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目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习 填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题： 下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ： ；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练 习1.1.4 .分式1.分式的意义 形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若 则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ； （4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。
第一讲 数与式1、 绝对值(1)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离．2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2)利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1。
求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4。
求不等式｜x ＋2｜＋｜x －1|＞3的解集．例5。
解不等式｜x －1|＋|2－x ｜＞3－x ．例6。
已知关于x 的不等式｜x －5|＋｜x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13x x -+-＞4+x（2）｜x +1｜<｜x －2| （3）｜x －1｜+|2x +1|<4 (4）327x -<（5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ (3)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3)22()x a b xy aby -++； (4)1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式:（1）()()b a b a -+-552(2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1)x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c （a ≠0）的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-; （2）2244x xy y +-．练习(1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4)24129m m -+ （5)2576x x +- (6）22126x xy y +-(7）()()3211262+---p q q p (8）22365ab b a a +- (9)()22244+--x x（10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a （13）x 2－2x －1（14) 31a +； （15）424139x x -+;（16）22222b c ab ac bc ++++； （17)2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 （1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有：（1） 当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．(2）根与系数的关系（韦达定理)如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -,x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1。
第1讲数与式910+⨯(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念例4.说出下列每对集合之间的关系．（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝． （2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． （3）N ，N*． 例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ）.2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为___ ___【典型例题—2】韦恩图：:【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．'【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系． 例8.判断集合A 与B 是否相等(1) A={0}，B= ；)(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ； (3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值． 【典型例题—4】真子集： 【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作BA (或AB)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果A B ，BC ，则AC ．例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：'(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _．例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．（【典型例题—5】空集 【内容概述】1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作2、空集是任何集合的子集。
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。
② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。
③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。
目录第一章数与式1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4 分式1.2 分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1 二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表达方式2.2.3 二次函数的应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1 相似形3.1.1 平行线分线段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性质与判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3 圆3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2 点的轨迹3.3.3 四点共圆的性质与判定3.3.4 直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1. 1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V 0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x；③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3,x>4.综上所述，原不等式的解为x v0,或x>4.解法二：如图1. 1-1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A 之间的距离I PA，即I PA = |x- 1| ; |x-引表示x轴上点P到坐标为2的点B 之间的距离| PB，即| PB = |x- 3| .所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为| PA +1 PB >4.由| AB = 2,可知点P在点q坐标为0)的左侧、或点P在点学习参考P C A B D丄L丄L Lx0134x V|x- 3||x- 1|图1. 1- 1D(坐标为4)的右侧.x v0,或x>4.练习1.填空：(1)若x5，则x=；若x4，贝y x= .(2)如果la b5,且a 1 11，则b= ；若|1 c 2 ,则C =2.选择题：1 1下列叙述正确的是( )(A)若a b则a b(B) 若a b，则 a b(C)若a b , 则a b(D) 若a 1),则 a b3.化简：| x- 5| - |2x —13|(x > 5).1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1)平方差公式(a b)(a b) a2b2；(2)完全平方公式(a b)2 a22ab b2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1) 立方和公式(a 2 2b)(a ab b ) 3a b3；(2)立方差公式(a b)(a2 ab b2) 3 a b3；(3)三数和平方公式(a b c)2a2 b2 2 c2(ab bc ac)；(4)两数和立方公式(a b)3 a3 3a 2b3ab2.3b ；(5)两数差立方公式(a b)3 a3 3a 2b3ab2b3.对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.例 1 计算：(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1). 解法一：原式= (x21) (x21)2x2—(x21)(x4x21)=6 x 1 .解法二原式=(x1)(x2x21)(x 1)(x x 1) =(x31)(x31)=x61.例2已知a b c 4 , ab bc ac 4，求a2 b2c2的值解： 2a b2c2 ( ab c)22(ab bc ac) 8 .练习1. 填空：(1) 12 a1b2Qb 如( )；9423(2) (4 m)216m24m ()(3 )(a2b c)2 2 2 2a 4bc ().2. 选择题:1.1.3 .二次根式一般地，形如.a(a 0)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能 够开得尽方的式子称为无理式.例如3a2b ,.产号等是无理式，而 -、2x 2 2x 1 , x 2 . 2xy y 2，-. a 2 等是有理式.21. 分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去，叫做 分母(子)有理化.为了进行分母(子) 有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果 它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 2与 .2 , 与' a ，-. 3 与 '一3 & , 2.3 与 2、、3 3 &，等等. 一般地，a /X 与x , a 、、x b.,$与a 、、x b y , a . x b 与a. x b 互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的 根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分 子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行， 运算中要运用公式.a ,b ab(a 0,b 0);而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加 减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-07的意义a, a 0, aa, a 0.例1 将下歹 J 式子化为最简一次根式：(1) 施； (2) VOb(a 0); (3) J 4x 6y(x 0).解： (1)2屈；(2) Ja 2b a 虑 aVb(a 0)；(3) J4x 6y 2x 3 &2X 3T7(X 0).例2 计算 :爲 (3晶.(1 ) 21若 x -mx 2k 是——一个 ()(A )m 2(B ) 1 2 m4(2 ) 不论a ,b为 何 ( )(A 总是正数(C 可以是零数则k 等于(C )討2(D ) 4b 81 2m16的值(B )总是负数(D )可以是正数也可以是负完全平方式，实数，a 2 b 2 2a解法一：再(3、③=' 3_3典=.3 (3 . 3) (3 .3)(3 3)=3灵3 9 3=3“ 1)6=s/3 12解法二：.3 (3、、3) = —33罷.3 1 .3 1 ( 3 1)G 3 1).3 12例3 试比较下列各组数的大小：（1）A2 .仃和,n .10 ；解: (1) V，.^ 吊』111.不吊1(2)./ 4(、、12 .11)612 .11)和2逗_、、6 .(11 .10)(. 11 10);11 「101.12 、11 ，1、11 ■10，又,12 .11 .亍帀,二、、12 ..右V .11 .,10 .(2)・.・2运—76 2应-V6 (^2-46)(242+46)1又 4 >2 2,6 + 4> . 6+ 2 2,r2V 2、2-66 4化简：(、、3 J) 2004 ( 3、、2)20052、2+,6'例4解: 0.3 , 2 ) 2004(、3 ；2严=2 ) 2004 (G 2 ) 2004(、、3 .2) = 0 3 ' 2) 0-3 、.2) ^.3 . 2)=12004(..3 例5 化简: 、2) =、3 2 .(1).9 4；5 ；(2) 12 2(0 x 1).x解：（1）原式.(5)22 2 5 22、.(2 、5)245 45 2.（2）原式=,5 4 54-x1 x，所以，原式=-X已知x 律2,y J J ，求5xy 3/的值• ’x y 3 : '3 :（、3、2）2（ 3、②210，xy 32歸 1 ,二 3x 2 5xy 3y 23(x y)2 11xy 3 1 0211 289 .1.1. 4 .分式1 .分式的意义形如A 的式子，若 BB 中含有字母，且B'则称13为分式.当心时，分式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M ，B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2. 繁分式a像_^ , m n P 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. cd 2m1.习填空： 11若,(5 x)(x 3)2 (x 3) •.厂x ，则x 的取值范围是 4、/24 6.54 ^.96 2.1502(1) 2.选择题: 爪［| J X 1 J x1，则 x 1x1 x 、、x ■■■ x 2 厂2.立) (A ) x 23 .若ba 1_4.比较大小：2— 3(B ) x 01 a，求a b 的值._____ >/5—萌(填“〉”(C xV”)(D ) 0x2例6解：5例1若汙2）彳三，求常数A ，B 的值.A B 5, 2A 4,(1)试证: (2) 计算: 解得 A1 1n(n 1) n1 1 122 31又n >2’且n 是正整数」市一定为正数'1 n(n 1)例 3 设e c ，且 e > 1, 2c 2— 5ac + 2a 2= 0,求 e 的值. a 解：在2c 2— 5ac + 2a 2 = 0两边同除以a 2,得2 e 2 — 5e + 2=0,/. (2e —1)( e — 2) = 0,1二e = 2 v 1,舍去；或 e = 2. e = 2.练习1. 填空题：对任意的正整数n ,1__L 11);n(n 2)n n 22 选择题：解:A(x 2) Bx (A B)x 2A x(x 2)x(x 2)5x 4 x(x 2)（3）证明：对任意大于1的正整数n ，1 n(n 1). 1 1 1・ ・n(n 1) n n 1 （其中n 是正整数）成立.（2）解：由（1）可知1 1 1 1 1 1 1 1L(1 : > ( )L ( ) 1 2 2 39 102 23 9 10 （3）证明：v -1 1L1 =11 11 1 (--)(--)L(-(1)证明：••• 1 丄 e I 1 -n n 1 n(n 1) n(n 1)2 3 3 4 n(n 1)2 3 3 4n1110 101)若2x yx y2 3,则( )(A )1(B ) 5(C )-453.正数x,y 满足x 2 y 22xy ，求x y的值.x y(D )丄（其中n 是正整数）；n 11 9 101 2 31 99 100习题1. 1A 组(1) x 1 3 ；(2)x 3⑶ x 1 x 16 .解不等式: 3xy 的值. 3y x 2 71，求 x 3.已知x y填空：(1) (2) (3)(2 J)18(2 ...3)19 = 若(112填空: (1) a (2)若 已知：x 选择题:( ) (A )a)2.(1 12 .3.3；4a)2 2 , 1___ ?则a 的取值范围是1 .4；5xy1 2，y3a 2 23a 5ab 2b 0,则 Jxy yx1 求 N 3， x y ab 22y 2 (B )22 _ ---------------------------y的值.x yC 组b 2、ab 、、b a(C) a b 0(D ) b) _(A ) ■ "a 2) x 1 2 4解方程2(x 2计算：九3(x 丄)x试证：对任意的正整数 (B )(C ) (D )n ,1 9 11 .有V n(n 1)( n 2) 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法.4.1. 2 3. 1.2. 1. ((2. 3. 4.7x 10 1十字相乘法例1分解因式：(1) X 2— 3x + 2; (2) X 2 + 4x — 12; (3) x 2 (a b)xy aby 2 ；(4) xy 1 x y .解：(1)如图1. 1 — 1,将二次项X 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2 — 3x + 2中的一次项， 所以，有x 2— 3x + 2 = (x —1)( x — 2).x —:1—:1- — 6x，. —ayx —by图 1. 1— 1 图 1 . 1—2 图 1. 1 — 3图 1 . 1 — 4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 1. 1 — 1中的两个x 用1来表示(如图1. 1 — 2所示).(2) 由图1. 1 — 3,得2x + 4x — 12 = (x — 2)( x + 6). (3) 由图1. 1 — 4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by)(4) xy 1 x y = xy +(X — y ) — 1=(x — 1) ( y+1)(如图 1. 1 — 5 所示).课堂练习 一、填空题: 1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 _(2) 2 x 5x 6 _ (3) 2 x 5x 6 _ (4) 2 x 5x 6 _ (5) x 2 a 1 x a _ (6) 2 x 11x 18_ (7) 6x 2 7x 2 _ (8) 4m 2 12m 9 _ (9) 5 7x 6x 2_(10) 12x 2 xy 6y 2_x 2 4x ______________ x 3 x ________________3、若 x 2ax b x 2 x 4 贝卩 a _________________ , b _____________二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)7x 6 (2) x 2 4x 3 (3) x 2 6x 8 (4) 15x 44中，有相同因式的是(B 、只有(3) (4) 1、在多项式(1) x 2(5) x 2 A 、只有(1) (2) C 只有(3) (5)D (1)和(2); (3)和(4); (3)和(5)3、2 y2 4 y 62.提取公因式法例2分解因式：(1) a2 b 5 a 5 b(2) x393x23x解：(1) . a2 b 5 a 5 b ：=a(b5)(a1)(2) x39 3x2 3x =(x3 3x2)(3x9) =x2(x3)3(x3)(x 3)(x2 3).或3 2 3 2 3 3 3x 9 3x 3x = (x 3x 3x 1) 8 = (x 1) 8 = (x 1) 22 2 2=[(x 1) 2][(x 1) (x 1) 2 2 ] = (x 3)(x 3)课堂练习：一、填空题：1、多项式6x2y 2xy2 4xyz中各项的公因式是___________________ 。
