2013届人教A版理科数学课时试题及解析(5)函数的性质

课时作业 (十八 ) [第 18 讲 三角函数的图象与性质 ][时间： 45 分钟 分值： 100 分]基础热身 1．函数 y ＝cosx －12的定义域为 ()π πA.3 3ππ B. k π－ 3， k π＋3 ， k ∈ ZππC.2k π－ 3， 2k π＋3 ， k ∈ Z －，D ． Rπ 2．以下函数中，以 π为最小正周期的偶函数，且在 ， π上为减函数的是 ( )2A ． y ＝ sin2x ＋ cos2xB ． y ＝ |sinx|C ．y ＝ cos 2xD ． y ＝ tanx3． 函数 y ＝ sin 2x ＋ sinx － 1 的值域为 ( )A ． [－ 1,1] B. －5，－ 14C. － 5， 1D. －1， 54414． 函数 y ＝ 2sin2x 的最小正周期 T ＝ ________.能力提高5．函数 y ＝ sin x － π在区间 0， π上 ( )4 2A ．单一递加且有最大值B ．单一递加但无最大值C ．单一递减且有最大值D ．单一递减但无最大值π6．已知函数 f(x)＝ sin 2x － 6 ，若存在a ∈(0， π)，使得 f(x ＋ a)＝ f(x － a)恒建立，则 a的值是 () ππππA. 6B.3C.4D. 27．若 x 为三角形中的最小内角，则函数y ＝ sinx ＋ cosx 的值域是 ()A ．(1，2] B. 3 0， 21， 2 D. 1， 2C. 2 22 218．函数 f(x)＝ sin πx － 4x 的零点的个数是 ()A ．5B ．6C ．7D ． 819．已知函数 y ＝ sinx 的定义域为 [a ，b] ，值域为－ 1， ，则 b －a 的值不行能是 ()2π2 πA. 3B. 34πC ．π D. 310．函数 f(x)＝ (sinx － cosx)2 的最小正周期 ________．11．函数 y ＝ lg(sin x)＋cosx －1的定 域 ________．12A 1，A 2，⋯，12． 函数 y ＝ cos πx 的 象位于 y 右 全部的 称中心从左到右挨次2A n ，⋯ . A 50 的坐 是 ________．13． 出以下命 ：①正切函数的 象的 称中心是独一的；② y ＝ |sinx|， y ＝ |tanx|的最小正周期分π π，2 ；③若 x 1>x 2， sinx 1>sinx 2；T④若 f(x)是 R 上的奇函数，它的最小正周期 T ， f －＝ 0.2此中正确命 的序是 ________．14． (10 分) 已知函数 f(x)＝ 2sinxcosx － 2sin 2x ＋ 1. (1)求函数 f(x)的最小正周期及 域； (2)求 f(x)的 增区 ．15． (13 分)已知函数 f(x)＝ 3sin2x ＋ 2cos 2x ＋ m 在区 0，π2上的最大6.(1)求常数 m 的 及函数f(x) 象的 称中心；π(2)作函数 f(x)对于 y 的 称 象得函数 f 1(x)的 象，再把函数 f 1(x) 的 象向右平移 4个 位获得函数 f 2(x)的 象，求函数 f 2(x) 的 减区 ．点打破16． (12 分)已知函数 f(x)＝ sin( ωx＋ φ)( ω>0,0≤ φ≤ π)是 R 上的偶函数，其 象对于点3ππ M 4 ， 0 称，且在区0， 2 上是 函数，求 φ和 ω的 ．课时作业 (十八 )【基础热身】1． C [分析 ] 由题意得 cosx ≥1，2 π π∴ 2k π－ ≤ x ≤2k π＋ ， k ∈ Z ，应选 C.33πC ，应选2． B [分析 ] 由函数为偶函数，清除A 、D ；由在 ， π上为减函数，清除2B.13． C2sinx ＋25，[ 分析 ] y ＝ sin x ＋ sinx － 1＝2－∵－ 1≤ sinx ≤ 1， 4∴当 sinx ＝－1时， y min ＝－ 5；当 sinx ＝ 1 时， y max ＝ 1，2 4∴函数的值域为 －5，1 ，应选 C.42π 2π4． π [分析 ] 由周期公式得T ＝＝ ＝ π.|ω| 2【能力提高】 5．A [分析 ] 由－π π ππ 3π≤ x － ≤ ，得－ ≤ x ≤，2 42 44ππ 3π则函数 y ＝ sin x － 4 在区间－ ，4 上是增函数，4π π 3ππ2又0，2? － ，0， 2 上是增函数，且有最大值 2 ，应选 A.4 4，因此函数在6． D [ 分析 ] 设 x －a ＝ t ，得 x ＝t ＋ a ， 则 f(x ＋ a)＝ f(x －a) 可化为 f(t ＋2a)＝ f(t)，即函数 f(x)是周期为 2a 的周期函数，又 f(x)的最小正周期为π，且 a ∈ (0， π)，π∴ a ＝ ，应选 D.27． A [ 分析 ] 因 x 为三角形中的最小内角，故x ∈ 0，π，由此可得 y ＝ sinx ＋ cosx>1，清除错误选项 B ，C ， D ，应选 A.318． C [ 分析 ] 如下图，画出函数 y ＝sin πx 和 y ＝ 4x 的图象，在 [0，＋∞ ) 上，两个函数图象有 4 个交点，1 个，即函数 1 x 的零点的个∴在 (－∞，＋∞ )上，方程 sin πx ＝ x 的解有 7 f(x)＝ sin πx － 44 数是 7，应选 C.9．A[ 分析 ] 画出函数 y ＝ sinx 的简图，要使函数的值域为－ 1，1，则函数定义域为5π132π2k π＋ 6 ， 2k π＋ 6 ，k ∈ Z 或其子集，又定义域为 [a ，b] ，则 a ，b 在同一个 k 所对应的区3π 5π 13 π2π 4π 间内，且 [ a ，b]一定含 2k π＋ 2 ，还有 2k π＋ 6 、2k π＋ 6 之一，知 b －a 的取值范围为，，33 应选 A.10． π [ 分析 ] f(x)＝ (sinx － cosx) 2 2 2＝ sin x － 2sinxcosx ＋ cos x ＝ 1－ 2sinxcosx ＝ 1－ sin2x ， ∴函数 f(x)的最小正周期为 π.πsinx>0 ，[分析 ] 要使函数存心义一定有11. x 2k π<x ≤ ＋ 2k π， k ∈ Zcosx － 1≥ 0，32sinx>0， 2k π<x π＋ 2k π，即解得π π(k ∈ Z ) ，cosx ≥ 1，－ ＋ 2k π≤ x ≤ ＋ 2k π233π∴ 2k π＜ x ≤ ＋ 2k π， k ∈ Z ，3∴函数的定义域为x2k π<x ≤ π.＋ 2k π， k ∈ Z31 πx ＝ 2k ＋12．(99,0)[分析 ] 由 2πx ＝ ＋ k π，k ≥0 且 k ∈ Z ，得图象的对称中心横坐标为21， k ≥ 0 且 k ∈ N ，令 k ＝ 49 即可得 A 50 的坐标是 (99,0) ．13．④ [ 分析 ] ①正切函数的对称中心是 k π2 ， 0 (k ∈ Z ) ；② y ＝ |sinx|， y ＝ |tanx|的最小－T－T＋TT正周期都是π；③正弦函数在定义域R 上不是单一函数；④ f＝ f ＝ f 2 22 ＝－ f － T，故 f － T＝ 0.2 214． [解答 ] (1) f(x)＝ sin2x ＋cos2x ＝ 2sin 2x ＋ π，4则函数 f(x)的最小正周期是 π，函数 f(x)的值域是 [ － 2， 2].(2)依题意得 π π π2k π－ ≤ 2x ＋ ≤ 2k π＋ (k ∈ Z )，3π 2 4 2π则 k π－ ≤ x ≤ k π＋ (k ∈ Z )，883ππ即 f(x) 的单一递加区间是 k π－ 8 ， k π＋8 ( k ∈ Z )．15． [解答 ] (1) f(x)＝ 3sin2x ＋ cos2x ＋ 1＋ mπ＝ 2sin 2x ＋6 ＋ 1＋ m ，π ππ 7π ∵ 0≤ x ≤ ，∴ ≤2x ＋ ≤ ，2 66 6∴－ 1≤ sin 2x ＋π≤ 1.2 6∴ m ≤ f(x)≤ 3＋ m ，∴ 3＋ m ＝ 6，m ＝ 3，因此 f(x)＝ 2sin 2x ＋ π6＋ 4.k π π ，k ∈ Z . 因此函数 f(x)的图象的对称中心为－ ， 4212(2)由 f(x)＝ 2sin 2x ＋ π＋ 4，6π得 f 1(x)＝ 2sin － 2x ＋6 ＋ 4.π π 因此 f 2(x)＝ 2sin － 2 x － 4 ＋ 6 ＋ 42π ＝－ 2sin 2x － 3 ＋ 4.ππ因 － ＋ 2k π≤ 2x － 2π≤ 2k π＋ ， k ∈ Z .2 32π7π因此 12＋ k π≤ x ≤12＋ k π(k ∈ Z ) ，因此函数 f 2(x)的 减区 是π7π ＋ k π， ＋ k π ， k ∈ Z .12 12【 点打破】16． [解答 ] 由 f(x)是偶函数，得 f(－ x)＝ f(x)，即 sin(－ ωx＋ φ)＝ sin(ωx＋φ)， 因此－ cos φsin ωx＝cos φsin ωx 随意 x 都建立． 又 ω>0，∴ cos φ＝ 0.π依 0≤ φ≤ π，因此 φ＝ 2，∴ f(x)＝ cos ωx，π＋ k π2其 称中心(ω ， 0)(k ∈ Z )．π3π2 ＋ k π 3π， 0称，∴令ω ＝4 ，∵ f(x)的 象对于点 M 42∴ ω＝ (2k ＋ 1)，k ＝ 0,1,2，⋯ .3， ω＝ 2， f(x)＝ sin 2当 k ＝ 0 π在0， π上是减函数；3 3x ＋2 2当 k ＝ 1 ， ω＝ 2， f(x)＝ sin2x ＋π在0，π上是减函数；22当 k ≥ 2 ， ω≥10，f(x)＝ sin ωx＋π在 0，π上不是 函数．3222上得 ω＝ 或 ω＝ 2.。

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数一、选择题1 ．（2 013年高考江西卷（理））函数 y= x ln(1-x) 的定义域为A.(0,1)B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]【答案】 D 2 ．（ 2 013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若a bc , 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间( )A.a,b 和 b, c 内 B., a 和 a,b 内C. b,c 和 c, 内D. ,a 和 c, 内【答案】 A13 ．（ 2 013年上海市春季高考数学试卷(含答案 )）函数 f( x) x2的大致图像是 ( )y y y yA x 0Bx 0 x 0xC D【答案】 A 4 ．（ 2013年高考四川卷（理））设函数 f ( x)e x x a ( aR , e为自然对数的底数 ).若曲线y sin x 上存在( x , y) 使得 f ( f( y ))y,则a的取值范围是 ( ) 000 0(A ) [1,e](B)1 ，(C)[1, e1](D)1[ e,-11] [e -1, e 1]【答案】 A5 ．（ 2013年高考新课标 1（理））已知函数 f ( x) x22x, x 0, 若|f (x) | ≥ ax ,则 aln( x1),x 0的取值范围是A. ,0]B. ( ,1]C.D. [ 2,0]( [ 2,1] 【答案】 D6 ．（ 2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））函数f x = log 2 1 1 x 0 的反函数f1x=x第 1 页共 7 页(A) 1 x 0 (B) 1 x 0 (C) 2x 1 x R (D) 2x 1 x 0 2x 1 2x 1【答案】 A7 ．（ 2 013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知 x, y为正实数 , 则A. 2lgxlgy 2lg x2lg y B.2lg( xy)2lgx 2lg yC. 2lgxlgy 2lg x2lg y D.2lg( xy)2lgx 2lg y【答案】 D8 ．年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知函数f( x)为奇（ 2013函数 , 且当 x 0时 , f( x) x21 , 则 f ( 1)x(A)2(B) 0 (C) 1 (D) 2【答案】 A9 ．（2 013 年高考陕西卷（理））在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于3002m的内接矩形花园 ( 阴影部分 ), 则其边长x( 单位) 的取值范围是mx40m40m(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30]【答案】 C10 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））y 3 a a 6 6 a 3 的最大值为( )A.9B.9C. 33 2 2 D.2 【答案】 B 11．（ 2 013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数f x 的定义域为1,0, 则函数 f 2 x1 的定义域为(A) 1,1(B) 1, 1(C) -1,0 (D) 1 ,12 2第 2 页共 7 页【答案】 B 12．（ 2 013年高考湖南卷（理））函数 f x2ln x 的图像与函数g x x24x 5 的图像的交点个数为A.3B.2C.1D.0 【答案】 B 13．（ 2 013x2) 年高考四川卷（理））函数 y 的图象大致是(3x 1【答案】 C14．（ 2 013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知函数f x x2 2 a 2 x a2 ,g x x2 2 a 2 x a28. 设H1x max f x , g x , H 2x min f x , g x , max p, q表示 p,q 中的较大值 , min p,q 表示 p, q 中的较小值 , 记 H1x 得最小值为 A,H 2x 得最小值为 B ,则A B(A) a22a 16 (B) a22a 16 (C) 16 (D) 16【答案】 B15．（ 20 13年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））定义域为R 的四个函数 y x3 ,y 2x , y x21, y 2sin x 中 , 奇函数的个数是 ( )A . 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】 C16．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））若函数f (x)=x3 +bx+c 有极值点 x1 , x2 , 且 f (x1)=x1 , 则关于 x 的方程 3(f (x1)) 2 +2f(x)+b=0 的不同实根个数是(A)3 (B)4 (C) 5 (D)6【答案】 A17 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））函数第 3 页共 7 页f ( x) 2x | log 0.5x | 1的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C)3 (D) 4【答案】 B18．（ 2013年高考北京卷（理） ） 函数 f ( x) 的图象向右平移 1 个单位长度 , 所得图象与y=ex关于 y 轴对称 , 则 f( x)=A. e x 1B. e x 1C. e x 1D. e x 1【答案】 D19．（ 2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案 )）设 f -1( x) 为函数 f ( x) x 的反函数 ,下列结论正确的是( )(A)f 1(2) 2 (B) f 1(2) 4 (C) f 1(4) 2 (D) f 1(4)4【答案】 B20．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）若函 数 f x =x 2 ax 1 在 1 ,+ 是增函数 , 则 a 的取值范围是x 2(A) [-1,0] (B) [ 1, ) (C) [0,3] (D) [3, ) 【答案】 D 二、填空题21 ．（ 2013年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 ( 含 答案 ) ） 函 数 y log 2 x( 2)的 定 义 域是_______________【答案】 ( 2, )22．（ 2013 年高考上海卷（理） ）方程3x 31 3x1的实数解为 ________1 3 【答案】 x log3 4 .23（．2013 年高考上海卷（理））对区间 I 上有定义的函数g( x) , 记 g (I ){ y | y g( x), x I } ,已知定义域为[0,3]的函数y f ( x) 有反函数y f 1( x) , 且f 1 ([0,1)) [1,2), f 1 ((2,4]) [0,1), 若方程 f( x) x 0有解x0 ,则x0_____第 4 页共 7 页【答案】 x0 2 .24．（ 2 013年高考新课标 1（理））若函数 f ( x) = (1 x2 )( x2ax b) 的图像关于直线x2对称 , 则 f ( x) 的最大值是______.【答案】 16.25．（ 2 013年上海市春季高考数学试卷(含答案 )）方程 2x8 的解是_________________【答案】 3 26．（ 2 013年高考湖南卷（理））设函数f ( x) a x b x c x , 其中 c a 0,c b 0.(1)记集合 M (a,b, c) a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b , 则( a,b, c) M 所对应的 f ( x) 的零点的取值集合为____.(2)若 a,b, c是 ABC的三条边长，则下列结论正确的是 ______.( 写出所有正确结论的序号 )①x ,1 , f x 0;②x R,使 xa x ,b x , c x不能构成一个三角形的三条边长；③若 ABC为钝角三角形，则x 1,2 , 使 f x 0.【答案】 (1) (0，1](2) ①②③27．（ 2 013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD版含附加题））已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数 . 当x 0 时 , f ( x) x24x , 则不等式 f (x)x的解集用区间表示为 ___________. 【答案】5,0 5,28．（ 2 013年高考上海卷（理））设 a为实常数 , yf ( x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x 0时, f ( x)a27 , 若 f ( x) a 1对一切x0 成立 , 则 a 的取值范围为________9xx【答案】 a 8 . 7三、解答题29．（ 2 013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设函数第 5 页共 7 页f ( x) ax (1 a2 ) x2 , 其中 a 0 , 区间 I | x f (x)>0( Ⅰ) 求的长度 ( 注 : 区间 ( , ) 的长度定义为 ); ( Ⅱ) 给定常数 k (0,1) , 当时 , 求 l 长度的最小值 .【答案】解 : ( Ⅰ) f( x) x[ a (1 a 2 )x]( Ⅱ) 由( Ⅰ) 知 ,a 1 l2 11 aaa已知 k(0,1),0 1 - k a 1 k.令11 kg(a) a 1在 a 1 k时取最大值a0 x (0,a) . 所以区间长度为aa2.1 1 a2 1 - kk 20 11 - k恒成立 .1 k这时 l1 k 1 k(1 k )2 1 (1 k ) 211k所以当a1 k时， l取最小值1 (1 k )2 .30．（ 2013 年上海市春季高考数学试卷 (含答案 )）本题共有 3 个小题 ,第 1 小题满分 5 分, 第 2 小题满分 7 分 , 第 3 小题满分 6 分 .已知真命题 : “函数y f ( x) 的图像关于点P(a、b) 成中心对称图形”的充要条件为“函数y f ( x a) b 是奇函数” .(1 ) 将函数g( x) x33x2的图像向左平移1 个单位 , 再向上平移2 个单位 , 求此时图像对应的函数解析式 , 并利用题设中的真命题求函数g (x) 图像对称中心的坐标 ;(2 ) 求函数h( x) log 22x图像对称中心的坐标 ;4 x(3)已知命题 : “函数y f ( x) 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数 a 和 b, 使得函数 y f (x a) b 是偶函数” . 判断该命题的真假. 如果是真命题 ,请给予证明 ; 如果是假命题 , 请说明理由 , 并类比题设的真命题对它进行修改, 使之成为真命题( 不必证明 ).【答案】(1) 平移后图像对应的函数解析式为y (x 1)33(x 1)2 2 , 整理得 y x3 3x ,第 6 页共 7 页由于函数yx 3 3x 是奇函数 , 由题设真命题知 , 函数 g( x) 图像对称中心的坐标是(1， 2) . (2) 设 h( x) log 2 2x 的对称中心为 P(a ，b) , 由题设知函数 h(x a) b 是奇函数 .4 x设 f (x) h( x a) b, 2( x a) 2x 2a 则 f ( x) log 2 ( x a) b , 即 f (x) log 2 a b . 4 4 x 由不等式 2x 2a 0 的解集关于原点对称, 得 a 2 . 4 a x此时 f (x) lo g 2( x 2) ， ， . 2 x b x ( 2 2) 2 任取 x ( 2,2) , 由 f ( x) f (x) 0 , 得 b 1,所以函数 h(x)log 2 2x 图像对称中心的坐标是 (2，1) . 4 x (3) 此命题是假命题 .举反例说明 : 函数 f ( x) x 的图像关于直线 y x 成轴对称图像 , 但是对任意实数 a 和 b ,函数 y f (x a) b , 即 y x a b 总不是偶函数 .修改后的真命题 :“函数 y f ( x) 的图像关于直线 x a 成轴对称图像”的充要条件是“函数 y f ( x a)是偶函数” .第 7 页共 7 页。

2013年高考真题理科数学分类汇编（解析版）函 数1、（2013年高考（安徽卷））函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是 （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3【答案】B【解析】由题知，过原点的直线与曲线相交的个数即n 的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4. 所以选B 2、（2013年高考（北京卷））函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --3、（2013年高考（广东卷））定义域为R 的四个函数3y x =,2xy =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．4、（2013年高考（全国（广西）卷））已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意可知 1210,x -<+<，则112x -<<-。

故选B5、（2013年高考（全国（广西）卷））函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 【答案】A【解析】由题意知1112(0)21y y x y x +=⇒=<-， 因此，故选A6、（2013年高考（全国（广西）卷））若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭在是增函数，则的取值范围是（A ）[]-1，0 （B ）[]-∞1， （C ）[]0，3 （D ）[]3∞，+7、（2013年高考（湖南卷））函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】画出两个函数的图象，可得交点数。

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0] 12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos ＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，。

课时作业(十三)A [第13讲 导数在研究函数中的应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1． 当x ≠0时，有不等式( )A ．e x <1＋xB ．当x >0时，e x <1＋x ，当x <0时，e x >1＋xC ．e x >1＋xD ．当x <0时，e x <1＋x ，当x >0时，e x >1＋x2． 如图K13－1，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④3． 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．94． 已知a ≤1－x x＋ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3能力提升5． 函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a处有极值，则ab 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－36．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)7． 函数y ＝f ′(x )是函数y y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )＝f ′(x 0)·(x －x 0)＋f (x 0)图K13－2F (x )＝f (x )－g (x )，如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象如图K13－2所示，且a <x 0<b ，那么( )A ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极大值点B ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极小值点C ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是F (x )的极值点D ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0是F (x )的极值点图K13－38．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图K13－3所示，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.459． 函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－65<a <316B ．－85<a <－316C ．－85<a <－116D ．－65<a <－31610． 函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．11． 若x ∈[0,2π]，则函数y ＝sin x －x cos x 的单调递增区间是________．12．函数f (x )＝sin x 2＋cos x的单调递增区间是________． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．14．(10分)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12. (1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．15．(13分) 已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，a >1.(1)求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)对∀x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1恒成立，求a 的取值范围．难点突破16．(12分) 设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．课时作业(十三)A【基础热身】1．C [解析] 设y ＝e x －1－x ，∴y ′＝e x －1，∴x >0时，函数y ＝e x －1－x 是递增的，x <0时，函数y ＝e x －1－x 是递减的，∴x ＝0时，y 有最小值y ＝0.2．C [解析] 导函数的图象为抛物线，其变零点为函数的极值点，因此③④不正确．3．D [解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6，∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D.4．A [解析] 设f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x 2，当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，f ′(x )<0，故函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，故函数f (x )在[1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0.【能力提升】5．D [解析] f ′(x )＝3ax 2＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝3a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D. 6．A [解析] f ′(x )＝3x 2－3，f (x )极大＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小＝f (1)＝－2＋a ，函数f (x )有3个不同零点，则2＋a >0，－2＋a <0，因此－2<a <2.7．B [解析] F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)，∴F ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0，又当x <x 0时，从图象上看，x 越接近于x 0，函数f (x )的纵坐标与g (x )的纵坐标的差越小，此时函数F (x )＝f (x )－g (x )为减函数，同理，当x >x 0时，函数f (x )为增函数．8．C [解析] 从函数图象上可知x 1，x 2为函数f (x )的极值点，根据函数图象经过的三个特殊点求出b ，c ，d .根据函数图象得d ＝0，且f (－1)＝－1＋b －c ＝0，f (2)＝8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，故f ′(x )＝3x 2－2x －2.根据韦达定理x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 9．D [解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫163a ＋1⎝⎛⎭⎫56a ＋1<0，解得－65<a <－316. 10．2 [解析] f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．11．[0，π] [解析] y ′＝x sin x ，令y ′>0，即x sin x >0，得0<x <π.又x ∈[0,2π]，所以所求的单调递增区间是[0，π]．12.⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) [解析] f ′(x )＝(2＋cos x )cos x －sin x (－sin x )(2＋cos x )2＝2cos x ＋1(2＋cos x )2>0，即cos x >－12，结合三角函数图象知道，2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z )． 13.12⎝⎛⎭⎫e ＋1e [解析] 设P (x 0，e x 0)，则l ：y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，∴M (0，(1－x 0)e x 0)，过点P 作l 的垂线，y －e x 0＝－e －x 0(x －x 0)，∴N (0，e x 0＋x 0e －x 0)，∴t ＝12[(1－x 0)e x 0＋e x 0＋x 0e －x 0]＝e x 0＋12x 0(e －x 0－e x 0) t ′＝12(e x 0＋e －x 0)(1－x 0)，所以，t 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴x 0＝1，t max ＝12⎝⎛⎭⎫e ＋1e . 14．[解答] (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，所以f ′(x )＝2ax ＋b x. 又函数f (x )在x ＝1处有极值12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝0，a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数y15．[解答] (1)证明：f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a ，由于a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a >0，a x －1>0，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)可知，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在(－∞，0)上单调递减．所以，f (x )在区间[－1,0]上单调递减，在区间[0,1]上单调递增．所以f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )max ＝max{f (－1)，f (1)}，f (－1)＝1a＋1＋ln a ，f (1)＝a ＋1－ln a ， f (1)－f (－1)＝a －1a－2ln a ， 记g (x )＝x －1x －2ln x ，g ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x－12≥0， 所以g (x )＝x －1x －2ln x 递增，故f (1)－f (－1)＝a －1a－2ln a >0， 所以f (1)>f (－1)，于是f (x )max ＝f (1)＝a ＋1－ln a ，故对∀x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|max ＝|f (1)－f (0)|＝a －ln a ，a －ln a ≤e －1，所以1<a ≤e.【难点突破】16．[解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2， 令g (x )＝x 2－ax ＋1，其判别式Δ＝a 2－4.①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <－2时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >2时，Δ>0，g (x )的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42， 当0<x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．(2)由(1)知，a >2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)，所以 k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2， 又由(1)知，x 1x 2＝1.于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2， 若存在a ，使得k ＝2－a ，则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2.亦即 x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2>1)(*)， 再由(1)知，函数h (t )＝t －1t －2ln t 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2>1，所以x 2－1x 2－2ln x 2>1－11－2ln1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得k ＝2－a .。

课时作业 (五) [第 5 讲 函数的性质 ][时间： 45 分钟 分值： 100 分]基础热身1． 以下函数中，既是偶函数又在(0，＋∞ )上单一递加的是 ()A ． y ＝ x 3B ． y ＝ ln|x|1C ．y ＝ x 2D ． y ＝ cosx2． 已知 f( x)是定义在 R 上的偶函数，对随意的x ∈ R 都有 f(x ＋ 6)＝ f(x)＋ 2f(3) ，f(－1)＝ 2，则 f(2011) ＝( )A ．1B ．2C ．3D ． 42x 在 [1,2] 的最大值和最小值分别是 ()3．函数 f(x)＝ x ＋ 1A.4，1B ． 1,0 C.4，2D ．1， 233 3 34． 若函数 f(x)＝ x为奇函数，则 a ＝ ()1 2 3 2x ＋ 1 x －aA. 2B. 3C.4 D ． 1能力提高a － 3 x ＋5 x ≤ 1 ，5．已知函数 f(x)＝ 2ax>1 是 (－∞，＋∞ )上的减函数，则 a 的取值范x 围是 ()A ． (0,3)B ． (0,3]C ．(0,2)D ． (0,2]6． 函数 y ＝ f(x)与 y ＝ g(x)有同样的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何2f x ＋ f(x)的奇偶x ，有 f(x)＋ f(－ x)＝0， g(x) ·g(－ x)＝ 1，且当 x ≠0 时， g(x)≠ 1，则 F(x)＝ g x － 1性为 ( )A ．奇函数非偶函数B ．偶函数非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数7． 已知函数 f(x)＝ a x ＋ log a x(a ＞0 且 a ≠ 1)在[1,2] 上的最大值与最小值之和为log a 2＋ 6，则 a 的值为 ( )11A. 2B. 4 C ．2 D ．48．已知对于 x 的函数 y ＝ log a (2－ ax)在 [0,1] 上是减函数，则 a 的取值范围是 ()A ． (0,1)B ． (1,2)C ．(0,2)D ． [2，＋∞ )sin x π0≤ x ≤ 1 ， 9． 已知函数 f(x) ＝若 a ，b ，c 互不相等，且 f(a)＝ f(b)＝ f(c)，则 alog 2 010x x>1 ， ＋b ＋ c 的取值范围是 ()A ． (1,2 010)B ． (1,2 011)C ．(2,2 011)D ． [2,2 011]1，若 f(1) ＝－ 5，则 f[f(5)] ＝ ________.10．函数 f(x) 对于随意实数 x 知足条件 f(x ＋2) ＝f x11．f(x)是连续的偶函数，且当x>0 时 f(x)是单一函数，则知足x＋3的全部 x 之f(x)＝ f x＋4和为 ________．12．函数 f(x)的定义域为 D ，若对于随意的 x1，x2∈ D，当 x1<x2时，都有 f( x1 )≤ f(x2)，则称函数 f(x)为定义域 D 上的非减函数．设函数f(x)在 [0,1] 上为非减函数，且知足以下三个条件：① f(0) ＝ 0，② f(1－ x)＋ f(x)＝ 1，③ f x11＋ f5的值为 ________．3＝ f(x)，则 f312213．已知函数 y＝ f(x)的定义域为R，且对随意的正数d，都有 f( x＋ d)<f(x)，则知足 f(1－a)< f(a－ 1)的 a 的取值范围是 ________．－ 2x＋ b14． (10 分) 已知定义域为R 的函数f(x)＝2x＋1＋a是奇函数．(1)求 a， b 的值；(2)若对随意的t∈R，不等式f(t2－ 2t)＋ f(2t 2－ k)<0 恒建立，求k 的取值范围．15．(13 分 )已知函数f(x)在定义域 (0，＋∞ )上为增函数，且知足f(xy)＝ f(x)＋ f(y)，f(3)＝1.(1)求 f(9)， f(27)的值；(2)解不等式： f(x)＋ f(x－ 8)<2.难点打破16．(12 分 )已知函数 f(x) 的定义域为 { x|x≠ kπ， k∈Z } ，且对于定义域内的任何x、y，有f x·fy＋1建立，且 f(a)＝ 1(a 为正常数 )，当 0<x<2a 时， f(x)>0.f(x－ y)＝f y－f x(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)证明 f(x)为周期函数；(3)求 f(x)在 [2a,3a] 上的最小值和最大值．课时作业 ( 五)【基础热身】1． B [ 分析 ] y ＝ x3不是偶函数； y ＝ x 12在 (0，＋∞ )上单一递减； y ＝ cosx 在(0 ，＋∞ )上有增有减．2． B [ 分析 ] 令 x ＝－ 3，则 f(－ 3＋6)＝ f( － 3)＋ 2f(3)，因为 f(x) 是偶函数，所以 f( －3)＝ f (3)，所以 f(3)＝ 0，所以 f(x ＋6)＝ f(x)， 2011＝ 6× 335＋ 1，所以 f(2011)＝ f(1) ＝ f(－ 1)＝ 2.3． A [ 分析 ] ∵ f(x)＝ 2x ＝2 x ＋1 －2＝ 2－ 2，x ＋ 1 x ＋ 1 x ＋ 1又 f(x) 在[1,2] 上为增函数，∴ f(x) min ＝ f(1) ＝ 1， f(x)max ＝ f(2)＝ 43，应选 A.4．A [ 分析 ] 法一：由已知得f( x)＝ x定义域对于原点对称，因为该函数定2x ＋1 x － a义域为 x x ≠－ 1 且 x ≠ a ，知 a ＝ 1，应选 A.2 2 法二：∵ f(x)是奇函数，∴ f(－ x)＝－ f(x)，又 f(x) ＝2x x2＋ 1－ 2a x － a ，－ x －x 则 2x 2－ 1－ 2a x －a ＝2x 2＋ 1－2a x －a 在函数的定义域内恒建立，可得【能力提高】5． D [ 分析 ] ∵ f(x)为 (－∞，＋∞ )上的减函数，1a ＝2.a － 3<0 ，∴ 2a>0，解得 0<a ≤ 2.a －3 × 1＋ 5≥ 2a ，16． B [ 分析 ] ∵ f(x) ＋f(－ x)＝ 0，∴ f(－ x)＝－ f( x)．又∵ g(x) ·g(－ x)＝ 1，∴ g(－x)＝ 1g x ∵ F(x)＝ 2f x ＋ f(x)＝ f(x)2 g x － 1g x － 1 g x ＋ 1 ＝ f(x) ·.g x － 1g － x ＋ 1 ∴ F(－x) ＝ f(－ x) ·g － x － 11 ＋ 11＋ g x g x g x＝－ f(x) ·＝－ f(x) ·1 － 1 1－ g x g x g xg x ＋ 1＝ f(x) ·＝ F( x)．g x － 1∴ F(x)为偶函数．.＋ 17．C [分析 ] ∵函数 f(x)＝ a x ＋log a x(a ＞ 0 且 a ≠ 1)在 [1,2] 上拥有单一性， 所以最大值与最小值之和为 a ＋ a 2＋ log a 2＝ log a 2＋ 6，解得 a ＝ 2，应选 C.8． B [ 分析 ] 依题意 a ＞ 0 且 a ≠ 1，所以 2－ ax 在 [0,1] 上递减，a>1，所以2－ a>0，解得 1＜ a＜ 2，应选 B.9．C [ 分析 ] 因为函数 f(x)＝ sin πx(0 ≤x≤ 1)的图象对于直线x＝1对称，不如令 a<b<c，2由 f(a)＝ f(b)可得a＋b＝1，即 a＋ b＝ 1，又因为 0≤ sin πx≤ 1，所以 0<log 2 010c<1，解得 1<c<22 2010，所以 2<a＋ b＋c<2 011，应选 C.1[分析 ] ∵ f(5)＝ 1 ＝1＝ f(1) ＝－ 5，10．－5 f 31f 1∴ f[f(5)]＝ f(－ 5)＝ f(－ 1)＝1＝－1 .f － 1＋ 2511．－ 8[分析 ] 依题意当知足x＋ 3时，即① x＝x＋3时，得 x2＋ 3x－3＝ 0，此f(x)＝ f x＋4x＋ 4时 x1＋x2＝－ 3.②－ x＝x＋3时，得 x2＋ 5x＋3＝ 0，∴ x3＋ x4＝－ 5.∴知足 f( x)＝ f x＋ 3的全部x＋ 4x＋ 4x之和为－ 3＋ (－ 5)＝－ 8.12．1[分析 ]由 f(0)＝ 0，f(1－ x)＋ f(x)＝1，f x＝1f(x)，得 f(1) ＝1，f1＝1，f2＝1，152532153232因为152≤ f1<12< ，所以 f≤ f，所以 f＝，所以 f＋f＝ 1. 33312312231213． (－∞， 1)[分析 ] 因为 d>0 时， f(x＋d)< f(x)，所以函数y＝ f( x)是减函数，所以由f(1－ a)<f(a－ 1)得 1－ a>a－ 1，解得 a<1，所以 a 的取值范围是 (－∞， 1)．14． [解答 ] (1) 因为 f(x)是定义在R 上的奇函数，－1＋ b所以 f(0) ＝ 0，即＝0，2＋ a－2x＋ 1解得 b＝ 1，进而有 f(x)＝2x＋1＋a.又由 f(1) ＝－ f(－ 1)知－2＋1－1＋12＝－，4＋ a1＋a解得 a＝ 2.－ 2x＋ 1(2)由 (1) 知 f(x)＝x＋1＝－1＋x1，2＋ 2 2 2＋1由上式易知 f(x)在( －∞，＋∞ )上为减函数．由 f(x)为奇函数，得不等式f(t2－2t)＋ f(2t2－ k)<0 等价于 f(t2－ 2t)< －f(2t2－ k)＝ f(－ 2t2＋k)，又 f(x) 为减函数，由上式推得t2－ 2t>－ 2t2＋ k，即对全部 t∈R有 3t2－ 2t－k>0，1进而鉴别式＝ 4＋12k<0，解得 k<－ .15． [解答 ] (1) f(9) ＝ f(3)＋ f(3) ＝2，f(27) ＝f(9) ＋ f(3) ＝ 3.(2)∵ f(x)＋ f(x－ 8)＝ f[x(x－ 8)]< f(9) ，又函数 f(x)在定义域 (0，＋∞ )上为增函数，x>0， ∴ x － 8>0，解得 8<x<9.x x － 8 <9，即原不等式的解集为{ x|8<x<9} ．【难点打破】16． [解答 ] (1) ∵定义域 { x|x ≠ k π， k ∈ Z } 对于原点对称，又 f(－ x)＝ f[(a － x)－ a] ＝f a － x ·fa ＋ 1fa －f a － x＝1＋ f a － x1－ f a － xf a ·fx ＋ 11＋f x － f a＝f a ·fx ＋ 11－f x － f af x ＋ 1 1＋f x － 1＝1＋ f x1－f x － 1＝ 2f －x2 ＝－ f(x)，对于定义域内的每个 x 值都建立， ∴ f(x)为奇函数．f x ＋ 1(2)证明：∵ f(x － a)＝ 1－f x ，f x ＋ 1 ∴ f(x － 2a) ＝ f x － a ＋ 1＝1＋1－ f x ＝－ 1 ，1－ f x － af x ＋ 1 f x1－1－ f x∴ f(x － 4a) ＝－1＝1＝ f(x)，f x － 2a1f x∴函数 f(x)为周期函数．(3)设 2a<x<3a ，则 0<x －2a<a ，1∴由 (2)知 f(x － 2a)＝－>0 ，∴ f(x)<0 ，设 2a<x 1<x 2<3 a ，则 0<x 2－ x 1<a ，∴ f(x 1)<0 ， f(x 2)<0， f(x 2－ x 1)>0 ，f x 1 ·fx 2 ＋ 1∴ f(x 1)－ f(x 2) ＝ f x 2－ x 1 >0，∴ f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)在[2 a,3a] 上单一递减，又 f(2a)＝ f(a ＋a) ＝f[a － (－a)] ＝f a·f － a ＋ 1＝1－ f 2 a＝ 0，f(3a)＝ f(2a ＋ a)＝ f[2a － (－－2f af －a －faf 2a ·f － a ＋ 1 ＝ 1 ＝－ 1.a)] ＝ － f af － a － f 2a∴ f(x)在[2 a,3a] 上的最小值为－ 1，最大值为 0.。

课时作业(九) [第9讲 函数图象及性质的综合应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1． 若函数f (x )是R 上的减函数，且f (x )的图象经过点A (0,3)，B (3，－1)，则不等式|f (x ＋1)－1|<2的解集是( )A ．{x |0<x ≤2}B ．{x |0≤x <2}C ．{x |－1<x <0}D ．{x |－1<x <2}2． 函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )图K9－13．已知方程2x ＋x ＝0的实根为a ，log 2x ＝2－x 的实根为b ，log 12x ＝x 的实根为c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b >c >aB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c4． 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12 能力提升5． 已知图K9－2①是函数y ＝f (x )的图象，则图K9－2②中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |)6． 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图K9－3，则b 的取值范围为( )A ．b <0B ．b >0C ．b ≤0D ．b ≥07． 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图K9－4所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是( )－8．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度9．已知定义域为R 的函数f (x )在[2，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则( )A ．f (－1)<f (0)<f (2)<f (3)B ．f (－1)<f (3)<f (0)<f (2)C ．f (－1)<f (0)<f (3)<f (2)D ．f (2)<f (3)<f (0)<f (－1)10． 如图K9－6，正方形ABCD 的顶点A ⎝⎛⎭⎫0，22，B ⎝⎛⎭⎫22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是图K9－11． 已知定义在[0，＋∞)上的函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图K9－8所示，则不等式f (x )·g (x )>0的解集是________．图K9－812．从今年的x (x ∈[1,8)年内起，小李的年薪y (单位万元)与年数x 的关系是y ＝2＋0.2x ，小马的年薪与年数x 的关系是y ＝0.5＋1.2x ，大约经过________年，小马的年薪超过小李．13．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是________．14．(10分)如图K9－9，在第一象限内，矩形ABCD 三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝－18x 2＋58x 的图象上，且矩形的相邻的边分别与两坐标轴平行．若A点的纵坐标是2，求顶点D 的坐标．15．(13分)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间，f (x )的解析式(不必写推导过程)．难点突破16．(12分)已知二次函数y ＝g (x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g (x )在x ＝－1处取得最小值m －1(m ≠0)．设函数f (x )＝g (x )x.(1)若曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2，求m 的值； (2)k (k ∈R )如何取值时，函数y ＝f (x )－kx 存在零点，并求出零点．课时作业(九)【基础热身】1．D [解析] 化简原不等式得－1<f (x ＋1)<3，又∵f (x )的图象经过A (0,3)，B (3，－1)，∴f (0)＝3，f (3)＝－1，∴f (3)<f (x ＋1)<f (0)，∵函数f (x )为减函数，∴0<x ＋1<3，－1<x <2.2．A [解析] 设f (x )＝2x －x 2，f (－1)＝－12<0，f (0)＝1>0，f (3)＝－1<0，f (5)＝7>0，故函数y ＝2x －x 2至少在区间(－1,0)，(0,3)，(3,5)内有三个变号零点，综合各个选项可知只有选项A 符合这个性质．故选A.3．A [解析] 利用图象确定函数交点．4．B [解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位得到f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ωπ2＋φ＝sin(ωx ＋φ)的图象，与原图象重合，故ωπ2＝2k π，k ∈Z ，故ω不可能是6.【能力提升】5．C [解析] 由题图②知，图象对应的函数是偶函数，且当x <0时，对应的函数是y ＝f (x )，故选C.对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．6．A [解析] 解法一：观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)＝0，得d ＝0，又f (x )的图象过点(1,0)，∴a ＋b ＋c ＝0①，又有f (－1)＜0，即－a ＋b －c ＜0②，①＋②得b ＜0.解法二：由图象知f (x )＝0有三根0,1,2，∴f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax ，∴b ＝－3a ，∵a >0，∴b ＜0.7．A [解析] 设f (x )的零点为a ，b ，由图可知0<a <1，b <－1，则g (x )是一个减函数，可排除C 、D ，再根据g (0)＝1＋b <0，可排除B ，故正确选项为A.8．C [解析] 变换函数的解析式为y ＝lg(x ＋3)－1，只要把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度即可．答案为C.9．C [解析] 函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，图象关于y 轴对称，把这个函数图象向右平移2个单位即得到函数y ＝f (x )的图象，即函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．由函数f (x )在[2，＋∞)上为减函数，则函数f (x )在(－∞，2]上为增函数．由f (3)＝f (4－3)＝f (1)，故f (－1)<f (0)<f (3)<f (2)，正确选项为C.10．③ [解析] 当0<t ≤22时，f (t )＝12·t ·2t ＝t 2，当22<t ≤2时，f (t )＝1－12·(2－t )·2(2－t )＝－t 2＋22t －1，即函数f (t )在⎝⎛⎦⎤0，22上是开口向上的抛物线，在⎝⎛⎭⎫22，2上是开口向下的抛物线，故填③.11.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12或1<x <2或x >2 [解析] 由题图可知，当0<x <12时，f (x )>0，g (x )>0； 当12<x <1时，f (x )>0，g (x )<0； 当1<x <2时，f (x )<0，g (x )<0； 当x >2时，f (x )>0，g (x )>0.因此f (x )·g (x )>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12或1<x <2或x >2. 12．6 [解析] 画出函数图象，从图象上观察知道在这8年内先是小马的年薪低，中间超过了小李．令函数f (x )＝2＋0.2x －0.5－1.2x ＝1.5＋0.2x －1.2x ，则f (5)＝2.5－2.48832>0，f (6)＝2.7－1.26＝2.7－2.98598<0，根据函数的零点定理，存在x 0∈(5,6)，当x >x 0时，0.5＋1.2x >2＋0.2x ，由于x 是正整数，故在第6年小马的年薪超过小李的年薪．13.12≤a <1或1<a ≤2 [解析] 由题意可知a x >x 2－12在(－1,1)上恒成立，令y 1＝a x ，y 2＝x 2－12，由图象知：⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥(－1)2－12，a 1≥1－12，a >0且a ≠1，∴12≤a <1或1<a ≤2. 14．[解答] 显然，D 点的横坐标与A 点的横坐标相等，纵坐标与C 点的纵坐标相等．由于A 点在y ＝log 22x 的图象上，其纵坐标为2，所以横坐标为x ＝⎝⎛⎭⎫222＝12.要求C 点的纵坐标，需要求其横坐标，而它的横坐标等于B 点的横坐标．因为B 点的纵坐标y B ＝y A ＝2，所以x C ＝x B ＝4，从而y D ＝y C ＝12，故D ⎝⎛⎭⎫12，12. 15．[解答] (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，从而得 f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π) ＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )，故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4k (4k －1<x ≤4k ＋1)，2＋4k －x (4k ＋1<x ≤4k ＋3)＝1－|x －(4k ＋1)|(4k －1<x ≤4k ＋3，k ∈Z )．【难点突破】16．[解答] (1)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则g ′(x )＝2ax ＋b ， 又g ′(x )的图象与直线y ＝2x 平行， ∴2a ＝2，a ＝1.又g (x )在x ＝－1处取最小值，∴－b2＝－1，b ＝2.∴g (－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，c ＝m .f (x )＝g (x )x ＝x ＋m x＋2，设P (x 0，y 0)，则|PQ |2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝⎛⎭⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ，∴22m 2＋2m ＝2，∴m ＝－1±2.(2)由y ＝f (x )－kx ＝(1－k )x ＋mx＋2＝0，得(1－k )x 2＋2x ＋m ＝0，(*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f (x )－kx 有一个零点x ＝－m2；当k ≠1时，方程(*)有两解⇔Δ＝4－4m (1－k )>0，若m >0，k >1－1m，函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；若m <0，k <1－1m，函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；当k ≠1时，方程(*)有一解⇔Δ＝4－4m (1－k )＝0，k ＝1－1m，函数y ＝f (x )－kx 有一个零点x ＝1k －1.。

人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 设 D 是含数 1 的有限实数集，f (x ) 是定义在 D 上的函数．若 f (x ) 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1) 的可能取值只能是 ( ) A ． √3B ．√32C ．√33D ． 02. 如果函数 f (x )=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0,n ≥0) 在区间 [12,2] 上单调递减，那么 mn 的最大值为 ( ) A ．16 B ．18 C ．25D ．8123. 定义“函数 y =f (x ) 是 D 上的 a 级类周期函数”如下：函数 y =f (x )，x ∈D ，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数 T ，使得定义域 D 内的任意实数 x 都有 af (x )=f (x +T ) 恒成立，此时 T 为 f (x ) 的周期．若 y =f (x ) 是 [1,+∞) 上的 a 级类周期函数，且 T =1，当 x ∈[1,2) 时，f (x )=2x +1，且 y =f (x ) 是 [1,+∞) 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ． [56,+∞)B ． [2,+∞)C ． [53,+∞)D ． [10,+∞)4. 下列函数中，既是偶函数又在 (0,+∞) 上单调递增的函数是 ( ) A ． y =cosxB ． y =x 3C ． y =log 12xD ． y =e x +e −x5. 若函数 f (x )(x ∈R ) 为奇函数，f (1)=12，f (x +2)=f (x )+f (2)，则 f (5)= ( )A ． 0B ． 1C ． 52D ． 56. 设函数 f (x )={x 2+1,x ≤12x ,x >1，则 f(f (3)) 等于 ( )A ． 15B ． 3C ． 23D ．1397. 已知函数 f (x )={x 2−2ax +2a,x ≤12x −alnx,x >1．若关于 x 的不等式 f (x )≥a 2 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ． (−∞,2√e] B ． [0,32] C ． [0,2]D ． [0,2√e]8. 函数 f (x )=2x 2+2x x+1是 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数9. 已知函数 f (x )={2x −2−x ,x ≥02−x −2x ,x <0，若对任意的 x ∈R ，都有 f (2x +1)≥f (x −a ) 成立，则实数 a 的值为 ( ) A ． −12B ． 12C ． −1D ． 110. 如图，在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AD =DC =2，CB =√2，动点 P 从 A 点出发，按照 A →D →C →B 路径沿边运动，设 P 点运动的路程为 x ，△APB 的面积为 y ，则函数 y =f (x ) 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 记 t =x +y −a(x +2√2xy)，x >0，y >0．已知对任意的 x >0，y >0，恒有 t ≥0，则实数 a 的取值范围为 ．12. 若函数 f (x )=√1−log 2x 的反函数为 f −1(x )，则 f −1(x ) 的值域为 ．13. 已知函数 f (x )={x 2,x ≤0−x 2,x >0，则 f [f (−2)]= ．14. 已知函数 f (x )=sinx +tanx ．项数为 27 的等差数列 {a n } 满足 a n ∈(−π2,π2)，且公差 d ≠0，若 f (a 1)+f (a 2)+⋯+f (a 27)=0，则当 k = 时，f (a k )=0．15. 试写出一个与函数 y =x 2 定义域和值域都相同的函数 ．16. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数．当 x >0 时，f (x )=x 2−4x ，则不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为 ．三、解答题（共6题）17. 某工厂有一段旧墙长 14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为 126 m 2 的厂房，工程条件是：（1）建 1 m 新墙的费用为 a 元； （2）修 1 m 旧墙的费用为 a4 元；（3）拆去 1 m 的旧墙，用可得的建材建 1 m 的新墙的费用为 a2 元． 经讨论有两种方案：①利用旧墙一段 x m (0<x <14) 为矩形一边； ②矩形厂房利用旧墙的一面边长 x ≥14． 试写出两种方案中总费用关于 x 的函数关系．18. 定义在 R 上的严格减函数 y =f (x ) 满足：当且仅当 x ∈M ⊆R + 时，函数值 f (x ) 的集合为[0,2] 且 f (12)=1；对 M 中的任意 x 1，x 2 都有 f (x 1⋅x 2)=f (x 1)+f (x 2)．(1) 求证；14∈M ，18∉M ；(2) 求证：y =f (x ) 在 M 上的反函数 f −1(x ) 满足 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)； (3) 设 x ∈[0,2]，解不等式 f −1(x 2+x )⋅f −1(x +2)≤14．19. 已知函数 f (x ) 对一切实数 x ，y 都有 f (x +y )=f (x )+f (y )．(1) 求证：f (x ) 是奇函数；(2) 若 f (−3)=a ，试用 a 表示 f (12)．20. 判断函数 f (x )={x 2−2x +3,x >0,0,x =0,−x 2−2x −3,x <0. 的奇偶性．21. 设函数 y =f (x ) 的表达式为 f (x )=x 2+∣x −a ∣，其中 a 为实常数．(1) 判断函数 y =f (x ) 的奇偶性，并说明理由； (2) 设 a >0，函数 g (x )=f (x )x在区间 (0,a ] 上为严格减函数，求实数 a 的最大值．22. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (1)=1，对于任意的 x 1,x 2∈R (x 1≠x 2)，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0．(1) 解关于 x 的不等式 f (x 2−3ax )+f (2a 2)<0；(2) 若 f (x )≤m 2−2am +1 对所有 x ∈[−1,1]，a ∈[−1,1] 恒成立，求实数 m 的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】抽象函数2. 【答案】B【解析】当 m =2 时，f (x )=(n −8)x +1，要使其在区间 [12,2] 上单调递减，则 n −8<0⇒n <8，于是 mn <16，则 mn 无最大值．当 m ∈[0,2) 时，f (x ) 的图象开口向下，要使 f (x ) 在区间 [12,2] 上单调递减，需 −n−8m−2≤12，即 2n +m ≤18，又 n ≥0，则 mn ≤m (9−m2)=−12m 2+9m ． 而 g (m )=−12m 2+9m 在 [0,2) 上为增函数，所以 m ∈[0,2) 时，g (m )<g (2)=16，故 m ∈[0,2) 时，mn 无最大值． 当 m >2 时，f (x ) 的图象开口向上，要使 f (x ) 在区间 [12,2] 上单调递减，需 −n−8m−2≥2，即2m +n ≤12，而 2m +n ≥2√2m ⋅n ，所以 mn ≤18，当且仅当 {2m +n =12,2m =n. 即 {m =3,n =6. 时，取“=”，此时满足 m >2． 故 (mn )max =18．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的单调性3. 【答案】C【解析】 f (n +1)=af (n )=a (2n +1)≥2(n +1)+1，a ≥1+22n+1 对 n ≥1，n ∈N ∗ 恒成立， 所以 a ≥(1+22n+1)max=1+23=53．【知识点】函数的最大（小）值4. 【答案】D【解析】 y =cosx 是偶函数，但在 (0,+∞) 不是单调递增，y =x 3 和 y =log 12x 2 不是偶函数，所以只有 y =e x +e −x 满足题意． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性5. 【答案】C【解析】因为 f (x ) 为奇函数，所以 f (−1)=−f (1)， 又 f (x +2)=f (x )+f (2)，令 x =−1，得 f (1)=f (−1)+f (2)， 于是 f (2)=2f (1)=1；令 x =1，得 f (3)=f (1)+f (2)=32，于是 f (5)=f (3)+f (2)=52． 故选C ．【知识点】函数的奇偶性、抽象函数6. 【答案】D【解析】因为 f (3)=23≤1，所以 f(f (3))=(23)2+1=139．【知识点】分段函数7. 【答案】C【知识点】分段函数、恒成立问题8. 【答案】D【解析】因为 f (x )=2x 2+2x x+1的定义域为 {x∣ x ≠−1}，定义域不关于原点对称，所以 f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数． 【知识点】函数的奇偶性9. 【答案】A【解析】函数 f (x )={2x −2−x ,x ≥02−x −2x ,x <0，所以当 x ≥0 时，f (x )=2x −2−x ， −x <0，即 f (−x )=2x −2−x ， 所以 f (x )=f (−x )，同理当 x <0 时，f (x )=2−x −2x ， 则 −x >0，则 f (−x )=2−x −2x ， 即 f (x )=−f (−x )，综上可知，函数 f (x )={2x −2−x ,x ≥02−x −2x ,x <0 为偶函数，当 x ≥0 时，f (x )=2x −2−x ，此时 f (x ) 单调递增， 所以由偶函数对称性可知当 x <0 时 f (x ) 单调递减，若对任意的 x ∈R ，都有 f (2x +1)≥f (x −a ) 成立，则需 ∣2x +1∣≥∣x −a ∣，两边同时平方，移项化简可得3x2+(2a+4)x+1−a2≥0，由二次函数性质，可得Δ=(2a+4)2−4×3×(1−a2)≤0，化简可得(2a+1)2≤0，由平方数性质可知(2a+1)2≥0，所以只能是(2a+1)2=0，解得a=−12．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性、分段函数10. 【答案】A【解析】当x∈[0,2]时，y=f(x)=√2+12，x，y与x成正比，故排除C，D；当x∈(2,4]时，y=f(x)=1+√2，△APB的面积保持不变，排除B．故选A．【知识点】函数图象、函数的表示方法二、填空题（共6题）11. 【答案】{a∣ a≤12}【解析】由t≥0，得x+y≥a(x+2√2xy)．因为x>0，y>0，所以a≤x+2√2xy．因为2√2xy≤x+2y，所以x+2√2xy ≥x+yx+(x+2y)=12，当且仅当x=2y>0时，等号成立，因为a≤12，所以实数a的取值范围是{a∣ a≤12}．【知识点】均值不等式的应用12. 【答案】(0,2]【解析】求原函数定义域即解不等式1−log2x>0．【知识点】函数的值域的概念与求法13. 【答案】−16【解析】f[f(−2)]=f(4)=−16．【知识点】分段函数14. 【答案】14【解析】提示：函数 f (x )=sinx +tanx 为奇函数，a 1+a 27=a 2+a 26=⋯=2a 14=0 时，满足题意．又因为此函数在 (−π2,π2) 上为增函数，所以 k 只能等于 14． 【知识点】函数的奇偶性、等差数列15. 【答案】 y =(x +1)2（答案不唯一）【知识点】函数的相关概念16. 【答案】 (−5,0)∪(5,+∞)【解析】因为 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f (0)=0， 又当 x <0 时，−x >0，所以 f (−x )=x 2+4x ． 又 f (x ) 为奇函数，所以 f (−x )=−f (x )， 所以 f (x )=−x 2−4x (x <0)， 所以 f (x )={x 2−4x,x >00,x =0−x 2−4x,x <0①当 x >0 时，由 f (x )>x 得 x 2−4x >x ，解得 x >5； ②当 x =0 时，f (x )>x 无解；③当 x <0 时，由 f (x )>x 得 −x 2−4x >x ，解得 −5<x <0． 综上，不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为 (−5,0)∪(5,+∞)． 【知识点】函数的奇偶性、二次不等式的解法三、解答题（共6题）17. 【答案】方案①：修旧墙费用为 x ⋅a4 元，拆旧墙造新墙费用为 (14−x )⋅a2 元，其余建新墙费用为 (2x +2×126x−14)a 元，∴ 总费用 y =7a (x4+36x−1)(0<x <14)．方案②：利用旧墙费用为 14⋅a 4=7a 2（元），建新墙费用为 (2x +252x−14)a （元），总费用 y =2a (x +126x)−212a (x ≥14)．【知识点】建立函数表达式模型18. 【答案】(1) 因为 12∈M ，又 14=12×12，f (12)=1， 所以 f (14)=f (12×12)=f (12)+f (12)=2∈[0,2]，所以 14∈M ，又因为 f (18)=f (14×12)=f (14)+f (12)=3∉[0,2]， 所以 18∉M ．(2) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数，所以 y =f (x ) 在 M 上有反函数 y =f −1(x )，x ∈[0,2]．任取 x 1,x 2∈[0,2]，设 y 1=f −1(x 1)，y 2=f −1(x 2)， 所以 x 1=f (y 1)，x 2=f (y 2)（y 1,y 2∈M ）． 因为 x 1+x 2=f (y 1)+f (y 2)=f (y 1y 2)， 所以 y 1y 2=f −1(x 1+x 2)．又 y 1y 2=f −1(x 1)f −1(x 2)，所以 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)． (3) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数， 所以 f −1(x ) 在区间 [0,2] 上也是严格减函数．f −1(x 2−x )⋅f −1(x +2)≤14 等价于 f −1(x 2−x +x +2)≤f −1(2)．转化为 {0≤x 2−x ≤2,0≤x +2≤2,x 2+2≥2,解得 {−1≤x ≤0或1≤x ≤2,−2≤x ≤0,x ∈R. 即 −1≤x ≤0．所以，不等式的解集为 [−1,0]．【知识点】函数的单调性、抽象函数、反函数19. 【答案】(1) 由已知 f (x +y )=f (x )+f (y )， 令 y =−x 得 f (0)=f (x )+f (−x )， 令 x =y =0 得 f (0)=2f (0)， 所以 f (0)=0， 所以 f (x )+f (−x )=0， 即 f (−x )=−f (x )， 故 f (x ) 是奇函数．(2) 由（1）知 f (x ) 为奇函数． 所以 f (−3)=−f (3)=a ， 所以 f (3)=−a ．又 f (12)=f (6)+f (6)=2f (3)+2f (3)=4f (3)， 所以 f (12)=−4a ．【知识点】函数的奇偶性20. 【答案】若 x >0，则 −x <0，f (−x )=−(−x )2−2(−x )−3=−x 2+2x −3=−f (x )； 若 x =0，则 −x =0，f (−x )=f (0)=0=−f (0)；若 x <0，则 −x >0，f (−x )=(−x )2−2(−x )+3=x 2+2x +3=−f (x )． 综上所述 f (−x )={−x 2+2x −3,x >0,0,x =0,x 2+2x +3,x <0.所以 f (−x )=−f (x )，所以 f (x ) 是奇函数．【知识点】函数的奇偶性21. 【答案】(1) 当 a =0 时，y =f (x ) 为偶函数；当 a ≠0 时，y =f (x ) 为非奇非偶函数；(2) a ∈(0,1]．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值22. 【答案】(1) 因为对于任意 x 1,x 2∈[−1,1]，x 1≠x 2，总有 f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0，所以函数 f (x ) 在 [−1,1] 上是递增的奇函数．不等式 f (x 2−3ax )+f (2a 2)<0 变形为不等式 f (x 2−3ax )<−f (2a 2)=f (−2a 2)， 所以 x 2−3ax +2a 2<0⇒(x −2a )(x −a )<0． ①当 a >0 时，不等式解集为 {x∣ a <x <2a }； ②当 a =0 时，不等式解集为 ⌀；③当 a <0 时，不等式解集为 {x∣ 2a <x <a }．(2) 所以函数 f (x ) 在 [−1,1] 上是增函数，且 f (x )max =f (1)=1．所以问题转化为 t 2−2αt −1≥f (x )max =f (1)=1 对任意的 α∈[−1,1] 恒成立． 令 g (α)=m 2−2αm +1，α∈[−1,1]，只需 {g (1)=m 2−2m +1≥1,g (−1)=m 2+2m +1≥1, 解得 m =0 或 m ≥2 或 m ≤−2．所以实数 m 的取值范围为 {m∣ m =0 或 m ≥2 或 m ≤−2}． 【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性。

课时作业 (六 ) [第 6 讲 二次函数 ][时间： 35 分钟 分值： 80 分]基础热身2＋ (a 3－ a)x ＋ 1 在 (－∞，－ 1]上递加，则 a 的取值范围是 (1．已知函数 f(x) ＝ax)A ． a ≤ 3B ．－ 3≤ a ≤ 3C ．0< a ≤ 3D ．－ 3≤ a<02．已知二次函数 f(x)＝ax 2＋ (a 2＋b)x ＋ c 的图象张口向上，且f(0)＝ 1，f(1) ＝ 0，则实数b 的取值范围是 ( )A.－∞，－3B. －3，04 4C ．[0，＋∞ )D ． (－∞，－ 1)3．若不等式 (a － 2)x 2＋ 2(a － 2)x － 4<0 对全部 x ∈ R 恒建立，则 a 的取值范围是 ( )A ． (－∞， 2]B ． [ － 2,2]C ．( －2,2]D ． (－∞，－ 2)4．设二次函数 f(x)＝ x 2－ x ＋ a(a>0) ，若 f(m)<0 ，则 f(m － 1)的值为 ( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．不确立 能力提高5．设函数 f(x)＝ x|x|＋ bx ＋c ，给出以下四个命题：① c ＝ 0 时， f(x)是奇函数；② b ＝ 0，c>0 时，方程 f(x)＝ 0 只有一个实根；③ f(x) 的图象对于点 (0， c)对称；④方程 f(x)＝ 0 至多有 两个实根．此中正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ． 46．若函数 f(x)＝ x 2＋ ax ＋b 有两个零点 x 1，x 2 ，且 1<x 1<x 2<3，那么在 f(1) ，f(3)两个函 数值中 ()A ．只有一个小于 1B ．起码有一个小于 1C ．都小于 1D ．可能都大于 17．设 b>0 ，二次函数 y ＝ ax 2 ＋bx ＋ a 2－ 1 的图象为以下之一，则a 的值为 ()①②③ ④图 K6－1A ．1B ．－ 1－ 1－5－1＋5C. 2D. 22＋ax － b ＋ 1(a ，b ∈ R ) 对随意实数8．已知函数 f(x)＝－ x x 都有 f(1－ x)＝ f(1＋ x)建立，若当 x ∈ [－ 1,1] 时， f(x)>0 恒建立，则实数 b 的取值范围是 ( )A ．－ 1<b<0B ．b<－ 2C ．b<－ 1 或 b>2D ．不可以确立9．以下四个命题： (1) 函数 f(x) 在 x>0 时是增函数， x<0 时也是增函数，因此 f(x)是增函数； (2) 若函数 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ 2 与 x 轴没有交点，则 b 2－ 8a<0 且 a>0； (3)y ＝ x 2－ 2|x|－ 3 的递加区间为 [1，＋∞ )； (4)y ＝ 1＋ x 和 y ＝ 1＋ x 2表示同样的函数．此中正确命题的个数是________．2＋ 2x ＋ c(x ∈ R ) 的值域为 [0，＋∞ )，则 f(1) 的最小值为10． 已知二次函数f(x)＝ ax ________．3x 2的最大值不大于 1，又当 x ∈ 1，1 时，f(x)≥ 1，则 a ＝ ________.11．已知函数 f(x)＝ ax －26 4 2 812．(13 分 )某自来水厂的蓄水池存有400 吨水，水厂每小时可向蓄水池中灌水60 吨，同时蓄水池又向居民小区不中断供水，t 小时内供水总量为1206t吨 (0≤ t≤ 24)．(1)从供水开始经过多少小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80 吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24 小时内，有多少小时出现供水紧张现象．难点打破13．(12 分 )已知二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx(a≠ 0)，且 f(x＋1) 为偶函数，定义：知足f(x)＝ x 的实数 x 称为函数 f(x)的“不动点”，若函数f( x)有且仅有一个不动点．(1)求 f(x)的分析式；(2)若函数 g(x)＝ f(x)＋ kx2在 (0,4)上是增函数，务实数 k 的取值范围；(3)能否存在区间 [m， n](m<n)，使得 f(x)在区间 [m， n]上的值域为 [3 m,3n] ？若存在，恳求出 m，n 的值；若不存在，请说明原因．课时作业 ( 六)【基础热身】 1．D23a 3－ a≥－ 1 且 a<0， [分析 ] f(x)＝ ax ＋ (a － a)x ＋ 1 在 (－∞，－ 1] 上单一递加， 有－2a得－ 3≤ a<0.2． D [ 分析 ] 由 f(0)＝ 1，f(1) ＝ 0 得 c ＝1， a ＋ a 2＋ b ＋ 1＝ 0， b ＝－ a 2－ a － 1(a>0)，得b<－ 1.3． C [ 分析 ] 当 a － 2＝0 即 a ＝ 2 时，不等式为－ 4＜ 0 恒建立，∴ a ＝ 2 知足题意；当a － 2<0，a － 2≠ 0 时，则 a 知足 解得－ 2＜a ＜ 2.因此 a 的范围是－ 2＜ a ≤ 2.<0，4． A [ 分析 ] ∵ f(x)＝ x 2－ x ＋ a 的对称轴为直线 x ＝ 1，且 f(1)>0 ，f(0)>0 ，而 f(m) ＜0，2∴m ∈ (0,1) ，∴ m － 1＜ 0，∴ f(m － 1)>0.【能力提高】5． C [ 分析 ] 对于①， c ＝ 0 时， f(－ x)＝－ x|－ x|＋ b(－ x)＝－ x|x|－ bx ＝－ f(x)，故 f( x) 是奇函数；对于②， b ＝ 0，c>0 时， f(x)＝ x|x|＋ c ，∴当 x ≥0 时， x 2＋ c ＝0 无解， x<0 时， f(x) ＝－ x 2＋ c ＝ 0，∴ x ＝－ c ，有一个实数根；对于③， f(－ x)＋ f(x) ＝ [－ x|－ x|＋ b(－ x)＋ c] ＋( x|x|＋ bx ＋ c)＝－ x|x|－ bx ＋ c ＋ x|x|＋ bx ＋ c＝ 2c ，∴ f(x)的图象对于点 (0， c)对称；对于④，当 c ＝ 0 时， f(x)＝ x(|x|＋ b)，若 b<0，则方程有三根0， b ，－ b ，应选 C.6．B [分析 ] 当函数图象对于直线 x ＝2 对称时， ＝ 16－ 4b>0，b<4，f(1)， f(3)都小于 1；当函数图象对称轴不是直线 x ＝ 2 时， f(1) ， f(3) 中起码有一个小于 1.(0,0)，则 a 2－ 1 7． B [分析 ] 由 b>0 可知，①、②图象不正确；由③、④图象均过点ba ＝－ 1 时， f( x) ＝0? a ＝ ±1.当 a ＝ 1 时， b>0，f(x)的对称轴为 x ＝－ <0 ，此时不合题意；当2b B.的对称轴 x ＝ >0 ，③图象知足，应选28．B [分析 ] 由 f(1－ x)＝ f(1＋ x)得对称轴为直线 x ＝ 1，因此 a ＝2.当 x ∈ [－ 1,1]时，f(x)>0恒建立，得 f(x)min ＝ f(－ 1)>0，即－ 1－2－ b ＋ 1>0? b<－ 2.9．01；(2)不必定 a>0，a ＝ b ＝ 0 也可； (3)画出图象 (图略 )可知，[分析 ] (1) 反例 f(x)＝－ x递加区间为 [－ 1,0]和 [1，＋∞ )； (4) 值域不一样．10． 4 [ 分析 ] 由题意知 a>0，f(1) ＝ a ＋ c ＋ 2≥ 2＋2 ac ＝ 4.4－ 4ac ＝ 0，3a 2 1 2 11． 1[分析 ] f(x)＝－ 2 x － 3 ＋ 6a ，1 2 1af(x)max ＝ a ≤，得－ 1≤a ≤ 1，对称轴为 x ＝ .66331 1当－ 1≤ a<4时，4，2 是 f(x)的递减区间，而 f(x) ≥18，1 a 3 1即f(x)min＝f2 ＝ 2－8≥8? a ≥1，3与－ 1≤ a< 矛盾；1＋ 13 1 a1 1 423当 4≤ a ≤ 1 时， 4≤ 3≤ 3，且 3<2＝ 8，因此 f(x) min ＝ f 1 ＝a － 3≥ 1? a ≥ 1，2 2 8 8 而 3≤ a ≤ 1，因此 a ＝ 1.412． [解答 ] (1) 设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨，则 y ＝ 400＋ 60t － 120 6t(0≤ t ≤ 24)．令 6t ＝ x ，则 x 2＝ 6t 且 0≤ x ≤12，∴ y ＝ 400＋ 10x 2－ 120x ＝ 10(x － 6)2＋ 40(0 ≤ x ≤12)， ∴当 x ＝6，即 t ＝ 6 时， y min ＝ 40，即从供水开始经过 6 小时，蓄水池水量最少，只有 40 吨． (2)依题意 400＋ 10x 2－ 120x<80 ， 得 x 2－ 12x ＋32<0，解得 4<x<8，即 4< 6t<8，∴ 8<t< 32.3 3∵ 32－8＝ 8，∴每日约有 8 小时供水紧张．3 3 【难点打破】13． [解答 ] (1) ∵ f(x ＋ 1)＝ a(x ＋ 1)2＋ b(x ＋ 1)＝ ax 2＋ (2a ＋b)x ＋a ＋ b 为偶函数，∴ 2a ＋b ＝ 0，∴ b ＝－ 2a ，∴ f(x)＝ax 2－2ax.∵函数 f(x)有且仅有一个不动点， ∴方程 f(x)＝ x 有且仅有一个解，即 ax 2－ (2a ＋ 1)x ＝0 有且仅有一个解，∴ 2a ＋1＝ 0， a ＝－12，1 2∴ f(x)＝－ 2x ＋ x.21 2(2) g ( x)＝ f(x)＋ kx ＝ k － 2 x ＋ x ，1其对称轴为 x ＝ 1－2k .因为函数 g(x)在 (0,4) 上是增函数， ∴当 k<1时，1 ≥ 4，解得 3≤ k<1；21－ 2k 8 2当 k ＝ 1时，切合题意；当 k>1时， 1 <0 恒建立．22 1－2k 综上， k 的取值范围是3，＋∞ .118112 2 ≤ ，(3)f(x)＝－ x ＋ x ＝－ 2(x － 1) ＋222∵在区间 [m ， n] 上的值域为 [3 m,3n] ，∴ 3n ≤1，∴ n ≤1，2 6故 m<n ≤ 1，∴ f( x)在区间 [m ， n] 上是增函数， 6f m ＝ 3m ， － 1m 2＋ m ＝3m ，2 ∴即1f n ＝ 3n ，－ 2＋ n ＝ 3n ，2 n∴m， n 是方程－1x2＋ x＝3x 的两根，2由－12x2＋ x＝3x，解得 x＝0 或 x＝－ 4，∴m＝－ 4， n＝ 0.。