四川高三高中数学月考试卷带答案解析

成都石室中学2024～2025学年度上期高2025届十一月月考数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知为单位圆的内接正三角形，则（ ）A. B.C.1D.3.已知角的终边上一点（ ）A. B. C. D.4.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（ ）（参考数据：若，有，，）A.0.977B.0.9725C.0.954D.0.6835．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）A ．B ．C ．D ．6.关于的方程在上有（ ）个实数根．A.1B.2C.3D.47.已知，是定义域为R 的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a 的取值范围是（ ）(){}ln 1A xy x ==-∣{}xB y y e -==∣A B = ()0,1()1,2()1,+∞()2,+∞ABC V O B B C O ⋅=32-321-α()1,2M -32=⎪⎝⎭22-44-X ()2~30,2X N 0p 0p ()2~,X Nμσ()0.683P X μσμσ-<≤+≈()220.954P X μσμσ-<≤+≈()330.997P X μσμσ-<≤+≈a b ()()22a b a b +⊥- a b 14b a bπ6π3π22π3x 2sin sin2cos cos 222x x xx x =(,)ππ-()f x ()g x ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--A. B. C. D.8.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.的图象关于直线对称B.在上单调递增C.是奇函数D.将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象10.已知为函数的一个零点，则（ ）A.的图象关于对称 B.的解集为C.时， D.时，，则的最大值为411.已知函数与及其导函数f ′(x )与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ）A. B.[)0,∞+3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭0,a b >∈R x ()()2110ax x bx -+-≥()0,∞+5b a+48()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭()f x 5π12x =-()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭()f x π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1-3()3f x x x a =-+()f x (0,2)-()0f x <(,2)-∞(0,1)x ∈()2()f xf x <[,]x m n ∈()[4,0]f x ∈-n m -()f x ()g x ()g x 'R ()f x ()()22f x g x +-=()()12f x g x '+'+=()()264g g -+=()00f '=C.曲线关于点中心对称D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.若复数满足，则__________.13.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______．14.已知数列{a n }满足，，其中为函数的极值点，则______．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）为提高学生的数学应用能力和创造力，石室中学打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关?(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X ，求X的分布列与数学期望附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．（本小题15分）如图所示，在四棱锥中，，，．(1)若平面，，证明：(2)若底面，，，二面角的长．()y f x ='1,12⎛⎫⎪⎝⎭2025120252k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭'∑z 33i1iz -=+1z +=23()1*1e n a n a n ++=∈N 2303aa x +=0x y =()12e 1x x x +->123a a a +-=()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++αx αP ABCD -2AC =1BC =AB =//AD PBC AD ⊥PA PB AD ⊥PA ⊥ABCD AD CD ⊥AD =A CP D --PA17．（本小题15分）设的内角，，所对的边分别为，且.(1)求(2)若,求的周长;(3)如图，点是外一点，设且，记的面积，求关于的关系式，并求的取值范围.18．已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为4；(1)求的方程；(2)若点的横坐标为4，求；(3)设在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．19．（本小题17分）已知函数，.(1)当时，函数恒成立，求实数的最大值；(2)当时，若，且，求证：；(3)求证：对任意，都有.ABC V A B C ,,a b c ()()sin ()(sin sin ),a c B C b c B C -⋅+=-⋅+b =;B 3BA BC +=ABC V D ABC V BAC DAC θ∠=∠=2π3ADC ∠=BCD △S S θS 2:2(0)C x py p =>F l F C A B C A B P AB Q PQ C E AB y AB C P QE C E PA PB M N ABNM ()21ln 2f x x x ax =+-()0a >[)1,x ∈+∞()32f x ≥-a 2a =()()123f x f x +=-12x x ≠122x x +>*N n ∈()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届11月半期考试数学参考答案双向细目表题号题型分值难度预估内容具体内容1单项选择题50.95集合集合运算2单项选择题50.9向量数量积3单项选择题50.8三角函数诱导公式、倍角公式4单项选择题50.75正态分布正态分布5单项选择题50.7向量投影向量6单项选择题50.7三角函数三角函数图象分析7单项选择题50.5函数性质函数奇偶性及单调性分析8单项选择题50.4不等式不等式9多项选择题60.8三角函数正弦函数图象特点分析10多项选择题60.5函数三次函数图象分析11多项选择题60.3函数性质函数奇偶性、对称、周期性分析12填空题50.8复数复数计算13填空题50.5概率概率计算14填空题50.3函数数列及函数零点15（1）解答题60.8检验15（2）解答题70.7概率统计分布列16（1）解答题30.8线线垂直证明16（2）解答题40.7立体几何二面角17（1）解答题40.7正余弦定理应用17（2）解答题50.6解斜三角形求周长17（3）解答题60.4解斜三角形解斜三角形求面积18（1）解答题50.6抛物线方程18（2）解答题60.6切线问题18（3）解答题60.4解析几何四边形面积19（1）解答题50.7函数恒成立问题19（2）解答题60.5利用函数单调性证明自变量大小19（3）解答题60.3导数数列不等式证明答案及解析1.【参考答案】C【解题思路】由题意可知，，2K (){}ln 1{10}{1}A x y x x x x x ==-=->=>∣∣∣，所以.故选C.2.【参考答案】B【解题思路】如图，延长交于点.因为单位圆半径为，为单位圆的内接正三角形，所以.又因为是正的中心，所以，，所以.设的边长为.由勾股定理，得，即，解得（负值已舍去），所以，易得,的夹角为，所以.故选B.3.【参考答案】C【解题思路】由三角函数定义知，，，所以.故选C.4.【参考答案】A【解题思路】因为，所以，，所以.根据正态曲线的对称性可得，.故选A.5.【参考答案】B【解题思路】因为，所以，所以.因为向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以.又因为，所以与的夹角是.故选B.6.【参考答案】C【解题思路】当时，，原方程化为.令{}e{0}xB y y y y-===>∣∣()1,A B=+∞AO BC D O1ABC△O1OA OB OC===O ABC△AD BC⊥1122OD OA==32AD OA OD=+=ABC△a222AB AD BD=+2223122a a⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a=1BO=BC=BOBC6π3cos62BO BC BO BCπ⋅=⋅⋅=2tan21α==--cos0α<2sin2tan43cos2ααα===-=-⎪⎝⎭()230,2X N~30μ=2σ=()26340.954P X<≤≈()()()10.954262634340.9540.9772p P X P X P X-=≥=<≤+>≈+=()()22a b a b+⊥-()()222240a b a b a b+⋅-=-=2b a=a b14b1cos,4ba ab bb⋅=11cos,24a b b b⋅=1cos,2a b=[],0,a bπ∈a b3π(),xππ∈-cos02x≠1tan sin2sin2223xx x xπ⎛⎫==-⎪⎝⎭，，则原方程的解的个数即为函数与的图象在上的交点个数.作出函数和的大致图象如图，在上单调递增，，，，由图可知函数和在上有3个交点，即原方程在上有3个实数根.故选C.7.【参考答案】D【解题思路】由题意可得，.因为是奇函数，是偶函数，所以.联立解得.又因为对于任意的，都有成立，所以，即成立.构造，所以在上单调递增.若，则对称轴，解得；若，则在上单调递增，满足题意；若，则对称轴恒成立.综上所述，.故选D.8.【参考答案】A【解题思路】设，.因为，所以在上单调递增.当时，；当时，.因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根，即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点.由题意可得，，则当时，；当时，，所以是方程的根，则，即，且，所以，当且仅当时等()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()tan 2x g x =()f x ()g x (),ππ-()f x ()g x ()tan2xg x =(),ππ-tan 124g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5sin 1122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5122ππ<()f x ()g x (),ππ-(),ππ-()()22f x g x ax x -+-=-+()f x ()g x ()()22f x g x ax x -+=-+()()()()222,2,f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩()22g x ax =+1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--()()121233g x g x x x -<-+()()112233g x x g x x +<+()()2332h x g x x ax x =+=++()232h x ax x =++()1,2x ∈0a <0322x a =-≥304a -≤<0a =()32h x x =+()1,2x ∈0a >0312x a =-≤3,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭()1f x ax =-()21g x x bx =+-0a >()f x ()0,+∞10x a <<()0f x <1x a>()0f x >()g x ()01g =-()0g x =()g x ()0,+∞()()0f x g x ≥10x a <<()0g x ≤1x a >()0g x ≥1a210x bx +-=2110b a a +-=1b a a=-0a >544b a a a +=+≥=2a =号成立.故选A.9.【参考答案】ACD【解题思路】由图象可得，，，故，代入点，易得，所以.因为，所以当时函数取得最小值，即直线为函数的一条对称轴，故A 正确；由对称性可知，在上单调递减，上单调递增，故B 错误；为奇函数，故C 正确；将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，故D 正确.故选ACD.10.【参考答案】AD【解题思路】因为，即，所以，所以，所以的图象关于（0，-2）对称，故A 正确；当时，且，故B 错误；当时，，而，所以在（0，1）上单调递减，所以，故C 错误；，，所以在区间，上，即单调递增；在区间（-1，1）上，即单调递减，，，，画出的大致图象如图.因为当时，，所以由图可知，的最大值为，故D 正确.故选AD.11.【参考答案】ACD【解题思路】令，得；令，得.因为为奇函数，所以，则，故A 正确；因为为奇函数，所以为偶函数，则求2A =4312T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭2ω=,212π⎛⎫⎪⎝⎭3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭521232πππ⎛⎫⋅-+=- ⎪⎝⎭512x π=-()f x 512x π=-()f x ()f x 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()22sin 22sin23f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭()f x 2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1130f a -=-++=2a =-()()()233212f x x x x x =--=+-()()4f x f x +-=-()f x ()()()2120f x x x =+-<1x ≠-2x <01x <<201x x <<<()2330f x x =-<'()f x ()()2f x f x >()332f x x x =--()()()233311f x x x x =-=+-'(),1-∞-()1,+∞()0f x '>()f x ()0f x '<()f x ()10f -=()14f =-()24f -=-()f x [],x m n ∈()[]4,0f x ∈-n m -()224--=4x =()()422f g +-=4x =-()()462f g -+=()f x ()()f x f x =--()()264g g -+=()f x ()f x '不出，故B 错误；因为，所以.又，所以，则关于中心对称.因为，所以结合函数图象平移可得，关于点中心对称，故C 正确；由为偶函数，点为对称中心，得的周期为2，且，.又，所以，所以.因为，所以，所以，故D 正确.故选ACD.12.【解题思路】由题意知，，所以.13.【参考答案】【解题思路】设小万从这8道题中任选1道题且作对为事件，选到能完整做对的4道题为事件，选到有思路的3道题为事件，选到完全没有思路的题为事件，则，，.由全概率公式，得.14.【参考答案】【解题思路】因为，所以，.因为，，所以.因为在上单调递增，所以，，，所以.又因为，所以，所以.()00f '=()()22f x g x +-=()()20f x g x '--='()()12f x g x '++='()()122g x g x '++-='()g x '3,12⎛⎫⎪⎝⎭()2(1)f x g x '=-+'()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '()()12f x f x '+-='11122f f ''⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12g x f x +='-'()()21g x f x =-'-'2025202520251112140501222k k k k k k g f f ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''∑∑∑()()41111014222k k f f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''∑202512025202311450612024202420252222k k f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯+-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎭'⎝'⎭⎝∑2025120252k k g =⎛⎫= ⎪'⎝⎭∑()()()()33133333331112i i i i i z i i i i ------====-++-131z i +=-+=2532A B C D ()4182P B ==()38P C =()18P D =()()()()()()()132112512838432P A P B P A B P C P A C P D P A D =++=⨯+⨯+⨯=∣∣∣ln2-1e2x y x +=-'010e 2x x +=01x >11e n a n a ++=2303a a x +=021120000e 32e x a a x x x x +++==+=+1e x y x +=+R 20a x =302a x =120ln 1ln 1a a x =-=-12300ln 1a a a x x +-=--010e 2x x +=0001ln2ln2ln x x x +==+12300ln 1ln2a a a x x +-=--=-15.解：（1）列联表如下：感兴趣不感兴趣合计男生12416女生9514合计21930零假设为：学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关，……5分依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关.……6分（2）由题意可知，的取值可能为0，1，2，3，……7分则，，，，……11分故的分布列如下：0123.……13分16.（1）证明：因为，，，即，所以，即.因为平面，平面，面面，所以，……3分所以.因为，，所以平面，所以.……6分（2）解：因为底面，，底面，所以，.又，所以，以点为原点，以，所在的直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示.令，则，，，，，，，.设平面的法向量为，0H ()223012549200.4082 2.072.161421949K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯0.15α=0H 0H X ()35395042CP X C ===()12453910121C C PX C ===()2145395214C C P X C ===()34391321CP X C ===X X P5421021514121()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=2AC =1BC =AB =222BC AB AC +=90ABC ∠=BC AB ⊥AD ∥PBC AD ⊂ABCD ABCD PBC BC =AD BC ∥AD AB ⊥AD PA ⊥PA AB A = AD ⊥PAB PB AD ⊥PA ⊥ABCD CD AD ⊂ABCD PA CD ⊥PA AD ⊥AD CD ⊥CD ==D DA DC x y D PA z PA t =)A)Pt ()0,0,0D ()C ()AC =()0,0,AP t = DC =)DP t =ACP ()1111,,n x y z =所以即令，则，，所以.……9分设平面的法向量为，所以即令，则，，所以.……11分因为二面角，二面角为锐角，，解得，所以.……15分17.解：（1）由正弦定理可知，，所以，所以，即.由余弦定理，所以.……4分（2）因为，所以等号两边同时平方可得，.又由（1）知，所以，即，所以，所以的周长为.……7分（3）由正弦定理可得，，即，110,0,n AC n AP ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅1110,0,tz ⎧=⎪⎨=⎪⎩11x =11y =10z =()11,1,0n =CPD ()2222,,n x y z =220,0,n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅ 2220,0,tz +==2z =2x t =-20y =(2n t =-A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅===2t =2PA =sin sin sin a b cA B C==()()sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A A a b cB CB CB C b c a cπ+--====++++-222a acbc -=-222a cb ac +-=2221cos 222a c b ac B ac ac +-===3B π∠=3BA BC += 229a c ac ++=223a c ac +-=226a c +=3ac =a c ==ABC △a b c ++=2sin sin BC ACABCθ∠===2sin BC θ=，即.因为四边形的内角和为，且，所以，所以.……11分（可以有多种表达形式，化简正确都得分），记，令，则.因为在中，所以，所以，所以当时，恒成立.当，即时，；当，即时，，则……15分18.解：（1）由题意可知，直线的斜率必存在.当垂直于轴时，点，，此时，即，所以抛物线的方程为.……5分（2）设直线的方程为，，.联立得，所以，，则.将代入直线，得，则的中点.因为，所以，则直线的方程为，即.同理可得，直线的方程为，所以，，所以.因为，则，所以，此时，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以2sin sin CD ACADCθ∠===2sin CD θ=ABCD 2πABC ADC ∠∠π+=2BCD πθ∠-=()211sin 2sin 2sin sin 22sin sin222S BC CD BCD ∠θθπθθθ=⋅=⨯⨯⨯-=⨯()22sin sin21cos2sin2sin2sin2cos2S θθθθθθθ=⨯=-=-2x θ=()sin sin cos f x x x x =-()()()()222cos cos sin 2cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x x x x =-'-=-++=+-+ACD △03πθ<<203x π<<1cos 12x -<<1cos 12x -<<()0f x '>1cos 2x =-23x π=23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭cos 1x =0x =()00f =()0f x <<0S <<l AB y ,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭24AB p ==2p =C 24x y =l 1y kx =+()11,A x y ()22,B x y 21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=124x x k +=124x x =-2Q x k =2Q x k =1y kx =+221Q y k =+AB ()22,21Q k k +24x y =2x y '=PA ()1112x y y x x -=-2111124y x x x =-PB 2221124y x x x =-()2212121211442122P x x x x x k x x -+===-21212111112244P x x x x y x x +=⋅-==-()2,1P k -4P x =24k =2k =()4,9Q ()4,1P -PQ 4x =24x y =4y =()4,4E.……10分（3）由（2）知，，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以为的中点.因为抛物线在点处的切线斜率，所以抛物线在点处的切线平行于.又因为为的中点，所以.因为直线的方程为，所以.又到直线的距离.，当且仅当时取“”，所以，所以四边形的面积的最小值为3.……17分19.（1）解：当时，恒成立，即恒成立，只需即可.令，，则.令，，则，当时，恒成立，即在上单调递增，所以，所以在上恒成立，即在上单调递增，所以，945QE =-=()22,21Q k k +()2,1P k -PQ 2x k =24x y =2y k =()22,E k k E PQ C E 22ky k '==C E AB E PQ 34ABP ABNM S S =△四边形AB 1y kx =+()()()2121212112444AB y y p kx kx k x x k =++=++++=++=+()2,1P k -AB h 1122ABP S AB h =⋅=△()()322244414kk +⋅=+≥0k ==334ABP ABNM S S =≥△四边形ABNM 1x ≥213ln 022x x ax +-+≥ln 1322x a x x x ≤++min ln 1322x a x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭()ln 1322x g x x x x =++1x ≥()22221ln 132ln 1222x x x g x x x x -'--=+-=()22ln 1h x x x =--1x ≥()22222x h x x x x-=-='1x ≥()0h x '≥()h x [)1,+∞()()10h x h ≥=()0g x '≥[)1,+∞()g x [)1,+∞()()min 12g x g ==所以，即实数的最大值为2.……5分（2）证明：因为当时，，，所以，即在上单调递增.又，，且，所以不妨设.要证，即证明.因为在上单调递增，即证.因为，即证.设，，令，，则，.因为，所以，即在（0，1）上单调递增，所以，即，所以成立，所以.……11分（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，且.由，得，即.令，则，即，所以，，，，，相加得.……17分2a ≤a 2a =()21ln 22f x x x x =+-0x >()()21120x f x x x x-=+-=≥'()f x ()0,+∞()312f =-()()123f x f x +=-12x x ≠1201x x <<<122x x +>212x x >-()f x ()0,+∞()()212f x f x >-()()123f x f x +=-()()1123f x f x +-<-()()()()()()221123ln 2ln 2222322F x f x f x x x x x x x =+-+=+-+-+---+=()()()2ln 221ln 221x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-+-+=---+⎣⎦⎣⎦01x <<()2t x x =-01t <<()ln 1t t t ϕ=-+()111tt t tϕ-=-='01t <<()0t ϕ'>()t ϕ()()10t ϕϕ<=()()()230F x f x f x =+-+<()()1123f x f x +-<-122x x +>2a =()f x ()1,+∞()()312f x f >=-213ln 2022x x x +-+>22ln 430x x x +-+>()22ln 21x x +->1n x n +=2112ln 21n n n n ++⎛⎫+-> ⎪⎝⎭2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭22112ln 111-⎛⎫+> ⎪⎝⎭23122ln 122-⎛⎫+> ⎪⎝⎭24132ln 133-⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑。

四川高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.的值等于（）A1 B C D2.化简：,得（）A．2B．C．-2D．3.若函数是（）A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为2的偶函数D．最小正周期为的奇函数4.等差数列的前n项和为，且，则（）A．1B．C．2D．35.函数，在处连续，则实数（）A．；B．；C．；D．6.已知向量，则= （）A．B．C．D．7.圆上的动点到直线的最小距离为（）A．1B．C．D．8.当时，，则下列大小关系正确的是（）A．B．C．D．9.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．10.如图：已知定点N（0，1），动点A,B分别在图中抛物线及椭圆的实线部分上运动，且AB∥Y轴，则的周长的取值范围是（）A．B．C．D．11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生不站排尾，女生甲与女生乙都不与女生丙相邻，则不同排法的种数是（）A．72B．96C．108D．14412.有一个半径为1厘米的小球在一个内壁棱长均为厘米的直三棱柱（直三棱柱指底面为三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱）封闭容器内可以向各个方向自由运动，则该小球不可能接触到的容器内壁的面积是：（）科A．B．C．D．二、填空题1.已知点和坐标原点O，若点满足，则的最大值是；2.三棱锥S—ABC中，SA⊥底面ABC，SA=4，AB=3，G为底面三角形ABC的重心，∠ABC=90°，则点G到面SBC的距离等于；3.的展开式中常数项为；（用数字作答）4.非空集合G关于运算满足：①对于任意a、b G，都有a b G；②存在，使对一切都有，则称G关于运算为和谐集，现有下列命题：①G="{" 为偶数}，为复数的乘法，则G为和谐集。

②G={二次三项式}，为多项式的加法，则G不是和谐集。

③若为实数的加法，G 且G为和谐集，则G要么为，要么为无限集。

四川高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在复平面内，与复数对应的点位于 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合,（）A．B．C．D．3.一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示（单位: ）则该组合体的体积为（）A．72000B．64000C．56000D．440004.将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是 ( )A．B．C．D．5.下列有关命题的说法中错误的是 ( )A．对于命题使得，则均有B．是的充分不必要条件C．命题“若，则“的逆否命题为：“若则”D．若为假命题，则均为假命题6.执行如图所示的程序框图．若输出，则框图中①处可以填入（）A．B．C．D．7.设z＝x＋y，其中x、y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为 ( )A．－3B．3C．2D．－28.现有两个命题：（1）若，且不等式恒成立，则的取值范围是集合；（2）若函数，的图像与函数的图像没有交点，则的取值范围是集合；则以下集合关系正确的是（）A．B．C．D．9.定义在上的函数满足（），，则等于（）A．2B．3C．6D．910.抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 ( )A．B．1C．D．2二、填空题1.若，则= .2.如果(3x2－)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为________．3.以双曲线的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.4.函数的零点个数是．5.函数有如下命题:（1）函数图像关于轴对称.（2）当时，是增函数，时，是减函数.（3）函数的最小值是.（4）当或时．是增函数.（5）无最大值，也无最小值.其中正确命题的序号 .三、解答题1.省少年篮球队要从甲、乙两所体校选拔队员。

四川高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设为虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数等于（）A．B．C．D．2.设集合，，则等于（）A．B．C．D．3.已知，，则等于（）A．B．C．D．4.已知双曲线的渐近线方程为，且其焦点为,则双曲线的方程（）A．B．C．D．5.已知随机变量,其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量,则,A．B．C．D．6.执行如图所示的程序框图，若输入的分别为1，2，0.3，则输出的结果为（）A．1.125B．1.25C．1.3125D．1.3757.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．9.设是自然对数的底，，且且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12.若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题1.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值是_________.2.在矩形中，，,则_________.3.在展开式中的系数为_________.4.在中，角所对的边分别为，且满足，，则__________．三、解答题1.设数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.2.在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在以上（含）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.（1）填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取名学生，记“获奖”学生人数为，求的分布列及数学期望.附表及公式：，其中3.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．4.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求证：为定值.5.已知函数.（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.6.在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），直线.（1）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小，并求出此最小值；（2）过点且与直线平行的直线交于两点，求点到两点的距离之积.7.设函数.（1）证明：；（2）若不等式的解集为非空集，求的取值范围.四川高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设为虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，复数的共轭复数等于，故选A.2.设集合，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，则集合，的定义域为，则集合，故，故选C.3.已知，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，所以，．【考点】三角函数值.4.已知双曲线的渐近线方程为，且其焦点为,则双曲线的方程（）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，由渐近线方程为，可得，设，则，由其焦点为，可得，可得，则双曲线的方程为，故选C.5.已知随机变量,其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量,则,A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，落入阴影部分点的的概率为，则落入阴影部分点的个数的估计值为，故选B.6.执行如图所示的程序框图，若输入的分别为1，2，0.3，则输出的结果为（）A．1.125B．1.25C．1.3125D．1.375【答案】D【解析】模拟程序的运行，可得，，，执行循环体，不满足条件，满足条件，，不满足条件，，不满足条件，不满足条件，，满足条件，退出循环，输出的值为，故选D.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】该几何体可以看作是个圆柱体和一个三棱锥组合而成，故体积．【考点】三视图.【思路点睛】由该几何体的三视图可知，该几何体可以看作是个圆柱体和一个三棱锥组合而成，然后再，根据柱体和锥体的体积公式，即可求出结果.8.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，则在上递减．【考点】三角函数的性质.9.设是自然对数的底，，且且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，“”，推不出“”，充分性不成立，时，，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.10.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，设，所成的角为，则．【考点】线面角.11.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，为与的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，向量的夹角为钝角时，，又，两边除以得，即，解集，又，故选C.12.若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】存在两个正实数，使得等式，设，则，设，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题. 求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的取值范围即可. 解答本题的关键是将实数转化为关于的函数，然后利用导数求解.二、填空题1.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值是_________.【答案】【解析】画出约束条件，表示的可行域如图所示，由目标函数得直线，当直线平移至点时，目标函数取得最大值为．【考点】简单的线性规划.2.在矩形中，，,则_________.【答案】【解析】在矩形中，，，再根据，，，，故答案为.3.在展开式中的系数为_________.【答案】【解析】由于，的系数，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4.在中，角所对的边分别为，且满足，，则__________．【答案】【解析】因为，所以，化简得.所以．又因为，所以，所以，即，整理得.又，所以，两边除以得，解得.【考点】余弦定理.【思路点睛】因为，化简得.所以．又因为，所以，由正弦定理和余弦定理整理得.，化简可的，两边除以得，即可求得.三、解答题1.设数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)；（2）.【解析】（1）由当时，，两式作差即可求出数列的通项公式；（2）由（1）的结论可知数列的通项公式，再用错位相减法求和即可得结果.试题解析：（1），①当时，，②①-②，得，在①中，令，得也满足上式，.(2)，，③，④④-③，得，即.2.在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在以上（含）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.（1）填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取名学生，记“获奖”学生人数为，求的分布列及数学期望.附表及公式：，其中【答案】（1）表见解析，有把握；（2）分布列见解析，.【解析】（1）首先根据频率分布直方图完成表格数据，然后根据公式计算出，再与临界表比较，从而作出结论；（2）首先求得的所有可能取值，然后分别求出相应概率，由此列出分布列，求得数学期望.试题解析：（1）文科生理科生合计所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”.…6分（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X~B(3，).P(X＝k)＝C×()k(1－)3－k（k＝0，1，2，3），E(X)＝3×＝. …12分【考点】1、频率分布直方图；2、独立性检验思想；3、离散型随机变量的分布列与方差.3.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）欲证平面平面，只要证平面即可；（2）设，取中点，以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求向量与平面的法向量的夹角即可．试题解析：（1）证明：∵平面，平面，∴，∵，，∴，∴，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）解：设，取中点，以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，，取，则，即为面的一个法向量．设为面的法向量，则，即取，则，，则，依题意得，取，于是，，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．【考点】1、面面垂直的判定；2、直线与平面所成的角．【方法点睛】用向量法求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角．本题考查面面垂直的判定，向量法求二面角、线面角，问题的关键是求平面的法向量，考查学生的空间想象能力．属于中档题．4.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由椭圆的离心率，求得，由，得，将点代入，即可求得和的值，求得椭圆方程；（2）设，直线的方程是与椭圆的方程联立，利用韦达，根据两点间的距离公式将用表示，化简后消去即可得结果.试题解析：（1）由椭圆方程可知：，焦点在轴上，，即，由，即，将点代入，解得，椭圆方程为.(2)设，直线的方程是，，整理，设，则是方程的两个根，（定值），为定值.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.5.已知函数.（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，，∴，.由点斜式即可求出结果；（2）∵，∴，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.因在上有两个零点，所以，由此即可求出结果.试题解析：解：（1）∵，，∴，∴切线方程为，即（2）∵，∴，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.因在上有两个零点，所以，即.∵，∴，即.【考点】1.导数的几何意义；2.导数在函数单调性中的应用.【方法点睛】用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．6.在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），直线.（1）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小，并求出此最小值；（2）过点且与直线平行的直线交于两点，求点到两点的距离之积.【答案】(1) ；(2) .【解析】（1）椭圆上的点坐标可以设为参数形式，表示出点线距求最值即可；（2）考查直线参数方程的定义，联立直线参数方程和椭圆方程，得到关于参数的二次，根据韦达定理得结果。

高中2021级高三第四学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.在复平面内，复数342i i++对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可．【详解】由题意得()()()5234522222i ii i i i i -+===-+++-，所以复数342i i++在复平面内对应的点为()2,1-，在第四象限．故选D ．【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题．3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若53a a ＝59，则95S S 等于（）A.1 B.－1C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】95S S ＝19159()25()2a a a a ++＝5395a a ＝1.故选：A.4.已知向量a，b不共线，向量3c a b =+，2d a kb =+，且c d ∥，则k =（）A.－3 B.3C.－6D.6【答案】D 【解析】【分析】设d c λ=，从而得到23a kb a b λλ+=+ ，得到方程，求出k 的值.【详解】设d c λ=，则()233a kb a b a b λλλ+=+=+ ，故2,36k λλ===．故选：D5.南山中学某学习小组有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则选出的3名同学中男女生均有的概率是（）A.45B.56C.67D.78【答案】B 【解析】【分析】首先计算出基本事件总数，依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学；②2名男同学，1名女同学，计算出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯；依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学，有1254C C 30=（种）；②2名男同学，1名女同学，215440C C =（种）；故概率为30405846P +==故选：B【点睛】本题考查简单的组合问题，古典概型的概率问题，属于基础题.6.已知1sin cos 3αβ-=，1cos sin 2αβ+=，则()sin αβ-=（）A.572B.572- C.5972D.5972-【答案】C 【解析】【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】由题意得()2221sin cos sin cos 2sin cos 9αβαβαβ-=+-=，()2221cos sin cos sin 2cos sin 4αβαβαβ+=++=，两式相加得()1322sin cos cos sin 36αβαβ--=，得()59sin 72αβ-=，故选：C7.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,80,90,90,100,90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A.该省考生数学成绩的中位数为75分B.若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C.从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.【答案】A 【解析】【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图知中位数在[70,80]上，设其为x ，则700.5(0.10.150.2)80700.3x --++=-，解得71.67x ≈，A 错；要全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为y ，则4010.96100.1y --=，44y =，B 正确；由频率分布直方图优秀的频率为0.1，因此人数为10000.1100⨯=，C 正确；由频率分布直方图得平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，考试数学成绩的平均分约为70.5,D 正确．故选：A.8.在[2,3]-上随机取一个数k ，则事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为（）A.715B.815C.25D.35【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆有公共点，求出k 的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.【详解】若直线3y kx =+，即30kx y -+=与圆22(2)9x y ++=有公共点，则圆心到直线距离3d =≤，故5≥解得43k ≥或43k ≤-，由几何概型的概率公式，得事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为()()44323373215P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--.故选：A.9.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且3x π=时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（）A.6πB.56π C.23π D.3π【答案】D 【解析】【分析】由周期求得ω，再由最小值求得ϕ函数解析式，然后由单调性可得a 的范围，从而得最大值．【详解】由题意22πωπ==，cos(2)13πϕ⨯+=-，22,Z 3k k πϕππ+=+∈，又2πϕ<，∴3πϕ=，()cos(2)3f x x π=+，[0,]x a ∈时，2[,2]333x a πππ+∈+，又()f x 在[0,]a 上单调递减，所以23a ππ+≤，3a π≤，即03a π<≤，a 的最大值是3π．故选：D ．10.点P 是以12,F F 为焦点的的椭圆上一点，过焦点作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】A 【解析】【分析】P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F 延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且M 是2PF 的中点，由此可求得OM 的长度是定值，即可求点M 的轨迹的几何特征．【详解】解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F P 延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==，连接OM ，知OM 是三角形12F F Q 的中位线OM a ∴=，即点M 到原点的距离是定值，由此知点M 的轨迹是圆故选：A ．【点睛】本题在椭圆中求动点Q 的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．11.已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=A.13B.3C.23D.223【答案】D 【解析】【详解】将y=k(x+2)代入y 2=8x,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B ,则x A +x B =28k-4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2,|FA|=2|FB|,∴2x B +4=x A +2.∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =283k -4+2=283k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4.解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D.12.已知函数()22e1xf x ax bx =-+-，其中a 、b ∈R ，e 为自然对数的底数，若()10f =，()f x '是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（）A.()22e3,e 1-+ B.()2e3,-+∞C.()2,2e2-∞+ D.()222e6,2e 2-+【答案】A 【解析】【分析】由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，作出函数函数22e x y =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()22e1xf x ax bx =-+-，则()21e 10f a b =-+-=，可得21e b a =+-，所以，()()222e 1e1xf x ax a x =-++--，则()222e21e xf x ax a '=-++-，由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，因为函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，所以，函数22e xy =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，作出22e xy =与()2221e 211e y ax a a x =--+=--+的函数图象，如图所示：若直线221e y ax a =--+经过点()21,2e，则2e1a =+，若直线221e y ax a =--+经过点()0,2，则2e 3a =-，结合图形可知，实数a 的取值范围是()22e 3,e 1-+.故选：A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.若一组数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为10，则另一组数据1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为______．【答案】40【解析】【分析】由题意先设出两组数据的平均数，然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.【详解】由题意设123,,,,n x x x x ⋯的平均数为x ，则1221,21,,21n x x x --⋯-的平均数为21x -，由题意123,,,,n x x x x ⋯的方差为()()()222212110n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，从而1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为()()()222221121222222441040n s x x x x x x s n ⎡⎤=-+-++-==⨯=⎢⎥⎣⎦ .故答案为：40.14.若二项式2nx的展开式中第5项是常数项，则展开式中各项系数的和为__________.【答案】1【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项，令x 的指数为0，求出n 的值，令1x =，可得展开式中各项系数的和．【详解】解：2nx ⎫⎪⎭展开式的第5项为44452()n n T C x -=-二项式2nx ⎫-⎪⎭的展开式中第5项是常数项，∴4402n --=，12n ∴=∴二项式为122x ⎫-⎪⎭令1x =，可得展开式中各项系数的和()12121n T =-=故答案为：1．【点睛】本题考查展开式的特殊项，正确运用二项展开式是关键，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为___．【答案】45π【解析】【详解】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=．点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆，则半径就是圆心C 到原点的距离，所以圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况．16.过双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为_________．【答案】152【解析】【详解】试题分析：因为,,OF c OE a OE EF ==⊥，所以EF b =，因为1()2OE OF OP =+，所以E为PF 的中点，2PF b =，又因为O 为FF '的中点，所以//PF EO '，所以2PF a '=，因为抛物线的方程为24y cx =，所以抛物线的焦点坐标为(,0)c ，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过F 点作x 的垂线l ，过P 点作PD l ⊥，则l 为抛物线的准线，所以2PD PF a '==，所以点P 的横坐标为2a c -，设(,)P x y ,在Rt PDF ∆中，222PD DF PF +=，即22222244,44(2)4()a y b a c a c c b +=+-=-，解得12e =.考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点P 的横坐标为2a c -，再根据在Rt PDF ∆中，得出22244(2)4()a c a c c b +-=-是解答的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）12n n a -=（2）212212233n n T n n +=⨯+--【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，21n n S a =-，当1n =时，11121,1a a a =-=，当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()11122,22n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=-=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=，1a 也符合.所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）得11,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()321202422222n n T n -=++++-++++ ()214022214n n n -+-=⨯+-222433n n n =⨯+--21212233n n n +=⨯+--.18.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）789111213销量y （kg ）120118112110108104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程；（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b =()121((ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑，a y bx =-$$．【答案】（1） 2.5137y x =-+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知表格中数据求得ˆa与ˆb ，则可求得线性回归方程；（2）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．【详解】解：（1）()1789111213106x =+++++=，()11201181121101081046y =+++++=112．ˆb =()121()()ni i i ni i x x y y x x ==---∑∑═70 2.528-=-，()112 2.510137ˆˆa y bx =-=--⨯=．∴y 关于x 的线性回归方程为 2.5137ˆyx =-+；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=0336120C C =，P （ξ=1）=123336920C C C ⋅=，P （ξ=2）=213336920C C C ⋅=，P （ξ=3）=3336120C C =．∴ξ的分布列为：ξ0123P120920920120期望为E （ξ）=199130123202020202⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望，考查计算能力，求离散型随机变量ξ的分布列与均值的方法：（1）理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；（2）求ξ取每个值的概率；（3）写出ξ的分布列；（4）根据均值的定义求E（）ξ19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）)【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =，结合诱导公式及π2C ≠可证π2B A =+.（2）根据π2B A =+及cos sin A B =，结合诱导公式和二倍角余弦公式将ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为2132cos 22A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，先求出角A 的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=，由正弦定理得，2222sin b c a bc B +-=，由余弦定理得2222cos 2sin b c a bc A bc B +-==，所以cos sin A B =，又cos sin()2A A π=-，所以πsin()sin 2A B -=.又0πA <<，0πB <<，所以π2A B -=或ππ2A B -+=，所以π2A B +=或π2B A =+，又π2C ≠，所以ππ2A B C +=-≠，所以π2B A =+，得证.【小问2详解】由（1）知π2B A =+，所以ππ22C A B A =--=-，又cos sin A B =，所以ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22A A A A A ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，因为0ππ0π2π02π2A B A C A ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以π04A <<，所以2cos 12A <<，因为函数2132cos 22y A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在2cos 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，所以22213131322cos 2132222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-<+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cos sin sin A B C ++的取值范围为).20.椭圆有两个顶点(1,0),(1,0),A B -过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q．（1）当2CD =时，求直线l 的方程；（2）当P 点异于,A B 两点时，证明：OP OQ ⋅为定值．【答案】（1）1y =+；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线l 不与两坐标轴垂直，设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出k 的值，从而可得直线方程；（2）表示直线AC ，BD 的方程，联立方程组可得1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-而12222kx x k =--+代入化简可得Q x k =-，而1P x k =-，则可得P Q OP OQ x x ⋅= 的结果【详解】（1）由题意，椭圆的方程为2212y x +=易得直线l 不与两坐标轴垂直，故可设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，设()()1122,,,C x y D x y ，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222210k x kx ++-=，判别式()2Δ810.k =+>由韦达定理得12122221,22k x x x x k k +=-=-++，①故12322CD x x =-=，解得k =即直线l 的方程为1y =+．（2）证明：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，故其方程为()1111y y x x =++，直线BD 的斜率为221BD y k x =-，故其方程为()2211y y x x =--，由()()11221,11,1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩两式相除得()()()()()()2121121211111111y x kx x x x y x kx x ++++===--+-1221121211kx x kx x kx x kx x +++-+-即1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-由（1）知12222kx x k =--+，故()()()()()()222222222222122111222212111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k x k x x k x k k k ---+--++-++++===-+-⎛⎫----+-++ ⎪+++⎝⎭11k k -+解得Q x k =-．易得1,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k⋅==-⋅-= ，所以OP OQ ⋅为定值121.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）对函数求导得到()()()3e xf x x ax '=--，再根据导数与函数单调性间的关系即可求出结果；（2）对函数求导得()()()3e xf x x ax '=--，令()e xg x ax =-，将问题转化为()e xg x ax =-在()0,3内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得a 的范围.【小问1详解】因为2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，所以()()()()()()()24e e 33e 33e x x x xf x x a x x x ax x x ax '=-+--=---=--，又因为0a ≤，0x >，则e 0x ax ->，所以，当()0,3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()3,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,)+∞上的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞．【小问2详解】由（1）知，当0a ≤，函数()f x 在()0,3上单调递减，此时()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意，所以0a >，设()e xg x ax =-，[0,)x ∈+∞，所以()e xg x a '=-，当01a <≤时，当()0,3x ∈时，()e 0xg x a '=->，所以()g x 在()0,3上单调递增，所以当()0,3x ∈时，()()010g x g >=>，所以当()0,3x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()0,3上单调递减，故()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意；当1a >时，令()0g x '<，解得0ln x a <<，令()0g x '>，解得ln x a >，所以函数()g x 在()0,ln a 上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以函数()g x 的最小值为()()ln 1ln g a a a =-，若函数()f x 在()0,3上存在两个极值点，则()()()00,ln 0,30,0ln 3,g g a g a ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，即()310,1ln 0,e 30,0ln 3,a a a a >⎧⎪-<⎪⎨->⎪⎪<<⎩解得3e e 3a <<．综上，a 的取值范围为3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），222cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线()π06θρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（异于极点），点()2,0P ，求PAB 的面积．【答案】（1）224x y -=；22(2)4x y -+=（2【解析】【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得1C 的普通方程，利用22cos sin 1θθ+=得到2C 的普通方程；（2）分别求得12,C C 的极坐标方程，联立射线，从而得到A ρ，B ρ，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】因为曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则22212x t t=++，22212y t t =+-，两式相减，得1C 的普通方程为：224x y -=；曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），所以2C 的普通方程为：()2224x y -+=.【小问2详解】因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=ππ()42k θ≠+，即24cos 2ρθ=，联立2π64cos 2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得A ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于A π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，而2C 的普通方程()2224x y -+=，可化为224x y x +=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，联立π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得B ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线2C 交于B π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点()2,0P ，所以2OP =，则1π||()sin 26POA B PAB POB A S S OP S ρρ=-=⨯⨯-= ．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()(),h x x m g x x n =-=+，其中00m n >>，.（1）若函数()h x 的图像关于直线1x =对称，且()()23f x h x x =+-，求不等式()2f x >的解集.（2）若函数()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，求11m n+的最小值及相应的m 和n 的值.【答案】（1）()2,2,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭；（2）11m n+的最小值为2，相应的m n 1==【解析】【分析】()1先根据对称性求出1m =，对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；()2根据绝对值三角不等式即可求出2m n +=，可得()11111m n m n 2m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式即可求出.【详解】()1函数()h x 的图象关于直线x 1=对称，1m ∴=，()()f x h x 2x 3x 12x 3∴=+-=-+-，①当x 1≤时，()321432x x x x =-+-=->，解得2x 3<，②当31x 2<<时，()f x 32x x 12x 2=-+-=->，此时不等式无解，②当3x 2≥时，()f x 2x 3x 13x 42=-+-=->，解得x 2>，综上所述不等式()f x 2>的解集为()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ．()()()()()2x h x g x x m x n x m x n m n m n ϕ=+=-++≥--+=+=+ ，又()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，2m n ∴+=，()111111n m 1m n 222m n 2m n 2m n 2⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1m n ==时取等号，故11m n+的最小值为2，其相应的1m n ==．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；。

四川高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知复数（其中i为虚数单位)，则复数的虚部是A．B．C．D．2.“函数f(X)在点处连续”是“函数f(X)在点处有极限”的A．充分而不必要条件.B．必要而不充分条件C．充要条件.D．既不充分也不必要条件3.平面内动点P(x,y)与A(-2,0)，B(2, 0)两点连线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为A．B．C．D．4.在平行四边形ABCD中，，已知，则=A．B．C．D．5.函数的图象大致是6.直线l与抛物线交于A,B两点;线段AB中点为，则直线l的方程为A．B．、C．D．7.已知数列满足，则=A．B．C．D．8.把函数的图象按向暈平移后得到函数的图象,则函数在区间上的最大值为A．O,B．1C．D．-19.已知曲线和曲线（为参数）关于直线l 1.对称,直线l 2过点旦与l 1的夹角为60° ,则直线l 2的方程为 A ． B ． C ．D ．10.已知F 1,F 2分别是双曲线（a>0，b>0)的左、右焦点，过F 2且平行于y 轴的直线交双曲线的渐近线M ，N 两点.若ΔMNF 1为锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是A ．B ．C ．D ．11.己知关于x 的方程的两根分别为椭圆和双曲线的离心率.记分别以m 、n 为横纵坐标的点P(m ，n)表示的平面区域为D,若函数的图象上存在区域D 上的点,则实数a 的取值范围为 A ．B ．C ．D ．12.若实数x,y 满足方程组则= A ．0B ．C ．D ．1二、填空题1.计算= __________2.已知扇形AOB （为圆心角）的面积为，半径为2,则的面积为_______ 3.已知为抛物线，上的动点,点N 的坐标为，则的最小值为_______4.对于具有相同定义域D 的函数f(x)和g(x),若对任意的，都有，则称f(x)和g(x)在D 上是“密切函数”.给出定义域均为的四组函数如下 ①； ②；③（其中e 为自然对数的底数),；④.其中,函数f(x)和g(x)在D 上为“密切函数”的是_______三、解答题1.已知向量函数且最小正周期为.(I)求函数的最大值,并写出相应的X 的取值集合； (II)在中，角A ，B, C 所对的边分别为a, b,c,且,c=3,，求b 的值.2.为备战2012年伦敦奥运会，爾家篮球队分轮次迸行分项冬训.训练分为甲、乙两组,根据经验，在冬训期间甲、乙两组完成各项训练任务的概率分别为和P(P>0)假设每轮训练中两组都各有两项训练任务需完成，并且每项任务的完成与否互不影响.若在一轮冬训中，两组完成训练任务的项数相等且都不小于一项，则称甲、乙两组为“友好组” (I)若求甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率;(II)设在6轮冬训中，甲、乙两组成为“友好组”的次数为，当时,求P 的取值范围.3.已知圆C 的半径为1,圆心C 在直线l 1:上，且其横坐标为整数，又圆C 截直线所得的弦长为•(I )求圆C 的标准方程; (II)设动点P 在直线上，过点P 作圆的两条切线PA, PB,切点分别为A ,B 求四边形PACB 面积的最小值.4.已知数列{a n }的前n 项和，数列为等比数列，且首项b 1和公比q 满足：(I)求数列的通项公式; (II)设，记数列的前n 项和，若不等式对任意恒成立,求实数的最大值.5.已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率,A 为右顶点,K 为右准线与X 轴的交点，且.(I)求椭圆的标准方程；(II)设椭圆的上顶点为B，问是否存在直线l,使直线l交椭圆于C，D两点，且椭圆的左焦点巧恰为ΔBCD的垂心?若存在,求出l的方程r若不存在,请说明理由.6.已知函数(I)若直线l1交函数f(x)的图象于P,Q两点，与l1平行的直线与函数的图象切于点R,求证 P,R,Q三点的横坐标成等差数列;(II)若不等式恒成立,求实数a的取值范围；(III)求证:〔其中, e为自然对数的底数）四川高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知复数（其中i为虚数单位)，则复数的虚部是A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B2.“函数f(X)在点处连续”是“函数f(X)在点处有极限”的A．充分而不必要条件.B．必要而不充分条件C．充要条件.D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】略3.平面内动点P(x,y)与A(-2,0)，B(2, 0)两点连线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为A．B．C．D．【答案】 D【解析】略4.在平行四边形ABCD中，，已知，则=A．B．C．D．【答案】C【解析】故选C5.函数的图象大致是【答案】A 【解析】略6.直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为 A ． B ．、C ．D ．【答案】C 【解析】设；两式相减得：所以直线方程为故选C7.已知数列满足，则= A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】；由得所以所以故选A8.把函数的图象按向暈平移后得到函数的图象,则函数在区间上的最大值为 A ．O,B ．1C ．D ．-1【答案】B【解析】根据条件知；当时，所以当时，取最大值1故选B9.已知曲线和曲线（为参数）关于直线l 1.对称,直线l 2过点旦与l 1的夹角为60° ,则直线l 2的方程为 A ． B ． C ．D ．【答案】B 【解析】曲线表示以为圆心，1为半径的圆；曲线为表示以（0,2）为圆心，2为半径的圆；是的垂直平分线。

四川高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集为，集合,则（）A．B．C．D．2.已知复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.设，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件4.命题“ ” 的否定是（）A．B．C．D．5.已知,那么（）A．B．C．D．6.在区间上任取一数，则的概率是（）A．B．C．D．7.要计算的结果，下面程序框图中的判断框内可以填（）A．B．C．D．8.函数仅有一个负零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．10.已知是半径为的圆内接三角形，且, 若,则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知函数,若关于的方程有唯一一个实数根，则实数的取值范围是_________.2.已知，则的值是_________.3.已知单向量位的夹角为，且，若向量，则__________.4.已知函数，则的值为__________.三、解答题1.已知函数，函数的最小正周期为，且.（1）求函数的解析式；（2）当时,求函数的值域.2.如图，已知四边形和均为直角梯形,,且,平面平面,.（1）求证: ；（2）求证:平面；（3）求: 几何体的体积.3.已知函数，曲线在点处切线与直线垂直(其中为自然对数的底数). （1）求的解析式及单调减区间；（2）是否存在常数，使得对于定义域的任意恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.4.在直角坐标系中，在坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程是为参数).（1）求曲线和的直角坐标方程；（2）设曲线和交于两点，求线段为直径的圆的直角坐标方程.四川高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知全集为，集合,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析:因,故.故应选A.【考点】集合的交集补集运算.2.已知复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】试题分析:因.故,应选D.【考点】复数的概念及运算.3.设，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析:由推不出,故不充分；当时,必有.故应选C.【考点】充分必要条件的判定.4.命题“ ” 的否定是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析:依据含一个量词的命题的否定可知“”的否定是.故应选C.【考点】含一个量词的命题的否定.5.已知,那么（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析:因.故应选A.【考点】诱导公式及运用.6.在区间上任取一数，则的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析:由题设可得,即;所以,则由几何概型的概率公式.故应选C.【考点】几何概型的概率计算公式及运用.7.要计算的结果，下面程序框图中的判断框内可以填（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析:依据题设中提供的算法流程图中的算法程序,当时程序结束.故应选D.【考点】算法流程图及识读.8.函数仅有一个负零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析:在平面直角坐标系中做出函数和的图象如图,结合图象可以看出:当时,两函数的图象只有一个交点,即函数仅有一个负零点.故应选D.【考点】等价化归转化的数学思想、函数方程思想及数形结合思想等知识方法的综合运用.【易错点晴】本题考查的是函数零点的几何意义及等价转化思想、函数方程思想、数形结合的数学思想的综合性问题．求解时要充分借助题设中的“函数仅有一个负零点”这一重要信息，将问题转化为只有一个根,然后在平面直角坐标系中画出函数和的图象,数形结合求得直线的斜率.9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析:从题设所提供是图象可以看出:,则,即.又,即.故应选D.【考点】三角函数的图象和性质及数形结合的数学思想的综合运用.【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以函数的解析式所对应的图象为背景,考查的是余弦函数的图象和性质及数形结合的数学思想等有关知识和方法的综合运用.解答本题时要充分利用题设中图象所提供的数据信息,求出,进而确定,使得问题获解.10.已知是半径为的圆内接三角形，且, 若,则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析:由可得,由可得,将其两边平方可得,即,因,故,即,由于恒成立,所以.故应选D.【考点】向量的几何形式的运算、数量积公式、余弦二倍角公式及基本不等式的综合运用.【易错点晴】向量与基本不等式都是高中数学中的重要知识点和核心内容,本题以圆的内接三角形为背景考查的是向量的几何形式的运算及圆的几何性质基本不等式的灵活运用等有关知识和等价转化数形结合等数学思想方法的综合问题.解答时先依据求得,即,然后运用基本不等式得到不等式,最后通过解不等式使得问题获解.二、填空题1.已知函数,若关于的方程有唯一一个实数根，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】试题分析:画出函数的图象如图,结合图象可以看出当或时符合题设.故应填答案.【考点】函数方程思想及数形结合思想．2.已知，则的值是_________.【答案】【解析】试题分析:因.故应填答案.【考点】诱导公式及同角三角函数关系的运用．3.已知单向量位的夹角为，且，若向量，则__________.【答案】【解析】试题分析:因.故,应填答案.【考点】向量的模及向量的数量积公式的综合运用．【易错点晴】向量的概念及运算是高中数学中的重要内容之一,也是高考常考重要知识和考点之一.本题以单位向量夹角的余弦值为背景考查的是等价转化的数学思想等有关知识和运算求解能力.解答时充分依据题设条件，将两边平方,将问题等价转化为求向量,进而运用向量的代数形式的乘法进行运算,求得，然后求得使得问题获解.4.已知函数，则的值为__________.【答案】【解析】试题分析:令,则函数变为,由于.取可得,故,所以,故.故应填答案.【考点】换元法及求导法则等知识的综合运用．【易错点晴】换元法是高中数学中的重要数学思想方法之一,也是高考常考重要知识和考点之一.本题以的复合函数为背景,考查的是导数的求导法则及等价转化的数学思想等有关知识和运算求解能力.解答时充分依据题设条件，先令进行换元,将函数解析式变为,进而运用求导法则并赋值得到,使得问题获解.三、解答题1.已知函数，函数的最小正周期为，且.（1）求函数的解析式；（2）当时,求函数的值域.【答案】(1)；(2).【解析】(1)依据题设条件先运用两角差的正弦公式变形,再借助周期待定求解；(2)借助题设运用直正弦函数的图象和有界性探求.试题解析：（1），函数最小正周期为，且.（2）,根据正弦函数的图象可得，当,即时，取最大值，当即时，取最小值,即的值域为.【考点】两角和的正弦公式及三角函数的图象和性质等有关知识的综合运用．2.如图，已知四边形和均为直角梯形,,且,平面平面,.（1）求证: ；（2）求证:平面；（3）求: 几何体的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】(1)运用线面垂直的性质定理推证；(2)运用线面平行的判定定理推证；(3)转化为两个三棱锥的体积进行计算.试题解析：（1）证明: 由平面平面,平面平面平面平面,又平面,故.（2）证明: 在平面中，过作交于,连，则由已知知,.且,故四边形为平行四边形，平面平面平面.（3）.【考点】线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理及三棱锥的体积公式等有关知识的综合运用．3.已知函数，曲线在点处切线与直线垂直(其中为自然对数的底数). （1）求的解析式及单调减区间；（2）是否存在常数，使得对于定义域的任意恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)，减区间为和；(2).【解析】(1)借助题设条件运用导数的几何意义求解；(2)借助题设分离参数构造函数运用导数的知识探求.试题解析：（1）函数的定义域为，又由题意有：，所以，故.此时，，由,解得或.所以函数的单调减区间为和.（2）要恒成立，即，即.①当时，,则要恒成立，令，则,令，则,所以在内递减，所以当时，，故，所以在内递增，，故.②当时，, 则要恒成立. 由①可知，当时，,所以在内递增，所以当时，,故,所以在内递增,，故. 综合①②可得:, 即存在常数满足题意.【考点】导数的几何意义及导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题的第一问时,先充分利用题设中提供的有关信息,运用求导法则对函数求其导数,借助导数与函数的单调性的关系求出函数的单调减区间为和；解答本题的第二问时, 先将问题进行转化为不等式恒成立，然后再构造函数，运用导数求得,再构造函数,研究其值的正负,从而使得问题获解.4.在直角坐标系中，在坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程是为参数).（1）求曲线和的直角坐标方程；（2）设曲线和交于两点，求线段为直径的圆的直角坐标方程.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)借助题设条件运用极坐标与直角坐标之间的互化关系式求解；(2)借助(1)的结论联立方程组求出交点坐标,再运用圆的标准方程的知识探求.试题解析：（1）曲线,化为直角坐标方程为，即；曲线为参数) 化为直角坐标方程为，即.（2）,即,线段的中点为，则以线段为直径的圆的直角坐标方程.【考点】直角坐标与极坐标的互化关系式及圆的标准方程等有关知识的综合运用．【易错点晴】极坐标和参数方程是中学数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要知识点和考点.解答本题的第一问时,先充分利用题设中提供的有关信息,运用极坐标与直角坐标之间的关系,将极坐标方程化为直角坐标;将曲线为参数)的参数消去化为直角坐标方程.解答第二问时,直接借助第一问的结论求出圆的直径的端点坐标,进而求圆心坐标和半径,使得问题获解.。

四川高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设A－B＝，若，则A-B等于（）A．{1，2，3，4，5，7，9}B．{1，2，4}C．{1，2，4，7，9}D．{3，5}2.在下列函数中，函数的图象关于坐标原点对称的是（）A．B．C．D．3.若，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．4.函数的反函数是（）A．B．C．D．5.函数的图像可由的图像（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度6.已知条件，条件的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.已知在正项等比数列中，则= （）A．B．C．D．28.平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是，给出下列四个命题：①；②③相交相交或重合④平行平行或重合其中不正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．49.已知函数的图象如图所示，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．10.顶点在同一球面上的四棱柱ABCD —中，AB=1，，则A ，C 两点间的球面距离为（ ）A ．B ．C ．D ．11.设向量，且a 与b 的夹角为，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 （ ） A ．B ．C ．D ．12.为了庆祝元旦节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题1.的展开式中，的系数为 。

（用数字作答）2.已知向量，向量，且，则实数x= 。

3.《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶血液酒精浓度在20~80mg/100mL （含80）以上时，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80（含80）以上时，属醉酒驾车。

属醉酒驾车。

据有关调查，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共100人。

四川高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.命题“若，则函数在其定义域内是减函数”的否命题是( )A．若，则函数在其定义域内不是减函数B．若，则函数在其定义域内不是减函数C．若，则函数在其定义域内是增函数D．若，则函数在其定义域内是增函数2.函数的反函数是( )A．B．C．D．3.已知，则向量在方向上的投影为( )A．B．C．D．4.已知函数在处连续，则( )A．0B．1C．D．5.在由正数组成的等比数列中，若，则的值为( )A．B．C．1D．6.曲线的切线的倾斜角的取值范围为( )A．B．C．D．7.将函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数的图象的一条对称轴为( )A．B．C．D．8.已知均为正数且，则使恒成立的的取值范围是( )A．B．C．D．9.在正三棱锥中，分别是的中点，且，若此正三棱锥的四个顶点都在球O 的面上，则球O的体积是( )A．B．C．D．10.人站成一排，不相邻且不在两端的概率为( )A．B．C．D．11.如图，矩形中，，沿对角线将折起到的位置，且在平面内的射影落在边上，则二面角的平面角的正弦值为( )A．B．C．D．12.已知抛物线过点，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为( ) A．B．C．D．二、填空题1.设随机变量服从二项分布，即~，则_________2.设O为的三内角平分线的交点，当AB=AC=5，BC=6时,其中，则复数_______3.有以下命题：①是表面积为的球面(为球心)上的三点，若，则三棱锥的体积为；②二项式的展开式的各项的系数和为；③已知函数在处取得极值，则实数的值是或；④已知点是抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形区域(含边界)内的任意一点，则的最大值为9。

其中正确命题的序号有__________三、解答题1.已知。

四川高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合，集合，全集，则 ( ) A．B．C．D．2.是虚数单位，复数，则的共轭复数是（）A．B．C．D．3.已知等比数列的各项都为正数, 且成等差数列, 则的值是（）A．B．C．D．4.已知随机变量，若，则的值为（）A．B．C．D．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．B．C．D．6.已知函数,用表示中最小值，设,则函数的零点个数为（）A．B．C．D．7.在中，，是角A，B，C，成等差数列的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也必要条件8.某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0．2、0．3、0．1，则此射手在一次射击中成绩不超过8环的概率为（）A．B．C．D．9.若函数（，，，）的图象如图所示，则（）A．B．C．D．10.若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．B．不存在这样的实数kC．D．11.如右图所示的程序框图输出的结果是（）A．6B．C．5D．12.已知函数，若函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知是锐角的外心，，若＋＝，则_____2.在的展开式中，含项的系数是．（用数字填写答案）3.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．4.对某同学的6次物理测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12；其中，正确说法的序号是__________．三、解答题1.设数列各项为正数，且.（Ⅰ）证明：数列为等比数列；（Ⅱ）令，数列的前项和为，求使成立时的最小值.2.如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．（1）求的长；（2）若，求的值．3.近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：患三高疾病不患三高疾病合计（1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽人，其中女性抽多少人？（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：（参考公式，其中）4.已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．5.已知函数，．（Ⅰ）当时，恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）当时，研究函数的零点个数；（Ⅲ）求证： (参考数据：)．6.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若射线，分别与交于两点．（1）求；（2）设点是曲线上的动点，求面积的最大值．7.已知函数（1）解不等式；（2）若，求证：.四川高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.集合，集合，全集，则 ( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】故选A2.是虚数单位，复数，则的共轭复数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得＝1−i，的共轭复数是故选C．3.已知等比数列的各项都为正数, 且成等差数列, 则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，等比数列的各项都为正数, 且成等差数列，则（负舍），，选A点睛：本题主要考查等比数列的性质，灵活应用等比数列的性质和注意题设等比数列的各项都为正数是解题的关键4.已知随机变量，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意有正态密度函数的图象关于直线对称,正态密度函数的图象与轴围成的面积为,所以有,选.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积故选D6.已知函数,用表示中最小值，设,则函数的零点个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，作出的图象如图所示，由图象，得函数的零点有三个：；故选C.7.在中，，是角A，B，C，成等差数列的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也必要条件【答案】B【解析】在中，或故是角成等差数列的必要不充分条件．故选B．【点睛】本题考查三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，对进行恒等变形，探究其与成等差数列是否等价是解答本题的关键．8.某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0．2、0．3、0．1，则此射手在一次射击中成绩不超过8环的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】此射手在一次射击中成绩不超过8环的概率．故C正确．【考点】对立事件概率．9.若函数（，，，）的图象如图所示，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图象可知，∴分母必定可以分解为∵在时有．故选D．10.若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．B．不存在这样的实数kC．D．【答案】D【解析】，令解得或即函数极值点为若函数上不是单调函数，则或解得故选D【点睛】本题考查函数单调性与导数的关系，其中根据连续函数在定区间上不是单调函数，则函数的极值点在区间上，构造不等式是解答的关键．11.如右图所示的程序框图输出的结果是（）A．6B．C．5D．【答案】C【解析】略12.已知函数，若函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 ,显然函数为增函数,且,所以函数在上为减函数,在上为增函数, ,由于 ,所以在上为增函数, 在同一坐标系中画出与的图象,由于有4个不同的交点,所以有 ,求出，选C.点睛: 本题主要考查函数零点的个数, 属于中档题. 本题思路: 分析函数在上的单调性, 画出函数和在上的图象, 函数在有4个不同的零点,等价于函数和在上的图象有4个不同的交点, 根据图象, 找出条件, 解出不等式即可. 考查了等价转化和数形结合思想.二、填空题1.已知是锐角的外心，，若＋＝，则_____【答案】1【解析】如图，由得：设外接圆半径为，则|在中由正弦定理得：即|故答案为2.在的展开式中，含项的系数是．（用数字填写答案）【答案】【解析】，所以由，得含项的系数是【考点】二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.3.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【答案】【解析】抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以所要求的三角形的面积为；【考点】1．抛物线的几何性质；2．双曲线的几何性质；4.对某同学的6次物理测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12；其中，正确说法的序号是__________．【答案】①③【解析】将图中各数按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91，所以中位数为，众数为83，平均数为，极差为，故①③正确．【考点】1、茎叶图；2、中位数、众数、平均数；3、极差．三、解答题1.设数列各项为正数，且.（Ⅰ）证明：数列为等比数列；（Ⅱ）令，数列的前项和为，求使成立时的最小值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据题目条件，并结合构造数列，即可证明数列为等比数列；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，先求出数列的通项公式，然后再求出数列的前项和，并通过解不等式，即可求得使成立时的最小值.试题解析：（Ⅰ）由已知，，则，因为数列各项为正数，所以，由已知，，得，又，所以，数列是首项为，公比为的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，则.不等式，即.所以，于是成立时的最小值为.【考点】1、等比数列；2、数列的前项和.2.如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．（1）求的长；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】本题是正弦定理、余弦定理的应用。