高考数学总复习(讲+练+测)： 专题9.7 抛物线(讲)文

高考数学总复习(讲+练+测)：专题9.7 抛物线(讲)文高考数学总复习(讲+练+测)：专题9.7抛物线(讲)文最新的中小学试题、试卷和教案材料专题9.7抛物线5年统计分析和预测考试大纲的内容，考点1考查抛物线的定义；2.检查抛物线的标准方程式，结合（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在描绘现实世界和解决实际问题中的作用抛物线（2）了解抛物线的定义、几何学，抛物线的标准方程和简单性质（4）理解圆锥曲线的简单应用（5）理解数与形相结合的思想。

2022？新课程标准II 10；2022？新课程标准i.10；二、10; 2022？新课程标准I.5；2022？新课程标准i.20；二、5.2022？新课程标准i.20；二、12.用待定系数法求解抛物线基本量之间的关系；3.检查抛物线的几何特性；4.检查抛物线、双曲线和椭圆的合成。

准备的5个要点：（1）掌握抛物线的定义、标准方程和几何性质；（2）熟练运用方程思想和待定系数法；（3）运用数形结合的思想灵活处理综合问题[知识列表]1.抛物线的标准方程及几何性质图解标准方程顶点范围对称轴焦点偏心拟线性方程y=－2px（p＞0）22x=2py（p＞0）2x=－2py（p＞0）y=2px（p＞0）o（0，0）x≥0，y?rx轴2x≤0，y?ry≥0，x?ry轴y≤0，x?r?p?f?,0??2?e=1?p?f??,0??2??p?f?0,??2?p??f?0,??2??x??p2x?p2y??p2y?p21最新的中小学试题、试卷和教案材料焦半径对点练习：|mf |？x0？p2 | mf |？Px02 | mf |？y0？p2 | mf |？PY002〔2022高考新课标第1卷〕以抛物线顶点为中心的圆在A和B两个点相交，如果C＝42＝25，则相交C的准直为两点D和E；从C的焦点到准直线的距离是（）（a）2（b）4（C）6（d）8[答案]b2.抛物线的定义及应用平面上一点的轨迹等于固定点F和固定线L之间的距离（L不通过点F）称为抛物线，固定点F称为抛物线的焦点，固定线L称为抛物线的准直x2y2【2021山东，文15】在平面直角坐标系xoy中,双曲线2?2?1(a?0，b?0)的右支与焦点为f的抛AB对象线x？2PY（P？0）与a点和B点相交。

第7讲 抛物线基础知识整合1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离01相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的02准线.其数学表达式：03|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离). 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴04y ＝005x ＝0焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F 06⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，0F 07⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，p 2F 08⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝091准线方程 10x ＝－p211x ＝p212y ＝－p213y ＝p2范围 14x ≥0，y ∈R 15x ≤0，y ∈R 16y ≥0，x ∈R 17y ≤0，x ∈R 开口方向向18右向19左向20上向21下抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)若A 在第一象限，B 在第四象限，则|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p； (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p .1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为( ) A ．y ＝－18B ．y ＝－14C ．y ＝－12D ．y ＝－1答案 A解析 由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，故选A ．2．(2019·黑龙江联考)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194B ．92C ．3D ．4答案 D解析 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1.根据抛物线的定义可知5＝n ＋1，解得n ＝4.故选D ．3．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y答案 A解析 设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y ，选A ．4．已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )A ．2B ．±2C ．4D ．±4答案 D解析 由y ＝x 28，得x 2＝8y ，∴抛物线C 的准线方程为y ＝－2，焦点为F (0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF |＝2y 0＝y 0＋2.解得y 0＝2，∴x 0＝±4.故选D ．5．(2019·广东中山统测)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．6B ．8C ．9D ．10答案 B解析 由题意知，抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1.∵过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2.又x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B ．6．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4答案 C解析 利用|PF |＝x P ＋2＝42，可得x P ＝32， ∴y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝2 3.故选C ．核心考向突破角度1 例1 (2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)答案 D解析 过M 点作准线的垂线，垂足为N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．角度2 到点与准线的距离之和最小问题例2 (2020·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．答案 5解析 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.角度3 到定直线的距离最小问题例3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3答案 B解析 由题意可知l 2：x ＝－1 是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，如图所示，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．[即时训练] 1.(2019·潍坊质检)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)答案 B解析如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，即当且仅当A，P，N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同，即为1，则可排除A，C，D，故选B．2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )A． 3 B． 5C．2 D．5－1答案 D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.考向二抛物线的方程例4 (1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是( )A．x＝－4 B．x＝4C．y2＝8x D．y2＝16x答案 D解析∵点M到F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M 的轨迹方程为y2＝16x.(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________.答案 x 2＝4y解析 因为△FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线的方程为x 2＝4y .抛物线标准方程的求法求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定，也就是说，不必设为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．[即时训练] 3.(2019·衡水中学调研卷)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36x D ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以设该点为P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p 2＝10①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .4．(2019·运城模拟)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝－3y D ．x 2＝3y答案 D解析 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y . 考向三 抛物线的性质例5 (1)过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条答案 B解析 若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，代入抛物线y 2＝2x ，得k 2x 2－(k 2＋2)x＋14k 2＝0，因为A ，B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝± 2.所以这样的直线有两条． (2)(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 如图，由题意可得，点P (1,2)在抛物线上，将P (1,2)代入y 2＝4ax ，解得a ＝1，∴y 2＝4x ，由抛物线方程可得，2p ＝4，p ＝2，p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)．(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．[即时训练] 5.(2019·长沙模拟)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2答案 A解析 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D ．因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1，故选A ．6．在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．答案 x ＝－52解析 OA 的中点的坐标为(2,1)，斜率k OA ＝12，OA 的垂直平分线的方程为y －1＝－2(x－2)，即y ＝－2x ＋5.又抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在x 轴上，即y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝－2x ＋5，得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，∴52＝p 2，∴抛物线的准线方程为x ＝－52.考向四 直线与抛物线的位置关系例6 (2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．解 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1. 设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4；当t ＝±1时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.综上，圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4或x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点在x 轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．[即时训练] 7.(2020·福建泉州第一次质量检测)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A ，B 在C 上，F 为线段AB 的中点，|AB |＝4.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点．若C 上仅存在三个点K i (i ＝1,2,3)，使得△MNK i的面积等于16，求l 的方程．解 解法一：(1)由抛物线的对称性，可知AB ∥x 轴，且A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－2，p 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，p 2，所以4＝2p ·p 2，解得p ＝2，故C 的方程为x 2＝4y .(2)如图，作与l 平行且与C 相切的直线l ′，切点为K .由题意，可知△MNK 的面积等于16.设l 的方程为y ＝kx ＋1，方程x 2＝4y 可化为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，令y ′＝k ，解得x ＝2k ，将x ＝2k 代入x 2＝4y ，得y ＝k 2，故K (2k ，k 2)，所以K 到l 的距离d ＝|2k 2－k 2＋1|k 2＋1＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以|MN |＝k 2＋1x 1＋x 22－4x 1x 2＝4(k 2＋1)，故△MNK 的面积为12|MN |·d ＝2(k 2＋1)k 2＋1，从而2(k 2＋1)k 2＋1＝16，解得k ＝3或k ＝－ 3.所以l 的方程为y ＝3x ＋1或y ＝－3x ＋1.解法二：(1)设A (x 0，y 0)，B (x 0′，y 0′)，则x 20＝2py 0，x 0′2＝2py 0′，因为F 为AB 的中点，所以x 0＋x 0′＝0，y 0＋y 0′＝p ，故y 0＝y 0′＝p2，从而|AB |＝2|x 0|，故|x 0|＝2，所以4＝2p ·p2，解得p ＝2，故C 的方程为x 2＝4y .(2)直线l 斜率显然存在，设直线l的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1消去y ，得x 2－4kx －4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以|MN |＝k 2＋1x 1＋x 22－4x 1x 2＝4(k 2＋1)，因为点K 在C 上，设K ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14m 2，则点K 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1k 2＋1，△MNK 的面积等于16，所以关于m 的方程12×4(k 2＋1)×⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1k 2＋1＝2k 2＋1⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1＝16恰有三个不同实根，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪14m 2－km －1＝8k 2＋1恰有三个不同实根，所以m ＝2k ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪142k2－k ·2k －1＝k 2＋1＝8k 2＋1，解得k ＝3或k ＝－ 3.所以l 的方程为y ＝3x ＋1或y ＝－3x ＋1.1．(2019·长沙模拟)已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于________.答案 2解析 依题意，得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义，知|MF |＝|MK |，由|FM ||MN |＝55，则|KN |∶|KM |＝2∶1，即k FN ＝0－2p 2－0＝－4p ，得－4p＝－2，解得p＝2.2．(2019·山东临沂三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线m 与C 交于A ，B 两点，AF ⊥BF ，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 准线的垂线，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为________．答案2解析 如图所示，设抛物线的准线为l ，作AQ ⊥l 于点Q ，BP ⊥l 于点P ，由抛物线的定义可设|AF |＝|AQ |＝a ，|BF |＝|BP |＝b ，由勾股定理可知|AB |＝|AF |2＋|BF |2＝a 2＋b 2，由梯形中位线的性质可得|MN |＝a ＋b2，则|AB ||MN |＝a 2＋b2a ＋b2≥12a ＋b 2a ＋b 2＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，即|AB ||MN |的最小值为 2.答题启示圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法转化为向量关系，或有关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数求解．对点训练1．(2019·安徽宣城第二次调研)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AF |>|BF |，则|AF ||BF |＝________. 答案 3解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∵直线l 的倾斜角为60°，∴直线l的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，设直线l 与抛物线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，联立方程组，消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p 6，∴|AF |＝x 1＋p 2＝2p ，|BF |＝x 2＋p 2＝2p 3，∴|AF |∶|BF |＝3∶1，∴|AF ||BF |的值为3.2．(2019·湖北八校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过F 作斜率大于0的直线与抛物线C 交于M ，N 两点(M 在x 轴上方)，且与直线l 交于点Q .若|FN ||NQ |＝34，|MF |＝16，则p 的值为________．答案 4解析 过M ，N 分别作l 的垂线，垂足分别为M 1，N 1，过F 作MM 1的垂线，垂足为P .∵|FN ||NQ |＝34，∴|NN 1||NQ |＝34，∴|MP ||MF |＝34， ∴|MP |＝34|MF |，∴|MF |＝|MM 1|＝|MP |＋p ＝34|MF |＋p ，∴p ＝4.。

抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（ ）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为 抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴 上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（ ）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（ ）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（ ）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（ ）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（ ）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（ ）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（ ）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（ ）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（ ）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（ ）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（ ）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（ ）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。

第七节抛物线【考纲解读】考查抛物线的标准方程，【知识清单】1.抛物线的标准方程及几何性质＞对点练习：【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为（ ） (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B2. 抛物线的定义及应用平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 对点练习：【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =±【解析】3. 直线和抛物线的位置关系（1）将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm -+=若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若0k ≠①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=12||y y -对点练习：【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0(（2）设1122(x ,y ),(x ,y )P Q ，线段PQ 的中点00(x ,y )M 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ, 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22y px y x b⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠ 从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(x ,y )M 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上 所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多. 选择题或填空题与椭圆、双曲线综合趋势较强，解答题增多.【重点难点突破】考点1 抛物线的标准方程及几何性质【1-1】已知P 是抛物线2y x =上任意一点，则当P 点到直线20x y ++=的距离最小时，P 点与该抛物线的准线的距离是( )A ．2B ．1C ．21D ．41 【答案】C【解析】当直线b x y +-=与抛物线相切于P 点时，到直线02=++y x 的距离最小，把b x y +-=代入2x y =得02=-+b x x ，由于相切041=-=∆∴b 得41-=b ，因此⎪⎭⎫⎝⎛-41,21P ，此点到准线41-=y 的距离为21. 【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于54，则抛物线的方程为( ) A ．y 2=4x B ．y 2=8x C ．x 2=4y D ．x 2=8y 【答案】B【1-3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为( ). A ．12B ．1C ．2D ．4 【答案】C【解析】圆07622=--+x y x 化为16)3(22=+-y x ，)0(2>-=p px 与圆16)3(22=+-y x 相切，12-=-∴p，即2=p . 【综合点评】1. 在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p ，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；2. 标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 【领悟技法】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 【触类旁通】【变式一】如图，过抛物线y 2＝2px (p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6xC．y2＝3x D．y2【答案】C【变式二】【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x=﹣1于N，由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF 最大，就是直线PA的斜率最大，设在PA 的方程为：y=k （x+1），所以，解得：k 2x 2+（2k 2﹣4）x+k 2=0，所以△=（2k 2﹣4）2﹣4k 4=0，解得k=±1， 所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故选B ．【综合点评】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素． 2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解. 考点2 抛物线的定义及应用【2-1】【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下学期五校联考】抛物线2(0)y ax a =>上的点03,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离为2，则a =_____________； POF ∆的面积为____________.【答案】【2-2】【2017届浙江省温州市高三第二次模拟】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点．若（为坐标原点），则_______.【答案】【2-3】【2017课标II ，文12】已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）1.【四川省成都市2017届高中毕业班摸底】对抛物线212x y =，下列判断正确的是（ ） A ．焦点坐标是(3,0) B ．焦点坐标是(0,3)- C ．准线方程是3y =- D ．准线方程是3x = 【答案】C【解析】因为212p =，所以32p=，又焦点在y 轴上，∴焦点坐标是()0,3，准线方程是3y =-，故选C.2.已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点,且与直线3420x y ++=相切,则该圆的方程为（ ）A ．2264(1)25x y -+=B ．2264(1)25x y +-=C ．22(1)1x y -+= D ．22(1)1x y +-= 【答案】C3.已知F 是抛物线24y x =的焦点，A B ， 是抛物线上的两点，12AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 11 【答案】B【解析】∵212A B AF BF x x +=++=，∴10A B x x +=，∴52A Bx x +=，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为5，故选B.4. 已知不过原点的直线l 与2y x =交于A B 、两点，若使得以AB 为直径的圆过原点，则直线l 必过点（ ）A.()0,1B.()1,0C.()0,2D.()1,0，()1,0- 【答案】A5.已知抛物线2:16C x y =的焦点为F ，准线为l ，M 是l 上一点，P 是直线MF 与C 的一个交点，若3FM FP =，则PF =（ ） A ．163 B ．83 C ．53 D ．52【答案】A【解析】由点P 向准线l 引垂线PN ，∵3FM FP =，∴||1||2PF PM =，由定义有||||PF PN =，即||1||2PN PM =，即030PMN ∠=，由//PN FQ ，有22||||33PN FQ P ==，∴22816||||333PF FN P ⨯====． 6.已知P 是抛物线x y 42=上的一个动点,Q 是圆()()22311x y -+-=上的一个动点,)0,1(N是一个定点 ）A ．3B ．4C ．5D 【答案】A【解析】设圆心(3,1)为点M ，则PQ PN +的最小值可以记为1PM PN +-的最小值，结合抛物线的定义，可知其为点(3,1)到准线的距离即为PM PN +的最小值，所以最值为3113+-=，故选A．7.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为,那么|PF|等于()(B)8(D)16【答案】B8. 已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若MA·MB=0,则k等于()(A) 12(B)(C) (D)2【答案】D【解析】法一设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由()22,8,y k xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,∴x1+x2=()2242 kk+,x1x 2=4,由MA·MB=0,得(x 1+2,y 1-2)·(x 2+2,y 2-2)=(x 1+2)(x 2+2)+[k(x 1-2)-2][k(x 2-2)-2]=0, 代入整理得k 2-4k+4=0, 解得k=2.故选D.9.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．43【答案】D【解析】由于点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，所以22482p p y x -=-∴=∴=，设直线AB 的方程为(3) 2......()x k y =--*，将()*与28y x =联立，即2(3)28x k y y x=--⎧⎪⎨=⎪⎩2824160......()y ky k ⇒-++=⊗，则264966402k k k =--=∴=（负值舍去），将k =2代入()⊗得y =8，即可求出x =8，故B （8,8），所以804823BFk -==-，故选D . 10.已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （ ） A.27 B. 3 C. 25D. 2 【答案】B二、填空题11.若点()8,2-M 在抛物线px y 22=的准线上，则实数p 的值为 ．【答案】4【解析】抛物线的准线方程是2-2=-=px ，所以4=p ．12.【江西省新余市第一中学2017届高三上学期开学考试】已知抛物线2:4C y x =的焦点为,0F 为坐标原点, 点P 在抛物线C 上, 且PF OF ⊥,则OF PF -=【解析】易知|OF|=1, ||2PF =,则|||||||OF PF FO FP OP OF -=-===13.【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考】抛物线()02≠=a ax y 的准线方程为 .【答案】ay 41-= 【解析】221y ax x y a =⇒=，所以准线方程为ay 41-=. 14.已知直线:10l x y -+=与抛物线2:4C x y =交于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上一动点，且在直线l 下方，则△PAB 的面积的最大值为 .【答案】15．平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 . 【答案】3216.如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A 、B 分别在抛物线x y 82=及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，，则FAB ∆的周长的取值范围是_______________.【答案】()8,12.【解析】易知圆()22216x y -+=的圆心坐标为()2,0，则圆心为抛物线28y x =的焦点，圆()22216x y -+=与抛物线28y x =在第一象限交于点()2,4C ，C DyxOBAF三、解答题17.【2016高考浙江文数】如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.【答案】（I ）2p =；（II ）()(),02,-∞+∞.【解析】(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离.由抛物线的定义得12p=，即p=2.18. 已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点F(1，0)，C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l 与抛物线C 2分别相交于A ，B 两点． (1)如图所示，若14AM MB =，求直线l 的方程； (2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 2上，直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆C 1的长轴长的最小值．【答案】（Ⅰ）2380x y --=（2）可求得对称点2288(,)11mP m m -++，代入抛物线中可得：1m =±，直线l 方程为4x y =±+，考虑到对称性不妨取4x y =+,设椭圆方程为221(1)1x y λλλ+=>-，联立直线方程和椭圆方程并消元整理得22(21)8(1)17160y y λλλλ-+--+-=， 10分因为椭圆与直线有交点，所以0∆≥，即：264(1)4(1)(16)(21)0λλλλ-+---≥，解得17(02λλ≥≤舍去）即217,2a a ≥≥. 19.如图，已知抛物线211C 4y x =：，圆222C (1)1x y +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.（1）求点A ，B 的坐标；（2）求PAB ∆的面积. 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.【答案】（1）222222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；（2）32t 【解析】（2）由（1）知，AP =直线PA 的方程为20tx y t --=，所以点B 到直线PA的距离为d =所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=. 20．在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N 两点， （Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在【解析】∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a +. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.21．已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（1）证明: OM OP ⋅为定值;（2）若△POM 的面积为25，求向量与的夹角； (3)证明直线PQ 恒过一个定点.【答案】（1）见解析；（2）45.︒；（3）见解析.(2)设∠POM=α，则.5cos ||||=⋅⋅α.5sin ||||,25=⋅⋅∴=∆αS ROM 由此可得tan α=1. 又.45,45),,0(︒︒=∴∈与故向量απα22．【2016高考新课标3】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-． 【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且 )2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aab a ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ. ......5分。

第7节抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(3)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切. 2.(易错题)(2022·长春检测)已知抛物线方程为y ＝x 24，则抛物线的准线方程为( ) A.x ＝1 B.x ＝－1 C.y ＝1 D.y ＝－1答案 D解析 化抛物线的方程为标准方程，得x 2＝4y ，所以p ＝2，所以抛物线的准线方程为y ＝－p2＝－1，故选D.3.(易错题)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条答案 C解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0).4.(2021·兰州调研)已知点(1，1)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，则C 的焦点到其准线的距离为( ) A.14 B.12C.1D.2答案 B解析 因为点(1，1)在抛物线C 上，所以1＝2p ，解得p ＝12，故C 的焦点到其准线的距离为12，故选B.5.(2022·太原质检)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是_________________________. 答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .6.(2020·新高考山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 163 解析 由题意得，抛物线焦点为F (1，0)，设直线AB 的方程为y ＝3(x －1). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1），y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.考点一 抛物线的定义及标准方程1.(2022·豫北六校联考)已知圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆C 的圆心的轨迹为( ) A.双曲线 B.椭圆 C.直线 D.抛物线答案 D解析 由题意知，圆C 的圆心到点(0，3)的距离比到直线y ＝0的距离大1， 即圆C 的圆心到点(0，3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等， 根据抛物线的定义可知，所求轨迹是抛物线，故选D.2.(2020·全国Ⅰ卷)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A.2 B.3C.6D.9答案 C解析 设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12. 又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.故选C.3.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( )A.x2＝－12y或y2＝16xB.x2＝12y或y2＝－16xC.x2＝9y或y2＝12xD.x2＝－9y或y2＝－12x答案 A解析对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0).当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则p＝3，所以p＝6，2此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p＝4，所以p＝8，2此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.4.设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足，若直线AF的斜率为－3，则△P AF的面积为________.答案4 3解析设准线与x轴交于点Q，因为直线AF的斜率为－3，|FQ|＝2，所以∠AFQ＝60°，|F A|＝4，又因为|P A|＝|PF|，∠P AF＝60°，所以△P AF是边长为4的等边三角形，所以△P AF 的面积为34×|F A |2＝34×42＝4 3. 感悟提升 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线的焦点到准线的距离为p .2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 考点二 抛物线的几何性质及其应用 角度1 焦半径和焦点弦例1 (1)(2022·南昌模拟)已知△ABC 的三个顶点都在抛物线x 2＝8y 上，且F 为抛物线的焦点，若AF→＝13(AB →＋AC →)，则|AF →|＋|BF →|＋|CF →|＝( ) A.6B.8C.10D.12(2)(2021·全国百校大联考)已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为－2且经过焦点F 的直线l 交该抛物线于M ，N 两点，若|MN |＝52，则p ＝________. 答案 (1)D (2)1解析 (1)由x 2＝8y ，得焦点F (0，2)，准线方程为y ＝－2， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，由AF →＝13(AB →＋AC →)得(－x 1，2－y 1)＝13(x 2－x 1，y 2－y 1)＋13(x 3－x 1，y 3－y 1)， 则2－y 1＝13(y 2－y 1＋y 3－y 1)，化简得y 1＋y 2＋y 3＝6，所以|AF →|＋|BF →|＋|CF →|＝y 1＋2＋y 2＋2＋y 3＋2＝12. (2)根据题设知直线l ：y ＝－2x ＋p ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋p ，y 2＝2px ，得4x 2－6px ＋p 2＝0.设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， 则x M ＋x N ＝6p 4＝3p 2， 又|MN |＝52，所以x M ＋p 2＋x N ＋p 2＝5p 2＝52， 所以p ＝1.感悟提升 1.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.2.解决焦点弦问题时，要注意焦点位置，利用抛物线定义把到焦点距离转化为到准线的距离.角度2 与抛物线有关的最值问题例2 (1)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34B.32C.1D.2(2)(2022·江西七校联考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，点A (1，1)，当△P AF 的周长最小时，PF 所在直线的斜率为________.(3)(2021·榆林一模)抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是________.答案 (1)D (2)－43 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 (1)由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1， 设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6， 所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6， |MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D.(2)由题意可知抛物线的焦点F (1，0)，准线为x ＝－1， 因为A (1，1)，所以|AF |＝1，△P AF 的周长l ＝|P A |＋|PF |＋|AF |. 过点P 作准线x ＝－1的垂线，垂足为M ， 根据抛物线的定义可知|PM |＝|PF |，则当A ，P ，M 三点共线时，|P A |＋|PM |最小，此时P 点的纵坐标为1， 代入抛物线的方程可得P 点的横坐标为14， 所以直线PF 的斜率为1－014－1＝－43.(3)法一 设与y ＝4x －5平行的直线y ＝4x ＋b 与y ＝4x 2相切，将y ＝4x ＋b 代入y ＝4x 2，得4x 2－4x －b ＝0.① 由Δ＝16＋16b ＝0得b ＝－1， 代入①得x ＝12， ∴所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.法二 设该点坐标为A (x 0，y 0)，那么有y 0＝4x 20.设点A 到直线y ＝4x －5的距离为d ，则d ＝|4x 0－y 0－5|42＋1＝117|－4x 20＋4x 0－5|＝117|4x 20－4x 0＋5| ＝117⎪⎪⎪⎪⎪⎪4⎝⎛⎭⎪⎫x 0－122＋4. 当且仅当x 0＝12时，d 有最小值， 将x 0＝12代入y ＝4x 2解得y 0＝1. 故A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.感悟提升 与抛物线有关的最值问题的转化策略策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.策略三：抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.训练1 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C.(1，0)D.(2，0)(2)(2022·昆明检测)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点A (2，y 0)，F 为焦点，直线F A 交抛物线的准线于点M ，满足2F A →＝AM→，则p ＝________.(3)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________. 答案 (1)B (2)12 (3)2解析 (1)将x ＝2与抛物线方程y 2＝2px 联立，可得y ＝±2p ，不妨设D (2，2p )，E (2，－2p )，由OD ⊥OE ，可得OD →·OE→＝4－4p ＝0，解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x .其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.故选B.(2)由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－p2，过点A 作准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，得 |AB |＝|AF |＝x A ＋p 2＝2＋p2， 设准线与x 轴的交点为C ， 因为2F A →＝AM→， 所以|AB ||FC |＝23，即2＋p 2p ＝23，解得p ＝12. (3)由题意知F (1，0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值.依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值， 所以|AC |＋|BD |的最小值为2. 考点三 直线与抛物线的综合问题例3 已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP→＝3PB →，求|AB |. 解 设直线l 的方程为y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). (1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 其中Δ＝144(1－2t )>0， 则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78(满足Δ>0). 所以l 的方程为y ＝32x －78. (2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0， 其中Δ＝4－8t >0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2， 故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.所以A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，故|AB |＝4133.感悟提升 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.训练2 (1)(2021·咸阳模拟)直线y ＝x ＋b 交抛物线y ＝12x 2于A ，B 两点，O 为抛物线顶点，OA ⊥OB ，则b 的值为( ) A.－1B.0C.1D.2(2)(2022·成都质检)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，若△AOF 与△BOF (O 为坐标原点)的面积之比是2∶1，则|AB |＝________. 答案 (1)D (2)94解析 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将y ＝x ＋b 代入y ＝12x 2， 化简可得x 2－2x －2b ＝0， 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ， 所以y 1y 2＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2. 又OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即－2b ＋b 2＝0，则b ＝2或b ＝0， 经检验b ＝0时，不符合题意，故b ＝2. (2)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以抛物线的方程为y 2＝2x ， 设直线AB 的方程为x ＝my ＋12， 代入y 2＝2x 可得，y 2－2my －1＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A y B ＝－1. 因为△AOF 与△BOF 的面积之比为2∶1， 所以12|OF |·|y A |＝2×12|OF |·|y B |，所以y A ＝－2y B ，所以y A y B ＝－2y 2B ＝－1，所以y 2B ＝12，y 2A ＝2，分别代入y 2＝2x ，可得x B ＝14，x A ＝1， 所以|AB |＝x A ＋x B ＋1＝94.抛物线的几个“二级结论”的应用抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).例1 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6答案 B通性通法 易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，① 因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.应用示范 法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ， 所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以sin 2θ＝89. 又y 2＝4x ，知2p ＝4， 故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二 因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1， 解得|BF |＝32，|AF |＝3， 故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.例2 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938C.6332D.94答案 D通性通法 由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0. 与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.应用示范 由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离 d ＝|OF |·sin 30°＝38， 故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.1.抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是( ) A.2 B.1C.12D.14答案 D解析 抛物线标准方程x 2＝2py (p >0)中p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14.2.已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4xD.y 2＝±42x答案 D解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0). 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p 2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.3.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于()A.9B.8C.7D.6答案 B解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.4.(2021·河南中原名校联考)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34 B.1 C.54 D.74答案 C解析如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，MM1⊥l于点M1，由抛物线的方程知p＝12，由抛物线定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，所以点M到y轴的距离为|MM1|－p2＝12(|AA1|＋|BB1|)－p2＝12×3－14＝54，故选C.5.(2020·北京卷)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O 的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP答案 B解析 法一 不妨设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，P (x 0，y 0)(x 0>0)， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为p y 0，又线段FQ 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 02， 所以线段FQ 的垂直平分线的方程为 y －y 02＝py 0(x －0)，即2px －2y 0y ＋y 20＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20＝0，又2px 0＝y 20，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上，故选B.法二 由抛物线的定义可知|PQ |＝|PF |，所以线段FQ 的垂直平分线一定经过点P ，故选B.6.(2022·沈阳模拟)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年～325年)，大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线C ：y 2＝x ，一束平行于抛物线对称轴的光线经过A (5，2)，被抛物线反射后，又射到抛物线C 上的Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，－14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫164，－18 答案 D解析 设过点A (5，2)且平行于抛物线对称轴的直线与抛物线交于点P ，易知y P ＝2，将(x P ，2)代入抛物线方程得x P ＝4， 即P (4，2).设焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设Q (y 2Q ，y Q )，由P ，F ，Q 三点共线，有k PF ＝k QF ，即2－04－14＝y Q －0y 2Q －14， 化简得8y 2Q －15y Q －2＝0，解得y Q ＝－18或y Q ＝2(舍)， 即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫164，－18.7.动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________. 答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等， 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .8.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________. 答案 x ＝－32解析 法一 由题意易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ， 所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p 2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C的准线方程为x＝－32.法二由题意易得|OF|＝p2，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝p2·6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－32.9. 点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|P A|＋|PF|的最小值为________；(2)|P A|－|PF|的最小值为________，最大值为________.答案(1)3(2)－2 2解析(1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|P A|＋|PF|＝|P A|＋|PH|，从而最小值为A到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在F A延长线上时，|P A|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|P A|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2. 故|P A|－|PF|最小值为－2，最大值为 2.10.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率. 解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0).∵点P(1，2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线P A的斜率为k P A，直线PB的斜率为k PB，则k P A＝y1－2x1－1(x1≠1)，k PB＝y2－2x2－1(x2≠1)，∵P A与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A＝－k PB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y21＝4x1，①y22＝4x2，②∴y1－214y21－1＝－y2－214y22－1，∴y1＋2＝－(y2＋2).∴y1＋y2＝－4.由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)，∴k AB＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝－1(x1≠x2).11.(2021·贵阳诊断)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A(a，3)，点P为抛物线C上的动点.(1)若|P A|＋|PF|的最小值为5，求实数a的值；(2)设线段OP的中点为M，其中O为坐标原点，若∠MOA＝∠MAO＝∠AOF，求△OP A的面积.解(1)由题意知F(1，0)，当线段AF与抛物线C没有公共点，即a>94时，设点P在抛物线准线x＝－1上的射影为D，则D，P，A三点共线时，|P A|＋|PF|有最小值，为|AD|＝a－(－1)＝5，此时a＝4；当线段AF与抛物线C有公共点，即a≤94时，则A，P，F三点共线时，|P A|＋|PF|有最小值，为|AF|＝（a－1）2＋32＝5，此时a＝－3.综上，实数a的值为－3或4.(2)因为∠MOA＝∠MAO＝∠AOF，所以MA∥x轴且|MO|＝|MA|＝|MP|，设M(t，3)，则P(2t，6)，代入抛物线C的方程得2t＝9，于是|MO|＝|MA|＝|MP|＝3132，所以S△OP A＝12|MA|·|y P|＝913 2.12.(2022·洛阳模拟)抛物线C：x2＝8y的焦点为F，过F且倾斜角为π4的直线l与抛物线C交于A，B两点，点D为抛物线C上的动点，且点D在l的右下方，则△DAB 面积的最大值为()A.16 2B.12 2C.8 2D.6 2答案 A解析因为直线l的倾斜角为π4，所以直线l的斜率k＝tan π4＝1.由题意知抛物线的焦点为F(0，2)，所以直线l的方程为y＝x＋2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2＝8y ，消去x ，得y 2－12y ＋4＝0， 所以y 1＋y 2＝12.由抛物线的定义，得|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝12＋4＝16.设与直线l 平行的直线方程为y ＝x ＋m ，代入抛物线的方程可得y 2－(2m ＋8)y ＋m 2＝0，当直线y ＝x ＋m 与抛物线相切且D 为切点时，D 到直线l 的距离最大，即△DAB 的面积最大.所以Δ＝(2m ＋8)2－4m 2＝0，解得m ＝－2，此时直线l 与直线y ＝x ＋m 的距离d ＝|－2－2|2＝22，所以△DAB 面积的最大值为12×16×22＝162，故选A.13.(2022·长春质检改编)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，且AB→＝4FB →，则直线l 的倾斜角为________. 答案 π3解析 法一 由题意知，抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2， 因为AB →＝4FB →，所以⎩⎨⎧x 2－x 1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2－y 1＝4y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2p －3x 2，y 1＝－3y 2，① 又知⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，② 由①②解得⎩⎨⎧y 1＝3p ，y 2＝－33p ，所以直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝3， 所以直线l 的倾斜角为π3.法二设抛物线的准线为l ′，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l ′，BN ⊥l ′，垂足分别为M ，N ，过点B 作BC ⊥AM 于C ，则由抛物线的定义知|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |. 因为AB→＝4FB →， 所以|AF |＝34|AB |，|FB |＝14|AB |，所以|AC |＝|AM |－|BN |＝|AF |－|FB |＝12|AB |，所以在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π6，∠BAC ＝π3，因为AM ∥x 轴，所以∠AFx ＝∠BAC ＝π3，所以直线l 的倾斜角为π3.法三 因为AB→＝4FB →，所以AF →＝3FB →，所以|AF →|>|FB →|，又点A 在第一象限，所以直线AB 的倾斜角θ为锐角，由焦点弦的性质知|AF |＝p 1－cos θ， |BF |＝p 1＋cos θ， ∴p 1－cos θ＝3p 1＋cos θ，解得cos θ＝12， ∴θ＝π3，即直线AB 的倾斜角为π3.14.(2021·合肥模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，且l 1与l 2交于点M .(1)求p 的值；(2)若l 1⊥l 2，求△MAB 的面积的最小值.解 (1)由题意知，抛物线焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2，焦点到准线的距离为2，即p ＝2.(2)由(1)知抛物线的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)，l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)，由于l 1⊥l 2，所以x 12·x 22＝－1，即x 1x 2＝－4.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，所以x 2－4kx －4m ＝0，Δ＝16k 2＋16m >0， x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1，即l ：y ＝kx ＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x 224，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ，y ＝－1， 即M (2k ，－1).M 点到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝2|k 2＋1|1＋k2， |AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k )2×2|k 2＋1|1＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4， 当k ＝0时，△MAB 的面积取得最小值4.。