专题3.1.1 一元一次方程(练习)(解析版)
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人教版数学七年级上册第3章3.1从算式到方程同步练习一、选择题1.下列方程中,是一元一次方程的是( )A.3x +6y =1B.y 2-3y -4=0C.12x ―1=1xD.3x -2=4x +12.在下列方程中①x 2+2x =1,②1x -3x =9,③12x =0,④3-13=223,⑤y ―23=y +13是一元一次方程的有( )个.A.1B.2C.3D.43.x =3是方程( )的解.A.3x =6B.(x -3)(x -2)=0C.x (x -2)=4D.x +3=04.关于x 的方程2x +4=3m 和x -1=m 有相同的解,则m 的值是( )A.6B.5C.52D.-235.方程(m +1)x |m |+1=0是关于x 的一元一次方程,则m ( )A.m =±1B.m =1C.m =-1D.m ≠-16.方程(a +2)x 2+5x m -3-2=3是关于x 的一元一方程,则a 和m 分别为( )A.2和4B.-2和4C.-2和-4D.-2和-47.已知3是关于x 的方程5x -a =3的解,则a 的值是( )A.-14B.12C.14D.-138.下列各式中,是方程的是( )A.7x -4=3xB.4x -6C.4+3=7D.2x <5二、填空题9.x =-4是方程ax 2-6x -1=-9的一个解,则a = ______ .10.若(m -1)x |m |-4=5是一元一次方程,则m 的值为 ______ .11.若x =3是方程2x -10=4a 的解,则a = ______ .12.满足方程|x +2|+|x -3|=5的x 的取值范围是 ______ .13.小强在解方程时,不小心把一个数字用墨水污染成了x =1-x ―●5,他翻阅了答案知道这个方程的解为x =1,于是他判断●应该是 ______ .三、解答题14.已知关于x 的方程4x +3k =2x +2和方程2x +k =5x +2.5的解相同,求k 的值.15.已知关于y的方程4y+2n=3y+2和方程3y+2n=6y-1的解相同,求n的值.人教版数学七年级上册第3章3.1从算式到方程同步练习答案和解析【答案】1.D2.B3.B4.A5.B6.B7.B8.A9.-210.-111.-112.-2≤x ≤313.114.解:方程4x +3k =2x +2的根为:x =1-1.5k ,方程2x +k =5x +2.5的根为:x =k ―2.53, ∵两方程同根,∴1-1.5k =k ―2.53, 解得:k =1.故当关于x 的方程4x +3k =2x +2和方程2x +k =5x +2.5的解相同时k 的值为1. 15.解:关于y 的方程4y +2n =3y +2和方程3y +2n =6y -1的解相同, 得4y +2n =3y +23y +2n =6y ―1,化简,得,①×3-②得8n =4,解得n =12. 【解析】1. 解:A 、3x +6y =1含有2个未知数,则不是一元一次方程,故选项不符合题意;B 、y 2-3y -4=0最高项的次数不是一次,则不是一元一次方程,故选项不符合题意;C 、12x -1=1x 不是整式方程,则不是一元一次方程,故选项不符合题意;D 、3x -2=4x +1是一元一次方程,选项符合题意.故选D .根据一元一次方程的定义:只含有一个未知数(元),且未知数的次数是1,这样的方程叫一元一次方程,即可作出判断.本题考查了一元一次方程的概念,通常形式是ax +b =0(a ,b 为常数,且a ≠0).一元一次方程属于整式方程,即方程两边都是整式.一元指方程仅含有一个未知数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.我们将ax +b =0(其中x 是未知数,a 、b 是已知数,并且a ≠0)叫一元一次方程的标准形式.这里a 是未知数的系数,b 是常数,x 的次数必须是1.2. 解:①x 2+2x =1,是一元二次方程;②1x -3x =9,是分式方程;③12x =0,是一元一次方程;④3-13=223,是等式;⑤y ―23=y +13是一元一次方程; 一元一次方程的有2个,故选:B .根据一元一次方程的定义,即可解答.本题考查了一元一次方程的定义,解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义.3. 解:将x =3代入方程(x -3)(x -2)=0的左边得:(3-3)(3-2)=0,右边=0,∴左边=右边,即x =3是方程的解.故选B .将x =3代入各项中方程检验即可得到结果.此题考查了方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 4. 解:由题意,得x =m +1,2(m +1)+4=3m ,解得m =6,故选:A .根据同解方程,可得关于m 的方程,根据解方程,可得答案.本题考查了同解方程,利用同解方程得出关于m 的方程是解题关键. 5. 解:由一元一次方程的特点得|m|=1m +1≠0,解得:m =1.故选B.若一个整式方程经过化简变形后,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,系数不为0,则这个方程是一元一次方程.据此可得出关于m的等式,继而求出m的值.解题的关键是根据一元一次方程的定义,未知数x的次数是1这个条件.此类题目可严格按照定义解题.6. 解:根据题意得:a+2=0,且m-3=1,解得:a=-2,m=4.故选B.只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程.它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0).本题主要考查了一元一次方程的一般形式,只含有一个未知数,且未知数的指数是1,一次项系数不是0,这是这类题目考查的重点.7. 解:把x=3代入方程,得:15-a=3,解得:a=12.故选B.根据方程解的定义,将方程的解代入方程,就可得一个关于字母a的一元一次方程,从而可求出a的值.本题考查了方程的解的定义,解决本题的关键在于:根据方程的解的定义将x=3代入,从而转化为关于a的一元一次方程.8. 解:A、7x-4=3x是方程;B、4x-6不是等式,不是方程;C、4+3=7没有未知数,不是方程;D、2x<5不是等式,不是方程;故选:A.根据方程的定义:含有未知数的等式叫方程解答即可.本题主要考查方程的定义,在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式;②含有未知数是解题的关键.9. 解:把x=-4代入方程ax2-6x-1=-9得:16a+24-1=-9,解得:a=-2.故答案为:-2.把x=-4代入已知方程,通过解方程来求a的值.本题考查了一元一次方程的解的定义.解决本题的关键是熟记使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.10. 解:由题意,得|m|=1且m-1≠0,解得m=-1,故答案为:-1.根据一元一次方程的定义,即可解答.本题主要考查了一元一次方程的一般形式,只含有一个未知数,未知数的指数是1,一次项系数不是0,这是这类题目考查的重点.11. 解:把x=3代入方程得到:6-10=4a解得:a=-1.故填:-1.方程的解,就是能够使方程两边左右相等的未知数的值,即利用方程的解代替未知数,所得到的式子左右两边相等.把x=3代入方程,就得到关于a的方程,就可求出a的值.本题主要考查了方程解的定义,已知x=3是方程的解,实际就是得到了一个关于a的方程,认真计算即可.12. 解:从三种情况考虑:第一种:当x≥3时,原方程就可化简为:x+2+x-3=5,解得:x=3;第二种:当-2<x<3时,原方程就可化简为:x+2-x+3=5,恒成立;第三种:当x≤-2时,原方程就可化简为:-x-2+3-x=5,解得:x=-2;所以x的取值范围是:-2≤x≤3.分别讨论①x≥3,②-2<x<3,③x≤-2,根据x的范围去掉绝对值,解出x,综合三种情况可得出x的最终范围.解一元一次方程,注意最后的解可以联合起来,难度很大.13. 解:●用a表示,把x=1代入方程得1=1-1―a,5解得:a=1.故答案是:1.●用a表示,把x=1代入方程得到一个关于a的方程,解方程求得a的值.本题考查了方程的解的定义,方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值,理解定义是关键.14.两方程同根,用含有k的算式将根表示出来,再根据根相等可得出结果.本题考查同解方程的问题,解题的关键是用k将两方程根表示出来,再根据同根解方程即可.15.根据方程的解相同,可得关于y、n的二元一次方程组,根据解方程组,可得n的值.本题考查了同解方程,利用同解方程得出方程组是解题关键.。
一、解答题1.学友书店推出售书优惠方案:①一次性购书不超过100元,不享受优惠;②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折;③一次性购书超过200元一律打八折.如果王明同学一次性购书付款162元,那么王明所购书的原价为多少?解析:180元或202.5元【分析】先根据题意判断出可能打折的情况,再分别算出可能的可能的原价.【详解】∵200×0.9=180,200×0.8=160,160<162<180,∴一次性购书付款162元,可能有两种情况.162÷0.9=180元;162÷0.8=202.5元.故王明所购书的原价一定为180元或202.5元.【点睛】本题考查打折销售问题,关键在于分类讨论.2.10.3x -﹣20.5x + =1.2. 解析:4【解析】 试题分析:先将分母化成整数后,再去分母,去括号,移项,系数为1的步骤解方程即可; 试题12 1.20.30.5x x -+-=10103x --10205x +=6550x-50-30x-60=1820 x=128x=6.43.解下列方程: (1)51784a -=; (2)22146y y +--=1; (3)2131683x x x -+-= -1 解析:(1)3a =;(2)4y =-;(3)179x =. 【分析】 (1)先方程两边同乘以8去分母,再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即(2)先方程两边同乘以12去分母,再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得;(3)先方程两边同乘以24去分母,再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得.【详解】(1)方程两边同乘以8去分母,得5114a -=,移项,得5141a =+,合并同类项,得515a =,系数化为1,得3a =;(2)方程两边同乘以12去分母,得3(2)2(21)12y y +--=,去括号,得364212y y +-+=,移项,得341262y y -=--,合并同类项,得4y -=,系数化为1,得4y =-;(3)方程两边同乘以24去分母,得4(21)3(31)824x x x --+=-,去括号,得8493824x x x ---=-,移项,得8982443x x x --=-++,合并同类项,得917x -=-,系数化为1,得179x =. 【点睛】本题考查了解一元一次方程,熟练掌握解方程的步骤是解题关键.4.全班同学去划船,如果减少一条船,每条船正好坐9个同学,如果增加一条船,每条船正好坐6个同学,问原有多少条船?解析:原有5条船.【分析】首先设原有x 条船,根据“减少一条船,那么每条船正好坐9名同学;增加一条船,那么每条船正好坐6名同学”得出等式方程,求出即可.【详解】设原有x 条船,如果减少一条船,即(x -1)条,则共坐9(x -1)人.如果增加一条船,则共坐6(x +1)人,根据题意,得9(x -1)=6(x +1).去括号,得9x -9=6x +6.移项,得9x -6x =6+9.合并同类项,得3x =15.系数化为1,得x =5.答:原有5条船.此题主要考查了一元一次方程的应用,根据题意利用全班人数列出等量关系式是完成本题的关键.5.运用等式的性质解下列方程:(1)3x =2x -6;(2)2+x =2x +1; (3)35x -8=-25x +1. 解析:(1)x =-6;(2)x =1;(3)x =9【分析】(1)根据等式的性质:方程两边都减2x ,可得答案;(2)根据等式的性质:方程两边都减x ,化简后方程的两边都减1,可得答案. (3)根据等式的性质:方程两边都加25x ,化简后方程的两边都加8,可得答案. 【详解】(1)两边减2x ,得3x -2x =2x -6-2x .所以x =-6.(2)两边减x ,得2+x -x =2x +1-x .化简,得2=x +1.两边减1,得2-1=x +1-1所以x =1.(3)两边加25x , 得35x -8+25x =-25x +1+25x . 化简,得x -8=1.两边加8,得x -8+8=1+8.所以x =9.【点睛】本题主要考查了等式的基本性质,等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或字母),等式仍成立;等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0数(或字母),等式仍成立. 6.已知16y x =-,227y x =+,解析下列问题:(1)当122y y =时,求x 的值;(2)当x 取何值时,1y 比2y 小3-.解析:(1)215x =;(2)18x 【分析】(1)根据题意列出等式,然后解一元一次方程即可;(2)根据题意得到213y y -=-,然后代入x ,解一元一次方程即可求解.【详解】(1)由题意得:62(27)x x -=+ 解得215x = 215x ∴=. (2)由题意得:27(6)3x x +--=- 解得18x 18x ∴=. 【点睛】本题考查了解一元一次方程,重点是熟练掌握移项、合并同类项、去括号、去分母的法则,细心求解即可.7.解方程:(1)5(8)6(27)22m m m +--=-+ (2)2(3)7636x x x --+=- 解析:(1)10m =;(2)5x =【分析】(1)直接去括号、移项、合并同类项、化系数为1即可求解;(2)直接去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1即可求解.【详解】解:(1)5(8)6(27)22m m m +--=-+5m 4012m 42m 22+-+=-+6m 60-=-m 10= (2)2(3)7636x x x --+=- ()6x 4x 336(x 7+-=--)6x 4x 1236x 7+-=-+11x 55=x 5=【点睛】此题主要考查解一元一次方程,解题的关键是熟练掌握解题步骤.8.设a ,b ,c ,d 为有理数,现规定一种新的运算:a bad bc c d =-,那么当35727x-=时,x 的值是多少? 解析:x =-2【分析】 根据新定义的运算得到关于x 的一元一次方程,解方程即可求解.【详解】解:由题意得:21 - 2(5 - x )=7即21-10+2x =7x =-2.【点睛】本题考查了新定义,解一元一次方程,根据新定义的运算列出方程是解题关键. 9.a ※b 是新规定的这样一种运算法则:a ※b=a 2+2ab ,例如3※(-2)=32+2×3×(-2)=-3 (1)试求(-2)※3的值(2)若1※x=3,求x 的值(3)若(-2)※x=-2+x ,求x 的值.解析:(1)-8;(2)1;(3)65. 【分析】(1)根据规定的运算法则求解即可.(2)(3)将规定的运算法则代入,然后对等式进行整理从而求得未知数的值即可.【详解】(1)(-2)※3=(-2)2+2×(-2)×3=4-12=-8;(2)∵1※x=3,∴12+2x=3,∴2x=3-1,∴x=1;(3)-2※x=-2+x ,(-2)2+2×(-2)x=-2+x ,4-4x=-2+x ,-4x-x=-2-4,-5x=-6, x=65. 【点睛】此题考查有理数的混合运算,解一元一次方程,解题关键在于掌握运算法则.10.市百货商场元月一日搞促销活动,购物不超过200元不给优惠;超过200元,而不足500元按总价优惠10%;超过500元的其中500元按9折优惠,超过部分按8折优惠.某人两次购物分别用了134元和466元.问:(1)此人两次购物其物品如果不打折,两次购物价值_____元和_____元.(2)在此活动中,通过打折他节省了多少钱?(3)若此人将两次购物的钱合起来购相同的商品与两次分别购买是更节省还是亏损?说明你的理由.解析:(1)134元,520元;(2)54元;(3)见解析【分析】(1)先判断两次是否优惠,若优惠,在哪一档优惠;(2)用商品标价减去实际付款可求节省的钱数;(3)先计算两次物品合起来一次购买实际付款,在与134+466比较即可.【详解】解:(1)∵200×90%=180元>134元,∴134元的商品未优惠;∵500×0.9=450元<466元,∴466元的商品的标价超过了500元.设其标价x元,则500×0.9+(x-500)×0.8=466,解得x=520,所以物品不打折时的分别值134元,520元;故答案为:134元,520元;(2)134+520-134-466=54,所以省了54元;(3)两次物品合起来一次购买更节省.两次合起来一次购买支付500×0.9+(654-500)×0.8=573.2元,573.2<134+466=600,所以两次物品合起来一次购买更节省.【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用中实际生活中的折扣问题,关键是运用分类讨论的思想,分析清楚付款打折的两种情况.11.根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求,某市结合地方实际,决定从2015年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费,具体收费标准见下表.若2015年5月份,该市居民甲用电100千瓦时,交电费60元.(1)上表中,a=,若居民乙用电200千瓦时,交电费元.(2)若某用户某月用电量超过300千瓦时,设用电量为x千瓦时,请你用含x的代数式表示应交的电费.(3)试行“阶梯电价”收费以后,该市一户居民月用电多少千瓦时时,其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元?解析:(1)0.6;122.5.(2)0.9x﹣82.5.(3)250千瓦.【分析】(1)根据100<150结合应交电费60元即可得出关于a的一元一次方程,解之即可得出a 值;再由150<200<300,结合应交电费=150×0.6+0.65×超出150千瓦时的部分即可求出结论;(2)根据应交电费=150×0.6+(300-150)×0.65+0.9×超出300千瓦时的部分,即可得出结论;(3)设该居民用电x千瓦时,其当月的平均电价每千瓦时为0.62元,分x在第二档及第三档考虑,根据总电费=均价×数量即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出x值,结合实际即可得出结论.【详解】(1)∵100<150,∴100a=60,∴a=0.6,若居民乙用电200千瓦时,应交电费150×0.6+(200-150)×0.65=122.5(元),故答案为0.6;122.5;(2)当x>300时,应交的电费150×0.6+(300-150)×0.65+0.9(x﹣300)=0.9x﹣82.5;(3)设该居民用电x千瓦时,其当月的平均电价每千瓦时为0.62元,当该居民用电处于第二档时,90+0.65(x﹣150)=0.62x,解得:x=250;当该居民用电处于第三档时,0.9x﹣82.5=0.62x,解得:x≈294.6<300(舍去).综上所述该居民用电不超过250千瓦时,其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式,解题的关键是:(1)根据数量关系列式计算;(2)根据数量关系列出代数式;(3)根据总电费=均价×数量列出关于x的一元一次方程.12.学校要购入两种记录本,预计花费460元,其中A种记录本每本3元,B种记录本每本2元,且购买A种记录本的数量比B种记录本的2倍还多20本.(1)求购买A和B两种记录本的数量;(2)某商店搞促销活动,A种记录本按8折销售,B种记录本按9折销售,则学校此次可以节省多少钱?解析:(1)购买A种记录本120本,B种记录本50本;(2)学校此次可以节省82元钱.【分析】根据两种记录本一共花费460元即可列出方程【详解】(1)设购买B 种记录本x 本,则购买A 种记录表(2x +20)本,依题意,得:3(2x +20)+2x =460,解得:x =50,∴2x +20=120.答:购买A 种记录本120本,B 种记录本50本.(2)460﹣3×120×0.8﹣2×50×0.9=82(元).答:学校此次可以节省82元钱.【点睛】根据题意中的等量关系列出方程是解决问题的关键13.小丽用的练习本可以从甲乙两家商店购买,已知两家商店 的标价都是每本 2 元,甲商店的优惠条件是:购买十本以上,从第 11 本开始按标价的 70%出售;乙商店的优惠条件是:从第一本起按标价的80%出售。
一元一次方程一、单选题1.在下列方程中,解是x =-1的是( ).A .2x +1=1B .1-2x =1C .12x +=2D .1332x x +--=2 答案:D知识点:解一元一次方程解析:解答:分别解A 、B 、C 、D 四个方程,解A 方程得x=0,解B 方程得x=0,解C 方程得x=3,解D 方程得x=-1,故选D .分析:能够正确解答一元一次方程,所求解与题干对照;或把x=-1代入ABCD 四个方程,看方程是否成立,此法仅适用于单选题。
2.下列说法正确的是( ).A .x=-2是方程x-2=0的解B .x=6是方程3x+18=0的解C .x=-1是方程-2x =0的解D .x=110是方程10x=1的解 答案:D知识点:一元一次方程的解解析:解答:分别判断ABCD 四个选项是否为方程的解,可以选择代入或求解方程。
找到符合题意的选项。
分析:用代入法判断是否为方程的解适用于单选题.用求解法判断是否为方程的解适用于解答题,巧妙应用各种方法有利于提高做题速度,取得好成绩。
3.下列各式中,是方程的为( ).①2x-1=5 ②4+8=12 ③5y+8 ④2x+3y=0 ⑤2x 2+x=1 ⑥2x 2-5x-1A .①②④⑤B .①②⑤C .①④⑤D .6个都是答案:C知识点:根据数量关系列出方程解析:解答:含有未知数的等式叫做方程,明确有未知数、有等号这样是方程.分析:建立方程的概念,有未知数及等号的等式叫做方程,其余都不是.4.下列方程是一元一次方程的是().A.-5x+4=3y2 B.5(m2-1)=1-5m2 C.2-145n n-= D.5x-3答案:C知识点:一元一次方程的定义解析:解答:一元一次方程的定义是含有一个未知数及未知数的最高次数是一次的方程,明确这个概念去逐个判断即可求解.分析:明确一元一次方程的定义,元代表未知数,次代表未知数的最高次数,这样的整式方程叫做一元一次方程.5.根据下面所给条件,能列出方程的是().A.一个数的13是6 B.a与1的差的14C.甲数的2倍与乙数的13D.a与b的和的60%答案:A知识点:根据数量关系列出方程解析:解答:有数量的相等关系就能列出方程,13x=6.分析:有等量关系的概念比如包含“是”、“等于”、“即”就可以标记此内容为“等号”,从而列出方程.6.根据“x 的3倍与5的和比x 的13少2”列出方程是( ). A .3x+5=3x -2 B .3x+5=3x +2 C .3(x+5)=3x -2 D .3(x+5)=3x +2 答案:A知识点:根据数量关系列出方程解析:解答:x 的3倍与5的和用数学表达即为3x+5,x 的31即为31x ,x 的3倍与5的和比x 的31少2即为3x+5=3x -2 ,故选A 。
第三章一元一次方程压轴题考点训练1.满足方程24233x x++-=的整数x有()个A.0个B.1个C.2个D.3个2.A,B两地相距100km,甲车以30km/h的速度由A地出发驶向B地,同一时间乙车以40km/h的速度由B 地驶向A地,两车中途相遇后继续前行,直到其中一辆车先到达终点时,两车停止运动,下列选项中,能正确反映两车离A地的距离s(km)与时间t(h)函数关系的图象是()A.B.C.D.3.如图,点,C D 为线段AB 上两点,9AC BD +=,且75AD BC AB +=,设CD t =,则方程()()371232tx x x --=-+的解是( )A .2x =B .3x =C .4x =D .5x =4.方程···13153520192021x x x x++++=´的解是x =( )A .20212020B .20211010C .20212019D .101020215.若m 、n 是有理数,关于x 的方程3m (2x ﹣1)﹣n =3(2﹣n )x 有至少两个不同的解,则另一个关于x 的方程(m +n )x +3=4x +m 的解的情况是( )A .有至少两个不同的解B .有无限多个解C .只有一个解D .无解【答案】D【详解】解:解方程3m (2x ﹣1)﹣n =3(2﹣n )x 可得:(6m +3n ﹣6)x =3m +n ∵有至少两个不同的解,∴6m +3n ﹣6=3m +n =0,即m =﹣2,n =6,把m =﹣2,n =6代入(m +n )x +3=4x +m 中得:4x +3=4x +m ,∴方程(m +n )x +3=4x +m 无解.故选:D .6.某种衬衫因换季打折出售,如果按原价的六折出售,那么每件赔本40元;按原价的九折出售,那么每件盈利20元,则这种衬衫的原价是( )A .160元B .180元C .200元D .220元【答案】C【详解】解:设这种衬衫的原价是x 元,依题意,得:0.6x+40=0.9x-20,解得:x=200.故选C .7.某商场周年庆期间,对销售的某种商品按成本价提高30%后标价,又以9折(即按标价的90%)优惠卖出,结果每件商品仍可获利85元,设这种商品每件的成本是x 元,根据题意,可得到的方程是( )A .()130%90%85x x +×=-B .()130%90%85x x +×=+C .()130%90%85x x +×=-D .()130%90%85x x +×=+【答案】B【分析】由题意可知:成本+利润=售价,设这种商品每件的成本是x 元,则提高30%后的标价为(130%)x +元;打9折出售,则售价为(130%)90%x +g ,列出方程即可.【详解】由题意可知:售价=成本+利润,设这种商品每件的成本是x 元,则提高30%后的标价为(130%)x +元;打9折出售,则售价为(130%)90%x +g ;根据:售价=成本+利润,列出方程:()130%90%85x x +×=+故选B8.已知a,b为定值,且无论k为何值,关于x的方程2132-+=-kx a x bk的解总是x=2,则ab=_________.9.万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一,以“重庆第一泡万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕,活动持续两周,活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶:清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗.第一批采制的茶叶中清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量(盒)之比为2:3:1.由于品质优良宣传力度大,网上的预订量暴增,举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶,其中清明香增加的数量占总增加数量的12,此时清明香总数量达到三种茶叶总量的49,而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等.若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元、380元,清明香的售价为每盒640元,活动中将清明香的18供游客免费品尝,活动结束时两批茶叶全部卖完,总利润率为16%,且云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的511,则滴翠剑茗的单价最低为______元.10.甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进,在距A点700米处第一次相遇,然后继续前进,甲到A地、乙到B地后都立即返回,第二次相遇在距B点400米处,则A、B两地间的距离是_____米.【答案】1700【详解】解:设A、B两地间的距离是x米,x+400=3×700.解得x=1700.答:A、B两地间的路程是1700米,故答案为:1700.11.关于x的方程2a(x+5)=3x+1无解,则a=______.12.学校为了让学生积极参加体育锻炼强健体魄,做好大课间活动,计划购买体育用品,价格如下表:备选体育用品篮球排球羽毛球拍价格60元/个35元/个25元/支(1)若用2550元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍,篮球和排球的数量比2:3,排球与羽毛球拍数量的比为4:5,求篮球、排球和羽毛球拍的购买数量各为多少?(2)初一学年计划购买篮球,初二学年计划购买排球,商场的优惠促销活动如下:打折前一次性购物总金额优惠措施不超过500元不优惠超过500元且不超过600元售价打九折超过600元售价打八折按上述优惠条件,若初一年级一次性付款420元,初二年级一次性付款504元,那么这两个年级购买两种体育用品的数量一共是多少?13.A,B两地相距300千米,甲车从A地驶向B地,行驶80千米后,乙车从B地出发驶向A地,乙车行驶5小时到达A地,并原地休息.甲、乙两车匀速行驶,甲车速度是乙车速度的43倍.(1)甲车的行驶速度是________千米/ 时,乙车的行驶速度是________千米/ 时;(2)求乙车出发后几小时两车相遇;(列方程解答此问)(3)若甲车到达B地休息一段时间后按原路原速返回,且比乙车晚2小时到达A地.甲车从A地出发到返回A地过程中,甲车出发________小时,两车相距40千米;甲车在B地休息________小时.14.有一些相同的房间需要粉刷,一天3名师傅去粉刷8个房间,结果其中有240m墙面未来得及刷;同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面.每名师傅比徒弟一天多刷230m的墙面.(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积;(2)张老板现有36个这样的房间需要粉刷,若请1名师傅带2名徒弟去,需要几天完成?(3)已知每名师傅,徒弟每天的工资分别是95元,75元,张老板要求在3天内完成36个房间的粉刷,问如何在这8个人中雇用人员,才合算呢?请直接写出你的雇佣方案.(被雇工人要求:他们必须同时开工,同时收工,不可无故在工作期间辞掉某个人)15.在学习绝对值后,我们知道,|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离.如:|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离,而|5|=|5﹣0|,即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离.类似的有|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离:|5+3|=|5﹣(﹣3)|,所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B两点之间的距离可表示为|a﹣b|.请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题:(1)数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 ;数轴上P、Q两点之间的距离为3,若点P表示的数是﹣2,则点Q表示的数是 .(2)点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣4、3,那么A到B的距离是 ;A到C的距离 .(用含绝对值的式子表示)(3)若|x﹣3|+|x+4|=11,则x的值为 .(4)若|x﹣3|+|x+4|=7,则x的取值范围值为 .∴若|3||4|7x x -++=,则43x -££,故答案为:43x -££.。
专题31 一元一次方程应用之行程问题1.甲、乙两地相距300千米,从甲地开出一辆快车,速度为100千米/时,从乙地开出一辆慢车,速度为 65千米/时,如果两车相向而行,慢车先开出1小时后,快车开出,那么再经过多长时间两车相遇?若设再经过x 小时两车相遇,则根据题意列方程为( ) A .()10010065300x ++= B .()100165300x x -+= C .()6510065300x ++= D .()6510065300x +-=【答案】C【分析】根据两车相遇共行驶270千米列出方程即可.【详解】解:设经过x 小时两车相遇,依题意得()6510065300x ++=. 故选C .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是了解相遇问题中的等量关系. 2.A 、B 两地相距450千米,甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发,相向而行,已知甲车速度为120千米/小时,乙车速度为80千米/小时,经过t 小时两车相距50千米.则t 的值是( ) A .2 B .2或2.25 C .2.5 D .2或2.5钟,但由于堵车,所以实际车速比预计的每小时慢了10千米,且路上多用了5分钟.设预计车速为x 千米/时,根据题意可列方程为( ) A .2530(10)6060x x =+ B .2530(10)6060x x += C .25x =30x ﹣10 D .2530(10)6060x x =- 【答案】D【分析】由实际车速比预计的每小时慢了10千米可得出实际车速为(10)x -千米/时,利用路程=速度⨯时间,结合路程不变,即可得出关于x 的一元一次方程,此题得解. 【详解】解:预计车速为x 千米/时,实际车速比预计的每小时慢了10千米,时,水速为2千米/时,则A 港和B 港相距______千米..如图,在ABC 中,的速度沿着三角形的边按A B C A →→→的方向行走,甲出发1s 后蚂蚁乙从点A 出发,以2cm/s 的速度沿着三角形的边按A C B A →→→的方向行走,那么甲出发________s 后,甲乙第一次相距2cm .【答案】4【分析】根据题意,找出题目的等量关系,列出方程,解方程即可得到答案. 【详解】解:根据题意,∵3cm AB =,6cm BC ,5cm AC =, ∵周长为:35614++=(cm ),∵甲乙第一次相距2cm ,则甲乙没有相遇,设甲行走的时间为t ,则乙行走的时间为(1)t -, ∵1.52(1)214t t +-+=, 解得:4t =;∵甲出发4秒后,甲乙第一次相距2cm . 故答案为:4.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是熟练掌握题意,正确的列出方程.三、解答题 6.列方程解应用题一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是80千米/小时,卡车的行驶速度是60千米/小时,客车比卡车早2小时经过B 地,A 、B 两地间的路程是多少千米?秒后,两点相距15个单位长度.已知点B 的速度是点A 的速度的4倍(速度单位:单位长度/秒).(1)求出点A 、点B 运动的速度,并在数轴上标出A 、B 两点从原点出发运动3秒时的位置;(2)若A 、B 两点从(1)中的位置开始,仍以原来的速度同时沿数轴向左运动,几秒时,原点恰好处在点A 、点B 的正中间?(3)若A 、B 两点从(1)中的位置开始,仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时,另一点C 同时从B 点位置出发向A 点运动,当遇到A 点后,立即返回向B 点运动,遇到B 点后又立即返回向A 点运动,如此往返,直到B 点追上A 点时,C 点立即停止运动.若点C 一直以15单位长度/秒的速度匀速运动,那么点C 从开始运动到停止运动,行驶的路程是多少个单位长度?【答案】(1)点A的速度为每秒1个单位长度,点B的速度为每秒4个单位长度,图见解析(2)运动1.8秒时,原点恰好处在A、B两点的正中间(3)点C行驶的路程为75单位长度【分析】(1)设点A的速度为每秒t个单位长度,则点B的速度为每秒4t个单位长度.由甲的路程+乙的路程=总路程建立方程求出其解即可;(2)设x秒时,原点恰好处在点A、点B的正中间.根据两点离原点的距离相等建立方程求出其解即可;(3)先根据追及问题求出A,B相遇的时间就可以求出C行驶的路程.(1)设点A的速度为每秒t个单位长度,则点B的速度为每秒4t个单位长度.依题意有:3t+3×4t=15,解得t=1,4t=4,∵点A的速度为每秒1个单位长度,点B的速度为每秒4个单位长度.画图,如图所示:(2)设x秒时,原点恰好处在点A、点B的正中间,根据题意,得3+x=12-4x,解得x=1.8,即运动1.8秒时,原点恰好处在A、B两点的正中间.(3)设运动y秒时,点B追上点A,根据题意,得4y-y=15,解得y=5,即点B追上点A共用去5秒,而这个时间恰好是点C从开始运动到停止运动所花的时间,因此点C行驶的路程为:15575⨯=(单位长度).【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用,数轴的运用,行程问题的相遇问题和追及问题的数量关系的运用,解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键.8.甲乙两人在一环形场地上锻炼,甲骑自行车,乙跑步,甲比乙每分钟快200m,两人同时从起点同向出发,经过3min两人首次相遇,此时乙还需跑150m才能跑完第一圈.()1求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米?(列方程或者方程组解答)()2若两人相遇后,甲立即以每分钟300m 的速度掉头向反方向骑车,乙仍按原方向继续跑,要想不超过1.2min 两人再次相遇,则乙的速度至少要提高每分钟多少米?【答案】()1甲的速度是每分钟350米,乙的速度是每分钟150米;()250米. 【分析】(1) 设乙的速度为每分钟x 米,则甲的速度为每分钟(200)x +米,两人同向而行相遇属于追及问题,等量关系:甲的路程与乙的路程之差等于环形场地的路程,即可列出方程. (2)在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题,等量关系:甲的路程加上乙的路程等于环形场地的路程,列出算式即可.【详解】解:()1 设乙的速度为每分钟x 米,则甲的速度为每分钟(200)x +米,依题意有31502003x +=⨯,解之得:150x = ,200150200350x +=+= .答:甲的速度是每分钟350米,乙的速度是每分钟150米. (2)(2003300 1.2) 1.2⨯-⨯÷240 1.2=÷200()m = , 20015050()m -=答:乙的速度至少要提高每分钟50米.【点睛】本题主要考查了环形跑道上的追及问题和相遇问题,明确相遇问题和追及问题的等量关系(追及问题的等量关系:甲路程-乙路程=环形跑道的长度;相遇问题的等量关系:甲路程+乙路程=环形跑道长度)是解题关键. 9.列方程解应用题如图,在数轴上的点A 表示4-,点B 表示5,若有两只电子蜗牛甲、乙分别从A 、B 两点同时出发,保持匀速运动,甲的平均速度为2单位长度/秒,乙的平均速度为1单位长度/秒.请问:()1两只蜗牛相向而行,经过______秒相遇,此时对应点上的数是______.()2两只蜗牛都向正方向而行,经过多少秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙?【答案】(1)3,2;(2)9秒.【分析】()1可设两只蜗牛相向而行,经过x 秒相遇,根据等量关系:两只蜗牛的速度和⨯时间()54=--,列出方程求解即可;()2可设两只蜗牛都向正方向而行,经过y 秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙,根据等量关系:两只蜗牛的速度差⨯时间()54=--,列出方程求解即可.【详解】解:()1设两只蜗牛相向而行,经过x秒相遇,依题意有()()+=--,21x54=.解得x3-+⨯=-+=.423462答:两只蜗牛相向而行,经过3秒相遇,此时对应点上的数是2.()2设两只蜗牛都向正方向而行,经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙,依题意有()()21y54-=--,=.解得y9答:两只蜗牛都向正方向而行,经过9秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙.【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用,用到的知识点是数轴上两点之间的距离,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.10.一列匀速前进的火车,通过列车隧道.(1)如果通过一个长300米的隧道AB,从车头进入隧道到车尾离开隧道,共用15秒的时间(如图1),又知其间在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光垂直照射火车2.5秒,求这列火车的长度;(2)如果火车以相同的速度通过了另一个隧道CD,从火车车尾全部进入隧道到火车车头刚好到达隧道出口(如图2),其间共用20秒时间,求这个隧道CD的长.【答案】(1)火车长度为60米;(2)CD的长为540米答:这列火车的长度为60米.(2)火车的速度60 2.524=÷=米/秒,另一隧道的长242060540=⨯+=米.【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用,利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x ,然后用含x 的式子表示相关的量,列出等式方程,即可解答.11.列方程解应用题:某校组织七年级师生共300人乘车前往“故乡”农场进行劳动教育活动. (1)他们早晨8:00从学校出发,原计划当天上午10:00便可以到达“故乡”农场,但实际上他们当天上午9:40便达到了“故乡”农场,已知汽车实际行驶速度比原计划行驶速度快10km/h.求汽车原计划行驶的速度.(2)到达“故乡”农场后,需要购买门票,已知该农场门票票价情况如右表,该校购买门票时共花了3100元,那么参加此次劳动教育的教师、学生各多少人?数轴上对应的数.若动点P 从点A 出发沿数轴正方向运动,动点Q 同时从点B 出发也沿数轴正方向运动,点P 的速度是每秒3个单位长度,点Q 的速度是每秒1个单位长度.(1)求a、b、c的值;(2)P、Q同时出发,求运动几秒后,点P可以追上点Q?(3)在(2)的条件下,P、Q出发的同时,动点M从点C出发沿数轴正方向运动,速度为每秒6个单位长度,点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动,追上后点M再运动几秒,M到Q的距离等于M到P距离的两倍?5min 后,爸爸以180m/min 的速度去追小明,并且在途中追上了他.(1)爸爸追上小明用了多长时间? (2)追上小明时距离学校有多远? 【答案】(1)2.5min (2)650m【分析】(1)可以设爸爸追上小明用了x 分钟,根据爸爸追上小明时的行程=小明5分钟的行程+x 分钟的行程列出方程求解即可;(2)根据(1)中的时间可求得行程,即可得距离学校的距离=总路程一已行路程 【详解】(1)设爸爸追上小明用了min x . 依题意,得(18060)605x -=⨯, 解得 2.5x =.答:爸爸追上小明用了2.5min . (2)1100180 2.5-⨯1100450=-650(m)=答:追上小明时,距离学校还有650m 远.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.14.如图,AB=12cm ,点C 在线段AB 上,AC=3BC ,动点P 从点A 出发,以4cm/s 的速度向右运动,到达点B 之后立即返回,以4cm/s 的速度向左运动;动点Q 从点C 出发,以1cm/s的速度向右运动,到达点B之后立即返回,以1cm/s的速度向左运动.设它们同时出发,运动时间为t秒,当第二次重合时,P、Q两点停止运动.(1)AC=______cm,BC=______cm;(2)当t=______秒时,点P与点Q第一次重合;当t=______秒时,点P与点Q第二次重合;(3)当t为何值时,AP=PQ?39933动点P 从点A 出发,以每秒6个单位的速度沿A →B向终点B匀速运动;动点Q 从点C 出发,以每秒1个单位的速度沿C →B 向终点B 匀速运动,当P、Q都到达终点后停止运动.设点P 的运动时间为t(s) .(1)当点P 到达点B 时,点Q 所表示的数是;(2)当t= 0.5时,线段PQ 的长为;(3)在整个运动过程中,当P ,Q 两点到点C 的距离相等时,求t 的值.44。
一元一次方程专题详解专题03 一元一次方程专题详解 (1)3.1从算式到方程 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 方程和一元一次方程的概念 (2)知识点2 方程的解与解方程 (3)知识点3 等式的性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 依题意列方程 (5)题型2 运用等式的性质解方程 (6)三、难点题型 (7)题型1 利用定义求待定字母的值 (7)3.2解一元一次方程-合并同类项和移项 (8)知识框架 (8)一、基础知识点 (8)知识点1 合并同类项解一元一次方程 (8)知识点2 移项解一元一次方程 (9)二、典型题型 (10)题型1 一元一次方程的简单应用 (10)3.3解一元一次方程-去括号与去分母 (11)知识框架 (11)一、基础知识点 (11)知识点1 去括号 (11)知识点2 去分母 (12)二、典型题型 (13)题型1 去括号技巧 (13)题型2 转化变形解方程 (15)题型3 解分子分母中含有小数系数的方程 (16)三、难点题型 (18)题型1 待定系数法 (18)题型2 同解问题 (18)题型3 含参数的一元一次方程 (19)题型4 利用解的情况求参数的值 (20)题型5 整体考虑 (21)3.4实际问题与一元一次方程 (21)一、基础知识点 (21)知识点1 列方程解应用题的合理性 (21)知识点2 建立书写模型常见的数量关系 (22)知识点3 分析数量关系的常用方法 (23)二、典型例题 (24)3.1从算式到方程知识框架一、基础知识点知识点1 方程和一元一次方程的概念1) 方程:含有未知数的等式。
例:3x=5y+2;100x=200;3x 2+2y=3等2)一元一次方程:只含有一个未知数(元,隐含未知数系数不为0),未知数的次数是1(次),等号两边都是整式(整式:未知数的积,而非商)的方程。
如何判断一元一次方程:①整式方程;②只含有一个未知数,且未知数 的系数不为0;③未知数的次数为1. 例:3112=+x ;3112=+x ;3m-2n=5;3m=5;6x 2-12=0 例1.下列各式中,那些是等式?那些是方程?①3x-6;②3-5=-2;③x+2y=8;④x+2≠3;⑤x-x1=2; ⑥y=10;⑦3y 2+2y=0;⑧3a<-5a ;⑨3x 2+2x-1=0;⑩213m m y =-+ 【答案】是方程的有:③、⑤、⑥、⑦、⑨、⑩方程需满足2个条件:1)含有未知数;2)是等式。
七年级上册数学《第三章一元一次方程》专题一元一次方程的同解、错解、参数等问题【例题1】(2022•江阴市模拟)已知x=1是方程x+2a=﹣1的解,那么a的值是()A.﹣1B.0C.1D.2【分析】根据方程解的定义,将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程,从而可求出a 的值.【解答】解:把x=1代入方程,得:1+2a=﹣1,解得:a=﹣1.故选:A.【点评】已知条件中涉及到方程的解,把方程的解代入原方程,转化为关于字母系数的方程进行求解.可把它叫做“有解就代入”.【变式1-1】(2022秋•秀山县期末)已知x=1是关于x的方程6﹣(m﹣x)=5x的解,则代数式m2﹣6m+2=.【分析】根据一元一次方程的解的定义可知m的值,然后代入求值即可.【解答】解:把x=1代入6﹣(m﹣x)=5x,得6﹣(m﹣1)=5×1.解得m=2.所以m2﹣6m+2=22﹣6×2+2=﹣6.故答案为:﹣6.【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义.理解方程的解的定义,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.【变式1-2】(2022秋•张家港市期中)已知x=1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a=0的解,则3a3﹣2a2+a ﹣4的值是()A.1B.﹣1C.16D.14【分析】把x=1代入关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a=0可以求得a的值,然后把x=2代入所求的代数式进行求值.【解答】解:∵x=1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a=0的解,∴3﹣2+1﹣4+a=0,解得,a=2,∴3a3﹣2a2+a﹣4=3×23﹣2×22+2﹣4=14.故选:D.【点评】本题主要考查了方程解的定义,解决本题的关键在于根据方程的解的定义将x=1代入,从而转化为关于a的一元一次方程.【变式1-3】若关于x的方程x+2=2(m﹣x)的解满足方程|x−12|=1,则m的值是()A.14或134B.14C.54D.−12或54【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论,即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程,再求解.【解答】解:因为方程|x−12|=1,所以x−12=±1,解得x=32或x=−12,因为关于x的方程x+2=2(m﹣x)的解满足方程|x−12|=1,所以解方程x+2=2(m﹣x)得,m=3r22,当x=32时,m=134,当x=−12时,m=14.所以m的值为:134或14.故选:A.【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程,解决本题的关键是解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论.【变式1-4】(2022秋•奎屯市校级月考)已知x=4是关于x的一元一次方程﹣3m﹣x=2+3m的解,则m2020+1的值是.【分析】根据一元一元一次方程的解的定义求得m,再解决此题.【解答】解:由题意得,﹣3m﹣4=42+3.∴﹣3m﹣4=2+3m.∴﹣6m=6.∴m=﹣1.∴m2020+1=(﹣1)2020+1=1+1=2.故答案为:2.【点评】本题主要考查一元一次方程的解、有理数的乘方,熟练掌握一元一次方程的解的定义、有理数的乘方是解决本题的关键.【变式1-5】(2022秋•烟台期末)已知x=﹣1是关于x的方程2a+2=﹣1﹣bx的解.求代数式5(2a﹣b)﹣2a+b+2的值.【分析】根据方程解的定义,把x=﹣1代入关于x的方程2a+2=﹣1﹣bx,即可得出代数式5(2a﹣b)﹣2a+b+2的值.【解答】解:当x=﹣1时,2a+2=﹣1+b,即2a﹣b=﹣3,∴5(2a﹣b)﹣2a+b+2=5(2a﹣b)﹣(2a﹣b)+2=﹣15+3+2=﹣10.【点评】本题考查了一元一次方程的解,以及整式的加减,把2a﹣b作为整体,是数学中常用的整体思想.(2023春•长春期中)已知关于x的方程4x+2m=3x+1的解是x=0,试求(−2p2021−(−32)2020【变式1-6】的值.【分析】将x=0代入原方程,可求出m的值,再将m的值代入原式,即可求出结论.【解答】解:将x=0代入原方程得:2m=1,解得:m=12,∴原式=(﹣2×12)2021﹣(12−32)2020,=(﹣1)2021﹣(﹣1)2020=﹣1﹣1=﹣2.【点评】本题考查了一元一次方程的解,牢记“把方程的解代入原方程,等式左右两边相等”是解题的关键.【例题2】(2023秋•东台市期中)如果关于x的方程K43=8−r22的解与方程4x﹣(3a+1)=6x+2a﹣1的解相同,求a的值.【分析】先求出第一个方程的解,然后代入第二个方程得到关于a的一元一次方程,再根据一元一次方程的解法进行求解即可.【解答】解:解方程K43=8−r22得:x=10,由题意:4x﹣(3a+1)=6x+2a﹣1的解为x=10,代入得:4×10﹣(3a+1)=6×10+2a﹣1,解得:a=﹣4.【点评】本题考查了同解方程,同解方程就是解相同的方程,本题先求出第一个方程的解是解题的关键.【变式2-1】(2022秋•长沙期末)若关于x的方程r32−=2的解与方程x+1=m的解相同,求m的值.【分析】先解方程r32−=2可得x=4﹣m,再根据方程同解的含义可得4﹣m+1=m,再解关于m 的方程即可.【解答】解:r32−=2,去分母可得:m+3x﹣2x=4,即x=4﹣m,∵关于x的方程r32−=2的解与方程x+1=m的解相同,∴4﹣m+1=m,解得:=52.【点评】本题考查的是同解方程的含义,选择合适的方程进行变形是解本题的关键.【变式2-2】(2022秋•仙游县校级期末)如果方程2K35=23x﹣2与3a−14=3(x+a)﹣2a的解相同,求(a ﹣3)2的值.【分析】通过解关于x的方程2K35=23x﹣2求得x的值,然后将x的值代入3a−14=3(x+a)﹣2a列出关于a的新方程,通过解该新方程即可求得a的值,再代入计算即可求解.【解答】解:由关于x的方程2K35=23x﹣2,解得x=5.25∵关于x的方程2K35=23x﹣2与3a−14=3(x+a)﹣2a的解相同,∴3a−14=3(5.25+a)﹣2a,解得a=8.∴(a﹣3)2=(8﹣3)2=25.【点评】本题考查了同解方程的定义.理解方程的解的定义,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.【变式2-3】(2023春•安岳县校级期中)已知关于x的一元一次方程2r13−5K16=1.(1)求这个方程的解;(2)若这个方程的解与关于x的方程3(x+m)=﹣(x﹣1)的解相同,求m的值.【分析】(1)按照去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1的步骤解方程即可;(2)根据题意可知x=﹣3是方程3(x+m)=﹣(x﹣1)的解,把x=﹣3代入方程3(x+m)=﹣(x ﹣1)中得到关于m的方程,解方程即可.【解答】解:(1)2r13−5K16=1去分母得:2(2x+1)﹣(5x﹣1)=6,去括号得:4x+2﹣5x+1=6,移项得:4x﹣5x=6﹣1﹣2,合并同类项得:﹣x=3,系数化为1得:x=﹣3;(2)由题意得x=﹣3是方程3(x+m)=﹣(x﹣1)的解,∴3(﹣3+m)=﹣(﹣3﹣1),∴3m﹣9=4,解得=133.【点评】本题主要考查了解一元一次方程,一元一次方程的解,熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键.【变式2-4】如果方程K43−8=−r22的解与方程4x﹣(3a+1)=6x+2a﹣1的解相同,求式子a﹣a2的值.【分析】先求得方程方程K43−8=−r22的解,然后将所求的x的值代入方程4x﹣(3a+1)=6x+2a﹣1求得a的值,最后在求代数式的值即可.【解答】解:K43−8=−r22去分母得:2(x﹣4)﹣48=﹣3(x+2)去括号得:2x﹣8﹣48=﹣3x﹣6,移项得:2x+3x=﹣6+8+48,合并同类项得:5x=50,系数化为1得:x=10.将x=10代入方程4x﹣(3a+1)=6x+2a﹣1得:40﹣(3a+1)=60+2a﹣1,去括号得:40﹣3a﹣1=60+2a﹣1,移项得:﹣3a﹣2a=60﹣1﹣40+1,合并同类项得:﹣5a=20,系数化为1得:a=﹣4.a﹣a2=﹣4﹣(﹣4)2=﹣4﹣16=﹣20.【点评】本题主要考查的是同解方程的定义、解一元一次方程、求代数式的值,求得a的值是解题的关键.【变式2-5】(2022秋•巴南区期末)已知方程3K52=5K83的解满足等式10−3(Kp2=3K4−25(3x+m),求m的值.【分析】根据方程的解相同,可得关于m的方程,根据解方程,可得答案.【解答】解:解方程3K52=5K83,3(3x﹣5)=2(5x﹣8),9x﹣15=10x﹣16,9x﹣10x=﹣16+15,x=1,∵方程3K52=5K83的解满足等式10−3(Kp2=3K4−25(3x+m),∴10−3(1−p2=3−4−25×(3+p,2m﹣30(1﹣m)﹣5(3﹣m)﹣8(3+m),2m﹣30+30m=15﹣5m﹣24﹣8m,2m+30m+8m+5m=30+15﹣24,45m=21,解得m=715.【点评】本题考查了同解方程,利用同解方程得出关于m的方程是解题关键.【变式2-6】(2022秋•利州区校级期末)已知方程4x+2m=3x+1和方程3x+2m=6x+1的解相同.(1)求m的值;(2)求代数式(﹣2m)2022−(−32)2021的值.【分析】(1)分别解出两个方程的解,根据解相同列出方程,解方程即可;(2)代入求值即可.【解答】解:(1)由4x+2m=3x+1解得:x=1﹣2m,由3x+2m=6x+1解得:x=2K13,由题知:1﹣2m=2K13,解得:m=12;(2)当m=12时,(﹣2m)2022﹣(m−32)2021=(﹣2×12)2022﹣(12−32)2021=1+1=2.【点评】本题考查了同解方程,解一元一次方程,列出关于m的方程是解题的关键.【例题3】(202秋•沂源县期末)方程2﹣3(x+1)=0的解与关于x的方程r2−3k﹣2=2x的解互为相反数,求k的值【分析】直接解方程得出x=−13,进而得出关于x的方程r2−3k﹣2=2x的解,求出答案即可.【解答】解:∵2﹣3(x+1)=0,∴解得:x=−13,∵方程2﹣3(x+1)=0的解与关于x的方程r2−3k﹣2=2x的解互为相反数,∴关于x的方程r2−3k﹣2=2x的解x=13,∴r132−3k﹣2=23,解得:k=﹣1.【点评】此题主要考查了一元一次方程的解,正确得出x的值是解题关键.【变式3-1】(2022秋•高港区校级月考)已知关于x的方程①:x+1﹣2m=﹣m的解比方程②:32(−p−2=54的解大2.求m的值以及方程②的解.【分析】用含m的式子分别表示出方程①和方程②的解,根据方程①的解比方程②的解大2列出关于m的方程,求解可得m的值,将m的值代入方程②中即可解得x的值.【解答】解:解x+1﹣2m=﹣m得:x=m﹣1,解32(−p−2=54得:=611−811,∵方程①的解比方程②的解大2,∴−1−(611−811)=2,解得:m=5,将m=5代入方程②中得:32(5−p−2=54,解得:x=2.【点评】本题考查了解一元一次方程,熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键.【变式3-2】(2022秋•石景山区校级期末)已知关于x的方程中,12x﹣a=0的解比a+8x=2+4x的解大1,求a的值.【分析】分别解出关于x的方程12x﹣a=0的解和方程a+8x=2+4x的解,然后根据已知条件“关于x的方程中,12x﹣a=0的解比a+8x=2+4x的解大1”列出关于a的一元一次方程,解方程即可.【解答】解:由方程12x﹣a=0,得x=12,由方程a+8x=2+4x,得x=2−4,又∵关于x的方程中,12x﹣a=0的解比a+8x=2+4x的解大1,∴12−2−4=1,去分母,得a﹣3(2﹣a)=12,去括号,得a﹣6+3a=12,移项,得a+3a=6+12,合并同类项,得4a=18,化系数为1,得a=4.5.【点评】本题考查解一元一次方程,解一元一次方程的一般步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1.注意移项要变号.【变式3-3】(2022秋•太仓市期末)已知关于x的一元一次方程2x+10﹣3m=0的解与关于x的一元一次方程r12+2(r1)3=1的解互为相反数,求代数式92m﹣4n﹣1的值.【分析】分别解方程,进而用m,n分别表示出x,再结合相反数的定义得出等式,将原式变形求出答案.【解答】解:2x+10﹣3m=0,则2x=3m﹣10,解得:x=3K102,r12+2(r1)3=1,则3(x+1)+4(n+1)=6,故3x+3+4n+4=6,3x=﹣1﹣4n,解得:x=−1+43,∵关于x的一元一次方程2x+10﹣3m=0的解与关于x的一元一次方程r12+2(r1)3=1的解互为相反数,∴3K102−1+43=0,去分母得:3(3m﹣10)﹣2(1+4n)=0,则9m﹣30﹣2﹣8n=0,故9m﹣8n=32,则92m﹣4n﹣1=12(9m﹣8n)﹣1=12×32﹣1=16﹣1=15.【点评】此题主要考查了一元一次方程的解,正确解方程是解题关键.【变式3-4】(2022秋•亭湖区校级月考)已知关于x的方程3(x﹣2)=x﹣a的解比r2=2K3的解小52,求2a﹣3的值.【分析】先分别求出两个方程的解,根据题意得出关于a的一元一次方程,再求出方程的解,最后求出答案即可.【解答】解:解方程3(x﹣2)=x﹣a得:x=6−2,解方程r2=2K3得:x=5a,∵关于x的方程3(x﹣2)=x﹣a的解比r2=2K3的解小52,∴6−2=5a−52,解得:a=1,∴2a﹣3=2×1﹣3=﹣1.【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解,能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键.【变式3-5】(2022秋•常州期中)已知关于x的方程r12=3x﹣2与K2=x+3的解互为倒数,求m的值.【分析】先求出两方程的解,再由倒数的定义即可得出结论.【解答】解:解方程r12=3x﹣2得,x=1,解方程K2=x+3得,x=−53,∵关于x的方程r12=3x﹣2与K2=x+3的解互为倒数,−53×1=1,解得m=−35.【点评】本题考查的是一元一次方程的解,熟知使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解答此题的关键.【变式3-6】(2022秋•武城县期末)已知(|a|﹣1)x2﹣(a+1)x+8=0是关于x的一元一次方程.(1)求a的值,并解出上述一元一次方程;(2)若上述方程的解是方程5x﹣2k=2x解的2倍,求k的值.【分析】(1)根据一元一次方程的定义和解一元一次方程的一般步骤准确计算即可;(2)根据解析(1)得出的方程解,得出方程5x﹣2k=2x解为x=2,然后代入求出k的值即可.【解答】解:(1)由题意得:|a|﹣1=0,﹣(a+1)≠0,∴a=±1且a≠﹣1,∴a=1,将a=1代入方程得:﹣2x+8=0,解得:x=4.答:a的值是1,方程的解是x=4.(2)由题意得:x=4÷2=2,将x=2代入方程得:5×2﹣2k﹣2×2,解得:k=3.答:k的值是3.【点评】本题主要考查了解一元一次方程,方程解的定义,一元一次方程的定义,解题的关键熟练掌握解一元一次方程的方法.【例题4】(2023•平桥区校级开学)王涵同学在解关于x的一元一次方程7a+x=18时,误将+x看作﹣x,得方程的解为x=﹣4,那么原方程的解为()A.x=4B.x=2C.x=0D.x=﹣2【分析】把x=﹣4代入方程7a﹣x=18,得出方程7a+4=18,求出a的值,再代入方程,求出方程的解即可.【解答】解:把x=﹣4代入方程7a﹣x=18得:7a+4=18,解得:a=2,即原方程为14+x=18,解得:x=4.故选:A.【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用,能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键.【变式4-1】(2022秋•椒江区校级期中)小明解方程2K15+1=r2,由于粗心大意,在去分母时,方程左边的1没有乘10,由此求得的解为x=4,试求a的值,并求出方程的正确解.【分析】把x=4代入小明粗心得出的方程,求出a的值,代入方程求出解即可.【解答】解:由题意可知:(在去分母时,方程左边的1没有乘10,由此求得的解为x=4),2(2x﹣1)+1=5(x+a),把x=4代入得:a=﹣1,将a=﹣1代入原方程得:2K15+1=K12,去分母得:4x﹣2+10=5x﹣5,移项合并得:﹣x=﹣13,解得x=13.【点评】此题考查了解一元一次方程,解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数.【变式4-2】(2022秋•前郭县期末)某同学在解关于y的方程3K4−5K76=1去分母时,忘记将方程右边的1乘以12,从而求得方程的解为y=10.(1)求a的值;(2)求方程正确的解.【分析】(1)根据题意得3(3y﹣a)﹣2(5y﹣7a)=1,将y=10代入方程即可求a的值;(2)当a=1代入原方程再求解即可.【解答】解:(1)该同学去分母时方程右边的1忘记乘12,则原方程变为3(3y﹣a)﹣2(5y﹣7a)=1,∵方程的解为y=10,代入得3(30﹣a)﹣2(50﹣7a)=1.解得a=1.(2)将a=1代入方程3K4−5K76=1,得3K14−5K76=1,解得y=﹣1,即原方程的解为y=﹣1.【点评】本题考查一元一次方程的解,熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键.【变式4-3】(2023•秦皇岛一模)米老鼠在解方程2K13=r2−1的过程中,去分母时方程右边的﹣1忘记乘6,因而求得的解为x=2.(1)请你帮助米老鼠求出a的值;(2)正确地解这个方程.【分析】(1)把x=2代入方程2(2x﹣1)=3(x+a)﹣1得出2×(2×2﹣1)=3(2+a)﹣1,再求出方程的解即可;(2)去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化成1即可.【解答】解:(1)把x=2代入方程2(2x﹣1)=3(x+a)﹣1得:2×(2×2﹣1)=3(2+a)﹣1,解得:a=13;(2)方程为2K13=r132−1,2(2x﹣1)=3(x+13)﹣6,4x﹣2=3x+1﹣6,4x﹣3x=1﹣6+2,x=﹣3.【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程,注意:使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解.【变式4-4】(2022秋•道里区校级月考)小明同学在解方程2K13=r3−2,去分母时,方程右边的﹣2没有乘3,因而求得方程的解为x=3.试求a的值,并正确地解出方程.【分析】先根据题意,得x=3是方程2x﹣1=x+a﹣2的解,然后根据方程解的定义将x=2代入这个方程,从而求出a的值;再把所求得的a的值代入原方程,最后解一元一次方程即可.【解答】解:依题意,x=3是方程2x﹣1=x+a﹣2的解,∴2×3﹣1=3+a﹣2,∴a=4.∴原方程为2K13=r43−2,解方程,得2x﹣1=x+4﹣6,解得x=﹣1.故a=4,原方程的正确的解是x=﹣1.【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程的知识,解题的关键是掌握相关的定义和解一元一次方程的一般步骤.【变式4-5】小王在解关于x的方程3a﹣2x=15时,误将﹣2x看作2x,得方程的解x=3,(1)求a的值;(2)求此方程正确的解;(3)若当y=a时,代数式my3+ny+1的值为5,求当y=﹣a时,代数式my3+ny+1的值.【分析】(1)把x=3代入方程即可得到关于a的方程,求得a的值;(2)把a的值代入方程,然后解方程求解;(3)把y=a代入my3+ny+1得到m和n的式子,然后把y=﹣a代入my3+ny+1,利用前边的式子即可代入求解.【解答】解:(1)把x=3代入3a+2x=15得3a+6=15,解得:a=3;(2)把a=3代入方程得:9﹣2x=15,解得:x=﹣3;(3)把y=a代入my3+ny+1得27m+3n+1=5,则27m+3n=4,当y=﹣a时,my3+ny+1=﹣27m﹣3n+1=﹣(27m+3n)+1=﹣4+1=﹣3.【点评】本题考查了方程的解的定义,以及代数式的求值,正确理解方程的解的定义,方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值,是关键.【变式4-6】(2022秋•大余县期末)聪聪在对方程r33−B−16=5−2①去分母时,错误地得到了方程:2(x+3)﹣mx﹣1=3(5﹣x)②,因而求得的解是=52.(1)求m的值;(2)求原方程的解.【分析】(1)将x=52代入方程②,整理即可求出m的值,(2)将m的值代入方程①即可求出正确的解.【解答】(1)把x=52代入2(x+3)﹣mx﹣1=3(5﹣x)中,得:2×(52+3)−52m﹣1=3×(5−52),解得:m=1.(2)当m=1时原方程为r33−K16=5−2,2(x+3)﹣(x﹣1)=3(5﹣x),4x=8,x=2.【点评】此题考查了一元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.【例题5】(2022秋•兴隆县期末)方程mx+2x﹣12=0是关于x的一元一次方程,若此方程的解为正整数,则正整数m的值有几个?()A.2个B.3个C.4个D.5个【分析】根据方程的解是正整数,可得(m+2)是12的约数,根据12的约数,可得关于m的方程,根据解方程,可得答案.【解答】解:由mx+2x﹣12=0,得=12r2,∵方程mx+2x﹣12=0是关于x的一元一次方程,此方程的解为正整数,m是正整数,∴m+2=3或4或6或12,解得m=1或2或4或10,∴正整数m的值有4个.故选:C.【点评】本题考查了一元一次方程的解,正确理解m+2=3或4或6或12是关键.【变式5-1】已知关于x的方程kx=5﹣x,有正整数解,则整数k的值为.【分析】根据方程的解是正整数,可得5的约数.【解答】解:由kx=5﹣x,得x=5r1.由关于x的方程kx=5﹣x,有正整数解,得5是(k+1)的倍数,得k+1=1或k+1=5.解得k=0或k=4,故答案为:0或4.【点评】本题考查了一元一次方程的解,利用方程的解是正整数得出关于k的方程是解题关键.【变式5-2】已知关于x的一元一次方程mx﹣1=2(x+32)的解是正整数,则整数m的值为.【分析】根据方程的解是正整数,可得4的约数,根据4的约数,可得关于m的方程,根据解方程,可得答案.【解答】解:由mx﹣1=2(x+32),得x=4K2,因为关于x的方程mx﹣1=2(x+32)的解是正整数,得m﹣2=1,m﹣2=2,或m﹣2=4.解得m=3,m=4,或m=6.故答案为:3或4或6.【点评】本题考查了一元一次方程的解,利用方程的解是正整数得出关于m的方程是解题关键.【变式5-3】(2022秋•九龙坡区校级期末)若关于x的方程−2−B6=r13的解是整数解,m是整数,则所有m的值加起来为()A.﹣5B.﹣16C.﹣24D.18【分析】根据解一元一次方程的一般步骤表示出x的代数式,分析解答即可.【解答】解:解方程−2−B6=r13,得:=44+,根据题意可知=44+为整数,m是整数,当m的值为0,﹣2,﹣3,﹣5,﹣6,﹣8时,44+为整数,∴0+(﹣2)+(﹣3)+(﹣5)+(﹣6)+(﹣8)=﹣24,故选:C.【点评】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数,熟练掌握解一元一次方程的一半步骤是解本题的关键.【变式5-4】(2022秋•邗江区校级期末)若关于x的方程2ax=(a+1)x+6的解为正整数,求整数a的值.【分析】首先解方程表示出x的值,然后根据解为正整数求解即可.【解答】解:2ax=(a+1)x+6,移项得:2ax﹣(a+1)x=6,合并同类项得:(a﹣1)x=6,系数化为1得:=6K1,∵关于x的方程2ax=(a+1)x+6的解为正整数,∴=6K1为正整数,∴a﹣1=1或a﹣1=2或a﹣1=3或a﹣1=6∴a=2或a=3或a=4或a=7.【点评】本题主要考查方程的解和解一元一次方程,解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.【变式5-5】设m为整数,且关于x的一元一次方程(m﹣5)x+m﹣3=0.(1)当m=2时,求方程的解;(2)若该方程有整数解,求m的值.【分析】(1)把m=2代入原方程,得到关于x得一元一次方程,解之即可,(2)根据“m≠5,该方程有整数解,且m是整数”,结合一元一次方程的解题步骤,得到关于m的几个一元一次方程,解之即可.【解答】解:(1)当m=2时,原方程为﹣3x﹣1=0,解得,=−13,(2)当m≠5时,方程有解,=3−K5=−1−2K5,∵方程有整数解,且m是整数,∴m﹣5=±1,m﹣5=±2,解得,m=6或m=4或m=7或m=3.【点评】本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义,解题的关键:(1)正确掌握一元一次方程的解题步骤,(2)正确掌握一元一次方程的定义和一元一次方程的解题步骤.。
中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题03一元一次方程【思维导图】【知识要点】知识点一一元一次方程的基础等式的概念:用等号表示相等关系的式子。
注意:1.等式可以是数字算式,可以是公式、方程,也可以是运算律、运算法则等。
2.不能将等式和代数式概念混淆,等式含有等号,表示两个式子相等关系,而代数式不含等号,你只能作为等式的一边。
方程的概念:含有未知数的等式叫做方程。
特征:它含有未知数,同时又是—个等式。
一元一次方程的概念:只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。
标准形式:ax+b=0(x为未知数,a、b是已知数且a≠0)【特征】1. 只含有一个未知数x2. 未知数x的次数都是13. 等式两边都是整式,分母中不含未知数。
方程的解的概念:能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。
一元方程的解又叫根。
知识点二等式的性质(解一元一次方程的基础)等式的性质1:等式两边(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
表示为:如果a=b,则a±c=b±c等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为零的数,结果仍相等。
表示为:如果 a=b,那么ac = bc如果 a=b(c≠0),那么 =【注意事项】1.等式两边都要参加运算,并且是同一种运算。
2.等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。
3.等式两边不能都除以0,即0不能作除数或分母.4.等式左右两边互换,所得结果仍是等式。
知识点三解一元一次方程合并同类项把若干能合并的式子的系数相加,字母和字母的指数不变,起到化简的作用。
移项把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。
(依据:等式的性质1)去括号括号前负号时,去掉括号时里面各项应变号。
去分母在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。
去分母时不要漏乘不含分母的项。
当分母中含有小数时,先将小数化成整数。
解一元一次方程的基本步骤:知识点四实际问题与一元一次方程用方程解决实际问题的步骤:审:理解并找出实际问题中的等量关系;设:用代数式表示实际问题中的基础数据;列:找到所列代数式中的等量关系,以此为依据列出方程;解:求解;验:考虑求出的解是否具有实际意义;答:实际问题的答案.【考查题型】考查题型一 一元一次方程概念的应用【解题思路】关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答.典例1.(2021·四川中考真题)关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =,则a m +的值为( ) A .9 B .8 C .5 D .4【详解】解:因为关于x 的一元一次方程2x a-2+m=4的解为x=1, 可得:a-2=1,2+m=4, 解得:a=3,m=2, 所以a+m=3+2=5, 故选:C .变式1-1.(2021·内蒙古中考真题)关于x 的方程211-20m mx m x +﹣(﹣)=如果是一元一次方程,则其解为_____. 【详解】 解:关于x 的方程2m 1mx m 1x 20+﹣(﹣)﹣=如果是一元一次方程,2m 11∴﹣=,即m 1=或m 0=,方程为x 20﹣=或x 20--=, 解得:x 2=或x 2=-, 当2m-1=0,即m=12时, 方程为112022x --= 解得:x=-3,故答案为:x=2或x=-2或x=-3.变式1-2.(2021·四川南充市·中考真题)关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =,则a m +的值为() A .9 B .8C .5D .4【答案】C【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可.【详解】解:因为关于x 的一元一次方程2x a-2+m=4的解为x=1,可得:a-2=1,2+m=4,解得:a=3,m=2,所以a+m=3+2=5,故选C . 考查题型二 解一元一次方程【解题思路】解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤,针对方程的特点,灵活应用,各种步骤都是为使方程逐渐向x =a 形式转化.典例2.(2021·重庆中考真题)解一元一次方程11(1)123x x +=-时,去分母正确的是()A .3(1)12x x +=-B .2(1)13x x +=-C .2(1)63x x +=-D .3(1)62x x +=-【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案.【详解】解:方程两边都乘以6,得:3(x +1)=6﹣2x ,故选:D .变式2-1.(2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题)在实数范围内定义运算“☆”:1a b a b =+-☆,例如:232314=+-=☆.如果21x =☆,则x 的值是(). A .1- B .1 C .0 D .2【答案】C【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解. 【详解】解:由题意知:2211☆=+-=+x x x , 又21x =☆, ∴11x +=, ∴0x =. 故选:C .变式2-2.(2021·四川凉山彝族自治州·中考真题)解方程:221123x x x ---=- 【答案】27x =【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,依此即可求解. 【详解】解:221123x x x ---=- ()()6326221x x x --=--636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x =27x =考查题型三 配套问题和工程问题【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系,依次作为列方程的依据.【工程问题解题关键】常把总工作量看做1,并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题典例3.(2021·哈尔滨市模拟)某车间有27名工人,每个工人每天生产64个螺母或者22个螺栓,每个螺栓配套两个螺母,若分配x个工人生产螺栓,其他工人生产螺母,恰好使每天生产的螺栓和螺母配套,则下列所列方程中正确的是()A.22x=64(27﹣x)B.2×22x=64(27﹣x)C.64x=22(27﹣x)D.2×64x=22(27﹣x)【答案】B【分析】设分配x名工人生产螺栓,则(27﹣x)名生产螺母,根据每天生产的螺母数量=2倍的螺栓数量,可得出方程.【详解】解:设分配x名工人生产螺栓,则(27﹣x)名生产螺母,∵一个螺栓套两个螺母,每人每天生产螺母64个或螺栓22个,∴可得2×22x=64(27﹣x).故选:B.变式3-1.(2021·黑哈尔滨市二模)某车间有22名工人,每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母,1个螺钉需配2个螺母,为使生产的螺钉和螺母刚好配套,若设x名工人生产螺钉,依题意列方程为()A.1200x=2000(22﹣x)B.1200x=2×2000(22﹣x)C.1200(22﹣x)=2000x D.2×1200x=2000(22﹣x)【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x个工人生产螺钉,则(22-x)个工人生产螺母,由1个螺钉需要配2个螺母,可知螺母的个数是螺钉个数的2倍,从而得出等量关系,就可以列出方程.【详解】解:设每天安排x个工人生产螺钉,则(22-x)个工人生产螺母,利用一个螺钉配两个螺母.由题意得:2×1200x=2000(22-x),即2×1200x=2000(22-x),故选D.变式3-2.(2021·山西阳泉市模拟)在中国数学名著《九章算术》中,有这样一个问题:“今有共买牛,七家共出一百九十,不足三百三十;九家共出二百七十,盈三十. 问家数、牛价各几何?”大意是:几家人凑钱合伙买牛,如果每7家共出190元,那么还缺少330元钱;如果每9家共出270元,又多了30元钱. 问共有多少人家,每头牛的价钱是多少元?若设有x户人家,则可列方程为()A.1902703303079x x+=-B.1902703303079x x-=+C.7190927033030x x⨯⨯+=-D.7190927033030x x⨯⨯-=+【答案】A【分析】根据“如果每7家共出190元,那么还缺少330元钱;如果每9家共出270元,又多了30元钱”,可得每头牛的价钱是1903307x+或270309x-,即可得出关于x的方程.【详解】解:∵如果每7家共出190元,那么还缺少330元钱,∴每头牛的价钱是1903307x+;∵如果每9家共出270元,又多了30元钱,∴每头牛的价钱又可以表示为270309x-,∴可列方程为:19027033030 79x x+=-,故选A.变式3-3.(2021·广西南宁市一模)某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务,实际上该班组每天比计划多生产了6个零件,结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件,若设该班组要完成的零件任务为x个,则可列方程为()A.120350506x x+-=+B.350506x x-=+C.120350506x x+-=+D.120350650x x+-=+【答案】C【分析】关系式为:零件任务÷原计划每天生产的零件个数-(零件任务+120)÷实际每天生产的零件个数=3,把相关数值代入即可求解. 【详解】解:实际完成的零件的个数为x+120,实际每天生产的零件个数为50+6,所以根据时间列的方程为:12035050+6x x +-= 故选C .变式3-4.(2021·浙江杭州市·中考真题)已知九年级某班30位同学种树72棵,男生每人种3棵,女生每人种2棵,设男生x 人,则 ( ) A .237230x xB .327230x xB .C .233072x xD .323072x x【答案】D【分析】先设男生x 人,根据题意可得323072x x .【详解】男生x 人,则女生有(30-x)人,由题意得:323072x x,故选D.变式3-5.(2021·哈尔滨市模拟)甲队有工人96人,乙队有工人72人,如果要求乙队的人数是甲队人数的13,应从乙队调多少人去甲队?如果设应从乙队调x 人到甲队,列出的方程正确的是() A .1(96)723x x -=-B .196723x x ⨯-=-C .1(96)723x x +=-D .196(72)3x x +=-【答案】C【分析】根据等量关系:乙队调动后的人数=13甲队调动后的人数,列出一元一次方程即可. 【详解】设应从乙队调x 人到甲队,此时甲队有(96+x )人,乙队有(72-x )人, 根据题意可得:13(96+x )=72-x .故选C . 考查题型四 销售盈亏问题 销售金额=售价×数量利润= 商品售价-商品进价利润率=(利润÷商品进价)×100%现售价 = 标价×折扣售价 = 进价×(1+利润率)典例4.(2021·长沙市一模)随着传统节日“端午节”临近,某超市决定开展“欢度端午,回馈顾客”的活动,将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售,仍可获利20%,则该超市该品牌粽子的标价为__元.()A.180 B.170 C.160 D.150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x元,则售价为80%x元,根据等量关系:利润=售价﹣进价列出方程,解出即可.【详解】解:设该超市该品牌粽子的标价为x元,则售价为80%x元,由题意得:80%x﹣120=20%×120,解得:x=180.即该超市该品牌粽子的标价为180元.故选:A.变式4-1.(2021·广东深圳市模拟)某商贩在一次买卖中,以每件135元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,在这次买卖中,该商贩()A.不赔不赚B.赚9元C.赔18元D.赚18元【答案】C【分析】设盈利上衣成本x元,亏本上衣成本y元,由题意得:135-x=25%x;y-135=25%y;求出成本可得.【详解】设盈利上衣成本x元,亏本上衣成本y元,由题意得135-x=25%xy-135=25%y解方程组,得x=108元,y=180元135+135-108-180=-18亏本18元故选:C变式4-2.(2021·长沙市二模)中国总理李克强2021年6月1日考察山东时表示,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源,是人间的烟火,和“高大上”一样,是中国的生机.市场、企业、个体工商户活起来,生存下去,再发展起来,国家才能更好!为了响应党中央、国务院的号召,各地有序开放了“地摊经济”、“马路经济”,长沙某地摊摊主将进价为10元的小商品提价100%后再6折销售,该小商品的利润率()A.40% B.20% C.60% D.30%【答案】B【分析】设该小商品的利润率为x,根据利润=售价﹣进价,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.【详解】解:设该小商品的利润率为x,依题意,得:10×(1+100%)×0.6﹣10=10x,解得:x=0.2=20%.故选:B.考查题型五比赛积分问题比赛总场数=胜场数+负场数+平场数比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分典例5.(2021·大庆市模拟)篮球比赛规定:胜一场得3分,负一场得1分,某篮球队共进行了6场比赛,得了12分,该队获胜的场数是()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【分析】解答此题可设该队获胜x场,则负了(6-x)场,根据总分=3×获胜场数+1×负了的场数,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.【详解】设该队获胜x场,则负了(6-x)场.根据题意得3x+(6-x)=12,解得x=3.经检验x=3符合题意.故该队获胜3场.故选B.变式5-1.(2021·武汉市模拟)一张试卷有25道选择题,做对一题得4分,做错一题得-1分,某同学做完了25道题,共得70分,那么他做对的题数是()A.17道B.18道C.19道D.20道【答案】C【分析】设作对了x道,则错了(25-x)道,根据题意列出方程进行求解.【详解】设作对了x道,则错了(25-x)道,依题意得4x-(25-x)=70,解得x=19故选C.变式5-2.(2021·广东深圳市模拟)在2018﹣2021赛季英超足球联赛中,截止到3月12号止,蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场,其它场次全部保持不败.共取得了74个积分暂列积分榜第一位.已知胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,设曼城队一共胜了x场,则可列方程为()A.3x+(30﹣x)=74 B.x+3 (30﹣x)=74C.3x+(26﹣x)=74 D.x+3 (26﹣x)=74【答案】C【分析】根据题意分析,可以设曼城队一共胜了x场,则平了(30-x-4)场,找出等量关系:总积分=3×获胜场数+1×踢平场数,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.【详解】设曼城队一共胜了x场,则平了(30﹣x﹣4)场,依题意,得:3x+(30﹣x﹣4)=74,即3x+(26﹣x)=74.故选:C.考查题型六方案选择问题结合实际,分情况讨论,给出合理建议。
一元一次方程专题训练姓名:___________班级:___________一、单选题1.已知x=1是方程x+2a=-1的解,那么a 的值是( )A .-1B .0C .1D .22.下列利用等式的性质,错误的是( )A .由a =b ,得到5﹣2a =5﹣2bB .由a c =b c ,得到a =bC .由a =b ,得到ac =bcD .由a =b ,得到a c =b c 3.方程2y ﹣12=12y ﹣中被阴影盖住的是一个常数,此方程的解是y =﹣53.这个常数应是( ) A .1 B .2 C .3 D .44.如果代数式5x-7与4x+9的值互为相反数,则x 的值等于( )A .92B .-92C .29D .29- 5.如果方程2x+1=3和203a x --=的解相同,则a 的值为( ) A .7 B .5 C .3 D .06.对于非零的两个数a ,b ,规定a ⊗b =3a -b ,若(x +1)⊗2=5,则x 的值为( ) A .1 B .-1 C .43 D .-2 7.已知下列方程:①22x x -=;②0.3x =1;③512x x =+;④x 2﹣4x =3;⑤x =6;⑥x+2y =0.其中一元一次方程的个数是( )A .2B .3C .4D .58.如图,下列四个天平中,相同形状的物体的重量是相等的,其中第①个天平是平衡的,根据第①个天平,后三个天平仍然平衡的有( )A .0个B .1个C .2个D .3个 9.某商店把一件商品按进价增加20%作为定价,可是总卖不出去,后来老板把定价降低20%,以48元的价格出售,很快就卖出了,则老板卖出这件商品的盈亏情况是( )A .亏2元B .亏4元C .赚4元D .不亏不赚10.如图,小明将一个正方形纸剪出一个宽为4cm 的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm 的长条,如果两次剪下的长条面积正好相等,那么每一个长条面积为( )A .16cm 2B .20cm 2C .80cm 2D .160cm 211.某车间原计划13小时生产一批零件,后来每小时多生产10件,用了12小时不但完成任务,而且还多生产60件,设原计划每小时生产x 个零件,则所列方程为( ) A .()13x 12x 1060=++B .()12x 1013x 60+=+C .x x 60101312+-=D .x 60x 101213+-= 12.一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米,它们相向行驶在平行的轨道上,若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒,则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是( )A .7.5秒B .6秒C .5秒D .4秒13.在数列3、12、30、60……中,请你观察数列的排列规律,则第5个数是( ) A .75B .90C .105D .120二、填空题14.李明和他父亲年龄和为 55 岁,又知父亲的年龄比他年龄的 3 倍少 1 岁,若设李明年龄为 x 岁,则可列方程为_____.15.若方程(a ﹣3)x |a|﹣2﹣7=0是一个一元一次方程,则a 等于_____.16.某种品的标价为120元,若以九折降价出售,仍获利20%,该商品的进货价为________元.17.由一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大3,把个位数字与十位数字对调之后所得新数与原数之和是77,这个两位数为_____.18.把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本,这个班的学生有_____人.19.图1是边长为30的正方形纸板,裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子,已知该长方体的宽是高的2倍,则它的体积是cm3.20.一组“数值转换机”按下面的程序计算,如果输入的数是36,则输出的结果为106,要使输出的结果为127,则输入的最小正整数是__________.三、解答题21.解方程:1314(1)(5) 243x x x⎡⎤--=+⎢⎥⎣⎦.22.已知关于x的方程3x﹣5+a=bx+1,问当a、b取何值时.(1)方程有唯一解;(2)方程有无数解;(3)方程无解.23.解下列方程:(1)2(10﹣0.5y)=﹣(1.5y+2)(2)13(x﹣5)=3﹣23(x﹣5)(3)24x+﹣1=326x-(4)x﹣19(x﹣9)=13[x+13(x﹣9)](5) 210.5x--30.6x+=0.5x+224.某车间有60个工人,生产甲、乙两种零件,每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个.已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套,问应分配多少人生产甲种零件,多少人生产乙种零件,才能使每天生产的这两种零件刚好配套?25.根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求,某市结合地方实际,决定从2017年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费,具体收费标准见下表.若2017年5月份,该市居民甲用电100千瓦时,交电费60元.(1)上表中,a =________,若居民乙用电200千瓦时,应交电费________元;(2)若某用户某月用电量超过300千瓦时,设用电量为x 千瓦时,请你用含x 的代数式表示应交的电费;(3)试行“阶梯电价”收费以后,该市一户居民月用电多少千瓦时,其当月的平均电价不超过0.62元/千瓦时?26.我市某校组织爱心捐书活动,准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区,其中每包书的数目相等.第一次他们领来这批书的23,结果打了16个包还多40本;第二次他们把剩下的书全部取来,连同第一次打包剩下的书一起,刚好又打了9个包,那么这批书共有多少本?27.甲、乙两件服装的成本共500元,商店老板为获取利润,决定甲服装按50℅的利润标价,乙服装按40%的利润标价出售.在实际出售时,应顾客要求,两件服装均按标价9折出售,这样商店共获利157元,求两件服装的成本各是多少元?28.一艘货轮往返于上下游两个码头之间,逆流而上需要6小时,顺流而下需要4小时,若船在静水中的速度为20千米/时,则水流的速度是多少千米/时?29.A 、B 两地相距64 km ,甲从A 地出发,每小时行14 km ,乙从B 地出发,每小时行18 km.(1)若两人同时出发相向而行,则需经过几小时两人相遇?(2)若两人同时出发相向而行,则需经过几小时两人相距16 km?(3)若甲在前,乙在后,两人同时同向而行,则几小时后乙超过甲10 km?30.(背景知识)数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律:若数轴上点A 、点B 表示的数分别为a 、b ,则A ,B 两点之间的距离AB =|a –b |,线段AB 的中点表示的数为2a b . (问题情境)如图,数轴上点A 表示的数为–2,点B 表示的数为8,点P 从点A 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t 秒(t >0).(综合运用)(1)填空:①A 、B 两点间的距离AB =__________,线段AB 的中点表示的数为__________;②用含t的代数式表示:t秒后,点P表示的数为__________;点Q表示的数为__________.(2)求当t为何值时,P、Q两点相遇,并写出相遇点所表示的数;(3)求当t为何值时,PQ=12 AB;(4)若点M为P A的中点,点N为PB的中点,点P在运动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出线段MN的长.31.一架飞机在两城之间飞行,风速为24千米/小时,顺风飞行需2小时50分,逆风飞行需要3小时.(1)求无风时飞机的飞行速度;(2)求两城之间的距离.32.缴纳个人所得税是收入达到缴纳标准的公民应居的义务,个人所得税率是由国家相应的法律法规规定的.根据个人的收入计算,新修改的《中华人民共和国个人所得税法》于2019年1月1日正式实施,新税法规定个人所得税的免征额为5000元,应纳税所得额按如下税率表缴纳个人所得税(应纳税所得额=税前收总额﹣国家规定扣除专项金额﹣免征额).根据以上信息,解决以下问题:(1)小明的妈妈应纳税所得额为2000元,她应该缴纳个人所得税______元.(2)小明的爸爸要缴纳个人所得税590元,他应纳税所得额是多少元?(3)如果小明的爸爸和妈妈某月应纳税所得额共为20000元(爸爸的应纳税所得额高于妈妈的应纳税所得额),共要缴纳个人所得税1780元,小明的爸爸应纳税所得额是_____元.参考答案1.A【解析】试题分析:根据方程解的定义,将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程,从而可求出a的值.解:把x=1代入方程,得:1+2a=﹣1,解得:a=﹣1.故选A.点评:已知条件中涉及到方程的解,把方程的解代入原方程,转化为关于字母系数的方程进行求解.可把它叫做“有解就代入”.2.D【解析】A.∵a=b,∴−2a=−2b,∴5−2a=5−2b,故本选项正确;B. ∵a bc c=,∴c×ac=c×bc,∴a=b,故本选项正确;C. ∵a=b,∴ac=bc,故本选项正确;D. ∵a=b,∴当c=0时,ac无意义,故本选项错误.故选:D. 3.C 【解析】【详解】设被阴影盖住的一个常数为k,原方程整理得,k=-32y+12,把53y=-代入k=-32y+12,中得,k=-32×(53-)+12=5122+=3,故选C.4.D【解析】【分析】根据互为相反数的两个数的和为0可得方程5x-7+4x+9=0,解方程求得x的值即可. 【详解】根据题意得5x-7+4x+9=0,移项得5x+4x=- 9+7,合并同类项得9x = -2,系数化为1,得29x =-. 故选D.【点睛】本题考查了一元一次方程的解法,熟知一元一次方程的解法是解决问题关键.5.A【解析】【分析】先求出213x +=的解,然后把求得的方程的解代入203a x --=即可求出a 的值. 【详解】∵213x +=,∴1x =.把1x =代入203a x --=,得 1203a --=, 解之得,7a =.故选A.【点睛】本题主要考查方程的解的概念和一元一次方程的解法,熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键.6.C【解析】【分析】根据新定义列出方程3(x-1)-2=4,解之可得.【详解】根据题意知3(x-1)-2=4,3x-3-2=4,3x=4+3+2,3x=9,x=3,故选:C .【点睛】考查解一元一次方程,解题的关键是根据题意列出关于x 的方程及解方程的步骤. 7.B【解析】【分析】只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程.【详解】解:①x−2=2x 是分式方程,故①错误; ②0.3x=1,即0.3x-1=0,符合一元一次方程的定义.故②正确; ③2x =5x+1,即9x+2=0,符合一元一次方程的定义.故③正确; ④x 2-4x=3的未知数的最高次数是2,它属于一元二次方程.故④错误;⑤x=6,即x-6=0,符合一元一次方程的定义.故⑤正确;⑥x+2y=0中含有2个未知数,属于二元一次方程.故⑥错误.综上所述,一元一次方程的个数是3个.故选:B .【点睛】本题考查了一元一次方程的一般形式,掌握只含有一个未知数,且未知数的指数是1,一次项系数不是0是关键.8.C【解析】由①天平可得:一个球形物体和两个圆柱形物体质量相等;②天平是由①天平左右两边同时减去一个圆柱形物体得到的,仍然平衡;③天平时由①天平左边减去一个球形物体和一个圆柱形物体,即减去三个圆柱形物体,右边减去三个圆柱形物体得到的,左右两边仍然平衡;④天平由①天平左边减去一个圆柱形物体,右边减去三个圆柱形物体得到的,所以左右两边不平衡.故选C.点睛:等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.9.A【解析】【分析】设这件商品的进价为a元,可用a表示出第一次和第二次的定价,再根据等量关系:第二次的定价=商品的实际售价48元,可列出关于a的方程;然后解关于a的方程,求出a的值,并将a的值与48进行比较即可得出结论.【详解】设这件商品的进价为a元,则a(1+20%)(1-20%)=48,解得a=50.由50-48=2可知,这次生意亏2元.故选:A.【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用,根据题意得到等量关系是解题的关键;10.C【解析】【分析】首先根据题意,设原来正方形纸的边长是xcm,则第一次剪下的长条的长是xcm,宽是4cm,第二次剪下的长条的长是x-4cm,宽是5cm;然后根据第一次剪下的长条的面积=第二次剪下的长条的面积,列出方程,求出x的值是多少,即可求出每一个长条面积为多少.【详解】设原来正方形纸的边长是xcm,则第一次剪下的长条的长是xcm,宽是4cm,第二次剪下的长条的长是x-4cm,宽是5cm,则4x=5(x-4),去括号,可得:4x=5x-20,移项,可得:5x-4x=20,解得x=2020×4=80(cm2)答:每一个长条面积为80cm2.故选C.【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用,要熟练掌握,首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答,即设、列、解、答.11.B【解析】试题解析:设原计划每小时生产x个零件,则实际每小时生产(x+10)个零件.根据等量关系列方程得:12(x+10)=13x+60.故选B.考点:由实际问题抽象出一元一次方程.12.D【解析】设坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是x秒,则100÷5×x=80,解得x=4,故选D.13.C【解析】【分析】根据题目中的数据,可以发现题目中数据的变化规律,从而可以得到第5个数.【详解】∵3=1×3,12=2×6=2×(3+3),30=3×10=3×(6+4),60=4×15=4×(10+5),∴第5个数是:5×(15+6)=5×21=105,故选C.【点睛】本题考查数字的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现题目中数字的变化规律.14.3x ﹣1+x=55.【解析】【分析】直接利用已知表示出父亲的年龄,进而得出答案.【详解】设李明年龄为x 岁,则可列方程为:3x-1+x=55,故答案是:3x-1+x=55.【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次方程,正确得出等式是解题关键.15.-3【解析】试题分析:若一个整式方程经过化简变形后,只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不为0,则这个方程是一元一次方程.解:∵()2370a a x ---=是一个一元一次方程,∴30a -≠且 |a|−2=1,∴a =-3.故答案为-3.16.90【解析】试题分析:设进货价为x 元,根据九折降价出售,仍获利20%,列方程求解.解:设进货价为x 元,由题意得,0.9×120﹣x=0.2x , 解得:x=90.故答案为:90.考点:一元一次方程的应用.17.52【解析】【分析】设原来的这个两位数个位数字为x ,则十位数字为3+x .利用新数+原数=77,列方程求解即可.【详解】设原个位数字为x ,则十位数字为3+x ,由题意得:(10x+3+x )+10(3+x )+x=77,解得:x=2,则原数为10(3+2)+2=52.故答案为52【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程求解是解题关键.18.45名.【解析】试题分析:设这个班有x 名学生,因为每人3本,则剩余20本,所以书的总量是3x+20,又每人分4本,缺25本,所以书的总量是4x ﹣25,所以可得方程:3x+20=4x ﹣25,解得:x=45.答:这个班有45名学生.考点:一元一次方程的应用.19.1000。
2023-2024年人教版七年级上册数学第三章一元一次方程应用题(销售盈亏问题)训练1.请根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)一个水瓶是多少元?(2)商场都在搞促销活动,甲商场规定:这两种商品都打八折;乙商场规定:买一个水瓶赠送两个水杯,另外购买的水杯按原价卖.若某单位想要买个水瓶和个水杯,请问选择哪家商场购买更合算,并说明理由.(必须在同一家购买)2.新华书店准备订购一批图书,现有甲、乙两个供应商,均标价每本40元.为了促销,甲说:“凡来我处购书一律九折.”乙说:“如果购书超出100本,则超出的部分打八折.”(1)若新华书店准备订购150本图书,请分别求出去甲、乙两处需支付的钱数;(2)若新华书店去甲乙两处订购了相同数量的图书并且付了相同数量的钱,请问新华书店去甲乙各定了多少本书?3.某种笔记本的售价为5元/本,如果买100本以上,超过100本部分的,每本售价打八折.(1)甲校和乙校分别买了80本和120本,乙校比甲校多花了多少钱?(2)如果丙校买这种笔记本花了740元,丙校买了多少本?(列方程求解)(3)如果丁校买这种笔记本花了a 元,丁校买了多少本?(a 是20的整数倍)4.某商铺准备在端午节前购进一批肉粽和蜜枣粽,已知肉粽的单价比蜜枣粽的单价多元,且花元购买的肉粽数刚好是花元购买的蜜枣粽数的倍.5202.53001002(2)若按预售价将甲、乙两种型号的节能灯全部售完,该超市可获得多少元的利润?(3)在实际销售过程中,超市按预售价将购进的甲型号节能灯全部售出,购进的乙型号节能灯部分售出后,决定将乙型号节能灯打九折销售,全部售完后,两种节能灯共获得利润3100元,求乙型号节能灯按预售价售出了多少只?8.晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒,总共花费960元,已知第一批盲盒进价为每盒15元,第二批盲盒进价为每盒12元.(利润销售额成本)(1)求两次分别购进礼品盲盒多少盒?(2)文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售,销售完第一批盲盒后,再打八折销售完第二批盲盒,按此计划该老板总共可以获得多少元利润?(3)在实际销售中,该文具店老板在以(2)中的标价20元售出一些第一批盲盒后,决定搞一场促销活动,尽快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完.老板现将标价提高到40元/盒,再推出活动:购买两盒,第一盒七五折,第二盒半价,不单盒销售.售完所有盲盒后该老板共获利润710元,按(2)中标价售出的礼品盲盒有多少盒?9.为了拉动内需,哈尔滨市自10月份开始启动“家电下乡”活动,某家电公司销售给农户的A 型电视机和型电视机在9月份(活动未开启)共售出960台,10月份销售给农户的A 型和型电视机的销量分别比9月份增长,,这两种型号的电视机共售出1228台.(1)9月份销售给农户的A 型和型电视机分别是多少台?(2)如果A 型电视机每台价格是1000元,型电视机每台价格是2000元,根据“家电下乡”的有关政府将按每台电视机价格的给购买电视机的农户补贴,10月份销售给农户的这两种型号共1228台电视机,政府共补贴了多少钱?10.某公司生产某种产品,每件成本价是元,销售价为元,本季度销售了5万件,为进一步扩大市场,企业决定降低生产成本,经过市场调研,预计下一季度这种商品每件售价会降低.销售量将提高.(1)下一季度每件产品的销售价和销售量各是多少?(2)为了使两个季度的销售利润保持不变,公司必须降低成本,问每件商品的成本应降低=-B B 30%25%B B 3%4006205%10%多少元11.静静超市购进一批魔方,按进价提高40%后标价,为了促销,超市决定打八折出售,这时每个魔方的售价为28元.(1)求每个魔方的进价是多少元?(2)魔方卖出一半后,超市决定将剩下的魔方以3个为一组捆绑销售,分组后恰好没有剩余,每组售价80元,很快销售一空,这批魔方超市共获利2800元,求该超市共购进魔方多少个?12.工业园区某服装厂加工A,B两种款式的学生服共100件,加工A种学生服的成本为每件80元,加工B种学生服的成本为每件100元,加工两种学生服的成本共用去9200元.(1)A、B两种学生服各加工多少件?(2)服装厂将这批学生服送到市场部销售,A种学生服的售价为200元,B种学生服的售价为220元,在销售过程中发现A种学生服的销量不好,A种学生服卖出一定数量后,服装厂决定余下的部分按原价的八折出售,两种学生服全部卖出后,共获利10520元,则A种学生服卖出多少件后打折销售?13.某超市购进一批运动服,按进价提高40%后标价.(1)为了让利于民,增加销量,超市决定打八折(即按标价的80%)出售,超市是亏损了还是盈利了?请说明理由.(2)若每套运动服的售价为140元,在(1)的条件下,超市卖出一半后,正好赶上双十一促销,商店决定将剩下的运动服每3套400元的价格出售,很快销售一空,这批运动服超市共获利7000元,求该超市所购进运动服的进价及数量?14.某工厂生产并销售A,B两种型号车床共14台,生产并销售1台A型车床可以获利10万元;如果生产并销售不超过4台B型车床,则每台B型车床可以获利17万元,如果超出4台B型车床,则每超出1台,每台B型车床获利将均减少1万元.(1)请分别计算生产并销售A型车床5台与11台时,工厂的总获利分别是多少?(2)若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元,问:生产并销参考答案:1.(1)元(2)选择乙商场购买更合算.【分析】本题考查一元一次方程的应用,有理数混合运算的实际应用,有理数的大小比较,(1)设一个水瓶元,则一个水杯为元,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果;(2)计算出两商场的费用,比较即可得到结果;正确理解题意,找出题目中的等量关系并列出方程是解题的关键.【详解】(1)解:设一个水瓶元,则一个水杯为元,根据题意得:,解得:,∴(元),∴一个水瓶元,一个水杯是元;(2)选择乙商场购买更合算.理由:在甲商场购买所需费用为:(元),在乙商场购买所需费用为:(元),∵,∴选择乙商场购买更合算.2.(1)去甲处需支付的钱数为5400元;去乙处需支付的钱数为5600元(2)当订购200本图书时,去两个供应商处的进货价钱一样【分析】(1)根据题意列式计算即可;(2)列出方程,进行计算即可.【详解】(1)解:由题意得:甲:(元);乙:(元),答:去甲处需支付的钱数为5400元;去乙处需支付的钱数为5600元;40x ()48x -x ()48x -()3448152x x +-=40x =4848408x -=-=408()40582080%288⨯+⨯⨯=()40520528280⨯+-⨯⨯=288280>150400.95400⨯⨯=()40100150100400.85600⨯+-⨯⨯=∴,解得:,答:第二次甲种商品按原价打8折销售.【点睛】此题考查了一元一次方程的应用,弄清题意,找出合适的等量关系,进而列出方程是解答此类问题的关键.7.(1)购进甲型号的节能灯300只,购进乙型号的节能灯400只(2)3500元(3)300只【分析】(1)设该超市购进甲型号的节能灯x 只,则购进乙型号的节能灯只,根据购进700只节能灯的进货款恰好为20000元,列出方程,解方程即可;(2)根据题意列出算式进行计算即可;(3)设乙型号节能灯按预售价售出了y 只,根据购进的乙型号节能灯部分售出后,决定将乙型号节能灯打九折销售,全部售完后,两种节能灯共获得利润3100元,列出方程,解方程即可.【详解】(1)解:设该超市购进甲型号的节能灯x 只,则购进乙型号的节能灯只,由题意,得,解得,所以(只).答:该超市购进甲型号的节能灯300只,购进乙型号的节能灯400只.(2)解:(元).答:若按预售价将甲、乙两种型号的节能灯全部售完,该超市可获得3500元的利润.(3)解:设乙型号节能灯按预售价售出了y 只,由题意,得,解得.答:乙型号节能灯按预售价售出了300只.【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用,解题的关键是根据等量关系列出方程.8.(1)第一次购买了40盒,第二次购买了30盒(2)按此计划该老板总共可以获得320元的利润120050004600y﹣=8y =()700x -()700x -()203570020000x x +-=300x =700700300400x -=-=()()30025204004035150020003500⨯-+⨯-=+=()()()()300252040354004090%353100y y ⨯-+-+-⨯⨯-=300y =程求解;(2)根据总价乘以,列算式计算求解.【详解】(1)解:设9月份销售给农户的型台,则型电视机是台,则:,解得:,,答:9月份销售给农户的型560台,型电视机是400台;(2)(元,答:政府共补贴了51840元.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,根据题意列方程是解题的关键.10.(1)销售价为元,销售量为件(2)元【分析】(1)根据“商品每件售价会降低,销售量将提高”进行计算;(2)由题意可得等量关系:销售利润(销售利润=销售价-成本价)保持不变,列方程即可解得.【详解】(1)解:下一季度每件产品销售价为:(元).销售量为(件);(2)解:设该产品每件的成本价应降低x 元,则根据题意得:解这个方程得:.答:该产品每件的成本价应降低元.【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,设出未知数,列出方程.11.(1)魔方的进价是25元(2)该超市共购进四阶魔方1200个【分析】(1)设魔方的进价是元,进价八折售价,列方程并解出即可;(2)设该超市共购进四阶魔方个,根据“商店决定将剩下的魔方以每3个80元的价格出0.03A x B (960)x -()0.30.259601228960x x +-=-560x =960400x ∴-=A B ()1000560 1.32000400 1.250.0351840´´+´´´=)58955000115%10%()62015%589⨯-=()50000110%55000⨯+=[589(400)]55000(620400)50000x --=-⨯⨯11x =11x (140%)⨯+⨯=y当生产并销售A 型车床11台时,总获利是:万元.答:工厂的总获利分别是158万元,161万元.(2)设生产并销售B 型车床x 台,则生产并销售A 型车床台,当时,,不成立;当时,每台B 型车床可以获利万元;由题意得:解得:,(舍去)答:生产并销售B 型车床10台.【点睛】本题考查有理数的四则混合计算的实际应用,一元一次方程的运用,审题,明确数量间的关系是解题的关键.15.(1)每件服装的标价为200元,进价为120元(2)最低能打5折【分析】(1)设标价是x 元,根据题意,列出一元一次方程进行求解即可;(2)设小张最低能打a 折,根据题意,列出一元一次方程进行求解即可.【详解】(1)解:设标价是x 元,由题意,得,解得.即每件服装的标价是200元.进价为(元).答:每件服装的标价为200元,进价为120元.(2)解:设小张最低能打a 折,由题意,得:.解得.答:小张最低能打5折.【点睛】本题考查一元一次方程的应用.读懂题意,找准等量关系,正确的列出方程,是解题的关键.16.(1)购进青菜120斤,则购进瓜类80斤1110(1411)17161⨯+-⨯=()14x -4x ≤()171014271400x x x --=-<4x >()()17421x x ⎡⎤⎣=⎦---()()21101470x x x ---=110x =221x =50%2080%40x x +=-200x =50%2050%20020120x +=⨯+=()()()3002001205003002000.112020000a ⨯-+-⨯⨯-=5a =乙种商品每件的进价是元;∴甲、乙两种商品每件的进价分别是330元、590元.【点睛】此题考查了一元一次方程的应用,正确理解题意列得方程是解题的关键.19.(1)元(2)当每条裤子降价元时达到盈利的预期目标【分析】(1)根据利润(售价进价)数量直接计算即可得到答案;(2)设降价x 元,根据利润列方程求解即可得到答案;【详解】(1)解:由题意可得,(元),∴前条裤子的利润是元;(2)解:设降价x 元,由题意可得,,解得:,答:当每条裤子降价元时达到盈利的预期目标;【点睛】本题考查列代数式与一元一次方程解决销售利润问题,解题的关键是找到等量关系式.20.(1)第一次购进甲种商品50件,则购进乙种商品115件(2)9折【分析】(1)设第一次购进甲种商品x 件,则购进乙种商品件,根据“第一次以4450元购进甲、乙两种商品”列方程求解即可;(2)设第二次甲商品是按原价打m 折销售,根据“第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样”列方程求解即可.【详解】(1)解:设第一次购进甲种商品x 件,则购进乙种商品件,由题意得:,解得,,因此第一次购进甲种商品50件,则购进乙种商品115件.(2)解:设第二次甲商品是按原价打m 折销售,8000.850590⨯-=160002045%=-⨯400(12080)16000⨯-=4001600016000100(12080)8050045%x +⨯--=⨯⨯20x =2045%(215)x +(215)x +2030(215)4450x x ++=50x =21525015115x +=⨯+=。
第三章一元一次方程3.1.1一元一次方程精选练习答案基础篇一、单选题(共10小题)1.(2019·射阳县华成学校初一期末)已知2(3)18-+=m m x 是关于x 的一元一次方程,则()A .m=2B .m=3C .m=±3D .m=1【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义,即可得出答案.【详解】∵2(3)18m m x-+=是关于x 的一元一次方程∴m -2=1且m+3≠0∴m=3因此答案选择B.【点睛】本题主要考查的是对一元一次方程的定义的掌握,注意在做这一类题目时不仅仅要考虑x 的次数为1,同时还需要考虑x 前面的系数不能为0.2.(2018·泰州市姜堰区第四中学初一期末)若方程ax=2x+b 有无数多个解,则A .a≠2,b≠0B .a≠2,b=0C .a=2,b=0D .a=0,b=0【答案】C【分析】先将方程进行化简,得到(a-2)x=b ,再根据方程有无数个解,得出a-2=0且b=0,据此即可求解.【详解】解:∵ax=2x+b ,∴(a-2)x=b ,∵方程ax=2x+b 有无数多个解,∴a-2=0且b=0,解得:a=2、b=0,故选:C .【点睛】本题考查了一元一次方程的解,含有一个未知数的方程有无数个解的条件,正确理解条件是解题3.若x =-2是方程ax -b =1的解,则代数式4a +2b -3的值为()A .1B .3-C .1-D .5-【答案】D【分析】把x=-2代入ax-b=1得到关于a 和b 的等式,利用等式的性质,得到整式4a+2b-3的值,即可得到答案.【详解】解:把x=-2代入ax-b=1得:-2a-b=1,等式两边同时乘以-2得:4a+2b=-2,等式两边同时减去3得:4a+2b-3=-2-3=-5,故选:D .【点睛】本题考查了一元一次方程的解和代数式求值,正确掌握代入法和等式的性质是解题的关键.4.(2019·四川省遂宁市第二中学校初一期中)下列方程中是一元一次方程的是()A .210x -=B .21x =C .21x y +=D .132x -=【答案】D【分析】根据一元一次方程的定义逐项判断即可.【详解】解:A 项,不是整式方程,故本选项错误;B 项,未知数的次数是2,不是一元一次方程,故本选项错误;C 项,含有两个未知数,不是一元一次方程,故本选项错误;D 项,是一元一次方程,本选项正确;故选D.【点睛】本题考查了一元一次方程的定义:只含有一个未知数,且未知数的次数是1的整式方程.牢记一元一次方程的定义是判断的依据.5.已知2x =是方程26x m +=的解,则m 的值为()A .-2B .0C .2D .10【答案】C【解析】把2x =代入方程26x m +=,即可求出m 的值.【详解】把2x =代入方程26x m +=,得4+m=6,∴m=2.【点睛】本题考查了一元一次方程解得定义,能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.6.(2018·新左旗阿木古郎第二中学初一期中)下列方程中,是一元一次方程的是()A .2x =3B .x 2+1=5C .x=0D .x+2y=3【答案】C【分析】根据只含有一个未知数(元),且未知数的次数是1,这样的方程叫一元一次方程进行分析即可.【详解】A 选项:未知数是分母,不是一元一次方程,故此选项错误;B 选项:未知数次数是2,不是一元一次方程,故此选项错误;C 选项:x=0是一元一次方程,故此选项正确;D 选项:x+2y=3中有两个未知数,不是一元一次方程,故此选项错误;故选:C .【点睛】考查了一元一次方程的定义,关键是掌握一元一次方程属于整式方程,即方程两边都是整式.一元指方程仅含有一个未知数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.7.1x =-是下列哪个方程的解()A .56x -=B .66x +=C .314x +=D .440x +=【答案】D【分析】把x=-1代入方程,看看方程两边是否相等即可.【详解】A 、把x=−1代入方程,左边=−6,右边=6,左边≠右边,所以x=−1不是方程x−5=6的解,故本选项错误;B 、把x=−1代入方程,左边=5,右边=6,左边≠右边,所以x=−1不是方程x+6=6的解,故本选项错误;C 、把x=−1代入方程,左边=−2,右边=4,左边≠右边,所以x=−1不是方程3x+1=4的解,故本选项错误;D 、把x=−1代入方程,左边=0,右边=0,左边=右边,所以x=−1是方程4x+4=0的解,故本选项正确;故选D.【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解。
8.下列方程中,属于一元一次方程的是()A .x+2y =5B .3x+2=0C .2x >3D .4x 2=1【答案】B【分析】只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程,它的一般形式是ax+b=0(a ,b 是常数且a≠0).【详解】A.含有两个未知数,故不是一元一次方程;B.符合一元一次方程的形式;C.是不等式,不是方程;D.未知数的次数不为1,故不是一元一次方程。
故选B.【点睛】此题考查一元一次方程的定义,解题关键在于掌握定义9.下列各方程中,是一元一次方程的是()A .2x y +=B .23x +=C .20x y z ++=D .240x =【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐项分析即可.【详解】A.2x y +=含有2个未知数,故不是一元一次方程;B.23x +=是一元一次方程;C.20x y z ++=含有3个未知数,故不是一元一次方程;D.240x =中未知数的次数是2次,故不是一元一次方程;故选B.【点睛】本题考查了一元一次方程的定义,方程的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做一元一次方程.10.下列方程是一元一次方程的是()A .40x y -=B .10x -=C .23x x -=D .131x +=-【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐项分析即可.【详解】A.40x y -=,含有2个未知数,不是一元一次方程;B.10x -=是一元一次方程;C.23x x -=,未知数的次数是2,不是不是一元一次方程;D.131x+=-,分母含有未知数,不是一元一次方程.故选B.【点睛】本题考查了一元一次方程的定义,方程的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做一元一次方程.提升篇二、填空题(共5小题)11.(2019·湖南中考真题)若关于x的方程3x﹣kx+2=0的解为2,则k的值为____________.【答案】4【分析】直接把x=2代入进而得出答案.【详解】∵关于x的方程3x﹣kx+2=0的解为2,∴3×2﹣2k+2=0,解得:k=4故答案为:4【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解,使方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解;正确把已知数据代入是解题关键.12.(2019·福建省永春第六中学初一期中)若关于x的方程5x+a=12的解是x=2,则a的值为______.【答案】2.【分析】根据方程解的定义,把x=2代入方程即可得出a的值.【详解】∵关于x的方程5x+a=12的解是x=2,∴10+a=12,∴a=2,故答案为2.【点睛】本题考查了一元一次方程的解,掌握方程解的定义,以及一元一次方程的解法是解题的关键.13.(2019·江苏南京一中初一期末)若x=1是关于x的方程2x+3m-5=0的解,则m的值为______.【答案】1.【分析】根据方程解的定义,把x=1代入方程,即可得到一个关于m的方程,从而求得m的值.【详解】把x=1代入方程2x+3m-5=0得2+3m-5=0,解得m=1.故答案为:1.【点睛】考查了一元一次方程的解,理解方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值以及解方程的方法是解决问题的关键.14.(2019·隆昌市知行中学初一期中)若关于x 的方程()125m m x --=是一元一次方程,则_______m =;【答案】-2.【分析】根据一元一次方程的定义可得|m|-1=1且m-2≠0,由此即可求得m 的值.【详解】∵关于x 的方程()125m m x--=是一元一次方程,∴|m|-1=1且m-2≠0,解得m=-2.故答案为:-2.【点睛】本题考查了一元一次方程的定义,熟练运用一元一次方程的定义是解决问题的关键.15.(2019·上海市闵行区七宝第二中学初二期中)如果关于x 的方程(m +2)x =8无解,那么m 的取值范围是_____.【答案】2m =-【分析】根据一元一次方程无解,则m +2=0,即可解答.【详解】解:∵关于x 的方程(m 2)8x +=无解,∴m +2=0,∴m =−2,故答案为:m =−2.【点睛】本题考查了一元一次方程的解,根据题意得出关于m 的方程是解题关键.三、解答题(共1小题)16.(2019·射阳县华成学校初一期末)a 为何值时,-3是关于x 的一元一次方程:a -2x =6x +5-a 的解.【答案】192-【分析】将x=-3代入a -2x =6x +5-a 中,得到关于a 的方程,解方程即可求出a 的值.【详解】∵-3是关于x 的一元一次方程:a -2x =6x +5-a 的解∴a-2×(-3)=6×(-3)+5-a解得a=192-∴a=192-时,-3是关于x 的一元一次方程:a -2x =6x +5-a 的解.【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义:能使一元一次方程左右两边成立的未知数的值是方程的解.。