24用尺规作线段和角

2023-2024学年沪科版七年级数学上册教学设计：4.6用尺规作线段与角教学设计一. 教材分析《沪科版七年级数学上册》第四章第六节“用尺规作线段与角”是学生在掌握了尺规作图的基本方法之后，进一步学习尺规作线段和角的方法。

本节内容让学生通过尺规作线段和角，培养学生的动手操作能力和空间想象能力，同时也能让学生更好地理解线段和角的特征。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了尺规作图的基本方法，对于尺规作线段和角，他们可能已经有一定的了解，但可能没有系统地学习和练习。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握尺规作线段和角的方法，并通过大量的练习让学生熟练掌握。

三. 教学目标1.让学生掌握尺规作线段和角的方法。

2.培养学生的动手操作能力和空间想象能力。

3.让学生能够运用尺规作线段和角的方法解决一些实际问题。

四. 教学重难点1.教学重点：尺规作线段和角的方法。

2.教学难点：如何让学生理解和掌握尺规作线段和角的方法，以及如何运用尺规作线段和角的方法解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、示范教学法、分组合作法、练习法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习、探究学习，掌握尺规作线段和角的方法。

六. 教学准备1.准备尺规作图的工具，如直尺、圆规等。

2.准备一些线段和角的实际问题，以便在课堂上进行解决。

3.准备一些练习题，以便在课堂上进行练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一些实际问题，引导学生思考如何用尺规作线段和角。

例如，如何用尺规作出两条相等的线段，如何用尺规作出一个特定大小的角。

2.呈现（10分钟）教师通过示范教学，向学生展示如何用尺规作线段和角的方法。

在示范过程中，教师要注意讲解清楚每一步的操作方法，以及为什么要这样做。

3.操练（10分钟）学生分组合作，用尺规作线段和角。

在操作过程中，教师要巡回指导，解答学生的问题，并引导学生注意操作的准确性。

4.巩固（10分钟）学生独立完成一些关于尺规作线段和角的练习题。

2.4 用尺规作角●教学目标(一)教学知识点1.会用尺规作一个角等于已知角.2.利用尺规作一个角等于已知角的应用.(二)能力训练要求会用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用.(三)情感与价值观要求通过作图，进一步激发学生的学习兴趣，体验数学在生活中的应用.●教学重点用尺规作一个角等于已知角.●教学难点理解画图的语言，能根据几何语言画出图形.●教学方法讲练结合法●教具准备师：直尺、圆规.投影片一张第一张：引例(记作投影片§2.4 A)生：直尺、圆规、量角器●教学过程Ⅰ.创设现实情景，引入新课［师］在上节课我们学习了用直尺和圆规作图，并且引入了规范的尺规作图语言.从而能够用几何语言描述作一条线段等于已知线段.那么如何用尺规作一条线段等于已知线段呢？［生］已知线段a,求作：线段AB，使AB=a.作法：(1)作射线AC.(2)以点A为圆心，以a的长为半径画弧，交AC于点B.则，AB就是所求的线段.图2－64［师］很好.同学们已掌握了一些尺规作图的语言.下面大家看一实例，你能解决它吗？(出示投影片§2.4 A)如图2－65，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB.(1)请过C点画出与AB平行的另一条边.(2)如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？图2－65［师］大家讨论讨论.［生甲］要在长方形木板上截一个平行四边形，按上图的方式(平行四边形的一组对边在长方形木板的边缘上).只要保证过点C作出与AB平行的另一条线段即可.所以我用一个三角板的一边与AB重合，用直尺紧靠三角板的另一边，然后移动三角板，使与AB重合的那边过点C，这样过C点画线段CD，则CD 就是所求的与AB平行的另一边.如图2－66.图2－66［生乙］只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，现在还不能解决这个问题.［生丙］过直线外一点作这条直线的平行线的原理是：同位角相等，两直线平行.所以，能不能过点C作一个角等于∠BAC，且使这两个角是同位角呢？［师］同学们讨论得很好，尤其是丙同学提出的问题：作一个角等于已知角.这节课，我们就来利用尺规作一个角等于已知角.Ⅱ．讲授新课［师］用尺规作图，它的步骤有哪些呢？［生］已知、求作、分析、作法.［师］好，那我们现在先来写已知、求作.［师生共析］已知：∠AOB,求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.图2－67［师］这个∠A′O′B′如何就能作出呢？它的道理是什么呢？这将在第五章中谈到.现在我们只需按下列作法步骤去画即可.下面老师在黑板上画、叙述，同学们在下面用尺规作∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.作法：(1)作射线O′A′.(2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D.(3)以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C′.(4)以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′.(5)过点D′作射线O′B′.∠A′O′B′就是所求作的角.图2－68［师］同学们作好了没有？［生齐声］好了.［师］那你所作的角一定等于已知角吗？……［师］大家来比较一下.［生甲］我用量角器量了量所作的角与已知角，可以知道这两个角相等.［生乙］我把所作的角与已知角重叠，看到这两个角的终边与始边重合，说明所作的角与已知角相等.［师］很好.这样我们就会用尺规作一个角等于已知角.下面我们两人一组，再作一个角等于已知角，一人叙述作法，一人根据作图.……［师］大家基本掌握了用尺规作一个角等于已知角.接下来我们通过练习进一步熟悉掌握这内容.Ⅲ.课堂练习(一)课本随堂练习1.已知∠AOB,利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=2∠AOB.图2－69 图2－70作法：(1)以O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA交于点A′，与OB交于点C.(2)以点C为圆心，以A′C长为半径画弧，交前弧于点B′.(3)过点B′作射线OB′，则∠A′OB′就是所求作的角.或者：作法：(1)作射线O′A′.(2)以O点为圆心，以任意长为半径画弧交OA于点C，交OB于点D.图2－71 图2－72(3)以点O ′为圆心，以OC 长为半径画弧，交O ′A ′于C ′点.(4)以点C ′为圆心，以CD 长为半径画弧，交前弧于E 点.(5)以点E 为圆心，以CD 长为半径画弧，交于点B ′.(6)过点B ′作射线OB ′.则∠A ′O ′B ′就是所求作的角.2.利用尺规完成本节课开始时提出的问题.作法：(略)，图如下图2－73(二)看书 “读一读”.Ⅳ.课时小结本节课我们主要学习了用尺规作一个角等于已知角.要会用自己的语言来书写作法，并要了解作一个角等于已知角在尺规作图中的简单应用.Ⅴ.课后作业(一)课本P 57习题2.7 1.(二)复习本章的全部内容，并作一小结.Ⅵ.活动与探究1.利用尺规设计一些美丽的图案.［过程］通过这个活动，一方面使学生进一步掌握尺规作图的方法，另一方面也可培养学生的动手、动脑能力，激发他们的创造力，增进其对数学的理解.［结果］结果是许多学生设计出好多的美丽图案.C ′E●板书设计§2.4 用尺规作角一、做一做：作一个角等于已知角已知求作作法二、课堂练习三、读一读四、课时小结五、课后作业。

《用尺规作角》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课旨在让学生掌握用尺规作角的基本方法和技巧，培养学生的几何思维和动手能力。

之前，学生已经学习了用直尺和圆规画线段、圆等基本几何图形，本节课将基础上引导学生进一步学习用尺规作角。

1.2 教学目标1. 知识与技能：让学生掌握用尺规作角的方法，能够独立完成作角任务。

2. 过程与方法：通过实践操作，培养学生的动手能力和几何思维。

3. 情感态度与价值观：激发学生对几何学的兴趣，培养学生的耐心和细心。

1.3 教学重点与难点1. 重点：用尺规作角的方法。

2. 难点：如何准确地用尺规作角。

第二章：用尺规作角的工具与基本操作2.1 尺规作角的工具直尺、圆规、铅笔、橡皮。

2.2 基本操作2.2.1 画直线1. 以一点为起点，以直尺为基准，沿着直尺画线。

2. 保持直尺位置不变，移动铅笔，继续画线。

2.2.2 画圆1. 以一点为圆心，以直尺为半径，画一个圆。

2. 保持圆规位置不变，移动铅笔，继续画圆。

2.2.3 作角1. 以一点为起点，以直尺为基准，画一条射线。

2. 在射线上确定一个点，以该点为圆心，以直尺为半径，画一个圆。

3. 以另一点为圆心，以直尺为半径，画一个圆，与第一个圆相交。

4. 连接两个圆的交点与起点，即可得到所要作的角。

第三章：用尺规作角实例讲解3.1 作一个45度角1. 以一点为起点，画一条射线。

2. 在射线上确定一个点，以该点为圆心，以直尺为半径，画一个圆。

3. 以另一点为圆心，以直尺为半径，画一个圆，与第一个圆相交。

4. 连接两个圆的交点与起点，即可得到一个45度角。

3.2 作一个90度角1. 以一点为起点，画一条射线。

2. 在射线上确定一个点，以该点为圆心，以直尺为半径，画一个圆。

3. 以另一点为圆心，以直尺为半径，画一个圆，与第一个圆相交。

4. 连接两个圆的交点与起点，即可得到一个90度角。

第四章：用尺规作角的练习4.1 练习1：作一个30度角按照3.1节的步骤，自己动手作一个30度角。

北师大版七年级数学下册《2.4 用尺规作角》教案一. 教材分析《2.4 用尺规作角》这一节主要让学生掌握用尺规作角的方法和技巧。

通过这一节的学习，学生能够了解尺规作角的原理，并能够运用尺规作任意大小的角。

教材通过具体的操作实例，引导学生探究用尺规作角的方法，培养学生的动手能力和观察能力。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了用直尺和圆规画线段、圆的基本知识。

但是，对于用尺规作角的方法和技巧，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际的操作，掌握用尺规作角的方法。

三. 教学目标1.了解尺规作角的原理，掌握用尺规作角的方法和技巧。

2.能够运用尺规作出任意大小的角。

3.培养学生的动手能力和观察能力。

四. 教学重难点1.尺规作角的原理的理解。

2.用尺规作角的方法和技巧的掌握。

五. 教学方法采用“问题引导法”和“实践操作法”。

通过提出问题，引导学生思考和探究，通过实际操作，让学生掌握用尺规作角的方法。

六. 教学准备1.准备直尺、圆规等作图工具。

2.准备相关的教学PPT或黑板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“我们如何用直尺和圆规作出一个特定的角呢？”引发学生的思考和兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT或黑板，呈现尺规作角的原理和步骤。

讲解并演示如何用尺规作角。

3.操练（10分钟）学生分组进行实践操作，尝试用尺规作出不同的角。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（5分钟）学生汇报自己的操作结果，分享制作过程中的经验和问题。

教师点评并解答学生的疑问。

5.拓展（5分钟）引导学生思考：除了用尺规作角，还有没有其他方法可以作出相同的角？让学生进行思考和讨论。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学的知识，巩固对尺规作角的理解和掌握。

7.家庭作业（5分钟）布置相关的家庭作业，让学生进一步巩固和运用所学知识。

8.板书（5分钟）教师进行板书设计，总结本节课的主要内容和知识点。

以上是整个教学过程的设计，每个环节的时间安排如上所示。

10 《用尺规作角》教学设计【教学内容解析】《用尺规作角》是北师大版七年级下册第二章第四节的内容，是安排在学生学习了尺规作一条线段等于已知线段以及平行线的性质和判定的基础上进行学习的.本节课主要学习用尺规作一个角等于已知角,它既是对前面知识的深化和应用，又是后续内容用尺规作三角形的预备知识.本节内容在教材中处于承前启后的作用.【课标要求】1.能用尺规作一个角等于已知角.2.了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.【学习目标】1.通过对预习作业的展示分析，进一步理解用尺规作一个角等于已知角的方法，并能熟练用尺规作角的和、差、倍.2.通过作图活动，进一步丰富平行线及角的认识.3.了解用尺规作角在生活中的应用.【学情分析】学生在七年级上册已经学过用尺规作一条线段等于已知线段，对尺规作图也有了基本了解.在课下，通过布置预习作业，部分学生基本能够根据课本做一做的步骤用尺规作出一个角等于已知角，但仍有部分学生作图出现很多问题.课堂中，通过部分优秀学生指导带动个别学困生的同时，又可培养他们的团队意识和语言表达能力.因此本节课通过对预习作业的展示分析，以及学生的预习感受展开本节课.通过翻转课堂的模式突破难点，增加练习，强化重点.【教学重点】用尺规作一个角等于已知角.【教学难点】尺规作图的作法和应用.【教学过程】一、预习作业回顾昨天我们的预习作业是：通过预习课本55-56页，尝试用尺规作∠A’O’B’=∠AOB，并写上预习感受.大家的作业反映出了很多问题，本节课我们通过对十份具有代表性的作业的分析进一步探讨用尺规作角.（设计意图：简单的问题让学生自学，通过课前批改预习作业和学生的预习感受了解学生学情，便于指导教学）二、预习作业展示分析选取十份具有代表性的预习作业课堂展示，师生共同分析，解决学生预习作业中的错误.让学生明确以下两点：一、直尺和圆规的功能；二、尺规作角的注意事项.通过学生预习感受提出的问题，逐步总结出尺规作角的步骤：三弧两线.（设计意图：解决学生预习作业的问题和提出的问题，教师给予方法指导，突破重点和难点，针对目标1）三、当堂检测（设计意图：完成目标1，2）1.作一个角等于已知角完成课本55页引例，做到课本上.设计意图：将数学问题迁移到生活中。

用尺规作线段和角教学案例本课时内容的设计意图：本课知识属于“空间与图形〞局部，在学会利用尺规作线段的根底上进一步运用尺规作一个角等于角。

通过这节课的学习，增强学生运用尺规作图的技能。

本课时内容的设计思路：首先展示与本课内容密切联系的问题情境，作为新知的切入点，表达“数学是现实的〞课标精神。

利用情境问题激发学生的探究意识，在探索过程中体会知识的形成过程，将新知自然渗透纳入到学生的知识体系中，在此根底上，引导学生利用所学新知解决问题，从而将数学知识转化为数学技能。

一、创设情境，激趣导入出示课件和图形，提出问题：(1)请学生拿出收集的长方形纸板模型，标出相应的线段AB和点C。

(2)请过点C画出与AB平行的另一条线。

(3)如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗?学生活动：对于问题(1) (2)，学生自主完成；对于问题(3)，学生自主探索后，引导学生进行分组讨论，产生质疑。

教师活动：利用实物投影仪展示学生完成的作业，并请学生答复作图过程，针对答复的情况，师生共同给予及时适当的评价。

(设计意图：课前要求学生从生活中寻找一些废弃的长方形纸板模型。

如牙膏盒、玩具盒、各种包装盒等，让学生体验“数学知识来源于现实生活〞，并学会从实际事物中抽象出几何模型。

在问题(3)的讨论中，引发了学生的认知冲突，从而自然导入了新课。

(二)实验探究，归纳总结：∠AOB。

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB。

学生活动1：学生在教师的示范操作下，利用尺规进行画图实践。

教师活动：教师在黑板上用尺规引导学生一步步进行画图示范，利用实物投影仪展示学生的作业，针对学生的画图情况给予评价。

最后请学生概述自己的画图过程。

学生活动2：利用量角器验证自己所作的角与角是否相等，学生答复自己所验证的结果。

(设计意图：学生在教师的示范下，亲身实践，感受知识的形成过程，在画图操作中培养了学生的动手、动脑、动口的能力。

(三)解决问题，完善结构随堂练习第1题。

尺规‎作角‎教学‎反思‎‎篇一‎：‎用尺‎规作‎图作‎线段‎和角‎教‎学反‎思‎用尺‎规作‎线段‎和角‎(‎2)‎教‎学反‎思‎新华‎路初‎中‎杨远‎豪‎尺规‎作图‎七年‎级才‎开始‎接触‎的，‎有必‎要讲‎清他‎的意‎图，‎首先‎要强‎调直‎尺和‎刻度‎尺的‎不同‎，这‎样在‎讲画‎一条‎线段‎与已‎知线‎段相‎等的‎时候‎，学‎生就‎会明‎白为‎什么‎不能‎用尺‎子直‎接量‎出长‎度，‎而且‎也避‎免学‎生在‎以后‎的作‎图中‎，还‎是习‎惯性‎的用‎到刻‎度尺‎进行‎测量‎。

‎而‎教盲‎生画‎图，‎我在‎课前‎就预‎设了‎各种‎困难‎，针‎对盲‎生动‎手能‎力差‎，学‎生差‎异性‎大的‎特点‎做好‎准备‎，分‎成小‎组，‎让每‎个小‎组的‎小组‎长组‎织小‎组内‎学习‎。

譬‎如有‎的盲‎生不‎会用‎尺子‎画直‎线，‎主要‎存在‎问题‎是不‎懂得‎如何‎将尺‎子用‎手固‎定起‎来，‎固定‎起来‎之后‎如何‎沿着‎尺子‎的一‎边画‎直线‎，很‎多同‎学的‎手不‎知道‎是如‎何放‎在尺‎子上‎，例‎如用‎手按‎住的‎直尺‎的时‎候，‎手会‎挡住‎要画‎直线‎的笔‎，如‎果手‎不按‎那么‎多的‎话，‎很难‎将尺‎子固‎定住‎，所‎以我‎想下‎次教‎画直‎线的‎时候‎，可‎能借‎三角‎板给‎学生‎，他‎们手‎抓的‎地方‎更大‎，可‎能更‎容易‎操作‎。

而‎且胶‎纸都‎很难‎固定‎在胶‎版上‎，作‎图对‎盲生‎的难‎度还‎是远‎远大‎于正‎常学‎生的‎。

‎尺‎规作‎图，‎往往‎很枯‎燥。

‎要牢‎牢记‎住画‎图的‎步骤‎，否‎则就‎画不‎出你‎要的‎图形‎。

我‎反问‎了自‎己以‎下几‎个问‎题：‎但‎是通‎过本‎次尺‎规作‎图的‎教学‎，学‎生对‎尺规‎作图‎有了‎一个‎具体‎直观‎的认‎识，‎我觉‎得效‎果很‎是不‎错的‎。

篇‎二：‎尺‎规作‎图的‎教学‎反思‎尺‎规作‎图的‎教学‎反思‎尺‎规作‎图，‎往往‎很枯‎燥。

尺规作角的步骤
尺规作角是指使用尺和圆规（或直尺和圆规）来绘制或测量角的过程。

下面是使用尺和圆规进行尺规作角的基本步骤：
1. 准备工具：获取一支尺和一支圆规。

确保它们的边缘是清晰且没有损坏。

2. 画出初始线段：使用尺在纸上画出一条水平的线段。

3. 定位角的顶点：在水平线段的一端选择一个点作为角的顶点。

4. 设置角度大小：使用圆规在顶点处画出一个弧，表示角的度数。

调整圆规的宽度以确保画出清晰的弧。

5. 连接弧上的两点：将尺放在弧上的两个点之间，然后用尺连接这两个点，形成角的一条边。

6. 完成角：角的另一边即为所求角，可以使用尺直接连接顶点与初始线段的另一端，形成所需的角。

请注意，这是基于使用尺和圆规的方法。

在实际绘图中，可能还会使用其他几何工具，具体步骤可能会有所变化。

此外，使用直尺和量角器也可以完成类似的任务。

沪科版数学七年级上册4.6《用尺规作线段与角》教学设计一. 教材分析《沪科版数学七年级上册4.6》这一节主要介绍了如何使用尺规作线段与角的方法。

在教材中，学生已经学习了线段与角的基本概念，本节课将进一步引导学生了解并掌握用尺规作线段与角的方法，培养学生的动手操作能力和几何思维能力。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对线段与角的概念有一定的了解。

但学生在用尺规作图方面可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要耐心引导学生，让学生在动手操作中掌握用尺规作线段与角的方法。

三. 教学目标1.让学生了解并掌握用尺规作线段与角的方法。

2.培养学生的动手操作能力和几何思维能力。

3.提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：用尺规作线段与角的方法。

2.难点：如何引导学生动手操作，并熟练运用尺规作线段与角。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究用尺规作线段与角的方法。

2.利用多媒体辅助教学，展示尺规作图的过程，增强学生的直观感受。

3.采用分组合作学习，让学生在动手操作中相互交流、探讨，共同解决问题。

4.教师引导学生总结用尺规作线段与角的方法，提高学生的归纳总结能力。

六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，展示尺规作图的过程。

2.准备尺规作图的练习题，让学生在课堂上动手操作。

3.准备黑板，用于板书重点知识点。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，如：“如何用尺规作一条长度为5厘米的线段？”引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体课件展示尺规作线段与角的过程，让学生直观地了解尺规作图的方法。

同时，教师讲解相关知识点，如线段、角的概念，以及尺规作图的基本原理。

3.操练（10分钟）教师引导学生分组合作，进行尺规作图的练习。

每组选取一条线段和一种角，用尺规作出相应的线段和角，并互相检查、讨论。

教师巡回指导，解答学生遇到的问题。

分课时教学设计怎样利用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段?已知线段a,b,作一条线段m,使得m=a+b（m=a-b）如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB.（1）请过C点画出与AB平行的另一条边.（2）如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？上述问题：用尺规（无刻度的直尺和圆规）做“过直线外一点作已知直线的平行线”相当于“过点C作∠ECD等于已知∠CAB.”活动意图说明：教师活动3：例：【1】如图，已知∠AOB，∠EO'F，利用尺规作图，比较它们的大小.由上图可知，∠AOB＞∠EO'F试一试：已知∠1，∠2 求作∠AOB=∠1+∠2试一试：已知∠1，∠2 求作∠AOB=∠1-∠2活动意图说明：【知识技能类作业】必做题：1.下列尺规作图的语句错误的是( )A.作∠AOB，使∠AOB=3∠αB.以点O为圆心作弧C.以点A为圆心，线段a的长为半径作弧D.作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β2.下列属于尺规作图的是( )A.用量角器画一个角等于30°B.用圆规和直尺作线段AB等于已知线段aC.用三角板作线段AB的垂线D.用刻度尺画一条线段等于3 cm选做题：3.如图，已知∠A，∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B. (不用写作法，保留作图痕迹)【知识技能类作业】必做题：1．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是( )A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧选做题：2.如图，已知α和β（α＞β），求作∠AOB，使∠AOB=α-β.做法：（1）作射线________;（2）以射线OA为一边作∠AOC=_______；（3）以_______为顶点，以射线_______为一边，在∠AOC的内部作∠BOC=_______，则___________就是所求的角。

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——用尺规作角（知识梳理与考点分类讲解）1.尺规作图：在几何作图中，只用圆规和没有刻度的直尺来作图，称为尺规作图.2.直尺的功能：（1）在两点间连接一条线段；（2）过平面上的两点画直线；（3）作射线、线段或做延长线.3.圆规的功能：（1）以平面上任意一点为圆心，任意长为半径作圆或圆弧；（2）在直线上截取一条线段，使它等于已知线段.特别提醒：1.尺规作图是一种规定了作图工具，且能够有效地减少误差的较精确的作图方法.2.尺规作图是最基本最常见的作图方法，通常称为基本作图.【考点目录】【考点1【考点2】尺规作一个角等于已知角；【考点3】尺规作角的和与差；【考点4】过直线外一点作已知直线的平行线.【考点1】作特殊角；【例1】（2024上·安徽宿州·七年级校联考期末）利用一副三角尺能画出下列度数的角吗？如何画？试试看．（不要写出做法，要保留作图痕迹）（1）150︒．（2）15︒【答案】（1）作图见分析；（2）作图见分析【分析】（1）选用三角尺画一个60︒的角，再在这个角的外部画一个有公共顶点，有一个公共边的90︒的角即可求解；（2）先用三角尺画一个60︒的角，再在这个角的内部画一个有公共顶点、一条公共边的45︒的角即可求解．︒=︒+︒，（1）解：如图，1506090︒=︒-︒，（2）解：如图，156045【变式1】（2020上·福建三明·七年级三明市第三中学校考阶段练习）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（）A．55°B．65°C．75°D．85°【答案】C【分析】一副三角板，度数有：30 、45 、60 、90 ，根据度数组合，可以得到答案．解：利用一副三角板可以画出75 的角，是45 和30 角的组合故选：C．【点拨】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键.【变式2】（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）用一副三角板不能画出的角是（）．A．75°B．105°C．110°D．135°【答案】C【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；110°角用一副三角板不能画出；135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。

练习册答案第一章整式的乘除1.1 整式1.(1)C 、D 、F ；(2)A 、B 、G 、H ；(3)A 、B ；(4)G ；(5)E 、I ；2.125r π；3.3343R a π-； 4.四,四,-13ab 2c,-13,25 ；5.1,2；6. 13a 3b 2c ；7.3x 3-2x 2-x ；8.11209,10200a a ；9.D ；10.A ； 11.•B ；12.D ；13.C ；14.12222VV V V +；15.a=27；16.n=32;四.-1.1.2 整式的加减1.-xy+2x 2y 2;2.2x 2+2x 2y;3.3;4.a 2-a+6;5.99c-99a;6.6x 2y+3x 2y 2-14y 3; 7.39π-+; 8.3217210n n n n aa a a +++--+-; 9.D; 10.D; 11.D; 12.B; 13.C; 14.C; 15.B;16.D; 17.C ；18.解：原式=126ax +,当a=-2,x=3时, 原式=1. 19. 解：x=5,m=0,y=2,原式=5.20.(8a-5b)-[(3a-b)-32a b -]=13922a b -,当a=10,b=8时,上车乘客是29人.21. 解：由3xyx y=+,得xy=3(x+y),原式=87-.22. 解：(1)1,5,9,即后一个比前一个多4正方形.(2)17,37,1+4(n-1).四.解：3幅图中，需要的绳子分别为4a+4b+8c,4a+4b+4c,6a+6b+4c,所以（2）中的用绳最短，（3）中的用绳最长.1.3 同底数幂的乘法1.10m n+,96；2.2x 5,(x+y)7；3.106；4.3；5.7,12,15,3 ；6.10；7.D ；8.•B ； 9.D ；10.D ；11.B ；12.(1)-(x-y)10；(2)-(a-b-c)6；(3)2x 5；(4)-x m13.解:9.6³106³1.3³108≈1.2³1015(kg). 14.(1)①424103333⨯⨯=，②436135555⨯⨯=. (2)①x+3=2x+1,x=2 ②x+6=2x,x=6. 15.-8x 7y 8;16.15x=-9,x=-35-. 四.105.1.4 幂的乘方与积的乘方1.24219a b c ,23n a +;2.2923(),4p q a b + ;3.4 ;4.628a ;5.331n n x y +-; 6.1,-1;7.6,108; 8.37;9.A 、D;10.A 、C;11.B;12.D ;13.A ;14.B ;15.A;16.B.17.(1)0;(2)m nb a 4412-;(3)0.18.(1)241 (2)540019.100425753252(2),3(3)==,而4323<, 故1002523<.20.-7;21.原式=19991999499431999(3)(25)32534325⨯+-+=-+=-⨯⨯+, 另知19993的末位数与33的末位数字相同都是7,而199925的末位数字为5,∴原式的末位数字为15-7=8. 四.400.1.5 同底数幂的除法1.-x 3,x ;2.2.04³10-4kg;3.≠2;4.26;5.(m-n)6;6.100 ;7.13;8.2;9.3,2,2; 10.2m=n;11.B; 12.B ;13.C;14.B;15.C;16.A;17.(1)9;(2)9;(3)1;(4)61()n x y --+ ;18.x=0,y=5;19.0;20.(1)201； (2)41.21.22122()22x x x x m --+=+-=-； 四.0、2、-2.1.6 整式的乘法1.18x 4y 3z 2;2.30(a+b)10;3.-2x 3y+3x 2y 2-4xy 3;4.a 3+3a;5.-36;•6.•a 4-16;7.-3x 3-x+17 ;8.2,39.n na b -;10.C;11.C;12.C;13.D;14.D;15.D;16.B ;17.A ; 18.(1)x=218;(2)0; 19. ∵1132m n m n ++=⎧⎨=⎩∴84m n =⎧⎨=⎩;20.∵x+3y=0 ∴x 3+3x 2y-2x-6y=x 2(x+3y)-2(x+3y)=x 2²0-2²0=0,21.由题意得35a+33b+3c-3=5,∴35a+33b+3c=8,∴(-3)5a+(-3)3b+(-3)c-3=-(35a+33b+3c)-3=-8-3=-11, 22.原式=-9,原式的值与a 的取值无关. 23.∵21222532332n n n n n +++⨯⨯-⋅⋅,=212125321232n n n n ++⨯⨯-⋅⋅,=211332n n +⋅⋅.∴能被13整除. 四.125121710252⨯=⨯=N ,有14位正整数.1.7 平方差公式（1）1.36-x 2,x 2-14; 2.-2a 2+5b;3.x+1;4.b+c,b+c; 5.a-c,b+d,a-c,b+d ;6.3239981,159991;7.D; 8.C;9.D;10.16a -1;11.5050 ;12.(1)52020423+--x x x ,-39 ; (2)x=4;13.原式=200101；14.原式=1615112(1)222-+=.15.这两个整数为65和63.四.略.1.7 平方差公式（2）1.b 2-9a 2;2.-a-1;3.n-m;4.a+b ,1;5.130+2 ,130-2 ,16896;6. 3x-y 2;7.-24 ;8.-15;9.B; 10.D;11.C;12.A;13.C;14.B.15.解:原式=4216194n m -. 16.解:原式=16y 4-81x 4；17.解:原式=10x 2-10y 2. 当x=-2,y=3时,原式=-50. 18.解:6x=-9,∴x=23-. 19.解:这块菜地的面积为:(2a+3)(2a-3)=(2a)2-9=4a 2-9(cm 2),20.解:游泳池的容积是:(4a 2+9b 2)(2a+3b)(2a-3b),=16a 4-81b 4(米3).21.解:原式=-6xy+18y 2,当x=-3,y=-2时, 原式=36. 一变:解:由题得:M=(-4x+3y)(-3y-4x)-(2x+3y)(8x-9y)=(-4x)2-(3y)2-(16x 2-18xy+24xy-27y 2)=16x 2-9y 2-16x 2-6xy+27y 2=18y 2-6xy. 四.2n+1.1.8 完全平方公式（1） 1.19x 2+2xy+9y 2,12y-1 ;2.3a-4b,24ab,25,5 ;3.a 2+b 2+c 2+2ab-2ac-2bc;4.4ab,-2,1x;5.±6;6.x 2-y 2+2yz-z 2;7.2cm;8.D; 9.B ; 10.C; 11.B ; 12.B ; 13.A;14.∵x+1x =5 ∴(x+1x )2=25,即x 2+2+21x=25 ∴x 2+21x =23 ∴(x 2+21x )2=232 即4x +2+41x=529,即441x x +=527.15.[(a+1) (a+4)] [(a+2) (a+3)]=(a 2+5a+4) (a 2+5a+6)= (a 2+5a)2+10(a 2+5a)+24=43210355024a a a a ++++. 16.原式=32a 2b 3-ab 4+2b. 当a=2,b=-1时,原式=-10. 17.∵a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca=0∴2(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)=0∴(a 2-2ab+b 2)+(b 2-2bc+c 2)+(a 2-2ac+c 2)=0即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0 ∴a-b=0,b-c=0,a-c=0 ∴a=b=c.18.左边=[(a+c)2-b 2](a 2-b 2+c 2)=(a 2+b 2+c 2)(a 2-b 2+c 2) =(a 2+c 2)2-b 4=44a c ++2a 2c 2-b 4=444a b c ++.四.ab+bc+ac=-21.1.8 完全平方公式（2）1.5y;2.500;2;250000+2000+4;252004.3.2;4.3a;6ab;b 2;5.-6;6.4;7.2xy;2xy;8.2641,81x x ,4;9.D ; 10.D ; 11.B ; 12.B; 13.C; 14.B; 15.解:原式 =2a 4-18a 2.16.解:原式 =8x 3-2x 4+32.当x=-21时,原式=8732.17.解:设m=1234568,则1234567=m-1,1234569=m+1,则A=(m-1)(m+1)=m 2-1,B=m 2.显然m 2-1<m 2,所以A<B.18.解:-(x 2-2)2>(2x)2-(x 2)2+4x,-(x 4-4x 2+4)>4x 2-x 4+4x,-x 4+4x 2-4>4x 2-x 4+4x, -4>4x,∴x<-1. 19.解:由①得:x 2+6x+9+y 2-4y+4=49-14y+y 2+x 2-16-12, 6x-4y+14y=49-28-9-4, 6x+10y=8,即3x+5y=4,③由③-②³③得:2y=7,∴y=3.5, 把y=3.5代入②得:x=-3.5-1=-4.5,∴ 4.53.5x y =-⎧⎨=⎩20.解:由b+c=8得c=8-b,代入bc=a 2-12a+52得,b(8-b)=a 2-12a+52,8b-b2=a 2-12a+52,(a-b)2+(b-4)2=0,所以a-6=0且b-4=0,即a=6,b=4, 把b=4代入c=8-b 得c=8-4=4.∴c=b=4,因此△ABC 是等腰三角形.四.(1)20012+(2001³2002)2+20022=(2001³2002+1)2.(2) n 2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)]2.1.9 整式的除法 1.33m a b -; 2.4b; 3.273x -2x+1; 4.3213222x y x y --; 5.-10³1010; 6.-2yz,x(答案不惟一); 7.3310258z y x -; 8.3; 9.x 2+2; 10.C; 11.B; 12.D; 13.A; 14.C; 15.D; 16.(1)5xy 2-2x 2y-4x-4y ; (2)1 (3)2x 2y 2-4x 2-6; 17.由5171m m n +-=⎧⎨-=⎩ 解得32m n =⎧⎨=⎩;∴2139nm--==. 18.a=-1,b=5,c=-15, ∴原式=25187111(15)[15()]15555⨯⨯÷-⨯⨯-=÷=.19. 13b a =⎧⎨=⎩;20.设除数为P,余数为r,则依题意有:80=Pa+r ①,94=Pb+r ②,136=Pc+r ③,171=Pd+r ④,其中P 、a 、b 、c 、•d 为正整数,r ≠0②-①得14=P(b-a),④-③得35=P(d-c)而(35,14)=7 故P=7或P=1,当P=7时,有80÷7=11…3 得r=3而当P=1时,80÷1=80余0,与余数不为0矛盾,故P ≠1∴除数为7,余数为3. 四.略.单元综合测试 1.332311,0.1;(),26x y z a a a b x+--+, 2.3,2; 3.1.23³510-,-1.49³710;4.6;4;332222;0.533x y x y y x --++-; 5.-2 6.单项式或五次幂等,字母a 等; 7.25;8.4002;9.-1;10.-1; 11.36;12.a=3,b=6,c=4 ;13.B ; 14.A ; 15.A ;16.A ; 17.C ; 18.D;19.由a+b=0,cd=1,│m │=2 得x=a+b+cd-12│m │=0 原式=27716244x x --, 当x=0时,原式=14-. 20.令111111,1232002232003a b +++=++++= , ∴原式=(b-1)(a+1)-ab=ab-a+b-1-ab=b-a-1=12003.21.∵222222222222121211221221(5)(5)2555x x y y x y x y x y x y ++=+++=2211221221(5)5()x y x y x y x y ++-∴22221210(5)155(5)350y y +=+⨯-= ∴22125y y +=35. 22.1234567162536496481100x x x x x x x ++++++ =(3)3(2)3(1)1⨯-⨯+⨯=123³3-12³3+1=334.第二章 平行线与相交线2.1余角与补角1.³、³、³、³、³、√;2.（1）对顶角（2）余角（3）补角;3.D;4.110°、70°、110°;5.150°;6.60°;7.∠AOE 、∠BOC ，∠AOE 、∠BOC ，1对;8.90°9.30°;10.4对、7对;11.C;12.195°;13.（1）90°;（2）∠MOD=150°,∠AOC=60°;14.（1）∠AOD=121°;（2）∠AOB=31°,∠DOC=31°;（3）∠AOB=∠DOC;（4）成立; 四.405°.2.2探索直线平行的条件（1）1.D;2.D;3.A;4.A;5.D;6.64°;7.AD 、BC ，同位角相等，两直线平行;8、对顶角相等，等量代换，同位角相等，两直线平行;9.BE ∥DF （答案不唯一）;10.AB ∥CD ∥EF;11.略;12.FB ∥AC ，证明略.四.a ∥b,m ∥n ∥l.2.2探索直线平行的条件（2）1.CE 、BD ，同位角；BC 、AC ，同旁内角；CE 、AC ，内错角;2.BC ∥DE （答案不唯一）;3.平行，内错角相等，两直线平行;4.C;5.C;6.D;7.（1）∠BED ，同位角相等，两直线平行;（2）∠DFC ，内错角相等，两直线平行;（3）∠AFD ，同旁内角互补，两直线平行;（4）∠AED ，同旁内角互补，两直线平行;8.B;9.C;10.B;11.C;12.平行，证明略;13.证明略;14.证明略;15.平行，证明略（提示：延长DC 到H ）; 四.平行，提示：过E 作AB 的平行线.2.3平行线的特征1.110°;2.60°;3.55°;4.∠CGF ，同位角相等，两直线平行，∠F ，内错角相等，两直线平行，∠F ，两直线平行，同旁内角互补;5.平行;6.①②⇒④（答案不唯一）;7.3个 ;8.D;9.C;10.D;11.D;12.C;13.证明略;14.证明略; 四.平行，提示：过C 作DE 的平行线，110°.2.4用尺规作线段和角（1）1.D;2.C;3.D;4.C;5.C;6.略;7.略;8.略;9.略; 四.（1）略（2）略（3）①A ②61. 4.4用尺规作线段和角（2）1.B;2.D;3.略;4.略;5.略;6.略;7.（1）略;（2）略;（3）相等;8.略;9.略;10.略; 四.略.单元综合测试1.143°;2.对顶角相等;3.∠ACD 、∠B ；∠BDC 、∠ACB ；∠ACD;4.50°;5.65°;6.180°;7.50°、50°、130°;8.α+β-γ=180°;9.45°;10.∠AOD 、∠AOC;11.C;12.A;13.C;14.D;15.A;16.D;17.D;18.C;19.D;20.C;21.证明略;22.平行，证明略;23.平行，证明略;24.证明略;第三章 生活中的数据 3.1 认识百万分之一 1，1.73³104- ;2，0.000342 ; 3，4³107-; 4，9³103- ; 5，C; 6，D;7，C ; 8，C; 9，C;10，（1）9.1³108-; （2）7³105- ;（3）1.239³103- ;11，6101=106- ;106个. 3.2 近似数和有效数字1.（1）近似数;（2）近似数;（3）准确数;（4）近似数;（5）近似数;（6）近似数;（7）近似数;2．千分位;十分位;百分位;个位;百位;千位;3. 13.0， 0.25 , 3.49³104,7.4*104;4.4个, 3个, 4个, 3个, 2个, 3个;5. A;6、C;7． B ;8. D ;9. A ;10. B;11.有可能，因为近似数1.8³102cm 是从范围大于等于1.75³102而小于1.85 ³102中得来的，有可能一个是1.75cm ，而另一个是1.84cm ，所以有可能相差9cm.12. 13³3.14³0.252³6=0.3925mm3≈4.0³10-10m313.因为考古一般只能测出一个大概的年限，考古学家说的80万年，只不过是一个近似数而已，管理员却把它看成是一个精确的数字，真是大错特错了.四：1，小亮与小明的说法都不正确.3498精确到千位的近似数是3³1033.3 世界新生儿图1，（1）24% ;（2）200m以下 ;（3）8.2%;2，（1）59³2.0=118（万盒）;（2）因为50³1.0=50（万盒），59³2.0=118（万盒），80³1.5=120 （万盒），所以该地区盒饭销量最大的年份是2000年，这一年的年销量是120万盒;（3）50 1.059 2.080 1.53⨯+⨯+⨯＝96（万盒）;答案：这三年中该地区每年平均销售盒饭96万盒.3.（1）王先生 2001年一月到六月每月的收入和支出统计图（2）28：22：27：37：30：29;4.（1）这人的射击比较稳定，心态好，所以成绩越来越好；（2）平均成绩是8（3）5.解：（1）实用型生活消费逐年减少，保健品消费逐年增加，旅游性消费逐年增加：（2）每年的总消费数是增加了（3）6.（1）大约扩大了：6000-500=5500(km)2 6000÷500=12. （2）1960～1980年间，上海市市区及郊县的土地面积没有大的变化，说明城市化进程很慢. （3）说明郊县的部分土地已经划为上海市区，1980年以后，上海市区及郊县的土地总面积和几乎不变，这说明1980年以后上海市区及郊县的土地总面积总和几乎不变，这说明1980年以后上海市在未扩大土地总面积的前提下，城市化进程越来越快，城市土地面各占总土地面积的比例越来越大（如浦东新区的开发等）. 7，（1）由统计图知道税收逐年增加，因此2000年的税收在80到130亿元之间 （2）可获得各年税收情况等 （3）只要合理即可.单元综合测试1. 10－9;2. 106 ;3.333³103;3. 0.0000502;4. 170, 6 ;5.百 , 3.3³104;6. 1.4³108, 1.40³108;7.0.36 0.4;8. 1.346³105;9.A,10.B,11.C,12.C,13.A,14.D,15.B,16.C,17.B,18.B 19. 0.24与0.240的数值相等，在近似数问题上有区别，近似数位不同：0.24近似到百分位(0.01);0.240近似到千分位(0.001).有效数字不同：0.24有两个有效数字2、4；0.240有三个有效数字2、4、0. 20. (1)精确到0.0001,有四位有效数字3、0、1、0;(2)精确到千位,有三位有效数字4、2、3;(3)精确到个位,有三位有效数字3、1、4. 21. 82kg=82000 g,∴100000082000=8.2³10－2(g).22. 1000104005⨯=6104=4³10－6(kg).答:1 粒芝麻约重 4³10－6kg. 23. 西部地区的面积为32³960=640万 km 2=6.40³106 km 2,精确到万位. 24. 可用条形统计图：25. 36003301038⨯⨯≈2.53³102(h).答：该飞机需用 2.53³102h 才能飞过光 1 s 所经过的距离. 26. (1)树高表示植树亩数，从图中可看出植树面积逐年增加.(2)2000年植树约 50 万亩； 2001年植树约75 万亩; 2002年植树约110 万亩; 2003年植树约155 万亩; 2004年植树约175 万亩; 2005年将植树约225 万亩. (3)2000年需人数约 5 万; 2001年需人数约 7.5 万; 2002年需人数约 11 万; 2003年需人数约 15.5 万; 2004年需人数约 17.5 万; 2005年需人数约 22.5 万.第四章 概率 4.1 游戏公平吗 1.1或100% , 0; 2.61;3．相同 ;4.不可能,0;5.不确定,0,1 ;6.必然事件,1;7. A →③， B →① ，C →② ; 8. D ; 9. C;10.A; 11.（1）可能性为1 ;（2）发生的可能性为51;（3）发生的可能性为50% ;（4）发生的可能性为103;（5）发生的可能性为0.12四.这个游戏对双方不公平，当第一个转盘转出数字为1时，第二个转盘转出的数字1，2，3，4，5，6六种可能，这样在它们的积中有3奇3偶，当第一个转盘转出数字2时，第二个转盘转出的六种可能结果数中，两数之积必全为偶数，因此可以知道，，在两个转盘转出的所有可能结果数应是36种，其中只有9种可能是奇数，27种可能出现偶数，即出现积为偶数的可能比积为奇数的可能大得多，因而此游戏对对方不公平，为公平起见，可将游戏稍作改动，即将“两个转盘停止后所指向的两个数字之积”中的“积”改为“和”即可.4.2 摸到红球的概率1. 1.11000; 2.131 ; 3. 21; 4. ,3165 ; 5. 81 ; 6.1,0;7.(1)P=17;(2)P=0 ;(3)P=1;(4)P=0 ;(5)P=37;(6)P=47 ;(7)P=37; 8.C ; 9. D; 10. C; 11.B ;12.B; 13.C; 14.C;15.D ;16.D ;17.(1)P=13;(2)P=13;(3)P=23;(4)P=23. 18.∵P(甲获胜)=310,P(乙获胜)=25.∴这项游戏对甲、乙二人不公平, 若要使这项游戏对甲、乙二人公平,则添加编号为“0”的卡片或添加编号为“11”和“12”的卡片等等. 19.(1)k=0 (2)k=220.乙获胜的可能性不可能比甲大,要使游戏公平,小立方体上标有“2 ”的面数为3个,标有“1”“3”的面数共3个 21.P 1P 2; 四.(1)321; (2) 161; (3)摊主至少赚187.5元; 4.3 停留在黑砖上的概率1．A ;2．D ; 3．B ; 4．A ;5．B ; 6．C; 7．(1)14; (2)512; (3)23; (4)712; 8．可以在20个扇形区域中，任意将其中6个扇形涂上黄色，而余下14个均为非黄色即可，设计不确定事件发生的概率为103的方法很多，只要合理即可. 9．110; 1100; 10．16 ;11．P （阴影）=416，P （黑球）=416，概率相同，因此同意这个观点． 12．154，227，1354;13.110;四.解：小晶的解法是正确的，解的过程考虑的是以两个盛着写有0，1，2，3，4，•5的六张卡片的袋中“各取一块”，所以此时的基本事件（实验结果）有： （0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（0，5）， （1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）， …… （5，0），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）等36种， 其中和为6的是（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）5种， 故所求概率P=536．而小华解的是把“和”作为基本事件，•其和的解有0，1，2，…，10等11种，但这11种的概率是不同的．单元综合测试1.不确定, 0,1;2. 41 , 131 , 133;3. 53;4. 红, 白2　1;6.= ; 7; 32,31 ;8.113;9.C ;10.B;11.B; 12.C; 13.A ; 14.D ;15.B ;16.C;17. 游戏公平;理由：∵2 的倍数为2、4、6，它们的概率和为21; 数字大于3的有4、5、6,它们面朝上的概率和为21.两种情况机会均等，所以游戏公平.18.没道理.因为有95％的可能性要下雨，还有5％不下雨，所以带雨伞有一定预防作用，并不是必定下雨.明天下雨的可能性为10％，并不表示一定不下雨，还有10％的概率要下雨.19. 妈妈对小颖的关心爱护的心情是可以理解的，但总担心被车碰着是多余的.虽然时有车祸发生，但车祸的发生不具有随意性，只要我们人人注意,车祸是可以避免的.20. (1)101,451;(2)101³451=4501. 21.上层抽到数学的概率为31;下层抽到数学练习册的概率为31;同时抽到两者的概率为91. 22. 10 个纸箱中4 个有糖果，抽到有糖果纸箱的概率为52104 . 23.(1)10 个球中有 2 个红球，其他颜色球随意;(2)10 个球中有 4 个红球，4 个白球，另两个为其他颜色.24. (1)没有.(2)打折的面积占圆盘面积的一半,转一次转盘获打折待遇的概率是21;打九折的概率为41；打八折的概率为61;打七折的概率为121. 第五章 三角形5.1 认识三角形（1）1．C ; 2．D ; 3．C ; 4．B; 5．A ;6．C; 7．C; 8．A; 9．4, △ADE ，△ABE ，△ADC ，•△ABC;10．3 , △AEC ，△AEB ，△AED;11．0<BC<10 12．2 , 5cm ，6cm ，8cm ；6cm ，8cm ，13cm ;13．2;14．•15cm 或18cm ;15． 7cm<a<12cm;16．学校建在AB ，CD 的交点处．理由：任取一点H ，利用三角形三边关系．四.AB=6，AC=4，由三边关系定理，BC=4或6或8．5.1 认识三角形（2）1．C; 2．C ; 3．B ; 4．43°48′; 5．5 ; 6．180°; 7．3 ,1 , 1; 8．30°;9．60°;10．A ; 11．C; 12．B ; 13．70°,60°;14．70°，60° 15．不符合，因为三角形内角和应等于180°．16.45°，70°，115°;17．解：因为AB ∥CD ，AD ∥BC ，所以∠BDC=∠2=55°，∠DBC=∠1=65°，所以∠C=•180°-∠BDC-∠DBC=60°;四.探究：此类题只需抓住一个三角形，如图（1）所示，在△MNC 中，∠1+∠2+∠C=180°，而∠1=∠A+∠D ，∠2=∠B+∠E ，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．如图（2）所示，在△BCM 中，∠C+∠1+∠2=180°，而∠1=∠A+∠D ，∠2=∠DBE+∠E ，故结论成立．如图（3）所示，在△MNE 中，∠1+∠2+∠E=180°，∠1=∠B+∠D ，∠2=∠A+∠C ，•故结论仍成立.5.1 认识三角形（3）1．（1）AD;AD,BD ;（2）BF ，AC ，ACE ，AE ，ADC ，AD ，DEC ，DE;2．5cm;３．40°;４．Ｄ;５．Ａ;６．Ｄ;７．略 ; ８．略;四．130度;5.2 图形的全等1．B; 2．D ; 3．D ; 4.C. 提示：按一定顺序找，△AOE ，△EOD ，△AOD ，△ABD ，△ACD ，△AOB;5.a=5，b=18，c=15，∠α=70°，∠β=140°; 6.略 ; 7．C ; 8．D;10．C;11．D ;12.略四.5.3 全等三角形1．C ;2．D;3．B; 4．B ;5．相等,相等,相等 ; 6．∠ABC;7．DE;8．BC=DC，•AC=EC , EC, ∠E ,∠ECD;9．A ; 10．A; 11．C; 12 .D; 13.D;14．∵△DEF≌△MNP．∴DE=MN，∠D=∠M，∠E=∠N，∠F=∠P，∴∠M=48°，∠N=52°，∴∠P=180°-48°-52=°=80°，DE=MN=12cm．四.不成立，因为它们不是对应边．可找出AB=AC，AE=AD，BE=CD．5.4 探索三角性全等的条件(sss)1．SSS ;2．AD=BC ;3．60°;4．D ;5．C;6．先证△ABC≌△DEF（SSS）•，∴∠BCA=∠EFD，∴BC∥EF7．证△ABC≌△ADC（SSS），可得∠BAC=∠DAC，即AE•平分∠BAD8．∠A=∠D，理由如下：连接BC，在△DBC和△ACB中，∵DB=AC，CD=BA，BC=CB，•∴△DBC≌△ACB（SSS），∴∠A=∠D9．DM=DN．四. 略.5.4 探索直角三角形全等的条件（SAS、ASA、AAS）1．乙; 2．AC=AC等;3．2cm; 4．OA=OC或OB=OD或AB=CD;5．B ; 6．C;7．B; 8．B; 9．B;10．B;11．3;12．先证△ABE≌△DAF得AE=DF，因为由正方形ABCD得AD=DC，所以得ED=FC13．证明：延长AE到G，使EG=AE，连结DG．证△ABE≌△GDE，∴AB=GD，∴∠B=∠BDG．∵∠ADC=∠B+∠BAD．∠ADG=∠ADB+∠BDG，而∠ADB=∠BAD，∠B=∠BDG，∴∠ADC=∠ADG 再证△ADG≌△ADC，∴AG=AC，即AC=2AE．14.已知：DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=AC，BD=CD求证：BE=CF．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90º．在△BDE与△CDF中，∵∠B=∠C，∠BED=∠CFD，BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BE=CF．15．此图中有三对全等三角形，分别是：△ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF，△BCF•≌△EFC．证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D．在△ABF 和△DEC 中，,,,AB DE A D AF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEC （SAS ）．四.证明：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE ，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB；② ∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE ，∴DE=CE+CD=AD+BE，（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBE ，又∵AC=BC ，∴△ACD≌△CBE ，∴CE=AD，CD=BE ．∴DE=CE－CD=AD －BE ．（3）当MN 旋转到图3的位置时，AD 、DE 、BE 所满足的等量关系是DE=BE －AD（或AD=BE －DE ，BE=AD+DE 等）．∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE ，∴DE=CD－CE=BE －AD ．5.5 ～5.6 作三角形～～利用三角形全等测距离1．C; 2．D ; 3．A ; 4．∠α ,a,b, 所求;5．共6个，如图所示: ....3.55A 2B 22C 1B 1A 136︒53.536．C ;7．略;8．在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上，这时测得的DE 的长就是AB 的长．9.(1)由△APB ≌△DPC ，所以CD=AB ．(2)由△ACB ≌△ECD 得DE=AB ．目的是使DE ∥AB ，可行．10.因为△A ′OB ′≌△AOB ，所以AB=A ′B ′．11.解：（1）AE=CF （OE=OF ；DE ∥BF 等等）（2）因为四边形ABCD 是长方形，所以AB=CD ，•AB ∥CD ，∠DCF=∠BAF ，又因为AE=CF ，所以AC-AE=AC-CF ，所以AF=CE ，所以△DEC ≌△BFA ．12．提示：连接EM ，FM ，需说明∠EMF=∠BMC=180°即可四.（1）FE=FD;（2）（1）中的结论FE=FD 仍然成立．在AC 上截取AG=AE ，连结FG ．证△AEF ≌△AGF 得∠AFE=∠AFG ，FE=FG ．由∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，得∠DAC+∠ECA=60°．所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，所以∠CFG=60°．由∠BCE=∠ACE 及FC 为公共边． 可证△CFG ≌△CFD ， 所以FG=FD ，所以FE=FD ．5.7 探索直角三角形全等的条件（HL ）1．B; 2．C; 3．D; 4．3; 5．全等 ; 6．（1）AAS 或ASA ; （2）AAS ; （3）SAS 或HL ; •（4）不全等 ; （5）不全等 ;7．猜想∠ADC=∠ADE ．理由是∠ACD=∠AED=90°，∠CAD=•∠EAD ，所以∠ADC=∠ADE （直角三角形两锐角互余）．８．C ９．△ADE ≌△CBF ，△DEG ≌△BFG ，△ADG ≌△CBG10．∠A CE 11．•全等 HL 5cm12．有全等直角三角形，有3对，分别是：△ABE ≌△ACD ，△ADF ≌△AEF ，•△BDF ≌△CEF ，根据的方法分别为AAS ，HL ，HL 或SAS 或AAS 或ASA 或SSS ．13.解：因为△ABD ≌△CBD ，所以∠ADB=∠CDB ．又因为PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，所以PM=•PN ．14.提示：先说明△ADC ≌△BDF ，所以∠DBE=∠DAC ，所以∠ADB=∠AEF=90°，•所以BE ⊥AC ．15.△ABF ≌△DEA ，理由略．16.先证Rt △ACE ≌Rt △BDF ，再证△ACF ≌△BDE;17. 需证Rt △ADC ≌Rt △AEC四.（1）由于△ABC 与△DEF 是一张矩形纸片沿对角线剪开而得到两张三角形，所以△ABC ≌△DEF ，所以∠A ＝∠D ，在△ANP 和△DNC 中，因为∠ANP ＝∠DNC ，所以∠APN ＝∠DCN ，又∠DCN ＝90°，所以∠APN ＝90°，故AB ⊥ED ．（２）答案不唯一，如△ABC ≌△DBP ；△PEM ≌△FBM ；△ANP ≌△DNC 等等．以△ABC ≌△DBP 为例证明如下：在△ABC 与△DBP 中，因为∠A ＝∠D ，∠B ＝∠B ，PB ＝BC ，所以△ABC ≌△DBP ．单元综合测试1．一定，一定不;2．50°;3．40°; 4．HL;5．略(答案不惟一);6．略(答案不惟一); 7．5;8．正确;9．8;10．D; 11．C; 12．D; 13．C; 14．D; 15．A; 16．C; 17．C;.18．略;19.略;20．合理．因为他这样做相当于是利用“SSS ”证明了△BED ≌△CGF ，所以可得∠B =∠C ．21．此时轮船没有偏离航线．画图及说理略;22．（1）图中还有相等的线段是：AE ＝BF ＝CD ，AF ＝BD ＝CE ，事实上，因为△ABC 与△DEF 都是等边三角形，所以∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，∠EDF ＝∠DEF ＝∠EFD ＝60°，DE ＝EF ＝FD ，又因为∠CED +∠AEF ＝120°，∠CDE +∠CED ＝120°，所以∠AEF ＝∠CDE ，同理，得∠CDE ＝∠BFD ，所以△AEF ≌△BFD ≌△CDE （AAS ），所以AE ＝BF ＝CD ，AF ＝BD ＝CE ，（2）线段AE ，BF ，CD 它们绕△ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到，线段AF ，BD ，CE 它们绕△ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到．23.（1）△EAD ≌△EA D '，其中∠EAD=∠EA D '，AED A ED ADE A DE ''=∠=，∠∠∠；（2）118022180-2x y ∠=︒-=︒，∠；（3）规律为：∠1+∠2=2∠A ．第六章 变量之间的关系6．1 小车下滑的时间1.R;2.（1）挂重，弹簧长度；（2）13;3.（1）速度，甲乙两地的距离；（2）时间，他距乙地的距离;4.220字/分;5.27;6.x x y 42+=;7.B;8.C;9.D;10.C;11.（1）皮球反弹的高度，下落高度；下落高度是自变量，反弹高度是因变量；（2）40cm;（3）200cm;12.（1）108.6度；（2）3258度；（3）y=54.3x;13.（1）通话时间和通话费用，通话时间是自变量，通话费用是因变量；（2）（3）略14.（1（2）s=3n+1；不能剪成33个，因为当s=33时，n 不是整数.6．2 变化中的三角形1.9，4;2.3532-x ;3.y=20-2x;4.t=20-6h;5.21;6.y=3000+400x-2002x ;7.231;8.C;9.D;10.C;11.（1）V=331+0.6t ；（2）346;12.（1）y=3x+36;（3）当x 每增加1时，y 增加3；（4）y=36，表示三角形;13.（1）28个，45个；（2）y=x+19；（3）当y=52时，x=33，但仅有30排，所以不可能某排的座位数是52个;14.（1）1y =5x+1500；（2）2y =8x ；（3）当x=300时，3000150030051=+⨯=y （元） ， 240030082=⨯=y （元），所以12y y <，故选乙公司合算. 6．3 温度的变化1.表格法，图象法，关系式法;2.水平，竖直;3.24，4;4.（1）7，5；（2）0千米/时，从2时到4时萌萌没有行走；（3）40；（4）10千米/时；（5）20;5.B;6.Q=90-8t ，675;7.D;8.D;9.（1）正方形个数，火柴棒根数；火柴棒根数；（2）3x+1；（3）19;10.（1）2510=元；58105.20--=3.5元；（2）因为3.5<5，所以应交水费为3.5³2=7元； 55.31017+-=7吨. 11.（1）由图象我们可以看出农民自带零钱为5元. （2）（元）5.030520=- （3）（千克）。