人教版数学八年级下册第17章 勾股定理 单元过关测试 含答案解析

人教版数学八年级下册第17章 勾股定理 单元过关测试 含答案解析

一．选择题（共8小题）

1．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最长边上的高为（ ）

A．6 B．2.4 C．8 D．4.8

2．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为（ ）

A．8 B．4 C．6 D．无法计算

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则AB的长度为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

4．如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）

A． B． C．+1 D．+1

5．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2017＝（ ）

A． B． C． D．

6．如图，在我海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东30°方向以12节（1节＝1海里/小时）的速度航行，2号舰以16节的速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点且相距30海里，则2号舰的航行方向是（ ）

A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°

7．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．如图，一架5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为3米，如果梯子的顶端A下滑1米，则梯足将向外移（ ）

A．0.5米 B．3米 C．4米 D．1米

二．填空题（共7小题） 9．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝5，c＝，则Rt△ABC的面积等于 ．

10．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数（a，b，c）通常叫做勾股数．如果三角形最长边c＝2n2+2n+1，其中一短边a＝2n+1，另一短边为b，如果a，b，c是勾股数，则b＝ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）

11．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈＝10尺），如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：

．

12．观察下列等式：32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252；92+402＝412；112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是 ．

13．《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有 亩（1亩＝240平方步）．

14．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝

．

15．小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是①S＝ ，②S＝ ．

三．解答题（共6小题） 16．如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，试判断△ABD的形状，并说明理由．

17．如图所示的一块地，AD＝3m，CD＝4m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，求这块地的面积．

18．如图，△ABC中，∠A＝45°，AC＝，AB＝+1．

求：（1）AC边上高；

（2）求BC的长．

19．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ．

（1）证明：AP＝CQ；

（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连结PQ，证明：△PQC是直角三角形．

20．如图，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，CD⊥AB于D

（1）求AC的长； （2）求△ABC的面积；

（3）求CD的长．

21．阅读下面的材料，然后解答问题：

我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．

理解：

①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ （填“是”或“不是”）

②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形 （填“是”或“不是”）奇异三角形．

探究：

在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．

拓展：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2．

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最长边上的高为（ ）

A．6 B．2.4 C．8 D．4.8

【分析】根据已知先判定其形状，再根据三角形的面积公式求得其高．

【解答】解：∵三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82＝102，

∴此三角形为直角三角形，则10为直角三角形的斜边，

设三角形最长边上的高是h，

根据三角形的面积公式得：×6×8＝×10h，

解得h＝4.8．

故选：D．

2．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为（ ）

A．8 B．4 C．6 D．无法计算

【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值．

【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，

∴AB2+AC2＝BC2，

∴AB2+AC2+BC2＝2BC2＝2×22＝8．

故选：A．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则AB的长度为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【分析】根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，

∴AB＝＝＝10，

故选：D． 4．如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）

A． B． C．+1 D．+1

【分析】根据题意求出BC，根据勾股定理求出AC，得到AM的长，根据数轴的性质解答．

【解答】解：由题意得，BC＝AB＝1，

由勾股定理得，AC＝＝，

则AM＝，

∴点M对应的数是+1，

故选：C．

5．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2017＝（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．

【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，

∴OP4＝＝，

…，

OP2017＝． 故选：D．

6．如图，在我海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东30°方向以12节（1节＝1海里/小时）的速度航行，2号舰以16节的速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点且相距30海里，则2号舰的航行方向是（ ）

A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°

【分析】直接利用已知得出AO，BO，AB的长，再利用勾股定理的逆定理得出∠BOA的度数，进而得出答案．

【解答】解：由题意可得：BO＝16×1.5＝24（海里），

AO＝12×1.5＝18（海里），AB＝30海里，

则此时：AO2+BO2＝AB2，

故△AOB是直角三角形，

则∠BOA＝90°，

∵∠AOD＝30°，

∴∠DOB＝60°，

∴2号舰的航行方向是：南偏西60°．

故选：D．

7．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】先根据勾股定理求出PM，再根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM＝PN，从而得解．

【解答】解：∵PM⊥OB于点M，OM＝4，OP＝5，

∴PM＝3，

当PN⊥OA时，PN的值最小，

∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，

∴PM＝PN，

∵PM＝3，

∴PN的最小值为3．

故选：B．

8．如图，一架5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为3米，如果梯子的顶端A下滑1米，则梯足将向外移（ ）

A．0.5米 B．3米 C．4米 D．1米

【分析】在本题中，运用两次勾股定理，即分别求出AC和B′C，求二者之差即可解答．

【解答】解：在直角△ABC中，首先根据勾股定理求得AC＝＝＝4（米），

则A′C＝4﹣1＝3（米），

在直角△A′B′C中，根据勾股定理求得B′C＝＝＝4（米），所以B′B＝4﹣3＝1（米），