小学数学创意教学-创意6 有效学习三十六计

让数学变得有趣小学数学学习的创意方法让数学变得有趣小学数学学习的创意方法数学是一门重要且普遍被认为难以理解的学科，特别是对于小学生来说。

然而，通过创意的方法，我们可以让数学变得有趣并且易于理解。

本文将介绍一些小学数学学习的创意方法，帮助孩子们摆脱数学困惑，享受学习的乐趣。

一、数学游戏数学游戏是一种很好的学习工具，可以提高孩子们对数学概念的理解。

例如，我们可以利用卡片或者画图来创建一个名为“数字翻转”的游戏。

孩子们将数字卡片翻转，然后根据翻转后的数字进行加减法练习。

这样的游戏不仅可以锻炼孩子们的计算能力，还能够激发他们的兴趣。

二、数学故事以故事的方式来介绍数学概念，可以更加生动有趣地引起孩子们的关注。

例如，我们可以编写一个数学题目的故事，让孩子们在阅读故事的过程中解决问题。

这样一来，孩子们既能够理解数学概念，又可以培养他们的阅读能力。

三、实际应用将数学与实际生活相结合，可以帮助孩子们更好地理解数学的应用价值。

比如，在购物时可以让孩子们计算商品的价格和找零的钱数，或者在日常生活中让他们解决测量和时间的问题。

通过实际应用，孩子们能够将抽象的数学概念转化为现实生活中的问题，从而提高他们的学习兴趣。

四、数学竞赛参加数学竞赛不仅能够提高孩子们的数学能力，还可以激发他们对数学的热爱。

通过与其他同学的竞争，孩子们会更加努力地学习和理解数学概念，从而提高他们的数学成绩。

数学竞赛也为孩子们提供了展示自己才华的机会，增强他们的自信心。

五、数学实验通过数学实验，孩子们可以亲身体验和探索数学概念。

例如，通过一组积木，让孩子们尝试不同的组合方法，从中学习几何形状和空间关系。

通过实际操作，孩子们能够更加深入地理解数学规律，从而提高他们的数学能力。

总结起来，小学数学学习的创意方法包括数学游戏、数学故事、实际应用、数学竞赛和数学实验等。

这些方法能够帮助孩子们摆脱对数学的困惑，将枯燥的数学知识变得有趣，并且提高他们的学习兴趣和成绩。

“三十六计”在数学课堂教学中的妙用摘要：有人曾说，一堂成功的数学课就是一场漂亮的战斗。

既然是战斗就必须讲究其战略战术，想让学生真正成为课堂教学中的主人，让他们在自由、平等、轻松、开放的境遇中充分发展，就要讲究“用兵之道”。

他山之石，可以攻玉，借用一下我国古代兵法精华之作“三十六计”，用作数学课堂教学中的“求胜”策略，将让你体会到出奇制胜的效果。

关键词：三十六计数学妙用一、以逸待劳，“涌”现精彩“凡是学生自己可以做的事，就让他们自己去做，教师只要在旁指导，培养学生从小自立的精神。

”在课堂教学上，作为教师不能越俎代庖，要学会“偷懒”。

“以逸待劳”，以静制动，调动学生自主学习的积极性，让学生多做脑力和体力的“劳动”，用“劳动”来创设美好的意境，而我们教师只要“以逸”坐收“渔翁之利”。

“教育”总是与“苦和累”连在一起，但“懒老师”未必就是坏老师。

在学生减负的同时，教师也应适时地给自己减减压，图个清静；要给学生时间上和空间上的自由，给学生心灵上的自由，给学生敢说敢做的自由，给学生一个能自由伸展的舞台。

二、假痴不癫，借“考”制胜“假痴不癫”是“三十六计”之中的第二十七计，它的本义是指：表面装作糊里糊涂，实际上却是非常的清楚，假装不行动，却在暗地里策划，等待时机。

应用于数学课堂教学之中，教师可在表达、演示时有意地出现一些错误和漏洞，在回答问题时故意装作不知，“能而示之不能”，让学生自己去发现问题、提出问题、解决问题，从中培养学生大胆质疑、自主探究的能力。

在教学中，教师也可适当地在提问中主观杜撰，来一个“无中生有”；也可以在辨析中故作正经，来一点幽默；还可以出示错误，从中引发深思。

教师的“韬光养晦”，常常可以带来空前活跃的课堂气氛，在愉快中完成教学中的任务。

三、隔岸观火，以彼“促”己“隔岸观火”即“坐山观虎斗”。

本义是指：当敌方内部矛盾激化，相互倾轧，势不两立，搞分裂时，我方切不可操之过急，免得反而促成敌方暂时联起手来对付。

金狮子数学36计金狮子数学36计是指数学学习中的36个技巧和方法，可以帮助学生提高学习效果和解题能力。

下面将从几个方面进行总结和解释。

首先，要明确数学学习的目标和规划。

金狮子数学36计的第一计是“处处留心，数专英杰”，强调数学学习需要有明确的目标和规划。

学生在学习过程中应该时刻保持专注，并且留心掌握每一个知识点和技巧。

同时，要学会制定学习计划和时间表，合理分配时间，提高学习效率。

其次，要运用思维导图和归纳总结的方法。

金狮子数学36计的第二计是“留个影，仔细玩”，强调在学习数学知识时要记得留下“印象”，并且要注重思维导图和归纳总结。

通过画思维导图，可以把各个知识点联系起来，形成系统性的认知模型，方便记忆和理解。

同时，归纳总结可以帮助学生梳理知识结构，发现规律和方法，提高解题能力。

第三，要勤于练习和举一反三。

金狮子数学36计的第三计是“磨刀不误砍柴工”。

数学学习需要大量的练习，只有不断地练习才能掌握并熟练运用知识和技巧。

同时，要勇于接触和解决一些较难的数学问题，举一反三，从中探索解题的一般方法和技巧。

这样可以培养学生的思维能力和创新意识。

第四，要合理利用工具和资源。

金狮子数学36计的第四计是“运上手，瞅瞅眼”。

现代数学教学中，计算器、图表等工具和互联网等资源发挥了重要的辅助作用。

学生应该学会合理使用这些工具和资源，提高学习效率和解题能力。

最后，要不断提高自己的学习方法和策略。

金狮子数学36计中的其它计策还涉及到一些具体的学习方法和策略，如“戏中戏”、“比一比”、“拆分合并”等，都是为了使学生能够灵活运用数学知识和技巧，解决不同类型的数学问题。

学习数学不仅是记忆知识点和公式，更重要的是培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

综上所述，金狮子数学36计提供了一系列有效的学习方法和策略，可以帮助学生提高数学学习的效果和解题能力。

通过明确目标和规划，运用思维导图和归纳总结的方法，勤于练习和举一反三，合理利用工具和资源，不断提高学习方法和策略，学生可以在数学学习中取得更好的成就。

数学有趣又好玩小学数学课堂的创新教学方法数学有趣又好玩——小学数学课堂的创新教学方法数学作为一门学科，一直被视为枯燥乏味的学科之一。

许多学生对数学产生了抵触情绪，而这种情绪往往源自于传统的教学方法。

然而，随着教育理念的变革和教学技术的进步，越来越多的创新教学方法在小学数学教育中应运而生。

这些方法旨在让数学课堂变得有趣又好玩，激发学生对数学的兴趣和热爱。

本文将重点介绍一些创新的小学数学教学方法。

一、数学游戏数学游戏是一种常见而且广泛应用的创新教学方法。

通过游戏的方式，将数学知识融入其中，让学生在参与游戏的过程中学习数学。

例如，在“乐趣数学挑战赛”中，学生可以通过解决数学难题来赢得游戏的胜利，这不仅能够培养学生的逻辑思维能力，还能够激发他们对数学的兴趣。

二、数学实践数学实践是一种将数学知识应用于实际生活中的创新教学方法。

通过将数学知识与实际情境相结合，让学生亲身体验数学的实用性和重要性。

例如，在“数学购物乐园”中，学生扮演购物者的角色，通过计算商品价格、找零等活动来锻炼他们的计算能力。

三、探究式学习探究式学习是一种让学生主动探索和发现数学知识的创新教学方法。

通过提出问题和开放性的探究活动，激发学生的好奇心和求知欲，培养他们的问题解决能力。

例如，在“数学探索小组”中，学生可以自由选择并深入研究感兴趣的数学问题，并进行小组交流和展示，这不仅能够提高他们的学术水平，还能够培养他们的合作与沟通能力。

四、教具辅助教具辅助是一种通过使用各种教学工具和资源来辅助数学教学的创新教学方法。

通过引入教具，可以使数学课堂更加直观、生动。

例如，在“数学实验室”中，学生可以使用计算器、几何模型等工具进行实际操作，提高他们的实际操作能力。

教具辅助不仅能够让学生更好地理解和掌握数学知识，还能够激发他们的学习兴趣。

五、跨学科整合跨学科整合是一种将数学知识与其他学科进行整合的创新教学方法。

通过将数学与科学、艺术等学科相结合，让学生在学习数学的同时，发现数学与其他学科之间的联系和应用。

[转载]学数学36计(2010-07-30 11:22:39)转载原文标签：转载原文地址：学数学36计作者：李广学第1计：挖掘潜能。

不管你现在情况怎样，你都要相信自己还有巨大的潜能。

从现在到高考进步50名的大有人在，进步80名的也有可能。

.第2计：坚定意志。

高考其实是看谁坚持到最后，谁就笑到最后。

考生应全力以赴知难而进，战胜惰性提升意志.第3计：调好心态。

心态决定成败，高考不仅是知识和智力的竞争，更是心理的竞争。

考生应努力改变最近的不良心态。

第4计：把握自我。

复习时紧跟老师踏踏实实地复习没有错，但也要有自我意识：“我”如何适应老师的要求，如何根据自己的特点搞好最后阶段的复习，如何在“合奏”的前提下灵活处理“独奏”。

第5计：战胜自我。

面对迎考复习的艰辛，面对解题的繁难，面对竞争的压力，面对多变的情绪，只有“战胜自我”，才能海阔天空。

第6计：每日做题。

每日做些题目，让自己保持对问题的敏感，形成模式识别能力。

当然，做题的数量不能多，难度不宜大。

第7计：一次成功。

面对一道题（最好选择陌生的中档题）用心去做，看看能否一下子就理出思绪，一做就成功。

一份试卷，若不能一次成功地解决几道题，就往往会因考试时间不够而造成“隐性失分”。

第8计：讲求规范。

建议考生找几道有评分标准的考题，认真做完，再对照评分标准，看看答题是否严密、规范、恰到好处。

第9计：回到基础。

一般说来，考前不宜攻难题，既没有这么多的时间，也没必要。

要回到基础，把基础打扎实，在考试时才能做到“基础分一分不丢”。

第10计：限时训练。

可以找一组题（比如10道选择题），争取限定一个时间完成；也可以找1道大题，限时完成。

这主要是创设一种考试情境，检验自己在紧张状态下的思维水平。

第11计：激活思维。

可以找一些题，只想思路：第一步做什么，第二步做什么……（不必具体详解）再对照解答，检验自己的思路。

这样做，有利于在短时间里获得更多的解题方向。

第12计：勤于总结。

应当把每一次练习当成巩固知识、训练技能的一次机会。

三十六计在小学数学课堂中的有效运用作者：夏云兰来源：《新智慧·中旬刊》2019年第04期【摘要】有人说，成功的一堂数学课就是一场美丽的战斗。

若这是一场战斗，我们必须注意战略和战术。

作为教师，我们必须认真对待，互相了解，才能百战不殆。

本文将兵家谋略“三十六计”巧妙地应用于小学数学课堂教学中，可以有效地提高教学效率和效果。

笔者结合小学数学课堂教学的几个步骤，谈谈具体的做法。

【关键词】三十六计;小学数学;课堂教学有人说，成功的一堂数学课就是一场美丽的战斗。

若这是一场战斗，我们必须注意战略和战术。

“三十六计”是我国历代无数次战争实践经验的总结，虽是兵家谋略，但其中蕴含着丰富的哲学原理，从现代教育学、心理学的角度来分析，在实际教学的每个环节，运用恰当的计策，能取到不错的收获。

本文选取了“三十六计”中的几个经典例子，结合具体的小学数学课堂教学实例，谈谈笔者的看法。

一、欲擒故纵，导入新课导入，在一节新课中扮演了很重要的角色。

“将欲取之，必先予之。

”在新课导入时，如果教师能够特意去设置一定的障碍，让学生带着疑问去尝试，把学生引入预设的“陷阱”，当学生处于“口欲言而未能，心求通而未得”的心理状态时，教师再加以适当的点拨，引导学生跳出“误区”，这样教学的效果肯定要好得多。

如在教《3的倍数的特征》这课时，课堂一开始，笔者让学生任意说一个数，就能判断是不是3的倍数，其余学生用计算器进行检验。

当连续说对了好几个数，学生由一开始的兴奋慢慢转化为好奇。

这时，再出示一组数，和学生来场比赛，“你们用计算器算，我心算，来比比谁先判断出这些数是不是3的倍数。

”学生发现，他们用计算器也没笔者判断得快时，不禁有些疑惑，继续谈话：“知道为什么老师能这样又快又正确地做出判断吗？”这样吸引了学生的注意力，顺利进入新授内容。

这样的一“纵”一“擒”，调动了学生的求知欲，思维的发散性、变通性也得到锻炼和提高。

二、反客为主，学习新知新课程标准中指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。

三十六计记忆法首先跟大家讲一下咱们学习“36计”的意义在哪儿？其实很简单，就是跟圆周率一样，两节课的时间用来达成这个目的：我随便提一个数字，你就能说出这个数字对应的“36计”当中的哪一计先给大家看一下“36计”都有哪些？首先咱们说一下第1计，第1计讲完后，我给大家梳理一下思路，之后的每一计都是按照这个方法来的，这样一个模板套36计，大家记忆起来也方便第1计，数字“1”，想到“树”，想到树，可以想一个画面，一个男孩想要过海，过海想要偷偷的过，于是看到了大海边上有一颗大树，他就把这颗大树砍倒了，钻到了这个树洞里面，上瞒着天下瞒着海，所以叫做“瞒天过海”我们先总结一下老师讲的方法：首先先把第1计里面这个数字“1”转换成一个图像放进了后面的计策里面成为一个故事，然后根据这个故事记住第1计是“瞒天过海”第2计-“围魏救赵”，想到“2”，就可以想到“鸭子”然后我们就把“鸭子”放进这个场景，就是一群鸭子围住了魏国想要救赵王出去第3计-借刀杀人，看到“3”想到“耳朵”把“耳朵”放进这个计谋当中，就是一个刺客借了一把刀，想要杀人，但是刀用的不熟练不小心把自己的耳朵割掉了，留了好多血（班班友情提醒：做好人不要做坏事啊）第4计-以逸待劳，看到“4”，想到“红旗”，这里我们使用“象形法”，数字“4”长得像红旗把“红旗”放进我们的这个计谋场景当中，就是一个年轻人和两个老年人一起去爬山，年轻人很快就爬到了山顶，在山顶插了一根红旗，安逸的等待两个“老”爷爷第5计-趁火打劫，看到“5”，想到“佛手”把“佛手”放进“趁火打劫”这个场景中，有一家珠宝店着火了，有个小偷趁着起火流进了珠宝店把佛手偷走了第6计-声东击西，数字“6”，想到“勺子”把“勺子”带到“声东击西”的场景中，想象一下你的左手拿着一个冬瓜，慢慢地升起来了，右手拿着一个西瓜，用勺子打击西瓜，所以叫“声东击西”第7计-无中生有，看到“7”，想到“九齿钉耙”把“九齿钉耙”带到“无中生有”的场景，可以想象地上有一只又肥又大的蜈蚣，拿着“九齿钉耙”打断了它的身体，流出了很多的油，就是“无中生有”第8计-暗度陈仓，看到“8”，想到“葫芦”把“葫芦”带到“暗度陈仓”的场景中，就是铁拐李骑着他的飞天葫芦趁天色暗下来的时候，他要偷偷地度过姓陈的这一家的仓库，就是“暗度陈仓”---------------------------联系到这里，大家自己随便说【1-8】其中的一个数字，想一下这个数字对应的是36计当中的哪一计，班班现在已经滚瓜烂熟了，你们呢咱们继续：第9计-隔岸观火，看到“9”，想到一直头特别大的猫把“猫”带入“隔岸观火”的场景，就是这只猫看到河对岸着火了，没有去救火，傻傻地待在原地看，就是“隔岸观火”第10计-笑里藏刀，看到“10”，想到一个棒球棍和一个棒球的组合然后把“棒球棍和棒球”带入“笑里藏刀”的场景中，想象一个小朋友正在跟你打棒球的时候，他一转身对着你阴森森的一笑，不小心露出了藏在后背的刀第11计-李代桃僵，看到“11”，想到“筷子”把“筷子”带入“李代桃僵”的场景中，我们可以想象，有一只小僵尸，特别喜欢吃桃子，但是桃子已经被他吃光了，于是他爸爸夹着李子代替桃子喂僵尸，就是“李代桃僵”第12计-顺手牵羊，看到“12”，想到数字编码是“婴儿”把“婴儿”带入“顺手牵羊”的场景中，可以想象：妈妈带着婴儿去逛超市，婴儿从超市顺手牵了一头羊出来了，叫“顺手牵羊”第13计-打草惊蛇，看到“13”，想到对应的数字编码是“医生”把“医生”带入“打草惊蛇”的场景中，可以想象：医生去采草药的时候，棍子不小心打到了草，惊到了草里面的蛇，所以叫“打草惊蛇”第14计-借尸还魂，看到“14”，想到“钥匙”把“钥匙”带入“借尸还魂”场景当中，可以想象：有一把钥匙插在了一个借来的尸体身上，要给尸体还魂。

数学与创意小学数学的创新教学方法数学与创意小学数学的创新教学方法数学是一门理科学科，旨在培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

然而，传统的数学教学方式往往过于枯燥乏味，缺乏趣味性和创意性，难以激发学生的学习兴趣和动力。

为了改变这种状况，小学数学的创新教学方法应运而生。

本文将探讨几种创新的数学教学方法，旨在激发学生的创造力和思维能力。

一、故事化教学法故事化教学法是将数学知识融入精彩有趣的故事情节中，通过故事讲述和角色扮演的方式帮助学生理解和掌握数学概念。

例如，在教授加法时，可以设计一个关于小动物们相互帮助解决问题的故事，让学生们在参与其中同时掌握加法的操作方法。

通过故事情节的搭建，学生们能够更加深入地理解数学的应用和意义，激发他们的学习兴趣。

二、实践性教学法实践性教学法是将数学知识与实际生活相结合，在实际操作中学习数学概念和应用。

通过组织实地考察、调查研究和实验活动等方式，让学生亲身参与到数学问题的解决中。

例如，在教授面积概念时，可以组织学生进行面积测量的实验活动，让他们亲自测量图形的面积，并用数学知识进行计算和验证。

通过实践的方式，学生们能够更加深入地理解数学的实际应用和解决问题的能力。

三、游戏化教学法游戏化教学法是将数学知识融入到游戏中，通过游戏的方式激发学生的学习兴趣和动力。

例如，可以设计一款数学益智游戏，让学生在游戏中通过解决数学问题来获取奖励和提升等级，从而激发他们的学习积极性。

通过游戏化的方式，学生们能够愉快地学习数学知识，并在游戏中锻炼解决问题的能力。

四、合作学习法合作学习法是通过小组合作的方式让学生们共同解决数学问题，促进彼此之间的交流和合作。

例如，在教授分数概念时，可以将学生分成小组，让他们一起设计分数的概念图，汇报给其他组员，并相互交流和讨论，共同解决分数问题。

通过合作学习的方式，学生们能够从彼此之间学习和借鉴，培养团队合作和沟通能力。

五、多元化评价法传统的数学评价方式主要以考试为主，注重计算和记忆的能力。

数学教学中的三十六计高博提起数学教学，总是会让人联想起一条条的定律、公理；一道道的计算题、应用题，简单枯燥的感觉油然而生。

其实，在数学中蕴含着许许多多的乐趣，只要教师善于发现和引导，那么，数学教学将让你和学生们一起获益。

这里，我们不妨利用兵法中的三十六计来谈谈今天的数学教学：第一计：暗渡陈仓对于数学教学中的重点和难点，教师不妨先以思考题的形式让学生课前进行预习和研究，在预习和研究过程中，无论学生是否能够将重难点解决，都会在一定程度上加深了他对这部分知识的印象。

比如：第九册的《简易方程》一节，学生们对于解简易方程以前有所接触，只是没有明确概念而已，那么难点应该是对方程，方程的解，解方程这几个概念的明确。

针对这一点，我事先给学生留了这样的连线思考题：方程一个值方程的解一个过程解方程一个等式这样，学生在课前对这三个概念的区别就有了初步的印象，在课堂上对于相关的知识就能有针对性的提出问题，明确了听课重点，使知识学习得到深化。

这样明修栈道、暗渡陈仓，既锻炼和培养了学生的自学能力，又提高了课堂效率。

第二计：无中生有在我们现在使用的九义小学数学教材中，有一些课时的知识容量比较少，学生通过自学完全可以掌握，这时，教师就要善于“无中生有”，从中发现和提炼研究的课题，使数学课变为研究课，体现数学的研究性。

例如，我在教学“乘法交换律和结合律”的时候，抓住“加法交换律和结合律”这一已学知识，让学生联系它去证明乘法是否也有交换律和结合律，并自己总结、归纳公式；在学习“三角形内角和180度”时，我则是重点让学生去寻取各种各样的途径来证明三角和的内角和是180度。

这样，在学习知识的同时，培养学生的研究意识，使他们体会数学知识的整体性和关联性。

第三计：打草惊蛇教师往往容易有这样一个错误的想法，对于自己要讲的内容讳莫如深，深怕学生知道。

我倒认为，如果学生不知道才真是件糟糕的事情。

每每在有新行动之前，我都要提前和学生们渗透一下：“老师明天可能要讲什么课了，课上我要重点考察什么”“下节课堂上我有可能要测试大家的口算了”“明天我有可能要在三角形分类部分出一个思考题”等等。

第10计聋子开门慧眼识钟●计名释义一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方. 聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.●典例示范x2008(x∈R), 则【例1】若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+…+a2008(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2008)= (用数字作答)【思考】显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+…+a2008=1, ∴原式=2008a0+a1+a2+…+a2008 =2007+(a0+a1+…a2008)=2007+1=2008.【点评】本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.【例2】对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：①若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(x)是偶函数；④函数f(1+x)与f(1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .【思考】奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f(x-1)的图象关于点A（1，0）对称，①正确；f (x)= f［(x+1)-1］= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，②不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称.【点评】本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.【例3】 关于函数f (x )=2x -2-x (x ∈R ).有下列三个结论：①f (x )的值域为R ; ②f (x )是R 上的增函数；③对任意x ∈R , 都有f (x )+f (-x )=0成立，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确命题的序号都填上).【解答】 由y ⇒-=x x 212(2x )2-y ·2x -1=0. 关于2x 的方程中，恒有Δ=y 2+4>0. ∴y ∈R ①真.∵y 1=2x , y 2=x 21-都是R 上的增函数，∴y =y 1+y 2=2x -2x -也是R 上的增函数，②真. ∵f (-x )=2x --2x = -(2x -2x -)=-f (x ),∴当x ∈R 时，恒有f (x )+f (-x )=0（即f (x )为R 上的奇函数) ③真.【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选.本例是“全选”（即“都是”）的题型.●对应训练1.设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i =1,2,3,…),使|FP 1|，|FP 2|, |FP 3| ,…,组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是 .●参考答案1.椭圆中：a =7, b =6, c =1. ∴e =71,设P i 的横坐标为x i , 则|FP i |=71(7-x i ), 其中右准线x =7. ∵|FP n |=|FP 1|+(n -1)d . ∴d =.)1(71||||11--=--n x x n FP FP n n ∵|x 1-x n |≤27, ∴|d |≤12-n . 已知n ≥21, ∴|d |≤101, 但d ≠0. ∴d ∈［-101，0)∪(0，101］.点评：本题有两处陷沟，一是d ≠0, 二是可以d <0, 解题时考生切勿疏忽.第11计 耗子开门 就地打洞●计名释义《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.●典例示范【例1】 已知f (x )=321x -，判定其单调区间.【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.【解答】 设x 1<x 2，f (x 1)-f (x 2)= 321x - - 321x -.【插语】 x 1，x 2都在根号底下，想法把它们啃出来.有办法，将“分子有理化”.【续解】 32312121x x --- [KF （S]3[]1-2x 1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x 2[KF)] =3223213213223213213231)21()21)(21()21())21()21)(21()21()(2121(x x x x x x x x x x -+--+--+--+---- 易知322321321)21()21)(21()21(x x x x -+--+-=△>0.故有原式=∆-)(221x x <0. 故f (x )= 321x -的增区间为（-∞,+∞).【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略. 函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.【例2】 （04·天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P （ξ=0）=51C C 3634=; P (ξ=1)=53C C C 361224=；P (ξ=2)=51C C C 362214=∙，故ξ的分布列是：（Ⅱ）ξ的数学期望是：E ξ=0×51+1×53+2×51=1. (Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P （ξ≤1）=P (ξ=0)+P (=1)=54. 【例3】 （04·上海，20文）如图，直线y =21x 与抛物线y =81x 2 - 4交于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线与直线y = -5交于点Q .(1)求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于AB 下方（含点A 、B ）的动点时，求△OPQ 的面积的最大值.【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.【解答】 （1）由.032421,48122=--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x x x y x y 设AB 中点为M （x 0，y 0），则x 0 =2221=+x x ，y 0=21x 0=1. 故有M （2，1），又AB ⊥MQ ，∴MQ 的方程是：y -1=-2(x -2)，令y =-5，得x =5，点Q 的坐标为(5, -5 ).(2)由（1）知|OQ |=52为定值.设P (x ，81x 2-2)为抛物线上B A 上一点，由（1）知x 2-4x -32≤0，得x ∈［-4,8］，又直线OQ 的方程为： x+y =0，点P 到直线OQ 的距离：d =28|48)4(|2|281|22-+=-+x x x ，显然d ≠0，(否则△POQ 不存在)，即x ≠43-4，为使△POQ 面积最大只须d 最大，当x =8时，d max =62. ∴(S △POQ )max =21·|OQ |·d max =21·52·62=30.【例4】 O 为锐角△ABC 的外心，若S △BOC ，S △COA ，S △AOB 成等差数列，求tan A ·tan C 的值.【解答】 如图，有：S △BOC +S △AOB =2S △COA .不妨设△ABC 外接圆半径为1，令∠BOC =α=2A ,∠AOC =β=2B ，∠AOB =r=2C ， 则有：21sin α+21sin γ=sin β， 即sin2A +sin2C =2sin2B .2sin(A+C )cos (A-C )= 4sin B cos B . 例4题解图∵sin(A+C )=sin B ≠0, cos B = -cos(A+C ).∴cos (A-C )+2cos (A+C )=0, cos A cos C +sin A sin C +2(cos A +cos C – sin A sin C )=0.3cos A cos C =sin A sin C ，故tan A tan C =3.【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.●对应训练1.在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1= 4CP .(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；（Ⅲ）求点P 到平面ABD 1的距离. 第1题图2.证明不等式：n n2131211<++++ (n ∈N +). 3.设x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4••，f (x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4sin 2323cos sin 41222x x x ，求f (x )的最大值与最小值. 4.若x ，y ，z ∈R +，且x+y+z =1，求函数u =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-111111z y x 的最小值.●参考答案1.建立如图的空间直角坐标系，有： A (4,0,0)，P (0,4,1)，B (4,4,0)，B 1(4,4,4)，D 1(0,0,4). (Ⅰ)连BP ，∵AB ⊥平面BCC 1B 1.∴AB ⊥BP ，∠APB 是直线AP 与平面BB 1C 1C 的夹角，∵||BP =.17142=+ ∴tan ∠APB 17174||=BP AB . ∴AP 与平面BB 1C 1C 所成角为arctan17174. (Ⅱ)连D 1B 1，则O ∈DB 1. ∵11B D =（4,4,0)，AP =（-4,4,1）, ∴11B D ·=-16+16+0=0. 即AP ⊥11B D ，也就是A 1⊥D 1. 第1题解图已知OH ⊥面AD 1P ，∴AP ⊥D 1O (三垂线定理)（Ⅲ）在DD 1上取|DQ |=1，有Q (0,0,1)，作QR ⊥AD 1于R ，∵RQ ∥AB ，∴PQ ∥面ABD 1，∵AB ⊥面AA 1D 1D ，∴AB ⊥QR ，则QR ⊥面ABD 1，QR 之长是Q 到平面ABD 1的距离，∵S △AD 1Q =21|1AC |·|QR |=21]|AD |·|Q D 1|. 即：42·|QR |= 4×3，∴|QR |=223.已证PQ ∥ABD 1，∴点P 到平面ABP 1的距离为223. 点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若干转换手法.2.只须证,2132122121n n<+++ 右式=nn n n +-+++++<+++++11321211211221111 =)1()23()12(21--++-+-+n n =n n <-21. ∴,2132122121n n <+++ 成立，从而1+.213121n n<+++ 3.先将f (x )化为同一个角的单一三角函数，得f (x )= -21sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-62x +83. 当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4••时,2x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈π2,36••，故f (x )为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4••，上的减函数,当x =3π时, ［f (x )］min =843-， 当x =4π时, ［f (x )］max =-83. 4.注意到x yz x z y x x x 2111≥+=-=-，同理：zxy y 211≥-，z xy z 211≥-， ∴u ≥xyzxyz 8=8. 第12计 小刀开门 切口启封●计名释义西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的“玻璃盒”里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫“请”.一小孩不顾礼节，拿着餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的“敢于一试”，在试试中碰到了盒子的入口.数学解题何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.●典例示范【例1】 已知5sin β=sin(2α+β)，求证：.23tan )tan(=+αβα 【分析】 题型是条件等式的证明，内容是三角函数的变换.条件和结论都是三角等式，正宗解法（大刀开门），首先考虑的是三角函数及和角变换.能否找到另外的切入口呢？比如说“抛开函数看常数”，我们找到了23这个数，试一试，就打23的主意！ 【解答】 化条件为,15sin )sin(=+ββα考察结论的右式23与15的数量关系知=-+151523，那么由合分比定理能使问题获得解决，即.231515sin )2sin(sin )2sin(=-+=-+++ββαββα 而左端分子、分母分别进行和差化积即为,tan )tan(αβα+于是等式成立. 【点评】 这才是真正的“小刀开门”，首先考虑了常数，而常数在函数面前自然是“小玩意”；首先考虑比例变换，比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”！数学解题时，在“入口对号”的情况下，小刀比大刀更管用.【例2】 设m 为正整数, 方程mx 2+2(2m -1)x +4m -7=0(x 为未知量)至少有一个整数根, 求m 的值.【分析】 若根据求根公式得到x =mm m 13)21(+±-, 讨论至少有一个整数根相当复杂.如果把常量m (m 是一个待求的常量)与变量x 相互转化,则解决此问题就简单了.【解答】 原方程可化为(x 2+4x +4)m =2x +7,即m =2)2(72++x x , 【插语】 m 是本题的破题小刀，因为所给方程中m 的最高次数是1，使得问题简化了.【续解】 由于x 为整数且m 为正整数, 则x ≠-2且2)2(72++x x ≥1, 得-3≤x ≤1,于是x =-3, -1, 0, 1, 代入原方程求出符合条件的m 值为1或5,即m =1或m =5时,原方程至少有一个整数根.【点评】 有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便可以将问题轻松解决.【例3】 设函数f (x )=x 2+x +a (a ∈R *)满足f (n )<0, 试判断f (n +1)的符号.【分析】 这道题看似代数题，但如果打开几何的大门，就可以找到条件与结论的联系，思路才会应运而生.【解答】 因为f (n )<0，所以函数f (x )=x 2+x+a 的图像与与x 轴有2个相异交点，如图所示，设横坐标为x 1、x 2且x 1<x 2，方程x 2+x+a =0有2个不等的实根x 1、x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧>=-=+<<.0,1,212121a x x x x x n x所以-1<x 1<n <x 2<0, 从而n +1>0, 例3题图于是 f (n +1)=(n +1)2 +(n +1)+a >0(a >0).【点评】 利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点，灵活运用常使解题化难为易，化繁为简.【例4】 过抛物线y 2=2px 的顶点O 作2条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点.【解答】 因为OA ⊥OB ，所以OA 与OB 的斜率成负倒数关系.设OA 的斜率为k ，将OA 的方程：y=kx 代入抛物线y 2=2px 中，求得A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛k p •k p 2,22,将OB 方程代入抛物线方程求B 点坐标时，只有斜率发生变化.因此，以k 1-置换A 点坐标中的k , 即得B 点坐标为(2pk 2, -2pk ).因而l AB ：y =),2(12)2(1222p x kk pk pk x k k --+--- 故直线AB 过定点(2p , 0).容易验证，斜率k =±1时，结论也成立.【点评】 找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系，常能找到简洁的解题思路.【例5】 已知x 、y 、z ∈R , x+y+z =1，求证:x 2+y 2+z 2≥.31 【解答】 运用均值代换法.令x =31γβα+=+=+31,31,•z •y , 则α+β+γ=0, 所以 x 2+y 2+z 2=31)(3231222≥++++++γβαγβα (当且仅当α=β=γ=0，即x=y=z =31时“=”成立). 【点评】 运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路，是中学数学的重要技能.●对应训练1.已知M 是椭圆1121622=+y x 上的动点，椭圆内有一定点A (-2,3), F 是椭圆的右焦点，试求|MA |+2|MF |的最小值，并求这时点M 的坐标.2.已知函数f (x )=12+x -ax , 其中a >0. 求a 的取值范围，使函数f (x )在区间［0,+∞)上是单调函数.3.如图所示，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |,点E 分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C,D,E 三点，且以A ，B 为焦点.当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围. 第3题图 4.已知a 、b >0,并且a+b =1,求证：.42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 5．如图所示，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1的面积为S ，侧棱CC 1到此面的距离为a ，求这个三棱柱的体积.第5题图●参考答案1．解析 挖掘隐含条件的数量关系即可 为简洁解题铺平道路.注意到椭圆的离心率,21 与结论中线段|MF |的系数之间的数量关系， 作MB 垂直于右准线l ，垂足为B ， 如图所示.则,21||||==e MB MF即|MB |=2|MF |, 所以|MA |+2|MF |=|MA |+|MB |. 第1题解图 易知点M 在线段AB 上时，|MA |+2|MF |取最小值8，这时点M 的坐标 为（23,3•）.2.解析 探究a 的值，应倒过来思考.设x 1<x 2, 且x 1、x 2∈［0,+∞), f (x 1) - f (x 2)= (x 1-x 2)·.11222121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++a x x x x因为.1,1222121x x •x x >+>+ 所以.011212221>+>+++x x x x得111222121<++++x x x x . 注意到x 1-x 2<0, 所以只要a ≥1，就有f (x 1)-f (x 2)>0. 即a ≥1时，函数f (x )在区间［0,+∞)上是单调减函数.显然0<a <1时，f (x )在区间［0,+∞)上不是单调函点评 运用逆向思维,当直接由条件探究结果难以凑效时，那就反过来，由果索因，这是建立解题思路的一个重要策略.3.解析 很多学生对本题无从下手，然而注意题中图案给予的启示，解题思路的就赫然可见了. 事实上，由图形的对称性，可设直线AB 为x 轴，AB 得中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy . 注意到|AB |=2|CD |，设OC =,2||c AB =依题意记A (-c,0)，C ),2(•h c, E (x 0, y 0). 由定比分点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.1,)1(2)2(00λλλλh y c x设双曲线方程为,12222=-by a x 将点C ，E 坐标代入方程，得,142222=-b h a c ① ,1)1()1(4)2(22222222=+-+-bh a c λλλλ ②将①代入②且用e 代入a c ，得e 2=.132121λ-+-=-+ 又由题设,4332≤≤λ可知e 2∈［7, 10］， 所以离心率e 的范围是.107≤≤e 点评 挖掘题图信息,从题中图案的启示切入，往往易得解题灵感. 4.解析 容易估计a=b =21时等号成立. 由此可以获得巧妙的证法. 构造,0415414141411534>≥++++=+a•a a a a a a a 同理,0415414141411534>≥++++=+b •b b b b b b b 两式相乘,)(412511538ab •b b a a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+注意到ab ≤,4122=⎪⎭⎫⎝⎛+b a 所以ab 1≥4, 故(a +a 1)(b +b 1)≥425(当且仅当a=b =21时取“=”号).从等号成立的条件切入是独具匠心的思考方法.点评 启用特例联想,从数学命题成立的特殊情形入手，常可找到巧妙的解题思路.5.解析 将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体，可知这个平行六面体的体积等于a S.很明显三棱柱ABC —A 1B 1C 1与三棱柱ACD —A 1C 1D 1体积相等.所以三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积等于.2aS用这种方法求解一些几何问题，效果十分明显.点评 看清分分合合,通过分割或整合，将数学问题化为熟悉的结论或易于解决的形式，也是建立解题思路的重要途径.第13计 钥匙开门 各归各用●计名释义开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑. 所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说.●典例示范【例1】 F 1、F 2是椭圆的两个焦点，|F 1F 2|=2c , 椭圆上的点P （x, y )到F 1（-c , 0), F 2 (c , 0)的距离之和为2a . 求证：|PF 1|=•x a c a ,+|PF 2|=.x ac a - 【分析】 一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有c 无b ，而椭圆方程12222=+by a x 却有b 无c ，搬动椭圆方程肯定是舍近求远.【解答】 对|PF 1| 和 |PF 2|用距离公式，结合椭圆的定义得关于|PF 1|= r 1, |PF 2|= r 2的方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(①22222222121•y c x r •y •c x r •a •r r ②-③消y 2, x 2和c 2得 r 21cx r 422=-r ④①，④联立，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=xa c a r x a c a r 21 故|PF 1|=,x a c a + |PF 2|=.x a c a -【点评】 快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远.【例2】 设数列{a n }的前n 项和S n =1+a n lg b , 求使1lim =∞→nn S 成立的b 的取值范围.【思考】 应首先分清{a n }是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题. 【解答】 a 1=1+a 1lg b , 若lg b =0, 即b =1时， a 1=S 1=1与1lim =∞→nn S 矛盾.∴b ≠1,于是a 1=,lg 11b- 而a n =(1+a n lg b )-(1+a n -1lg b ).∴a n (1-lg b )=-a n -1lg b ,1-n n a a =1lg lg -b b 为常数，{a n }是首项为,lg 11b-公比q =1lg lg -b b 的无穷递缩等比数列(已知1lim =∞→nn S 存在)，∴q =1lg lg -b b∈(-1,0)∪(0,1).由1lg lg -b b >-1, 即1lg lg 2-b b>0, 得lg b <21或lg b >1,又1lg lg -b b<0⇒0<lg b <1,于是0<lg b <,21 ∴b ∈(1,10) ①由0<1lg lg -b b<1⇒⎩⎨⎧-><1lg 1lg 0lg b b b 或,0lg <⇒b ∴b ∈(0, 1)] ②综合①、②，取并集，所求b 的取值范围为b ∈(0，1)∪(1,10).【例3】 某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有4只红球和3只白球，当抽到红球时奖励20元的商品，当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中).(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率； (2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60 ,70,80)元，求ξ的概率分布和期望.【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有 关计算公式也无法准确解题，例如：(1)随机事件A 发生的概率0≤P (A )≤1, 其计算方法为P (A )=nm, 其中m ，n 分别表示 事件A 发生的次数和基本事件总数；(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A 与A 必有一个发生，故A 与A 既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足P (A )+P （A ）=1；(3)离散型随机变量的期望，E ξ=x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n +…, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;(4)离散型随机变量的方差D ξ=(x 1-E ξ)2p 1+(x 2-E ξ)2p 2+…+(x n - E ξ)2p n +…，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.【解答】 (1)基本事件总数n =C 37=35, 设事件A ={任取3球，至少有一个红球}，则事件 A ={任取3球，全是白球}.∵A 与A 为对立事件，而Card A =1(任取3球全是白球仅一种可能). ∴P (A )=351,于是P (A )=1-P (A )=.3534 即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为.3534(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3×10+1×20=50), ∴P (ξ=50)=;354C C C 471433=∙ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2×10+2×20=60), ∴P (ξ=60)= ;3518C C C 472423=∙ ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3×20+1×10=70), ∴P (ξ=70)= ;3512C C C 471334= ξ=80表示所取4球全为红球, ∴P (ξ=80)= .351C C 4744= 于是ξ的分布列为：∴D ξ=50×35+60×35+70×35+80×35=7(元).即该顾客获奖的期望是7440≈63(元).●对应训练1 M 为双曲线12222=-by a x 上任意一点， F 1为左焦点， 求证:以MF 1为直径的圆与圆x 2+y 2= a 2相切.2 求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相 切.3 在离散型随机变量中，证明其期望与方差分别具有性质: (1)E (a ξ+b )=aE ξ+b ; (2)D ξ=E ξ2- E 2ξ.4 M 为抛物线y 2=2px 上任意一点，F 为焦点，证明以MF 为直径的圆必与y 轴相切.●参考答案1 如图所示，MF 1的中点为P , 设|PF 1|= r, 连接PO 、MF 2, ∵|PO |=21|MF 2|(中位线性质） ∴|PF 1| - |PO |=21(|MF 1| - |MF 2|)=21·2a = a , 即|PO |= r-a , 故以MF 1为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2内切.2 如图所示，设M 为椭圆上任一点，MF 1为焦半径，MF 1的中点为P , 设|PF 1|= r, 连OP 、MF 2. 则|OP |=21|MF 2|=21(2a -|MF 1|)= a-r∴以MF 1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.第1题解图 第2题解图 3．（1）∵E ξ=x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n ,∴E (a ξ+b )= (ax 1+b )p 1+(ax 2+b )p 2+…+(ax n +b )p n = a (x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n )+b (p 1+p 2+…+p n ) = aE ξ+b (∵p 1+p 2+…+p n =1).（2）D ξ=(x 1 - E ξ)2·p 1+(x 2 - E ξ)2p 2+…+(x n - E ξ)2p n +…=（x 21p 1+x 22p 2+…+x 2n p n +…）-2E ξ(x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n +…)+E 2ξ(p 1+p 2+…+p n +…)=E ξ2-2E ξ·E ξ+E 2ξ·1=E ξ 2- E 2ξ.4 如图所示，抛物线焦点F ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2•p ，准线l :x =2p-,作MH ⊥l 于H ，FM 中点 为P ，设圆P 的半径|PF |= r ，作PQ ⊥y 轴于Q ，则PQ 为梯形MNOF 的中位线. ∴|PQ |=,||21||21|)||(|21r MF MH MN OF ===+ ∴以MF 为直径的圆与y 轴相切. 第4题解图第14计 鲜花开门 情有独钟●计名释义冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？数学解题也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能“情有独钟”地筛选出你需要的她吗？ ●典例示范【例1】 P 点在平面内作匀速直线运动， 速度向量v =(4,-3).(P 点沿v 方向运动，每秒移动的距离是|v |）.开始时P （-10，10）， 求5秒后P 点的位置.【分析】 本质是对P 点运动的速度向量 v =（4，3）的理解：因为P 点按匀速直线运动，每秒位移是5.从速度分解观点看， 例1题图 每秒P 向右移4，向下移3.【解答】 5秒P 向右移20，下移15，设P 点5秒后到P ′（x, y ). x =-10+20=10, y =10-15=-5. 所以P ′（10，-5）.【点评】 这样解题很轻松，善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的，而不是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的.【插语】 如果不按上述方式，而是从寻找P P '=5v =(20,-15), 再求P O '=P O '+,P P ' 当然也能求出结果，但是并不省时间.众所周知，高考中的时间就是分数. 【例2】 （04·全国Ⅰ卷）函数y =1-x +1(x ≥1)的反函数是 ( )A ．y =x 2-2x +2 (x <1) B.y =x 2-2x +2(x ≥1) C ．y =x 2-2x (x <1) D.y =x 2-2x (x ≥1)【解答】 本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数x ≥1时，y ≥1.∴反函数的定义域为x ≥1，排除 A 、C .∵点（5，3）在f (x )的图象上，∴点（3，5）必在f -1(x )的图象上，而点（3，5）适合 B ，不适合 D ,∴选 B .【点评】 与反函数有关的选择题，要注意利用其“定义域与值域互易，对应法则互逆，图象关于直线y=x 对称”等特点，前呼后拥.【例3】 下列各式中，最小值为2的是 ( ) A ．4522++x x B.ba b a +++2C.b a a b +D.sin 1sin +x【思考】 利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足两个条件： （1）参与运算的量必须是正数；（2）只有当有关量可以“取等”时才有最值. ∵,2141,24,41445222222≤+≥++++=++x •x •x x x x 而故,41422+≠+x x 故否定A ；当a,b 异号时，,0,0<<b a •a b 否定C ；当sin x <0时，亦有sin 1<0,否定D ； ∴选 B .【点评】 可用直接法证明22min=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++b a b a ，∵b •a ,存在且在分母中出现，∴ab >0.又a+b +2=(a +1)+(b +1)≥2)(b a +，∴b a b a +++2≥2. 当且仅当a=b =1时22min=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++b a b a 【例4】 已知四边形ABCD为矩形且AB ≠BC , PA ⊥平面ABCD , 连接 AC,BD,PB,PC ,PD , 则以下各组向量中,数量 积不为零的是 ( )A ． B. C.AB PD 与 D.CD PA与 例4题图 【思考】 利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零.;,B •PB DA AB •D A •ABCD PA 排除平面图中⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥同理,排除•AB PD ,⊥ C. ∵PA ⊥平面ABCD , ∴CD PA ⊥，排除D ，选 A.【点评】 可用反证法证明BD PC 与不垂直, 假定BD PC ⊥.∵PA ⊥平面ABCD , ∴AC BD ⊥, 四边形ABCD 是正方形, 这与题设AB ≠BC 矛盾. ●对应训练1.若f (x )sin x 是周期为π的偶函数，则f (x )可以是①sin x , ②cos x ， ③cot x ， ④tan 2x中的( ) A.①② B.①④ C.③④ D. ① 2.下列五个命题：①|a |=a 2; ②a bab a =∙2; ③(a ·b )2=a 2·b 2; ④(a - b )2=a 2-2ab +b 2; ⑤若a ·b =0,则a =0或b =0. 其中正确命题的序号是 （ ）A.①②③B.①④C.①③④D.②⑤ 3.已知等比数列{a n }的公比为q ,下列命题正确的是 （ ） A. 若q >1, 则{a n }为递增数列 B. 若0<q <1, 则{a n }为递减数列C. 若q <1, 则{a n }为无穷递减等比数列D. 以上都不对 ●参考答案1. D 【思考】 利用选项的结构特点. 选项中有三项含①，故先检验①. 设F (x )= f (x )sin x ， 如果f (x )=sin x ，则F (x )=sin 2x =21(1-cos2x ). ∵ cos2x (从而F (x ))是周期为π的偶函数， ∴f (x ) 可以是①，否定C(无须检验③)，如果f (x )= cos x ，则F (x )=sin x cos x =21sin2x 是周期为π的奇函数，与要求不符，否定 A ；如果f (x )=tan 2x =xx sin cos 1-，则F (x ) =1-cos x 是周期为2π的偶函数，也与要求不符, 否定B.于是f (x )仅可以是①, 选 D ． 【点评】 排除法解选择题也要讲求效率，设法使工作量减到最少.2. B 利用向量运算的性质. ∵a 与b 共线，其夹角为0.∴a 2=a ·a =|a ||a |cos0=|a |2. ①正确排除D ；设a , b 夹角为θ. 则θθcos ||||||cos ||||22a b a b a a b a ==∙而向量运算中不含除法运算，a b ，②不能成立，排除A ；若a ⊥b ，且a ≠ b ，则(a ·b )2=0而a 2·b 2≠0, ∴③不能成立，排除 C. 3. D 选用特殊值取. q =2>1时，a 1=-1<0, 则{a n }为递减数列，排除A ；当0<q =21<1时，若a 1=-1<0，则{a n }为递增数列，排除B ；取q =-2<1, a 1=1，则{a n }为摆动等比数列，排除 C.第15计 驿站开门 望蜀得陇●计名释义一商人要去蜀国做生意，因栈道难行，结果到了陇西. 正当他发愁之时，来了一位远客，把他的货全部买走了. 商人大喜，对伙计们说，这客人说的蜀国话，赶快回关中运货去，我们还是按原计划去南蜀.等第二批货运到陇西时，又遇上这位客人. 一交谈，他没有把货运往南蜀，而是运往西域去了. 伙计们问商人：我们还是按原计划去南蜀吗？商人笑着说，“我们在这儿望望南蜀就行了.”接着在驿站里把生意做得火红.数学解题有时也遇上这种情景，原来计划的解题方案，在进行中遇到了一匹黑马，中途变阵之后，成果意外. 这时你不要埋怨原来的计划是错的：不“望蜀”，怎能“得陇”？●典例示范 【例1】图中，BC 1和DB 1分别是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的一条面对角线和体对角线. 例题图试求它们的距离.【解答】 连A 1C 1、C 1B 和BA 1. 得边长为2的正三角形A 1C 1B .易知，体对角线DB 1过△A 1C 1B 的中心G . 易得GB =GC 1. 再作BC 1的中点H . 猜想 GH 是DB 1和BC 1的公垂线， 为此只须证明HG ⊥DB 1. 易知GB 1=33，HB 1=22 GH =31·2·6623= 例题解图 因为 ,223366222⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 所以GH ⊥GB 1 即GH ⊥DB 1 . 【说明】 此处证GH ⊥DB 1就是我们的“望蜀”，其实DB 1⊥面A 1BC 1，而GH 是面A 1BC 1中的线段，当然GH ⊥DB 1，由此我们“得陇”.【续解】 故HG 是BG 与DB 1的公垂线.且长度66为它们的距离. 【点评】 这两条对角线异面.在不知（或不易作出）它们的公垂线时，属于难题.解题的方法是按“定义”，用垂直相交法作辅助线（面）.●对应训练1.已知关于x 的一元二次方程a x 2+b x +c =0,其中a ，b ，c 是非零平面向量，且a 与b 不共线，则该方（ ） A 可能有无数多个实数解 B 至多有两个实数解 C 至少有一个实数解 D 至多有一个实数解2.空间 （填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A 、B 、C 、D ，使得AB=CD =8cm ，AC=BD =10cm ，AD=BC =13cm . ●参考答案1. D 由于a 与b 不共线，所以可设c =m a +n b (其中m ，n ∈R )，代入方程a x 2+b x +c =0得a x 2+b x +(m a +n b )=0，即（x 2+m ) a +(x+n ) b =0,又a 与b 不共线，故有⎩⎨⎧=+=+,0,02n x m x 即⎩⎨⎧-=-=,,2n x m x 显然，当m >0时，原方程无实数解；当n 2=-m ≥0时，⎩⎨⎧=+=+0,02n x m x 有一个实数解.故应选 D .【说明】 此题容易简单想象成一元二次方程根的存在性问题，用判别式来判定，导致出现思维定势的错误. 对于向量的相关知识的考查在近年来的高考试题中常出现，并且有关向量的题目也在不断地创新，不再是书本知识的简单重复.基于此而创作了此题.2．要去寻找这样的点是很难叙述的.但我们可以虚拟一些特殊的图形去模拟运动，判断结果.细看题目有四个点，显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理，来得出需要的结论. 在空间中，分别以8、10、13为边长，作如图所示平面四边形，它由△ABC 和△BCD组成，公共边为BC =13cm ，AC=BD =10cm ，AB=CD =8cm ，固定△ABC 所在的平面，令△BCD 绕着边BC 旋转.显然当D 位于 第2题解图△ABC 所在的平面时，AD 最大.由BC =13cm ，AC =10cm ，AB =8cm ，可得cos ∠BAC =-321,即可知∠BAC 是钝角，故对于平行四边形（即D 在平面ABC 内时）ABDC ，对角线AD 的长小于对角线BC 的长，即AD <BC =13cm .显然，当点D 不在面ABC 内时都有AD <BC =13cm .因此按题目要求分布的四个点是不可能的，故知题目要求的四个点不存在.【点评】 这是一个探索型开放题，其存在与否取决于分析的过程，该题题型无论从结论上还是从方法的探究上都具有一定的开放性，因此我们开始做它时，选定一个方向直奔过去，到那儿时才发现此路不通.第16计 摆渡开门 萍水相逢●计名释义有道数学题，求证π>25. 很多学生不知所措时，却有一学生说此题非常简单，不过需找个第三者. 现在他已经指定了一个第三者，就是整数3.因为π>3，又3>25，所以π>25. 这里的第三者，如同一个渡船，它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”，。