2003正、余弦定理综合运用2

正、余弦定理的综合应用及应用举例一、综合应用题型一、三角函数的化简、求值例1．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .变式：在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A ．(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值．题型二：三角形的面积公式例2．在△ABC 中,已知C=120°,AC=2,求△ABC 的面积.变式：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A ＝35，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求边a 的长．题型三：三角形中的恒等式证明问题例3．在△ABC 中,角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c,求证:tan tan A B =222222a c b b c a +-+-.变式：在△ABC 中,求证:cos cos a c B b c A --=sin sin B A .二、正、余弦定理在实际中的应用实际测量中的有关名称、术语1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,把视线在水平线上方的角称为仰角,视线在水平线下方的角称为俯角 .如图(1).2.方位角指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角,如方位角是45°,指北偏东45°,即东北方向.3.方向角从指定方向到目标方向线所成的水平角,如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°,如图(2)所示.4.基线在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线 .一般来说,基线越长,测量的精确度越高 .5.坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度 (或叫做坡比).思考:如图所示,OA、OB的方位角各是多少?如何表示OA、OB的方向角?题型一：测量距离问题【角度一】两点不相通的距离例1．如图所示，要测量一水塘两侧A、B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a2＋b2－2ab cos α.若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB长．【角度二】两点间可视但有一点不可到达例2．如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB 的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A、B两点间的距离为________．【角度三】 两点都不可到达例3．如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出AB 的距离，其方法测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．题型二：测量高度问题例1．如图，为了测量河对岸的塔高AB ，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D ，测得CD ＝200米，在C 点和D 点测得塔顶A 的仰角分别是45°和30°，且∠CBD ＝30°，求塔高AB .变式：如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10千米,速度为180千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为30 ,经过2分钟后又看到山顶的俯角为75 ,求山顶的海拔高度.题型三：测量角度问题例。

正余弦定理的综合运用一、教材分析1．教学容：必修5第11.节正弦定理和余弦定理，根据课标要求本书该节共3课时，这是第3课时，其主要容是正余弦定理的综合运用。

2．地位作用：①高考考纲要求：掌握正余弦定理，并能够运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

②高考考察趋势：斜三角形的边角关系以选择题或填空题给出一小题或难度较小的解答题。

二、学生学习情况分析学生在学习本节之前已经分别学习过正弦定理和余弦定理，但学生只是停留在对正弦定理和余弦定理的初步认知阶段，对什么情况下用正弦定理、什么情况下用正弦定理未作进一步的研究，对三角形的边角互换未作进一步的探索。

另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习奠定了一定的根底。

三、教学过程〔一〕课前预习导学1．学习目标〔1〕、进一步熟悉正余弦定理容，并能运用定理解决一些简单的实际问题。

〔2〕、通过正余弦定理综合运用的学习，提高解决实际问题的能力，进一步体会转化化归的数学思想。

〔3〕、通过一题多解、一题多变的训练，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功。

2．教学重点和难点：〔1〕教学重点：利用正余弦定理进展边角互换。

〔2〕教学难点：利用正余弦定理进展边角互换时的转化方向。

3．教学方法：探析归纳，讲练结合 4．自主预习〔1〕知识梳理：正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===〔R 为ABC ∆的外接圆半经〕 正弦定理常见变形公式：①边化角：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ②角化边：sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===③比例：::sin :sin :sin a b c A B C = 余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 余弦定理常见变形公式：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2c a b B ca +-=，222cos 2a b c C ab+-=求角、判别角、边角互化 〔2〕预习检测：1．在△ABC 中，30,120c B C ===，那么______b =2．【2012文】在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的长分别为,,a b c ，假设2a = ，6B π=，c =，那么________b =3．在ABC ∆中，假设7a =，3b =，5c =，那么_________A = 4．在△ABC 中，cos cos b A a B =,那么三角形为〔 〕A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形〔二〕预习检测反缋1．在△ABC 中，30,120c B C ===，那么______b =解：由正弦定理sin sin =b cB C得 小结：两角及其中一个角的对边，选用正弦定理.变式1：在△ABC 中，1,30c b B ===，那么_________A =解：由正弦定理sin sin =b cB C得 ∵>c b ，∴>C B ，∴=C 60或120=C . ∴90=A 或30=A .小结：两边和一边对角，用正弦定理求另一个角，但需要进展讨论，有两解的可能。