【最后一卷】湖北部分重点中学2020届高三新起点联考考试数学(理)试题

湖北部分协作体2020届高三统一联考数学(理科)一、选择题：1．已知集合A ＝{（x ，y ）|（x ﹣3﹣4cosq ）2+（y ﹣5﹣4sinq ）2＝4，θ∈R}，B ＝{（x ，y ）|3x+4y ﹣19＝0}．记集合P ＝A∩B ，则集合P 所表示的轨迹的长度为（ ） A ．8√2B ．8√3C ．8√5D ．8√62．已知复数z 满足z ⋅z =4且z +z +|z|＝0，则z 2019的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2 2019C ．1D ．2 20193．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝5√2sin （B +π4），c ＝5且O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，则OG 的最小值为（ ） A ．√2−1B ．5√2−56C ．√2+1D ．10−5√264．在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足PA →+PB →+PC →=AB →，QA →+QB →+QC →=BC →，RA →+RB →+RC →=CA →，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：55．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（ ）A ．41πB ．42πC ．43πD ．44π6．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式f （x ）＝a n x n +a n﹣1x n ﹣1+…+a 1x+a 0的值的秦九韶算法，即将f （x ）改写成如下形式：f （x ）＝（…（（a n x+a n ﹣1）x+a n ﹣2）x+…+a 1）x+a 0，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这种算法至今仍是比较先进的算法，将秦九韶算法用程序框图表示如图，则在空白的执行框内应填入（ ）A．v＝vx+a i B．v＝v（x+a i）C．v＝a i x+v D．v＝a i（x+v）7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）=x(e x−e−x)x−1的图象大致是（）A．B．C．D．8．中华人民共和国的国旗是五星红旗，旗面左上方缀着五颗黄色五角星，四颗小星环拱在一颗大星之后，并各有一个角尖正对大星的中心点，象征着中国共产党领导下的革命人民大团结和中国人民对党的衷心拥护．五角星可以通过正五边形连接对角线得到，如图所示，在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A ．√5−14B ．(√5−1)24C ．(√5−1)34D ．(√5−1)449．已知函数f （x ）＝e x （x+1）2，令f 1（x ）＝f'（x ），f n+1（x ）＝f n '（x ），若f n （x ）＝e x （a n x 2+b n x+c n ），记数列{2a n2c n −b n}的前n 项和为S n ，则下列选项中与S 2019的值最接近的是（ ）A ．32B ．53C ．74D ．9510．已知函数f （x ）＝（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1），有下述四个结论：①f （x ）是偶函数；②f （x ）在（π4，π2）上单调递减；③当θ∈[2π3，3π4]时，有|f （x ）|＜75； ④当θ∈[2π3，3π4]时，有|f'（x ）|＜145；其中所有真命题的编号是（ ） A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①④11．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP|．若直线PF 2与双曲线C 只有一个交点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√612．已知函数f （x ）＝ax 3﹣（3a ﹣2）x 2﹣8x+12a+7，g （x ）＝lnx ，记h （x ）＝min{f （x ），g （x ）}，若h （x ）至少有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，−110） B ．（18，+∞） C ．[−110，18）D ．[−110，18]二、填空题13．已知x ，y 均为正数，则x+y2x 2+y 2+6的最大值是 ．14．在中美组织的暑假中学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙和尚、唐三藏、白龙马的彩色陶俑各一个送给来中国参观的美国中学生汤姆、杰克、索菲娅，每个人至少一个，且猪八戒的彩色陶俑不能送给索菲娅，则不同的送法种数为 ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上不与左右顶点重合的动点，设I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心．当直线IG 的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，椭圆C 的离心率为 ．16．已知函数f （x ）＝2ax 3+（3a ﹣1）x 2+1，当x ∈[0，1]时，f （x ）仅在x ＝1处取得最大值，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题17．已知数列{a n }的中a 1＝1，a 2＝2，且满足∑n i=1√a +√a =1+a ．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =(−1)n a 2n+1a n a n+1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，若|T n +1|＜12020，求n 的最小值．18．如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DF ⊥平面ABCD 且DF =√3．（1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）若∠ABC ＝∠BCE ，求二面角A ﹣BF ﹣E 的余弦值．19．已知点P （x ，y ）是平面内的动点，定点F （1，0），定直线l ：x ＝﹣1与x 轴交于点E ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，且满足EP →•EF →=FP →•FQ →．（1）求动点P 的轨迹t 的方程； （2）过点F 作两条互相垂直的直线l 和l ，分别交曲线t 于点AB ，和点C ，D ．设线段AB 和线段CD 的中点分别为M 和N ，记线段MN 的中点为K ，点O 为坐标原点，求直线OK 的斜率k 的取值范围．20．已知函数f （x ）＝a （lnx +2x +2）−e x−1x 2−1在定义域（0，2）内有两个极值点．（1）求实数a 的取值范围；（2）设x 1和x 2是f （x ）的两个极值点，求证：lnx 1+lnx 2+lna ＞0．21．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV ）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n （n ∈N *）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n 次． 方式二：混合检验，将其中k （k ∈N *且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k+1假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （0＜p ＜1）．现取其中k （k ∈N *且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2（1）若E （ξ1）＝E （ξ2），试求关于k 的函数关系式P ＝f （k ）；（2）若P 与干扰素计量x n 相关，其中x 1，x 2，…，x n （n≥2）是不同的正实数，满足x 1＝1且∀n ∈N *（n≥2）都有e−13∑ n−1i=1x n2x i xi+1=x n 2−x i 2x22−x 12成立．（i ）求证：数列{x n }为等比数列；（ii ）当P ＝1√x 3时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k 的最大值． （二）选考题：22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t1−t 2（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+π3）=√54．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣|2x+1|，x ∈R ． （Ⅰ）求不等式|f （x ）|≤4的解集；（Ⅱ）设a ，b ，c 为正数，求证：f(x)≤ab+c +bc+a +ca+b ．湖北部分协作体2020届高三统一联考数学(理科)解析一、选择题：1．集合A ＝{（x ，y ）|（x ﹣3﹣4cosq ）2+（y ﹣5﹣4sinq ）2＝4，θ∈R}，圆的圆心（3+4cosq ，5+4sinq ），半径为2，圆的圆心的轨迹方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣5）2＝16，集合A 的图形是图形中，两个圆的圆环部分，圆心C （3，5）到直线3x+4y ﹣19＝0的距离为：d ==2，所以，A∩B 就是|MN|＝2√62−22=2√32=8√2．选：A ．2．设z ＝a+bi （a ，b ∈R ），由z ⋅z =4且z +z +|z|＝0，得{a 2+b 2=42a +2=0，解得a ＝﹣1，b =±√3．∴z =−1±√3i =2(−12±√32i)， 而(−12−√32i)3=−18+3×(−12)2×(−√32i)+3×(−12)×(−√32i)2+(−√32i)3=1，(−12+√32i)3=−18+3×(−12)2×√32i +3×(−12)×(√32i)2+(√32i)3=1．∴z 2019=22019⋅(−12±√32i)2019=22019⋅[(−12±√32i)3]673=22019．选：D ．3．a ＝5√2sin （B +π4），c ＝5，∴a =√2csin （B +π4）， 由正弦定理可得：sinA =√2sinC•√22（sinB+cosB ）， ∴sin （B+C ）＝sinBcosC+cosBsinC ＝sinC•sinB+sinCcosB ， 化为：sinBcosC ＝sinC•sinB ，sinB≠0，∴cosC ＝sinC ，即tanC ＝1，C ∈（0，π）．∴C =π4． ∴△ABC 外接圆的半径R =12•csinC =5√22．如图所示，建立直角坐标系．A （−52，0），B （52，0），O （0，52）．△ABC 外接圆的方程为：x 2+(y −52)2=252．设C （5√22cosθ，52+5√22sinθ）．θ∈（0，π） 则G (5√26cosθ，56+5√26sinθ)．|OG|2=(5√26cosθ)2+(53−5√26sinθ)2=256−25√29sinθ≥25(6−2√8)25， ∴|OG|的最小值为：10−5√26．故选：D ．4．由PA →+PB →+PC →=AB →，得PA →+PC →=AB →−PB →， 即PA →+PC →=AB →+BP →，即PA →+PC →=AP →，∴PC →=2AP →， P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q 、R 的位置，△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1：3；选：B ． 5．由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为12×√36+4+1=√412，∴该球形容器体积的最小值为：4π×(√412)2=41π．选：A ．6．秦九韶算法的过程是{v 0=a nv k =v k−1x +a n−k（k ＝1，2，…，n ）这个过程用循环结构来实现，应在题目的空白的执行框内填入v ＝vx+a i ，选：A ． 7．函数的定义域为{x|x≠±1}，f （﹣x ）=−x(e −x −e x )x 2−1=x(e x −e −x )x 2−1=f （x ），则函数f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，当x ＞1时，f （x ）＞0恒成立，排除B ，D ，选：C ． 8．∵sin36°＝cos54°，∴2sin18°cos18°＝4cos 218°﹣3cos18°，化为：4sin 218°+2sin18°﹣1＝0，解得sin18°=√5−14．不妨设A 2E 2＝1．根据题意知，△B 1A 1E 2∽△A 1A 2E 2，∴A 2E2A 1E 2=A 1E2A 1B 1=√5−12．∴A 1E 2=√5+12，A 1B 1=3+√52．∴S△A1A2E2=S2=12×1×√5+12×sin72°．S△A1A2B1=S2=12⋅A1B1⋅A2B1sin36°．正五边形A1B1C1D1E1的面积S1，正五边形A2B2C2D2E2的面积为S3，S3 S1=(A2E2A1B1)2=(√5−12)4．S△A1B1E2=S4=12A1B12•sin36°．S3＝5×12(12cos54°)2•sin72°，∴在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率=5S2+S3S1=(√5−1)34．故选：C．9．由f（x）＝e x（x+1）2＝e x（x2+2x+1），得f1（x）＝f′（x）＝e x（x2+4x+3），f2（x）＝f1'（x）＝e x（x2+6x+7），f3（x）＝f2'（x）＝e x（x2+8x+13），…f n+1（x）＝f n'（x）＝e x[x2+2（n+1）x+（n+1）（n+2）+1]．又f n（x）＝e x（a n x2+b n x+c n），∴a n＝1，b n＝2n，c n＝n（n+1）+1．∴2a n2c n−b n =22n+2=1n+1．令d n=2a n2c n−b n =1n+1＜1n＜1(n−1)n=1n−1−1n（n≥2），则S2019＝d1+d2+d3+…+d n＜12+(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)=32−1n＜32．∴与S2019的值最接近的是32．故选：A．10．①函数的定义域为R，∵f （﹣x ）＝（cosθ+1）cos2（﹣x ）+cosθ[cos （﹣x ）+1]＝（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1）＝f （x ），∴f （x ）是偶函数，即①正确；②f （x ）＝2（cosθ+1）cos 2x+cosθcosx ﹣1， 设t ＝cosx ，则f （t ）＝2（cosθ+1）t 2+tcosθ﹣1， ∵2（cosθ+1）＞0，∴二次函数的开口向上，函数的对称轴为t =−cosθ4(cosθ+1)，且t 的正负与cosθ的取值有关， ∴f （x ）在（π4，π2）上不一定单调递减，即②错误； ③当θ∈[2π3，3π4]时，cosθ∈[−√22，−12]，f （x ）＝2（cosθ+1）cos 2x+cosθcosx ﹣1有|f （x ）|＜75；④当θ∈[2π3，3π4]时，有|f （x ）|＜145；故选：C ．11．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP|．可得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与双曲线C 只有一个交点， 可得PF 2的斜率：−ba ，设PF 1＝m ，PF 2＝n ，可得mn =ba ，m ﹣n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2， 消去m ，n ，可得：a 2(b−a)2=1，解得b ＝2a ，即c 2﹣a 2＝4a 2， 所以双曲线的离心率为：e =ca =√5． 故选：C ．12．当a ＝0时，函数f （x ）＝ax 3﹣（3a ﹣2）x 2﹣8x+12a+7， 化为：f （x ）＝2x 2﹣8x+7，函数的对称轴为x ＝2，f （2）＝﹣1＜0，f （1）＝1＞0，结合已知条件可知：h （x ）＝min{f （x ），g （x ）}，若h （x ）有三个零点，满足题意，排除A 、B 选项， 当a =18时，f （x ）=18x 3﹣（38−2）x 2﹣8x +32+7，f′（x ）=3x 2+26x−648，令3x 2+26x ﹣64＝0，解得x ＝2或x =−323，x ∈（﹣∞，−323），x ∈（2，+∞），f′（x ）＞0，函数是增函数， x ∈（−323，2），f′（x ）＜0，函数是减函数，所以x ＝2时函数取得极小值，f （2）＝0，所以函数由3个零点，满足题意，排除C ，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请在答题卷的相应区域答题.）13．x+y2x2+y2+6=x+y2x2+2+y2+4≤√22=x+y4(x+y)=14，当且仅当x＝1，y＝2时，等号成立．故函数的最大值为14．故答案为：1414．因为索菲娅特殊，所以优先安排他，分为三类：i）索菲娅由3个陶俑时，有C43，还有2个彩陶再排列，即共有C43⋅A22=4×2＝8；ii）索菲娅由2个陶俑时，有C42=6，还有3个彩陶，有2个人，C32⋅A22=3×2＝6，共有6×6＝36；iv）索菲娅由1个陶俑时有C41=4，还有4个彩陶分给2人，有2类，3，1分组，有C43⋅A22=4×2＝8，或2，2分组时，平均分组问题有顺序时C42=6，所以这种情况共有4×（8+6）＝56，综上所述：不同的送法种数为8+36+56＝100．故答案为：100．15．当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示：设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上，连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N，则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，可得重心G（x03，y03）所以I的横坐标也为x03，|ON|=x03，由内切圆的性质可得，PG＝PA，F1Q＝F1N，NF2＝AF2，所以PF1﹣PF2＝（PG+QF1）﹣（PA+AF2）＝F1N﹣NF2＝（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）＝2ON=2x03，而PF1+PF2＝2a，所以PF1＝a+x03，PF2＝a−x03，由角平分线的性质可得PF1PF2=F1MMF2=a+x03a−x03=c+OMc−OM，所以可得OM=cx03a，所以可得MN＝ON﹣OM=x03−cx03a=(a−c)x03a，所以ME＝OE﹣OM＝x0−cx03a =(3a−c)x03a，所以INPE =MNOE=a−c3a−c，即IN=a−c3a−c•PE=a−c3a−c•y0，s△PF1F2=12（PF1+F1F2+PF2）•IN=12F1F2⋅PE，即12（2a+2c）⋅a−c3a−c⋅y0=12⋅2c⋅y0，所以整理为：ca =13，故答案为：13．16．由题意可得，f（1）＞f（0），所以a＞15，∵f′（x）＝6ax2+2（3a﹣1）x＝6ax（x−1−3a3a）①当≥13时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在[0，1]上单调递增，满足题意；②15＜a＜13时，易得函数在[0，1−3a3a）上单调递减，在[1−3a3a，1]上单调递增且f（1）＞f（0），符合题意；综上，a＞15故答案为：（15，+∞）．三、解答题17．（1）∵数列{a n}的中a1＝1，a2＝2，且满足∑n i=1√a+√a =1+a．∴当n≥2时，∑n−1i=1√a+√a =√a+√a，两式作差整理得a n＝a1+（n﹣1）（a2﹣a1），n≥2，∴a n ＝n ，n≥2，当n ＝1时，a 1＝1满足上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n ．（n ∈N *）． （2）b n =(−1)n a 2n+1a n a n+1=(−1)n (2n+1)n(n+1)=（﹣1）n （1n+1n+1）=(−1)n n−(−1)n+1n+1，∴数列{b n }的前n 项和： T n ＝（−11−12）+（12−−13）+（−13−14）+…+[(−1)n n−(−1)n+1n+1]＝﹣1−(−1)n+1n+1，n ∈N *，∵|T n +1|＜12020，∴|T n +1|=1n+1＜12020，解得n ＞2019． ∴n 的最小值为2020．18．（1）过点E 作EH ⊥BC ，连接HD ，EH =√3， 因为平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ， 平面ABCD∩平面BCE ＝BC ， 所以EH ⊥平面ABCD ， 因为FD ⊥ABCD ，FD =√3，所以FD ∥EH ，FD ＝EH ，故平行四边形EHDF ， 所以EF ∥HD ，由EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ；（2）连接HA ，根据题意，AH ⊥BC ，以H 为原点，HB ，HA ，HE 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，√3，0），B （1，0，0），E （0，√3，√3），F （2，√3，√3）， 则BA →=（﹣1，√3，0），BE →=（﹣1，0，√3），BF →=（﹣3，√3，√3）， 设平面BAF 的法向量为m →=（x ，y ，z ），{m →⋅BA →=−3x +√3y +√3z =0m →⋅BF →=−x +√3y =0，得m →=（√3，1，2）， 设平面BEF 的法向量为n →=(a ，b ，c)，由{n →⋅BE →=−a +√3c =0n →⋅BF →=−3a +√3b +√3c =0，得n →=(√3，2，1)，由cos ＜m →，n →＞=3+2+28=78，所以二面角A ﹣FB ﹣E 的余弦值为−78．19．（1）根据条件可知EP →=（x+1，y ），EF →=（2，0），FP →=（x ﹣1，y ），FQ →=（﹣2，y ）， 因为EP →•EF →=FP →•FQ →．所以2x+2＝﹣2x+2+y 2，即y 2＝4x ， 所以P 的轨迹方程为y 2＝4x ；（1）设直线AB ：x ＝my+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y 2=4x x =my +1，整理得y 2﹣4my ﹣4＝0，且y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，△＝16（m 2+1），所以M （2m 2+1，2m ），同理，N （2m 2+1，−2m ），所以K （m 2+1m 2+1，m −1m ）， 所以当k =m−1m m 2+1m2+1=m−1m (m−1m)2+3=1m−1m +3m−1m，令t ＝m −1m ≠0，则k =1t+3t，当t ＜0时，t +3t =−（﹣t −3t ）≤﹣2√3，当且仅当t =−√3时取等号， 当t ＞0时，t +3t ≥2√3，当且仅当t =√3时取等号， 则k =1t+3t∈[−√36，0）∪（0，√36]． 20．（1）函数f （x ）的定义域为（0，2），f′(x)=(e x−1−ax)(2−x)x 3，记g （x ）＝e x ﹣1﹣ax ，则g′（x ）＝e x ﹣1﹣a ，①当a ≤1e 时，g′（x ）＞0，故g （x ）在（0，2）上单增，则g （x ）至多有一个零点，不合题意； ②当a ＞1e 时，令g′（x ）＝0得x ＝1+lna ， （i ）当1+lna ＜2且g （2）＞0，即1e ＜a ＜e2时，g （x ）在（0，1+lna ）上单减，在（1+lna ，2）上单增， 此时需g （x ）min ＝g （1+lna ）＝﹣alna ＜0，解得a ＞1， 注意到g （0）＞0，故由零点存在性定理可知，g （x ）在（0，1+lna ）及（1+lna ，2）上各有一个零点； （iii ）当1+lna≥2，即a≥e 时，g （x ）在（0，2）上单减，则g （x ）至多有一个零点，不合题意；综上，实数a 的取值范围为(1，e2)； （2）证明：不妨设0＜x 1＜1+lna ＜x 2＜2，由题意得，{e x 1−1−ax 1=0e x 2−1−ax 2=0，两边同时取自然对数得{x 1−lnx 1=1+lnax 2−lnx 2=1+lna ，要证lnx 1+lnx 2+lna ＞0，只需证x 1+x 2＞2+lna ，即证x 1＞1﹣lnx 2，由上可知，g （x ）在（0，1+lna ）上单减，则证明g （1﹣lnx 2）＞g （x 1）＝0即可， 有e −lnx 2−e x 2−1x 2(1−lnx 2)＞0，化简后即证明lnx 2+e 1−x 2＞1即可，构造函数h （x ）＝lnx+e 1﹣x ，x ∈（1+lna ，2），则h′(x)=1x −1e ，注意到不等式e x ﹣1＞x （x ＞0），则h′（x ）＞0在（1+lna ，2）恒成立，即h （x ＞h （1+lna ）＞h （1）＝1，故求证成立．21．（1）由已知可得E （ξ1）＝k ，ξ2的所有取值为1，k+1，P （ξ2＝1）＝（1﹣p ）k ，P （ξ2＝k+1）＝1﹣（1﹣p ）k ，E （ξ2）＝（1﹣p ）k +（k+1）[1﹣（1﹣p ）k ]＝k+1﹣k （1﹣p ）k ， 由E （ξ1）＝E （ξ2），可得k ＝k+1﹣k （1﹣p ）k ，即（1﹣p ）k =1k，即1﹣p ＝（1k ）1k，即p ＝1﹣（1k ）1k，可得f （k ）＝1﹣（1k ）1k，k ∈N*，k≥2；（2）（i ）证明：当n ＝2时，e −13•x 22x1x 2=x 22−x 12x22−x 12=1，即x 2x 1=e13，可令q =x 2x 1=e13＞0，则q≠1，由x 1＝1，下面证明对任意的正整数n ，x n ＝en−13，①当n ＝1，2时，显然成立；②假设对任意的n ＝k ，x k ＝e k−13，下面证明n ＝k+1时，x k+1＝ek 3，由题意可得e −13•∑ki=1x k+12x i xi+1=x k+12−x 12x 2−x 1，则e−13•x k+12（1x 1x 2+1x 2x 3+⋯+1x k−1x k+1x k x k+1）=x k+12−1e 23−1，则e −13•x k+12{e −13[1−(e −23)k−1]1−e −23+1e k−13⋅x k+1}=x k+12−1e 23−1，x k+12(1−e−2(k−1)3)e 23−1+e−k 3•x k+1=x k+12−1e 23−1，e−2(k−1)3•x k+12{+（e−k 3−e−k 3+23）x k+1﹣1＝0，即（e−k 3•x k+1﹣1）（e −k 3+23•x k+1+1）＝0，可得x k+1＝e k 3或x k+1＝﹣e k−23（舍去），即x k+1＝ek 3成立，由①②可得数列{x n }为等比数列，且x n ＝e n−13；（ii ）由（i ）可知p ＝1√x 3=1√e3，E （ξ1）＝E （ξ2），可得k ＞k+1﹣k （1﹣p ）k ，即1k ＜（1﹣p ）k ＝（√e 3）k ，所以lnk ＞13k ，设f （x ）＝lnx −13x ，x ＞0，f′（x ）=3−x 3x，当x≥3时，f′（x ）＜0，f （x ）递减，又ln 4≈1.3863，43≈1.3333，则ln4＞43；ln5≈1.6094，53≈1.6667，则ln5＜53，可得k 的最大值为4．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（1）曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t1−t 2（t 为参数）．转化为直角坐标方程为x 2﹣4y 2＝1， 直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+π3）=√54．转化为直角坐标方程为：12x −√32y =√54．（2）由于直线与x 轴的交点坐标为（√52，0），所以直线的参数方程为{x =√52+√32t y =12t（t为参数），代入x 2﹣4y 2＝1得到：t 2−2√15t −1=0， 所以：t 1+t 2=2√15，t 1•t 2＝﹣1， 则：1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=8．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣|2x+1|={x +2，x ≤−12−3x ，−12＜x ＜1−x −2，x ≥1，画出f （x ）的图象如图所示；所以f （x ）在区间（﹣∞，−12）内单调递增，在区间（−12，+∞）内单调递减； 对应f （x ）的最大值为f （−12）=32≤4， 且f （﹣6）＝﹣4，f （2）＝4，所以不等式|f （x ）|≤4的解集为{x|﹣6≤x≤2}； （Ⅱ）证明：因为a ，b ，c 为正数，则ab+c+ba+c +ca+b =（a+b+c ）（1b+c +1c+a +1a+b ）﹣3 =12[（b+c ）+（c+a ）+（a+b ）]（1b+c +1c+a +1a+b ）﹣3 ≥12（1+1+1）2﹣3=32，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”； 又f （x ）的最大值为32， 所以f(x)≤a b+c+b c+a+ca+b．。

湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三数学联考试题 理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

） 1.已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A. M N N =B. ()UMN =∅C. MN U =D. ()UM N ⊆【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2.复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 22i z = B. 2z z ⋅=C. ||2z =D. 0z z +=【答案】B 【解析】由已知求得z ，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】由（z ﹣2）•i ＝z ，得zi ﹣2i ＝z ，∴z ()()()2121111i i i i i i i -+-===---+，∴z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i ，2||2z z z ⋅==，z =，2z z +=．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.下列函数中，其定义域和值域与函数ln xy e =的定义域和值域相同的是（ ）A. y x =B. ln y x =C. y=D. 10xy =【答案】C 【解析】 函数ln xy e=的定义域和值域均为0,，y x =定义域值域都是R ，不合题意；函数ln y x =的定义域为0,，值域为R ，不满足要求；函数10xy =的定义域为R ，值域为0,，不满足要求；函数y=的定义域和值域均为0,，满足要求，故选C.4.三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A. 0.40.20.43<4log 0.5<B. 0.40.20.43<log 0.5<4C. 0.40.20.4log 0.534<<D. 0.20.40.4log 0.543<<【答案】D 【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==<== D.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n项和公式进行判断即可．【详解】若公比q＝1，则当a1＞0时，则S2019＞0成立，若q≠1，则S2019()2019111a qq-=-，∵1﹣q与1﹣q2019符号相同，∴a1与S2019的符号相同，则“a1＞0”⇔“S2019＞0”，即“a1＞0”是“S2019＞0”充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n项和公式是解决本题的关键．6.在边长为2的等边三角形ABC中，若1,3AE AC BF FC==，则BE AF⋅=（）A.23- B.43- C.83- D. 2-【答案】D【解析】【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC中，若13AE AC=，则BE AF⋅=（AE AB-）•12（AC AB+）＝（13AC AB-）•12（AC AB+）11 23AC=（2AB-223AB-•AC=）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=-⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．7.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A. 43钱 B.73钱 C.83钱 D.103钱【答案】C【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，则a﹣2d＝a48 333aa+==．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．8.2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：级数全月应纳税所得额税率1 不超过3000元的部分3%2 超过3000元至12000元的部分10%3 超过12000元至25000元的部分20%现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为（ ） A. 590元 B. 690元C. 790元D. 890元【答案】B 【解析】 【分析】由题意分段计算李某的个人所得税额；【详解】李某月应纳税所得额（含税）为：18000﹣5000﹣2000﹣2000＝9000元， 不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的部分税额为6000×10%＝600元， 所以李某月应缴纳的个税金额为90+600＝690元． 故选：B ．【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，准确理解题意是关键，属于中档题． 9.已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,8B. []2,8C. (][),28,-∞+∞ D. [)2,8【答案】A 【解析】 【分析】求导f ′（x ）＝2x a x -，转化为f ′（x ）＝2x 0ax-=在()1,2有变号零点，再分离参数求值域即可求解【详解】∵f ′（x ）＝2x a x-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数， 故2x 0ax-=在()1,2存在变号零点，即22a x =在()1,2存在有变号零点， ∴2<a 8＜， 故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题．10.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（ ）A.23B.49C.5 D.45【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得2123x x π=-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】因为0＜x π＜，∴112666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， 又因为方程()23f x =的解为x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜π）， ∴1223x x π+=，∴2123x x π=-， ∴()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为122123x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π＜，∴12662x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， ∴由()112263f x sin x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得15263cos x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()125sin x x -=-，故()21sin x x -=5故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．11.若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数的取值范围为（ ）A. (],1-∞B. (],e -∞C. (]0,1D. (]0,e【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的表达式，分别求出x >1和x ≤1时，对应的函数的值域，结合最小值之间的关系进行求解即可．【详解】当x >1时，函数f （x ）为增函数，则f （x ）＝e x ﹣a ∈（e ﹣a,+∞）当x ≤1时，f （x ）＝323,x x -+则f ′（x ）＝-3x 2+6x ＝-3x （x ﹣2），则由f ′（x ）<0得或x ＜0或x ＞2（舍去），此时函数为减函数，由f ′（x ）>0 得0＜x ＜2，此时0<x ＜1，函数为增函数，即当x ＝0时，函数取得极小值同时也是在x ≤1时的最小值，最小值为f （0）＝0 要使函数f （x ）有最小值，则e ﹣a ≥0， 即a ≤e ，即实数a 的取值范围是（﹣∞，e]， 故选：B【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用分段函数的解析式分别求出对应的取值范围是解决本题的关键．12.{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 24,33⎛⎤⎥⎝⎦D. 33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1， ∴d 8π=．∴f （x ）8π=cos ωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选：D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知1(0,π),sin cos ,5ααα∈+=则tan α=_______. 【答案】43- 【解析】因为1sin cos 5αα+=， 所以12434sin cos (0,)sin ,cos tan 25553αααπααα=-∈∴==-∴=- 14.已知命题0:p x ∃∈R ，2010mx +≤，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围为_______________． 【答案】2m ≥ 【解析】【详解】若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，则:p x ⌝∀∈R ，210mx +>与:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤均为真命题．根据:p x ⌝∀∈R ，210mx +>为真命题可得0m ≥，根据:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤为真命题可得240m ∆=-≥， 解得2m ≥或2m ≤-． 综上，2m ≥．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，则ABC ∆的面积为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入S △ABC 12=ac sin B ，计算可得所求．【详解】把a 2﹣（sin B +cos B ）+4＝0看成关于a 的二次方程， 则△≥0，即8（sin B +cos B ）2﹣16≥0，即为8（B 4π+））2﹣16≥0， 化为sin 2（B 4π+）≥1，而sin 2（B 4π+）≤1，则sin 2（B 4π+）＝1，由于0＜B ＜π，可得4π＜B 544ππ+＜，可得B 42ππ+=，即B 4π=，代入方程可得，a 2﹣4a +4＝0， ∴a ＝2，由余弦定理可得，cos 244422c c π+-==⨯ 解可得，c ＝∴S △ABC 12=ac sin B 12=⨯2×2=． 故答案为： 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．16.若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________．【答案】(0,2]e 【解析】设两个切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ,两个切线方程分别为2111(1)2()y x x x x --=-,222(ln 1)()ay a x x x x --=-,化简得2112221,ln 1ay x x x y x a x a x =--=+--两条切线为同一条.可得122212{ln a x x a x a x =-=-, ,2224(ln 1)a x x =--,令22()44ln (0)g x x x x x =->，()4(12ln )g x x x =-'，所以g(x)在递增，)+∞递减，max ()2g x g e ==。

湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试
数学（理）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．命题“，”的否定是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：
“，”，
故选C.
2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】：焦点在x轴时，焦点在y轴时，
求得结果为6
2
3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的
秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法
求某多项式值的一个实例，若输入的值为5，则输出v的值为
- 1 -。

湖北省部分省级示范性重点中学教科研协作体2020届高三统一联合考试数学(理科)试题参考答案一、选择题题号123456789101112答案ADDBAACCBCCC二、填空题13.1414.15.16.三、解答题【17.解析】(1)由题意可知，则也可得知，两式作差整理得到，即，而满足上式，故数列{}na 的通项公式为.(2)由上可知，则结合裂项相消法可知，从而有，解得，故n 的最小值为2020.1001132或1()5+¥，)1*1ni n N n =³Î且()1* 2n i n n N -=³Î且121(1)() n a a n a a =+--n a n =11a =()*n Na n n =Î1211(1)(1)(21)11(1)(1)(1)()(1)11n n n n n n n n n a n b a a n n n n n n +++--+--===-+=-+++()1*(1)1 1n n n T N n +-=-Î-+11112020n T n +=<+2019n >³()*2n n N 且Î()*2n n N 且³Î(1)如图，过点E 作EH ⊥BC 于H ，连接HD ，可知EH.∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ，平面ABD ∩平面BCE =BC ，∴EH ⊥平面ABCD ，∵FD⊥平面ABCD ，FD =∴FD ∥EH ，FD =EH∴四边形EHDF 为平行四边形。

即EF ∥HD∵EF ⊄平面ABCD ，HD Ì平面ABCD，∴EF ∥平面ABCD(2)如图，连接HA ，由上可知H 为BC 中点，又知∠CBA =60°，△ABC 为等边三角形，则有AH ⊥BC ，以H 为坐标原点，HB ，HA ，HE 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .则，，，，有，，，设平面BAF 的一个法向量为，由得，令，取，设平面BEF 的一个法向量为，由得，令，取，即，由题意知二面角A −FB −E 是钝二面角，故二面角A −FB −E 的余弦值是.(2F (0E (00)A (100)B ，，1111()n x y z ，，=(3BF =-(10BE =-(1BA =-12)n ，=1=1y 11111300x x ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩1100n BA n BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1212127cos 8n n n n n n，⋅==78-21z =221)n ，=22222300x x ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩2200n BE n BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2222()n x y z，，=(1)由题可知，，则由得，整理即得，即动点P 的轨迹τ的方程为.(2)设,,,由题意可知………………………………………………………①由点差法知…………………………………………………②由知…………………………………………………③由①②③联立可得，则直线，(i )当时直线.(ii)当时，直线结合基本不等式可知，当且仅当综上所述，.EP EF FP FQ ×=×(1)Q y -，(10)E -，24y x =22(1)2(1)x x y +=--+00()K x y ，1212022x x x y y y ì+=ïïí+ï=ïî22()N x y ，11()M x y ，1112222121MF NF y k y x y k y x ì==ïï-íï==ï-î1MF NF k k ×=-MF NF ^002003y yOK k x y ==+的斜率2003x y =+00y =00y ¹0OK k =的斜率0013OK k y y =+的斜率0y =33[0)(0]66k Î-È，33[]66OK k -直线的斜率的取值范围是，24y x =(1)函数的定义域为.记，则，①当时，，故g (x )在上单调递增，则g (x )至多有一个零点，不合题意.②当时，，(i )当，即时，g (x )在上单调递减，在上单调递增，此时，而g (x )在上存在两个零点，令，解得，注意到，结合零点存在性定理知在和上各有一个零点.(ii )当，即时，g (x )在上有一个零点，在上无零点，不合题意.(iii)当，即时，g (x )在上单调递减，则g (x )至多有一个零点，不合题意.综上所述，实数的取值范围是.(2)由上不妨设，由题意得，两边同时取自然对数得,欲证，只需证明，即证明，由上可知，则证明即可.有，化简后证明即可.构造，则，注意到常用不等式，则在恒成立，即，故求证成立.综上所述，原命题得证.'1()=x g x e a --1() (02)x g x e ax x -=-Î其中，1'3()(2)() x e ax x f x x ---=(02)，()f x '()0g x >1a e£(02)，12ea e <<1ln 2(2)0a g +<>且(1ln 2)a +，(01ln )a +，min ()(1ln )ln g x g a a a =+=-1(0)0g e=>ln 0a a -<1a >1ln 2a +³a e ³(12e，a 1201ln 2x a x <<+<<21(1ln )()0g x g x ->=212ln 1x x e -+>221ln 22(1ln )0x x e e x x ---->'111()x h x x e -=-1()ln (1ln 2)x h x x e x a -=+Î+，其中，'()0h x >1 (0)x e x x ->>(1ln 2)x a Î+，()(1ln )(1)1h x h a h >+>='()01ln g x x a ==+令得1a e>()g x {1122ln 1ln ln 1ln x x a x x a -=+-=+1211120x x e ax e ax --ìï-=í-=ïî121ln x x >-122ln x x a +>+12ln ln ln a 0x x ++>()(01ln )g x a +在，上单调递减1ln 2(2)0a g +<£且2ea e £<(01ln )a +，(1ln 2)a +，(01ln )a +，(1ln 2)a +，(02)，(02)，(1)由题意得；随机变量的所有可能取值为.，，故.若，则，整理有.即关于的函数关系式为.(2.i)当时，有，解得.令，则.由题意可知，则也可得知，两式作差整理得，解得.即数列是以首项为，公比为的等比数列.(2.ii)由上可知，则，即.由题意可知，则有，整理得，构造，则，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减.而，，即的最大值是.1()E k x =2x 11k +，2(1)(1)kP p x ==-2(1)1-(1)kP k p x =+=-12()()E E x x =2()1(1)k E k k p x =+--1(1)k k k k p =+--111(k p k =-()*11()1)2(k p f k kk N k ==Î-且 p k 2n =12231221212222x e x x x x x x -×=--1231x e x =1231x q e x ==1q ¹1121212122221n n i i n i x x x x x x x x x +-=⋅-=-∑11112121222221n n i i n i x x x x x x x x x +++⋅=-=-∑111n n n n x x q x x q++-=-11-()n n x q x q或舍去+={}n x 13q e =11x =13(*)n n x en N -=Î4x e=1p =-12())E x >1(1)k k k k p >+--1ln 03k k ->1()ln (0)3x x x x j =->'3()3x x x j -=(03)x Î，'()0x j >(3)x Î+¥，'()0x j <()x j (03)，(3)+¥，(4)0j >(5)0j <k 4(1)由题意可知，且注意到，则曲线C 的直角坐标方程为.由直线l 的极坐标方程为可知，直线l 的直角坐标方程为.(2)由上结合题意可知，则点P 恰为双曲线C 的焦点.以点P 为极点，双曲线C 的对称轴为极轴建立极坐标系，可知双曲线C 的右支满足的极坐标方程为不妨设，，其对应的极角分别为.则结合题设可知，故【23.解析】(1)由题意知，则有.且在上单调递增，在上单调递减，而，故不等式的解集为.(2)注意到当且仅当时取等而由上可知，故.综上所述，原命题得证.222121111t x t t+==-+¹---222222214()4()111t t x y t t +-=-=--2241)x y -=-{cos sin x y r q r q ==5cos()34p r q +=20x --=0)2P r 1PA r =2PB r =12q q p +=12q q 和1212121111448cos )8.PA PB q q q q r r +=+=-+-=-+=12 21()3 -122 1x x f x x x x x ì+£-ïïï=-<<íï--³ïïî，，， max13()()=422f x f =-£1()2-+¥1(2-¥-，()f x ()4f x £{62}x x -££(6)(2)4f f -==2111()()31111 [()()()]()3213(111)322a b c a b c b c c a a b b c c a a ba b b c c a b c c a a b++=++++-++++++=++++++-+++³++-=()a b cf x b c c a a b£+++++max 13()()=22f x f =-a b c ==。

湖北省部分重点中学2019-2020学年度上学期新高三起点考试理科数学参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.全集U=R，A={)1(log |2018-=x y x },B={84|2++=x x y y },则 A （）A.[1,2]B.[1,2)C.(1,2]D.(1,2)【解析】D 略2.y x ,互为共轭复数，且i xyi y x 643)(2-=-+，则=+||||y x A.2 B.22 C.1 D.4【解析】选B 设,x a bi y a bi =+=-，代入得()()2222346a a b i i -+=-，所以()()22224,36a a b =+=，解得1,1a b ==，所以22x y +=.3.是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地3月1日到12日指数值的统计数据，图中点A 表示3月1日的指数值为201．则下列叙述不正确．．．的是（）A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是4月9日C.这12天的指数值的中位数是90.5D.从3月4日到9日，空气质量越来越好【答案】C【详解】由3月1日到12日指数值的统计数据，指数值不大于100的共有6天，故A 正确；由3月1日到12日指数值的统计数据，4月9日的指数值为67，空气质量最好，故B 正确；由3月1日到12日指数值的统计数据，这12天的指数值的中位数是90，故C 错误；由3月1日到12日指数值的统计数据，从3月4日到9日，指数值逐渐变小，空气质量越来越好，故D 正确.故选C.4.下列说法中，正确的是（）A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题B.命题“存在2000,0x R x x ∈->”的否定是“对任意的2,0x R x x ∈-≤”C.命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D.已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件答案：B 5.已知2121,21ln -==e x x ，3x 满足33ln x e x -=，则（）A.123x x x << B.132x x x << C.213x x x << D.312x x x <<【答案】A 解：∵0x e ->；∴3ln 0x >；∴31x >；又1021ln ln10,012e e -<=<<=；∴123x x x <<．故选：A ．6．函数f(x)＝e x ＋1x （1－e x ）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为(A)【解】当x>0时，e x >1，则f(x)<0；当x<0时，e x <1，则f(x)<0，所以f(x)的图象恒在x 轴下方，选A.7.已知向量与的夹角为，=2，=5，则在方向上的投影为()A. B. C. D.【答案】B 【解】∵=2，=5，向量与的夹角为，∴，∴在方向上的投影为．8．函数f(x)＝2x －14的图象的一个对称中心的坐标是(A)【解析】f(x)＝2x －14＝32cos 2x ＋12sin 2x sin 2x －14＝32sin 2xcos 2x ＋12sin 22x －14＝34sin 4x ＋12·1－cos 4x 2－14＝12sin令4x －π6＝k π，求得x ＝k π4＋π24，＋π24k ∈Z ，当k ＝1时，故选A.9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是__________．A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】2222223412log log log ......log log 34522n S n n +=++++=++，当22log 22n =-+时，6n =，7n =时，2S <-，此时18n n =+=，故填：8.10.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【详解】由题意可得A （a ，0），A 为线段OB 的中点，可得B （2a ，0），令x ＝2a ，代入双曲线的方程可得y ＝±b ，可设P （2a ，b ），由题意结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点（﹣a ，0），即|AP |＝2a ，即有2a，可得a ＝b ，e ，故选：A ．10.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且，若，则tanB 的值为（）A.31- B.31 C.3- D.3【答案】-3【详解】∵，∴,即，又，由余弦定理可得,解得，,,解得,故答案为-3.11.如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点分别为线段、上的动点，已知当取最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B 【分析】在上取与点对应的点，显然当为的中点时，，计算棱锥的高，利用勾股定理计算出球的半径，进而可得出结果.【详解】在上取点，使得，则，当时，取得最小值，即的最小值为，因为此时，恰为的中点，所以，因此，，设外接球的半径为，则，解得，因此，外接球的表面积为.故选B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在的展开式中的系数为_____.【答案】-8414.已知实数x ，y 满足210102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则2z x y =-的取值范围是______．【答案】[0,5)【详解】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线:20l x y -=，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最小，联立21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得C 12,33⎛⎫⎪⎝⎭，同理B(2,-1)即z 的取值范围是[0,5).15.已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M，延长FA ，,与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:2FM MN =，则实数a 的值为______．【答案】433【详解】依题意得焦点F 的坐标为,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过M 作抛物线的准线的垂线且垂足为K ，连接MK ，由抛物线的定义知MF MK =，因为||:||1:2FM MN =，所以||:||3:1KN KM =，又01404FN k a a -==--，N ||3||F KN k KM =-=，所以43a -=，解得433a =.故答案为43316.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为______．【答案】【详解】由题意可知，函数的定义域，，即，∴函数为偶函数，若函数有4个零点，即函数在有2个零点，当x＞0时，,易知：函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，且时，，故只需：的最小值∴，解得∴的取值范围为.故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．(本题满分12分)已知数列是等比数列，为数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，且为递增数列，若，求证：.【答案】（1）或.（2）详见解析【解析】（1）设数列的公比为，当时，符合条件，，，当时，，所以，解得，.，综上：或.注：列方程组求解可不用讨论.（2）证明：若，则，与题意不符；，，，.18.(本题满分12分)在五边形AEBCD中，，C，，，（如图）.将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.（1）求证：平面ABE⊥平面DOE；（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）45°【详解】（1）由题意，O是线段AB的中点，则.又，则四边形OBCD为平行四边形，又，则，因，，则.，则AB⊥平面EOD.又平面ABE，故平面ABE⊥平面EOD.（2）由（1）易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，△EAB为等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC，则，取，则O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），则，，设平面ECD的法向量为，则有取，得平面ECD的一个法向量，因OD⊥平面ABE.则平面ABE的一个法向量为，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则，因为，所以，故平面ECD与平面ABE所成的镜二面角为45°.19．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x ＋y －2＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】(1)由椭圆的离心率e ＝22，得c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝12，得b ＝c.上顶点为(0，b)，右焦点为(b ，0)，以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为x －b 22y －b 22a 2＝b 22，∴|b －2|2＝22b ，即|b －2|＝b ，得b ＝c ＝1，a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1..........................5分(2)椭圆C 上不存在这样的点Q ，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P x 3，53Q(x 4，y 4)，MN 的中点为D(x 0，y 0)，y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，....7分故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3＜t ＜3.由PM →＝NQ →，得x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53..........................9分(也可由PM →＝NQ →知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －159.)又－3＜t ＜3，所以－73＜y 4＜－1，.........................11分与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．故椭圆C 上不存在这样的点Q.12分20.(本题满分12分)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅单位（一套住宅为一户）.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：（1）若规定第一阶梯电价每度元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度元，第三阶梯超出第二阶梯每度元，式计算居民用电户用电度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全是居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.【答案】（1）227元（2）（3）【解析】分析：（1）10户共有3户为第二阶梯电量用户，所以可取0,1,2,3，分别求其概率，即可列出分布列，计算期望；（2）由题意抽到的户数符合二项分布，设抽到K 户概率最大，解不等式组，再根据即可求出.试题解析：（1）元设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3居民用电编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410故的分布列是123所以可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知,解得，所以当时，概率最大，所以21.(本题满分12分)已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.（1）判断函数在区间内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）无极值点；（2）0.【详解】（1），令，则f'（x）＝e xg（x），恒成立，所以g（x）在（1，e）上单调递减，所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）内无解．所以函数f（x）在区间（1，e）内无极值点．（2）当a＝ln2时，f（x）＝e x（﹣x+lnx+ln2），定义域为（0，+∞），，令，由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又，h（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在，使得h（x 1）＝0，且当x∈（0，x 1）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，当x∈（x 1，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0．所以f（x）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，+∞）上单调递减，所以．由h（x 1）＝0得，即，所以，令，则恒成立，所以r（x）在上单调递增，所以，所以f（x）max ＜0，又因为，所以﹣1＜f（x）max ＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z ）恒成立，则k 的最小值为0．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做和，则按所做的第一题记分。

湖北省武汉市部分重点中学2020学年度新高三起点考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知n 为等差数列Λ,0,2,4--中的第8项，则二项式nxx )2(2+展开式中常数项是（ ）A ． 第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项 2．设),(~p n B ξ，3=ξE ，49=ξD ，则n 与p 的值为（ ）A ．41,12==p nB ．43,12==p n C ．41,24==p nD ．43,24==p n 3．下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是 （ ）4．下列函数在x ＝0处连续的是 （ ）A ．f （x ）＝⎩⎨⎧>-≤-.0,1,0,1x x x B ．f （x ） ＝lnxC ．f （x ）＝xx || D ．f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>-.0,1,0,0,0,1x x x5．已知函数ba b f a f x f x f x11,4)()()(2)(111+=+=---则满足的反函数的最小值为（ ）A ．1B ．31 C ．21 D ．41 6．ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a +=)sin sin ,3(A B c a -+=，若//，则角B 的大小为 （ ）A ．6π B ．65π C ．3π D ．32π 7．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，而被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于 （ ）A ．5B ．25 C ．3 D ． 28．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有 （ ） A ．36条 B ．30条 C ．21条 D ．18条9．记满足下列条件的函数f （x ）的集合为M:当|x 1|≤1,|x 2|≤1时, |f （x 1）－f （x 2）|≤4|x 1－x 2|．若有函数g （x ）＝x 2＋2x －1, 则g （x ）与M 的关系是（ ） A ．g （x ）⊂M B ．g （x ）∈M C ．g （x ）∉M D ．不能确定 10．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,),(z b a ∈值域是[0，1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有 （ ） A ．2个 B ．5个 C ．6个 D ．无数个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置上） 11．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是 。

湖北省部分省级示范性重点中学教科研协作体2020届高三统一联合考试数学(理科)试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.════════════★祝考试顺利★═══════════注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在．试题卷．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．.4．考试结束后，务必将试卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

）1.已知集合22{(,)|(-3-4cos )(-5-4sin )4,}A x y x y R q q q =+=Î，{(,)|34-190}B x y x y =+=.记集合P A B =Ç，则集合P 所表示的轨迹的长度为A.B.C.D.2.已知复数z 满足z z=4 且z+z z =0+，则2019z 的值为A.-1B.20192-C.1D.201923.在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若，且O 为ABC △的外心，G 为ABC △的重心，则OG 的最小值为1- B.5256-1 D.10526-4.在ABC △所在的平面上有三点,,P Q R 满足PA PB PC AB ++=，QA QB QC BC ++= ，RA RB RC CA ++=，则PQR ABCS S △△的值为A.12 B.13 C.14 D.15)4a B p=+5c =5.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全一样的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器(容器壁的厚度忽略不计),则该球形容器表面积的最小值为A.41p B.42p C.43p D.44p6.南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式121210()n n n n f x a x a x a x a x a --=+++++…的值的算法，即将()f x 改写成如下形式：1210()((()))n n n f x a x a x a a x a --=+++++……，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这种算法至今仍是比较先进的算法，将秦九韶算法用程序框图表示如图，则在空白的执行框内应填入A.i v vx a =+B.()i v v x a =+C.i v a x v =+D.()i v a x v =+7.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是A. B.C.D.2()()1x x x e e f x x --=-8.中华人民共和国的国旗是五星红旗，旗面左上方缀着五颗黄色五角星，四颗小星环拱在一颗大星之后，并各有一个角尖正对大星的中心点，象征着中国共产党领导下的革命人民大团结和中国人民对党的衷心拥护.五角星可以通过正五边形连接对角线得到，如图所示，在正五边形ABCDE 内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率为A.14-B.21)4-C.31)4-D.41)4-9.已知函数2()(1)x f x e x =+，令'1()() f x f x =，'1()()n n f x f x +=，若记数列2{}2nn na cb -的前n 项和为n S ，则下列选项中与2019S 的值最接近的是A.32B.53C.74D.9510.已知函数，有下述四个结论：①是偶函数；②在上单调递减；③当时，有；④当时，有；其中所有真命题的编号是A.①③B.②④C.①③④D.①④11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点O 为坐标原点，点P 在双曲线的右支上，且满足122F F OP =.若直线与双曲线只有一个交点，则双曲线的离心率为12.已知函数，，记若至少有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.2()()x n n n n f x e a x b x c =++，()(cos 1)cos 2cos (cos 1)f x x x q q =+++()f x ()42p p ，7()5f x <23[]34p pq Î，C 2PF {}()min ()()h x f x g x =，，32()(32)8127f x ax a x x a =---++()ln g x x =a ()h x 1()10-¥-，1()8+¥，11[)108-，11[108-，()f x 23[]34p p q Î，'14()5f x <C第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）13.已知,x y 均为正数，则2226x yx y +++的最大值是__________.14.在中美组织的暑假中学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙和尚、唐三藏、白龙马的彩色陶俑各一个送给来中国参观的美国中学生汤姆、杰克、索菲娅，每个人至少一个，且猪八戒的彩色陶俑不能送给索菲娅，则不同的送法种数为__________.15.已知椭圆的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上不与左右顶点重合的动点，设，分别为的内心和重心.当直线的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，椭圆的离心率为__________.16.已知函数，当[0,1] x Î时，仅在1x =处取得最大值，则实数的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请．在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的中11a =，22a =，且满足(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设，记数列{}n b 的前项和为，若求的最小值.18.（本小题满分12分）如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DF ABCD ^平面且DF =(1)求证：EF ABCD 平面；(2)若ABC BCE Ð=Ð，求二面角A BF E --的余弦值.22221(0)x y C a b a b+=>>：G 32()2(31)1f x ax a x =+-+I 12PF F △IG C ()f x C a 1n i ==å112020n T +<，211(1)n n n n n a b a a ++-=n n T n19.（本小题满分12分）已知点是平面内的动点，定点，定直线与轴交于点，过点作于点，且满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和点.设线段和线段的中点分别为和，记线段的中点为，点为坐标原点，求直线的斜率的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数122()(ln 2)1x e f x a x x x-=++--在定义域(0,2)内有两个极值点.(1)求实数a 的取值范围；(2)设1x 和2x 是()f x 的两个极值点，求证：.21.（本小题满分12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有份血液样本,有以下两种检验方式：方式一：逐份检验,则需要检验次.方式二：混合检验,将其中份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这份的血液全为阴性,因而这份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这份血液究竟哪几份为阳性,就要对这份再逐份检验,此时这份血液的检验次数总共为假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为.现取其中份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为.(1)若,试求关于的函数关系式；(2)若与干扰素计量相关，其中是不同的正实数，满足且都有.(i )求证：数列{}n x 为等比数列；(ii)当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的的最大值.1l x =-：E (1,0)F EP EF FP FQ ×=×x (,)P x y Q PQ l ^P t OK AB ,C D ,A B K M k MN N CD O 2l 1l F 12ln ln ln 0x x a ++>P t ()*2k k N k Î且 n 1.k +k ()p f k =2x 1x ()01p p <<p 12 ()2n x x x n ，，…，≥k 12()()E E x x =n x 131121212222 1n n i i n i x x x e x x x x +--⋅=-=-∑()*2n N n ∀∈≥11x =1p =-k k k k k ()*2k k N k Î且 p ()*n n N Î（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为22211( )1t x t t t y t ì+ï=ï-íï=ï-î为参数.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于,A B 两点，交x 轴于点P ，求11PA PB +的值.23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数()121f x x x =--+.(1)求不等式()4f x £的解集；(2)若,,a b c 均为正数，求证：()a b c f x b c c a a b£+++++.5cos()34p r q +=湖北省部分省级示范性重点中学教科研协作体2020届高三统一联合考试数学(理科)试题参考答案一、选择题题号123456789101112答案ADDBAACCBCCC二、填空题13.1414.15.16.三、解答题【17.解析】(1)由题意可知，则也可得知，两式作差整理得到，即，而满足上式，故数列{}na 的通项公式为.(2)由上可知，则结合裂项相消法可知，从而有，解得，故n 的最小值为2020.1001132或1()5+¥，)1*1ni n N n =³Î且()1* 2n i n n N -=³Î且121(1)() n a a n a a =+--n a n =11a =()*n Na n n =Î1211(1)(1)(21)11(1)(1)(1)()(1)11n n n n n n n n n a n b a a n n n n n n +++--+--===-+=-+++()1*(1)1 1n n n T N n +-=-Î-+11112020n T n +=<+2019n >³()*2n n N 且Î()*2n n N 且³Î(1)如图，过点E 作EH ⊥BC 于H ，连接HD ，可知EH.∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ，平面ABD ∩平面BCE =BC ，∴EH ⊥平面ABCD ，∵FD⊥平面ABCD ，FD =∴FD ∥EH ，FD =EH∴四边形EHDF 为平行四边形。

湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：“，”，故选C.2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】：焦点在x轴时，焦点在y3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为5，则输出v的值为A． B．C． D．【答案】B【解析】：依次运行程序框图中的程序，可得①满足条件，；②满足条件，；③满足条件，；……⑨满足条件，；⑩满足条件，．而不满足条件，停止运行，输出．故选B．4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则因为所以故选B.5．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加侧视方向ACA 1B 1C1CBAC ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l 0月份，故A ，B ，C 错.本题选择D 选项.6．已知棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C -的直观图如图，若正三棱柱111ABC A B C -绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为【答案】B 【解析】无7．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M在C 上，直线MF 与l 交于点N ．若3MFO π∠=，则MF MN =A ．14B ．13C ．21D ．23【答案】C【解析】作MQ 垂直l 于Q ，则RT △MQN 中，2MQN π∠=，6MNQ π∠=，所以12MF MQ MNMN==．选C ． 8．函数的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C ；因此选B.9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移125π后关于原点成中心对称 【试题简析】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=． 不妨令0A >，0<<ϕπ．因为周期T π=，所以2ω=，又()06f π-=，所以3πϕ=，因此()sin(2)3f x A x π=+．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称．故选B ．10．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．e BC ．1eD ．1【答案】A【解析】2112x x x x <，即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <， 故()ln xf x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00e x f x x x>⇒'-=<<， 故m 的最大值为e ，故选A ．11．已知,A B 为椭圆上的两个动点，,且满足MA MB ⊥,则MA BA ⋅的取值范围为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C12.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，2,AB E F =，分别是,AD BC中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）.A.1 D. 2 【答案】A【解析】补成正方体，如图.,EF ⊥∴αQ 截面为平行四边形MNKL ,可得2NK KL +=可得L MNK S NK KL =⋅四边形2()1,2NK KL +≤=当且仅当NK KL =时取等号，选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．13．20191i1i--=_________．【答案】i．【解析】解法一：321i1i(1i)2ii1i1i(1i)(1i)2-++====---+．解法二：3221i(1i)(1i i)1i i i1i1i--++==++=--．14．过坐标原点作曲线的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为【答案】.【解析】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.15．将正奇数按如图所示的规律排列：13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31………………则2019在第行，从左向右第个数【答案】32 4916．已知直线x t=与曲线()()()=+=分别交于,M N两点，则MN的最小值f x xg x eln1,x为【答案】三、解答题：共70分。

湖北省重点中学2020届高三年级新起点联考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：“，”，故选C.2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】：焦点在x轴时，焦点在y轴3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为5，则输出v的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】：依次运行程序框图中的程序，可得①满足条件，；②满足条件，；③满足条件，；……⑨满足条件，；⑩满足条件，．而不满足条件，停止运行，输出．故选B．4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则因为所以故选B.5．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月CA 1B 1C 1DCBAD ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l 0月份，故A ，B ，C 错.本题选择D 选项. 6．已知棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C -的直观图如图，若正三棱柱111ABC A B C -绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为【答案】B 【解析】无7．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M 在C上，直线MF 与l 交于点N ．若3MFO π∠=，则MF MN = A ．14 B ．13 C ．21 D ．23【答案】C【解析】作MQ 垂直l 于Q ，则RT △MQN 中，2MQN π∠=，6MNQ π∠=，所以12MF MQ MNMN==．选C ．8．函数的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C ；因此选B.9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增D ．函数()f x 的图象向右平移125π后关于原点成中心对称 【试题简析】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=． 不妨令0A >，0<<ϕπ．因为周期T π=，所以2ω=，又()06f π-=，所以3πϕ=，因此()sin(2)3f x A x π=+．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称．故选B ． 10．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．e BC ．1eD ．1【答案】A【解析】2112x x x x <，即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <， 故()ln xf x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00e x f x x x>⇒'-=<<， 故m 的最大值为e ，故选A ．11．已知,A B 为椭圆上的两个动点，,且满足MA MB ⊥,则MA BA ⋅的取值范围为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C12.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，2,AB E F =，分别是,AD BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）. A.1C.D. 2【答案】A【解析】补成正方体，如图.,EF ⊥∴αQ 截面为平行四边形MNKL ,可得2NK KL +=可得L MNK S NK KL =⋅四边形2()1,2NK KL +≤=当且仅当NK KL =时取等号，选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．13．20191i 1i--=_________．【答案】i ． 【解析】解法一：321i 1i (1i)2ii 1i 1i (1i)(1i)2-++====---+． 解法二：3221i (1i)(1i i )1i i i 1i 1i--++==++=--．14．过坐标原点作曲线 的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为【答案】.【解析】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.15．将正奇数按如图所示的规律排列：13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31………………则2019在第行，从左向右第个数【答案】32 4916．已知直线x t=与曲线()()()ln1,x=+=分别交于,M N两点，则MN的最小值为f x xg x e【答案】三、解答题：共70分。