6. 专题六 综合计算题(必考)

专题06 数据的分析（真题测试）一、单选题1. (2019 浙江杭州) 点点同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 标准差2. (2019 广西梧州) 某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82.下列关于这组数据的描述不正确的是（）A. 众数是108B. 中位数是105C. 平均数是101D. 方差是933. (2019 广西柳州) 阅读【资料】，完成下列小题.【资料】：如图，这是根据公开资料整理绘制而成的2004-2018年中美两国国内生产总值(GDP)的直方图及发展趋势线.(注：趋势线由Excel系统根据数据自动生成，趋势线中的y表示GDP，x表示年数)2004-2018年中美两国国内生产总值(GDP，单位：万亿美元)直方图及发展趋势线（1）依据【资料】中所提供的信息，2016-2018年中国GDP的平均值大约是( )A. 12.30B. 14.19C. 19.57D. 19.71（2）依据【资料】中所提供的信息，可以推算出中国的GDP要超过美围，至少要到( )A. 2052年B. 2038年C. 2037年D. 2034年4. ( 2019 四川宜宾) 如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩：根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为 x 甲̅̅̅̅ 、 x 乙̅̅̅̅ ，甲、乙的方差分别为 s 甲2， s 乙2，则下列结论正确的是（ ） A. x 甲̅̅̅̅=x 乙̅̅̅̅ ， s 甲2<s 乙2B. x 甲̅̅̅̅=x 乙̅̅̅̅ ， s 甲2>s 乙2C. x 甲̅̅̅̅>x 乙̅̅̅̅ ， s 甲2<s 乙2D. x 甲̅̅̅̅<x 乙̅̅̅̅ ， s 甲2<s 乙25. (2019 上海) 甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)成绩如图所示，下列判断正确的是( )A. 甲的成绩比乙稳定B. 甲的最好成绩比乙高C. 甲的成绩的平均数比乙大D. 甲的成绩的中位数比乙大 6. (2019 辽宁本溪) 下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（℃）的统计结果：则该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（ ）A. 25,25B. 25,26C. 25,23D. 24,25二、填空题7. (2019 浙江金华) 数据3，4，10，7，6的中位数是________． 8. ( 2019 浙江衡州) 数据2，7，5，7，9的众数是________ 。

专题六简单机械计算题知识点1：功1、杠杆定义：在力的作用下绕着固定点转动的硬棒叫杠杆。

杠杆五要素：①支点：杠杆绕着转动的点，用字母O 表示。

②动力：使杠杆转动的力，用字母F1表示。

③阻力：阻碍杠杆转动的力，用字母F2表示。

④动力臂：从支点到动力作用线的距离．用字母l1表示。

⑤阻力臂：从支点到阻力作用线的距离．用字母l2表示。

2、杠杆的平衡条件：①杠杆平衡：杠杆静止不动或匀速转动都叫做杠杆平衡。

②杠杆平衡条件的表达式：动力×动力臂=阻力×阻力臂。

③公式的表达式为：F1l1=F2l2。

3、杠杆分为三类：省力杠杆、费力杠杆和等臂杠杆；分类示意图特点应用分类省力杠杆动力臂大于阻力臂（l1＞l2），省力费距离撬棒、刚刀、羊角锤、钢丝钳、手推车、园艺剪刀等省力杠杆费力杠杆动力臂小于阻力臂（l1＜l2），费力省距离起重臂、船奖、钓鱼竿等费力杠杆等臂杠杆动力臂等于阻力臂（l1＝l2），不省力不费力，不省距离也不费距离天平、跷跷板、定滑轮（下节学）等等臂杠杆知识点2：滑轮1、滑轮定义：边缘有凹槽，能绕轴转动的小轮。

因为滑轮可以连续旋转，因此可看作是能够连续旋转的杠杆，仍可以用杠杆的平衡条件来分析。

滑轮分类：定滑轮和动滑轮。

2、定滑轮工作特点：特点∶使用定滑轮不省力（F=G ），也不省距离（s=h ），但能改变施力的方向。

实质∶定滑轮是一个等臂杠杆。

如图所示，定滑轮的轴相当于支点 O ，作用于绳端的拉力为动力F 1，重物对绳子的拉力为阻力F 2，动力臂和阻力臂都等于滑轮的半径，即l 1=l 2=r ，根据杠杆平衡条件可知， F 1=F 2，即F = G ，所以使用定滑轮不省力。

定滑轮的施力方向不影响力的大小：如下图所示，利用定滑轮拉起一个重为G 的物体，改变拉力的方向，作出每次的阻力臂和动力臂，由图可知每次阻力和阻力臂的乘积均为 Gl 2，其中l 2 = R （R 为滑轮半径）;根据几何知识可知，三次的动力臂l 1=l 1'=l 1"=R ，根据杠杆的平衡条件可得F 1 = F 1'=F 1"= G ，因此定滑轮的施力方向不影响力的大小。

专题六化学计算题1．(2014年佛山)佛山西樵山是岭南名山，有“天然氧吧”之美誉。

山林里空气中的自由电子附着在氧分子上形成负氧离子(O－2)，被称为“空气维生素”。

O－2的相对分子质量是( )。

A．16 B．32 C．32 g D．332．(2014年佛山，双选)在一定条件下，一个密闭容器内发生某反应，测得反应前后各物质的质量如下表所示。

下列有关说法正确的是( )。

物质 a b c d反应前的质量/g 30 20 10 15反应后的质量/g x y0 10A.参加反应的cC．当y≤20时，该反应一定是化合反应 D．x的取值范围：0≤x≤303．(2015年茂名)吸烟有害健康。

香烟的烟气中含有几百种对人体有害的物质，其中一种是尼古丁，其化学式为C10H14N2，为了你的健康请不要吸烟。

(1)尼古丁属于____________(填“无机物”或“有机物”)。

(2)尼古丁分子中，C、H、N三种元素的原子个数比____________(填最简比)。

(3)尼古丁中氮元素质量分数为____________(结果精确到0.1%)。

4．(2013年广东)右图是A、B两种物质的溶解度曲线，根据图示回答下列问题：(1)t1℃时，A、B两种物质的溶解度是A________B(填“>”“<”或“＝”，下同)。

(2)将t3℃的A、B两种物质的饱和溶液各200 g，降温至t1℃，析出晶体的质量关系是A________B。

(3)t2℃时，100 g水中溶解50 g A刚好饱和，那么50 g水中溶解________g B也刚好达饱和，此时溶液的质量分数是__________(精确到0.1%)。

5．(2013年佛山) 某实验需要100 g 8%的硫酸铜溶液。

(1)该溶液的溶质质量是________g，从中取10 g溶液，此溶液的质量分数为________。

(2)实验室用硫酸铜晶体(分子式为CuSO4·5H2O)配制100 g 8%的硫酸铜溶液，需称取硫酸铜晶体________g。

专题六化学计算题(必考)一、有关化学式的计算(必考)此类试题解题时要抓住两个关键量，即相对原子质量和各原子的个数。

解题方法如下：如以C6H12O6为例1．一个分子中碳、氢、氧的原子个数比＝6∶12∶6＝1∶2∶12．相对分子质量＝12×6＋1×12＋16×6＝1803．碳、氢、氧元素的质量比＝(12×6)∶(1×12)∶(16×6)＝6∶1∶84．碳元素的质量分数＝碳的相对原子质量×原子个数×100%＝C6H12O6的相对分子质量12×6180×100%＝40%5．碳元素的质量＝C6H12O6的质量×碳元素的质量分数1．(2019省卷)如图是某化肥的部分信息。

请根据该信息计算：△△牌钾肥主要成分：K2SO4(杂质不含钾元素)净重：50 kg化工厂(1)硫酸钾中钾、硫、氧三种元素的质量比为__39∶16∶32__。

(2)该钾肥中钾元素的质量分数最高为__44.8%__(精确至0.1%)。

2．(2018天水)由于高铁列车车厢是密闭的空间，因此需要提供清洁的空气和保持车厢的卫生。

高铁酸钠(Na2FeO x)是高铁上常用的一种“绿色、环保、高效”的消毒剂。

(1)已知高铁酸钠的相对分子质量为166，则x的值为__4__。

(2)__16.6__克的高铁酸钠中含有4.6克的钠元素。

3．(2021郴州)葡萄酒中含有白藜芦醇(C x H12O3)，现代科技证明，白藜芦醇具有美容养颜之功效，其相对分子质量为228。

试计算：(1)x＝14；(2)白藜芦醇中碳、氢、氧元素的原子个数比为14∶12∶3；(3)22.8 g白藜芦醇中氧元素的质量为4.8 g。

4．硅胶是常用的一种干燥剂。

利用氯化钴含有不同数目的结晶水呈现不同颜色的性质，在制备硅胶时加入一些氯化钴得到变色硅胶。

用CoCl2·xH2O表示含结晶水的氯化钴。

专题六四边形与三角形的综合毕节中考备考攻略纵观近4年毕节中考数学试卷,四边形与三角形的综合是每年的必考考点,其中2015年第24题综合考查平行四边形和直角三角形；2016年第25题综合考查菱形和三角形全等；2017年第24题综合考查平行四边形与三角形相似、解直角三角形；2018年第24题综合考查平行四边形、三角形和菱形.预计2019年将继续综合考查四边形与三角形.熟练掌握特殊四边形的性质与判定、特殊三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用,会画出四边形全等变换后的图形.解决问题时必须充分利用几何图形的性质及在题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用各种数学方法.中考重难点突破四边形与特殊三角形例1 如图,在四边形ABCD 中,AB ∥DC,AB ＝AD,对角线AC,BD 交于点O,AC 平分∠BAD ,过点C 作CE⊥AB 交AB 的延长线于点E,连接OE.(1)求证：四边形ABCD 是菱形； (2)若AB ＝5,BD ＝2,求OE 的长.【解析】(1)先判断出∠OAB＝∠DCA,进而判断出∠DAC＝∠DCA ,得出CD ＝AD ＝AB,即可得出结论； (2)先判断出OE ＝OA ＝OC,再求出OB ＝1,利用勾股定理求出OA,即可得出结果. 【答案】(1)证明：∵AB∥CD ,∴∠CAB ＝∠ACD. ∵AC 平分∠BAD ,∴∠CAB ＝∠CAD , ∴∠CAD ＝∠ACD ,∴AD ＝CD. 又∵AD＝AB,∴AB ＝CD.又∵AB∥CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形. 又∵AB＝AD,∴四边形ABCD 是菱形； (2)解：∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,OA ＝OC ＝12AC,OB ＝OD ＝12BD ＝1.在Rt △AOB 中,∠AOB ＝90°,∴OA ＝AB 2－OB 2＝2. ∵CE ⊥AB,∴∠AEC ＝90°. 在Rt △AEC 中,O 为AC 中点, ∴OE ＝12AC ＝OA ＝2.四边形与三角形全等例2 (2018·张家界中考)在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE ＝AD,DF ⊥AE,垂足为点F. (1)求证：DF ＝AB ；(2)若∠FDC＝30°,且AB ＝4,求AD.【解析】(1)利用“AAS ”证△ADF≌△EAB 即可得证；(2)由∠ADF＋∠FDC＝90°,∠DAF ＋∠ADF＝90°得∠FDC＝∠DAF＝30°,据此知AD ＝2DF,根据DF ＝AB 可得答案.【答案】(1)证明：在矩形ABCD 中,AD ∥BC, ∴∠AEB ＝∠DAF.又∵DF⊥AE ,∴∠DFA ＝90°,∴∠DFA ＝∠B. 又∵AD＝EA,∴△ADF ≌△EAB,∴DF ＝AB ；(2)解：∵∠ADF＋∠FDC ＝90°,∠DAF ＋∠ADF＝90°,∴∠FDC ＝∠DAF＝30°,∴AD ＝2DF.∵DF ＝AB ＝4,∴AD ＝2AB ＝8.四边形与三角形相似例3 (2018·资阳中考)已知：如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,点M 是斜边AB 的中点,MD ∥BC,且MD ＝CM,DE ⊥AB 于点E,连接AD,CD.(1)求证：△MED∽△BCA； (2)求证：△AMD≌△CMD；(3)设△MDE 的面积为S 1,四边形BCMD 的面积为S 2,当S 2＝175S 1时,求cos ∠ABC 的值.【解析】(1)易证∠DME＝∠CBA ,∠ACB ＝∠DE M ＝90°,从而可证明△MED∽△BCA；(2)由∠ACB＝90°,点M 是斜边AB 的中点,可知BM ＝CM ＝AM,又由MD∥BC 可证明∠AMD＝∠CMD ,从而可利用全等三角形的判定方法证明△AMD≌△CMD；(3)易证DM ＝12AB,由(1)可知△MED∽△BCA ,所以S 1S △ACB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DM AB 2＝14,所以S △MCB ＝12S △ACB ＝2S 1,从而可求出S △EBD ＝S 2－S △MCB －S 1＝25S 1,由于S 1S △EBD ＝ME EB ,从而可知ME BE ＝52,设ME ＝5x,EB ＝2x,从而用x 表示出AB,BC,最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【答案】(1)证明：∵MD∥BC ,∴∠DME ＝∠CBA. ∵∠ACB ＝∠DEM＝90°,∴△MED ∽△BCA ； (2)证明：∵∠ACB＝90°,点M 是斜边AB 的中点, ∴BM＝CM ＝AM,∴∠MCB ＝∠MBC. ∵∠DMB ＝∠MBC , ∴∠MCB ＝∠DMB＝∠MBC. ∵MD ∥BC,∴∠CMD ＝180°－∠MCB. 又∵∠AMD＝180°－∠DMB , ∴∠AMD ＝∠CMD. 在△AMD 与△CMD 中, ⎩⎪⎨⎪⎧MD ＝MD ，∠AMD ＝∠CMD，AM ＝CM ，∴△AMD ≌△CMD(SAS )；(3)解：∵DM＝CM,∴AM ＝CM ＝DM ＝BM, ∴DM ＝12AB.由(1)可知△MED∽△BCA ,∴S 1S △ACB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DM AB 2＝14,∴S △ACB ＝4S 1. ∵CM 是△ACB 的中线,∴S △MCB ＝12S △ACB ＝2S 1,∴S △EBD ＝S 2－S △MCB －S 1＝25S 1,∴S 1S △EBD ＝ME EB ,∴S 125S 1＝ME EB ,∴ME EB ＝52. 设ME ＝5x,EB ＝2x,则BM ＝7x, ∴AB ＝2BM ＝14x. ∵MD AB ＝ME BC ＝12,∴BC ＝10x, ∴cos ∠ABC＝BC AB ＝10x 14x ＝57.1.(2018·贺州中考)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝90°,O,D 分别是边AC,AB 的中点,过点C 作CE ∥AB 交DO 的延长线于点E,连接AE.(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若四边形AECD 的面积为24,tan ∠BAC ＝34,求BC 的长.(1)证明：∵点O 是AC 的中点,∴OA ＝OC.∵CE ∥AB,∴∠DAO ＝∠ECO. 又∵∠AOD＝∠COE ,∴△AOD ≌△COE(ASA ),∴AD ＝CE, ∴四边形AECD 是平行四边形. 又∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线, ∴CD ＝AD ＝12AB,∴四边形AECD 是菱形；(2)由(1)知,四边形AECD 是菱形,∴AC ⊥ED.在Rt △AOD 中,tan ∠DAO ＝OD OA ＝tan ∠BAC ＝34,可设OD ＝3x,OA ＝4x, 则ED ＝2OD ＝6x,AC ＝2OA ＝8x.由题意可得12·6x·8x＝24,∴x ＝1,∴OD ＝3.∵O,D 分别是AC,AB 的中点, ∴OD 是△ABC 的中位线, ∴BC ＝2OD ＝6.2.(2018·盐城中考)在正方形ABCD 中,对角线BD 所在的直线上有两点E,F 满足BE ＝DF,连接AE,AF,CE,CF,如图.(1)求证：△AB E≌△ADF；(2)试判断四边形AECF 的形状,并说明理由. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形,∴AB ＝AD, ∴∠ABD ＝∠ADB ,∴∠ABE ＝∠ADF. 在△ABE 与△ADF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS )； (2)解：四边形AECF 是菱形. 理由：连接AC,交BD 于点O. ∵四边形ABCD 是正方形, ∴OA ＝OC,OB ＝OD,AC ⊥EF, ∴OB ＋BE ＝OD ＋DF,即OE ＝OF. ∵OA ＝OC,OE ＝OF,∴四边形AECF 是平行四边形, 又∵AC⊥EF ,∴四边形AECF 是菱形.3.(2018·湖州中考) 已知在Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ≥AC,D,E 分别为AC,BC 边上的点(不包括端点),且DC BE ＝ACBC＝m,连接AE,过点D 作DM ⊥AE,垂足为点M,延长DM 交AB 于点F. (1)如图1,过点E 作EH⊥AB 于点H,连接DH.①求证：四边形DHEC 是平行四边形； ②若m ＝22,求证：AE ＝DF ； (2)如图2,若m ＝35,求DFAE的值.(1)证明：①∵EH⊥AB ,∠BAC ＝90°, ∴EH ∥CA,∴△BHE ∽△BAC,∴BE BC ＝HEAC .∵DC BE ＝AC BC ,∴BE BC ＝DC AC ,∴HE AC ＝DC AC, ∴HE ＝DC.∵EH ∥DC,∴四边形DHEC 是平行四边形； ②∵AC BC ＝22,∠BAC ＝90°,∴AC ＝AB.∵DC BE ＝22,HE ＝DC,∴HE BE ＝22. 又∵∠BHE＝90°,∴BH ＝HE. ∵HE ＝DC,∴BH ＝CD,∴AH ＝AD. ∵DM ⊥AE,EH ⊥AB, ∴∠EHA ＝∠AMF＝90°,∴∠HAE ＋∠HEA＝∠HAE＋∠AFM＝90°, ∴∠HEA ＝∠AFD.∵∠EHA ＝∠FAD＝90°,∴△HEA ≌△AFD,∴AE ＝DF ； (2)解：过点E 作EG⊥AB 于点G.∵CA ⊥AB,∴EG ∥CA,∴△EGB ∽△CAB, ∴EG CA ＝BE BC ,∴EG BE ＝CA BC ＝35. ∵CD BE ＝35,∴EG ＝CD. 设EG ＝CD ＝3x,AC ＝3y,则BE ＝5x,BC ＝5y, ∴BG ＝4x,AB ＝4y. ∵∠EGA ＝∠AMF＝90°, ∴∠GEA ＋∠EAG＝∠EAG＋∠AFM ,∴∠AFM＝∠AEG.∵∠FAD＝∠EGA＝90°,∴△FAD∽△EGA,∴DFAE＝ADAG＝3y－3x4y－4x＝34.毕节中考专题过关 1.(2018·乌鲁木齐中考)如图,在四边形ABCD 中,∠BAC ＝90°,E 是BC 的中点,AD ∥BC,AE ∥DC,EF ⊥CD 于点F.(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若AB ＝6,BC ＝10,求EF 的长.(1)证明：∵AD∥BC ,AE ∥DC,∴四边形AECD 是平行四边形.∵∠BAC ＝90°,E 是BC 的中点,∴AE ＝CE ＝12BC,∴四边形AECD 是菱形；(2)解：过A 作AH⊥BC 于点H.∵∠BAC ＝90°,AB ＝6,BC ＝10,∴AC ＝102－62＝8.∵S △ABC ＝12BC·AH＝12AB·AC ,∴AH ＝6×810＝245.∵点E 是BC 的中点,BC ＝10,四边形AECD 是菱形,∴CD ＝CE ＝5.∵S ▱AECD ＝CE·A H ＝CD·EF ,∴EF ＝AH ＝245.2.(2018·青岛中考)已知：如图,▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E,点G 为AD 的中点,连接CG,CG 的延长线交BA 的延长线于点F,连接FD.(1)求证：AB ＝AF ；(2)若AG ＝AB,∠BCD ＝120°,判断四边形ACDF 的形状,并证明你的结论.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB ＝CD,∴∠AFG ＝∠DCG.又∵GA＝GD,∠AGF ＝∠CGD ,∴△AGF ≌△DGC,∴AF ＝CD.∴AB ＝AF ；(2)解：四边形ACDF 是矩形.证明：∵AF＝CD,AF ∥CD,∴四边形ACDF 是平行四边形.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠BAD ＝∠BCD＝120°.∴∠FAG ＝60°.∵AB ＝AG ＝AF,∴△AFG 是等边三角形,∴AG ＝GF.∵四边形ACDF 是平行四边形,∴FG ＝CG,AG ＝DG.∴AD＝CF.∴四边形ACDF 是矩形.3.已知：如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC,AD ＝CD,E 是对角线BD 上一点,且EA ＝EC.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC,且∠CBE∶∠BCE＝2∶3,求证：四边形ABCD 是正方形.证明：(1)在△ADE 与△CDE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE,∴∠ADE ＝∠CDE.∵AD ∥BC,∴∠ADE ＝∠CBD ,∴∠CDE ＝∠CBD ,∴BC ＝CD.∵AD ＝CD,∴BC ＝AD,∴四边形ABCD 为平行四边形.∵AD ＝CD,∴四边形ABCD 是菱形；(2)∵BE＝BC,∴∠BCE ＝∠BEC.∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3,∴∠CBE ＝180×22＋3＋3＝45°. ∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ABE ＝∠CBE＝45°,∴∠ABC ＝90°,∴四边形ABCD 是正方形.4.(2018·眉山中考)如图①,在四边形ABCD 中,AC ⊥BD 于点E,AB ＝AC ＝BD,点M 为BC 的中点,N 为线段AM 上的点,且MB ＝MN.(1)求证：BN 平分∠ABE；(2)若BD ＝1,连接DN,当四边形DNBC 为平行四边形时,求线段BC 的长；(3)如图②,若点F 为AB 的中点,连接FN,FM,求证：△MFN∽△BDC.(1)证明：∵AB＝AC,∴∠ABC ＝∠ACB.∵M 为BC 的中点,∴AM ⊥BC.在Rt △ABM 中,∠MAB ＋∠ABC＝90°.在Rt △CBE 中,∠EBC ＋∠ACB＝90°,∴∠MAB ＝∠EBC.又∵MB ＝MN,∴△MBN 为等腰直角三角形,∴∠MNB ＝∠MBN＝45°,∴∠EBC ＋∠NBE＝45°,∠MAB ＋∠ABN＝∠MNB＝45°,∴∠NBE ＝∠ABN ,即BN 平分∠ABE；(2)解：设BM ＝CM ＝MN ＝a.当四边形DNBC 是平行四边形时,DN ＝BC ＝2a.在△ABN 和△DBN 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DB ，∠NBD ＝∠NBA，BN ＝BN ，∴△ABN ≌△DBN(SAS ),∴AN ＝DN ＝2a.在Rt △ABM 中,由AM 2＋BM 2＝AB 2,得(2a ＋a)2＋a 2＝1,解得a ＝±1010(负值舍去),∴BC ＝2a ＝105；(3)证明：在Rt △MAB 中,F 是AB 的中点,∴MF ＝AF ＝BF,∴∠MAB ＝∠FMN.又∵∠MAB＝∠CBD ,∴∠FMN ＝∠DBC. ∵MFAB ＝MNBC ＝12,∴MF BD ＝MN BC ＝12,∴△MFN ∽△BDC.5.(2018·枣庄中考)如图,将矩形ABCD 沿AF 折叠,使点D 落在BC 边的点E 处,过点E 作EG∥CD 交AF 于点G,连接DG.(1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG,GF,AF 之间的数量关系,并说明理由；(3)若AG ＝6,EG ＝25,求BE 的长.(1)证明：∵GE∥DF ,∴∠EGF ＝∠DFG.由翻折的性质可知DG ＝EG,DF ＝EF,∠DGF ＝∠EGF ,∴∠DGF ＝∠DFG ,∴DG ＝DF,∴DG ＝EG ＝DF ＝EF,∴四边形EFDG 是菱形；(2)解：EG 2＝12GF·AF.理由：连接DE,交AF 于点O.∵四边形EFDG 是菱形,∴GF ⊥DE,OG ＝OF ＝12GF.∵∠DOF ＝∠ADF＝90°,∠OFD ＝∠DFA , ∴△DOF ∽△ADF,∴DF AF ＝OF DF ,即DF 2＝OF·AF.∵OF ＝12GF,DF ＝EG,∴EG 2＝12GF·AF；(3)解：过点G 作GH⊥DC ,垂足为点H. ∵EG 2＝12GF·AF ,AG ＝6,EG ＝25,即GF 2＋6GF －40＝0,解得GF ＝4,GF ＝－10(舍去).∵DF ＝EG ＝25,AF ＝AG ＋GF ＝10, ∴AD ＝AF 2－DF 2＝4 5.∵GH ⊥DC,AD ⊥DC,∴GH ∥AD, ∴△FGH ∽△FAD,∴GH AD ＝GF AF ,即GH 45＝410,∴GH ＝855.∴BE ＝AD －GH ＝45－855＝1255.。

专题六 综合计算题类型一 文字表达型将铁粉和铜粉的混合物7 g ，参加到盛有58.1 g 稀盐酸的烧杯中，恰好完全反响，此时烧杯内各物质的总质量为64.9 g 。

试计算： (1)原混合物中铁粉的质量分数。

(2)反响后所得溶液中溶质的质量分数。

参与反响的物质有哪些，应该用什么方程式进展计算。

分析模型步骤一：分析题干信息，确定化学方程式Fe ＋2HCl===FeCl 2＋H 2↑。

步骤二：分析题干中的数据，抓住打破口“恰好完全反响〞，即铁粉恰好完全反响，盐酸也恰好完全反响。

步骤三：利用化学方程式进展计算。

生成氢气的质量7 g ＋58.1 g －64.9 g ＝0.2 g Fe ＋2HCl===FeCl 2＋H 2↑ √ √ 0.2 g由此可以计算出混合物中铁的质量，溶液中溶质的质量。

步骤四：计算纯度、溶液中溶质质量分数。

铁粉的质量分数＝铁粉的质量混合物质量×100%溶质质量分数＝溶质质量溶液质量×100%注：画“√ 〞表示可由数据求得，下同。

1．(2021·山西中考)黄铜(铜锌合金)的外观与黄金极为相似，容易以假乱真。

小红同学想测定黄铜中锌的含量。

她称取20 g 黄铜样品放入烧杯中，参加足量稀硫酸充分反响后，测得生成氢气的质量为 0.2 g。

(1)该反响属于____________(填根本反响类型)。

(2)求黄铜样品中锌的质量分数(写计算过程)。

2．(2021·潍坊中考)工业纯碱中常含有少量的氯化钠。

某学习小组对其组成展开探究。

现取24 g纯碱样品，参加100 g水使其完全溶解，再参加96 g过量的氯化钙溶液，完全反响后，过滤、洗涤、枯燥得沉淀20 g。

完成以下问题：(1)反响后溶液中含有的溶质是________________________(写化学式)。

(2)通过数据，能求出的量有__________(写字母序号)。

A．反响后溶液的总质量B．参加反响的氯化钙的质量C．样品中碳酸钠的质量分数D．氯化钙溶液中溶质的质量分数(3)计算反响后溶液中氯化钠的质量分数。

2022~2023年中考复习计算和综合应用系列专题六：电学的计算一欧姆定律的计算1．如图所示，电源电压恒定，R1＝30Ω，当S闭合，S1断开时，电流表的示数为0.2A；当S、S1都闭合时，电流表的示数为0.5A。

求：（1）电源电压；（2）R2的阻值。

2．为了保护同学们的视力，教室内安装了可调亮度的LED护眼灯，小明同学设计了一个模拟调光灯的电路，如图所示，电源电压恒为4.5V，灯泡标有“2.5V 0.4A”字样（灯丝阻值不变），滑动变阻器标有“10Ω1A”字样，当灯泡正常发光时。

求：（1）灯泡的电阻；（2）滑动变阻器两端的电压；（3）滑动变阻器接入电路的阻值。

3．在如图所示的电路中，电源电压为6伏且保持不变，定值电阻R1的阻值为5欧，滑动变阻器R2上标有“20欧2安”字样，电流表A1的示数为2安。

（1）求通过R1的电流I1。

（2）求此时滑动变阻器连入电路的阻值R2。

（3）移动滑片，在电路安全工作的情况下，电流表A1示数的最大变化量ΔImax。

4．如图所示的电路中，R1＝40Ω，R3＝20Ω，电源电压U＝12V且保持不变，当S1、S2断开时，电流表的示数为0.1A。

求：（1）R2的阻值。

（2）S1、S2闭合时电流表的示数。

（3）S1断开，S2闭合时电流表的示数。

5．如图所示，电源电压和小灯泡的灯丝电阻均保持不变。

R1为6Ω的定值电阻，小灯泡L上标有“12V”字样，滑动变阻器R2上标有“10Ω 3A”字样，电流表使用的量程为0～3A。

当所有开关都闭合，滑动变阻器的滑片移到最上端时，小灯泡正常发光，此时电流表的示数为1.7A。

设灯丝电阻不随温度变化.求：（1）电源电压；（2）小灯泡L的电阻；（3）开关S、S2闭合，S1、S3断开时，电流表的示数；（4）开关S、S3闭合，S1、S2断开时，为了保证测量精确，要求电流表示数不小于其量程的1/3，求滑动变阻器R2连入电路的最大阻值。

6．如图所示，电源电压保持不变，定值电阻R1、R2的阻值分别为10Ω、30Ω。

6.混合运算和简便运算知识要点梳理一、四则混合运算的顺序同级运算(只含有加减，或只含有乘除)，从左到右依次计算；含有两级的运算，先算二级(乘除)，后算一级(加减)；算式里有括号的，要先算小括号里面的，再算中括号，最后算中括号外面的。

二、四则混合运算定律1.加法交换律:a+b=b+a ，即交换两个加数的位置，和不变。

2.加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)，即先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变。

3.乘法交换律:a ×b=b ×a ，即交换两个因数的位置，积不变。

4.乘法结合律:(a ×b)×c=a ×(b ×c)，即前两个数先乘，或后两个数先乘积不变。

5.乘法分配律:(a ±b)×c=a ×c ±b ×c ，即两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。

逆运算:a ×b ±a ×c=a ×(b ±c)。

6.减法性质:a-b-c=a-(b+c)，即一个数连续减去两个数可用这个数减去这两个数的和。

7.除法性质:a ÷b ÷c=a ÷(b ×c)，即一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个除数的积。

三、分数运算几种常用的间算方法1.裂项公式:这是对分配律的逆向运用，常用的方法是分数拆项，主要有以下几种形式: (1)分子、分母分别为两个相邻自然数的和与积时：n+(n+1)n×(n+1)=1n +1n+1 (2)分母为两个相邻自然数的积时:1n×(n+1)=1n−1n+1(3)分母是差为a （a ≠0）的两个自然数的积时：1n×(n+a )=(1n −1n+1)×1a2.数字变形法:这是一种从数字特点出发，创新变形，巧妙地运用运算性质，根据规律达到简算目的的方法，如:19971998较接近1，可将其转化为1−11998，然后根据情况运用适当的方法。

类型二小数混合运算【知识讲解】1. 运算顺序小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，整数四则混合运算的运算定律对小数同样适用。

2. 运算方法一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算，如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算，如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

【巩固练习】一、直接写得数。

0.5÷5= 0.4÷0.2= 0.48÷0.02=5÷0.5= 0.4×0.2= 0÷0.02=7.3+3.7= 0.15×4= 1.78+2.2=12﹣9.6+0.4= 7.5÷25= 0.3÷0.01=4÷0.8= 1.8×0.5﹣0.4= 0.16×5=6.6÷0.66= 1.23×0.3= 0.25×4÷0.25×4=0.25×0.5×8= 0.17+3.4+0.43= 0.4×4÷0.4×4=1÷0.125= 5.8+2.32+0.68+4.2= 1.25×8.8=（6+0.3）÷2.1=0.45÷（2﹣0.5）=二、脱式计算，能简算的要简算。

9.07﹣22.78÷3.412.5×17.8×0.86.3×1019.4×5.8+10.6×5.8 14﹣5.34﹣4.66 6.29×4.6+4.6×13.71 5.4﹣0.15×2.613÷2.5÷0.41.25×2.5×3.2（9.6+1.48÷3.7）÷8．0.69×4.2+0.69×5.8 （8+0.8）×1.25 4.95+12.08﹣5.376.15×9.4﹣4.2 62.8+2.02×9.5 0.25×3.8×0.432.8×10.5÷0.612.7+11.5÷59.07﹣22.78÷3.4 1.2×2.5+0.8×2.5 2.8×4.5+5.5×2.8 930÷5÷0.6 （2.25+27.75÷1.5）×1.612.5×2.5×3.2[5﹣1.7÷（2﹣1）]×120×2.5÷（10×0.7+3）7.2×0.8+1.04 6.83×7.5+6.83×2.51.08×0.88÷0.272.05÷0.82+33.63.5×0.99 （3.168+1.9）÷（10﹣9.44）1.2×3﹣6.5÷2.5 1.8×2.4÷3.6+0.8．（4.5×11.1×4.8）÷（3.33×0.8×0.9）3.5×1.25＋1.25＋3.5÷0.8三、列式计算。

专题六二次函数综合题类型一代数问题(2019·安徽)一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．(1)求k，a，c的值；(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．【分析】 (1)把(1，2)分别代入y＝kx＋4和y＝ax2＋c，得k＋4＝－2和a＋c＝2，然后求出二次函数图象的顶点坐标为(0，4)，可得c＝4，然后计算得到a 的值；(2)由A(0，m)(0＜m＜4)可得OA＝m，令y＝－2x2＋4＝m，求出B，C坐标，进而表示出BC长度，将OA，BC代入W＝OA2＋BC2中得到W关于m的函数解析式，求出最小值即可．【自主解答】1．(2019·长春)已知函数(1)当n＝5，①点P(4，b)在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．(2)已知线段AB的两个端点坐标分别为A(2，2)、B(4，2)，当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．(3)当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．2．(2014·安徽)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A(1，1)．若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．3．(2019·陕西)在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2＋(c－a)x＋c经过点A(－3，0)和点B(0，－6)，L关于原点O对称的抛物线为L′.(1)求抛物线L的表达式；(2)点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD 与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．4．(2019·广州)已知抛物线G：y＝mx2－2mx－3有最低点．(1)求二次函数y＝mx2－2mx－3的最小值(用含m的式子表示)；(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)记(2)所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．5．(2019·长沙)已知抛物线y ＝－2x 2＋(b －2)x ＋(c －2 020)(b ，c 为常数)． (1)若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围； (3)在(1)的条件下，存在正实数m ，n(m ＜n)，当m≤x≤n 时，恰好m 2m ＋1≤1y ＋2≤n 2n ＋1，求m ，n 的值．类型二 几何问题(2018·泰州)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的图象与x轴有两个交点．(1)当m＝－2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；(2)过点P(0，m－1)作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l上)，求m的范围；(3)在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．【分析】(1)先将m＝－2代入，得出函数解析式，再列一元二次方程即可求解；(2)先对函数图象的大概位置有个初步的认识，结合题干中的条件“图象与x轴有两个交点”得抛物线的顶点在x轴的下方，且在直线l上方，这样可以根据点A的纵坐标列不等式组求解；(3)在(2)的基础上进一步明确抛物线的顶点A 在第三象限，用含m的代数式表示出△ABO的底AB和高，就可以列出其面积关于m的函数关系式，从而利用二次函数的最值解决问题．【自主解答】1．如图，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为B(－1，0)，另一个交点为A，且与y轴交于点C.(1)求m的值；(2)求直线AC的函数表达式；(3)该二次函数的图象上有点D(x，y)(不与点C重合)，使S△ABD＝S△ABC，求点D 坐标．2．(2019·合肥包河区一模)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(－1，0)、B(4，0)，E是线段OB上一动点(点E不与O、B重合)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点D，交线段BC于点G，过点D作DF⊥BC，垂足为点F.(1)求该抛物线的解析式；(2)试求线段DF的长h关于点E的横坐标x的函数解析式，并求出h的最大值．3．(2019·甘肃)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．4．(2019·本溪)抛物线y ＝－29x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，顶点为C ，对称轴交x 轴于点D ，点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点(点P 不与C ，D 重合)．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ，交x 轴于点F. (1)求抛物线的解析式；(2)当△PCF 的面积为5时，求点P 的坐标；(3)当△PCF 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．参考答案【专题类型突破】 类型一【例1】 解：(1)由题意得，k ＋4＝2，解得k ＝－2， 则一次函数解析式为：y ＝－2x ＋4. 又∵二次函数顶点横坐标为0， ∴顶点坐标为(0，4)． ∴c＝4.把(1，2)代入二次函数表达式得a ＋c ＝2，解得a ＝－2.(2)∵由(1)得二次函数解析式为y ＝－2x 2＋4，令y ＝m ，得2x 2＋m －4＝0. ∴x＝±4－m2，设B ，C 两点的坐标分别为(x 1，m)(x 2，m)，则|x 1|＋|x 2|＝24－m2， ∴W＝OA 2＋BC 2＝m 2＋4×4－m2＝m 2－2m ＋8＝(m －1)2＋7.∴当m ＝1时，W 取得最小值7. 跟踪训练1．解：(1)当n ＝5时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋5x ＋5（x≥5）－12x 2＋52x ＋52（x<5）， ①将P(4，b)代入y ＝－12x 2＋52x ＋52，得b ＝92；②当x≥5时，当x ＝5时有最大值为5； 当x<5时，当x ＝52时有最大值为458，∴函数的最大值为458；(2)将点(4，2)代入y ＝－x 2＋nx ＋n 中， 得n ＝185，当185<n≤4时，图象与线段AB 只有一个交点， 将点(2，2)代入y ＝－x 2＋nx ＋n 中， 得n ＝2，将点(2，2)代入y ＝－12x 2＋n 2x ＋n2中，∴n＝83，∴2≤n<83时图象与线段AB 只有一个交点；综上所述：185<n≤4或2≤n<83时，图象与线段AB 只有一个交点；(3)当x ＝n 时，y ＝－12n 2＋12n 2＋n 2＝n2，n2>4，∴n>8， 当x ＝n 2时，y ＝18＋n 2，18＋n 2≤4，∴n≥312， 当x ＝n 时，y ＝－n 2＋n 2＋n ＝n ， n<4；∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，n>8或n≤312<4.2．解：(1)定义翻译：“同簇二次函数”即两个二次函数y 1与y 2的顶点坐标一样，且二次项系数的正负性相同．本题是开放题，答案不唯一，符合题意即可．如y 1＝2x 2，y 2＝x 2，顶点坐标都为(0，0)，且二次项系数均为正数，故符合．(2)∵函数y 1的图象经过点A(1，1)，∴2－4m ＋2m 2＋1＝1，解得m 1＝m 2＝1， ∴y 1＝2x 2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1. ∵y 1＋y 2与y 1为“同簇二次函数”， ∴可设y 1＋y 2＝k(x －1)2＋1(k>0)， 则y 2＝k(x －1)2＋1－y 1＝(k －2)(x －1)2. 由题意可知函数y 2的图象经过点(0，5)， 则(k －2)×(－1)2＝5.∴k－2＝5. ∴y 2＝5(x －1)2＝5x 2－10x ＋5.根据y 2的函数图象性质可知：当0≤x≤1时，y 随x 的增大而减小；当1<x≤3时，y 随x 的增大而增大，故0≤x≤3时，y 2的最大值为5×(3－1)2＝20. 3．解：(1)将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得：⎩⎪⎨⎪⎧9a －3（c －a ）＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－6. ∴L：y ＝－x 2－5x －6.(2)∵点A 、B 在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)， ∴设抛物线L′的表达式为y ＝x 2＋bx ＋6， 将A′(3，0)代入y ＝x 2＋bx ＋6，得b ＝－5， ∴抛物线L′的表达式为y ＝x 2－5x ＋6. A(－3，0)，B(0，－6)，∴AO＝3，OB ＝6.设：P(m ，m 2－5m ＋6)(m ＞0)， ∵PD⊥y 轴，∴点D 的坐标为(0，m 2－5m ＋6)． ∵PD＝m ，OD ＝m 2－5m ＋6， Rt△POD 与Rt△AOB 相似， ①△POD∽△BOA 时，PD BO ＝ODAO，即m ＝2(m 2－5m ＋6)， 解得：m ＝32或4；②当△ODP∽△AOB 时， 同理可得：m ＝1或6；∵P 1、P 2、P 3、P 4均在第一象限，∴符合条件的点P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(32，34)或(4，2)．4．解：(1)∵y＝mx 2－2mx －3＝m(x －1)2－m －3，抛物线有最低点， ∴二次函数y ＝mx 2－2mx －3的最小值为－m －3. (2)∵抛物线G ：y ＝m(x －1)2－m －3，∴平移后的抛物线G 1：y ＝m(x －1－m)2－m －3， ∴抛物线G 1顶点坐标为(m ＋1，－m －3)， ∴x＝m ＋1，y ＝－m －3， ∴x＋y ＝m ＋1－m －3＝－2， 即x ＋y ＝－2，变形得y ＝－x －2. ∵m＞0，m ＝x －1，∴x－1＞0， ∴x＞1，∴y 与x 的函数关系式为y ＝－x －2(x ＞1)．(3)如图，函数H ：y ＝－x －2(x ＞1)图象为射线， x ＝1时，y ＝－1－2＝－3；x ＝2时，y ＝－2－2＝－4， ∴函数H 的图象恒过点B(2，－4)， ∵抛物线G ：y ＝m(x －1)2－m －3，x ＝1时，y ＝－m －3；x ＝2时，y ＝m －m －3＝－3， ∴抛物线G 恒过点A(2，－3)，由图象可知，若抛物线与函数H 的图象有交点P ，则y B ＜y P ＜y A ， ∴点P 纵坐标的取值范围为－4＜y P ＜－3. 5．解：由题可知，抛物线解析式是： y ＝－2(x －1)2＋1＝－2x 2＋4x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －2＝4，c －2 020＝－1， ∴b＝6，c ＝2 019.(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是(x 0，y 0)，(－x 0，－y 0)(x 0≠0)，代入解析式可得：⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－2x 02＋（b －2）x 0＋（c －2 020），－y 0＝－2x 02－（b －2）x 0＋（c －2 020），∴两式相加可得：－4x 02＋2(c －2 020)＝0， ∴c＝2x 02＋2 020， ∴c>2 020.(3)由(1)可知抛物线y ＝－2x 2＋4x －1＝－2(x －1)2＋1， ∴y≤1，∵0<m<n，当m≤x≤n 时，恰好m 2m ＋1≤1y ＋2≤n2n ＋1，∴1n ≤1y ＋2≤1m ， ∴1n ≤y≤1m ， ∴1m ≤1，即m≥1， ∴1≤m<n，∵抛物线的对称轴是x ＝1，且开口向下， ∴当m≤x≤n 时，y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝m 时，y 最大值＝－2m 2＋4m －1， 当x ＝n 时，y 最小值＝－2n 2＋4n －1， 又1n ≤y≤1m， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝－2n 2＋4m －1①1m＝－2m 2＋4m －1②，将①整理，得2n 3－4n 2＋n ＋1＝0， 变形，得2n 2(n －1)－(2n ＋1)(n －1)＝0， ∴(n－1)(2n 2－2n －1)＝0， ∵n>1，∴2n 2－2n －1＝0，解得n 1＝1－32(舍去)，n 2＝1＋32.同理，由②得到：(m －1)(2m 2－2m －1)＝0， ∵1≤m≤n， ∴2m 2－2m －1＝0，解得m 1＝1，m 2＝1－32(舍去)，m 3＝1＋32(舍去)．综上所述，m ＝1，n ＝1＋32.类型二【例2】 (1)当m ＝－2时， 函数为y ＝x 2＋4x ＋2， 令y ＝0，则x 2＋4x ＋2＝0， 解得x 1＝－2＋2，x 2＝－2－2，则函数图象与x 轴交点的坐标为(－2＋2，0)，(－2－2，0)． (2)∵y＝x 2－2mx ＋m 2＋2m ＋2＝(x －m)2＋2m ＋2， ∴A(m，2m ＋2)．∵抛物线与x 轴有两个交点，且开口向上， ∴点A 在x 轴下方，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2＜0，2m ＋2＞m －1，解得－3＜m ＜－1.(3)如解图，由(2)知，抛物线对称轴为直线x ＝m ，顶点为A(m ，2m ＋2)， ∵－3＜m ＜－1，∴A 在第三象限． ∵B 为抛物线对称轴与l 的交点， ∴B(m，m －1)且点m 在点A 下方． ∴AB＝2m ＋2－(m －1)＝m ＋3.∴S △ABO ＝12(－m)(m ＋3)＝－12(m ＋32)2＋98.∴当m ＝－32时，S △ABO 最大＝98.综上所述，△ABO 的面积最大时m 的值为－32.跟踪训练1．解：(1)将点B(－1，0)代入y ＝－x 2＋2x ＋m ，得： －1－2＋m ＝0，m ＝3，即m 的值为3.(2)由(1)知，抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3，当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3. 则A(3，0)，B(－1，0)．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，有：⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3， 故直线AC ：y ＝－x ＋3.(3)以AB 为底，若S △ABD ＝S △ABC ，则点C ，D 到直线AB 的距离相等． ∵D(x，y)，则y ＝±3，代入抛物线的表达式中，有： y ＝3时，－x 2＋2x ＋3＝3， 解得x 1＝0，x 2＝2，∴D 1(2，3)； y ＝－3时，－x 2＋2x ＋3＝－3， 解得x 3＝1＋7，x 4＝1－7， ∴D 2(1＋7，－3)，D 3(1－7，－3)．综上所述，点D 的坐标为(2，3)，(1＋7，－3)，(1－7，－3)． 2．解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋3过点 A(－1，0)，B (4，0)， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝0，16a ＋4b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝94，则抛物线的解析式为y ＝－34x 2＋94x ＋3.(2)∵DF⊥BC^，DE⊥AB^，OC⊥AB， ∴OC∥DE，∴∠DGF＝∠OCB. ∴sin∠OCB＝sin∠DGF，∴OB BC ＝DFDG.∴DF＝OB BC·DG. ∵OC＝3，OB ＝4，∴BC＝5，∴DF＝45DG. ∵直线BC 经过点B(4，0)，C(0，3)，∴y BC ＝－34x ＋3. ∴点G 坐标为(x ，－34x ＋3)． ∵点D 坐标为(x ，－34x 2＋94x ＋3)， ∴DG＝－34x 2＋94x ＋3－(－34x ＋3)＝－34x 2＋3x ， ∴DF＝h ＝45(－34x 2＋3x) ＝－35x 2＋125x ＝－35(x －2)2＋125. ∴当x ＝2时，h 取最大值，h 最大值＝125. 3．解：(1)用交点式函数表达式得：y ＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3； 故二次函数表达式为：y ＝x 2－4x ＋3；(2)①当AB 为平行四边形一条边时，如解图1，解图1则AB＝PF＝2，则点P坐标为(4，3)，当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P(4，3)或(0，3)；②当AB是平行四边形的对角线时，如图2，解图2AB中点坐标为(2，0)．设点P 的横坐标为m ，点F 的横坐标为2，其中点横坐标为：m ＋22， 即：m ＋22＝2，解得：m ＝2， 故点P(2，－1)；故：点P(4，3)或(0，3)或(2，－1)；(3)直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3，解图3设点E 坐标为(x ，x 2－4x ＋3)，则点D(x ，－x ＋3)，S 四边形AEBD ＝12AB(y D －y E )＝－x ＋3－x 2＋4x －3＝－x 2＋3x ， ∵－1＜0，故四边形AEBD 面积有最大值，∴当x ＝32，其最大值为94，此时点E(32，－34)． 4．解：(1)函数的表达式为：y ＝－29(x ＋1)(x －5)＝－29x 2＋89x ＋109； (2)抛物线的对称轴为x ＝2，则点C(2，2)，设点P(2，m)，一次函数解析式为y ＝sx ＋t ，将点P 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝sx ＋t 可求解得函数PB 的表达式为：y ＝－13mx ＋5m 3①， ∵CE⊥PE，∴直线CE 表达式中的k 值为3m， 将点C 的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE 的表达式为：y ＝3m x ＋(2－6m)②， 将y ＝0代入②并解得：x ＝2－2m 3， 故点F(2－2m 3，0)， S △PCF ＝12×PC×DF＝12(2－m)(2－2m 3－2)＝5， 解得：m ＝5或－3(舍去5)，故点P(2，－3)；(3)由(2)确定点F 的坐标得：(2－2m 3，0)， CP 2＝(2－m)2，CF 2＝(2m 3)2＋4，PF 2＝(2m .3)2＋m 2， ①当CP ＝CF 时，即：(2－m)2＝(2m 3)2＋4，解得：m ＝0或365(0舍去)， ②当CP ＝PF 时，(2－m)2＝(2m 3)2＋m 2，解得：m ＝－9＋3132或－9－3132， ③当CF ＝PF 时，同理可得：m ＝±2(舍去2)，故点P(2，－9＋3132)或(2，365)或(2，－2)或(2，－9－3132)．。

专题六常见的化学计算一、选择题1．(2017重庆中考B卷)某工厂制取漂白液的化学原理为：Cl2＋2NaOH===NaCl＋NaClO＋H2O，在该反应中，氯元素没有呈现出的化合价是(A)A．＋2 B．＋1 C．0 D．－12．(2017嘉兴中考)谷氨酸钠(化学式为C5H8NO4Na)是味精的主要成分。

下列关于谷氨酸钠的说法错误的是(B)A．是一种有机物B．加热会产生含硫物质C．由五种元素组成D．碳、氢原子个数之比为5 83．(2017德阳中考)向盛有10 g某Cu—Al合金样品的烧杯中加入100 g稀硫酸，恰好完全反应，反应结束后，测得烧杯内物质的总质量为109.4 g。

则该合金样品中铜的质量分数是(C)A．73% B．54% C．46% D．27%4．(2017丽水中考)科技人员成功研制出一种新型催化剂，可将二氧化碳转化成液体燃料，反应的微观示意图如下。

有关该反应的说法正确的是(A)A．该反应属于化合反应B．反应前碳元素的化合价为＋2价C．生成物的化学式可用C2H2O表示D．参加反应的两物质的质量比为1 15．(河南中考)相同质量的镁、铝、锌分别与相同质量20%的盐酸充分反应，产生氢气质量(直接用各金属表示)大小关系有以下几种猜测：①Mg＞Al＞Zn；②Al＞Mg＞Zn；③Al＝Mg＝Zn；④Al＝Mg＞Zn；⑤Al＝Zn＞Mg；⑥Al＞Mg＝Zn。

其中合理的个数为(C)A．5个 B．4个 C．3个 D．2个6．(2017广安中考)用足量的CO还原8.0 g某种铁的氧化物，生成的气体全部被足量的澄清石灰水吸收，得到沉淀12.5 g，则这种铁的氧化物可能是(C)A．FeOB．Fe2O3与Fe3O4的混合物C．FeO与Fe3O4的混合物D．Fe3O47．(贵港中考)硝酸钾在不同的温度下溶解度数据如表，下列说法错误的是(D)温度/℃0 20 40 60 80 100溶解度/g 13.3 31.6 63.9 110 169 246A.硝酸钾的溶解度受温度影响变化较大B．60 ℃时，饱和硝酸钾溶液中溶质与溶液质量之比为11∶21C．20 ℃时，10 g水中加入5 g硝酸钾充分溶解后再加入5 g水，前后溶质的质量分数不变D．将溶质质量分数为28%的硝酸钾溶液从60 ℃降温至20 ℃，没有晶体析出二、非选择题8．(天津中考)维生素C(化学式为C 6H 8O 6)主要存在于蔬菜、水果中，它能促进人体生长发育，增强人体对疾病的抵抗力。

专题六投资性房地产一、计算分析题1.英明公司有A、B、C三台设备专门用于生产乙产品。

2010年年末，设备A的账面原价为1000万元，已计提折旧500万元；设备B的账面原价为1500万元，已计提折旧750万元；设备C的账面原价为2000万元，已计提折旧1000万元。

这三台设备的预计使用寿命均为10年，均尚可使用年限均为5年，预计净残值均为0。

这三台设备均无法单独产生现金流量，但是组合在一起可以产生独立的现金流量，英明公司将这三台设备作为一个资产组核算。

预计该资产组产生的未来现金流量的现值为2000万元。

已知设备B的公允价值减去处置费用后的净额为700万元，其他两台设备均无法可靠确定其公允价值减去处置费用后的净额。

要求：（1）计算减值测试前，该资产组的账面价值；（2）计算资产减值损失，将计算结果填入下表。

2.大海公司有关商誉及其他资料如下：（1）大海公司在2013年12月1日，以3200万元的价格吸收合并了乙公司。

在购买日，乙公司可辨认资产的公允价值为5000万元，负债的公允价值为2000万元。

乙公司的全部资产划分为两条生产线——A生产线（包括有X、Y、Z三台设备）和B生产线（包括有S、T两台设备），A生产线的公允价值为3000万元（其中：X设备为800万元、Y设备1000万元、Z设备为1200万元），B生产线的公允价值为2000万元（其中：S设备为600万元、T设备为1400万元），大海公司在合并乙公司后，将两条生产线认定为两个资产组。

两条生产线的各台设备预计尚可使用年限均为5年，预计净残值均为0，采用年限平均法计提折旧。

（2）大海公司在购买日将商誉按照资产组公允价值的比例分摊至各资产组。

（3）2014年，由于A、B生产线所生产的产品市场竞争激烈，导致生产的产品销路锐减，因此，大海公司于年末进行减值测试。

（4）2014年年末，大海公司无法合理估计A、B两生产线公允价值减去处置费用后的净额，经估计A、B生产线未来5年现金流量及其折现率，计算确定的A、B生产线的预计未来现金流量现值分别为2000万元和1640万元。

专题六中考数学中的圆综合题解题技巧圆的综合题是历年中考的重头戏，很多省份设置为压轴题，分值6分，7分，9分甚至12分。

圆的综合题综合的知识点比较丰富，类型也比较多，难度也比较大，通常要作一至两条辅助线，多的要作三条。

很多省份的中考题一个题干，设置两个小问题，或者一个题干，设置三个小问题。

只要我们熟记圆的各个性质和判定定理，还有辅助线的各种作法，这类题是可以突破的。

圆的综合题以圆为背景，综合特殊四边形或者三角形，利用三角形相似或解直角三角形等方法，求阴影部分的面积和线段的关系，或者判断圆和线的位置关系等等。

主要是记住几个重要定理，会灵活应用定理，根据图形，作辅助线是解题的关键。

类型一：求阴影部分的面积【例题展示】例题1（2018山东省临沂市））如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF=OD，从而根据切线的判定定理得到结论；（2）设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，利用勾股定理得到r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出AD=OD=，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF进行计算．【解答】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，而OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △BOD 中，设⊙O 的半径为r ，则OD=OE=r ， ∴r 2+（）2=（r+1）2，解得r=1， ∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°， ∴∠AOD=30°， 在Rt △AOD 中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S △AOD ﹣S 扇形DOF =2××1×﹣=﹣．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质．例题2（2018山东省青岛市）如图，Rt △ABC ，∠B=90°，∠C=30°，O 为AC 上一点，OA=2，以O 为圆心，以OA 为半径的圆与CB 相切于点E ，与AB 相交于点F ，连接OE 、OF ，则图中阴影部分的面积是 ．【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案． 【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°， ∴∠A=60°， ∵OA=OF ，∴△AOF 是等边三角形， ∴∠COF=120°， ∵OA=2，∴扇形OGF 的面积为：ππ343604120=⨯∵OA 为半径的圆与CB 相切于点E ， ∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4， ∴AC=OC+OA=6， ∴AB=21AC=3， ∴由勾股定理可知：BC=33∴△ABC 的面积为：23933321=⨯⨯ ∵△OAF 的面积为：33221=⨯⨯， ∴阴影部分面积为：34-23734-3-239ππ=故答案为：34-237π【点评】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．例题3（2018广东省）如图，矩形ABCD 中，BC=4，CD=2，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，连接BD ，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【分析】连接OE ，如图，利用切线的性质得OD=2，OE ⊥BC ，易得四边形OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE 、线段EC 、CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积． 【解答】解：连接OE ，如图，∵以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ， ∴OD=2，OE ⊥BC ，易得四边形OECD 为正方形，∴由弧DE 、线段EC 、CD 所围成的面积=S 正方形OECD ﹣S 扇形EOD =22﹣ππ-43602902=••， ∴阴影部分的面积=21×2×4﹣（4﹣π）=π． 故答案为π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．例题4（2018江苏省泰州市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3，∵BE=3，∴BD==6，∵sin∠DBF==，∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，∴sin60°===，∴DO=2，则FO=，故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．【点评】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键．【跟踪训练】1.（2018湖北省荆门市）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为．2.（2018湖北省襄阳市）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．（1）求证：DA=DE；（2）若AB=6，CD=43，求图中阴影部分的面积．3.（2018江苏省扬州市）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．4．（2018云南省昆明市）如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．5.（2018广西贵港市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．6．（2018江苏省淮安市）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．7.（2018黑龙江省齐齐哈尔市）如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB=∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF=BC=2，求图中阴影部分的面积．8.（2018四川省达州市）已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若等边△ABC的边长为8，求由DE、DF、EF围成的阴影部分面积．类型二：圆和三角函数的综合【例题展示】1.（2018甘肃省定西市）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB 分别相交于点D，F，且DE=EF．（1）求证：∠C=90°；（2）当BC=3，sinA=35时，求AF的长．【分析】（1）连接OE，BE，因为DE=EF，所以DE EF=，从而易证∠OEB=∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；（2）设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA=355OE rOA r==-，从而可求出r的值．【解答】解：（1）连接OE，BE，∵DE=EF，∴DE EF=∴∠OBE=∠DBE∵OE=OB ， ∴∠OEB=∠OBE ∴∠OEB=∠DBE ， ∴OE ∥BC∵⊙O 与边AC 相切于点E ， ∴OE ⊥AC ∴BC ⊥AC ∴∠C=90°（2）在△ABC ，∠C=90°，BC=3，sinA=35∴AB=5，设⊙O 的半径为r ，则AO=5﹣r ， 在Rt △AOE 中，sinA=355OE r OA r ==- ∴r=158∴AF=5﹣2×158=54【点评】本题考查圆的综合问题，涉及平行线的判定与性质，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．2.（2018广东省）如图，四边形ABCD 中，AB=AD=CD ，以AB 为直径的⊙O 经过点C ，连接AC ，OD 交于点E ．（1）证明：OD ∥BC ；（2）若tan ∠ABC=2，证明：DA 与⊙O 相切；（3）在（2）条件下，连接BD 交于⊙O 于点F ，连接EF ，若BC=1，求EF 的长．【分析】（1）连接OC ，证△OAD ≌△OCD 得∠ADO=∠CDO ，由AD=CD 知DE ⊥AC ，再由AB 为直径知BC ⊥AC ，从而得OD ∥BC ；（2）根据tan ∠ABC=2可设BC=a 、则AC=2a 、225AC BC a +，证OE 为中位线知OE=12a 、AE=CE=12AC=a ，进一步求得DE=222a AD AE -=，再△AOD 中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；（3）先证△AFD ∽△BAD 得DF •BD=AD 2①，再证△AED ∽△OAD 得OD •DE=AD 2②，由①②得DF •BD=OD •DE ，即DF DE OD BD =，结合∠EDF=∠BDO 知△EDF ∽△BDO ，据此可得EF DEOB BD=，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得． 【解答】解：（1）连接OC ，在△OAD 和△OCD 中，OA=OC,AD=CD,OD=OD ， ∴△OAD ≌△OCD （SSS ）， ∴∠ADO=∠CDO ， 又AD=CD ， ∴DE ⊥AC ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°，∴∠ACB=90°，即BC ⊥AC ， ∴OD ∥BC ； （2）∵tan ∠ABC=ACBC=2， ∴设BC=a 、则AC=2a ， ∴AD=AB=225AC BC a +=，∵OE ∥BC ，且AO=BO ， ∴OE=12BC=12a ，AE=CE=12AC=a ， 在△AED 中，DE=222a AD AE -=，在△AOD 中，AO 2+AD 2=（5a 2）2+（5a ）2=254a 2，OD 2=（OF+DF ）2=（12a+2a ）2=254a 2， ∴AO 2+AD 2=OD 2， ∴∠OAD=90°， 则DA 与⊙O 相切； （3）连接AF ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFD=∠BAD=90°，∵∠ADF=∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴DF ADAD BD=，即DF•BD=AD2①，又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴AD DEOD AD=，即OD•DE=AD2②，由①②可得DF•BD=OD•DE，即DF DE OD BD=，又∵∠EDF=∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∵BC=1，∴AB=AD=5、OD=52、ED=2、BD=10、OB=52，∴EF DEOB BD=，即25102EF=，解得：EF=22．【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．典型的中考压轴题.3.（2018湖北省荆门市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．（1）求证：AC平分∠DAE；（2）若cosM=45，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2；（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到CF BC=，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到r415r=+，从而解方程求出r即可；②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=325，再计算出OC=3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE，又∵AD⊥DE，∴OC∥AD．∴∠1=∠3∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴AC平方∠DAE；（2）解：①∵AB为直径，∴∠AFB=90°，而DE⊥AD，∴BF∥DE，∴OC⊥BF，∴CF BC=，∴∠COE=∠FAB，而∠FAB=∠M，∴∠COE=∠M，设⊙O的半径为r，在Rt△OCE中，cos∠COE=45OCOE=，即r415r=+，解得r=4，即⊙O的半径为4；②连接BF，如图，在Rt△AFB中，cos∠FAB=AF AB，∴AF=8×432 55 =在Rt△OCE中，OE=5，OC=4，∴CE=3，∵AB⊥FM，∴AM AF=，∴∠5=∠4，∵FB∥DE，∴∠5=∠E=∠4，∵CF BC=，∴∠1=∠2，∴△AFN∽△AEC，∴FN AFCE AE=，即32539FN=，∴FN=32 15．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．4.（2018四川省内江市）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求证：2DE2=CD•OE；（3）若tanC=43，DE=52，求AD的长．【分析】（1）先判断出DE=BE=CE，得出∠DBE=∠BDE，进而判断出∠ODE=90°，即可得出结论；（2）先判断出△BCD∽△ACB，得出BC2=CD•AC，再判断出DE=12BC，AC=2OE，即可得出结论；（3）先求出BC，进而求出BD，CD，再借助（2）的结论求出AC，即可得出结论．【解答】解：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∵OE∥AC，OA=OB，∴BE=CE，∴DE=BE=CE，∴∠DBE=∠BDE，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODE=∠OBE=90°，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB，∴BC CD AC BC=，∴BC2=CD•AC，由（1）知DE=BE=CE=12 BC，∴4DE2=CD•AC，由（1）知，OE是△ABC是中位线，∴AC=2OE，∴4DE2=CD•2OE，∴2DE2=CD•OE；（3）∵DE=52，∴BC=5，在Rt△BCD中，tanC=43BDCD =，设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，∴x=﹣1（舍）或x=1，∴BD=4，CD=3，由（2）知，BC2=CD•AC，∴AC=2253BC CD =， ∴AD=AC ﹣CD=2516333-=． 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BCD ∽△ACB 是解本题的关键．【跟踪训练】1. （2018浙江省温州市）如如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在上． （1）求证：AE=AB ． （2）若∠CAB=90°，cos ∠ADB=31，BE=2，求BC 的长．2.（2018贵州省黔西南）如图，CE 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点C ，连接OB ，作ED ∥OB 交⊙O 于点D ，BD 的延长线与CE 的延长线交于点A ． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为1，tan ∠DEO=2，tan ∠A=14，求AE 的长．3.（2018四川省宜宾市）如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，D 为BC 延长线一点，且BC=CD ，CE ⊥AD 于点E ．（1）求证：直线EC 为圆O 的切线；（2）设BE 与圆O 交于点F ，AF 的延长线与CE 交于点P ，已知∠PCF=∠CBF ，PC=5，PF=4，求sin ∠PEF 的值．4.（2018内蒙古包头市）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB 于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CE，CD，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且∠FAB=∠ABC，连接BF．（1）求证：∠BCD=∠BEC；（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sin∠ABF的值．5.（2018广西贵港市）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=10，cos∠BAC=35，求BD的长及⊙O的半径．6.（2018湖北省恩施州）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．（1）求证：DE为⊙O切线；（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=13，求AD；（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．7.（2018四川省资阳市）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点P是底边BC上一点且满足PA=PB，⊙O是△PAB的外接圆，过点P作PD∥AB交AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若BC=8，tan∠ABC=22，求⊙O的半径．8.（2018深圳市）如图在⊙O中，BC=2，AB=AC，点D为AC上的动点，且cosB=10 10．（1）求AB的长度；（2）求AD•AE的值；（3）过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH．类型三：特殊图形（四边形或三角形）与圆的综合【例题展示】例题1（2018山东省菏泽市）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．（1）求∠DAF的度数；（2）求证：AE2=EF•ED；（3）求证：AD是⊙O的切线．【分析】（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF 和∠BAD度数，即可求出答案；（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；（3）连接AO，求出∠OAD=90°即可．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠D=∠CBD，∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=12×（180°﹣∠BAC）=72°，∴∠AFB=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=1272°=36°，∴∠D=∠CBD=36°，∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°；（2）证明：∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，∴∠FAC=36°=∠D，∵∠AED=∠AEF，∴△AEF∽△DEA，∴AE ED EF AE，∴AE2=EF×ED；（3）证明：连接OA、OF，∵∠ABF=36°，∴∠AOF=2∠ABF=72°，∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA=12×（180°﹣∠AOF）=54°，由（1）知∠ADF=36°，∴∠OAD=36°+54°=90°，即OA⊥AD，∵OA为半径，∴AD是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．例题2（2018湖北省黄石市）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=23，∠BCD=120°，A为BE的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是⊙O的切线．【分析】（1）连接DB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而A为BE的中点，则∠ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】（1）解：连接DB，如图，∵∠BCD+∠DEB=90°，∴∠DEB=180°﹣120°=60°，∵BE为直径，∴∠BDE=90°，在Rt△BDE中，DE=12BE=12×23=3，BD=3DE=3 3=3；（2）证明：连接EA，如图，∵BE为直径，∴∠BAE=90°，∵A为BE的中点，∴∠ABE=45°，∵BA=AP，而EA⊥BA，∴△BEP为等腰直角三角形，∴∠PEB=90°，∴PE⊥BE，∴直线PE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．例题3（2018河南省湘潭市）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是AB上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM=60°时，求DM的长；②当AM=12时，求DM的长．（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）①当∠AOM=60°时，所以△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x，OF=10﹣x，利用勾股定理即可求出x的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度．（2）根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案．【解答】解：（1）①当∠AOM=60°时，∵OM=OA，∴△AMO是等边三角形，∴∠A=∠MOA=60°，∴∠MOD=30°，∠D=30°，∴DM=OM=10②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x，∴OF=10﹣x，∵AM=12，OA=OM=10，由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2∴x=365，∴AF=365，∵MF∥OD，∴△AMF∽△ADO，∴AM AF AD OA=，∴36 12510 AD=，∴AD=50 3∴MD=AD﹣AM=14 3（2）当点M位于AC之间时，连接BC，∵C是AB的重点，∴∠B=45°，∵四边形AMCB是圆内接四边形，此时∠CMD=∠B=45°，当点M位于BC之间时，连接BC，由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°综上所述，∠CMD=45°【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．例题4（2018湖北省宜昌市）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）设CD=x ，连接BD ．利用勾股定理构建方程即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵AB 是直径， ∴∠AEB=90°， ∴AE ⊥BC ， ∵AB=AC ， ∴BE=CE ， ∵AE=EF ，∴四边形ABFC 是平行四边形， ∵AC=AB ，∴四边形ABFC 是菱形． （2）设CD=x ．连接BD ． ∵AB 是直径， ∴∠ADB=∠BDC=90°， ∴AB 2﹣AD 2=CB 2﹣CD 2， ∴（7+x ）2﹣72=42﹣x 2， 解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD=228715-=，∴S 菱形ABFC =815．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．【跟踪训练】1.（2018山东省淄博市）如图，以AB 为直径的⊙O 外接于△ABC ，过A 点的切线AP 与BC 的延长线交于点P ，∠APB 的平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，其中AE ，BD （AE ＜BD ）的长是一元二次方程x 2﹣5x+6=0的两个实数根．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．2.（2018浙江省台州市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在BC上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．（1）求证：AC=CE；（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；（3）已知⊙O的半径为3．①若53ABAC，求BC的长；②当ABAC为何值时，AB•AC的值最大？3.（2018福建省）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=3DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．4.（2018广西桂林市）如图1，已知⊙O是△ADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O 于点C，连接AC，BC．（1）求证：AC=BC；（2）如图2，在图1的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A做⊙O的切线AH，若AH∥BC，求∠ACF的度数；（3）在（2）的条件下，若△ABD的面积为63，△ABD与△ABC的面积比为2：9，求CD的长．5.（2018贵州省遵义市）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．6.（2018辽宁省盘锦市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O 与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC=3，求⊙O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．7.（2018江苏省苏州市）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．类型四：圆中求线段或弧的长度，证明三角形相似或线段的关系等的综合【例题展示】例题1（2018山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．【分析】（1）连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC即可得证；（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴AB=2AO，∠ACB=90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴AC ADAB AC=，即AC2=AB•AD，∵AB=2AO，∴AC2=2AD•AO．【点评】本题主要考查圆的切线，解题的关键是掌握切线的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质．例题2（2018四川省泸州市）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．（1）求证：CO2=OF•OP；（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=42，PB=4，求GH的长．【分析】（1）想办法证明△OFD∽△OCP，可得OD OFOP OC=，由OD=OC，可得结论；（2）如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC=OB=r．在Rt△POC中，利用勾股定理求出r，再利用面积法求出CM，由四边形EFMC是矩形，求出EF，在Rt△EOF中，求出OF，再求出EC，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；【解答】（1）证明：∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∵AB是直径，EF=FD，∴AB⊥ED，∴∠OFD=∠OCP=90°，∵∠FOD=∠COP，∴△OFD∽△OCP，∴OD OFOP OC=，∵OD=OC，∴OC2=OF•OP．（2）解：如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC=OB=r．在Rt△POC中，∵PC2+OC2=PO2，∴（42）2+r2=（r+4）2，∴r=2，∵CM=423 OC PCOP⨯=，∵DC是直径，∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°，∴四边形EFMC是矩形，∴EF=CM=423，在Rt△OEF中，222 3EO EF-=，∴EC=2OF=43，∵EC∥OB，∴23 EC CGOB GO==，∵GH∥CM，∴35 GH OGCM OC==，∴GH=425．【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．例题3（2018湖北省武汉市）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠APC=3∠BPC，求PECE的值．【分析】（1）想办法证明△PAO≌△PBO．可得∠PAO=∠PBO=90°；（2）首先证明BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，再证明BC=PB=PA=2a，由△PAK∽△POA，可得PA2=PK•PO，设PK=x，则有：x2+ax﹣4a2=0，解得x=171a2-（负根已经舍弃），推出PK=171a2-，由PK∥BC，可得1714PE PKEC BC-==；【解答】（1）证明：连接OP、OB．∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，∴∠PAO=90°，∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO=∠PBO=90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）设OP 交AB 于K ． ∵AB 是直径， ∴∠ABC=90°， ∴AB ⊥BC ，∵PA 、PB 都是切线， ∴PA=PB ，∠APO=∠BPO ， OA=OB ，OP 垂直平分线段AB ， OK ∥BC ， AO=OC ， AK=BK ，BC=2OK ，设OK=a ，则BC=2a ， ∵∠APC=3∠BPC ，∠APO=∠OPB ， ∴∠OPC=∠BPC=∠PCB ， BC=PB=PA=2a ， ∵△PAK ∽△POA ， PA 2=PK •PO ，设PK=x ， 则有：x 2+ax ﹣4a 2=0， 解得x=171a 2-（负根已经舍弃）， PK=171a 2-， PK ∥BC ， 1714PE PK EC BC -==． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．例题4（2018黑龙江大庆市）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作EC ⊥OB ，交⊙O 于点C ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB ． （1）求证：AC 平分∠FAB ；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=43且34CFCP=时，求劣弧BD的长度．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得CB CECP CB=解决问题；（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BC M的值即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，（2）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴CB CE CP CB=，∴BC2=CE•CP；（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴BM CM PM BM=，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=3a，∴tan∠BCM=33 BMCM=，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°∴BD的长=12023431803ππ⨯⨯=．【跟踪训练】1.（2018广西柳州市）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：△DAC∽△DBA；（2）过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：CE=12 AD；（3）若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD=6，AB=3，求CG的长．2.（2018广西南宁市）如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．（1）求证：PG与⊙O相切；（2）若58EFAC=，求BEOC的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD=OD，求OE的长．3.（2018内蒙古通辽市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．4.（2018山东聊城市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．5.（2018新疆乌鲁木齐）如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．。

专题六 综合计算题(中考第36题)类型一 文字叙述型(2013年考查)例1 (2019，十堰)将20.0 g 铜锌合金置于烧杯中，向其中逐渐加入稀硫酸，当加入148.4 g 稀硫酸时，不再有气体生成，此时测得烧杯中混合物的质量为168.0 g 。

请计算：(1)反应中生成气体的质量是__0.4__g 。

(1分)(2)求反应后烧杯溶液中溶质的质量分数。

(写出计算过程)【解析】 (1)锌和稀硫酸反应生成硫酸锌和氢气。

根据质量守恒定律可知：反应后减少的质量即为生成H 2的质量，故反应中生成气体的质量是148.4 g ＋20.0 g －168.0 g ＝0.4 g 。

(2)反应后烧杯溶液中溶质为ZnSO 4，把0.4 g 氢气的质量代入化学方程式中即可求得ZnSO 4的质量。

反应后烧杯中溶液的质量为：参加反应的锌粒质量＋148.4 g 稀硫酸－生成氢气的质量。

再根据公式：溶质质量分数＝溶质质量溶液质量×100%，求解即可。

对应训练1 (2019，鄂州)某同学为定量研究氢氧化钠溶液与盐酸反应，做了如下实验：取40 g 氢氧化钠溶液，加入到50 g 溶质质量分数为7.3%的稀盐酸中，恰好完全反应。

请计算：(1)氢氧化钠溶液中溶质的质量分数是__10%__。

(2)反应后所得溶液中溶质的质量分数。

(写出计算过程)解：设生成的氯化钠的质量为x 。

NaOH ＋HCl===NaCl ＋H 2O36.5 58.550 g ×7.3% x36.558.5＝50 g ×7.3%xx ＝58.5×50 g ×7.3%36.5＝5.85 g 反应后所得溶液中溶质的质量分数为 5.85 g 40 g ＋50 g×100%＝6.5% 答：反应后所得溶液中溶质的质量分数为6.5%。

【解析】 (1)把50 g ×7.3%＝3.65 g HCl 的质量代入反应NaOH ＋HCl===NaCl ＋H 2O 中，可求得NaOH 的质量为4 g ，故氢氧化钠溶液中溶质的质量分数是4 g 40 g×100%＝10%。