【解答】解：y=2sinx﹣cosx=sin（x+φ）≤故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数的最值．要求能对辅角公式能熟练应用．5．（4分）（2011•上海）若直线l过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l的方程为x+2y﹣11=0．【考点】直线的点斜式方程；向量在几何中的应用．【专题】直线与圆．【分析】根据直线的法向量求出方向向量，求出直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程．【解答】解：直线的法向量是（1，2），直线的方向向量为：（﹣2，1），所以直线的斜率为：﹣，所以直线的方程为：y﹣4=﹣（x﹣3），所以直线方程为：x+2y﹣11=0．故答案为：x+2y﹣11=0．【点评】本题是基础题，考查直线的法向量，方向向量以及直线的斜率的求法，考查计算能力．6．（4分）（2011•上海）不等式的解为{x|x＞1或x＜0}．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】通过移项、通分；利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集．【解答】解：即即x（x﹣1）＞0解得x＞1或x＜0故答案为{x|x＞1或x＜0}【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出7．（4分）（2011•上海）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为3π．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】根据圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，得到圆锥的母线长是3，底面直径是2，代入圆锥的侧面积公式，得到结果．【解答】解：∵圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，∴圆锥的母线长是3，底面直径是2，∴圆锥的侧面积是πrl=π×1×3=3π，故答案为：3π【点评】本题考查由三视图求表面积和体积，考查圆锥的三视图，这是比较特殊的一个图形，它的主视图与侧视图相同，本题是一个基础题．8．（4分）（2011•上海）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．9．（4分）（2011•上海）若变量x，y 满足条件，则z=x+y得最大值为．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数z=x+y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图分析，当x=，y=时，z=x+y取最大值，故答案为．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．10．（4分）（2011•上海）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为2．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果．【解答】解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．本市共有城市数24，∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本∴每个个体被抽到的概率是，∵丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为×8=2，故答案为2．【点评】本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决．11．（4分）（2011•上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是6．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题．【分析】先按照行列式的运算法则，直接展开化简得ad﹣bc，再根据条件a，b，c，d∈{﹣1，1，2}进行分析计算，比较可得其最大值．【解答】解：，∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2}∴ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：﹣1×2=﹣2，∴ad﹣bc的最大值是：6．故答案为：6．【点评】本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题．12．（4分）（2011•上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．【点评】此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．13．（4分）（2011•上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为0.985（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，∴要求的事件的概率是1﹣=1﹣≈0.985，故答案为：0.985【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个易错题，注意本题的运算不要出错．14．（4分）（2011•上海）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g （x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]．【考点】函数的值域；函数的周期性．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，令x+1=t进而可求函数在[1，2]时的值域，再令x+2=t可求函数在[2，3]时的值域，最后求出它们的并集即得（x）在区间[0，3]上的值域．【解答】解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]（正好是一个周期区间长度）的值域是[﹣2，5] (1)令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (2)同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=[x+g（x）]+2所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (3)由已知条件及（1）（2）（3）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．【点评】本题主要考查了函数的值域、函数的周期性．考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）（2011•上海）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=x﹣2B．y=x﹣1C．y=x2D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】计算题．【分析】根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．【解答】解：函数y=x﹣2，既是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故A正确；函数y=x﹣1，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故B错误；函数y=x2，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，故C错误；函数，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，故D错误；故选A．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中指数部分也幂函数性质的关系是解答本题的关键．16．（5分）（2011•上海）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C．D．【考点】基本不等式．【专题】综合题．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等．17．（5分）（2011•上海）若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别为E，F，则（）A．E⊊F B．E⊋F C．E=F D．E∩F=∅【考点】正弦函数的定义域和值域；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用正弦函数的零点进行转化求解是解决本题的关键，注意整体思想的运用，结合集合的包含关系进行判断验证．【解答】解：由题意E={x|x=kπ，k∈Z}，由2x=kπ，得出x=，k∈Z．故F={x|x=，k∈Z}，∀x∈E，可以得出x∈F，反之不成立，故E是F的真子集，A符合．故选A．【点评】本题考查正弦函数零点的确定，考查集合包含关系的判定，考查学生的整体思想和转化与化归思想，考查学生的推理能力，属于三角方程的基本题型．18．（5分）（2011•上海）设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．【解答】解：根据所给的四个向量的和是一个零向量，则，即，所以．当A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点确定以后，则也是确定的，所以满足条件的M只有一个，故选B．【点评】本题考查向量的加法及其几何意义，考查向量的和的意义，本题是一个基础题，没有具体的运算，是一个概念题目．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2011•上海）已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．【解答】解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1•z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．20．（14分）（2011•上海）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求（1）异面直线BD与AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四面体AB1D1C的体积．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；分类讨论．【分析】（1）根据题意知DC1∥AB1∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1所成角，解三角形即可求得结果．（2）V A﹣B1D1C=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B1﹣ABC﹣V D1﹣ACD﹣V DA1C1D1﹣V B﹣A1B1C1，而V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B1﹣ABC﹣V D1﹣ACD﹣V DA1C1D1﹣V B﹣A1B1C1易求，即可求得四面体AB1D1C 的体积．【解答】解：（1）连接DC1，BC1，易知DC1∥AB1，∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1所成角，在△BDC1中，DC1=BC1=，BD=，∴cos∠BDC1=，∴∠BDC1=arccos．（2）V A﹣B1D1C=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣V B1﹣ABC﹣V D1﹣ACD﹣V DA1C1D1﹣V B﹣A1B1C1而V ABCD﹣A1B1C1D1=S ABCD•AA1=1×2=2，V B1﹣ABC=V D1﹣ACD=V DA1C1D1=V B﹣A1B1C1=∴V A﹣B1D1C=2﹣4×=．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角和棱锥的体积问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，和利用割补法求棱锥的体积问题，体现了数形结合和转化的思想．21．（14分）（2011•上海）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．【考点】指数函数单调性的应用；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】（1）先把a•b＞0分为a＞0，b＞0与a＜0，b＜0两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断．（2）把a•b＜0分为a＞0，b＜0与a＜0，b＞0两种情况；然后由f（x+1）＞f（x）化简得a•2x＞﹣2b•3x，再根据a的正负性得＞或＜；最后由指数函数的单调性求出x的取值范围．【解答】解：（1）①若a＞0，b＞0，则y=a•2x与y=b•3x均为增函数，所以f（x）=a•2x+b•3x 在R上为增函数；②若a＜0，b＜0，则y=a•2x与y=b•3x均为减函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R上为减函数．（2）①若a＞0，b＜0，由f（x+1）＞f（x）得a•2x+1+b•3x+1＞a•2x+b•3x，化简得a•2x＞﹣2b•3x，即＞，解得x＜；②若a＜0，b＞0，由f（x+1）＞f（x）可得＜，解得x＞．【点评】本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法．22．（16分）（2011•上海）已知椭圆C：=1 （常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标，可得参数a的值，已知b=1，进而可得答案；（2）根据题意，可得椭圆的方程，变形可得y2=1﹣；而|PA|2=（x﹣2）2+y2，将y2=1﹣代入可得，|PA|2=﹣4x+5，根据二次函数的性质，又由x的范围，分析可得，|PA|2的最大与最小值；进而可得答案；（3）设动点P（x，y），类似与（2）的方法，化简可得|PA|2=（x﹣）2++5，且﹣m≤x≤m；根据题意，|PA|的最小值为|MA|，即当x=m时，|PA|取得最小值，根据二次函数的性质，分析可得，≥m，且m＞1；解可得答案．【解答】解：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0）；则m=2；椭圆的焦点在x轴上；则c=；则椭圆焦点的坐标为（，0），（﹣，0）；（2）若m=3，则椭圆的方程为+y2=1；变形可得y2=1﹣，|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=﹣4x+5；又由﹣3≤x≤3，根据二次函数的性质，分析可得，x=﹣3时，|PA|2=﹣4x+5取得最大值，且最大值为25；x=时，|PA|2=﹣4x+5取得最小值，且最小值为；则|PA|的最大值为5，|PA|的最小值为；（3）设动点P（x，y），则|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=（x﹣）2﹣+5，且﹣m≤x≤m；当x=m时，|PA|取得最小值，且＞0，则≥m，且m＞1；解得1＜m≤1+．【点评】本题考查椭圆的基本性质，解题时要结合二次函数的性质进行分析，注意换元法的运用即可．23．（18分）（2011•上海）已知数列{a n} 和{b n} 的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…（1）求三个最小的数，使它们既是数列{a n} 中的项，又是数列{b n}中的项；（2）数列c1，c2，c3，…，c40中有多少项不是数列{b n}中的项？请说明理由；（3）求数列{c n}的前4n 项和S4n（n∈N*）．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）分别由数列{a n} 和{b n} 的通项公式分别为a n和b n列举出各项，即可找出既是数列{a n} 中的项，又是数列{b n}中的项的三个最小的数；（2）根据题意列举出数列{c n}的40项，找出不是数列{b n}中的项即可；（3）表示出数列{b n}中的第3k﹣2，3k﹣1及3k项，表示出数列{a n} 中的第2k﹣1，及2k 项，把各项按从小到大的顺序排列，即可得到数列{c n}的通项公式，并求出数列{c n}的第4k ﹣3，4k﹣2，4k﹣1及4k项的和，把数列{c n}的前4n项和每四项结合，利用等差数列的前n项和的公式即可求出数列{c n}的前4n项和S4n．【解答】解：（1）因为数列{a n} 和{b n} 的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7，所以数列{a n}的项为：9，12，15，18，21，24，…；数列{b n} 的项为：9，11，13，15，17，19，21，23，…，则既是数列{a n} 中的项，又是数列{b n}中的项的三个最小的数为：9，15，21；（2）数列c1，c2，c3，…，c40的项分别为：9，11，12，13，15，17，18，19，21，23，24，25，27，29，30，31，33，35，36，37，39，41，42，43，45，47，48，49，51，53，54，55，57，59，60，61，63，65，66，67，则不是数列{b n}中的项有12，18，24，30，36，42，48，54，60，66共10项；（3）b3k﹣2=2（3k﹣2）+7=6k+3=a2k﹣1，b3k﹣1=6k+5，a2k=6k+6，b3k=6k+7，∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7，∴c n=，k∈N+，c4k﹣3+c4k﹣2+c4k﹣1+c k=24k+21，则S4n=（c1+c2+c3+c4）+…+（c4n﹣3+c4n﹣2+c4n﹣1+c4n）=24×+21n=12n2+33n．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1．设集合U= U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=⋂（M N ）ð , 则A ．{}12，B ．{}23，C ．{}2，4D ．{}1，42．函数0)y x =≥的反函数为的反函数为A ．2()4x y x R =∈B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥3．权向量a,b 满足 ,则1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=ABCD4．若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y -+的最小值为A ．17B ．14C ．5D ．3 5．下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=A ．8B ．7C ．6D ．57．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．98．已知二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=A ．2 BCD ．19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A ．12种 B ．24种C ．30种D ．36种 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．14-C ．14D ．1211．11．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =A ．4 B．C ．8D．12．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作答无效）13．（10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．14．已知a ∈（3,2ππ），t a n 2,c o s αα=则=15．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE与BC 所成角的余弦值为 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学【选择题】【1】．设集合{|(3)(2)0},{|1M x x x N x =+-<=≤x ≤3}，则M N ⋂=( ).（A ） [1,2)（B ）[1,2]（C ）(2,3]（D ）[2,3]【2】．复数2i2iz -=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为( ).（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【3】．若点(,9)a 在函数3x y =的图像上，则πtan6a 的值为( ). （A ）0（B）（C ）1（D【4】．曲线311y x =+在点(1,12)P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ).（A ）9- （B ）3-（C ）9（D ）15【5】．已知,,a b c ∈R ，命题“若2223a b c ++=，则222a b c ++3≥”的否命题是( ). （A ）若3a b c ++≠，则2223a b c ++< （B ）若3a b c ++=，则2223a b c ++< （C ）若3a b c ++≠，则222a b c ++3≥（D ）若222a b c ++3≥，则3a b c ++=【6】．若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= ( ).（A ）23（B ）32（C ）2 （D ）3【7】．设变量,x y 满足约束条件250,20,0,x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则目标函数231z x y =++的最大值为( ).（A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）8.5 【8】．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ).（A ）63.6万元（B ）65.5万元（C ）67.7万元（D ）72.0万元【9】．设00(,)M x y 为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是( ).（A ）(0,2)（B ）[0,2]（C ）(2,)+∞（D ）[2,)+∞【10】．函数2sin 2xy x =-的图像大致是( ).（A ） （B ） （C ） （D ）【11】．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是( ).（A ）3（B ）2 （C ）1 （D ）0【12】．设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()A A A A λλ=∈R ，1412()A A A A μμ=∈R ，且112λμ+=，则称34,A A 调和分割12,A A .已知点(,0),(,0)(,)C c D d c d ∈R 调和分割点(0,0),(1,0)A B ，则下面说法正确的是( ).（A ）C 可能是线段AB 的中点 （B ）D 可能是线段AB 的中点 （C ）,C D 可能同时在线段AB 上（D ）,C D 不可能同时在线段AB 的延长线上【填空题】【13】．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 ．【14】．执行下图所示的程序框图，输入2,3,5l m n ===，则输出的y 的值是 ．【15】．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ． 【16】．已知函数()log (0,1)a f x x xb a a =+->≠且．当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),x n n n ∈+∈N ，则n = ．【解答题】【17】．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=．（1）求sin sin CA的值； （2）若1cos 4B =，△ABC 的周长为5，求b 的长．【18】．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率． 【19】．如下图，在四棱台1111ABCD A BC D -中，1D D ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是平行四边形，11=2,,60AB AD AD A B BAD =∠=︒．（1）证明：1AA BD ⊥；（2）证明：11//CC A BD 平面．【20】．等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【21】．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c >千元．设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ．【22】．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -．（1）求22m k +的最小值； （2）若2OGOD =∙OE ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时△ABG 的外接圆方程；若不能， 请说明理由．【参考答案】 【1】．A 提示：因为{}|32M x x =-<<，所以M N ⋂={|1x ≤2}x <．【2】．D提示：因为22i (2i)34i2i 55z ---===+,故复数z 对应的点在第四象限． 【3】．D提示：由题意知9=3a,解得2a =,所以π2ππtan tan tan 663a === 【4】．C 提示：因为23y x '=，所以曲线在点(1,12)P 处的切线为39y x =+，当0x =时，9y =.【5】．A提示：命题“若p ,则q ”的否命题是“若p ⌝,则q ⌝”,所以原命题的否命题为“若3a b c ++≠，则2223a b c ++<”.【6】．B提示：由题意知,函数在π3x =处取得最大值1，所以1=sin π3ω,即ππ2π32k ω=+，解得36,2k k ω=+∈Z ．当0k =时，32ω=．【7】．B提示：画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线231z x y =++平移至点(3,1)A 时, 目标函数231z x y =++取得最大值为10．【8】．B提示：由表可计算4235742x +++==,49263954424y +++==．因为点7(,42)2在回归直线ˆˆˆybx a =+上，且ˆb 为9.4，所以7ˆ429.42a =⨯+, 解得9.1a =．故回归方程为ˆ9.49.1y x =+． 令6x =得ˆy=65.5． 【9】．C提示：设圆的半径为r ,因为(0,2)F 是圆心, 抛物线C 的准线方程为2y =-,由圆与准线相切知4r <．因为点00(,)M x y 为抛物线C ：28x y =上一点，所以有2008x y =．又点00(,)M x y 在圆222(2)x y r +-=上,所以22200(2)16x y r +-=>．所以2008(2)16y y +->,即有2004120y y +->,解得02y >或06y <-．又因为00y ≥, 所以02y >.【10】．C 提示：因为12cos 2y x '=-,所以令12cos 02y x '=->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数；令12cos 02y x '=-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数．结合余弦函数的图像可知函数2s i n 2xy x =-在0x =及2πx =附近为减函数．又原函数的图像过原点，所以选（C ）．【11】．A提示：对于①,可以是有两个侧面互相垂直的三棱柱放倒,让互相垂直的两个侧面中有一个垂直于地面时的情形；比较容易判断②③是可以的． 【12】．D 提示：因为1312()A A A A λλ=∈R ，1412()A A A A μμ=∈R ，所以四点1234,,,A A A A 共线．因为,C D调和分割点,A B ，所以,,,A B C D 四点在同一直线上,且112c d+=, 故选（D ）． 【13】．16提示：由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为40820⨯=16． 【14】．68提示：由输入2,3,5l m n ===，计算得出278105y =>，执行105y y =-，得到新173105y =>，再执行105y y =-，又得新68105y =<,输出68y =．【15】．22=143x y -提示：因为椭圆的焦距为227a b +=．因为椭圆的的离心率为圆离心率的两倍，所以22274a b a +=．解得224,3a b ==． 【16】．2提示：由题意，知方程log 0(01)ax x b a a +-=>≠，且的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图像与直线(34)y x b b =-+<<的交点的横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n ∈+∈N ．结合图像,因为当(23)x a a =<<时,log 1a y a ==,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(2,3)x b =-∈；当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图像上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-+<<的图像上点的横坐标(1,2)x ∈,故所求的2n =．【17】．解：（1）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C=== 则22sin sin 2sin sin sin sin c a k C k A C Ab k B B ---==． 所以cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=，即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，化简可得sin()2sin()A B B C +=+． 又πA B C ++=， 所以sin 2sin C A =．因此sin 2.sin CA = （2）由sin 2sin CA=，得2c a =． 由余弦定理及1cos 4B =，得22222222cos 14444.b ac ac Ba a a a =+-=+-⨯= 所以2.b a = 又5,a bc ++= 所以1a =．因此2b =． 【18】．解：（1）甲校两男教师分别用,A B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用,E F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A D A E A F B D B E B F C D C E C F ，共9种． 从中选出两名教师性别相同的结果有(,),(,),(,),(,)A D B D C E C F ，共4种．选出的两名教师性别相同的概率为49P =． （2）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E(,),(,)D F E F ，共15种．从中选出两名教师来自同一学校的结果有(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A C B C D E D F E F ，共6种．选出的两名教师来自同一学校的概率为62155P ==． 【19】．（I ）证法一：如图1，因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以1D D BD ⊥．因为2AB AD =，60BAD ∠=︒， 又在△ABD 中，由余弦定理得22222cos603BD AD AB AD AB AD =+-⋅︒=，所以222AD BD AB +=．因此AD BD ⊥． 图1 又1,ADD D D =所以11.BD ADD A ⊥平面 又1AA ⊂平面11ADD A ， 故1AA BD ⊥．证法二：因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以1BD D D ⊥．取AB 的中点G ，连结DG ，如图2．在△ABD 中，由2AB AD =，得AG AD =． 又60BAD ∠=︒，所以△ADG 为等边三角形． 因此GD GB =． 故DBG GDB ∠=∠， 又60AGD ∠=︒，图21,GDB ADB ADG GDB BD AD AD D D D ∠︒∠∠∠︒︒︒⊥=所以=30.故=+=60+30=90,所以.又所以BD ⊥平面11.ADD A 又1AA ⊂平面11ADD A ， 所以1AA BD ⊥．（2）证明：连结11,AC AC ，如图3． 设ACBD E =，连结1EA ．因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以1.2EC AC =由棱台定义及1122AB AD A B ==，知1111//=AC EC AC EC 且． 图3 所以四边形11A ECC 为平行四边形． 因此11//CC EA ． 又因为1EA ⊂平面1A BD ，1CC ⊄平面1A BD ，所以1//CC 平面1A BD ． 【20】．解：（1）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意； 当110a =时，不合题意． 因此1232,6,18a a a ===．所以公比3q =． 故123n na -=⋅．（2）因为(1)ln n nn n b a a =+-111123(1)ln(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]23(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,n n n n n n n n n n ----=⋅+-⋅=⋅+-+-=⋅+--+-所以212221222(133)[111(1)](ln 2ln3)[123(1)2]ln3n nn nnS b b b n -=+++=++++-+-++--+-+-++-22132ln 3133ln 3 1.nn n n -=⨯+-=+- 【21】．解：（1）设容器的容积为V ， 由题意知234ππ3V r l r =+，又80π,3V = 故32224π8044203π333V r l r r r r r -⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭．由于l ≥2r ， 因此0r <≤2． 所以建造费用2224202π34π2π34π3y rl r c r r r c r ⎛⎫=⨯+=⨯-⨯+ ⎪⎝⎭．因此2160π4π(2)y c r r=-+，0r <≤2． （2）由（1）得322160π8π(2)208π(2),022c y c r r r r r c -⎛⎫'=--=-<< ⎪-⎝⎭． 由于3c >，所以20c ->． 当32002r c -=-时，r =m =，则0m >． 所以2228π(2)()()c y r m r rm m r-'=-++． ①当02m <<，即92c >时，当r m =时，y '=0； 当r m ∈(0,)时，y '<0； 当r m ∈(,2)时，y '>0．所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②当2m ≥，即3c <≤92时， 当(0,2),0,r y '∈<时函数单调递减．所以2r =是函数y 的最小值点． 综上所述，当932c <≤时，建造费用最小时2r =； 当92c >时，建造费用最小时r = 【22】．（1）解：设直线l 的方程为(0)y kx t k =+>，由题意，0t >． 由方程组22,1,3y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(31)6330k x ktx t +++-=． 由题意0∆>，所以2231.k t +>设1122(,),(,)A x y B x y ， 由根与系数的关系得1226,31kt x x k +=-+ 所以122231t y y k +=+． 由于E 为线段AB 的中点， 因此223,3131E E kt t x y k k =-=++． 此时13E OE E y k x k==-． 所以OE 所在直线方程为13y x k =-. 又由题设知(3,)D m -在直线OE 上，令3x =-，得1m k =，即1mk =． 所以2222,m k mk +≥=当且仅当1m k ==时取等号．此时由0∆>得02,t <<因此当102m k t ==<<且时，22m k +取最小值2．（2）（i ）证明：由（1）知OD 所在直线的方程为1,3y x k=- 将其代入椭圆C 的方程，并由0,k >解得G ⎛⎫ ⎝．又2231,,3,3131kt t E D k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 由距离公式及0t >得22222291||,31||||31k OG k OD OE k ⎛⎫⎛⎫+=+= +⎝====+由2||||||,OG OD OE t k =⋅=得．因此，直线l 的方程为(1)y k x =+．所以直线l 恒过定点(1,0)-．（ii ）解：由（i）得G ⎛⎫ ⎝． 若,B G 关于x 轴对称，则B ⎛⎫ ⎝． 代入(1)y k x =+，整理得231k-=即426710k k -+=， 解得216k =（舍去）或21k =． 所以1k =． 此时3131,,,2222B G ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于x 轴对称． 又由（1）得110,1,x y ==所以(0,1)A ．由于△ABG 的外接圆的圆心在x 轴上，可设△ABG 的外接圆的圆心为(,0)d ． 因此2231124d d ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，解得12d =-． 故△ABG的外接圆的半径为2r ==所以△ABG 的外接圆方程为221524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．【End】。

2011年上海高考数学答案（文科)一、填空题1、{|1}x x <；2、2-；3、32-；4；5、2110x y +-=；6、0x <或1x >；7、3π； 8；9、52；10、2；11、6；12、152；13、0.985；14、[2,7]-。

二、选择题15、A ；16、D ；17、A ；18、B 。

三、解答题19、解： 1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-………………（4分）设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-，………………（12分） ∵ 12z z R ∈，∴ 242z i =+ ………………（12分）20、解：⑴ 连1111,,,BD AB B D AD ，∵ 1111//,B D B D A B A D=， ∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为11AB D ∠，记11AB D θ∠=，2221111111cos 2AB B D AD AB B D θ+-==⨯ ∴ 异面直线BD 与1AB所成角为。

⑵ 连11,,AC CB CD ，则所求四面体的体积11111111242433ABCD A B C D C B C D V V V --=-⨯=-⨯=。

21、解：⑴ 当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+-∵ 121222,0(22)0xxxxa a <>⇒-<，121233,0(33)0xxxxb b <>⇒-<， ∴ 12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数。

当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数。

⑵ (1)()223xx f x f x a b +-=⋅+⋅>DBD 11B当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B = 则m = 。

2.不等式204xx ->+的解集是 。

3.行列式cossin 66sincos66ππππ的值是 。

4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= 。

5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。

若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 个个体。

6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =， 则该四棱椎的体积是 。

7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 。

8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 。

9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 。

10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）。

11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。

12.在n 行m 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(上海卷)本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数1()2f x x =-的反函数为f －1(x )＝______.2．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝______. 3．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线22=19yxm-的一个焦点，则m ＝______.4．不等式13x x+≤的解为______．5．在极坐标系中，直线ρ(2cos θ＋sin θ)＝2与直线ρcos θ＝1的夹角大小为______．(结果用反三角函数值表示)6．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为______千米．7．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为______．8．函数ππsin() cos()26y x x =+-的最大值为______．9请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝______.10．行列式a cb d(a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是______．11．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB AD ⋅＝______.12．随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是______(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．13．设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数．若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[3,4]上的值域[－2,5]，则f (x )在区间[－10,10]上的值域为______．14．已知点O (0,0)、Q 0(0,1)和点R 0(3,1)，记Q 0R 0的中点为P 1，取Q 0P 1和P 1R 0中的一条，记其端点为Q 1、R 1，使之满足(|OQ 1|－2)(|OR 1|－2)＜0，记Q 1R 1的中点为P 2，取Q 1P 2和P 2R 1中的一条，记其端点为Q 2、R 2，使之满足(|OQ 2|－2)(|OR 2|－2)＜0，依次下去，得到P 1，P 2，…，P n ，…，则0lim n n Q P →∞=______.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．15．若a ，b ∈R ，且ab ＞0.则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2abB ．a b +≥C.11a b +> D ．2b a a b +≥16．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．1ln ||y x = B ．y ＝x 3 C ．y ＝2|x |D ．y ＝cos x17．设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5是空间中给定的5个不同点，则使12345M A M A M A M A M A ++++=0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．5D ．1018．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1，2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…a 2n ，…均是等比数列，且公比相同三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．已知复数z 1满足(z 1－2)·(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.20．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时的x 的取值范围．21．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．(1)设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，二面角A －B 1D 1－A 1的大小为β.求证：tan βα；(2)若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高．22．已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n ＋6，b n ＝2n ＋7(n ∈N *)．将集合{x |x＝a n ，n ∈N *}∪{x |x ＝b n ，n ∈N *}中的元素从小到大依次排列，构成数列c 1，c 2，c 3，…c n ，….(1)写出c 1，c 2，c 3，c 4；(2)求证：在数列{c n }中，但不在数列{b n }中的项恰为a 2，a 4，…a 2n …； (3)求数列{c n }的通项公式．23．已知平面上的线段l 及点P .任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作d (P ，l )．(1)求点P (1,1)到线段l ：x －y －3＝0(3≤x ≤5)的距离d (P ，l )；(2)设l 是长为2的线段，求点的集合D ＝{P |d (P ，l )≤1}所表示的图形面积；(3)写出到两条线段l 1，l 2距离相等的点的集合Ω＝{P |d (P ，l 1)＝d (P ，l 2)}，其中l 1＝AB ，l 2＝CD ，A ，B ，C ，D 是下列三组点中的一组．对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分．①A (1,3)，B (1,0)，C (－1,3)，D (－1,0) ②A (1,3)，B (1,0)，C (－1,3)，D (－1，－2)③A (0,1)，B (0,0)，C (0,0)，D (2,0)参考答案1．答案：1+2x2．答案：{x |0＜x ＜1} 3．答案：16 4．答案：x ＜0或12x ≥5．答案：arccos 56．7．答案：38．142+9．答案：2 10．答案：6 11．答案：15212．答案：0.985 13．答案：[－15,11]14．15． D 16．A 17．B 18．D 19．解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R . z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4， ∴z 2＝4＋2i.20．解：(1)当a ＞0，b ＞0时，因为a ·2x 、b ·3x 都单调递增，所以函数f (x )单调递增； 当a ＜0，b ＜0时，因为a ·2x 、b ·3x 都单调递减，所以函数f (x )单调递减． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x ＞0. (ⅰ)当a ＜0，b ＞0时，3()22xa b>-，解得32log ()2a x b>-；(ⅱ)当a ＞0，b ＜0时，3()22xa b>-，解得32log ()2a x b<-．21．解：设正四棱柱的高为h .(1)证明：连AO 1，∵AA 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，∴∠AB 1A 1是AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角，∴∠AB 1A 1＝α.∵在等腰△AB 1D 1中，AO 1⊥B 1D 1.又A 1C 1⊥B 1D 1，∴∠AO 1A 1是二面角A －B 1D 1－A 1的一个平面角，∴∠AO 1A 1＝β.在Rt △AB 1A 1中，111tan AA h A B α==；在Rt △AO 1A 1中，111tan AA A O β==.∴tan βα=.(2)解法一：如图建立空间直角坐标系，有A (0,0，h )，B 1(1,0,0)，D 1(0,1,0)，C (1,1，h )，则1(1,0)AB h = ，－，1(1,0)AD h = ，－，(1,1,0)A C =． 设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(u ，v ，w )．∵1A B ⊥ n ，1AD ⊥n ，∴10AB ⋅= n ，10AD ⋅=n .由10()001()0u v h u v h ωω⋅+⋅+⋅-=⎧⎨⋅+⋅+⋅-=⎩，得u ＝h w ，v ＝h w ，∴n ＝(h w ，h w ，w )． 令w ＝1，得n ＝(h ，h,1)．由点C 到平面AB 1D 1的距离为43A C d ⋅===n n，解得高h ＝2.解法二：连AC ，CB 1，CD 1.一方面，111111·2S AB D AO B D ===则四面体AB 1D 1C的体积V =.另一方面，设正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，三棱锥C －B 1C 1D 1的体积为V 2，则12143V V V h =-=.据此，得13h =，解得高h ＝2.22．解：(1)它们是9,11,12,13.(2)证明：∵数列{c n }由{a n }、{b n }的项构成， ∴只需讨论数列{a n }的项是否为数列{b n }的项．∵对于任意n ∈N *，a 2n －1＝3(2n －1)＋6＝6n ＋3＝2(3n －2)＋7＝b 3n －2，∴a 2n －1是{b n }的项．下面用反证法证明：a 2n 不是{b n }的项． 假设a 2n 是数列{b n }的项，设a 2n ＝b m ，则3·2n ＋6＝2m ＋7，132m n =-，与m ∈N *矛盾．∴结论得证．(3)∵b 3k －2＝2(3k －2)＋7＝6k ＋3， a 2k －1＝6k ＋3，b 3k －1＝6k ＋5， a 2k ＝6k ＋6，b 3k ＝6k ＋7，∴b 3k －2＝a 2k －1＜b 3k －1＜a 2k ＜b 3k ，k ＝1,2,3，….所以，32213123,43,42,41,4k k k n k k b a n k b n k c a n k b n k ---==-⎧⎪=-⎪=⎨=-⎪⎪=⎩k ∈N *.综上，63,4365,4266,4167,4n k n k kn k c k n k kn k+=-⎧⎪+=-⎪=⎨+=-⎪⎪+=⎩k ∈N *.23．解：(1)设Q (x ，x －3)是l 上任一点(3≤x ≤5)，则PQ ==，3≤x ≤5.当x ＝3时，min PQ =()d P l =，.(2)不妨设A (－1,0)、B (1,0)为l 的两个端点，则D 为线段l 1：y ＝1(|x |≤1)、线段l 2：y ＝－1(|x |≤1)、半圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1(x ≤－1)、半圆C 2：(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)所围成的区域．这是因为对P (x ，y )，|x |≤1，则d (P ，l )＝|y |；而对P (x ，y )，x ＜－1，则()d P l =，P (x ，y )，x ＞1，则()d P l =，.于是D 所表示的图形面积为4＋π. (3)①Ω＝{(x ，y )|x ＝0}．②Ω＝{(x ，y )|x ＝0，y ≥0}∪{(x ，y )|y 2＝4x ，－2≤y ＜0}∪{(x ，y )|x ＋y ＋1＝0，x ＞1}．③Ω＝{(x ，y )|x ≤0，y ≤0}∪{(x ，y )|y ＝x,0＜x ≤1}∪{(x ，y )|21(1)2y x =+，1＜x ≤2}∪{(x ，y )|4x －2y －3＝0，x ＞2}．。

⎩→∞ 2 绝密★启用前2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）考生注意（满分 150 分，考试时间 120 分钟）1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．1. 函数 y = 1- 2 cos 2 (2x ) 的最小正周期是.2. 若复数z=1+2i ，其中 i 是虚数单位，则(z + 1) ⋅ z = .z3. 若抛物线 y 2=2px 的焦点与椭圆x + y 9 5.= 1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为⎧x , x ∈(-∞, a ),4. 设 f (x ) = ⎨x 2 , x ∈[a ,+∞], 若 f (2) = 4 ，则a 的取值范围为.5. 若实数 x,y 满足 xy=1,则 x 2 + 2 y 2 的最小值为.6. 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7. 已知曲线 C 的极坐标方程为 p (3cos θ - 4 sin θ ) = 1，则 C 与极轴的交点到极点的距离是 .8. 设无穷等比数列{ a n }的公比为 q ，若a 1 = lim(a 3 + a 4 + ) ，则q=.n211 2 19.若f (x) =x 3 -x 2 ，则满足f (x) < 0 的x 取值范围是.10.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10 天中随机选择3 天进行紧急疏散演练，则选择的3 天恰好为连续3 天的概率是（结构用最简分数表示）.11.已知互异的复数a,b 满足ab≠0，集合{a,b}={ a 2, b2},则a +b = .12.设常数 a 使方程sin x + x +x2+x3=. 3 cos x =a 在闭区间[0,2 π] 上恰有三个解x , x2, x3，则13.某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若E(ξ) =4.2，则小白得5 分的概率至少为.14.已知曲线C：x =- l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP +AQ = 0 ，则m 的取值范围为.二、选择题：本大题共4 个小题,每小题5 分,共20 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.设a, b ∈R ,则“a +b > 4 ”是“a > 2,且b > 2 ”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件16.如图，四个棱长为1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i (i =1,2,...) 是上→→底面上其余的八个点，则AB⋅AP i (i =1,2...) 的不同值的个数为（）（A）1 (B)2 (C)4 (D)84 -y2⎨ 1 17. 已知 P 1 (a 1 , b 1 ) 与 P 2 (a 2 , b 2 ) 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y⎧a 1x + b 1 y = 1的方程组⎨a x + b y = 1 的解的情况是（）⎩ 2 2（A ）无论 k ， P 1 , P 2 如何，总是无解 （B)无论k ， P 1 , P 2 如何，总有唯一解 （C ）存在 k ， P 1 , P 2 ，使之恰有两解（D ）存在 k ， P 1 , P 2 ，使之有无穷多解18.⎧(x - a )2, x ≤ 0, f (x ) = ⎪x + + a , x > 0, 若 f (0) 是 f (x ) 的最小值，则a 的取值范围为（）.⎪⎩x(A)[-1,2](B)[-1，0](C)[1，2](D) [0, 2]三．解答题（本大题共 5 题，满分 74 分） 19、（本题满分 12 分）底面边长为 2 的正三棱锥 P - ABC ,其表面学科网展开图是三角形 p 1 p 2 p 3 ，如图，求△p 1 p 2 p 3 的各边长及此三棱锥的体积V .zxxk20.（本题满分 14 分）本题有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 1 分。

三．解答题（本大题共5题，满分74分） 19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。

设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)(（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在AB 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。

在平面直角坐标系xOy 中，对于直线I ：ax+by+c=0和点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），记η=（ax 1+by 1+c ）（ax 2+by 2+c ），若η<0，则称点P 1，P 2被直线I 分隔，若曲线C 与直线I 没有公共点，且曲线C 上存在点P 1，P 2被直线I 分割，则称直线I 为曲线C 的一条分隔线。

（1）求证：点A （1，2），B （-1,0）被直线x+y-1=0分隔；（2）若直线y=kx 是曲线x 2-4y 2=1的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点Q （0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线。

2011年普通高等学校招生全国统一考试上海卷（文科）填空题1．若全集U R =，集合{}|1A x x =≥，则U A =ð . 2．3lim 13n n n →∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭. 3．若函数()21f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f --= . 4．函数2sin cos y x x =-的最大值为 .5．若直线l 过点()3,4，且()1,2是它的一个法向量，则l 的方程为 . 6．不等式11x<的解为 . 7．若一个圆锥的主视图（如下图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是 .8．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C .若75,60CAB CBA ∠=∠=，则A ，C 两点之间的距离是 千米. 9．若变量x ，y 满足条件30,350,x y x y -⎧⎨-+⎩≤≥则z x y =+的最大值为 .10．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8.若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 .11．行列式a bc d（{},,,1,1,2a b c d ∈-）所有可能的值中，最大的是 . 12．在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点.若3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= .13．随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是 （默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）.14．设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数.若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为[]2,5-，则()f x 在[]0,3上的值域为 . 选择题15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间()0,+∞上单调递减的函数为（ ）. （A ）2y x -= （B ）1y x -= （C ）2y x = （D ）13y x = 16．若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）.（A ）222a b ab +> （B ）a b +≥ （C ）11a b +>（D ）2b a a b +≥ 17．若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为E 和F ，则（ ）. （A ）E F Ü （B ）E F Ý （C ）E F = （D ）EF =∅18．设1234,,,A A A A 是平面上给定的4个不同点，则使1234MA MA MA MA 0+++=成立的点M 的个数为（ ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 解答题19．已知复数1z 满足1(2)(1i)1i z -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是实数，求2z .20．如下图，已知1111ABCD A BC D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =.求：（1）异面直线BD 与1AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）四面体11AB D C 的体积.21．已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围.22．已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是C 上的动点，M 是C 的右顶点，定点A 的坐标为()2,0.（1）若M 与A 重合，求C 的焦点坐标； （2）若3m =，求PA 的最大值与最小值； （3）若PA 的最小值为MA ，求m 的取值范围.23．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+()*n N ∈.将集合{}{}**|,|,nnx x a n x x b n N N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列12,,,,n c c c .（1）求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； （2）1240,,,c c c 中有多少项不是数列{}n b 中的项？请说明理由；（3）求数列{}n c 的前4n 项和4n S ()*n N ∈.参考答案填空题 1.{}|1x x <提示：{}1U A x x =<ð. 2.2- 提示：323lim 1lim 233n n n n n n →∞→∞-+⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 3.32-提示：由212x +=-，解得23-=x ，所以13(2)2f --=-.提示：()y x ϕ=+5.2110x y +-=提示：由题意得()3240x y -+-=，可得所求直线方程为2110x y +-=. 6.0x <或1x > 提示：10x x -<，即01>-xx ，解得0x <或1x >. 7.3π提示：这个圆锥的底面半径为1，母线长为3，所以侧面积3S rl =π=π.提示：45ACB ∠=，由正弦定理得sin 60sin 45AC AB=，所以AC =千米.9.52提示：y x z +=在区域顶点515,88⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值，最大值为5155882+=. 10.2 提示：86224⨯=个. 11.6提示：行列式的值为22(1)26ad bc -⨯--⨯=≤,所以最大值是6. 12.152提示：以BC 中点O 为原点，OC 为x 轴正方向建立坐标系，则3,02B ⎛⎫-⎪⎝⎭，A ⎛ ⎝⎭，1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以3,2AB ⎛=- ⎝⎭，1,2AD ⎛=- ⎝⎭，32715442AB AD ⋅=+=. 13. 0.985提示：设至少有2个同学在同一月份出生为事件A ，则9129P ()1()10.98512P A P A =-=-≈.14.[]2,7-提示：对于任意整数n ，当[],1x n n ∈+时，()()()f x x g x x n g x n n =+=-+-+.由于[]0,1x n -∈，所以()f x 在区间[],1n n +上的值域为[]2,5n n -+.所以()f x 在区间[]0,3上的值域为[]2,7-. 选择题 15.A提示：易知（B ）（C ）（D ）均不符合题意，而（A ）满足题意.所以选（A ）. 16.D提示：由a ，b 同号及均值不等式可知选（D ）. 17.A提示：{}|,E x x k k Z ==π∈，|,2k F x x k Z π⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，所以选（A ）. 18.B提示：任意建立坐标系可得点M 坐标的每个分量都是4个已知点坐标对应分量的算术平均数，所以这样的点只有一个，故选（B ）. 解答题19.解：∵1(2)(1i)1i z -+=-, ∴12i z =-.设22i,z a a R =+∈, 则12(2i)(2i)(22)(4)i z z a a a ⋅=-+=++-, ∵12z z R ⋅∈,∴4=a . ∴242i z =+.20.解：（1）如下图，连结1111,,,BD AB B D AD ， ∵1111//,BD B D AB AD =，∴11AB D ∠为异面直线BD 与1AB 所成角，记为α.∵2221111111cos 2AB B D AD AB B D α+-=⨯， ∴异面直线BD 与1AB所成角的大小为（2）如上图，连结11,,AC CB CD ，设正四棱柱1111ABCD A BC D -的体积为1V ，三棱锥111C B C D -的体积为2V ，则四面体C D AB 11的体积214V V V -=..3122131,221=⨯⨯==V V ∴所求体积323142=⨯-=V .21.解：（1）当0,0a b >>时，因为xx b a 3,2⋅⋅都单调递增，所以函数()f x 在R 内是增函数. 当0,0a b <<时，xx b a 3,2⋅⋅都单调递减，所以函数()f x 在R 内是减函数.（2）(1)()2230xxf x f x a b +-=⋅+⋅>,当0,0a b <>时，322xa b ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则32log 2a x b ⎛⎫>- ⎪⎝⎭；当0,0a b ><时，322xa b ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则32log 2a x b ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.22.解：（1）∵重合， ∴2m =.∴椭圆方程为2214x y +=.∴c ==∴左、右焦点坐标为()),.（2）∵3m =，∴椭圆方程为2219x y +=. 设(,)P x y ，则()()()222222891221339942x PA x y x x x ⎛⎫=-+=-+-=-+- ⎪⎝⎭≤≤，当94x =时，PA； 当3x =-时，PA 取得最大值5.（3）设动点(,)P x y ，则()()222222221x PA x y x m=-+=-+-=()2222222124511m m m x m x m m m m ⎛⎫---+- ⎪--⎝⎭≤≤. 当x m =时，PA 取最小值，且2210m m ->， ∴2221m m m -≥. ∴221m m --≤0，且1m >.解得11m <≤. ∴m的取值范围为(1,1+.23.解：（1）它们是9,15,21. （2）12340,,,,c c c c 分别为9,11,,13,15,17,,19,21,23,,25,27,29,,31,33,35,,37,121824303639,41,,43,45,47,,49,51,53,,55,57,59,,61,63,65,,674248546066.∴12340,,,,c c c c 连续四项中恰有一个是数列{}n a 的项，但不是数列{}n b 的项， ∴12340,,,,c c c c 中有10项不是数列{}n b 中的项.（3）()3221232763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+. ∵63656667k k k k +<+<+<+，∴*63,43,65,42,66,41,67,4,n k n k k n k c k k n k k n k N +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩.∵43424142421k k k k c c c c k ---+++=+， ∴()()2412344342414(1)242112332n n n n n n n S c c c c c c c c n n n ---+=++++++++=⨯+=+.。