案例 最佳灾情巡视路线
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运输及配送路线的规划
第八章运输及配送路线的优化教学目的：使学生理解各种运输方式的特点及运输方式选择的原则，掌握运输方式选择的定量分析法，理解存在中间运转的物资调配方法，掌握旅行商问题和中国邮递员问题的解法以及扫描法和节约法。
基本要求：1、理解各种运输方式的特点；2、掌握运输方式选择的定量分析法；3、理解存在中间运转的物资调配方法；4、掌握旅行商问题和中国邮递员问题的解法。
教学重点：扫描法、节约法教学时数：6学时第一节运输方式的选择运输方式选择的原则当同时存在多种运输方式可供选择的情况下，就需要进行选优抉择。
通常根据各种运输方式的经济特性和服务特征来选择合适的运输方式，即主要依据运输成本、运输速度、可靠性、安全性等指标进行判断和选择。
安全性原则——首要的原则及时性原则准确性原则经济性原则——主要原则货物运输的六大方式：根据运输工具的不同，可分为：水路、公路、铁路、航空、管道和多式联运等运输形式。
在各种运输方式中，如何选择适当的运输方式是物流合理化的重要问题。
可以选择一种运输方式也可以选择使用联运的方式。
运输方式的选择，需要根据运输环境、运输服务的目标要求，采取定性分析及定量分析的方法进行考虑。
运输方式选择的定性分析法定性分析法主要是依据完成运输任务可用的各种运输方式的运营特点及主要功能、货物的特性以及货主的要求等因素对运输方式进行直观选择的方法。
1.单一运输方式的选择单一运输方式的选择，就是选择一种运输方式提供运输服务。
公路、铁路、水路、航空和管道五种基本运输方式各有自身的优点及不足，可以根据五种基本运输方式的优势、特点，结合运输需求进行恰当的选择。
一般要考虑的因素是：•运费的高低•运输时间的长短•频度——运、配送次数•运输能力——运量的大小•货物的安全性——运输途中的破损或污染等•到货时间的准确性各种运输方式的比较2.多式联运的选择多式联运的选择，就是选择两种以上的运输方式联合起来提供运输服务。
在实际运输中，一般只有铁路及公路联运、公路或铁路及水路联运、航空及公路联运得到较为广泛的应用。
灾情巡视路线
B题：灾情巡视路线第六组B ：灾情巡视路线摘要本文针对对受灾区灾情巡视的最佳路线选定问题，采用图论法建立数学模型，求解得到在不同条件下的灾情最佳巡视路线。
对于问题（1），首先将该县的公路网示意图转化为赋权图，再用WinQSB 软件求得该赋权图的最小生成树，根据生成树将赋权图分解为三个子图，运用lingo 软件求出各子图的最小哈密顿圈1C 、2C 、3C ，比较得出各图的最小哈密顿圈即为最佳灾情巡视路线1l 、2l 、3l 。
对于问题（2），先根据问题（1）求得的最佳路线得出公式a t T V243517≤++，算出至少分四组可在24小时内完成巡视；运用与问题（1）相同的方法求出各组的最佳巡视路线。
对于问题（3），运用图论软件包求出各点间的最短距离及各点到县政府的最短路径，计算出单独巡视最远点所需时间即为最短时间，以这个时间为限制，逐层找出巡视路线。
对于问题（4），进行简单讨论，得出结果。
关键词：赋权图 哈密顿圈 最小生成树一、问题重述今年夏天某县遭受水灾。
为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。
巡视的基本路线为从县政府所在地出发，走遍17个乡（镇）、35个村，最后回到县政府所在地。
要求在各条件下求出灾情巡视的最佳路线，具体问题：1.若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
2.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间2=t小时，汽=T小时，在各村停留时间1车行驶速度35V公里/小时。
要再24小时内完成巡视，至少应分几组；给出=这种分组下你认为最佳的巡视路线。
3.在上述关于T，t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。
4.若巡视组数已定（比如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。
下图为该县的乡（镇）、村公路示意图：二、符号说明=il(,2,1)29,分别表示第i组的巡视路线；i)7,C=k(,2,1分别表示所求哈密顿圈；kl表示最短总路程；a 表示巡视组数；i m 表示第i 组巡视的乡（镇）数；i n 表示第i 组巡视的村数； i s 表示第i 组的巡视路线长度三、 模型假设（1） 假设在巡视途中不会遇到塞车、道路毁坏等问题。
最佳灾情巡视路线模型
最佳灾情巡视路线模型【摘要】“图论”是组合数学的分支，它与其他的数学分支，如群论、矩阵论、拓扑学，数值分析有着密切的联系。
在其它科学领域，如计算机科学、运筹学、电网络分析、化学物理以及社会科学等方面图论也具有越来越重要的地位，并已取得丰硕的成果。
而且，图论的理论和方法在数学建模中也有重要应用。
本文概述了一些常用的图论方法和算法，并通过举例（灾情巡视路线）说明其在数学建模中的应用。
【关键词】图论灾情巡视Hamilton回路数学模型预备知识定义1 完全图：如果图G中每一对不同的顶点恰有一条边连接，则称此图为完全图。
定义2 连通图：如果对图G=（V，E）的任何两个顶点u与v，G中存在一条（u-v）路。
则称G是连通图。
定义3 加权图：边上有数的图称为加权图。
在加权图中，链（迹、路）的长度为链（迹、路）上的所有边的权植的和。
定义4 Hamilton回路：图G中的一个回路C称为一个Hamilton回路如果C含有G 的所有顶点。
含有Hamilton回路的图称为Hamilton图。
定义5 欧拉回路：经过图G的每条边的迹称为欧拉迹，如果这条迹是闭的，则称这条闭迹为G的欧拉回路。
一数学建模中常用的图论方法1 迪克斯特拉算法（Dijkstra）1.1问题来源在加权图中，我们经常需要找出两个指定点之间的最短路，通常称为最短路问题。
解决最短路问题的方法之一就是迪克斯特拉算法。
1.2基本思路假定P：V1→V2→ (V)i→…→Vj→…→Vk是从V1到Vk的最短路，则它的子路Vi →…→Vj一定是从Vi到Vj的最短路。
否则从V1出发沿路p走到Vi，,然后沿Vi 到Vj的最短路走到Vj再沿路P从Vj到Vk，这样得到一条新的从V1出发到Vk的路，其长度小于P，与P是最短路的假设矛盾。
1.3算法设G为所有权都为正数的加权连通简单图。
G带有顶点a=V0, V1, (V)n=z,权W(Vi , Vj) ,若(Vi, Vj)不是G中的边，则W(Vi, Vj) =∞for i=1 to nL((Vi)= ∞L(a)=0S=Ф(初始化标记，a的标记为0，其它结点标记为∞，S 为空集)当z不属于S时beginu=不属于S的L（u）最小的一个顶点S=S∪{u}对所有不属于S的顶点Vif L(u)+W(u,v)<L(v) thenL(v)=L(u)+L(u,v) (这样就给S中添加带最小标记的顶点并且更新不在S中的顶点的标记)End (L(z)表示从a到z的最短路的长度) 这个算法经过n-1次循环后必定结束，计算量为1/2（n-1）(n-2)，因而是个有效算法。
数模论文之灾情巡视路线
数模论文之灾情巡视路线（相对优化方案）嘿，各位亲爱的数模爱好者，今天我们来聊聊灾情巡视路线的优化方案。
这个问题可是关系到救援效率和灾民生命安全的头等大事，咱们可得好好研究研究。
先来分析一下现有的巡视路线。
一般来说，现有的路线都是按照行政区域划分，从A点到B点，再到C点，看似合理，但实际上存在很多问题。
比如说，路线过长，导致救援队伍无法在第一时间赶到现场；路线规划不合理，有时候会绕弯路，浪费时间；还有，巡视路线上的重点区域划分不清，容易导致救援资源分配不均。
那怎么办呢？咱们得来个相对优化方案。
下面我就用意识流的方式，给大家详细讲解一下这个方案。
我们要运用图论的知识，对初步的巡视路线进行优化。
具体操作如下：1.将受灾点视为图的节点，受灾点之间的距离视为图的边，建立一张灾情巡视图。
2.运用Dijkstra算法，计算从救援队伍出发点到各个受灾点的最短路径。
3.对最短路径进行排序，优先考虑受灾程度较高的区域。
4.根据道路状况和救援队伍的行动速度，调整路径顺序，使得救援队伍在巡视过程中能够高效地到达各个受灾点。
5.对优化后的巡视路线进行评估，包括救援时间、救援成本、救援效果等方面，确保方案的科学性和实用性。
在这个过程中，我们还要考虑到一些特殊情况。
比如说，有些受灾点因为地形原因，无法直接到达，这时候我们可以采用无人机等先进设备进行巡视。
再比如，有些受灾点之间可能存在交通管制，这时候我们需要及时调整路线，确保救援队伍能够顺利到达。
优化方案有了，就是实施阶段。
我们要与政府部门、救援队伍、志愿者等各方密切配合，确保方案的顺利实施。
具体操作如下：1.制定详细的实施方案，明确各部门的职责和任务。
2.建立一个灾情信息共享平台，实时更新受灾点的受灾情况和救援进度。
3.对救援队伍进行培训，提高他们的救援技能和应对突发事件的能力。
4.加强宣传，提高公众对灾情巡视路线优化方案的认识和支持。
5.定期对方案进行评估和调整，以适应不断变化的灾情和救援需求。
灾区巡视--最佳路线-选择问题-数学建模
灾难最佳巡视路线摘要本文解决的是对全县的乡镇和村庄进行灾情巡视最佳线路的求解问题，多旅行售货问题。
问题一是三个旅行售货问题，问题二是四个旅行售货问题。
我们可以运用图论的知识并且考虑气均衡性，建立起约束最优化线路模型来解决这个问题。
关键词：Hamilton圈多旅行售货问题最小生成树问题今年夏天该县遭受水灾。
为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。
巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。
1.若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
2.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。
要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。
1.问题重述问题1：若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线图问题2：假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。
要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。
问题3：在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。
问题4：若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。
2.模型的假设及符号说明2.1模型假设假设1：假设汽车在路上以V匀速行驶，且不停留，不考虑故障，忽略外部因素影响假设2：巡视过程中除了正常停留外，没有因其它因素造成时间延误假设3：巡视路线可以重复假设4：对于要多次经过的乡(镇)或村只停留一次假设5：每个巡视人员只能走自己划分区域内的路线2.2符号说明G：表示加权图Gi：表示子图V：表示顶点，每一个乡(镇)或村看成一个点E：表示边，乡(镇)或村之间的路线w(x，y)：表示权重，乡(镇)或村之间的距离S：表示回路路程总和ə：表示路程均衡度Li：表示每一条子回路T：表示在每个乡(镇)停留的时间I：表示在每个村停留的时间Ti：表示第i组的巡视时间V：表示汽车行驶速度Z：表示划分的区域数N：表示乡(镇)的数目N：表示村的数目Ni：表示第i组巡视乡(镇)的数目Ni：表示第i组巡视村的数目M：表示所分的组数v ：表示时间均衡度3.问题分析本文研究的是最佳巡视路线设计问题，要求从O点出发巡视完所有乡(镇)村后，在回到O点，此问题可以转化为旅行商问题，再设计相应的算法求解针对问题一：问题一要求设计3组巡视总路程最短且尽可能均衡，首先我们通过主观筛选法将原图划分为3个子图，每个子图顶点数大约为17个，相邻的点划在一个子图中，且尽量使每个子图构成一个回路，这样将原问题转化为单旅行商问题求解针对问题二：问题二在问题一的基础上加了时间的限制，在每一个顶点都有停留时间，且在24小时巡视完。
数学建模案例分析5.建模案例：最佳灾情巡视路线
建模案例：最佳灾情巡视路线这里介绍1998年全国大学生数学模型竞赛B题中的两个问题.一、问题今年夏天某县遭受水灾.为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视.巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线.1．若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的路线.2．假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2h，在各村停留时间t=1h，汽车行驶速度V=35km/h.要在24h内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.乡镇、村的公路网示意图见图1.图1二、假设1．汽车在路上的速度总是一定，不会出现抛锚等现象；2．巡视当中，在每个乡镇、村的停留时间一定，不会出现特殊情况而延误时间；3．每个小组的汽车行驶速度完全一样；4．分组后，各小组只能走自己区内的路，不能走其他小组的路（除公共路外）.三、模型的建立与求解将公路网图中，每个乡（镇）或村看作图中的一个节点，各乡（镇）、村之间的公路看作图中对应节点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化为在给定的加权网络图中寻找从给定点O 出发，行遍所有顶点至少一次再回到O 点，使得总权（路程或时间）最小，此即最佳推销员回路问题.在加权图G 中求最佳推销员回路问题是NP —完全问题，我们采用一种近似算法求出该问题的一个近似最优解，来代替最优解，算法如下：算法一 求加权图G （V ，E ）的最佳推销员回路的近似算法：1． 用图论软件包求出G 中任意两个顶点间的最短路，构造出完备图),(E V G ''，()E y x '∈∀,， ()(),,G x y mind x y ω=；2． 输入图G '的一个初始H 圈；3． 用对角线完全算法产生一个初始H 圈；4． 随机搜索出G '中若干个H 圈，例如2000个；5． 对第2、3、4步所得的每个H 圈，用二边逐次修正法进行优化，得到近似最佳H 圈；6． 在第5步求出的所有H 圈中，找出权最小的一个，此即要找的最佳H圈的近似解.由于二边逐次修正法的结果与初始圈有关，故本算法第2、3、4步分别用三种方法产生初始圈，以保证能得到较优的计算结果.问题一 若分为3组巡视，设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线.此问题是多个推销员的最佳推销员回路问题.即在加权图G 中求顶点集V 的划分12,,,n V V V ，将G 分成n 个生成子图[][][]12,,...,n G V G V G V ，使得（1）顶点i V O ∈, i =1，2，3,…,n ；（2）()G V V n i i== 1 ；（3）()()(),m ax m ax i j i ji i C C C ωωαω-≤，其中i C 为i V 的导出子图[]i V G 中的最佳推销员回路，()i C ω为i C 的权，i ，j =1，2，3,…,n ；（4）()1ni i C ω=∑取最小.定义 称()()(),0m ax m ax i j i ji i C C C ωωαω-=为该分组的实际均衡度.α为最大容许均衡度.显然100≤≤α，0α越小，说明分组的均衡性越好.取定一个α后，0α与α满足条件（3）的分组是一个均衡分组.条件（4）表示总巡视路线最短.此问题包含两方面：第一，对顶点分组；第二，在每组中求最佳推销员回路，即为单个推销员的最佳推销员问题.由于单个推销员的最佳推销员回路问题不存在多项式时间内的精确算法，故多个推销员的问题也不存在多项式时间内的精确算法.而图中节点数较多，为53个，我们只能去寻求一种较合理的划分准则，对图１进行粗步划分后，求出各部分近似最佳推销员回路的权，再进一步调整，使得各部分满足均衡性条件（3）.图2 O点到任意点的最短路图（单位：km）从O点出发去其他点，要使路程较小应尽量走O点到该点的最短路.故用图论软件包求出O点到其余顶点的最短路，这些最短路构成一棵以O为树根的树，将从O点出发的树枝称为干枝，见图2，从图中可以看出，从O点出发到其它点共有6条干枝，他们的名称分别为①，②，③，④，⑤，⑥.根据实际工作的经验及上述分析，在分组时应遵从以下准则：准则一：尽量使同一干枝及其分枝上的点分在同一组；准则二：应将相邻的干枝上的点分在同一组；准则三：尽量将长的干枝与短的干枝分在同一组.由上述分组准则，我们找到两种分组形式如下：分组一：（⑥，①），（②，③），（⑤，④）；分组二：（①，②），（③，④），（⑤，⑥）．显然分组一的方法极不均衡，故考虑分组二.对分组二中每组顶点的生成子图，用算法一求出近似最优解及相应的巡视路线.使用算法一时，在每个子图所构造的完备图中，取一个尽量包含图2中树上的边的H圈作为其第2步输入的初始圈.分组二的近似解见表1.因为该分组的均衡度0α=()()()121,2,3241.9125.5m ax 241.9i i C C C ωωω=--==54.2%所以此分法的均衡性很差.为改善均衡性，将第Ⅱ组中的顶点C ，2，3，D ，4分给第Ⅲ组（顶点2为这两组的公共点），重新分组后的近似最优解见表2.因该分组的均衡度=0α()311,2,3216.4191.1m ax 216.4i i C C C ωωω=--==11.69%所以这种分法的均衡性较好.问题二 当巡视人员在各乡（镇）、村的停留时间一定，汽车的行驶速度一定，要在24h 内完成巡视，至少要分几组及最佳的巡视路线.由于T =2h ，t =1h ，V =35km/h ，需访问的乡镇共有17个，村共有35个.计算出在乡（镇）及村的总停留时间为17⨯2h+35h=69h ，要在24h 内完成巡回，若不考虑行走时间，有: 2469<i (i 为分的组数).得i 最小为4，故至少要分4组.由于该网络的乡（镇）、村分布较为均匀，故有可能找出停留时间尽量均衡的分组，当分4组时各组停留时间大约为69h 17.254=h ，则每组分配在路途上的时间大约为24h-17.25h=6.75h.而前面讨论过，分三组时有个总路程599.8km 的巡视路线，分4组时的总路程不会比599.8km 大太多，不妨以599.8km 来计算.路上时间约为599.8h 1735=h ，若平均分配给4个组，每个组约需417h=4.25h〈6.75h ，故分成4组是可能办到的.现在尝试将顶点分为4组.分组的原则：除遵从前面准则一、二、三外，还应遵从以下准则：准则四：尽量使各组的停留时间相等.用上述原则在图2上将图分为4组，同时计算各组的停留时间,然后用算法一算出各组的近似最佳推销员巡回，得出路线长度及行走时间，从而得出完成巡视的近似最佳时间.用算法一计算时，初始圈的输入与分3组时同样处理.这4组的近似最优解见表3.加框的表示此点只经过不停留.该分组实际均衡度0α==-74.2269.2174.22 4.62%可以看出，表3分组的均衡度很好，且完全满足24h 完成巡视的要求.。
案例：最佳灾情巡视路线共22页
故用软件包求出O点到其余顶点的最短路. 这些最短路构成一棵O为树根的树. 将从O点出发的树枝称为干枝.
准在则由分1 上尽组述量时分使应组同遵准一从则干准，枝则我上：们及找其到分两枝种上分的组点形分式在如同下一：组. 准分则从组2O1点应:（出将⑥发相，到邻①其的）它干，点枝（共上②有的，6点条③分干）在枝，同，（一它⑤组们，；的④名）称 分准分别则组为32尽①:（量，①将②，长，②的③）干，，枝④（与，③短⑤，的，④干⑥）枝. ，分（在⑤同，一⑥组）. 分组1极不均衡,故考虑分组2.
解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较大
的问题可使用近似算法来求得近似最优解.
6. 最佳灾情巡视路线的模型的建 立与求解
问题转化为在 给定的加权网 络图中寻找从
给定点O出发, 行遍所有顶点 至少一次再回 回到点O ,使得 总权(路程或时 时间)最小,即 最佳旅行售货 员问题.
近证第因似最能2二)算佳得，边法旅到3逐)求行，较次其售4优修)一货步的正个员分计法近问别算的似题用结结最是三果果优N种. 与P解方—初，法完始来产全圈代生问有替初题关最始,,采故优圈用本解，一算.以种法保 算法一 求加权图的最佳旅行售货员回路近似算法:
修正法进行优化，得到近似最优H圈；
6) 在第5)步求出的所有H圈中，找出权最小的一个, 此即要找的最优H圈的近似解.
问题一 若分为三组巡视，设计总路程最短且各
组尽可能均衡的巡视路线.
此问题是多个售货员的最佳旅行售货员问题.
即在加权图G中求顶点集V 的划分V1,V2,,Vn，将G
分成 n 个生成子图G[V1], G[V2 ],, G[Vn
1) 顶点O Vi, i 1,2,3,,n. 2)
]，使得
n Vi V
准在则由分1 上尽组述量时分使应组同遵准一从则干准，枝则我上：们及找其到分两枝种上分的组点形分式在如同下一：组. 准分则从组2O1点应:（出将⑥发相，到邻①其的）它干，点枝（共上②有的，6点条③分干）在枝，同，（一它⑤组们，；的④名）称 分准分别则组为32尽①:（量，①将②，长，②的③）干，，枝④（与，③短⑤，的，④干⑥）枝. ，分（在⑤同，一⑥组）. 分组1极不均衡,故考虑分组2.
解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较大
的问题可使用近似算法来求得近似最优解.
6. 最佳灾情巡视路线的模型的建 立与求解
问题转化为在 给定的加权网 络图中寻找从
给定点O出发, 行遍所有顶点 至少一次再回 回到点O ,使得 总权(路程或时 时间)最小,即 最佳旅行售货 员问题.
近证第因似最能2二)算佳得，边法旅到3逐)求行，较次其售4优修)一货步的正个员分计法近问别算的似题用结结最是三果果优N种. 与P解方—初，法完始来产全圈代生问有替初题关最始,,采故优圈用本解，一算.以种法保 算法一 求加权图的最佳旅行售货员回路近似算法:
修正法进行优化，得到近似最优H圈；
6) 在第5)步求出的所有H圈中，找出权最小的一个, 此即要找的最优H圈的近似解.
问题一 若分为三组巡视，设计总路程最短且各
组尽可能均衡的巡视路线.
此问题是多个售货员的最佳旅行售货员问题.
即在加权图G中求顶点集V 的划分V1,V2,,Vn，将G
分成 n 个生成子图G[V1], G[V2 ],, G[Vn
1) 顶点O Vi, i 1,2,3,,n. 2)
]，使得
n Vi V
灾情巡视路线的最优化方案(刘)
约束最优路线的模拟退火一、问题描述今年夏天该县遭受水灾。
为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。
巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。
１．若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
２．假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里／小时。
要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。
３．在上述关于T，t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。
４．若巡视组数已定（如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。
二、问题分析及模型的建立因为是分组巡视（不妨设分N组），要直接确定一个组巡视哪些地点是困难的。
由于将各组巡视的路线连接起来可看成一条N次相继从县城出发又回到县城的路线，这样，多组巡视就化成了单组巡视。
经分析，我们认为前3问及第4问计算部分都是组合规划中的约束优化问题，均属以模型()()()nj x g mi x h st x f j i ,,2,1,0,,2,1,0.min ⋯=≥⋯== （I ） 为基础的约束最优路线模型。
下面根据各问的要求，分别对4个问题进行具体讨论。
对于问题1，如果选取总路程最短的所有巡视路线中最均衡的，一般这一路线仍会很不均衡。
故除了要总路程短，另需“均衡”提出一定的要求，即组间巡视路线的长度差不大于某给定值L 。
还有路线能够分成3次从县城O 出发再回到O 、各组经过地点的并集为所有顶点的集合只之约束。
模型如下：()APLf f Nn st f f F n i i =≤-=-+≤≤ 1min max min max .min λ (II) 其中F 为巡视总路程，N 为要求的分组数（本问N=3），n 是优化过程中路线的实际分组数，f max 和f min 分别为n 组中最长和最短组的巡视路程，P i 为第i 组巡视地点的集合，A 是所有顶点的集合。
灾情巡视路线选择
根据上述的问题分析，先把 6 个干枝编号①-⑥，把①②分为一组，③④分 为一组，⑤⑥分为一组。分组如下：
计算其总距离与均衡度，计算结果如下：
均衡度α
=
241.9−125.5 241.9
= 48.12%
由上面的计算结果可以看出， 其总距离较短但是均衡度较大， 所以这种划分不合 理要进行优化。所以要将现有的路线进行手工改进，稍稍改变其路线，调整均衡 度，改进后的结果如下：
195.8
22.59
Ⅱ
162.4
22.64
Ⅲ
156.9
21.48
Ⅳ
186.6
22.33
我们可以看出 4 条路线的巡视都在 24 小时内完成，而且都控制在 23 小时内，路 线划分合理。
问题三 3.3.1 问题分析 对于问题三，我们可以从题目得到，巡视的人员足够多，但是务必要求在最 短的时间内完成巡视。 要求最短的时间， 就应该求出离县委政府 O 最远的乡 （镇） 或村所需的时间，且在途经的乡（镇）或村不作停留，这样才能求出最短的巡视 时间。我们要得到最佳的巡视路线，尽管人员足够多，我们还是应当避免不必要 的人力物力的浪费， 每组完成巡视的时间应当尽量差不多。根据最小生成树及该 县地图还有求出的最短的巡视时间，我们将整个巡视路线进行统筹规划，合理分 组。 3.3.2 问题解答 我们通过计算可得离县委政府 O 最远的乡 （镇） 为 H， 到 H 所需的时间至少是 6.43 小时。并通过最小生成树及该县的地图进行合理的分组。显然，其余组的时间要 小于第一组 O-H-O 的时间 6.43 小时，根据统筹学，我们进行了合理的划分和计 算。详细如下表： 小组名 称 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组 第九组 第十组 第十一 组 第十二 组 第十三 组 第十四 组 第十五 组 路线 O-H-O O-3-D-4-D-3-2-O O-2-5-6-M-O O-2-5-6-7-E-9-F-12-F-9-E-7-6-5-2-O O-2-5-6-7-E-9-F-10-F-9-E-7-6-5-2-O O-2-5-6-E-11-G-11-E-6-5-2-O O-2-5-6-7-E-9-F-9-E-7-6-5-3-O O-2-5-6-7-E-11-E-8-E-8-E-11-E-7-6-5-2-O O-2-5-6-L-20-L-6-5-2-O O-2-5-6-L-19-J-13-14-13-J-19-L-6-5-2-O O-2-5-6-L-19-J-19-L-6-5-2-O O-M-25-21-K-17-16-17-K-21-25-M-O O-M-25-21-K-18-I-15-I-18-K-21-25-M-O O-M-25-21-K-18-I-18-K-21-25-M-O O-M-25-21-K-21-25-M-O 所用时间 （h） 6.43 5.99 6.34 5.85 5.76 5.58 6.15 5.65 5.54 6.15 6.10 5.45 5.99 5.49 5.49 停留地 时间差 点 （h） H 0 3、4、D 0.44 2、3、5、 0.09 M 9、12 0.58 7、10 0.67 G 0.85 F、E 0.28 8、11 0.78 L、20 0.89 13、14 0.28 19、J 16、17 15、18 I 21、K 0.33 0.98 0.44 0.94 0.94
铁路部门在洪水期间的线路巡查与险情处置方案
铁路部门在洪水期间的线路巡查与险情处置方案洪水是自然灾害之一，不仅对生命安全造成严重威胁，还经常给交通基础设施带来巨大的破坏。
铁路是我国重要的交通干线，洪水期间对铁路线路的巡查和险情处置显得尤为重要。
本文将从洪水对铁路线路的影响、巡查要点和险情处置方案三个方面展开论述。
一、洪水对铁路线路的影响洪水期间，强降雨导致河水水位上涨，河道溢出，水流冲刷使得铁路路基和桥梁面临崩塌、冲毁的危险。
此外，水流可能还会冲刷土石流、泥石流等物质，堵塞铁路线路，影响通行。
洪水还会带来较大的浸水面积，对线路设备设施造成破坏，如信号设备短路等。
二、线路巡查要点在洪水期间，铁路部门需加强对线路的巡查，确保线路的安全通行。
线路巡查应包括以下要点：1. 桥梁巡查：洪水容易对桥梁造成较大威胁，巡查人员应注意观察桥梁的河床侧和岸侧基础是否有冲刷现象，是否出现明显龟裂、位移等情况。
2. 路基巡查：巡查人员需检查路基的稳定性，特别是易于滑坡或冲毁的地段，如山体边坡等，确保路基的完好。
3. 设备设施巡查：巡查人员应关注与铁路运行相关的设备设施，如信号设备、电力设备等，排查是否有浸水、短路等情况。
4. 水流冲击观察：巡查人员需要观察水流对线路的冲击情况，确保线路没有被冲击变形或冲垮。
三、险情处置方案一旦发现洪水导致的险情，铁路部门需迅速采取行动，及时处置，以保障铁路运行的安全。
险情处置方案应包括以下内容：1. 抢险队伍组建：铁路部门应提前组织抢险队伍，确保人员的到位和装备的准备，以便迅速投入抢险行动。
2. 沟通协调：铁路部门需与有关部门紧密合作，共享信息，及时了解洪水情况和险情发展，以便采取恰当的处置措施。
3. 保护现场：险情处置时，应优先保护人员的安全，严禁擅自靠近险情现场，确保人员的生命安全。
4. 临时修复：对于无法立即恢复通行的险情，铁路部门应采取临时修复措施，如设置临时支撑桥梁、修复路基等，确保线路安全通行。
5. 事后检查：洪水过后，铁路部门应对受影响的线路进行全面检查，及时修复存在的问题，确保线路的安全运营。
matlab数学建模30个案例分析
案例4：基于微分方程的最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度，一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼的最优捕鱼策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，…,4龄组,各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克）各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109× 个，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵 产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22 × /1.22× +n）
案例12：基于主成分分析的长江水质的评价和预测模型
运用主成分分析法对长江流域主要城市水质检测报告进行分析，选取主成分，并把主成分得分按方差贡献率加权求和，得出每个地区的污染综合评价指数，进而可以计算每个月长江流域的污染综合评价指数。
第三部分 优化问题
案例13：基于线性规划求解飞行管理模型
第二部分 评价问题
案例7：基于层次分析法的高考志愿选择策略
一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个数学模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。成都丙、重庆丁四所大学。
现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员。该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、 (2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。
招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿。
11水灾巡视
水灾巡视的最佳路线研究与设计肖云霞范金萍俞亚君摘要本文为灾情巡视路线问题，将从乡政府（O点）出发走遍各乡村的线路选择的问题抽象为图论问题，使用邻接算法以及哈密尔顿圈的逐次近似修正思想在Matlab程序环境下求解最优解。
对于问题一，将乡（镇）、村的公路网示意图（附录1）看成连通无向图G，并建立邻接矩阵，通过Floyd算法求出任意两点的最短距离，为了方便用最小生成树导出完备图G’，即O点到任意顶点的最短距离图，最后通过直接搜索哈密顿H圈的方法搜索路线，并用“启发式算法”进行优化，得出问题一的结果为：Ⅰ：179，Ⅱ：197.7，Ⅲ：210.5，总和为587.2。
通过计算式可求出其均衡度为0.16, 满足要求。
对于问题二，首先通过数据计算证明得到最少分组情况，然后利用问题一的方法设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线，并对路线进行优化分析，得到最优路线为：各组所走的路程分别为(单位:公里)Ⅰ：142.2 Ⅱ：140.7 Ⅲ：150.03 Ⅳ：161.5各组所需的时问分别为单位:小时) Ⅰ：22.02 Ⅱ：21.03 Ⅲ：22.40 Ⅳ：22.57各组所走路程总和为(单位:公里)594.43 ,总共所需的时间为(单位:小时)22.57，可以求出其均衡度为0.13。
对于问题三，建立总时间关于T、t和V的关系式，通过控制变量法分别讨论T、t 和V的变化对最佳巡视路线的影响。
对于问题四，由前几问中确定组数推及到多组巡视的情况，通过不断地修改近似，可以得出不同巡视分组数的一系列数据，通过比较可以清楚直观地得出结论,即巡视员到H点，停留2小时后返回县政府，共用6.43小时．也就是最快完成巡视的时间。
最后本文还对实现巡视的具体方案给出了建议，对各模型在实际中的应用价值进行了详细讨论，并提出了改进方案。
关键字：邻接矩阵，Floyd算法，最小生成树，启发式算法1问题重述1998年夏天长江淮河流域发生了百年一见的特大洪水，全国人民都在奋力的抗洪抢险，一方有难，八方支援。
灾情巡视路线程序
9附录附录一：Kruskal最小树成法程序clear all%图论最小生成树Kruskal避圈算法%w为邻接矩阵w=[0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 10.3 5.9 11.2 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 6 inf inf inf ; inf 0 4.8 inf 8.3 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 8.2 inf inf inf ;inf 4.8 0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 7.8 8.2 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf 0 inf inf inf 20.4 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 12.7 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ; inf 8.3 inf inf 0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 11.3 inf inf inf inf inf inf inf inf 11.4 inf inf inf inf inf ; inf inf inf inf 9.7 0 7.3 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 11.8 9.5 inf inf inf inf inf ; inf inf inf inf inf 7.3 0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 15.1 7.2 inf inf inf inf inf inf 14.5 inf inf inf inf inf inf ; inf inf inf 20.4 inf inf inf 0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf 8 inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf 7.8 5.6 inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf 10.8 inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf 14.2 inf 6.8 infinf 13.2 inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf 12.2 7.8 10.2 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf 0 8.6 inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf 8.8 inf 16.4 9.8 inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf 8.6 0 15 inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf 9.9 infinf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf 15 0 inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 8.8inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf 0 6.8 inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 11.8 inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf 6.8 0 inf inf inf inf 6.7inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf 9.8 inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf 0 inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 8.28.2 9.2 inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf 0 9.3 inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf8.1 inf 7.2 inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf 9.3 0 7.9 infinf inf 6.5 inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf 5.5 inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf 7.9 0 inf9.1 inf 7.8 inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf 4.1 inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf 6.7 inf inf inf inf 0 10 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 10.1 inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf 9.1 100 8.9 inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf 7.9 inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf8.9 0 inf inf 18.8 inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf 13.2 inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf 6.5 7.8 infinf inf 0 inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf 12 8.8 inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf 0 7.8 inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf 10.5 inf 10.5 infinf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf 18.8 inf 7.8 0 7.9 inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf 7.9 0 inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf 12.1 8.3 inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf 0 inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf 15.2 7.2 7.8 ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf 10.3 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf 7.7 inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf 0 8.1 7.3inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf 9.2 ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf 8.1 0 19 inf 14.9 inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf 10.3 7.3 190 inf inf 7.4 inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf0 8.2 11.5 17.8 inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf 14.9 inf 8.2 0 inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;10.3 inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf7.4 11.5 inf 0 inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 8.8 ;5.9 inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 17.8 inf inf 0 11 inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;11.2 inf 7.8 inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf 11 0 inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf 11.5 inf inf inf ;inf inf 8.2 12.7 11.3 inf 15.1 infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf ;inf inf inf inf inf inf 7.2 8 7.8 inf 14.2 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf 0 inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf 5.6 10.8 inf 12.2 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 6.87.8 8.8 inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 10.2 inf 9.9 inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf 16.4 inf inf 11.8 inf 8.2 inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf 0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 13.2 inf 9.8 inf inf inf inf 8.2 8.1 inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf0 inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf 9.8 9.2 inf inf 4.1 10.1 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf 0 inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf 11.8 14.5 inf infinf inf inf inf inf 8.8 inf inf inf 7.2 5.5inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf 0 inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf 11.4 9.5 inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf 12 inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf 0 14.2 19.8 inf infinf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf7.9 13.2 8.8 10.5 inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf inf inf inf inf infinf inf inf inf inf 14.2 0 inf inf infinf ;6 8.2 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 11.5 inf inf inf inf inf inf inf inf inf 19.8 inf 0 10.1 inf 12.8 ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 10.5 inf 12.1 15.2 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 10.1 0 inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 8.3 7.2 7.7 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 7.8 inf 9.2 inf inf inf inf 8.8 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 12.8 inf inf 0 ;];n=53;%有53个点k=1;for i=1:n-1for j=i+1:nif w(i,j)~=infx(1,k)=w(i,j);%记录边x(2,k)=i;%记录起点x(3,k)=j;%记录终点k=k+1;endendendk=k-1;%统计边数 k为边数%步骤一%冒泡法给边的大小排序for i=1:kfor j=i+1:kif x(1,i)>x(1,j)a=x(1,i);x(1,i)=x(1,j);x(1,j)=a;a=x(2,i);x(2,i)=x(2,j);x(2,j)=a;a=x(3,i);x(3,i)=x(3,j);x(3,j)=a;endendend%给各点标号赋初值for i=1:nl(i)=i;end%初始时选e1加入集合EE(1,1)=x(1,1); %E矩阵的第一行记录最小生成树的边长E(2,1)=x(2,1); %E矩阵的第二行记录边的起点E(3,1)=x(3,1); %E矩阵的第三行记录边的终点a=min([l(E(2,1)),l(E(3,1))]);l(E(2,1))=a;l(E(3,1))=a;b=1;%记录E中边数for i=2:k%步骤四if b==n-1 %如果树中边数达到n-1break%算法终止end%步骤二if l(x(2,i))~=l(x(3,i)) %如果两顶点标号不同b=b+1; %将这条边加入EE(1,b)=x(1,i);E(2,b)=x(2,i);E(3,b)=x(3,i);%步骤三for j=1:n %对于所有顶点if l(j)==max([l(E(2,b)),l(E(3,b))])%如果该顶点的标号,等于=,新加入边中的顶点标号较大的值l(j)=min([l(E(2,b)),l(E(3,b))]);%将其改为较小的那一个以避圈endendendendE附录二：问题一的求解程序1、计算强加权矩阵程序%floyd 算法通用程序，输入a为赋权邻接矩阵%输出为距离矩阵D，和最短路径矩阵pathfunction [D,path]=floyd(a)a=[0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 10.3 5.9 inf 6 inf inf inf ; inf 0 8.9 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 7.9 inf inf inf inf ;inf 8.9 0 inf 18.8 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 13.2 inf inf inf inf ; inf inf inf 0 7.8 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 10.5 inf 10.5 inf inf ;inf inf 18.8 7.8 0 7.9 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf 7.9 0 inf inf inf inf infinf inf inf inf inf inf 12.1 8.3 inf ;inf inf inf inf inf inf 0 inf inf inf infinf inf inf inf inf inf 15.2 7.2 7.8 ;inf inf inf inf inf inf inf 0 inf 10.3 inf inf inf inf inf inf inf inf 7.7 inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf 0 8.1 7.3inf inf inf inf inf inf inf inf 9.2 ;inf inf inf inf inf inf inf 10.3 8.1 0 19 inf 14.9 inf inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf 7.3 19 0inf 20.3 7.4 inf inf inf inf inf inf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf0 8.2 11.5 17.8 inf inf inf infinf ;inf inf inf inf inf inf inf inf inf 14.9 20.3 8.2 0 inf inf inf inf inf inf inf ; 10.3 inf inf inf inf inf inf inf inf inf7.4 11.5 inf 0 inf inf inf inf inf 8.8 ;5.9 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 17.8 inf inf 0 inf inf inf inf inf ;inf 7.9 13.2 10.5 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf inf inf ;6 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 10.1 inf 12.8 ;inf inf inf 10.5 inf 12.1 15.2 inf inf inf inf inf inf inf inf inf 10.1 0 inf inf ;inf inf inf inf inf 8.3 7.2 7.7 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf ;inf inf inf inf inf inf 7.8 inf 9.2 inf inf inf inf 8.8 inf inf 12.8 inf inf 0 ;];n=size(a,1);D=a;path=zeros(n,n);for i=1:nfor j=1:nif D(i,j)~=infpath(i,j)=j;endendendfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);path(i,j)=path(i,k);endendendend2、第1组巡视最短路线程序（第2，3组只变换数据）。
行遍性问题
定义 在加权图G=(V,E)中， （１）权最小的哈密尔顿圈称为最佳 圈． 最佳H圈 最佳 （２）经过每个顶点至少一次的权最小的闭通路称为最 最 佳推销员回路． 佳推销员回路 一般说来，最佳哈密尔顿圈不一定是最佳推销员回 路，同样最佳推销员回路也不一定是最佳哈密尔顿圈．
H回路，长22
最佳推销员回路，长4
算法步骤： 算法步骤：
（１）用 Floyd 算法求出的所有奇次顶点之间的最短路径和距离．
（２）以 G 的所有奇次顶点为顶点集（个数为偶数） ，作一完备图， 边上的权为两端点在原图 G 中的最短距离， 将此完备加权图记为 G1．
（３）用Edmonds算法求出G1的最小权理想匹配 最小权理想匹配M，得到奇次顶点的 最小权理想匹配 最佳配对．
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（二）推销员问题
流动推销员需要访问某地区的所有城镇，最后回到出 发点．问如何安排旅行路线使总行程最小．这就是推销 推销 员问题． 员问题 若用顶点表示城镇，边表示连接两城镇的路，边上的 权表示距离（或时间、费用），于是推销员问题就成为 在加权图中寻找一条经过每个顶点至少一次的最短闭通 路问题．
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二、推 销 员 问 题 （一）哈密尔顿图
定义 设G=(V,E)是连通无向图 １ ２ ３ 经过G的每个顶点正好一次的路径，称为G的一条哈密尔顿路径 哈密尔顿路径． 哈密尔顿路径 经过G的每个顶点正好一次的圈，称为G的哈密尔顿圈 哈密尔顿圈或H圈． 哈密尔顿圈 含H圈的图称为哈密尔顿图 哈密尔顿图或H图． 哈密尔顿图 图
用 Floyd 算法求出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ们之间的最短路径和距离：
2．以 v4、v7、v8、v9 为顶点，它们之间的距离为边权构造完备图 G1．
3．求出 G1 的最小权完美匹配 M={(v4,,v7),(v8,v9)}
灾情巡视路线的数学模型之欧阳与创编
灾情巡视路线的数学模型摘要本文是解决灾情巡视路线最佳安排方案的问题。
某县领导将带人下乡巡视灾情，打算从县城出发，视察所有乡、村后返回县城。
为确定安排巡视路线，本文将此安排问题转化为旅行售货员问题，建立了四个最优化模型解决问题。
对于问题一,建立了双目标最优化模型。
首先将问题一转化为三个售货员的最佳旅行售货员问题，得到以总路程最短和路程均衡度最小的目标函数，采用最短路径的Dijkstra算法，并用MATLAB软件编程计算，得到最优树图，然后按每块近似有相等总路程的标准将最优树分成三块，最后根据最小环路定理，得到三组巡视路程分别为208.8km、205.3km和210.5km，三组巡视的总路程达到624.6km，路程均衡度为2.47%,具体巡视路线安排见表1。
对于问题二，建立了单目标最优化模型。
首先根据条件计算可确定至少要分4组巡视，于是可将问题转化为四个售货员的最佳旅行售货员问题，采用Kruskal算法求出巡视路线的最小生成树。
再根据求最优哈密顿圈的方法，运用LINGO软件编程计算，求出了各组的最佳巡视路线。
各组巡视的路程分别为154.3km、184km、136.5km、186.4km，时间分别为22.41h、22.26h、21.90h、21.33h,时间均衡度为4.82%，具体巡视路线安排见表2。
对于问题三,建立了以最少分组数为目标函数的单目标最优化模型。
运用问题一中最短路径的Dijkstra 算法，运用LINGO软件编程计算,得到从县城到各点的最短距离，再经过计算可得到本问的最短巡视时间为6.43小时。
最后采用就近归组的搜索方法，逐步优化，最终得到最少需要分22组进行巡视，具体的巡视方案见表3。
对于问题四，建立了单目标优化模型，并且对变量进行讨论。
在分析乡（镇）停留时间T，村庄停留时间t和汽车行驶速度V的改变对最佳巡视路线的影响时，我们通过控制变量的变化，初步的得出了当T与t 变化时和V变化时对最佳巡视路线的影响。
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现在尝试将顶点分为4组.分组的原则：除遵从 前面准则1、2、3外，还应遵从以下准则：
准则4 尽量使各组的停留时间相等. 用上述原则在下图上将图分为4组，同时计算 各组的停留时间,然后用算法一算出各组的近似最 最佳旅行售货员巡回，得出路线长度及行走时间, 从而得出完成巡视的近似最佳时间. 用算法一计 计算时，初始圈的输入与分三组时同样处理. 这4组的近似最优解见表3.
1,2,3,..., n.
4) (Ci) min
i1
max | (Ci ) (C j ) |
定义 称0 i, j max (Ci )
为该分组的实际
i
均衡度. 为最大容许均衡度.
显然0 0 1，0越小，说明分组的均衡性越
好. 取定一个 后，0与 满足条件 3）的分组是
该分组实际均衡度 02.2724 .2724.1694.62%
可看出,表3分组的均衡度很好,且完全满足24 小时完成巡视的要求.
II —22—17—16—17—K—22—23—N—26—P—O
199.2
16 5.69
21.69
O—M—25—20—21—K—18—I—15—14—13—J III —19—L—6—M—O
159.1
18 4.54
22.54
O—R—A—33—31—32—35—34—B—1—C—3 —
IV D—4—D—3—2—O
修正法进行优化，得到近似最优H圈；
6) 在第5)步求出的所有H圈中，找出权最小的一个, 此即要找的最优H圈的近似解.
问题一 若分为三组巡视，设计总路程最短且各
组尽可能均衡的巡视路线.
此问题是多个售货员的最佳旅行售货员问题.
即在加权图G中求顶点集V 的划分V1,V2, ,Vn，将G
分成 n 个生成子图G[V1], G[V2 ],
总路线 长度
191.1
241.9 125.5
路线的 总长度
558.5
因为该分组的均衡度
0(m C 1) a (C x (C i)2)24.2 9 14.1 912.55 54.2%
.
i1,2,3
所以此分法的均衡性很差.
为改善均衡性，将第Ⅱ组中的顶点C,2,3,D,4
分给第Ⅲ组（顶点2为这两组的公共点），重新分
分组2:(①,②),(③,④),(⑤,⑥)
对分组2中每组顶点的生成子图,用算法一求出 近似最优解及相应的巡视路线.
在每个子图所构造的完全图中,取一个尽量包含 上图中树上的边的H圈作为其第2)步输入的初始圈.
分组2的近似解
小组 名称
I II
III
路
线
O—P—28—27—26—N—24—23—22—17—16—I—15— I—18—K—21—20—25—M—O O—2—5—6—L—19—J—11—G—13—14—H—12—F— 10—F—9—E—7—E— 8—4—D—3—C—O O—R—29—Q—30—32—31—33—35—34—A—B—1—O
分组后的近似最优解见表2.
表2
（单位：公里）
路线
路线总
编号
路
线
长度
长度
I
O—P—28—27—26—N—24—23—22—17—16—I— 191.1
15—I—18—K—21—20—25—M—O
II O—2—5—6—7—E—8—E—9—F—10—F—12—H
—14—13—G—11—J—19—L—6—5—2—O
199.2
16
5.69
21.69
O—M—25—20—21—K—18—I—15—14—13—J —19—L—6—M—O
159.1
18
4.54
22.54
O—R—A—33—31—32—35—34—B—1—C—3 —
D—4—D—3—2—O
166
18
4.74
22.74
表3符号说明：加有底纹的表示前面经过并停留过, 此次只经过不停留;加框的表示此点只经过不停留.
166
18 4.74
22.74
组名 I II III IV
表3路Leabharlann 线（路程单位：公里；时间单位：小时） 路 线 停留 行走 完成巡视 总长度 时间 时间 的总时间
O—2—5—6—7—E—8—E—11—G—12—H—12 —F—10—F—9—E—7—6—5—2—O
195.8
17
5.59
22.59
O—R—29—Q—30—Q—28—27—26—N—24—23 —22—17—16—17—K—22—23—N—26—P—O
表3
（路程单位：公里；时间单位：小时）
路 线 停留 行走 完成巡视
组名
路
线
总长度 时间 时间 的总时间
O—2—5—6—7—E—8—E—11—G—12—H—12 I —F—10—F—9—E—7—6—5—2—O
195.8
17 5.59
22.59
O—R—29—Q—30—Q—28—27—26—N—24—23
1）若分三组（路）巡视，试设计总路程最 短且各组尽可能均衡的巡视路线.
2）假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2 小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视，至少应分 几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.
公路边的数字为该路段的公里数.
2) 问题分析：
本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不 同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.
将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡 镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条 公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所 给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中 一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络 图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次 再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
由于该网络的乡(镇)、村分布较为均匀,故有可 能找出停留时间尽量均衡的分组,当分4组时各组停 停留时间大约为69/4=17.25小时，则每组分配在路 路途上的时间大约为24-17.25=6.75小时.而前面讨 论过,分三组时有个总路程599.8公里的巡视路线， 分4组时的总路程不会比599.8公里大太多,不妨以 599.8公里来计算.路上约用599.8/35=17小时,若平 均分配给4个组,每个组约需17/4=4.25小时<6.75小 小时,故分成4组是可能办到的.
1) 用图论软件包求出G中任意两个顶点间的最短路, 构造出完全图 G ( V , E ) ( x , , y ) E ,( x , y ) mdiG (n x,y); 2) 输入图 G 的一个初始H圈； 3) 用对角线完全算法（见[23]）产生一个初始圈;
4) 随机搜索出G中若干个H圈，例如2000个； 5) 对第2)，3)，4)步所得的每个H圈，用二边逐次
从O点出发去其它点，要使路程较小应尽量走 O点到该点的最短路.
故用软件包求出O点到其余顶点的最短路. 这些最短路构成一棵O为树根的树. 将从O点出发的树枝称为干枝.
准在则由分1 上尽组述量时分使应组同遵准一从则干准，枝则我上：们及找其到分两枝种上分的组点形分式在如同下一：组. 准分则从组2O1点应:（出将⑥发相，到邻①其的）它干，点枝（共上②有的，6点条③分干）在枝，同，（一它⑤组们，；的④名）称 分准分别则组为32尽①:（量，①将②，长，②的③）干，，枝④（与，③短⑤，的，④干⑥）枝. ，分（在⑤同，一⑥组）. 分组1极不均衡,故考虑分组2.
所以这种分法的均衡性较好.
问题二 当巡视人员在各乡（镇）、村的停留 停留时间一定,汽车的行驶速度一定,要在24小时内 完成巡视,至少要分几组及最佳旅行的巡视路线.
由于T=2小时,t=1小时,V=35公里/小时,需访问 的乡镇共有17个，村共有35个. 计算出在乡(镇)及 村的总停留时间为17 2+35=69小时，要在24小时 内完成巡回，若不考虑行走时间，有: 69/i<24(i为 分的组数). 得i最小为4，故至少要分4组.
216.4
III O—R—29—Q—30—32—31—33—35—34—A—1— 192.3
B—C—3—D—4—D—3—2—O
599.8
因该分组的均衡度
0(m C 3) a (C (ix C )1)21 2 .4 6 1 .1 46 9 .1 1 1.6 1% 9 . i 1 ,2,3
本题是旅行售货员问题的延伸－多旅行售货员问题. 本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条
经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到 最小的闭链（闭迹）.
如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四 个旅行售货员问题.
众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题， 即求解没有多项式时间算法.
显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此， 一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到
解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较大
的问题可使用近似算法来求得近似最优解.
6. 最佳灾情巡视路线的模型的建 立与求解
问题转化为在 给定的加权网 络图中寻找从
给定点O出发, 行遍所有顶点 至少一次再回 回到点O ,使得 总权(路程或时 时间)最小,即 最佳旅行售货 员问题.
近证第因似最能2二)算佳得，边法旅到3逐)求行，较次其售4优修)一货步的正个员分计法近问别算的似题用结结最是三果果优N种. 与P解方—初，法完始来产全圈代生问有替初题关最始,,采故优圈用本解，一算.以种法保 算法一 求加权图的最佳旅行售货员回路近似算法:
,
G[Vn
]，使得
n
1) 顶点O Vi, i 1,2,3, ,n. 2) Vi V (G).
max | (Ci ) (C j ) |
i1
3) i, j