典型相关分析及其应用
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典型相关分析简介典型相关分析(canonical correlation analysis, CCA)是一种多变量统计分析方法,用于研究两组观测变量之间的相关性。
该方法可以帮助我们理解两组变量之间的线性关系,并找出两组变量中最相关的部分。
在机器学习、数据挖掘以及统计学中,典型相关分析被广泛应用于特征选择、降维和模式识别等领域。
方法典型相关分析是基于矩阵分解的方法,通过将两组变量转化成低秩的典型变量来寻找相关性。
典型相关分析的基本思想是找出两组变量的线性组合,使得这两个组合能够达到最大的相关性。
具体而言,给定两组变量X和Y,我们可以得到X的线性组合u和Y的线性组合v,使得cor(u,v)达到最大。
其中cor(u,v)表示两个向量u和v的相关系数。
典型相关分析的目标即是求解出使得cor(u,v)最大的u和v。
下面是典型相关分析的数学表示形式:max cor(u,v)subject to u = Xa, v = Yb其中,X和Y分别是两组变量的矩阵,u和v是X和Y的线性组合,a和b是权重向量。
通过求解最优化问题,我们可以得到最相关的线性组合u和v,从而得到最相关的部分。
应用典型相关分析广泛应用于多个领域,下面列举了几个常见的应用场景:特征选择在特征选择中,我们经常面临着从大量的特征中选取最相关的特征集合。
典型相关分析可以帮助我们通过寻找两组变量之间的相关性,筛选出对目标变量有着较强相关性的特征。
通过选择最相关的特征,我们可以提高模型的泛化能力,并降低过拟合的风险。
降维在大数据时代,数据维度高维且复杂。
降维可以帮助我们减少计算负担,并去除冗余信息。
典型相关分析可以通过找出两组变量最相关的部分,将原始多维数据降到低维空间。
这样做可以减少计算复杂度,提高模型的训练速度,并帮助我们更好地理解数据之间的关系。
模式识别典型相关分析在模式识别领域也有着重要的应用。
通过找出两组变量之间的最相关部分,我们可以构建更加精确和可靠的模式识别模型。
摘要典型相关分析是多元统计分析的一个重要研究课题.它是研究两组变量之间相关的一种统计分析方法,能够有效地揭示两组变量之间的相互线性依赖关系.它借助主成分分析降维的思想,用少数几对综合变量来反映两组变量间的线性相关性质.目前它已经在众多领域的相关分析和预测分析中得到广泛应用.本文首先描述了典型相关分析的统计思想,定义了总体典型相关变量及典型相关系数,并简要概述了它们的求解思路,然后深入对样本典型相关分析的几种算法做了比较全面的论述.根据典型相关分析的推理,归纳总结了它的一些重要性质并给出了证明,接着推导了典型相关系数的显著性检验.最后通过理论与实例分析两个层面论证了典型相关分析的应用于实际生活中的可行性与优越性.【关键词】典型相关分析,样本典型相关,性质,实际应用ABSTRACTThe Canonical Correlation Analysis is an important studying topic of the Multivariate Statistical Analysis. It is the statistical analysis method which studies the correlation between two sets of variables. It can work to reveal the mutual line dependence relation availably between two sets of variables. With the help of the thought about the Principal Components, we can use a few comprehensive variables to reflect the linear relationship between two sets of variables. Nowadays It has already been used widely in the correlation analysis and forecasted analysis.This text describes the statistical thought of the Canonical Correlation Analysis firstly, and then defines the total canonical correlation variables and canonical correlation coefficient, and sum up their solution method briefly. After it I go deep into discuss some algorithm of the sample canonical correlation analysis thoroughly. According to the reasoning of the Canonical Correlation Analysis, sum up some of its important properties and give the identification, following it, I infer the significance testing about the canonical correlation coefficient. According to the analysis from the theories and the application, we can achieve the possibility and the superiority from canonical correlation analysis in the real life.【Key words】Canonical Correlation Analysis,Sample canonical correlation,Character,Practical applications目录前言 (1)第1章典型相关分析的数学描述 (2)第2章典型变量与典型相关系数 (3)2.1 总体典型相关 (3)2.2 样本典型相关 (4)2.2.1 第一对典型相关变量的解法 (4)2.2.2 典型相关变量的一般解法 (8)2.2.3 从相关矩阵出发计算典型相关 (9)第3章典型相关变量的性质 (11)第4章典型相关系数的显著性检验 (15)第5章典型相关分析的计算步骤及应用实例 (18)5.1 典型相关分析的计算步骤 (18)5.2 实例分析 (19)结语 (26)致谢 (27)参考文献 (28)附录 (29)前言典型相关分析(Canonical Correlation Analysis ,CCA)作为多元统计学的一个重要部分,是相关分析研究的一个主要内容.典型相关分析不仅其方法本身具有重要的理论意义,而且它还可以作为其他分析方法,如多重回归、判别分析和相应分析的工具,因此在多元分析方法中占有特殊的地位.典型相关的概念是在两个变量相关的基础上发展起来的.我们知道,两个随机变量的相关关系可以用它们的简单相关系数来衡量;一个随机变量与一组随机变量之间的相关关系可以用复相关系数来衡量.但考虑一组随机变量与另一组随机变量的关系时,如果运用两个变量的相关关系,分别考虑第一组每个变量和第二组中每个变量的相关,或者运用复相关关系,考虑一组变量中的每个变量和另一组变量的相关,这样做比较繁琐,抓不住要领.因此,为了用比较少的变量来反映两组变量之间的相关关系,一种考虑的思路就是类似主成分分析,考虑两组变量的线性组合,从这两个线性组合中找出最相关的综合变量,通过少数几个综合变量来反映两组变量的相关性质,这样便引出了典型相关分析.典型相关分析的基本思想是首先在每组变量中找出变量的线性组合,使其具有最大相关性,然后再在每组变量中找出第二对线性组合,使其分别与第一对线性组合不相关,而第二对本身具有最大的相关性,如此继续下去,直到两组变量之间的相关性被提取完毕为止.有了这样线性组合的最大相关,则讨论两组变量之间的相关,就转化为只研究这些线性组合的最大相关,从而减少研究变量的个数.典型相关分析是由Hotelling于1936年提出的.就目前而言,它的理论己经比较完善,计算机的发展解决了典型相关分析在应用中计算方面的困难,成为普遍应用的进行两组变量之间相关性分析技术.如在生态环境方面,用典型相关理论对预报场与因子场进行分析,实现了短期气象预测;借助典型相关,分析了植被与环境的关系;在社会生活领域,应用典型相关分析了物价指标和影响物价因素的相关关系等等.第1章 典型相关分析的数学描述一般地,假设有一组变量p X X X ,,,21 与另一组变量q Y Y Y ,,,21 ,我们要研究这两组变量之间的相关关系,如何给两组变量之间的相关性以数量的描述.当q p 1时,就是我们常见的研究两个变量X 与Y 之间的简单相关关系,其相关系数是最常见的度量,定义为:)()(),(Y Var X Var Y X Cov xy当1 p ,1 q (或1,1 p q )时,p 维随机向量'21),(p X X X X ,设),(~1p N Y X , 22211211,其中,11 是第一组变量的协方差阵,12 是第一组与第二组变量的协方差阵,22 是第二组变量的协方差阵.则称221211121R 为Y 与p X X X ,,,21 的全相关系数,全相关系数用于度量一个随机变量Y 与另一组随机变量p X X X ,,,21 的相关系数.当1, q p 时,利用主成分分析的思想,可以把多个变量与多个变量之间的相关化为两个新的综合变量之间的相关.也就是做两组变量的线性组合即X X X X U p p '2211 Y Y Y Y V q q '2211其中,'21),,,(p 和'21),,,(q 为任意非零向量,于是我们把研究两组变量之间的问题化为研究两个变量V U 与之间的相关问题,希望寻求 ,使U ,V 之间最大可能的相关,我们称这种相关为典型相关,基于这种原则的分析方法就是典型相关分析.第2章 典型变量与典型相关系数2.1 总体典型相关设有两组随机变量'21),,,(p X X X X ,'21),,,(q Y Y Y Y ,分别为维维和q p 随机向量,根据典型相关分析的思想,我们用X 和Y 的线性组合X ' 和Y ' 之间的相关性来研究两组随机变量X 和Y 之间的相关性.我们希望找到 和,使得)(‘Y X ', 最大.由相关系数的定义)()(),(),(''''''Y Var X Var Y X Cov Y X易得出对任意常数d c f e ,,,,均有),(])(,)([''''Y X d Y c f X e这说明使得相关系数最大的Y X '', 并不唯一.因此,为避免不必要的结果重复,我们在求综合变量时常常限定1)(' X Var , 1)(' Y Var于是,我们就有了下面的定义:设有两组随机变量'21),,(p X X X X ,'21),,(q Y Y Y Y ,q p 维随机向量Y X 的均值向量为零,协方差阵0 (不妨设q p ).如果存在'1111),,(p 和'1111),,(q ,使得在约束条件1)(' X Var ,1)(' Y Var 下,),(m ax ),('''1'1Y X Y X则称Y X '1'1, 是Y X ,的典型相关变量,它们之间的相关系数称为典型相关系数;其他典型相关变量定义如下:定义了前1 k 对典型相关变量之后,第k 对典型相关变量定义为:如果存在'1),,(pk k k 和'1),,(qk k k ,使得 ⑴ Y X k k '', 和前面的1 k 对典型相关变量都不相关;⑵ 1)(' X Var k ,1)(' Y Var k ; ⑶ Y X k k '' 和的相关系数最大,则称Y X k k '' 和是Y X ,的第k 对(组)典型相关变量,它们之间的相关系数称为第k 个典型相关系数(p k ,,2 ).2.2 样本典型相关以上是根据总体情况已知的情形进行,而实际研究中,总体均值向量 和协方差阵 通常是未知的,因而无法求得总体的典型相关变量和典型相关系数,首先需要根据观测到的样本数据阵对 进行估计. 2.2.1 第一对典型相关变量的解法设总体'11),,,,,(q p Y Y X X Z ,已知总体的n 次观测数据为:1)()()()(q p t t t Y X Z (n t ,,2,1 ), 于是样本数据阵为)(212122221222211121111211q p n nq n n np n n q p q p y y y x x x y y y x x xy y y x x x若假定),,(~ q p N Z 则由参考文献【2】中定理2.5.1知协方差阵 的最大似然估计为'1)()()()(1nt t t Z Z Z Z n其中Z = nt t Z n 1)(1,样本协方差矩阵S 为:22211211S S S SS 式中nj j j X X X X n S 1'11)()(1'112)()(1 Y Y X X n S j nj j 21S nj j j X X Y Y n 1')()(1 '122)()(1 Y Y Y Y n S j nj jn j j X n X 11, nj j Y n Y 11令j j X U ' ,j j Y V ' ,则样本的相关系数为nj jnj jj nj j j j V VU UV V U U V U r 1212'1)()()()(),(又因为:X X n X n U n U n j j n j j n j j '1'1'1111Y Y n Y n V n V n j j n j j n j j '1'1'111112''''1'''1)()(1)()(1S Y Y X X n V V U U n S j n j j j n j j V U jj 11''''1'''1)()(1)()(1S X X X X n U U U U n S j n j j j n j j U U jj 22''''1'''1)()(1)()(1S Y Y Y Y n V V V V n S j n j j j n j j V V jj 所以22'11'12'),(S S S V U r j j由于j U ,j V 乘以任意常数并不改变他们之间的相关系数,即不妨限定取标准化的j U 与j V ,即限定j U 及j V 的样本方差为1,故有:1 j j j j V V U U S S (2.2.1) 则 12'),(S V U r j j (2.2.2) 于是我们要求的问题就是在(2.2.1)的约束条件下,求p R ,q R ,使得式(2.2.2)达到最大.这是条件极值的问题,由拉格朗日乘子法,此问题等价于求 , ,使)1(2)1(2),(22'11'12'S S S(2.2.3) 达到最大.式中,,为拉格朗日乘数因子.对上式分别关于 , 求偏导并令其为0,得方程组:0022211112S S S S (2.2.4)分别用' ,' 左乘方程(2.2.4)得22'21'11'12'S S S S 又 '12')( S 21'S 所以'12'21')(S S也就是说,正好等于线性组合U 与V 之间的相关系数,于是(2.2.4)式可写为:0022211112 S S S S 或 022211211S S S S(2.2.5) 而式(2.2.5)有非零解的充要条件是:022211211S S S S (2.2.6)该方程左端是的q p 次多项式,因此有q p 个根.求解的高次方程(2.2.6),把求得的最大的代回方程组(2.2.5),再求得 和 ,从而得出第一对典型相关变量.具体计算时,因的高次方程(2.2.6)不易解,将其代入方程组(2.2.5)后还需求解q p 阶方程组.为了计算上的方便,我们做如下变换:用12212 S S 左乘方程组(2.2.5)的第二式,则有12212 SS 21S -02212212S S S 即 12212 S S 21S = 12S又由(2.2.5)的第一式,得 1112S S代入上式: 12212 SS 21S 0112S(0)1122112212 S S S S (2.2.7)再用111 S 左乘式(2.2.7),得(111S12212 SS 0)221p I S (2.2.8)因此,对2有p 个解,设为22221p r r r ,对 也有p 个解.类似地,用11121 S S 左乘式(2.2.5)中的第一式,则有011111211211121S S S S S S (2.2.9)又由(2.2.5)中的第二式,得2221S S代入到(2.2.8)式,有 11121( SS 12S 0)222S再以122 S 左乘上式,得0)(21211121122q I S S S S (2.2.10)因此对2有q 个解,对 也有q 个解,因此2为111S 12212 S S 21S 的特征根, 是对应于2的特征向量.同时2也是1211121122S S S S 的特征根, 为相应特征向量.而式(2.2.8)和(2.2.10)有非零解的充分必要条件为:002121112112222112212111q p I S S S S I S S S S (2.2.11)对于(2.2.11)式的第一式,由于011 S ,022 S ,所以0111S ,0122 S ,故有:2112212111S S S S 2121221221221112111S S S S S S 而2121221221221112111S S S S S S 与2111211222122122111 S S S S S S 有相同的特征根.如果记T 12212111 S S S则 2111211222122122111S S S SS S='T T类似的对式(2.2.11)的第二式,可得T T S S SSS S'21221221112111212122而'T T 与T T '有相同的非零特征根,从而推出(2.2.8)和(2.2.10)的非零特征根是相同的.设已求得'T T 的p 个特征根依次为: 022221p则T T '的q 个特征根中,除了上面的p 个外,其余的p q 个都为零.故p 个特征根排列是021 p ,, 1210 p p ,因此,只要取最大的1 ,代入方程组(2.2.5)即可求得相应的1 ,1 .令U =X '1 与Y V '1 为第一对典型相关变量,而1'112'1),( S V U r 为第一典型相关系数.可见求典型相关系数及典型相关变量的问题,就等价于求解'T T 的最大特征值及相应的特征向量. 2.2.2 典型相关变量的一般解法从样本典型相关变量的解法中,我们知道求典型相关变量和典型相关系数的问题,就是求解'T T 的最大特征值及相应的特征向量.不仅如此,求解第k 对典型相关变量和典型相关系数,类似的也是求'T T 的第k 大的特征值和相应的特征向量.下面引用参考文献【2】中定理10.1.1 来得出样本典型相关的一般求法.设总体的n 次观测数据为:1)()()()( q p t t t Y X Z (n t ,,2,1 ) 不妨设q p ,样本均值为0,协方差矩阵S 为:22211211S S S SS 0 记2122122111S S ST ,并设p 阶方阵'T T 的特征值依次为022221p (p i i ,,1,0 );而p l l l ,,,21 为相应的单位正交特征向量.令 kk l S2111,k k k S S 211221则X U k k ',Y V kk '为Y X ,第k 对典型相关变量,'k为第k 典型相关系数. 由上述分析不难看出,典型相关系数i 越大说明相应的典型变量之间的关系越密切,因此一般在实际中忽略典型相关系数很小的那些典型变量,按i 的大小只取前n 个典型变量及典型相关系数进行分析. 2.2.3 从相关矩阵出发计算典型相关以上我们从样本协方差阵S 出发,导出了样本典型相关变量和样本典型相关系数.下面我们从样本相关阵R 出发来求解样本典型相关变量和样本典型相关系数.设样本相关阵为)(ij r R ,其中jj ii ij ij s s s r / ,ij s 为样本协方差阵S 的i 行j 列元素.把R 相应剖分为22211211R R R R R 有时,Y X 和的各分量的单位不全相同,我们希望在对各分量作标准化变换之后再做典型相关.记)(1X E ,)(2Y Epp s s D 00111q p q p p p s s D ,1,1200则 111111D R D S ,222222D R D S 212112D R D S ,121221D R D S , 对Y X 和的各分量作标准化变换,即令)(111* X D X ,)(212* Y D Y现在来求*X 和*Y 的典型相关变量*'*X i ,*'*Y i ,m i ,,2,1 . **11111111X X S D S D R**11222222Y Y S D S D R **11112212X Y S D S D R **11221121Y X S D S D R于是1121122121111112112112221212121111111112112212111)()( D S S S S D D S D D S D D S D D S D R R R R因为 2112212111S S S S i i i r 2 1121122121111 D S S S S D )()(121i i i D r D 所以 2112212111R R R R *2*i i i r 式中*i i D 1 ,有111'1111'*11'* i i i i i i S D R D R同理: 1211121122R R R R *2*i i i r 式中*i i D 1 ,有122'2222'*22'* i i i i i i S D R D R ,由此可见*i ,*i 为**,Y X 的第i 对典型系数,其第i 个典型相关系数为i r ,在标准化变换下具有不变性.第3章 典型相关变量的性质根据典型相关分析的统计思想及推导,我们归纳总结了典型相关变量的一些重要性质并对总体与样本分别给出证明.性质1 同一组的典型变量互不相关 ⅰ总体典型相关设Y X 与的第i 对典型变量为X U i i ' ,Y V i i ' ,m i ,,2,1则有 0),( j i U U 0),( j i V V m j i 1 证明详见参考文献【5】. ⅱ样本典型相关设Y X 与的第i 对典型变量为X U i i ' ,Y V i i ' ,m i ,,2,1因为 '111i i U U i i S S ,'221i iVV i i S S ,m i ,,2,1 '11(,)0i j i j U U i j r U U S S ,m j i 1'22(,)0i ji j VV i j r V V S S ,m j i 1 表明由X 组成的第一组典型变量m U U U ,,,21 互不相关,且均有相同的方差1;同样,由Y 组成的第二组典型变量m V V V ,,,21 也互不相关,且也有相同的方差1.性质2 不同组的典型变量之间的相关性ⅰ总体典型相关i i i V U ),( m i ,,2,10),( j i V U m j i 1 证明详见参考文献【5】. ⅱ样本典型相关i i i i i r V U r S ),(12' , m i ,,2,1'1211''22111222(,)0,1i j i j U V i ji j j i j r U V S S S S S r i j m表明不同组的任意两个典型变量,当j i 时,相关系数为i r ;当j i 时是彼此不相关的.记'21),,,(m U U U U ,'21),,,(m V V V V ,则上述性质可用矩阵表示为 ,UU m VV m S I S IUV S或 mm IU S I V其中12(,,...,)m diag r r r性质3 原始变量与典型变量之间的关系 求出典型变量后,进一步计算原始变量与典型变量之间的相关系数矩阵,也称为典型结构.下面我们分别对总体与样本进行讨论.ⅰ总体典型相关的原始变量与典型变量的相关性详见参考文献【2】. ⅱ样本典型相关 记m p ij m A )(),,,(21 m q ij m B )(),,,(21S22211211S S S S =q p q p p q p pq p q p q p p p p p p p q p p p p pp p q p p p s s s s s s s s s s s s s s s s ,1,,1,,11,1,11,1,1,1,11,1111则A S X A X A X X n S n i i XU11'''1)()(1 B S X B X B X X n S n i i XV12'''1)()(1 A S X A X A Y Y n S n i i YU21'''1)()(1 B S Y B Y B Y Y n S n i i YV22'''1)()(1所以利用协方差进一步可以计算原始变量与典型变量之间的相关关系.若假定原始变量均为标准化变量,则通过以上计算所得到的原始变量与典型变量的协方差阵就是相关系数矩阵.1(,)pi j ik k r X U s,1(,)qi j i p k k r X V sp i ,,2,1 , m j ,,2,1,1(,)pi j i p k kjk r Y U s,1(,)qi j i p p k kjk r Y V s q i ,,2,1 , m j ,,2,1性质4 设Y X 和分别为维维和q p 随机向量,令d X C X '*,h Y G Y '*,其中C 为p p 阶非退化矩阵,d 为p 维常数向量,G 为q q 阶非退化矩阵,q h 为维常数向量.则:ⅰ对于总体典型相关有:⑴ **Y X 和的典型相关变量为*'*)(X a i 和*'*)(Y b i ,其中i i a C a 1* ,i i b G b 1* (p i ,,2,1 );而i i b a 和是Y X 和的第i 对典型相关变量的系数.⑵ ],[])(,)[(''*'**'*Y b X a Y b X a i i i i ,即线性变换不改变相关性. 证明详见参考文献【2】.ⅱ对于样本典型相关有:⑴ **Y X 和的典型相关变量为*'*)(X a i 和*'*)(Y b i ,其中i i a C a 1* ,i i b G b 1* (p i ,,2,1 );而i i b a 和是Y X 和的第i 对典型相关变量的系数.⑵ ],[])(,)[(''*'**'*Y b X a r Y b X a r i i i i ,即线性变换不改变相关性. 证明:⑴ 设**Y X 和的典型相关变量分别为*'*)(X a U i ,*'*)(Y b V i由于 i i a C a 1* ,i i b G b 1*d X C X '*,h Y G Y '*所以 d C a X a d X C C a d X C a C U i i i i '1''''1'''1)()()()()(h G b Y b h Y G G b h Y G b G V i i i i '1''''1'''1)()()()()(即有i i b a 和是Y X 和的第i 对典型相关变量的系数. ⑵ 由⑴的证明可知*'*)(X a U i d C a X a i i '1'')( *'1'''*)()(h G b Y b Y b V i i i由于d C a i '1')( 与h G b i '1')( 都是常数,所以],[])(,)([])(,)[('''1'''1''*'**'*Y b X a r h G b Y b d C a X a r Y b X a r i i i i i i i i 即有线性变换不改变相关性.性质5 简单相关、复相关和典型相关之间的关系当1 q p , Y X 与之间的(惟一)典型相关就是它们之间的简单相关;当Y X q p 与时或,11 之间的(惟一)典型相关就是它们的复相关.复相关是典型相关的一个特例,而简单相关又是复相关的一个特例.从第一个典型相关的定义可以看出,第一个典型相关系数至少同)(Y X 或的任一分量与)(X Y 或的复相关系数一样大,即使所有这些复相关系数都很小,第一个典型相关系数仍可能很大;同样,从复相关的定义也可以看出,当1 p (或1 q )时,)()(X Y Y X 或与或之间的复相关系数也不会小于)()(X Y Y X 或与或的任一分量之间的相关系数,即使所有这些相关系数都很小,复相关系数仍可能很大.第4章 典型相关系数的显著性检验设总体Z 的两组变量'21),,,(p X X X X ,'21),,,(q Y Y Y Y ,且'),(Y X Z ),(~ q p N ,在做两组变量X ,Y 的典型相关分析之前,首先应该检验两组变量是否相关,如果不相关,则讨论两组变量的典型相关就毫无意义. 1.考虑假设检验问题:0H :021 m1H :m ,,,21 至少有一个不为零其中 q p m ,m in .若检验接受0H ,则认为讨论两组变量之间的相关性没有意义;若检验拒绝0H ,则认为第一对典型变量是显著的.上式实际上等价于假设检验问题0H :0),(12 Y X Cov , 1H :012用似然比方法可导出检验0H 的似然比统计量||||||2211S S S其中q p 阶样本离差阵S 是 的最大似然估计,且S =22211211S S S S ,11S ,22S 分别是11 ,22 的最大似然估计.该似然比统计量 的精确分布已由霍特林(1936),Girshik (1939)和Anderson (1958)给出,但表达方式很复杂,又不易找到该分布的临界值表,下面我们采用 的近似分布.利用矩阵行列式及其分块行列式的关系,可得出:||·||||21122121122S S S S S S =|S S S S |·|S |·||21-12212-1111122 p S所以)1(001001||212212112212111ipi p p S S S S其中 2i是'TT 的特征值(2122122111S S S T ),按大小次序排列为 2122 02 p,当1 n 时,在0H 成立下 ln 0m Q 近似服从2f 分布,这里pq f ,)1(211 q p n m ,因此在给定检验水平 之下,若由样本算出的20 Q 临界值,则否定0H ,也就是说第一对典型变量1 U ,1V 具有相关性,其相关系数为1 ,即至少可以认为第一个典型相关系数1为显著的.将它除去之后,再检验其余1 p 个典型相关系数的显著性,这时用Bartlett 提出的大样本2 检验计算统计量:pi ip22223221)1()1()1)(1(则统计量11ln )]1(212[ q p n Q近似地服从(1 p )(1 q )个自由度的2分布,如果21 Q ,则认为2显著,即第二对典型变量2U ,2V 相关,以下逐个进行检验,直到某一个相关系数k检验为不显著时截止.这时我们就找出了反映两组变量相互关系的1 k 对典型变量.2.检验)(0k H : ),,2(0p k k当否定0H 时,表明Y X ,相关,进而可以得出至少第一个典型相关系数01 ,相应的第一对典型相关变量11,V U 可能已经提取了两组变量相关关系的绝大部分信息.两组变量余下的部分可认为不相关,这时0 k ),,2(p k ,故在否定0H 后,有必要再检验)(0k H ),,2(p k ,即第k 个及以后的所有典型相关系数均为0),,3,2(p k .为了减少计算量,下面我们采用二分法来减少检验次数,取检验统计量为p ki i k q p k n Q )1ln()]1(21[2它近似服从)1)(1( k q k p 个自由度的2 分布.在检验水平 下,若)]1)(1[(2k q k p Q k ,则拒绝0H ,即认为第k 对典型相关系数在显著性水平 下是显著的,否则不显著.从第2个典型相关系数到第p 个典型相关系数,共1 p 个数,所以根据二分法的原理,将它们分为一个区间 p ,2,然后先检验第 21p 个典型相关系数即中位数,当021p 时,即认为第 21p 个典型相关系数不相关,否定原假设,接着检验21,2p ;若当021p 时,则检验p p ,21.如此划分区间依次检验下去,由数学分析上的区间套定理,一定存在第k 个数),,3,2(p k ,使得01 k ,而0 k .以上的一系列检验实际上是一个序贯检验,检验直到对某个k 值0H 未被拒绝为止.事实上,检验的总显著性水平已不是 了,且难以确定.还有,检验的结果易受样本容量大小的影响.因此,检验的结果只宜作为确定典型变量个数的重要参考依据,而不宜作为惟一的依据.第5章 典型相关分析的计算步骤及应用实例5.1 典型相关分析的计算步骤设)()1(,,n X X 为取自正态总体的样本(实际上,相当广泛的情况下也对),每个样品测量两组指标,分别记为'1),,(p X X X ,'1),,(q Y Y Y ,原始资料矩阵为:)(212122221222211121111211q p n nq n n np n n q p q p y y y x x x y y y x x xy y y x x x第一步 计算相关矩阵R ,并将R 剖分为22211211R R R R R 其中11R ,22R 分别为第一组变量和第二组变量之间的相关系数矩阵,'2112R R 为第一组与第二组变量之间的相关系数.第二步 求典型相关系数及典型变量首先求2112212111R R R R A的特征根 2i,特征向量)(1i D;1211121122R R R R B的特征根2i,特征向量)(2i D.)()(111)(i i D D,)()(212)(i i D D写出样本的典型变量为 X U ’)1(1,Y V ’)1(1X U ’)2(2,Y V ’)2(2X U p p ’)(,Y V p p ’)(第三步 典型相关系数的显著性检验 首先,检验第一对典型变量的相关系数,即0H :0^1 ,1H :0^1它的似然比统计量为pi i p1^2^2^22^211)1()1()1)(1(则统计量11ln )]1(212[ q p n Q给定显著性水平 ,查表得2,若21 Q ,则否定0H ,认为第一对典型变量相关,否则不相关.如果相关则依次逐个检验其余典型相关系数,直到某一个相关系数^k ),,2(p k 检验为不显著时截止.5.2 实例分析例1:某康复俱乐部对20名中年人测量了三个生理指标:体重)(1x 、腰围(2x )、脉搏(3x )和三个训练指标:引体向上(1y )、起坐次数(2y )、跳跃次数(3y ).数据如附录1:解:记'321),,(x x x X ,'321),,(y y y Y ,其中样本容量20 n .附录1中的数据用SPSS 统计软件计算得六个变量之间的相关矩阵如下:n Sig.(2-tailed) .113 .127. .526 .340 .884 N 20 20 20 202020 Y1Pearson Correlatio n -.390 -.552(*) .1511 .696(**).496(*)Sig.(2-tailed) .089 .012.526 . .001 .026 N 20 20 20202020Y2PearsonCorrelatio n -.493(*)-.646(**).225 .696(**) 1 .669(**)Sig.(2-tailed) .027 .002.340 .001 . .001 N 20 20 20 202020 Y3Pearson Correlatio n -.226 -.191 .035.496(*) .669(**)1Sig.(2-tailed) .337 .419.884 .026 .001 . N 20 2020202020** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).* Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).即样本相关矩阵为:11R =1353.0366.01870.0122R =1669.0496.01696.01'2112R R =035.0225.0151.0192.0646.0552.0226.0493.0390.0于是特征方程 022112212111 R R R R用Matlab 求得矩阵2112212111R R R R 的特征值分别为0.6630、0.0402和0.0053,于是 797.01 ,201.02 ,073.03下面我们进行典型相关系数的显著性检验,先检验第一对典型变量的相关系数,欲检验:0H :01 , 1H :01 它的似然比统计量为)1)(1)(1(2322211 =3504.0)0053.01)(0402.01)(6330.01( 255.163504.0ln 5.15ln )]333(2120[11 Q查2 分布表得,919.16)9(205.0 ,因此在05.0 的显著性水平下,)9(205.01 Q ,所以拒绝原假设0H ,也即认为第一对典型相关变量是显著相关的.然后检验第二对典型变量的相关系数,即进一步检验:0H :02 , 1H :02它的似然比统计量为9547.0)0053.01)(0402.01()1)(1(23222 )4(488.9745.09547.0ln 08.16ln ])333(21120[205.02212 Q 所以无法否定原假设0H ,故接受0H :02 ,即认为第二对典型相关变量不是显著相关的.由以上检验可知只需求第一对典型变量即可. 于是求797.01 的特征向量 *1,而*1*12112211R R ,解得059.0579.1775.0*1,716.0054.1350.0*1 , 因此,第一对样本典型变量为*3*2*1*1059.0579.1775.0x x x u *3*2*1*1716.0054.1350.0y y y vY X 与第一对典型变量的相关系数为797.01 ,可见两者的相关性较为密切,即可认为生理指标与训练指标之间存在显著相关性.例2:为了研究某企业不同部门人员工作时间的关系,随机选取25个企业进行入户调查,达到25个被访企业业务部门和技术部门经理每月工作时间和员工每月工作时间(单位为小时),具体数据如附表2分析:设业务部门经理和员工每月工作时间为(21,X X ),技术部门经理和员工每月工作时间为(21,Y Y ),利用典型相关分析研究企业业务部门和技术部门人员工作时间的关系.解:样本容量为25 n ,2 p ,2 q 分别为随机变量Y X 与的维数.⑴ 标准化随机变量'21),(X X X 与'21),(Y Y Y .根据样本均值i x与标准差ii S ,依照公式iiiki ki S x x x*,对数据标准化.⑵ 求解Y X 的相关矩阵R ,并将其分块yy yxxy xx R RR R R . 将数据输入SPSS 软件求得相关系数矩阵如下:Correlations** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).所以样本相关矩阵1834.0705.0705.01693.0711.01735.01R 分块后2222 yy yx xy xx R RR R R ⑶ 求解534949.0538840.0538840.0544309.011111yx yy xy xx R R R R M 的两个非零特征根,解得两个非零特征根为6218.021 ,0029.022 .⑷ 进行相关系数的显著性检验,取r m 个显著性检验不为0的特征根.Y X 与第一对典型变量的相关系数为7885.01 ,Y X 与第二对典型变量的相关系数为0537.02 .先检验第一对典型变量的相关系数,假设01H :01 (即第一对典型变量不相关),由典型相关系数的值可得3771.0)1)(1(22211计算统计量97.203771.0ln )5.224(ln )]1(21)1[(11 q p n Q 对于给定的显著性水平05.0488.9)4()1)(1(97.20205.021 m q m p Q所以否定零假设.01H :01 ,即第一对典型变量是显著相关的.然后检验第二对典型变量的相关系数,假设02H :02 (即第二对典型变量不相关),由典型相关系数的值可得9971.0)1(222 计算统计量05945.09971.0ln )5.224(ln )]1(21)2[(22 q p n Q 对于给定的显著性水平05.0841.3)1()1)(1(05945.0205.022 m q m p Q所以无法否定假设.02H :02 ,即第二对典型变量不是显著相关的.由以上检验可知,只需求第一对典型变量即可.⑸ 求1 m 个显著性检验不为0的特征根21 的特征向量1l ,而11111l R R m yx yy,解得'1)521548.0,55216.0( l ,'1)538134.0,504018.0( m .⑹ 求出r 对典型相关变量X l u j j ' ,Y m v j j ' ,.,,2,1m j 根据上面求得的特征向量11m l 和,得第一对典型相关变量为21'1121'11538134.0504018.0521548.055216.0Y Y Y m v X X X l u Y X 与第一对典型变量的相关系数为7885.01 ,可见其相关性较为密切.⑺ 由于21'11521548.055216.0X X X l u ,与业务部门经理和员工每月工作时间都成正比,而且系数差不多,所以u可以解释为业务部门人员工作时间.同1理v可以解释为技术部门人员的工作时间.可见一个企业技术部门和业务部门人1员月工作时间存在显著的相关性.典型相关分析是一种采用类似主成分分析的做法,在每一组变量中都选择若干个有代表性的综合指标(变量的线性组合),通过研究两组的综合指标之间的关系来反映两组变量之间的相关关系.在实际中,只须着重研究相关关系较大的那几对典型相关变量.本文首先根据典型相关分析的统计理论,初步探讨了总体典型相关变量和典型相关系数,然后重点讨论了样本典型相关分析,以及它们的一系列性质与显著性检验,并做了相应的实例分析.通过实例分析,我们进一步明确了典型相关分析是研究两组变量之间相关性的一种降维技术的统计分析方法.而复相关是典型相关的一个特例,简单相关是复相关的一个特例.第一对典型相关包含有最多的有关两组变量间相关的信息,第二对其次,其他对依次递减.各对典型相关变量所含的信息互不重复.并且经标准化的两组变量之间的典型相关系数与原始的两组变量间的相应典型相关系数是相同的.本文是在我的指导老师吴可法教授的精心指导和悉心关怀下完成的,在我的学习生涯和论文工作中无不倾注着老师的辛勤汗水和殷切关怀.吴老师宽厚的人格、敏捷的思维、严谨的治学态度、渊博的知识、积极向上的人生态度、平易近人的师长风范和两年来的谆谆教导,使我深受启迪,并永远铭记在心.从吴老师身上,我不仅学到了扎实的专业知识和技能,更学到了做人的道理,这些教诲必将成为惠及一生的宝贵财富.在此谨向吴老师致以最衷心的感谢和美好的祝愿!论文期间,我得到了许多老师和同学的帮助,本人在这里对他们致以衷心的感谢.我还要感谢我的家人,是他们的理解、支持和鼓励,使我的学习能够顺利进行.最后衷心感谢在百忙之中评审论文和参加答辩的各位专家、教授!。
数学建模__SPSS_典型相关分析典型相关分析(Canonical Correlation Analysis)是一种多变量统计方法,用于分析两组变量之间的关系。
在典型相关分析中,我们尝试找到两组变量之间的线性组合,使得这些线性组合之间的相关性最大化。
典型相关分析可以帮助研究者理解两组变量之间的关系,并发现潜在的相关结构。
典型相关分析适用于有两组或多组相关变量的研究。
典型相关分析既可以用于预测模型的建立,也可以用于变量选择和降维。
下面我们将介绍典型相关分析的基本原理、步骤和应用。
典型相关分析的基本原理是寻找两个组合线性关系,使得两个组合相互之间具有最大的相关性。
在典型相关分析中,我们将一个变量集作为自变量,另一个变量集作为因变量,然后寻找这两个变量集之间的最佳线性组合。
典型相关分析的步骤如下:1.收集数据:首先需要收集自变量和因变量的数据。
这些数据可以是观察数据、实验数据或调查数据。
2.数据预处理:在进行典型相关分析之前,我们需要对数据进行预处理。
这包括缺失数据处理、异常值检测和变量归一化等步骤。
3.计算相关系数:接下来,我们需要计算自变量和因变量之间的相关系数。
这可以通过计算皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数或肯德尔相关系数来实现。
4.计算典型变量:通过应用典型相关分析模型,我们可以计算出一组自变量和一组因变量的典型变量。
典型变量是自变量和因变量的线性组合,它们具有最大的相关性。
5.进行相关性检验:在典型相关分析中,我们常常需要进行相关性的显著性检验。
这可以通过计算典型相关系数的显著性水平来实现。
6.结果解释和应用:最后,根据典型相关分析的结果,我们可以解释自变量和因变量之间的关系,并根据这些结果进行应用和决策。
典型相关分析的应用非常广泛。
例如,在金融领域,典型相关分析可以帮助分析公司的财务指标与市场指标之间的关系。
在医学研究中,典型相关分析可以用于分析不同变量对医疗结果的影响。
在社会科学研究中,典型相关分析可以帮助分析人们的行为和态度之间的关系。
相关分析及其在实证研究中的应用相关分析是一种常用的数据分析方法,它用于研究变量之间的关系。
它可以帮助我们了解变量之间的相关性,并进一步探索它们如何相互影响。
在实证研究中,相关分析被广泛应用于探索变量之间的关系,以及预测和解释观察到的现象。
本文将介绍相关分析的基本概念、常见的相关系数、相关分析的计算方法,以及在实证研究中的应用场景。
一、相关分析的基本概念相关分析是研究变量之间关系的一种统计方法。
它通常用于两个连续型变量之间的关系,其中一个变量被称为自变量,另一个变量被称为因变量。
通过相关分析,我们可以得到一个相关系数,用来衡量两个变量之间的相关性。
相关系数的取值范围在-1和1之间,其中0表示无相关性,正数表示正相关,负数表示负相关。
二、常见的相关系数在实证研究中,常见的相关系数包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数和判定系数。
皮尔逊相关系数是最常见的相关系数,用于衡量两个连续型变量之间的线性相关性。
斯皮尔曼相关系数是一种非参数统计方法,用于衡量两个有序变量之间的相关性。
判定系数是衡量因变量的变异中可以由自变量解释的比例,它的取值范围在0和1之间,越接近1表示自变量对因变量的解释程度越高。
三、相关分析的计算方法相关分析可以通过计算相关系数来完成。
以皮尔逊相关系数为例,计算公式如下:r = (∑(Xi - Xmean)(Yi - Ymean))/ √(∑(Xi - Xmean)² ∑(Yi - Ymean)²)其中,r表示相关系数,Xi和Yi分别为自变量和因变量的取值,Xmean和Ymean分别为自变量和因变量的均值。
四、实证研究中的应用场景相关分析在实证研究中有着广泛的应用场景。
以下是一些常见的应用场景:1. 市场调研:在市场调研中,相关分析可以帮助分析师了解市场上不同变量之间的相关性,例如产品价格和销量之间的关系、广告投入和市场份额之间的关系等。
这些分析结果可以为企业的市场决策提供有价值的参考。
典型相关分析(CCA)简介一、引言在多变量统计分析中,典型相关分析(Canonical Correlation Analysis,简称CCA)是一种用于研究两个多变量之间关系的有效方法。
这种方法最早由哈罗德·霍特林(Harold Hotelling)于1936年提出。
随着数据科学和统计学的发展,CCA逐渐成为多个领域分析数据的重要工具。
本文将对典型相关分析的基本原理、应用场景以及与其他相关方法的比较进行详细阐述。
二、典型相关分析的基本概念1. 什么是典型相关分析典型相关分析是一种分析两个多变量集合之间关系的方法。
设有两个随机向量 (X) 和 (Y),它们分别包含 (p) 和 (q) 个变量。
CCA旨在寻找一种线性组合,使得这两个集合在新的空间中具有最大的相关性。
换句话说,它通过最优化两个集合的线性组合,来揭示它们之间的关系。
2. 数学模型假设我们有两个数据集:(X = [X_1, X_2, …, X_p])(Y = [Y_1, Y_2, …, Y_q])我们可以表示为:(U = a^T X)(V = b^T Y)其中 (a) 和 (b) 是待求解的权重向量。
通过最大化协方差 ((U, V)),我们得到最大典型相关系数 (),公式如下:[ ^2 = ]通过求解多组 (a) 和 (b),我们可以获得多个典型变量,从而得到不同维度的相关信息。
三、典型相关分析的步骤1. 数据准备在进行CCA之前,需要确保数据集满足一定条件。
一般来说,应对数据进行标准化处理,以消除可能存在的量纲差异。
可以使用z-score标准化的方法来处理数据。
2. 求解协方差矩阵需要计算两个集合的协方差矩阵,并进一步求出其逆矩阵。
给定随机向量 (X) 和 (Y),我们需要计算如下协方差矩阵:[ S_{xx} = (X, X) ] [ S_{yy} = (Y, Y) ] [ S_{xy} = (X, Y) ]同时,求出逆矩阵 (S_{xx}^{-1}) 和 (S_{yy}^{-1})。
学术研究中的典型相关分析方法一、引言典型相关分析是一种广泛应用于社会科学和生物统计学领域的统计方法,主要用于研究两个或多个变量之间的关系。
典型相关分析能够从大量数据中提取出有用的信息,帮助研究者更好地理解研究对象之间的相互作用。
本文将详细介绍典型相关分析的基本原理、步骤和应用,为学术研究提供有益的参考。
二、典型相关分析的基本原理典型相关分析是一种用于探索多个变量之间关系的方法。
它通过寻找一组代表性变量,来反映原始变量之间的相关关系。
这些代表性变量通常被称为主成分或典型变量,它们能够反映原始变量的绝大部分信息。
通过分析典型变量之间的关系,可以推断出原始变量之间的潜在关系。
典型相关分析的基本原理可以概括为以下三个步骤:1.数据的降维:通过主成分分析或类似的方法,将原始数据从多个维度降至少数几个典型变量。
2.寻找代表性变量:根据典型变量的方差贡献和相关性,选择最重要的几个典型变量。
3.解释原始变量之间的关系:通过分析典型变量之间的关系,推断出原始变量之间的潜在关系。
三、典型相关分析的步骤典型相关分析通常包括以下步骤:1.准备数据:收集并整理需要进行分析的数据,确保数据的质量和准确性。
2.降维:使用主成分分析、独立成分分析或其他降维方法,将数据从多个维度降至少数几个典型变量。
3.确定典型变量:根据方差贡献和相关性,选择最重要的几个典型变量。
4.统计分析:使用适当的统计方法,如线性回归、相关系数等,分析典型变量之间的关系,并解释其意义。
5.结果解释:将典型变量之间的关系与原始变量之间的相关性进行比较,推断出原始变量之间的潜在关系。
四、典型相关分析的应用典型相关分析在许多领域都有广泛的应用,包括但不限于社会学、心理学、生物学和医学。
以下是一些典型相关分析的应用实例:1.研究社会现象:在研究社会现象时,典型相关分析可以用于探索人口统计学特征(如年龄、性别、教育水平等)与行为、态度和价值观之间的关系。
通过分析典型变量,可以更深入地了解社会现象的内在机制。
典型相关分析(CCA)简介在现代统计学和数据分析领域,典型相关分析(Canonical Correlation Analysis,CCA)是一种重要的方法,用于研究和揭示多变量之间的关系。
当我们面对多组变量时,传统的相关性分析往往无法完全捕捉不同变量之间的复杂关联。
典型相关分析为解决这一问题提供了一种有效的工具,尤其适用于社会科学、心理学、医学和市场研究等领域。
本文将对典型相关分析的基本概念、原理、计算方法及其应用进行详细介绍。
典型相关分析的基本概念典型相关分析是一种多变量统计技术,它旨在找出两组变量之间的关系结构。
具体而言,假设我们有两组变量,分别为 (X) 和 (Y),其中 (X) 包含(p)个变量,(Y)包含(q)个变量。
典型相关分析的目标是通过线性组合找出两个线性组合使得这两个组合之间的相关性最大化。
更具体地说,我们希望找到以下形式的线性组合: - (U =a_1X_1 + a_2X_2 + … + a_pX_p) - (V = b_1Y_1 + b_2Y_2 + … + b_qY_q)使得 (U) 和 (V) 之间的相关系数达到最大值,继而进一步探索(U) 和 (V) 与原始变量之间的联系。
CCA 的基本原理典型相关分析建立在协方差矩阵基础上。
在进行 CCA 前,我们通常会首先计算 (X) 和 (Y) 的协方差矩阵。
然后,我们需要解一个特征值问题,通过特征根和特征向量来捕捉到不同线性组合下变量间的典型相关性。
整个过程可以分为以下几个步骤:计算协方差矩阵:首先计算系列变数X与Y的样本均值,然后构建对应的协方差矩阵。
求解特征值问题:通过构造一个标准特征值问题 ((X,Y){}(Y)b = (X,X){}a),来得到特征值与特征向量。
提取典型相关系数:根据特征值计算出对应的典型相关系数,通过这些系数可以判断两个组变量之间关系强度。
解释结果:通过不同组合下所得到的典型变量,进一步理解各组变量间更深层次的联系和相互影响.CCA 的计算方法在实践中,可以使用多种统计软件,如 R、Python、SAS 等来实现 CCA 分析。