2015衡水中学四调数学文试题 Word版含答案

河北省衡水市2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M={x|x 2+3x+2＜0}，集合N={x|（）x≤4}，则M∪N=( )A．{ x|x≥﹣2} B．{ x|x＞﹣1} C．{ x|x＜﹣1} D．{ x|x≤﹣2}2．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a3．抛物线y=4x2关于直线x﹣y=0对称的抛物线的准线方程是( )A．y=﹣B．y=C．x=D．x=﹣4．如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是( )A．20+8B．24+8C．8 D．165．若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数，②对任意实数x，都有f（+x）=f（﹣x），则f（x）的解析式可以是( )A．f（x）=cosx B．f（x）=cos（2x+）C．f（x）=sin（4x+）D．f（x）=cos6x6．已知命题p：∃x0∈R，e x﹣mx=0，q：∀x∈R，x2+mx+1≥0，若p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围是( )A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．[0，2] C．R D．∅7．若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是( )A．10 B．11 C．13 D．148．已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为( )A．a n=B．a n=C．a n=n+2 D．a n=（n+2）3n9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=( )A．B．C．D．10．函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内 ( )A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点11．与向量的夹角相等，且模为1的向量是( ) A．B．C．D．12．在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是( )A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在各小题的横线上．）13．已知f（x）=x+1og2则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）的值为__________．14．已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为__________．15．若在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，则a的取值范围是__________．16．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA （x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．18．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n 为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N *．数列{bn}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式和T n；（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1．（Ⅰ）若M、N分别是AB，A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA=∠B1BC=60°，P为线段B1B上的动点，当PA++PC最小时，求证：B1B⊥平面APC．20．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ） Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．21．已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（θ+）．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．河北省衡水市2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M={x|x 2+3x+2＜0}，集合N={x|（）x≤4}，则M∪N=( ) A．{ x|x≥﹣2} B．{ x|x＞﹣1} C．{ x|x＜﹣1} D．{ x|x≤﹣2}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合N={x|（）x≤4}={x|x≥﹣2}，则M∪N={x|x≥﹣2}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较．分析：根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．解答：解：因为a=lnx在（0，+∞）上单调递增，故当x∈（e﹣1，1）时，a∈（﹣1，0），于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，从而b＜a．又a﹣c=lnx﹣ln3x=a（1+a）（1﹣a）＜0，从而a＜c．综上所述，b＜a＜c．故选C点评：对数值的大小，一般要用对数的性质，比较法，以及0或1的应用，本题是基础题．3．抛物线y=4x2关于直线x﹣y=0对称的抛物线的准线方程是( )A．y=﹣B．y=C．x=D．x=﹣考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出抛物线y=4x2的准线l，然后根据对称性的求解l关于直线y=x对称的直线，即为抛物线y=4x2关于直线x﹣y=0对称的抛物线的准线方程．解答：解：∵y=4x2的标准方程为：x2=，∴其准线方程为y=﹣，y=﹣关于y=x对称方程为x=﹣．所以所求的抛物线的准线方程为：x=﹣．故选：D点评：本题主要考查了抛物线的准线，曲线关于直线对称的求解，属于对基础知识的考查．4．如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是( )A．20+8B．24+8C．8 D．16考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可．解答：解：此几何体是一个三棱柱，且其高为=4，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为（2+2+2）×4=16+8，表面积为：2×2+16+8=20+8．故选A．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．5．若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数，②对任意实数x，都有f（+x）=f（﹣x），则f（x）的解析式可以是( )A．f（x）=cosx B．f（x）=cos（2x+）C．f（x）=sin（4x+）D．f （x）=cos6x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论．解答：解：由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=对称．∵f（x）=cosx是偶函数，当x=时，函数f（x）=，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除A．∵函数f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B．∵函数f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函数，当x=时，函数f（x）=﹣1，是最小值，故满足图象关于直线x=对称，故C满足条件．∵函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=时，函数f（x）=0，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除D，故选：C．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性的判断，三角函数的图象的对称性，属于中档题．6．已知命题p：∃x0∈R，e x﹣mx=0，q：∀x∈R，x2+mx+1≥0，若p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围是( )A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．[0，2] C．R D．∅考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用．分析：根据复合函数的真假关系，确定命题p，q的真假，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论．解答：解：若p∨（¬q）为假命题，则p，¬q都为假命题，即p是假命题，q是真命题，由e x﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f′（x）==，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减，当x＜0时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减，∴当x=1时，f（x）=取得极小值f（1）=e，∴函数f（x）=的值域为（﹣∞，0）∪[e，+∞），∴若p是假命题，则0≤m＜e；若q是真命题，则由x2+mx+1≥0，则△=m2﹣4≤0，解得﹣2≤m≤2，综上，解得0≤m≤2．故选：B．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，利用函数的性质求出相应的取值范围是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．7．若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是( ) A．10 B．11 C．13 D．14考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，z=|x|+2y化为y=﹣x+z，表示的是斜率为﹣，截距为的平行直线系，当过点（1，5）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，z max=1+2×5=11；当x＜0时，z=|x|+2y化为，表示斜率为，截距为，的平行直线系，当直线过点（﹣4，5）时直线在y轴上的截距最大，z最大，z max=4+2×5=14．∴z=|x|+2y的最大值是14．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为( )A．a n=B．a n=C．a n=n+2 D．a n=（n+2）3n考点：数列递推式．分析：由题意及足a1=1，且，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．解答：解：因为，且n∈N*）⇔，即，则数列{b n}为首项，公差为1的等差数列，所以b n=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故答案为：B点评：此题考查了构造新的等差数列，等差数列的通项公式．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．解答：解：设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，可得m=2a∴|PF1|=4a，|PF2|=2a∵双曲线∴|F1F2|=2a，∴cos∠F1PF2==．故选B．点评：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．10．函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内 ( )A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据余弦函数的最大值为1，可知函数在[π，+∞）上为正值，在此区间上函数没有零点，问题转化为讨论函数在区间[0，π）上的零点的求解，利用导数讨论单调性即可．解答：解：f′（x）=+sinx①当x∈[0．π）时，＞0且sinx＞0，故f′（x）＞0∴函数在[0，π）上为单调增取x=＜0，而＞0可得函数在区间（0，π）有唯一零点②当x≥π时，＞1且cosx≤1故函数在区间[π，+∞）上恒为正值，没有零点综上所述，函数在区间[0，+∞）上有唯一零点点评：在[0，+∞）内看函数的单调性不太容易，因此将所给区间分为两段来解决是本题的关键所在．11．与向量的夹角相等，且模为1的向量是( ) A． B．C．D．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．分析：要求的向量与一对模相等的向量夹角相等，所以根据夹角相等列出等式，而已知的向量模是相等的，所以只要向量的数量积相等即可．再根据模长为1，列出方程，解出坐标．解答：解：设与向量的夹角相等，且模为1的向量为（x，y），则解得或，故选B．点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的坐标，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到解方程的问题，解关于x和y的一元二次方程．12．在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是( )A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；转化思想；直线与圆．分析：化圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，是中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在各小题的横线上．）13．已知f（x）=x+1og2则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）的值为36．考点：对数的运算性质；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得f（x）=x+1og2，f（9﹣x）=9﹣x﹣1og2，从而可得f（x）+f （9﹣x）=9；从而解得．解答：解：∵f（x）=x+1og2，∴f（9﹣x）=9﹣x﹣1og2，故f（x）+f（9﹣x）=9；故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=f（1）+f（8）+…+f（4）+f（5）=4×9=36；故答案为：36．点评：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．14．已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为3π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角，故此正三棱锥的外接球即此正方体的外接球，由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径，表面积易求．解答：解：由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为，边长为1．正方体的体对角线是．故外接球的直径是，半径是．故其表面积是4×π×（）2=3π．故答案为：3π．点评：本题考查球内接多面体，解题的关键是找到球的直径与其内接多面体的量之间的关系，由此关系求出球的半径进而得到其表面积．15．若在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，1）．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：2x（3x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣3x）max，利用函数的单调性可求最值．解答：解：2x（3x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣3x）max，而2﹣x﹣3x在[0，1]上单调递减，∴2﹣x﹣3x的最大值为20﹣0=1，∴a＜1，故a的取值范围是（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．点评：该题考查函数恒成立问题，考查转化思想，注意“存在”与“恒成立”问题的区别与联系是解题关键．16．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2的取值范围为（，+∞）．考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．解答：解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1•e2=•==，由于1＜＜4，则有＞．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：解三角形．分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣A），由于函数在处取得最大值．令，其中k∈z，解得A的值，（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由△ABC的面积等于，算出即可．解答：解：∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在处取得最大值．∴，其中k∈z，即，其中k∈z，（1）∵A∈（0，π），∴A=∵，∴2x﹣A∴，即函数f（x）的值域为：（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，即，∴b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即49=169﹣3bc，∴bc=40故△ABC的面积为：S=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．18．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n 为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N *．数列{bn}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式和T n；（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．考点：数列的求和；等差数列的前n项和；等比关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）（法一）在a n2=S2n﹣1，令n=1，n=2，结合等差数列的通项公式可求a1=1，d=2，可求通项，而b n=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和（法二）：由等差数列的性质可知，=（2n﹣1）a n，结合已知a n2=S2n﹣1，可求a n，而b n=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和（Ⅱ）由（I）可求T1=，T m=，T n=，代入已知可得法一：由可得，＞0可求m的范围，结合m∈N且m＞1可求m，n法二：由可得，结合m∈N且m＞1可求m，n解答：解：（Ⅰ）（法一）在a n2=S2n﹣1，令n=1，n=2可得即∴a1=1，d=2∴a n=2n﹣1∵b n===（）∴）=（1﹣）=（法二）∵{a n}是等差数列，∴∴=（2n﹣1）a n由a n2=S2n﹣1，得a n2=（2n﹣1）a n，又a n≠0，∴a n=2n﹣1∵b n===（）∴）=（1﹣）=（Ⅱ）∵T1=，T m=，T n=若T1，T m，T n，成等比数列，则即法一：由可得，＞0即﹣2m2+4m+1＞0∴∵m∈N且m＞1∴m=2，此时n=12∴当且仅当m=2，n=12时，T1，T m，T n，成等比数法二：∵∴∴2m2﹣4m﹣1＜0∴∵m∈N且m＞1∴m=2，此时n=12∴当且仅当m=2，n=12时，T1，T m，T n，成等比数点评：本题主要考查了等差数列的性质、等差数列的通项公式及求和公式的综合应用，裂项求和方法的应用，本题具有一定的综合性．19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1．（Ⅰ）若M、N分别是AB，A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA=∠B1BC=60°，P为线段B1B上的动点，当PA++PC最小时，求证：B1B⊥平面APC．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接AC1、BC1，先证明MN∥BC1，又BC1⊂平面BCC1B1，即可证明MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）将平面A1B1BA展开到与平面C1B1BC共面，A到A′的位置，此时A′BCB1为棱形，证明BB1⊥PA，BB1⊥PC，即可证明BB1⊥平面PAC．解答：解：（Ⅰ）证明：连接AC1、BC1，则AN=NC1，因为AM=MB，所以MN∥BC1又BC1⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1（Ⅱ）将平面A1B1BA展开到与平面C1B1BC共面，A到A′的位置，此时A′BCB1为棱形，可知PA+PC=PA′+PC，A′C即为PA+PC的最小值，此时，BB1⊥A′C，所以BB1⊥PA′，BB1⊥PC，即BB1⊥PA，BB1⊥PC，所以BB1⊥平面PAC点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，恰当的做出辅助线是解题的关键，属于中档题．20．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ） Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C 的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C 的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．考点：数学归纳法；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；分类讨论．分析：（1）通过函数的导数，利用导数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出b，c即可．（2）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；（3）由（1）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论．解法二：利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．解答：解：（1）∵，∴∴f（1）=a+a﹣1+c=2a﹣1+c．又∵点（1，f（1））在切线y=x﹣1上，∴2a﹣1+c=0⇒c=1﹣2a，∴．（2）∵，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min≥0，又∵，而当时，．1°当即时，g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴；2°当即时，g'（x）=0时；且时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0；则①，又∵与①矛盾，不符题意，故舍．∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．（3）证明：由（2）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，令x依次取…时，则有，，…，由同向不等式可加性可得，即，也即，也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．解法二：①当n=1时左边=1，右边=ln2+＜1，不等式成立；②假设n=k时，不等式成立，就是1+++…+＞ln（k+1）+（k≥1）．那么1+++…++＞ln（k+1）++=ln（k+1）+．由（2）知：当时，有f（x）≥lnx （x≥1）令有f（x）=（x≥1）令x=得∴∴1+++…++＞这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．根据（1）和（2），可知不等式对任何n∈N*都成立．点评：本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想．请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：立体几何．分析：（Ⅰ）连结OD，由圆的性质得OD∥AE，由AE⊥DE，得DE⊥OD，由此能证明DE是⊙O 切线．（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H，则有cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，AH=7x，由已知得△AED≌AHD，△AEF∽△DOF，由此能求出．解答：（Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD为半径，∴D E是⊙O切线．（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，DH⊥AB，交AB于H，∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，∴====．点评：本题考查圆的切线的证明，考查圆内两线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形全等和三角形相似的性质的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（θ+）．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由圆C的极坐标方程ρ=2cos（θ+），展开化为ρ2=，把代入配方即可得出；（2）利用勾股定理可得直线l上的点向圆C引切线长=，化简整理利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：（1）由圆C的极坐标方程ρ=2cos（θ+），化为，展开为ρ2=，化为x2+y2=．平方为=1，∴圆心为．（2）由直线l上的点向圆C引切线长==，∴由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为2．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程、勾股定理、圆的切线的性质、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

2014-2015学年度上学期高二年级四调考试理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设()f x 为可导函数，且(3)(3)lim 52h f f h h→∞-+=，则()3f '等于（ ） A ．5 B ．10 C ．-5 D ．-102、函数4282y x x =-+在[]1,3-上的最大值为（ ）A ．11B ．2C ．12D ．103、函数()333f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（ ） A ．01b << B ．1b < C ．0b > D ．12b < 4、如图所示，已知PA ⊥平面ABC ，120,6ABC PA AB BC ∠====，则PC 等于（ ） A ．6 B ．4 C ．12 D ．1445、已知(1,0,2),(6,21,2)a b u λλ=+=-，若//a b ，则λ与u 的值可以是（ ）A ．12,2B ．11,32- C ．3,2- D ．2,2 6、长方体1111ABCD A BC D -中，12,1,AB AA AD E ===为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A 7、正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a 在M 上且11,2AM MC N =为1B B 的中点，则MN 为（ ）A ．6aBCD a 8、在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是1B B 的中点，则平面1A ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为（ ）A ．12B ．23C ．3D ．29、抛物线2y ax =的准线方程是1y =，则a 的值是（ ）A ．14B ．14- C ．4 D ．4-10、如图，正方形ABCD 的顶点A B ，顶点,C D 位于第一象限，直线:(0l x t t =≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为()f t ，则函数()S f t =的图象大致是（ ）11、椭圆2221(1)x y a a+=>上存在点P ，使得它对两个焦点12,F F ，张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．(0,2B ．[2C ．1(0,]2D ．1[,1)2 12、函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，()(1)0x f x '-<，设()()10,(),32a fb fc f ===，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a << 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试数学（理）试题【试卷综述】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）【题文】1．已知向量=【知识点】平面向量的数量积；向量模的运算. F3 【答案】【解析】C 解析：∵222()2()50a b a a b b +=+⋅+=，又(2,1),10a a b =⋅=，∴()250520255b b =--=⇒=，故选C.【思路点拨】把向量的模转化为数量积运算. 【题文】2．已知的共轭复数，复数A ．B ．c ．1 D ．2【知识点】复数的基本概念与运算.L4【答案】【解析】A 解析：∵114i z i====，∴144z i =--，∴221144z z ⎛⎛⎫⋅=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【思路点拨】化简复数z ，根据共轭复数的定义得z ，进而求得结论.【题文】3．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有 A ．80种 B ．90种 C ．120种D ．150种【知识点】排列与组合. J2【答案】【解析】 D 解析：有二类情况：（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有335360C A =种，（2）其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有213453902C C A =种，∴共有150种.故选D. 【思路点拨】先根据分到各学校的教师人数分类，再根据去各学校教师人数将教师分成三组，然后将这三组教师全排列即可. 【题文】4．曲线处的切线方程为 A ．B ．C ．D ．【知识点】导数的几何意义. B11【答案】【解析】A 解析：∵22222(2)(2)x x x y y x x x +-'=⇒==+++，∴曲线在点（-1，-1）处切线的斜率为2，∴所求切线方程为21y x =+，故选A.【思路点拨】根据导数的几何意义，得曲线在点（-1，-1）处切线的斜率，然后由点斜式得所求切线方程. 【题文】5．等比数列A ．62B ． 92 C ．152 D ．122【知识点】等比数列；积得导数公式. D3 B11 【答案】【解析】D 解析：因为182,4a a ==，又()()()()()()128128()f x x a x a x a x x a x a x a ''=---+---⎡⎤⎣⎦所以()441212818(0)82f a a a a a '====，故选D.【思路点拨】根据积得导数公式求解. 【题文】6．经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A,B ，若AB=4，则这样的直线有几条A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【知识点】直线与双曲线. H6 H8【答案】【解析】B 解析：因为AB=4而双曲线的实轴长是4，所以直线AB 为x 轴时成立，即端点在双曲线两支上的线段AB 只有一条，另外端点在双曲线右支上的线段AB 还有两条，所以满足条件得直线有三条.【思路点拨】设出过焦点的直线方程，代入双曲线方程，由弦长公式求得满足条件得直线条数.【题文】7．设函数，则A ．在单调递增B ．在单调递减 C ．在单调递增 D ．在单调递增【知识点】两角和与差的三角函数；函数的周期性；奇偶性；单调性. C5 C4【答案】【解析】D解析：())4f x x πωϕ=+-，因为T π=，所以2ω=，又因为()(),2f x f x πϕ-=<，所以4πϕ=，所以()f x x =，经检验在单调递增，故选 D.【思路点拨】根据已知条件求得函数()f x x ，然后逐项检验各选项的正误. 【题文】8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据下表可得回归方程中的b =10．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为A ． 112．1万元B ．113．1万元C ．111．9万元D ．113．9万元 【知识点】变量的相关性；回归直线方程的性质与应用. I4【答案】【解析】C 解析：把样本中心点（7,432）代入回归方程得 5.9a =，所以广告费用为10万元时销售额为10.610 5.9111.9⨯+=（万元），故选C.【思路点拨】根据回归方程过样本中心点得a 值，从而求得广告费用为10万元时销售额.【题文】9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是【知识点】椭圆的性质. H5【答案】【解析】C 解析：∵12233,2PF F F c==∴223PF a c=-，由三角形中，两边之和大于第三边得232311 223342c c a c cc a c c a+≥-⎧⇒≤≤⎨+-≥⎩，故选C.【思路点拨】利用椭圆定义，三角形的三边关系，椭圆离心率计算公式求得结论. 【题文】10．已知直三棱柱，的各顶点都在球O的球面上，且，若球O 的体积为，则这个直三棱柱的体积等于【知识点】几何体的结构；球的体积公式；柱体的体积公式. G1【答案】【解析】B 解析：由球的体积公式得球的半径R= AB=AC=1，ABC是顶角是120°的等腰三角形，其外接圆半径r=1，所以球心到三棱柱底面的距离为2，所以此三棱柱的体积为111sin12042⨯⨯⨯⨯=B.【思路点拨】本题重点是求三棱锥的高，而此高是球心到三棱柱底面距离h的二倍，根据此组合体的结构，球半径R，△ABC的外接圆半径r及h构成直角三角形，由此求得结果. 【题文】11．在棱长为1的正方体中，着点P是棱上一点，则满足的点P的个数为A ．4B ．6C ．8D ．12【知识点】几何体中的距离求法. G11【答案】【解析】 B 解析：若点P 在棱AD 上，设AP=x ，则()222212CP PD DC x =+=-+，所以2x =，解得12x =，同理点P 可以是棱,,,,AB AA C C C B C D ''''''的中点，显然点P 不能在另外六条棱上，故选B.【思路点拨】构建方程，通过方程的解求得点P 的个数. 【题文】12．定义在实数集R 上的函数的图像是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t 使得恒成立，则称是一个“关于￡函数”．有下列“关于t 函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“关于t 函数”；②“关于12函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“关于t 函数”.其中正确结论的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．0【知识点】函数中的新概念问题；函数的性质及应用. B1【答案】【解析】A 解析：①不正确，()0f x c =≠，取t= -1则f(x-1)-f(x)=c-c=0,即()0f x c =≠是一个“关于-1函数”； ②正确，若f(x)是“关于12函数”，则11()()022f x f x ++=，取x=0，则1()(0)02f f +=，若1(),(0)2f f 任意一个为0，则函数f(x)有零点，若1(),(0)2f f 均不为0，则1(),(0)2f f 异号，由零点存在性定理知在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在零点；③不正确，若2()f x x =是一个“关于t 函数”，则22()x t tx +=-()22120t x tx t ⇒+++=恒成立，则210200t t t ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩所以t 不存在. 故选A.【思路点拨】举例说明①不正确；由函数零点存在性定理及新定义说明②正确；把2()f x x =代入新定义得t 不存在，所以③不正确.【典例剖析】本小题是新概念问题，解决这类题的关键是准确理解新概念的定义，并正确利用新概念分析问题.【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5 D．252．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则•z（）A．B．C．1 D．23．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种B．90种C．120种D．150种4．（5分）曲线y=1﹣在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣25．（5分）等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）A．26 B．29 C．215 D．40966．（5分）经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A，B，若AB=4，则这样的直线有几条（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增8．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 58A．112.1万元B．113.1万元C．111.9万元D．113.9万元9．（5分）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A．B．C．2 D．11．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（）A．4 B．6 C．8 D．1212．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为．14．（5分）抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为．15．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．16．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的．（填入所有可能的图形前的编号）①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④四边形⑤扇形⑥圆．三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n 项和．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m 的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5 D．25考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．解答：解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．点评：本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．2．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则•z（）A．B．C．1 D．2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简z，求出，则答案可求．解答：解：∵z==，∴，则•z=﹣i•i=﹣i2=1．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种B．90种C．120种D．150种考点：排列、组合的实际应用．专题：应用题；排列组合．分析：分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有25种，再分配，共有A33种果，根据分步计数原理知结果．解答：解：依题意分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有=25，再分配，乘以A33，即得总数150，故选：D．点评：本题考查分步计数原理，首先分组，再进行排列，属于基础题．4．（5分）曲线y=1﹣在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．解答：解：函数的导数为f′（x）=，则在点（﹣1，﹣1）处切线斜率k=f′（﹣1）=2，则对应的切线方程为y+1=2（x+1），即y=2x+1，故选：A．点评：本题主要考查函数切线的求解，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．5．（5分）等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）A．26 B．29 C．215 D．4096考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：通过f'（0）推出表达式，利用等比数列的性质求出表达式的值即可解答：解：因为函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），f′（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）′，则f'（0）=a1•a2…a8=（a1a8）4=84=4096．故选D．点评：本题考查等比数列的性质，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．6．（5分）经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A，B，若AB=4，则这样的直线有几条（）A．1条B．2条C．3条D．4条考点：双曲线的简单性质；直线的一般式方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，求得a、b的值，根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB 只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，可得符合条件的直线的数目，综合可得答案．解答：解：由题意，a=2，b=1．若AB只与双曲线右支相交时，AB的最小距离是通径，长度为=1，∵AB=4＞1，∴此时有两条直线符合条件；若AB与双曲线的两支都相交时，此时AB的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=4，距离无最大值，∵AB=4，∴此时有1条直线符合条件；综合可得，有3条直线符合条件；故选C．点评：本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解，可避免由弦长公式进行计算．7．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．解答：解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为π=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．点评：本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．8．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 58A．112.1万元B．113.1万元C．111.9万元D．113.9万元考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为10代入，预报出结果．解答：解：∵==3.5，==43，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，=x+a中的b=10.6，∴43=10.6×3.5+a，∴a=5.9，∴线性回归方程是y=10.6x+5.9，∴广告费用为10万元时销售额为10.6×10+5.9=111.9万元，故选：C．点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，本题解答关键是利用线性回归直线必定经过样本中心点．9．（5分）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C的离心率e的计算公式即可得出解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A．B．C．2 D．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A1B1C1的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的体积算出OA=，然后在Rt△O1OA中，用勾股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面积S△ABC=，可得此直三棱柱的体积．解答：解：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2，可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C△ABC中，cosA==﹣∵A∈（0，π），∴A=根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O1A==1∵球O的体积为V==，∴OA=R=Rt△O1OA中，O1O==2，可得O1O2=2O1O=4∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积S△ABC=AB•ACsin=∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为S△ABC×O1O2=故选：B点评：本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题．11．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（）A．4 B．6 C．8 D．12考点：椭圆的定义．专题：计算题．分析：由题意可得点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭球与正方体与棱的交点，可求解答：解：∵正方体的棱长为1∴∵|PA|+|PC′|=2∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭球上，∵P在正方体的棱上∴P应是椭圆与正方体的棱的交点结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B′C′，C′D′，CC′，AA′，AB，AD上各有一点满足条件故选B点评：本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题12．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0考点：函数恒成立问题．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：举例说明①不正确；由函数零点存在性定理结合新定义说明②正确；把f（x）=x2代入定义求得λ的矛盾的值说明③错误．解答：解：由题意得，①不正确，如f（x）=c≠0，取t=﹣1，则f（x﹣1）﹣f（x）=c﹣c=0，即f（x）=c≠0是一个“t函数”；②正确，若f（x）是“是关于函数”，则f+f（x）=0，取x=0，则f+f （0）=0，若f（0）、f 任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f 均不为0，则f（0）、f 异号，由零点存在性定理知，在区间内存在零点；若f（x）=x2是一个“关于t函数”，则（x+λ）2+λx2=0，求得λ=0且λ=﹣1，矛盾．③不正确，∴正确结论的个数是1．故选：A．点评：本题是新定义题，考查了函数的性质，关键是对题意的理解，是中档题．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为12．考点：两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．解答：解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，∴AB=2m≤12．∴AB的最大值为12．故答案为：12．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．14．（5分）抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：当P，Q，F共线时，P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差取最大值，由此能求出结果．解答：解：如图，由抛物线的定义知：抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离|PM|=|PF|，∴当P，Q，F共线时，P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差取最大值，∵F（1，0），Q（2，2），∴[|PM|﹣|PQ|]max=[|PF|﹣|PQ|]max=|QF|==，故答案为：．点评：本题考查两线段之差的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．15．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a 的值来，然后再由规律求出常数项解答：解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为40点评：本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要．16．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的②．（填入所有可能的图形前的编号）①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④四边形⑤扇形⑥圆．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：结合选项，正方体的体积否定俯视图可能是四边形，对俯视图可能是圆求出体积判断正误；俯视图可能是扇形求出几何体的体积判断正误；同理俯视图可能是三角形的正误作出判断即可．解答：解：由题意可知，（1）当俯视图是四边形时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，不合题意；（2）当俯视图是圆时，该几何体是圆柱，底面积是S=π×（）2=，高为1，则体积是，不合题意；（3）当俯视是直角三角形时，该几何是直三棱柱，如图，故体积是V=×1×1×1=，这个几何体的俯视图可能是直角三角形．可排除锐角三角形和钝角三角形的情形；（4）当俯视图是扇形时，该几何是圆柱切割而成，其体积是V=π×12×1=，不合题意．综上，则这个几何体的俯视图可能是直角三角形．故答案为：②．点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．考点：正弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）根据正弦定理化简题中等式，得sinAcosC﹣sinC=sinB．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入前面的等式解出cosA=﹣，结合A∈（0，π）可得角A的大小；（2）根据A=且a=1利用正弦定理，算出b=sinB且c=sinC，结合C=﹣B代入△ABC的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC的周长的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵acosC﹣=b，∴根据正弦定理，得sinAcosC﹣sinC=sinB．又∵△ABC中，sinB=sin（π﹣B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC﹣sinC=sinAcosC+cosAsinC，化简得﹣sinC=cosAsinC，结合sinC＞0可得cosA=﹣∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵A=，a=1，∴根据正弦定理，可得b===sinB，同理可得c=sinC，因此，△ABC的周长l=a+b+c=1+sinB+sinC=1+[sinB+sin（﹣B）]=1+[sinB+（cosB﹣sinB）]=1+（sinB+cosB）=1+sin（B+）．∵B∈（0，），得B+∈（，）∴sin（B+）∈（，1]，可得l=a+b+c=1+sin（B+）∈（2，1+]即△ABC的周长的取值范围为（2，1+]．点评：本题已知三角形的边角关系式，求角A的大小，并在边a=1的情况下求三角形的周长的取值范围．着重考查了正弦定理、三角函数的图象与性质、三角恒等变换和函数的值域与最值等知识，属于中档题．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n 项和．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）依题意知，{a n}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而可求得数列{a n}的通项公式；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n+1，对b1=4不成立，于是可求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，利用裂项法可求得=（﹣），从而可求T n．解答：解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，∴{a n}是公差为2的等差数列，又a1=3，∴a n=2n+1；当n=1时，b1=S1=4；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n+1）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]=2n+1，对b1=4不成立．∴数列{b n}的通项公式：b n=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，==（﹣），∴T n=+[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=+（﹣）=+，当n=1时仍成立．∴T n=+对任意正整数n成立．点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与递推关系的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．解答：（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m 的取值范围．解答：解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．所以椭圆C的标准方程是．（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若||=||成立，即||2=||2，等价于．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•，化简得7m2=12+12k2．将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，从而，解得或．所以实数m的取值范围是．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m 的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，根据函数的单调减区间是（，1），建立导数关系即可，求实数a的值；（2）将f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，利用参数分离法求函数的最值，求实数a的取值范围；（3）求函数的导数，根据函数极值，最值和导数之间的关系，求出函数的最值即可得到结论．解答：解：（1）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则要使h（x）的单调减区间是则，解得a=3；另一方面当a=3时，由h'（x）＜0解得，即h（x）的单调减区间是．综上所述a=3．（2）由题意得x2﹣ax≥lnx（x＞0），∴．设，则，∵y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，且x=1时，y=0．∴当x∈（0，1）时φ'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）内是增函数．∴φmin=φ（1）=1∴a≤φmin=1，即a∈（﹣∞，1]．（3）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则∴方程2x2﹣ax+1=0（x＞0）有两个不相等的实根x1，x2，且又∵，∴，且设，则，∴φ（x）在（1，+∞）内是增函数，∴，即h（x1）﹣h（x2），∴，则m的最大值为．点评：本题主要考查函数的极值，最值和导数之间的关系，考查导数的综合应用，运算量大，综合性较强．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：如图，延长DC，AB交于点E，由已知条件推导出∠ECB=60°，∠EBC=90°，∠E=30°，由此利用切割线定理、勾股定理和三角形相似能求出对角线BD、AC的长．解答：解：如图，延长DC，AB交于点E，∵∠BAD=60°，∴∠ECB=60°，∵∠ABC=90°，BC=3，CD=5，∴∠EBC=90°，∴∠E=30°，∴EC=2BC=2×3=6，∴EB=BC=3，∴ED=DC+EC=5+6=11，∵EC×ED=EB×（EB+AB）则6×11=3×（3+AB），解得AB=，∴A C==，∵∠EDB=∠EAC，∠E=∠E，∴△EDB∽△EAC，∴，∴BD===7．点评：本题考查与圆有关的比例线段的求法，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程，利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到t2﹣t﹣1=0，由根与系数的关系，求出+=的值．解答：解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y+1=0，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，∴；∴+=+====．点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题．24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．解答：解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（5分）（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…（10分）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。

河北省衡水中学高三上学期四调考试语文试卷本试卷分第1卷(阅读题)和第1I卷(表达题)两部分。

考生作答时，将答案写在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试题卷上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

【试卷综评】试卷由小阅读、古诗文阅读、文学类和实用类文本阅读、语言运用和作文写作五部分组成，基本模式与高考相同。

亮点有以下两点：一是文言文阅读的断句内容，考查学生的语感句读能力。

以选择题形式出现，并且四个选项都是对同一个句子的不同断法，难度不大。

二是背诵部分出现了理解性的情景背诵，既要熟背，而且要理解才能得分。

这就避免了死记硬背，鼓励学生理解性记忆。

另外还有一些地方值得关注：一是论述类文本的阅读难度较大，区分度强。

论述类文本的阅读涉及悲剧等方面的美学知识。

若学生背景知识欠缺，则不易理解。

二是文言文的实词题一改往年单音节词的考查形式，四个选项全是双音节词，这对考生提出了更高的要求，既要掌握考纲规定的120个实词，还有总结归纳一定数量的双音节词，备考难度和范围有所加大。

三是作文依然是材料作文，只是材料内容是现实生活镜头剖析。

材料情节看似简洁明确，却一波三折，有思、有变、有选择，考生只有具备了对生活的思辨能力和慧眼识金、透过现象看本质的一份成熟，方能解读材料的真谛和灵魂。

这则材料的亮点在于考查了学生思维能力的整体性。

总体来说，这套题没有在难度上有所提高，考生如果备考充分，解答这套试题应该不存在较大难度。

第1卷(阅读题共70分)一、现代文阅读（9分，每小题3分）【题文】M0阅读下面的文字，完成1~3题。

中国画是一种建筑的形线美、音乐的节奏美、舞蹈的姿态美的有机融合。

其创作目的不在机械的写实，而在创造意象。

虽然它的出发点也极重写实，如花鸟画写生的精妙，为世界第一。

中国画真像一种舞蹈，画家任意挥洒。

他的精神与着重点在全幅的节奏生命而不沾滞于个体形象的刻画，以丰富的暗示力与象征力代形象的实写，超脱而浑厚。

画家用笔墨的浓淡、点线的交错、明暗虚实的互映、形体气势的开合，谱成一幅如音乐如舞蹈的图案，画幅中飞动的物象与“空白”处处交融，构成．全幅流动的虚灵的节奏，真如我们目睹的山川真景。

河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试数学理试题本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间为120分钟。

第I卷（选择题-共60分）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知向量=2．已知的共轭复数，复数A．B．c．1 D．23．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有A．80种B．90种C．120种D．150种4．曲线处的切线方程为A．B．C．D．5．等比数列A．26 B．29 C．215 D．2126．经过双曲线：等的右焦点的直线与双曲线交于两点A,B，若AB=4，则这样的直线有几条A．4条B．3条C．2条D．1条7．设函数，则A．在单调递增B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据下表可得回归方程中的b =10．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为A．112．1万元B．113．1万元C．111．9万元D．113．9万元9．椭圆c的两个焦点分别是F1，F2若c上的点P满足，则椭圆c的离心率e的取值范围是10．已知直三棱柱，的各顶点都在球0的球面上，且，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于11．在棱长为1的正方体中，着点P是棱上一点，则满足的点P的个数为A．4 B．6 C．8 D．1212．定义在实数集R上的函数的图像是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得恒成立，则称是一个“关于￡函数”．有下列“关于t函数”的结论：其中正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．0第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。

把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13．已知圆，若圆C上存在点P，使得，则删的最大值为____．14．抛物线上一点P到直线的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为____．15．的展开式中各项系数的和为2．则该展开式中常数项为。

河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试物理试题本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共110分。

考试时间110分钟。

第I卷（选择题-共5 6分）注意事项：1．答卷I前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．答卷I时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

不能答在试题卷上。

一、选择题（每小题4分，共56分。

下列每小题所给选项至少有一项符合题意，淆将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．一物体运动的速度一时间图像如图所示，由此可知A．在时间内物体的速度变化量为OB．在时间内物体的速度一直在减小C．在时间内物体的加速度一直在减小D．在时间内物体所受的合力先减小后增大2．“儿童蹦极”中，拴在腰间左右两侧的是悬点等高、完全相同的两根橡皮绳。

质量为m的小明如图所示静止悬挂时，两橡皮绳的夹角为60°，重力加速度为g，则A．每根橡皮绳的拉力为B．若将悬点间距离变小，则每根橡皮绳所受拉力将变小C．若此时小明左侧橡皮绳在腹间断裂，则小明此时加速度以D．若此时小明左侧橡皮绳在腰间断裂，则小明此时加速度3．我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星-500”的实验活动。

假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的，质量是地球质量的。

已知引力常量为G，地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，王跃在地面上能向上竖直跳起的最大高度是h，忽略自转的影响，下列说法正确的是A．火星的密度为B．火星表面的重力加速度是C．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为D．王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是4．如图，在竖直平面内，直径为R的光滑半圆轨道和半径为R的光滑四分之一圆轨道水平相切于0点．0点在水平地面上。

可视为质点的小球从0点以某一初速度进入半圆，刚好能通过半圆的最高点A，从A点飞出后落在四分之一圆轨道上的B点，不计空气阻力，g=l0m／s2。

河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试数学（理）试题一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知向量= （ ）【答案】C 【解析】∵222()2()50a b a a b b +=+⋅+= ，又(2,1),10a a b =⋅=， ∴()250520255bb =--=⇒=，故答案为：C【考点】数量积的应用 【难度】1 2．已知的共轭复数，复数 （ ）A ．B ．c ．1 D ．2【答案】A 【解析】∵114i z i -====+，∴14z i =-，∴2211444z z ⎛⎛⎫⋅=-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 故答案为：A【考点】复数综合运算 【难度】1 3．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（ ）A ．80种B ．90种C ．120种D ．150种 【答案】D 【解析】有二类情况：（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有335360C A =种，（2）其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有213453902C C A =种，∴共有150种.故答案为：D【考点】排列组合综合应用 【难度】 2 4．曲线处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 ∵22222(2)(2)x x x y y x x x +-'=⇒==+++，∴曲线在点 （-1，-1）处切线的斜率为2，∴所求切线方程为21y x =+， 故答案为：A【考点】导数的概念和几何意义 【难度】 2 5．等比数列（ ）A ．62B ． 92C ．152D ．122【答案】D 【解析】因为182,4a a ==，又()()()()()()128128()f x x a x a x a x x a x a x a ''=---+---⎡⎤⎣⎦所以()441212818(0)82f a a a a a '==== ，故答案为：D【考点】等比数列;函数求导运算 【难度】2 6．经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A,B ，若AB=4，则这样的直线有几条（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 【答案】B 【解析】因为AB=4而双曲线的实轴长是4，所以直线AB 为x 轴时成立，即端点在双曲线两支上的线段AB 只有一条，另外端点在双曲线右支上的线段AB 还有两条，所以满足条件得直线有三条. 故答案为：B 【考点】双曲线 【难度】 2 7．设函数，则（ ）A ．在单调递增B ．在单调递减C ．在单调递增 D ．在单调递增【答案】D 【解析】())4f x x πωϕ=+-，因为T π=，所以2ω=，又因为()(),2f x f x πϕ-=<，所以4πϕ=，所以()f x x ，经检验在单调递增，故答案为：D【考点】两角和与差的三角函数;周期性和对称性;函数的单调性与最值 【难度】28．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据下表可得回归方程中的b =10．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（ ）A ． 112．1万元B ．113．1万元C ．111．9万元D ．113．9万元 【答案】C 【解析】把样本中心点（7,432）代入回归方程得 5.9a =， 所以广告费用为10万元时销售额为10.610 5.9111.9⨯+=（万元），故答案为：C【考点】变量相关 【难度】 29．椭圆C 的两个焦点分别是F1，F2若C 上的点P 满足，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是 （ ）【答案】C 【解析】 ∵12233,2PF F F c ==∴223PF a c =-，由三角形中， 两边之和大于第三边得232311223342c c a c c c a c c a +≥-⎧⇒≤≤⎨+-≥⎩，故答案为：C 【考点】椭圆 【难度】210．已知直三棱柱，的各顶点都在球O 的球面上，且，若球O 的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（ ）【答案】B 【解析】由球的体积公式得球的半径R=AB=AC=1，ABC 是顶角是120°的等腰三角形， 其外接圆半径r=1，所以球心到三棱柱底面的距离为2，所以此三棱柱的体积为111sin12042⨯⨯⨯⨯= 故答案为：B【考点】空间几何体的表面积与体积 【难度】 311．在棱长为1的正方体中，着点P 是棱上一点，则满足的点P 的个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B 【解析】若点P 在棱AD 上，设AP=x ，则()222212CP PD DC x =+=-+，所以2x =，解得12x =， 同理点P 可以是棱,,,,AB AA C C C B C D ''''''的中点， 显然点P 不能在另外六条棱上， 故答案为：B【考点】立体几何综合 【难度】312．定义在实数集R 上的函数的图像是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t使得恒成立，则称是一个“关于￡函数”．有下列“关于t 函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“关于t 函数”； ②“关于12函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“关于t 函数”. 其中正确结论的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0【答案】A 【解析】①不正确，()0f x c =≠，取t= -1则f(x-1)-f(x)=c-c=0,即()0f x c =≠是一个“关于-1函数”；②正确，若f(x)是“关于12函数”，则11()()022f x f x ++=，取x=0，则1()(0)02f f +=， 若1(),(0)2f f 任意一个为0，则函数f(x)有零点，若1(),(0)2f f 均不为0，则1(),(0)2f f 异号，由零点存在性定理知在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在零点；③不正确，若2()f x x =是一个“关于t 函数”，则22()x t tx +=-()22120t x tx t ⇒+++=恒成立，则210200t t t ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩所以t 不存在.故答案为：A【考点】函数综合 【难度】4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。

2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．在空间，下列命题错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交B．一个平面与两个平行平面相交，交线平行C．平行于同一平面的两个平面平行D．平行于同一直线的两个平面平行2．设集合P={x|}，m=30.5，则下列关系中正确的是（）A．m⊈P B．m∉P C．m∈P D．m⊄P3．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． +B．1+C．D．15．已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在6．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]7．若函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且，则y=f（x）在[0，π]上的单调增区间为（）A．B．C．和D．和8．已知不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．10．已知，，与的夹角为，那么等于（）A．2 B．6 C．D．1211．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．（﹣1，2）C．[﹣2，1] D．（﹣2，1）12．设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空．）14．已知函数f（x）=，则f（）+f（﹣1）= ．15．设向量，（n∈N*），若，设数列{a n}的前n 项和为S n，则S n的最小值为．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．（1）求f（x）的最大值及α的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）求证：PC⊥AD；（2）求点D到平面PAM的距离．19．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．（Ⅰ）分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，若c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．选做题122．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4，（1）求PF的长度．（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．选做题223．（2012•邯郸一模）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x+2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的取值范围．2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．在空间，下列命题错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交B．一个平面与两个平行平面相交，交线平行C．平行于同一平面的两个平面平行D．平行于同一直线的两个平面平行【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面平行的性质定理可判断B；根据面面平行的性质可判断C；根据空间线面平行的几何特征及面面位置关系的定义和分类，可判断D．【解答】解：根据面面平行的性质可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故A正确；根据面面平行的性质定理可得：一个平面与两个平行平面相交，交线平行，故B正确；根据面面平行的性质可得：平行于同一平面的两个平面平行，故C正确；平行于同一直线的两个平面，可能平行也可能相交，故D错误；故选：D【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．2．设集合P={x|}，m=30.5，则下列关系中正确的是（）A．m⊈P B．m∉P C．m∈P D．m⊄P【考点】集合关系中的参数取值问题；元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】解出集合P中元素的取值范围，判断m的值的范围，确定m与P的关系，从而得到答案．【解答】解：∵P={x|x2﹣x≤0}，∴，又m=30.5=故m∉P，故选B．【点评】本题考查元素与集合的关系，一元二次不等式的解法．3．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠A PB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得： =30（+），∴建筑物的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，故选A．【点评】此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． +B．1+C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【解答】解：根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为： =，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：×1×2×1=1，故组合体的体积V=1+，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．5．已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质以及基本不等式得a 7+a14≥2=2=2=20．【解答】解：∵正数组成的等比数列{a n}，a1•a20=100，∴a1•a20=a7•a14=100，∴a 7+a14≥2=2=2=20．当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．故选：A．【点评】本题考查等比数列性质的应用，结合基本不等式是解决本题的关键．注意均值定理的合理运用．6．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．7．若函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且，则y=f（x）在[0，π]上的单调增区间为（）A．B．C．和D．和【考点】复合三角函数的单调性；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】为了求函数的一个单调递增区间，必须考虑到，据此即可求得单调区间，再利用自变量x的取值范围[0，π]，即可得到答案．【解答】解：由于，得到，解得，取k=0，k=1，又x∈[0，π]，则和．故答案为：D【点评】本题以余弦函数为载体，考查复合函数的单调性，关键是利用导函数求函数的单调增区间．8．已知不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令f（y）=|y+4|﹣|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|﹣|y|≤|y+4﹣y|=4，从而将问题转化为2x+≥f（y）max=4，令g（x）=﹣（2x）2+4×2x，则a≥g（x）max=4，从而可得答案．【解答】解：令f（y）=|y+4|﹣|y|，则f（y）≤|y+4﹣y|=4，即f（y）max=4．∵不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，∴2x+≥f（y）max=4，∴a≥﹣（2x）2+4×2x=﹣（2x﹣2）2+4恒成立；令g（x）=﹣（2x）2+4×2x，则a≥g（x）max=4，∴常数a的最小值为4，故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．9．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【专题】计算题．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC 垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．【解答】解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则进而可得：V S﹣ABC=V C﹣AOB+V S﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为： =．故选C．【点评】本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB的平面与SC垂直是本题的解题关键，常考题型．10．已知，，与的夹角为，那么等于（）A．2 B．6 C．D．12【考点】平面向量数量积的运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出（4﹣）2，开方得出答案．【解答】解：=1×=1，（4﹣）2=162﹣8+=12．∴|4﹣|=2．故选：C．【点评】本题考查了向量的模与向量的数量积运算，是基础题．11．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．（﹣1，2）C．[﹣2，1] D．（﹣2，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g （x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．12．设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：∵函数f（x）满足，∴令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，F（2）=4•f（2）=．由，得f′（x）=，令φ（x）=e x﹣2F（x），则φ′（x）=e x﹣2F′（x）=．∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．∴φ（x）≥0．又x＞0，∴f′（x）≥0．∴f（x）在（0，+∞）单调递增．∴f（x）既无极大值也无极小值．故选D．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空．）【考点】充要条件．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】可以想象两平面垂直，平面内的直线和另一平面的位置有：和平面平行，和平面斜交，和平面垂直，在平面内，所以由α⊥β得不出m⊥β，而由m⊥β，能得到α⊥β，这根据面面垂直的判定定理即可得到，所以α⊥β是m⊥β的必要不充分条件．【解答】解：由m⊂α，α⊥β得不出m⊥β，因为两平面垂直，其中一平面内的直线可以和另一平面平行；若m⊂a，m⊥β，则根据面面垂直的判定定理得到α⊥β；∴α⊥β，是m⊥β的必要不充分条件．故答案为必要不充分．【点评】考查面面垂直时平面内的直线和另一平面的位置关系，面面垂直的判定定理，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．14．已知函数f（x）=，则f（）+f（﹣1）= 3 ．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用导函数求解函数值即．【解答】解：函数f（x）=，则f（）+f（﹣1）=log3（10﹣1）+2﹣1+1=2+1=3．故答案为：3．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．15．设向量，（n∈N*），若，设数列{a n}的前n项和为S n，则S n的最小值为 1 ．【考点】数列与向量的综合．【专题】计算题；函数思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量共线求出数列的通项公式，然后求解数列的前n项和．【解答】解：向量，（n∈N*），若，可得a n==2（）．S n=a1+a2+a3+…+a n=2[1+…+]=．数列{S n}是递增数列，S n的最小值为：S1=1．故答案为：1．【点评】本题考查向量与数列相结合，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，结合图形求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是四棱锥M﹣PSQN，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，如图所示；所以该四棱锥的体积为V=V三棱柱﹣V三棱锥=×22×2﹣××22×2=．故答案为：．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．（1）求f（x）的最大值及α的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）利用二倍角公式对函数解析式化简利用x的范围判断出2x﹣的范围，利用正弦函数的性质求得函数的最大值及α的值．（2）利用正弦定理把已知角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得b﹣c的值．【解答】解：（1）依题．又，则，故当即时，f（x）max=3．（2）由（1）知，由sinBsinC=sin2A即bc=a2，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，则b2+c2﹣bc=bc即（b﹣c）2=0，故b﹣c=0．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质．是对三角函数基础知识的综合考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）求证：PC⊥AD；（2）求点D到平面PAM的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取AD中点O，由题意可证AD⊥平面POC，可证PC⊥AD；（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证PO为三棱锥P﹣ACD的体高．设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD可得h的方程，解方程可得．【解答】解：（1）取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，∴AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD．（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（1）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．在Rt△POC中，，，在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，∴△PAC的面积，设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD得，又，∴，解得，∴点D到平面PAM的距离为．【点评】本题考查点线面间的距离计算，涉及棱锥的结构特征以及垂直关系的证明和应用，属中档题．19．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．（Ⅰ）分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，若c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式可得a n，再利用递推式可得b n．（II），由c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，作差c n+1﹣c n对n分类讨论即可得出．【解答】（Ⅰ）解：∵a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列，∴2a2=a1+a3﹣8，∴，化为q2﹣2q﹣3=0，∴q1=3，q2=﹣1，∵q＞1，∴q=3，∴，当n=1时，．当n≥2时，，当n=1时，2×1﹣9=b1满足上式，∴．（Ⅱ），若c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，，当c n+1=c n时，即n=5时，c5=c6，当c n+1＞c n时，即n＜5，n∈N*时，c1＜c2＜c3＜c4＜c5，当c n+1＜c n时，即n＞5，n∈N*时，c6＞c7＞c8＞c9＞…，∴c n的最大值为，即．∴m的最小值为．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：DF∥BC1，再利用线面平行的判定定理即可证明．（2）由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，在△A1DF中，由余弦定理即可得出．（3）利用面面垂直的性质定理可得：CD⊥平面ABB 1A1，利用=﹣S△BDE ﹣﹣可得，再利用三棱锥C﹣A 1DE的体积V=即可得出．【解答】（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，∴DF∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，═==1，A1D===，=1．在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=，∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==．=﹣S△BDE﹣﹣=﹣﹣﹣=，∴三棱锥C﹣A1DE的体积V===1．【点评】本题考查了直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成角、余弦定理、勾股定理、线面面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h（x）=的最小值即可．（3）分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=1+lnx，∴f′（e）=1+lne=k﹣3∴k=5，（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则ax02＞x0lnx0，∴a＞设h（x）=则h′（x）=，当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0．（3）由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F（x）=，∴F′（x）=，令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0，当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0，所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，F（x）min=F（x0）===x0+2∈（5，6）故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5【点评】本题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．选做题122．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4，（1）求PF的长度．（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【专题】计算题．【分析】（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，从而得到△PFD∽△PCO，最后再结合割线定理即可求得PF的长度；（2）根据圆F与圆O内切，求得圆F的半径为r，由PT为圆F的切线结合割线定理即可求得线段PT的长度．【解答】解：（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故．（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2﹣r=1即r=1所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT则PT2=PB•PO=2×4=8，即【点评】本小题主要考查圆的切线的判定定理的证明、同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系、割线定理等基础知识，考查运算求解能力转化思想．属于基础题．选做题223．（2012•邯郸一模）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x+2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法；对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意可得，|x﹣1|+|x+2|＞7，故有：，或，或，把各个不等式组的解集取并集，即得所求．（Ⅱ）由不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥a+8恒成立，再由|x﹣1|+|x+2|的最小值等于3，故有a+8≤3，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x﹣1|+|x+2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或…（3分）解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣4）∪（3，+∞）；…（5分）（Ⅱ）不等式f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+2|≥a+8，∵x∈R时，恒有|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，…（8分）∵不等式|x﹣1|+|x+2|≥a+8解集是R，∴a+8≤3，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣5]．…（10分）教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．专注专业学习坚持不懈勇攀高峰21。