代数_函数概念及其图像

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2014-7-3
初等代数研究
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§1 函数的概念
一、函数概念的扩展
最早提出函数（function）概念的是 17 世纪德国数学家莱布尼茨． 1718 年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家约翰· 贝努利把函数定义为：“由 某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．” 1755 年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量以某一种方式依 赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，我 们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用 公式表示了．由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线 也叫函数．他认为：“函数是随意画出的一条曲线．”当时有些数学家对于不用 公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公 式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”．
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§1 函数的概念
一、函数概念的扩展
19 世纪末，自从德国数学家康托创立了集合论，人们把函数的概念提升到了 更抽象的层次，这个抽象的定义，提炼出了函数概念的精髓，使它去除了各种形 式的束缚，从而有了更广泛的应用． 中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。 我国清代数学家李善兰在翻译 《代 数学》 （1895 年）一书时，把“funcion”译成“函数”，中国古代“函”字与“含”字通用， 都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国 古代用天、地、人、物 4 个字来表示 4 个不同的未知数或变量。这个定义的含义 是：“凡是公式中含有变量ｘ，则该式子叫做ｘ的函数。”所以“函数”是指公式里 含有变量的意思。
3.伸缩变换
2014-7-3
y f ( x) y f (kx) y f ( x) y kf ( x)

小学数学知识归纳认识简单的代数函数和函数的像在小学数学的学习中，学生们会接触到各种各样的概念和知识。

其中一项重要的内容就是代数函数和函数的像。

在本文中，我将为大家做一个简单的归纳和认识。

一、代数函数的基本概念和性质代数函数是数学中一个非常重要的概念，它是指输入和输出之间存在某种关系的规则。

一般情况下，代数函数可以用一个公式来表示，例如y = f(x)。

其中，x表示输入的自变量，y表示输出的因变量。

函数的定义域和值域分别表示自变量和因变量的取值范围。

在代数函数中，我们可以通过代入x值，求出对应的y值，从而得到一系列的输入和输出对。

这些输入和输出对也被称为函数的解，即函数上的点。

通过绘制这些点，我们可以得到函数的图像。

代数函数具有一些性质，例如函数的唯一性、奇偶性、对称性等。

通过研究这些性质，我们可以更好地理解和应用代数函数。

二、函数的像及其意义在函数的学习中，我们还需要了解函数的像。

函数的像是指函数的输入经过某种规则变换后得到的输出。

换句话说，函数的像就是函数的值域。

函数的像对于理解函数的性质和应用非常重要。

通过观察函数的像，我们可以发现函数的取值范围，从而便于我们做进一步的数学推理和计算。

举个例子来说明，假设我们有一个函数f(x) = x^2。

如果我们想知道函数在自变量x取2时的值，我们只需要将x代入函数中进行计算即可，即f(2) = 2^2 = 4。

这里的4就是函数在x=2时的像。

三、简单代数函数的实例分析为了更好地理解代数函数和函数的像，让我们来看几个简单的函数实例。

1. 线性函数：y = kx + b，其中k和b为常数。

这是一条直线函数，通过调整k和b的值，我们可以得到不同斜率和截距的直线。

例如，当k=2，b=1时，函数y = 2x + 1可以表示为一条斜率为2、截距为1的直线。

通过计算，我们可以得到这条直线在不同x值下的函数的像。

2. 平方函数：y = x^2。

这是一个简单的二次函数，通过计算不同的x值，我们可以得到对应的函数的像。

代数知识点总结图一、代数的基本概念1. 代数表达式代数表达式是用字母、数字和运算符号等符号表示数与数关系的式子。

代数表达式的一般形式为a1x^n + a2x^(n-1) + ... + an-1x + an，其中a1，a2，...，an-1，an为系数，x为未知数，n为非负整数。

2. 代数方程代数方程是含有未知数的等式，一般是将代数表达式的两个部分用等号连接起来。

代数方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a，b，c为实数且a≠0。

3. 代数不等式代数不等式是含有不等号的式子，表示两个代数表达式之间的大小关系。

代数不等式的一般形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。

4. 代数函数代数函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。

代数函数的一般形式为y = f(x)。

二、代数运算1. 代数运算的基本法则代数运算的基本法则包括加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则及分配律等。

2. 代数运算的性质代数运算的性质包括结合律、交换律、分配律、零律、乘法逆元等。

3. 代数运算中的优先级代数运算中，乘法和除法的优先级高于加法和减法，括号内的运算优先级最高。

4. 代数运算的逆运算代数运算的逆运算指的是对一种运算进行相反的操作。

例如，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。

三、代数方程和代数不等式1. 一元一次方程一元一次方程是指未知数的最高次数为1的方程。

一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a，b为已知数且a≠0。

2. 一元一次不等式一元一次不等式是指未知数的最高次数为1的不等式。

一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0或ax + b < 0。

3. 一元二次方程一元二次方程是指未知数的最高次数为2的方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a，b，c为已知数且a≠0。

4. 一元二次不等式一元二次不等式是指未知数的最高次数为2的不等式。

平面直角坐标系、函数及其图像【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 各象限点的坐标的符号： 3. 坐标轴上的点的坐标特征： 4. 坐标对称，如P （x ，y ）：5. 两点之间的距离，如A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）：6. 两点的中点坐标，如A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）： 二、函数的概念1.概念：2.自变量的取值范围：（1） （2）3.函数的表示方法：（1） （2） （3）【例题精讲】例1. 函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ; 函数23y x =-中自变量x 的取值范围是 ．例2. 已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ．例3. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(10，0)，点B 的坐标为(8，0),点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形．求点C 的坐标．例4. 阅读以下材料：对于三个数a,b,c 用M{a,b,c}表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数．例如：{}123412333M -++-==，，； min{-1,2,3}=-1；{}(1)min 121(1).a a a a -⎧-=⎨->-⎩≤；，， 解决下列问题：（1）填空：min{sin30o ,sin45o ,tan30o }= ；B CAy xOMD 例3图（2）①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x}，则x= ；②根据①，你发现了结论“如果M{a,b,c}= min{a,b,c}，那么 ”． ③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y}， 则x + y= ．（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1， y=(x-1)2，y=2-x 的图象（不需列表描点）． 通过观察图象，填空：min{x+1, (x-1)2,2-x}的最大值为 ．【当堂检测】1.点P 在第二象限内，P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，那么点P 的坐标为（ ）A ．(-4,3)B ．(-3,-4)C ．(-3,4)D ．(3,-4) 2.已知点P(x,y)位于第二象限，并且y≤x+4 , x,y 为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标： ．3.点P(2m-1,3)在第二象限，则m 的取值范围是（ ）A ．m>0.5B ．m≥0.5C ．m<0.5D ．m≤0.5 4.如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线． ⑴由图观察易知A （0，2）关于直线l 的 对称点A '的坐标为（2，0），请在图中分 别标明B (5,3) 、C (-2,5) 关于直线l 的对 称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标: B ' 、C ' ； ⑵结合图形观察以上三组点的坐标，你会 发现：坐标平面内任一点P (a ,b )关于第一、 三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）；⑶已知两点D (1,-3)、E (-1,-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距 离之和最小，并求出Q 点坐标．xyO例4图123456-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-61234567O xylABA'D'E'C(第22题图）第4题图一次函数图象和性质【知识梳理】1．正比例函数的一般形式是 ，一次函数的一般形式是 。

二次函数的图像和轨迹二次函数是高中数学中的重要概念，它在代数、几何以及实际问题中都有广泛的应用。

本文将探讨二次函数的图像和轨迹，通过图形和数学方程来帮助读者更好地理解这个概念。

1. 二次函数的定义和一般形式二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

这个函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

2. 抛物线的顶点和对称轴对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，抛物线的顶点坐标可以通过求解方程-f(x) = ax² + bx + c的最值来得到。

顶点的横坐标是x = -b/(2a)，纵坐标是f(-b/(2a))。

这个顶点处于抛物线的最低点或最高点，也是抛物线的中心。

抛物线的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。

它的方程为x = -b/(2a)。

对称轴将抛物线分成两个对称的部分。

3. 抛物线的开口方向和轨迹根据二次函数的系数a可以确定抛物线的开口方向。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

开口方向对应了二次函数的正负性质。

根据抛物线的开口方向，可以推测二次函数的图像在坐标系中的轨迹。

当a>0时，抛物线的轨迹在y轴的正半轴上方；当a<0时，抛物线的轨迹在y轴的负半轴上方。

4. 抛物线的焦点和直线的切线对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，如果a≠0，那么抛物线将与y轴交于点(0, c)。

这个点称为抛物线的焦点。

抛物线上的每个点都有一条切线。

切线与抛物线在该点处相切，并且切线斜率等于抛物线在那点的导数。

对于二次函数，可以根据导数的定义来求解切线的斜率，并再结合该点的坐标得到切线的方程。

5. 抛物线在坐标系中的平移通过修改二次函数的系数b和c，可以使得抛物线在坐标系中进行平移。

当b≠0时，抛物线将在x轴方向上平移；当c≠0时，抛物线将在y轴方向上平移。

二次函数的图象课件
这份课件将带您深入了解二次函数的概念、表达形式和图像特征。还将介绍 二次函数在不同领域的应用，以及常见错误和避免方法。让我们开始探索二 次函数的奥秘吧！
什么是二次函数
二次函数是一个以二次项为最高次的代数函数，它的图像呈现出抛物线的形状，并且具有特定的顶点和对称轴。
二次函数的标准式
二次函数的一般式是 y = ax^2 + bx + c，通过一般式可以求出二次函数的零点 和判别式，进一步分析函数的特性。
ห้องสมุดไป่ตู้次函数在坐标系中的图像
二次函数在坐标系中的图像呈现出抛物线的形状，具有对称性和特定的轨迹。 图像的形状和位置可以通过函数的系数来推测。
二次函数的对称轴
二次函数的对称轴是图像的对称线，它垂直于 x 轴并过顶点。通过对称轴可 以进一步确定图像的形状和特征。
二次函数的标准式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数。通过标准式，可以得到二次函数的图像特征和解 析式。
二次函数的顶点式
二次函数的顶点式是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点的坐标。顶点式可以直接得到二次函数的顶点和对称轴。
二次函数的一般式
二次函数的判别式
二次函数的判别式是 b^2 - 4ac，通过判别式可以判断二次函数的解的情况， 进一步分析函数的开口方向和交点情况。
二次函数的零点和解析式
二次函数的零点是函数与 x 轴交点的横坐标，解析式是零点的一种简化表达 方式。通过求解零点和解析式，可以进一步分析函数的特性。

理解初中数学中的代数概念初中数学中的代数概念代数是数学中的一个分支，它研究数量关系以及代数连接与变化的数学结构。

在初中数学中，代数是一个重要的概念，通过学习代数，学生们能够更好地理解数学规律和解决实际问题。

在本文中，我们将探讨初中数学中的代数概念，包括代数表达式、方程、函数以及代数运算。

一、代数表达式代数表达式是由数字、变量和运算符组成的数学表达式。

在初中数学中，代数表达式通常用字母表示变量。

我们可以通过代数表达式来推导和解决各种数学问题。

例如，下面是一个代数表达式：2x + 3其中，2x代表一个数字与变量x的乘积，加上3。

变量x可以是任意数字，因此这个代数表达式可以表示一系列不同的数。

代数表达式的使用使得我们能够描述和分析数量关系，进而解决实际问题。

通过代数表达式，我们可以将抽象的数学概念与实际情境相联系。

二、方程方程是数学中的一种等式，它使用代数表达式将两个数量相等关联起来。

在初中数学中，我们学习如何解决和应用各种类型的方程。

一元一次方程是最常见的方程类型，它的形式为ax + b = c，其中a、b、c是已知的数字，x是未知数。

我们可以通过如下的步骤解决一元一次方程：1. 将方程转化为ax = c - b的形式；2. 计算x的值，得出方程的解；3. 检验解是否满足原方程。

方程的应用广泛，可以用来解决各种实际问题，例如购物优惠、时间计算等。

通过学习方程，学生们能够培养解决问题的能力，并且将数学知识应用于日常生活中。

三、函数函数是代数的基本概念，它描述了一个或多个变量之间的数学关系。

在初中数学中，我们学习了线性函数和二次函数。

线性函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b是已知数字，x和y是变量。

线性函数的图像是一条直线，斜率为k，截距为b。

二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c是已知数字，x和y是变量。

二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

通过研究函数，我们可以了解变量之间的数量关系，并通过绘制图像来帮助我们理解和解决问题。

初中代数知识点归纳初中代数是数学的一个重要分支，是数学中的一门基础学科，也是高中数学的基础。

初中代数主要包括函数与方程、比例与变量、代数运算、代数式的加减乘除及其运算性质等内容。

下面将对初中代数的一些重要知识点进行总结。

一、函数与方程1.函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。

函数可以用函数符号f(x)来表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。

2. 一次函数：一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a、b为常数。

一次函数的图像为一条直线，其斜率为a，截距为b。

3. 二次函数：二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 为常数且a不等于0。

二次函数的图像为一条抛物线，开口方向由a的正负决定。

4.方程与方程的解：方程是含有未知数的等式，方程的解是使方程成立的未知数的值。

5. 一元一次方程：一元一次方程是形如ax+b=0的方程，其中a、b 为已知数且a不等于0。

一元一次方程的解可以用等式x=-b/a表示。

6. 一元二次方程：一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知数且a不等于0。

一元二次方程的解可以用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a表示。

二、比例与变量1.比例的概念：比例是指两个量之间的相对大小关系。

比例可以用等式a:b=c:d表示，其中a、b、c、d为已知数。

2.变量的概念：变量是表示数值大小不确定的量。

变量一般用字母表示，如x、y、z等。

3.等比例变换：等比例变换是指在比例关系不变的前提下，对比例中的一个量进行改变，使得新的比例关系成立。

4.代数式的加减乘除：代数式的加法是指将两个或多个代数式相加得到一个新的代数式。

代数式的减法、乘法、除法的定义与加法类似。

5.代数式的运算性质：代数式的运算性质包括交换律、结合律、分配律等。

三、代数运算1.正数与负数：正数是指大于0的数，负数是指小于0的数。

在数轴上，正数位于原点右侧，负数位于原点左侧。

组合数学
组合数学是数学竞赛中的重要内容之一，而函数在组合数学中也有广泛的应用。例如，在 排列组合问题中，我们可以通过建立排列数和组合数的函数关系，来求解一些排列组合问 题。
函数在物理中的应用
运动学
在物理学中，运动学是研究物体运动规律的科学。而函数是描述物体运动规律的重要工具之一。例如，在匀速直线运 动中，我们可以通过建立速度和时间之间的函数关系，来描述物体的运动规律。
力学பைடு நூலகம்
在物理学中，力学是研究物体机械运动及其相互作用的科学。而函数在力学中也有广泛的应用。例如，在弹性力学中 ，我们可以通过建立应力应变之间的函数关系，来描述物体的弹性性质。
热学
在物理学中，热学是研究热现象及其变化的科学。而函数在热学中也有广泛的应用。例如，在热力学中 ，我们可以通过建立温度和热量之间的函数关系，来描述物体的热性质。
二次函数的图像与性质
图像：二次函数 y=ax^2+bx+c的图像是一
个抛物线。
性质
01
02
03
当a>0时，抛物线开口向上 ；
当a<0时，抛物线开口向下 。
04
05
抛物线的对称轴为x=-b/2a 。
反比例函数的图像与性质
图像：反比例函数y=k/x 的图像是双曲线。
性质
当k>0时，双曲线的两支 分别位于第一、三象限；
当k<0时，双曲线的两支 分别位于第二、四象限。
04
函数的应用
Chapter
函数在实际生活中的应用
01
描述变化规律
函数可以用来描述实际生活中许多事物的变化规律，例如，随着时间的
变化，气温的变化，或者随着高度的变化，压强的变化等。

复合函数的运算规则
复合函数的性质
复合函数具有一些重要的性质，如单 调性、奇偶性等，这些性质可以通过 对组成复合函数的各个函数的性质进 行分析得出。
复合函数的运算规则是先计算内层函 数，再计算外层函数，依次类推，直 到所有的函数都计算完毕。
反函数的概念与运算
01
02
03
反函数的概念
反函数是指将一个函数的 输入和输出互换，得到一 个新的函数。
一次函数
形如f(x)=kx+b的函数， 其中k和b为常数且k≠0。
分式函数
形如f(x)=k/x的函数，其 中k为常数且k≠0。
对数函数
形如f(x)=log_a x的函数， 其中a为常数且a>0且a≠1
。
02 函数的性质
有界性
总结词
函数的值域在一定范围内变动，不会 无限增大或减小。
详细描述
函数的输出结果总是在一定的范围内 ，不会超出这个范围。例如，正弦函 数和余弦函数的值域都在-1到1之间。
函数的定义域和值域是函数的重要属性，它们决定了函数的作用范围和 结果范围。
函数的表示方法
解析法
用数学表达式来表示函数，是最 常用的一种表示方法。例如， f(x)=x^2表示一个函数，当x取 任意实数时，都有唯一的y值与 之对应。
表格法
通过表格的形式来表示函数，对 于一些离散的函数可以用此方法 。例如，一个离散函数的值可以
函数概念ppt课件
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 函数的运算 • 函数的应用 • 函数的图像
01 函数的基本概念
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它是一种特殊的对应关系，这种对应关系使 得对于数集A中的每一个元素，通过某种法则，都可以唯一地对应到数集 B中的一个元素。

方程图像知识点梳理总结1. 方程图像的基本概念方程图像指的是用代数方程表示的一条或者一组曲线，在平面直角坐标系中的图形。

通常来说，代数方程的一般形式为y=f(x)，其中x和y分别代表横坐标和纵坐标，而f(x)则代表y值所对应的函数表达式。

方程图像的形状和特征取决于函数的性质及其参数的值，通过对函数的分析和变换，我们可以得到方程图像的各种性质和特征。

2. 一次函数的图像一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b分别为斜率和截距。

一次函数的图像呈现为一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则决定了直线与y轴的交点。

当斜率为正时，直线向右上倾斜；当斜率为负时，直线向右下倾斜；当斜率为零时，直线平行于x 轴。

一次函数的图像具有特定的线性关系，通过观察和分析图像，可以推断出函数的性质和特征。

3. 二次函数的图像二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。

二次函数的图像呈现为一条抛物线，其开口方向由二次项的系数a的正负来决定。

当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。

通过解析二次函数的顶点、判别式、零点等参数，可以确定抛物线的位置和形状。

二次函数的图像具有特定的对称性和凹凸性，通过观察和分析图像，可以推断出函数的性质和特征。

4. 三角函数的图像三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们的图像呈现为周期性的波动曲线。

正弦函数的一般形式为y=Asin(Bx+C)+D，其中A、B、C和D均为常数。

正弦函数的图像呈现为一条周期性波浪状曲线，其振幅和周期由A和B来决定。

余弦函数和正切函数的图像具有类似的周期性波动特征，它们的振幅、周期和相位均可以通过函数的参数来确定。

三角函数的图像具有特定的周期性和对称性，通过观察和分析图像，可以推断出函数的性质和特征。

5. 指数函数和对数函数的图像指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。

对数函数的一般形式为y=log_ax，其中a为底数，x为真数。

时，有x=f^(-1)(y)，则称x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
性质
02
原函数和反函数在相应的区间上单调性相同。
求导法则
03
原函数的导数等于反函数的导数的倒数。
05 函数的实际应用
一次函数的应用
01
02
03
线性回归分析
一次函数是线性回归分析 的基础，通过拟合数据点， 可以预测因变量的变化趋 势。
函数的概念及其表示法
目录
• 函数的基本概念 • 函数的表示法 • 函数的定义域和值域 • 函数的运算 • 函数的实际应用
01 函数的基本概念
函数的定义
01
函数是一种特殊的对应关系，它 使得集合A中的每一个元素都能通 过某种法则对应到集合B中的唯一 一个元素。
02
函数通常用大写字母表示，如f(x)， g(x)等，其中x是自变量，f(x)是因 变量。
初等函数
由代数函数和三角函数经过有限次四则运算 得到的函数。
三角函数
与三角学相关的函数，如正弦函数、余弦函 数等。
超越函数
不能表示为有限次四则运算的初等函数的函 数，如自然对数函数、正切函数等。
02 函数的表示法
解析法
解析法
使用数学表达式来表示函数，如 $f(x) = x^2 + 2x + 1$。解析法 精确地描述了函数与自变量之间的数学关系，适用于需要精确计算 的情况。
表格法
01 02
表格法
列出自变量和因变量的若干组对应数值，以表格的形式表示函数。适用 于已知部分函数值的情况，可以通过插值或拟合的方法确定其他点的函 数值。
优点
简单、直观，能够提供一定程度的近似值。

[文件] sxtbc3d0017.doc[科目] 数学[年级] 初三[类型] 同步[关键词] 函数概念[标题] 代数·函数概念及其图像[内容]代数·函数概念及其图像班级__________姓名________学号____________一、填空题1． 圆的面积用S 表示，半径用R 表示，则S=2R π，其中_________是常量,_________是自变量,________是_______的函数,自变量的取值范围是___________.2． 设轮子每分钟转100转,那么轮子的转数n 与时间t(分钟)的函数关系的解析式为__________.3． 设长方形的周长为30,宽为x,那么它的长y 与宽x 的函数关系式的解析式为_________.4． 已知,1223-+=y y x 把它写成y 是x 的函数式(其中x 是自变量)是________,其中x 的取值范围是_________. 5． 已知123-+=x x y ,当x=3时,y=_________,当x=2时,y=__________. 二、解答题6．求下列函数中自变量x 的取值范围：（1） y=3-2x ； （2）y=x -2； （3）y=;52+x x （4）;124+=x y （5）;3212--=x x y （6）;35212--=x x y （7）;2323x x y -+=（8）.5453+-=x x y 7．已知函数212-+=x x y ，求当函数值分别为3，-7，0时，自变量x 的值. 8．已知水池的容量为100立方米，每小时的注水量为5立方米：（1） 求水池中的水量V （立方米）与注水时间t （小时）之间函数关系；（2） 求t 的取值范围；（3） 求当t=5，8，16时，对应的注水量.9．已知函数y=5x+2，不画图像，判断点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,52，（0，52），（53，5），（221,25--）在不在这个函数的图象上.三、选择题10．在下面等式中，y 是x 的函数有（ ）.（A ）x y -=（x ＞0） （B ）2x-3y=0（C ）y=±|x| （D ）4x-3y11．下列各组函数中，两个函数相同的是（ ）.（A ）y=x 与y=（x ）2 （B ）y=x 与y=2x（C ）y=ｘ与y=23xx （D ）x y 1=与x x y 0= 12．函数xx y -=||1的自变量x 的取值范围是（ ）. （A ）全体实数 （B ）x ＞0 （C ）x ＜0 （D ）x ≠0 13．已知点P 在函数y=x 2的图像上，点P 坐标为（b ,57+），则b=（ ）. （A ）57- （B ）57+（C ）2(57-) （D ）257- 14.下列各组函数中,图像完全相同的是( ).（A ） y=x 与1=xy （B ）y=x 与y=|x| (B)y=x 与y=33x （D ）y=x 与y=(x )2四、填空题15．已知点A 在函数y=-2x 的图像上，如果点A 的横坐标为2，那么点A 的纵坐标为________.16.已知点N 在函数1+-=x x y 的图像上,如果点N 的纵坐标为-2,那以点N 的横坐标为_________.17.已知函数y=x 425-,当x=6时,y=_______;当x=-6时,y=________.18.若三角形的底边长为8,高为x,面积为y,则面积与高之间的函数关系是_________,自变量取值范围是___________.五、解答题19．已知等腰三角形周长为20cm ，（1）写出底边长y （cm ）与腰长x （cm ）的函数关系式；（2）求自变量x 的取值范围；（3）作出函数的图像.20．在半径为1的半圆内有一个内接等腰梯形，它以直径为下底，求（1）若腰为1时，等腰梯形的周长；（2）等腰梯形周长y 与x 腰长之间的函数关系式.。

例3：某问答游戏的规规是：共5道选择题，基础分为50分， 每答错一道 题扣10分， 答对不扣分， 试分别用列表法、 图象法、解析法表示一个参 与者的得分y与答错题目道数x(x {0,1,2,3,4,5})之间的函数关系.
三种表示方法的优点
解析法 ①函数关系清楚、精确②容易从自变量的值 求出其对应的函数值③便于研究函数的性质。 解析法是中学研究函数的主要表达方法。
当a 0时，由ax2 bx 0得函数定义域为[0, b ]，
a
当x b 时，f (x)取最大值为 b . 则f (x)的值域为[0, b ].
2a
2 a
2 a
b b , b 0,a 4. a 2 a
综上，实数a的值为0或 4.
课堂小结
这节课你在知识、方法上收获了什么？
1.理解函数的概念，搞清函数三要素，会求定义域、值域. 2.会用不同表示法表示函数关系. 3.体会数形结合、转化与划归思想方法.
3.十九世纪函数概念--对应关系下的函数
4.现代函数概念--集合论下的函数
随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，也就是本节学习的函数概念。
函数的概念
值域:函数值的集合
函数的三要素:定义域、对应关系、值域
例1：求下列函数的定义域：
（1）f (x) 2 3 x （2）f (x) 2 (x 1)0 （3）f (x) x2 1
函数的概念及其表示复习课
函数概念的发展历史
1.早期函数概念--几何观念下的函数
1673年，莱布尼茨首次使用“function”表示幂，后来用来表示随曲线的变化而变化的几何量，如坐标、 切线等。
2.十八世纪函数概念--代数观念下的函数
1718年，约翰伯努利在此基础上对函数概念进行了定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量， 强调函数要用公式来表示。1755年，欧拉把函数定义为如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变 量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。

在经济学、社会学等领域中， 函数图像被用来描述和分析各 种数据之间的关系和变化趋势
。
THANKS
感谢观看
插值法
利用已知的离散数据点，通过数学计算得到更多的数据点，从而绘制出 更精确的函数图像。
03
பைடு நூலகம்计算几何法
利用几何知识，将函数表达式转换为几何图形，从而得到函数的图像。
函数图像的性质
01
02
03
04
连续性
函数图像在定义域内连续不断 ，没有间断点。
单调性
函数在某个区间内单调增加或 单调减少。
奇偶性
函数图像关于原点对称或关于 y轴对称。
周期性
函数图像呈现周期性变化。
函数图像的应用
数学分析
通过函数图像分析函数的性质 和变化规律，解决数学问题。
自然科学
在物理学、化学、生物学等自 然科学领域中，函数图像被广 泛应用于实验数据的分析和解 释。
工程学
在工程学中，函数图像可以用 来描述各种实际问题的变化规 律，如机械运动、电路电流等 。
经济和社会科学
函数的乘法
总结词
函数乘法是指将两个函数的输出值相乘，得到一个新的函数。
详细描述
函数乘法是一种数学运算，其操作是将两个函数的输出值逐一对应相乘。假设有 两个函数f(x)和g(x)，函数乘法就是将f(x)和g(x)的输出值相乘，得到一个新的函 数h(x)=f(x)*g(x)。
函数的除法
总结词
函数除法是指将一个函数的输出值除以另一个函数的输出值，得到一个新的函数。
函数的实际应用
生活中的函数
总结词：无处不在
详细描述：函数的概念在日常生活中随处可见，如物品价格与数量的关系、时间 与路程的关系等。这些关系都可以通过函数来描述和预测。

初二数学中的代数与函数导言：初中数学是培养学生逻辑思维、抽象思维和分析问题能力的重要阶段。

其中，代数与函数作为数学领域的一个重要分支，在初二阶段占据了较大比例。

通过学习代数与函数，可以帮助学生建立对变量、方程和图像等概念的认识，并探索它们之间的关系。

本文将就初二数学中的代数与函数进行详细介绍。

一、代数基础知识1. 变量和常量在代数中，我们常用字母来表示一个未知项或可变化的数量，这个字母就是变量。

而不会改变其值的常定数字则被称为常量。

2. 代式及其运算由数字、字母和运算符号组成的式子称为代式。

在计算时，我们可以进行加法、减法、乘法以及除法等基本运算。

3. 方程方程是含有未知量并且表明两个表达式相等关系的等式。

在解方程过程中，我们需要使用到反运算来求出未知量。

4. 不等式不等式也是含有未知量，并且表示大小关系不同于“=”号相连形态下两个数之间的关系。

二、一元一次方程与不等式1. 一元一次方程通过学习代数，我们可以解决形如“ax+b=c”的问题。

这类方程，也称为一元一次方程。

在解决问题时，我们需要运用到逆运算来确定未知量的值。

2. 不等式及其性质在初二阶段，我们还将会接触到不等式的概念。

通过掌握不等式表达形态和基本性质可以帮助我们表示大小关系，并且对不同条件下的变化进行分析和研究，比如利润率大于某特定值或者人口增长率小于某特定值。

三、线性函数与图像1. 函数概述：函数是一个变量之间的映射关系，在初二阶段主要研究线性函数、非线性函数以及它们之间的关系。

2. 线性函数：线性函数是指自变量(x)与因变量(y)之间存在着恒定比例关系。

公式：y = kx + b其中k表示斜率（直角坐标系中代表了直线倾斜方向和陡峭程度）、b表示截距（直角坐标系中代表了直线与y轴的交点）。

3. 线性函数的图像：在直角坐标系中，线性函数的图像是一条直线。

通过掌握斜率和截距对于该函数图像在平面上做出基本判断，并且可以进行实际问题中的应用，比如根据两个点确定直线方程。

函数及图像的知识点总结函数是数学中的一个重要概念，也是数学分析和高等代数的基础内容。

在数学中，函数是一种对应关系，可以简单的理解为一种特殊的映射关系，将一个变量的取值映射到另一个变量的取值。

在数学中，通常用f(x)来表示一个函数，其中x是自变量，f(x)是函数的因变量。

函数的定义：在数学中，函数是一个对应关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。

函数通常用一个算式或图形来表示。

函数可以用以下的方式表示：f：A→B其中，A是函数的定义域，B是函数的值域。

定义域表示函数的输入值的集合，值域表示函数的输出值的集合。

函数的定义域和值域决定了函数的有效输入和输出的范围。

函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的图形，通常用函数的定义域和值域的点来表示。

函数的图像可以用直线、曲线或点来表示。

通过函数的图像可以直观地看出函数的性质和特点。

常见的函数类型：1. 线性函数：线性函数是指函数的图像是一条直线。

线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

线性函数的图像是一条斜率为a，截距为b的直线。

2. 二次函数：二次函数是指函数的图像是一条抛物线。

二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。

二次函数的图像是一条开口的抛物线，开口的方向由二次项的系数a的正负决定。

3. 指数函数：指数函数是指函数的自变量为指数的函数。

指数函数的一般形式为f(x) =a^x，其中a为常数且a>0，a不等于1。

指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，曲线的斜率由底数a的大小和正负决定。

4. 对数函数：对数函数是指函数的自变量为对数的函数。

对数函数的一般形式为f(x) =log_a(x)，其中a为常数且a>0，a不等于1。

对数函数的图像是一条递增或递减的曲线，曲线的斜率由底数a的大小和正负决定。

函数的性质：1. 定义域和值域：函数的定义域和值域决定了函数的有效输入和输出的范围。