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1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ )1．(教材改编)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．12 答案 C 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 10－m >m －2>0，(10－m )－(m －2)＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m －2>10－m >0，(m －2)－(10－m )＝4， 解得m ＝4或m ＝8.2．(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9 答案 B解析 由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.3．(2016·全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 B解析 如图，由题意得，|BF |＝a ，|OF |＝c ，|OB |＝b ，|OD |＝14×2b ＝12b .在Rt △FOB 中，|OF |×|OB |＝|BF |×|OD |，即cb ＝a ·12b ，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12，故选B.4．(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1.题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹例1 (2016·济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 A解析 由条件知|PM |＝|PF |.∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为_____________________________________________________________________． (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为_______________________________________________________________． 答案 (1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(2)x 29＋y 23＝1 解析 (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b2＝1，即a ＝3， 又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆过点P (3,0)．∴02a 2＋32b 2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，② ①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题例3 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， ∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2， 又∵21PF F S △＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3. 引申探究1．在例3中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程． 解 由原题得b 2＝a 2－c 2＝9， 又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5， 故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.2．在例3中条件“PF 1→⊥PF 2→”、“△PF 1F 2的面积为9”分别改为“∠F 1PF 2＝60°”“21PF F S △＝33”，结果如何？解 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60° ＝|F 1F 2|2，即(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，又因为21PF F S △＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33， 所以b ＝3.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．(3)当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 (2)(2017·大庆质检)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP→＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 (1)D (2)D解析 (1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0， ∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4， ∴21F PF S △＝12mn ＝1.题型二 椭圆的几何性质例4 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 2(2)(2016·全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 (1)C (2)A解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.(2)设M (－c ，m )，则E⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系．②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案63解析 联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，又F (c,0)， 则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得 c 2－34a 2＋b 24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a ＝23＝63.题型三 直线与椭圆例5 (2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率． 解 (1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，即1c ＋1a ＝3c a (a －c )，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)， 则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0. 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0， 所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k.因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912(k 2＋1).在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912(k 2＋1)＝1，解得k ＝－64或k ＝64. 所以直线l 的斜率为－64或64. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．(2016·温州第一次适应性测试)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点(1，62)，且离心率等于22.点A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点，M ，N 是椭圆C 上不同于顶点的两点，且△OMN 的面积等于 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作AP ∥OM 交椭圆C 于点P ，求证：BP ∥ON .(1)解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋(62)2b 2＝1，e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2.故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明 方法一 设直线OM ，ON 的方程为y ＝k OM x ，y ＝k ON x ， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k OMx ，x 24＋y 22＝1，解得M (21＋2k 2OM ，2k OM1＋2k 2OM)， 同理可得N (－21＋2k 2ON ，－2k ON1＋2k 2ON)，作MM ′⊥x 轴，NN ′⊥x 轴，M ′，N ′为垂足， S △OMN ＝S 梯形MM ′N ′N －S △OMM ′－S △ONN ′ ＝12[(y M ＋y N )(x M －x N )－x M y M ＋x N y N ] ＝12(x M y N －x N y M ) ＝12(－4k ON 1＋2k 2OM ·1＋2k 2ON ＋4k OM1＋2k 2OM ·1＋2k 2ON ) ＝2(k OM －k ON )1＋2k 2OM ·1＋2k 2ON，已知S △OMN ＝2，化简可得k OM k ON ＝－12.设P (x P ，y P )，则4－x 2P ＝2y 2P ，又已知k AP ＝k OM ，所以要证k BP ＝k ON ，只要证明k AP k BP ＝－12即可．而k AP k BP ＝y P x P ＋2·y P x P －2＝y 2Px 2P －4＝－12，所以可得BP ∥ON .(M ，N 在y 轴同侧同理可得)方法二 设直线AP 的方程为y ＝k OM (x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝4，得(2k 2OM ＋1)x 2＋8k 2OM x ＋8k 2OM －4＝0，设P (x P ，y P )，则它的两个根为－2和x P ， 可得x P ＝2－4k 2OM 2k 2OM ＋1，y P ＝4k OM 2k 2OM ＋1，从而k BP ＝4k OM2k 2OM ＋12－4k 2OM2k 2OM ＋1－2＝－12k OM .所以只需证－12k OM ＝k ON ，即k OM k ON ＝－12，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，若直线MN 的斜率不存在，易得x 1＝x 2＝±2， 从而可得k OM k ON ＝－12.若直线MN 的斜率存在， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0， 则x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－42k 2＋1，Δ＝8(4k 2＋2－m 2)>0，S △OMN ＝12|m |·|x 1－x 2|＝12|m |·8(4k 2＋2－m 2)2k 2＋1＝2， 化简得m 4－(4k 2＋2)m 2＋(2k 2＋1)2＝0，得m 2＝2k 2＋1，k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m2x 1x 2＝m 2－4k 22m 2－4＝2k 2＋1－4k 22(2k 2＋1)－4＝－12. 所以可得BP ∥ON .7．高考中求椭圆的离心率问题考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．典例1 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1解析 左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形． ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32，故选A.答案 A典例2 (2016·浙江)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0， [3分] 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2，因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. [6分](2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2， 且k 1>0，k 2＞0，k 1≠k 2.[8分]由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0. [10分]由k 1≠k 2，k 1>0，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，① [12分] 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2， 由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22. [14分]所以离心率的取值范围是(0，22]. [15分]1．(2016·湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1答案 A解析 依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2．已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或－21答案 D解析 当9>4－k >0，即4>k >－5时， a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ，∴5＋k 3＝45，解得k ＝1925. 当9<4－k ，即k <－5时，a ＝4－k ，c 2＝－k －5，∴－k －54－k ＝45，解得k ＝－21，故选D. 3．(2016·青岛模拟)已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为( )A.49B.23C.59D.53 答案 D解析 设P (x 0，y 0)，则y 0x 0＋a ×y 0x 0－a＝－49，化简得x 20a 2＋y 204a29＝1，则b 2a 2＝49，e ＝ 1－(b a )2＝1－49＝53，故选D. 4．(2016·南昌模拟)已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P (12，12)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( ) A ．9x －y －4＝0 B ．9x ＋y －5＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋y －5＝0 答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y 29＋x 2＝1上，所以⎩⎨⎧y 219＋x 21＝1，y229＋x 22＝1，两式相减得y 21－y 229＋x 21－x 22＝0， 得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P (12，12)平分，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1， 将其代入上式得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－9， 即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为 y －12＝－9(x －12)， 即9x ＋y －5＝0，故选B.5．(2016·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 D解析 设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1， 而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝2 2(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.*6.(2016·济南质检)设A 1，A 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A 1，A 2的点P ，使得PO →·P A 2→＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(0，12) B ．(0，22) C ．(12，1) D ．(22，1) 答案 D解析 A 1(－a,0)，A 2(a,0)，设P (x ，y )，则PO →＝(－x ，－y )，P A 2→＝(a －x ，－y )，∵PO →·P A 2→＝0，∴(a －x )(－x )＋(－y )(－y )＝0，∴y 2＝ax －x 2>0，∴0<x <a .将y 2＝ax －x 2代入x 2a 2＋y 2b 2＝1， 整理得(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2＝0，其在(0，a )上有解，令f(x)＝(b2－a2)x2＋a3x－a2b2，∵f(0)＝－a2b2<0，f(a)＝0，如图，Δ＝(a3)2－4(b2－a2)·(－a2b2) ＝a2(a4－4a2b2＋4b4)＝a2(a2－2b2)2≥0，∴对称轴满足0<－a32(b2－a2)<a，即0<a32(a2－b2)<a，∴a22c2<1，∴c2a2>12.又0<ca<1，∴22<ca<1，故选D.7．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．答案x220＋y216＝1解析设切点坐标为(m，n)，则n－1m－2·nm＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0.∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1. 8．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.9．(2016·石家庄模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________．答案 (－263，263) 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )．∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0， 34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263)．10．(2016·长沙模拟)已知过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________．答案 255 解析 ∵△AOP 是等腰三角形，A (－a,0)，∴P (0，a )．设Q (x 0，y 0)，∵PQ →＝2QA →，∴(x 0，y 0－a )＝2(－a －x 0，－y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－2a －2x 0，y 0－a ＝－2y 0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－23a ，y 0＝a 3，代入椭圆方程化简，可得b 2a 2＝15， ∴e ＝ 1－b 2a 2＝255. 11．(2016·南京模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解 (1)由已知|AB |＝52|BF |， 即a 2＋b 2＝52a ，4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b 2＝1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ， 得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717. x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217. ∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0，5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0.从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0， 解得b ＝1，满足b >21717. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 12．(2016·湖州调测)已知点C (x 0，y 0)是椭圆x 22＋y 2＝1上的动点，以C 为圆心的圆过点F (1,0)．(1)若圆C 与y 轴相切，求实数x 0的值；(2)若圆C 与y 轴相交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的取值范围．解 (1)当圆C 与y 轴相切时，|x 0|＝(x 0－1)2＋y 20，又因为点C 在椭圆上，所以x 202＋y 20＝1， 解得x 0＝－2±22，因为－2≤x 0≤2，所以x 0＝－2＋2 2.(2)圆C 的方程是(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 20，令x ＝0，y 2－2y 0y ＋2x 0－1＝0，设A (0，y 1)，B (0，y 2)，则y 1＋y 2＝2y 0，y 1·y 2＝2x 0－1，由Δ＝4y 20－4(2x 0－1)>0及y 20＝1－12x 20， 得－2－22<x 0<－2＋22，又由点C 在椭圆上，得－2≤x 0≤2，所以－2≤x 0<－2＋22，|F A |·|FB |＝y 21＋1·y 22＋1＝(y 1y 2)2＋(y 21＋y 22)＋1＝(2x 0－1)2＋4y 20－2(2x 0－1)＋1＝2x 20－8x 0＋8＝2(2－x 0)．所以|F A |·|FB |∈(42－4,2＋22]．13．(2017·宁波调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点．过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q )．(1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →的最小值为72，求椭圆的方程．解 (1)设椭圆半焦距为c .由题意AF ，AB 的中垂线方程分别为x ＝a －c 2，y －b 2＝a b (x －a 2)， 于是圆心坐标为(a －c 2，b 2－ac 2b)． 所以p ＋q ＝a －c 2＋b 2－ac 2b≤0， 整理得ab －bc ＋b 2－ac ≤0，即(a ＋b )(b －c )≤0，所以b ≤c ，于是b 2≤c 2，即a 2＝b 2＋c 2≤2c 2.所以e 2＝c 2a 2≥12，即22≤e <1. (2)当e ＝22时，a ＝2b ＝2c ， 此时椭圆的方程为x 22c 2＋y 2c2＝1， 设M (x ，y )，则－2c ≤x ≤2c ，所以(MF →＋OD →)·MO →＝12x 2－x ＋c 2＝12(x －1)2＋c 2－12. 当c ≥22时，上式的最小值为c 2－12，即c 2－12＝72，得c ＝2； 当0<c <22时，上式的最小值为12(2c )2－2c ＋c 2， 即12(2c )2－2c ＋c 2＝72，解得c ＝2＋304，不合题意，舍去． 综上所述，椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.。
第五节 椭圆A 组 基础题组1.已知方程x 22-x +x 22x -1=1表示核心在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( )A.(1,2)B.(1,+∞) C .(1,2) D.(1,1)2.(2017黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的核心在x 轴上,离心率为3,直线x+y-4=0与y 轴的交点为椭圆的一个极点,那么椭圆的方程为( ) A.x 225+x 29=1B.x 29+x 225=1C.x 225+x 216=1 D.x 216+x 225=13.矩形ABCD 中,|AB|=4,|BC|=3,那么以A,B 为核心,且过C,D 两点的椭圆的短轴的长为( ) A.2√3B.2√6C.4√2D.4√34.设椭圆x 24+y 23=1的核心为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若△PF 1F 2是直角三角形,则△PF 1F 2的面积为( ) A.3B.3或32C.32D.6或35.已知椭圆x 24+y 2b=1(0<b<2)的左,右核心别离为F 1,F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b 的值是( ) A.1B.√2C.32D.√36.已知椭圆的中心在原点,核心在x 轴上,离心率为√55,且过点P(-5,4),那么椭圆的标准方程为 . 7.已知椭圆C 的中心在原点,一个核心为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶√3,那么椭圆C 的方程是 .8.椭圆x 29+y 22=1的左,右核心别离为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若|PF 1|=4,则∠F 1PF 2的大小为 .9.已知椭圆的两核心为F 1(-√3,0),F 2(√3,0),离心率e=√32. (1)求此椭圆的方程;(2)设直线l:y=x+m,若l 与此椭圆相交于P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m 的值.10.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),F 1,F 2别离为椭圆的左,右核心,A 为椭圆的上极点,直线AF 2交椭圆于另一点B. (1)若∠F 1AB=90°,求椭圆的离心率; (2)若=2,·=32,求椭圆的方程.B 组 提升题组11.已知椭圆C:x 24+y 23=1的左,右核心别离为F 1,F 2,椭圆C 上的点A 知足AF 2⊥F 1F 2.假设点P 是椭圆C 上的动点,则·的最大值为( ) A.√32B.3√32C.94D.15412.如图,已知椭圆C 的中心为原点O,F(-2√5,0)为C 的左核心,P 为C 上一点,知足|OP|=|OF|,且|PF|=4,那么椭圆C 的方程为( )A.x 225+y 25=1B.x 236+y 216=1C.x 230+y 210=1D.x 245+y 225=113.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的右核心,直线y=b 2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,那么该椭圆的离心率是 .14.设F 1,F 2别离是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左,右核心,点P 在椭圆C 上,线段PF 1的中点在y 轴上,若∠PF 1F 2=30°,那么椭圆C 的离心率为 .15.(2016云南检测)已知核心在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O,离心率等于√32,以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4√5.直线l:y=kx+m 与y 轴交于点P,与椭圆E 相交于A 、B 两个点. (1)求椭圆E 的方程; (2)若=3,求m 2的取值范围.答案全解全析 A 组 基础题组1.C ∵方程x 22-k +y 22k -1=1表示核心在y 轴上的椭圆,因此{2-k >0,2k -1>0,2k -1>2-k,解得{k <2,k >12,k >1,故k 的取值范围为(1,2).2.C 设椭圆的方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0),由题意知{c a =35,b =4,a 2=b 2+c 2,解得{a =5,b =4,c =3,因此椭圆的方程为x 225+y 216=1.3.D 依题意得|AC|=5,椭圆的焦距2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,因此短轴长2b=2√a 2-c 2=2√16-4=4√3.4.C 由椭圆的方程知a=2,b=√3,c=1,当点P 为短轴端点(0,√3)时,∠F 1PF 2=,△PF 1F 2是正三角形,若△PF 1F 2是直角三角形,那么直角极点不可能是点P,只能是核心F 1(或F 2),现在|PF 1|=b 2a =,=12×32×2=32.应选C.5.D 由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的概念可知,|AF 2|+|BF 2|+|AB|=4a=8,因此|AB|=8-(|AF 2|+|BF 2|)≥3,由椭圆的性质可知,过椭圆核心的弦中,垂直于核心所在座标轴的弦最短,则2b 2a=3.因此b 2=3,即b=√3.6.答案x 245+y 236=1解析 由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0).由离心率e=√55可得a 2=5c 2,因此b 2=4c 2,故椭圆的方程为x 25c 2+y 24c 2=1,将P(-5,4)代入可得c 2=9,故椭圆的方程为x 245+y 236=1.7.答案x 216+y 212=1解析 设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0).由题意知解得a 2=16,b 2=12.因此椭圆C 的方程为x 216+y 212=1. 8.答案 120° 解析由椭圆概念知,|PF 2|=2,|F 1F 2|=2×√9-2=2√7.在△PF 1F 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|?|PF 2|==-12,∴∠F 1PF 2=120°.9.解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),由题意知c=√3,ca =√32,因此a=2,则b=1,所求椭圆方程为x 24+y 2=1.(2)由{x 24+y 2=1,y =x +m消去y,得5x 2+8mx+4(m 2-1)=0,则Δ=64m 2-4×5×4(m 2-1)>0,整理,得m 2<5(*). 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则x 1+x 2=-8m 5,x 1x 2=4(m 2-1)5,y 1-y 2=x 1-x 2,|PQ|=√2[(-8m 5)2-16(m 2-1)5]=2. 解得m=±√304,知足(*),因此m=±√304. 10.解析 (1)∠F 1AB=90°,则△AOF 2为等腰直角三角形,因此有OA=OF 2,即b=c.因此a=√2c,因此e=ca =√22. (2)由题知A(0,b),F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=√a 2-b 2,设B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=3c 2,y=-b 2,即B (3c 2,-b2).将B 点坐标代入x 2a 2+y 2b 2=1,得94c 2a 2+b 24b 2=1,即9c 24a 2+14=1,解得a 2=3c 2①.又由·=(-c,-b)·(3c2,-3b2)=32,得b 2-c 2=1,即a 2-2c 2=1②. 由①②解得c 2=1,a 2=3,从而有b 2=2. 因此椭圆的方程为x 23+y 22=1.B 组 提升题组11.B 由椭圆方程知c=√4-3=1,因此F 1(-1,0),F 2(1,0),因为椭圆C 上的点A 知足AF 2⊥F 1F 2,因此可设A(1,y 0),代入椭圆方程可得y 02=94,因此y 0=±32.设P(x 1,y 1),则=(x 1+1,y 1),又=(0,y 0),因此·=y 1y 0,因为点P 是椭圆C 上的动点,因此-√3≤y 1≤√3,故·的最大值为3√32,选B.12.B 设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),焦距为2c,右核心为F',连接PF',如下图.因为F(-2√5,0)为C 的左核心,因此c=2√5.由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠FPF'=90°,即FP ⊥PF'.在Rt △PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=√|FF'|2-|PF|2=√(4√5)2-42=8.由椭圆概念,得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,因此a=6,a 2=36,于是b 2=a 2-c 2=36-(2√5)2=16,因此椭圆的方程为x 236+y 216=1.13.答案√63解析 由已知条件易患B (-√32a,b 2),C (√32a,b2),F(c,0), ∴=(c +√32a,-b 2),=(c -√32a,-b 2), 由∠BFC=90°,可得·=0,因此(c -√32a)(c+√32a)+(-b 2)2=0, c 2-34a 2+14b 2=0, 即4c 2-3a 2+(a 2-c 2)=0, 亦即3c 2=2a 2,因此c 2a2=23,则e=ca =√63.14.答案√33解析 如图,设PF 1的中点为M,连接PF 2.因为O 为F 1F 2的中点,因此OM 为△PF 1F 2的中位线. 因此OM ∥PF 2,因此∠PF 2F 1=∠MOF 1=90°. 因为∠PF 1F 2=30°,因此|PF 1|=2|PF 2|. 由勾股定理得|F 1F 2|=√|PF 1|2-|PF 2|2=√3|PF 2|, 由椭圆概念得2a=|PF 1|+|PF 2|=3|PF 2|⇒a=3|PF 2|2,2c=|F 1F 2|=√3|PF 2|⇒c=√3|PF 2|2, 则e=ca =√3|PF 2|2·23|PF 2|=√33.15.解析 (1)依照已知设椭圆E 的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0), 由已知得ca =√32, ∴c=√32a,b 2=a 2-c 2=a 24.∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4√5, ∴4√a 2+b 2=2√5a=4√5,∴a=2,∴b=1. ∴椭圆E 的方程为x 2+y 24=1.(2)依照已知得P(0,m),设A(x 1,kx 1+m),B(x 2,kx 2+m), 由{y =kx +m,4x 2+y 2-4=0得,(k 2+4)x 2+2mkx+m 2-4=0. 由已知得Δ=4m 2k 2-4(k 2+4)(m 2-4)>0, 即k 2-m 2+4>0,由一元二次方程的根与系数的关系知,x 1+x 2=-2kmk 2+4,x 1x 2=m 2-4k 2+4. 由=3得x 1=-3x 2,∴3(x 1+x 2)2+4x 1x 2=12x 22-12x 22=0.∴12k 2m 2(k 2+4)2+4(m 2-4)k 2+4=0,即m 2k 2+m 2-k 2-4=0.当m 2=1时,m 2k 2+m 2-k 2-4=0不成立,∴k 2=4-m 2m 2-1.由题意知k ≠0,m ≠0,结合m 2k 2+m 2-k 2-4=0,知k 2-m 2+4=m 2k 2>0, ∴4-m 2m 2-1-m 2+4>0,即(4-m 2)m 2m 2-1>0.∴1<m2<4.∴m2的取值范围为(1,4).。
第2课时 直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( )A.m >1B.m >0C.0<m <5且m ≠1D .m ≥1且m ≠5 答案 D解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴5k 2＋m －1≥0， ∴m ≥1且m ≠5.2.已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例1斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15.∴|AB |＝2|x 1－x 2| ＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.命题点2 中点弦问题例2已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________. 答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x 24＋y22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k k －12k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4kk －12k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，②①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点A (－1，0)，B (1，0)，过焦点F (0，1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，当|CD |＝322时，则直线l 的方程为________. 答案2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.解析 由题意得b ＝1，c ＝1. ∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋1＝2. ∴椭圆方程为y 22＋x 2＝1.若直线l 斜率不存在时，|CD |＝22，不符合题意. 若l 斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋2x 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.Δ＝8(k 2＋1)>0恒成立.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2). ∴x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. ∴|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22k 2＋1k 2＋2.即22k 2＋1k 2＋2＝322，解得k 2＝2，∴k ＝± 2.∴直线l 方程为2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.(2)(2019·某某模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.14D.32答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1.∵PF ∥l ，∴k PF ＝k l ＝－b c ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1. ∴x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，∴2a 2＋－bc b2＝0，可得2bc ＝a 2，∴4c 2(a 2－c 2)＝a 4，化为4e 4－4e 2＋1＝0， 解得e 2＝12，又∵0<e <1，∴e ＝22. 直线与椭圆的综合问题例3(2019·某某)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率. 解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意知，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0).设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 跟踪训练2已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程.解 (1)由题意知，△F 1B 1B 2为等边三角形，则⎩⎨⎧c ＝3b ，c ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3b 2，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1.(2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，Δ＝8(k 2＋1)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－12k 2＋1，F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±77，故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A.至多为1B.2C.1D.0 答案 B 解析 由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部， 故所求交点个数是2.2.直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )A.2B.433C.4D.不能确定答案 B解析 直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x ，y )， 则弦长为x 2＋y －12＝4－4y 2＋y 2－2y ＋1＝－3y 2－2y ＋5，当y ＝－13时，弦长最大为433.3.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53， 故选B.4.已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A.12B.－12C.2D.－2 答案 B解析 设弦所在直线的斜率为k ，弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，所以2x 1－x 29＝－4y 1－y 29，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故弦所在直线的斜率为－12.故选B.5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M (1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 k AB ＝0＋13－1＝12，k OM ＝－1，由k AB ·k OM ＝－b 2a 2，得b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.6.(2019·某某模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba的值为( ) A.32B.233 C.932 D.2327答案 B解析 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1， 即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，则by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b y 1－y 2y 1＋y 2a x 1－x 2x 1＋x 2＝－1，由题意知，y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22与原点的直线的斜率为32，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝32， ∴b a×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B. 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，ax 2＋by 2＝1消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， 可得AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，∴k OP ＝a b ＝32，∴b a ＝233. 7.直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________.答案 相交解析 由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.8.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________. 答案x 29＋y 26＝1 解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c .① 又2F AB S △＝12×2c ×2b2a＝43，②a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是________. 答案 1解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12， ∴2mn ＝4，mn ＝2， ∴12F PF S △＝12mn ＝1.10.(2020·某某部分重点中学联考)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为________. 答案105解析 设|BF 1|＝k ，则|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝4k .由|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，得2a ＝5k ，|AF 2|＝2k .在△ABF 2中，cos∠BAF 2＝4k 2＋2k 2－4k 22×4k ×2k＝14， 又在△AF 1F 2中，cos∠F 1AF 2＝3k 2＋2k 2－2c22×3k ×2k ＝14， 所以2c ＝10k ，故离心率e ＝ca ＝105. 11.已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P (1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为________.答案 2 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k (x －1)，代入椭圆方程化简，得(k 2＋2)x 2－2k (k －2)x ＋k 2－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解，因此x 1＝k 2－22k －2k 2＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22k 2＋2， 由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k 2＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝ 2. 故直线AB 的斜率为 2. 12.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为22，点(0，1)是E 上一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程.解 (1)由题意知，b ＝1，且e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12， 解得a 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，x ＝my －1，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，① y 1y 2＝－1m 2＋2，② 因为F 1(－1，0)，所以BF 1→＝(－1－x 2，－y 2)，F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，由BF 1→＝2F 1A →可得，－y 2＝2y 1，③由①②③可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±144， 则2BF k ＝146或－146， 所以直线BF 2的方程为14x －6y －14＝0或14x ＋6y －14＝0.13.(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C ：x 2＋y 2b 2＝1(b >0，且b ≠1)与直线l ：y ＝x ＋m 交于M ，N 两点，B 为上顶点.若|BM |＝|BN |，则椭圆C 的离心率的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫63，1D.⎝⎛⎦⎥⎤0，63 答案 C解析 设直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2＋y 2b 2＝1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 2＋y 2b 2＝1，得(b 2＋1)x 2＋2mx ＋m 2－b 2＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m b 2＋1，x 1x 2＝m 2－b 2b 2＋1， Δ＝(2m )2－4(b 2＋1)(m 2－b 2)＝4b 2(b 2＋1－m 2)>0.设线段MN 的中点为G ，知G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m b 2＋1，b 2m b 2＋1， 因为|BM |＝|BN |，所以直线BG 垂直平分线段MN ，所以直线BG 的方程为y ＝－x ＋b ，且经过点G ，可得b 2m b 2＋1＝m b 2＋1＋b ，解得m ＝b 3＋b b 2－1. 因为b 2＋1－m 2>0，所以b 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＋b b 2－12>0， 解得0<b <33， 因为e 2＝1－b 2，所以63<e <1. 14.(2019·某某调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.若△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3，则椭圆C 的离心率为________.答案 63解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2y 1＋y 2b 2＝0.(*) 因为△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2－c 3＝c 6，y 1＋y 23＝c 3，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝3c 2，y 1＋y 2＝c ，代入(*)式得3x 1－x 2c 2a 2＋y 1－y 2c b 2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－3b 22a 2＝－12，即a 2＝3b 2， 所以椭圆C 的离心率e ＝63. 15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则椭圆在其上一点A (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其焦距为2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为( ) A.22B.2C.3D.2 答案 B解析 由题意可得2c ＝2，即c ＝1，a 2－b 2＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22代入椭圆方程，可得1a 2＋12b 2＝1， 解得a ＝2，b ＝1，即椭圆的方程为x 22＋y 2＝1，设B (x 2，y 2)， 则椭圆C 1在点B 处的切线方程为x 22x ＋y 2y ＝1， 令x ＝0，得y D ＝1y 2，令y ＝0，可得x c ＝2x 2， 所以S △OCD ＝12·1y 2·2x 2＝1x 2y 2， 又点B 为椭圆在第一象限上的点，所以x 2>0，y 2>0，x 222＋y 22＝1， 即有1x 2y 2＝x 222＋y 22x 2y 2＝x 22y 2＋y 2x 2≥2x 22y 2·y 2x 2＝2， 即S △OCD ≥2，当且仅当x 222＝y 22＝12， 即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22时，△OCD 面积取得最小值2，故选B. 16.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积.解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4， 所以x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1. 由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75. 又|AB |＝1＋34x 1＋x 22－4x 1x 2＝72·4－m 2， O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72， 所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.。
