天津南开中学高三数学理科模拟卷1.docx

南开中学高三数学模拟试卷(理科)参考答案一、选择题:二、填空题:三、解答题：15.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道 题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是2,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分，答错一•题(不答视为答错)得0分.(I) 求乙的得分X 的分布列和数学期望E(X )；(II) 规定：每个人至少得2()分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过 测试的概率.16.【解】设乙的得分为X, X 的可能值有0,10, 20,30 (1)分 ~\ cJ 1~ \ C/C? 9 玖X = 0)= —= —P{X = 10)= '・•=— C/20 C;20VvP(X = 20) == — Pjx = 30)=空=丄 ......................... 5 分 20 C/ 20VV乙得分的分布列为：1 99 £Y = 0x — +10x — +20x —20 20 20+ 30 x A = 1520所以乙得分的数学期望为15 ............................................ 8分⑵乙通过测试的概率为刃...................................... 9分甲通过测试的概率为刁+訂(尹；=善1A分1 212。

甲、乙都没通过测试的概率为(1 - 1) . (1 -—)=—2 125 125因此甲、乙两人中至少4人通过测试的概率为】-总=豈………“16.已知函数/(x) = 2A /3sin x cos x-2cos 2x + 1. (I )求函数/(兀)的最小正周期及单调递增区间；A(II)在\ABC 中，d,b,c 分别为角A 9B,C 所对的边，若/(y) = 2, fe = l, c = 2,求 a 的值. 16.解：(I ) fix)=羽 sin lx 一 cos 2x............. 2 分rr TT rr由 2k;r - - < 2x - - < 2心T + 二得,2 6 271x < kz + —(keZ h ........... 了分3rr故f(x)的单调超増区间为；后-二k7l6&分A jr jr(II) /(-) = 2,则2sin(A 一一) = 2 => sin(A 一一) = 1 ....................... 9 分 2 6 6 71 7T 2/r/. A-- = -+ 2kg A = — + 2kgk G Z ............. 10^ 6 2 3 乂0 v A <%,・•• A =互 ................. 11 分3a 2 =b 2 +c 2 -2hc cos A = 7 ..................... 12 分a =.................. 13 分17.如图，在三棱柱ABC-A.B, G 中，AA.C.C 是边t 为4的正方形，.平丄平面 AA|C]C, AB — 3 , BC = 5 .(I) 求证：AA 丄平面ABC ； (II) 求二面角A - BG- 的余弦值；(III) 证明:在线段BC X 存在点D ，使得AD 丄A.B , 并求竺的值. BC.解：(I )因为AAiCjC 为正方形，所以AA|丄AC.因为平面ABC 丄平面AA.CjC,且AAj 垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 】丄平面ABC. (II)由(I)知 AAI 丄AC, AAi 丄AB.由题知 AB=3, BC=5, AC=4,所以 AB 丄AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A —兀yz,则 B(0, 3, 0),A|(0, 0, 4),B ((0, 3, 4),C )(4, 0, 4), 设平面A 】BC]的法向量为n = (x,y,z),则＜ 皿3 = 0 n • A l C [ = 0 3y-4z = 0 4x = 0令 z = 3,则兀=0, y = 4,所以n - (0,4,3). 同理可得,平而BB,C 1的法向量为皿=(3,4,0).,所以cos(/z,m} = n m=—.由题知二面角Aj —BCj —Bj 为锐角,' '\n\\m\ 25 ...................................................所以二而角A| —BC| —B|的余弦值为一.25(III)设 D(x,y,z)是直线 BC1 ± 一点，且=所以 g-3,z) = 2(4,-3,4) •解得x = 42 f y = 3 — 3A f z = 4A.所以 而= (42,3 - 3入 4/1).由X5•丽=0,即9一252 = 0.解得2 = 2.125 9因为—6[0,1],所以在线段BC 】上存在点D,25使得AD 丄A|B.此时，丝=1BC, 252 218-如图’已知椭圆吟+斧1心＞。

天津市南开中学2019届高三理数模拟试卷一、单选题 (共8题；共16分)1．（2分）设集合 A ={x||x −2|<2} ， B ={x|x 2−3x +2<0} .则 A ∩C R B = （ ）A ．(0,1]∪[2,4)B ．(1,2)C ．∅D ．(−∞,0)∪(4,+∞)2．（2分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的 S 的值为 1 ，则输出 S 的值为（ ）A ．16B ．19C ．115D ．3．（2分）设变量 x,y 满足约束条件 {x +3y −3≥0,2x −y −3≤0,x −y +1≥0, 则 x +y 的最大值为（ ）A ．9B ．157C ．1D ．7154．（2分）已知 a,b ∈R ，则“ ab =0 ”是“函数 f(x)=x|x +a|+b 是奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2分）已知函数 f(x)=2sin(ωx +φ) (ω>0,0<φ<π2) 的部分图象如图所示，这个图象经过点 A(0,1) 和点 B(8π9,−2) ，则如下区间是 f(x) 的单调递增区间的是（ ）A ．(−π9,5π9)B ．(2π9,8π9)C ．(π3,5π3)D ．(8π9,14π9)6．（2分）已知函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调，且函数 y =f(x −1) 的图象关于 x =1 对称，若数列 {a n } 是公差不为 0 的等差数列，且 f(a 50)=f(a 51) ，则 {a n } 的前 100 项的和为（ ） A ．−200B ．−100C ．0D ．507．（2分）已知双曲线 x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的左、右焦点分别为 F 1、F 2 ，焦距为 2c(c >0) ，抛物线 y 2=2cx 准线交双曲线左支交于 A,B 两点，且 ∠AOB =120° ，其中 O 为原点，则双曲线的离心率 e 为（ ） A ．2B ．1+√2C ．1+√3D ．1+√58．（2分）已知函数 f(x)={x 2+2x,x ≤0,2x−4x ,x >0. 若函数 F(x)=|f(x)|−|kx −1| 有且只有 3 个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A ．[−12,0)∪(0,12]∪{916}B ．(0,12]∪[916,+∞)C ．(0,12]∪{916} D ．{−12,12,916} 二、填空题 (共5题；共5分)9．（1分）若 z 是复数， z =1−2i1+i，则 z ⋅z̅= ． 10．（1分）在 (√x 3−2x )4的展开式中，常数项是 ．11．（1分）已知正四面体 ABCD 的棱长为 3 ，点 B 1 和 C 1 分别在棱 AB 和 AC 上，且 AB 1=1 ， AC 1=2 ，则四面体 AB 1C 1D 的体积为 ．12．（1分）已知曲线 C 1 参数方程为 {x =4+5t,y =5+5t （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ ，若 C 1 与 C 2 的两个交点为 A,B ，则线段 AB 的长为 ．13．（1分）已知a,b>0，且a+b=1，则ab+2ab的最小值为．三、解答题 (共5题；共25分)14．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知asinA+csinC−√2asinC= bsinB.(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若−3+2y=0y=32.15．（5分）立德中学和树人中学各派一名学生组成一个联队参加一项智力竞赛，这个智力竞赛一共两轮，在每一轮中，两名同学各回答一次题目，已知，立德中学派出的学生每轮中答对问题的概率都是34，树人中学派出的学生每轮中答对问题的概率都是23；每轮中，两位同学答对与否互不影响，各论结果亦互不影响，求：（Ⅰ）两轮比赛后，立德中学的学生恰比树人中学的学生答对题目的个数多1个的概率；（Ⅱ）两轮比赛后，记X为这两名同学一共答对的题目数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．（5分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥DC，AD=AB=2√3，CB=CD=2，PC⊥平面ABCD，PC=4，点N在线段PA上，且AN=3NP．（Ⅰ）求证：DN⊥AC；（Ⅱ）求二面角C−DN−A的正弦值；（Ⅲ）在线段BP上是否存在点T，使得CT∥平面PAD，若存在，求出线段BT的长，若不存在，说明理由．17．（5分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，离心率为√22，ΔABF的面积为√2+1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若M,N为y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E,D 两点．（ⅰ）求 △MFN 的面积最小值； （ⅱ）证明： E,O,D 三点共线．18．（5分）已知数列 {a n } 是等差数列， {b n } 是等比数列，且 a 3=a 1+a 2 ， b 4=b 2⋅b 3 ，a 8=b 4 ， b 5=a 16 ，数列 {c n } 满足 c n ={b 2m−1,n =3m −2,b 2m ,n =3m −1,a m ,n =3m, 其中 m ∈N ∗ ．（Ⅰ）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式； （Ⅱ）求 ∑c k c k+13nk=1答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】因为|x−2|<2⇒0<x<4，x2−3x+2<0⇒1<x<2，所以A={x|0<x<4} ， B={x|1<x<2}，因此C R B ={x|x≤1,或x≥2}，所以A∩C R B=(0,1]∪[2,4)，故答案为：A.【分析】解二个不等式，化简集合A,B，先求出C R B,最后求出A∩C R B. 2．【答案】B【解析】【解答】初始条件S=1,i=2，进入循环体，S=13,i<5，所以有i=3，再进入循环体，S=16,i<5，所以有i=5，再进入循环体，S=19,i=5，所以退出循环体，输出此时S的值，故答案为：B.【分析】先执行循环体再判断，直至i≥5时，退出循环体，输出S.3．【答案】A【解析】【解答】设x+y=z，在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图所示：当直线 y =−x +z 经过点C 时， z 有最大值，即C 点的坐标是解方程组 {2x −y −3=0,x −y +1=0. 的解，它的解为 {x =4,y =5. ，所以z 的最大值为4+5=9， 故答案为：A.【分析】设 x +y =z ，在平面直角坐标系内，画出可行解域，平行移动直线 y =−x ，直至在可行解域内，找到使得 y =−x +z 在纵轴上的截距最大时，直线 y =−x +z 经过的点，计算求出 z 的最大值.4．【答案】B【解析】【解答】由 ab =0 ⇒a,b 中至少有一个为零；由函数 f(x)=x|x +a|+b 是奇函数，⇒f(−x)=−f(x)⇒−x|−x +a|+b =−x|x +a|−b ⇒x|x −a|−b =x|x +a|+b ⇒a =b =0 ，显然由 a,b 中至少有一个为零，不一定能推出 a =b =0 ，但由 a =b =0 ，一定能推出 ab =0 ，故“ ab =0 ”是“函数 f(x)=x|x +a|+b 是奇函数”的必要不充分条件， 故答案为：B.【分析】先判断 ab =0 和函数 f(x)=x|x +a|+b 是奇函数成立的条件，然后判断充分性和必要性.5．【答案】D【解析】【解答】因为函数图象经过点 A(0,1) ，所以 sinφ=12,0<φ<π2⇒φ=π6， 又因为函数图象经过点 B(8π9,−2) ，2sin(89πω+π6)=−2⇒89πω+π6=2kπ+32π(k ∈Z)⇒ω=94k +32(k ∈Z) ，当 k =0 时， ω=32 ， f(x)=2sin(32x +π6) ，当 2kπ−π2≤32x +π6≤2kπ+π2(k ∈Z) 时，函数单调递增，即 43kπ−4π9≤x ≤43kπ+2π9(k ∈Z) ，当 k =1 时， 8π9≤x ≤14π9 ，故答案为：D.【分析】由函数图象经过点 A(0,1) 和点 B(8π9,−2) ，可以求出 ω,φ ，最后求出 f(x) 的单调递增区间，结合选项选出正确答案.6．【答案】C【解析】【解答】因为函数 y =f(x −1) 的图象关于 x =1 对称，所以函数 f(x) 关于 x =0 对称，又因为函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调，所以 f(x) 在 (−∞,0) 上也单调，由 f(a 50)=f(a 51) ，可以得到 a 50+a 51=0 ， S 100=100⋅(a 1+a 100)2=100⋅(a 50+a 51)2=0 ，故答案为：C.【分析】由函数 y =f(x −1) 的图象关于 x =1 对称，可知函数 f(x) 关于 x =0 对称，函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调，所以 f(x) 在 (−∞,0) 上也单调，由 f(a 50)=f(a 51) ，可以得到 a 50+a 51=0 ，进而可以求出 {a n } 的前 100 项的和.7．【答案】C【解析】【解答】设抛物线 y 2=2cx 准线与横轴的交点为 M ,∴M 的坐标为 (−c2,0) ，设 A 在第二象限，由双曲线的对称性可知: ∠MOA =60° ，tan∠MOA =AM OM ⇒AM =√32c ，∴A 的坐标为 (−c 2,√32c) ，焦距为 2c ，∴设 a =1,b 2=c 2−a 2=c 2−1 ，又 e =ca =c ，把 A 的坐标代入双曲线方程中，得(−c 2)2a 2−(√32c)2b2=1⇒e 4−8e 2+4=0⇒e 2=4+2√3⇒e =√3+1 ，故答案为：C.【分析】设抛物线 y 2=2cx 准线与横轴的交点为 M , A 在第二象限，由双曲线的对称性可知: ∠MOA =60° ,这样可以求出 A 的坐标,代入双曲线方程中,得到关于 e 的方程,解方程得到双曲线的离心率 e 的值.8．【答案】D【解析】【解答】 F(x)=|f(x)|−|kx −1|=0⇒|f(x)|=|kx −1| ，在直角坐标系内，画出函数y =|f(x)| 的图象，从左到右平移 y =|kx −1| 的图象，找到有三个交点时的位置，求出 k 的取值范围.⑴当 y =|kx −1| 过 (−2,0) 时，有三个交点，如下图：故 k =−12，⑵当y=|kx−1|图象的右部分，与y=2x−4x ,x>2相切时，即kx−1=2x−4x⇒kx2−3x+4=0，根的判别式为零，即9−16k=0⇒k=916；⑶当y=|kx−1|过(2,0)时，如下图：k=12，综上所述：实数 k 的取值范围是 {−12,12,916} ，故本题选D.【分析】 F(x)=|f(x)|−|kx −1|=0⇒|f(x)|=|kx −1| ，画出函数 y =|f(x)| 的图象，结合 y =|kx −1| 的图象，找到有三个交点时的位置，求出 k 的取值范围.9．【答案】52【解析】【解答】 z =1−2i 1+i =(1−2i)⋅(1−i)(1+i)⋅(1−i)=−1−3i 2⇒z̅=−1+3i 2∴z ⋅z̅=−1−3i 2⋅−1+3i 2=52 【分析】根据复数除法运算的法则，化简复数，求出它的共轭复数，然后利用复数的乘法运算法则，计算出 z ⋅z̅ 的值.10．【答案】−8【解析】【解答】因为 (√x 3−2x )4的展开式的通项公式为： T r+1=C 4r (√x 3)4−r⋅(−2x )r =C 4r ⋅(−2)r⋅x 4−4r3 ， 所以令4−4r 3=0⇒r =1 ，常数项为 C 41⋅(−2)1=−8 . 【分析】写出 (√x 3−2x )4的展开式的通项公式，让 x 的指数为零，求出常数项.11．【答案】√22【解析】【解答】过 D 作 DO ⊥ 面 ABC , ABCD 是正四面体，所以 O 是正三角形 ABC 的中心，在正三角形 ABC 中，由正弦定理可求出 AO =√3 ，根据勾股定理可得: DO =√DA 2−AO 2=√6 ,V D−AB 1C 1=13⋅DO ⋅S ΔAB 1C 1=13×√6×12⋅AB 1⋅AC 1⋅sin∠BAC =√22 .【分析】求出正四面体的高，然后利用棱锥的体积公式求出四面体 AB 1C 1D 的体积.12．【答案】2【解析】【解答】曲线 C 1 参数方程为 {x =4+5t,y =5+5t ,所以普通方程为： x −y +1=0 ，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ ，化为直角坐标方程为： x 2+(y −1)2=1 ，圆心坐标为 (0,1) ，显然圆心 (0,1) ，在直线 x −y +1=0 上，故 AB 的长为2.【分析】把曲线 C 1 参数方程和曲线 C 2 的极坐标方程都化为普通方程，可以知道曲线 C 1 是一条直线，曲线 C 2 是圆，进一步可以发现圆心在直线上，所以线段 AB 的长就是直径的长.13．【答案】334【解析】【解答】因为 a,b >0 ，且 a +b =1 ，所以 0<ab ≤(a+b 2)2=14 ，当且仅当 a =b =12 时，取等号，设 ab =t(0<t ≤14) ，所以设 f(t)=t +2t (0<t ≤14) ， f ′(t)=1−2t2 ，显然当0<t ≤14 时， f ′(t)<0 ，所以 f(t) 在 0<t ≤14 上，是单调递减函数， 所以 f(t)min =f(14)=334.【分析】由 a +b =1 ， a,b >0 ，可以求出 ab 的取值范围，可以构造函数求出 ab +2ab的最小值.14．【答案】解：(I)由正弦定理得 a 2+c 2−√2ac =b 2由余弦定理得 b 2=a 2+c 2−2accosB .故 cosB =√22，因此 B =45∘（II ） sinA =sin(30∘+45∘)=sin30∘cos45∘+cos30∘sin45∘=√2+√64故 a =b ×sinA sinB =√2+√6√2=1+√3 c =b ×sinC sinB =2×sin60∘sin45∘=√6【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cos B 的值，进而求得B ．（Ⅱ）利用两角和公式先求得sin A 的值，进而利用正弦定理分别求得a 和c ．15．【答案】解：（Ⅰ）设事件 A 为立德中学的学生答对一道，树人中学的学生一道也没答对,设事件B 为立德中学的学生答对二道，树人中学的学生答对一道，设事件C 为两轮比赛后，立德中学的学生恰比树人中学的学生答对题目的个数多 1 个,所以 P(A)=C 21(34)⋅(14)⋅C 22(13)2=124,P(B)=C 22(34)2⋅C 21(23)(13)=14 ,因此 P(C)=P(A)+P(B)=724; （Ⅱ）由题意可知: X =0,1,2,3,4P(X =0)=C 22(14)2⋅C 22(13)2=1144, P(X =1)=C 22(14)2⋅C 21(23)(13)+C 21(34)(14)⋅C 22(13)2=572,P(X =2)=C 22(34)2⋅C 22(13)2+C 22(14)2⋅C 22(23)2+C 21(14)(34)⋅C 21(23)(13)=37144,P(X =3)=C 22(34)2⋅C 21(23)(13)+C 21(34)(14)⋅C 22(23)2=512 ,P(X =4)=C 22(34)2⋅C 22(23)2=14 ,随机变量 X 的分布列为下表：所以 EX =0×1144+1×572+2×37144+3×512+4×14=176. 【解析】【分析】（Ⅰ）立德中学的学生恰比树人中学的学生答对题目的个数多 1 个，有二种情况：一种情况是，立德中学的学生答对一道，树人中学的学生一道也没答对；另一种情况是，立德中学的学生答对二道，树人中学的学生答对一道，求出这两个事件的概率，最后利用和事件的概率公式求出本问题；（Ⅱ）由题意可知: X =0,1,2,3,4 ,求出相应概率，列出分布列，计算出数学期望.16．【答案】解：（Ⅰ）在四边形 ABCD 中， AD ⊥DC ， AD =AB =2√3 ， CB =CD =2 ，根据勾股定理，可求出 AC =4 ,利用勾股定理的逆定理可知： AB ⊥BC ，以 B 为空间直角坐标系的原点，建立空间直角坐标系，如图所示：所以 A(0,2√3,0),B(0,0,0),C(2,0，0),D(3,√3,0),P(2,0,4) ，因为 AN =3NP ，所以 AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，因此可求出 N 坐标为 (32,√32,3) , 因为 DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−√32,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2√3,0)DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ,所以 DN ⊥AC ; （Ⅱ）设平面 ADN 的法向量为 m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) , AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3,0) , {m ⇀⋅AD ⇀=0,m ⇀⋅DN ⇀=0.⇒{3x 1−√3y 1=0,−32x 1−√32y 1+3z 1=0⇒m ⇀=(1,√3,1) ， 设平面 CDN 的法向量为 n ⃗ =(x 2,y 2,z 2),CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0) , ∴{n ⇀⋅CD⇀=0,n ⇀⋅DN ⇀=0.⇒{x 2−√3y 2=0,−32x 2−√32y 2+3z 2=0⇒n ⇀=(3,√3,2) ， 设 m⃗⃗⃗ ,n ⃗ 的夹角为 θ ， ∴|cosθ|=m ⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ |m⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=25√5⇒sinθ=√55 ；（Ⅲ）设存在线段 BP 上存在点 T ，使得 CT ∥平面PAD ，BT ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBP⃗⃗⃗⃗⃗ ,(0≤μ≤1),T(x,y,z)⇒T(2μ,0,4μ) ,设平面 PAD 的法向量为 a ⃗ =(x 3,y 3,z 3) , AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,√3,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2√3,4) , CT⃗⃗⃗⃗⃗ =(2μ−2,0,4μ) ∴{a ⇀⋅AD ⇀=0,a ⇀⋅AP ⇀=0.⇒{−3x 3+√3y 3=0,2x 3−2√3y 3+4z 3=0⇒a ⇀=(1,√3,1) , 因为 CT ∥平面PAD ,所以 CT ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅a ⃗ =0⇒2μ−2+4μ=0⇒μ=13,∴T(23,0,43)∵BT =√(23)2+(43)2=23√5 【解析】【分析】（Ⅰ）在四边形 ABCD 中,可以证明出 AB ⊥BC ，以 B 为空间直角坐标系的原点，建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，利用 DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，可以证明出 DN ⊥AC ；（Ⅱ）求出平面 ADN 的法向量、平面 CDN 的法向量，利用空间向量的数量积求出向量夹角的余弦值的绝对值，利用同角三角函数关系式，求出二面角 C −DN −A 的正弦值；（Ⅲ）设存在线段 BP 上存在点 T ，使得 CT ∥平面PAD ，设 T 的坐标，求出平面 PAD 的法向量，利用 CT⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面 PAD 的法向量垂直，可以求出 T 的坐标，进而求出线段 BT 的长.17．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知： A(−a,0),B(0,b),F(c,0) ，离心率为 √22 ⇒c a =√22⇒a =√2c ，因为 ΔABF 的面积为 √2+1 ，所以 12(a +c)b =√2+1 ⇒bc =2 ⇒b =2c而 a 2=b 2+c 2 ，所以 2c 2=4c 2+c 2⇒c =√2 ，因此 a =2,b =√2 ，椭圆 C 的方程为 x 24+y 22=1 ；（Ⅱ）设 M(0,m),N(0,n) ， (m >n)MF ⊥NF ⇒MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒(√2,−m)⋅(√2,−n)=0⇒mn =−2 ,所以 m >0 . （ⅰ）设 △MFN 的面积为 S ， mn =−2⇒n =−2m(m >0) ， S =12×√2(m −n)⇒S =√22(m +2m )≥√22×2√m ⋅2m=2 ，当且仅当 m =√2 时，取等号，所以 △MFN 的面积最小值为2；（ⅱ） A(−2,0),M(0,m),N(0,n) ,直线 AM 的方程为： y =m2x +m 与椭圆的方程联立得 {x 24+y 22=1y =m2x +m⇒(2+m 2)x 2+4m 2x +4m 2−8=0 ，设 E(x 1,y 1), 所以有 −2x 1=4m 2−82+m 2⇒x 1=−2m 2−42+m 2， y 1=4m 2+m 2 ， 设 D(x 2,y 2) ,同理求出 x 2=−2n 2−42+n 2,y 2=4n 2+n 2，所以 k OE =2m 2−m 2,k OD =2n 2−n 2 ， mn =−2⇒m =−2n ， k OE =2m 2−m 2=2−2n 2−(−2n )2=2n 2−n2, 所以 k OE =k OD ，直线 OE,OD 过同一点，斜率相等，所以 E,O,D 三点共线．【解析】【分析】（Ⅰ）根据离心率可以得到等式，由 ΔABF 的面积为 √2+1 ，又得到一个等式，结合 a 2=b 2+c 2 ，可以求出 a,b 的值，这样就求出椭圆方程；（Ⅱ）（ⅰ）设出 M,N 两点坐标，根据 MF ⊥NF ，可以得到 M,N 两点坐标之间的关系，求出 △MFN 的面积的表达式，利用基本不等式求出 △MFN 的面积最小值；（ⅱ）直线 AM 的方程与椭圆方程联立，求出 E 点坐标，同理求出 D 的坐标，求出直线 OE,OD 的斜率，根据 M,N 两点坐标之间的关系，可以证明出直线 OE,OD 的斜率相等，又过同一点，这样就可以证明 E,O,D 三点共线．18．【答案】解：（Ⅰ）设数列 {a n } 的公差为 d ，数列 {b n } 公比为 q ，a 3=a 1+a 2⇒a 1+2d =a 1+a 1+d ⇒a 1=d ，b 4=b 2⋅b 3⇒b 1q 3=b 1q ⋅b 1q 2⇒b 1=1 ， a 8=b 4⇒a 1+7d =q 3⇒8d =q 3 ， b 5=a 16⇒q 4=a 1+15d ⇒q 4=16d 所以 q =2,d =1 ，因此 a n =n,b n =2n−1 ；（Ⅱ） ∑c k c k+13nk=1=c 1c 2+c 2c 3+c 3c 4+⋯+c 3n c 3n+1 ，⇒∑c k c k+13n k=1=(c 1c 2+c 4c 5+⋯+c 3n−2c 3n−1)+(c 2c 3+c 5c 6+⋯+c 3n−1c 3n )+(c 3c 4+c 6c 7+⋯+c 3n c 3n+1) ，⇒∑c k c k+13nk=1=(2+25+⋯+24n−3)+(2×1+23×2+⋯+n ⋅22n−1)+(1×22+2×24+⋯+n⋅22n )2+25+⋯+24n−3=2[1−(24)]n1−24=24n+1−215， S =2×1+23×2+⋯+n ⋅22n−1(1),4S =23×1+25×2+⋯+n ⋅22n+1(2),(2)−(1)⇒ −3S =2+23+⋯+22n−1−n ⋅22n+1⇒−3S =2[1−(22)n]1−22−n ⋅22n+1⇒S =(13n −19)⋅22n+1+29 ，S ′=1×22+2×24+⋯+n ⋅22n (3),4S ′=1×24+2×24+⋯+n ⋅22n+2(4),(4)−(3) 得 −3S ′=22+24+⋯+22n −n ⋅22n+2⇒−3S ′=22[1−(22)n]1−22−n ⋅22n+2 ⇒S ′=(n 3−19)22n+2+49，所以 ∑c k c k+13nk=1=24n+1−215+(13n −19)⋅22n+1+29+(n 3−19)22n+2+49=24n+115+(n −13)22n+1+815【解析】【分析】（Ⅰ）设出数列 {a n } ， {b n } 的公差和公比，利用已知给的式子，可以求出数列{a n } 的首项、公差和数列 {b n } 的首项及公比；（Ⅱ） ∑c k c k+13nk=1=c 1c 2+c 2c 3+c 3c 4+⋯+c 3n c 3n+1 ， ⇒∑c k c k+13n k=1=(c 1c 2+c 4c 5+⋯+c 3n−2c 3n−1)+(c 2c 3+c 5c 6+⋯+c 3n−1c 3n )+(c 3c 4+c 6c 7+⋯+c 3n c 3n+1) ， ⇒∑c k c k+13n k=1=(2+25+⋯+24n−3)+(2×1+23×2+⋯+n ⋅22n−1)+(1×22+2×24+⋯+n ⋅22n ) ，分别求和，最后求出 ∑c k c k+13nk=1 .。

2025届天津市南开区南开中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．72．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．4711B ．4712C ．4713D ．47153．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5 4．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]5．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙7．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B ．33a b >C ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+8．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．40243B ．70243C ．80243D ．382439．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．510．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A ．3π B ．23π C ．πD ．43π 12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市南开中学2015届高三数学统练1 理一、选择题（共12个小题，每题5分）1. 已知集合(){}(){}2,9,,M x y y x N x y y x b ==-==+,且M N ⋂=Φ,则实数b 的取值范围是( ) A.32b ≥ B.02b <<C.332b -≤≤D.32,3b b ><-或2.已知函数()34x f x x +=-及()229712x g x x x -=-+的值域分别为,M N ,则( ) A.M N ⊇ B.M N = C.M N ⊆ D. 以上都不对3. 3.设映射()2:2f x x x x→-+是实数集R 到实数集R 的映射，若对于实数p R ∈，在R 中不存在原象，则p 的取值范围是（ ） .A()1,+∞ .B [)1,+∞ .C (),1-∞ .D (],1-∞4.如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[]7,3--上是（ ）A.增函数且最小值为 5 B ．增函数且最大值为 5 C.减函数且最小值为 5 D ．减函数且最大值为55. 函数248136(1)x x y x ++=+()1x >-的最小值是（ ） .A 1 .B 32 .C 2 .D 36.已知函数13y x x =-+的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为（ ）． A.14B ．12C ．2D ．37.已知条件:15p a -<<,条件22:210q x ax a -+-=的两根均大于2-小于4,则p 是q 的( )条件.A .充分不必要B .必要不充分 C.充分且必要 D .既不.充分也不必要8.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1x ，2x ∈R 有()()()12121f x x f x f x +=++，则下列说法一定正确的是（ ）．A ．()f x 为奇函数 B ．()f x 为偶函数 C ．()1f x +为奇函数 D ．()1f x +为偶函数9.若函数()x f y =在（0，2）上是增函数，()2+=x f y 是偶函数，则有（ ）.A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<27251f f fB ．()12527f f f <⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ C ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫⎝⎛25127f f f D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫⎝⎛27125f f f10．函数2()2f x x ax a =-+在(,1)-∞上有最小值，则函数()()f x g x x =在(1,)+∞上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数11. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+=)1(11)11(22)1()1()(2x x x x x x x f ，已知1)(>a f ，则a 的取值范围是（ ）A.（－∞，－2）∪（－21，+∞） B.（－21，21）C.（－∞，－2）∪（－21，1）D.（－2，－21）∪（1，+∞）12.设2,||1(),||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[0,)+∞，则()g x 的值域是（ ）A.(,1][1,)-∞-+∞UB.(,1][0,)-∞-+∞UC.[0,)+∞D.[1,)+∞二、填空题（共6个小题，每题5分）13. 若不等式022>-+ax x 在区间上有解，则a 的取值范围是 .14.定义在区间[]0,a 上的函数()223f x x x =-+有最大值为3，最小值为 2，正数a 的取值范围是 .15.已知函数()12axf xx+=+在区间()2,-+∞上是增函数, 则a的取值范围是 .16. 已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数)(xf是奇函数，,当0x>时,()241f x x x=-++,则)(xf的单调递增区间是 .17.函数y=的值域是 .18.已知()()()()23,22xf x m x m x mg x=-++=-.若同时满足条件:①对()(),00;x R f x g x∀∈<<或②()()(),4,0x f x g x∃∈-∞-⋅<.则实数m的取值范围是 .三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 函数()f x对任意的实数m、n，有()()()f m n f m f n+=+，当0x>时，有()0f x>.(1)求证：()f x是奇函数,;(2)求证：()f x在(,)-∞+∞上为增函数.20. 已知函数)0(21)(>+-=xxaxf.(1)判断)(xf在),0(+∞上的增减性，并加以证明；（2）解关于x的不等式)(>xf;（3）若2)(≥+xxf在),0(+∞上恒成立，求a的范围.21.设()f x是定义在R上的函数,对k N*∈,当(]21,21kx I k k∈=-+时,()()22.f x x k=-求集合(){}k kM a f x ax I==方程在上有两个不相等的实根.22.已知113a≤≤, 若()221f x ax x=-+在区间[]1,3上的最大值为()M a, 最小值为()N a, 令()()()g a M a N a=-. (1)求()g a的函数解析式；(2)判断()g a的单调性, 并求出()g a的最小值.2015届高三数学统练1答案一、选择题 DAABCC BCCDCC二、填空题13.23,5⎛⎫-+∞⎪⎝⎭ 14.[]1,215.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭16. ()()2,0,0,2-17.12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，18.()42--，20. 已知函数)0(21)(>+-=x x a x f .(1)判断)(x f 在),0(+∞上的增减性，并加以证明；（2）解关于x 的不等式0)(>x f ;（3）若02)(≥+x x f 在),0(+∞上恒成立，求a 的范围. 20．解:（1）)(x f 在),0(+∞上为减函数证明：设210x x <<,)21()21()()(2121x a x a x f x f +--+-=-0)(222211221>-=-=x x x x x x ,∴ )()(21x f x f > .∴ )(x f 在),0(+∞上为减函数（2）不等式0)(>x f ，即021>+-x a ，即02>+-ax a x ,也即0)2(<⋅-ax a x① 当0>a 时，不等式0)2(<-a x x ,不等式解为a x 20<<② 当0<a 时，不等式0)2(>-a x x ,不等式解为0>x 或a x 2<（舍去）（3）若02)(≥+x x f 在),0(+∞上恒成立，即0221≥++-x x a∴ )1(21x x a +≤,∵ )1(2x x +的最小值为4 ∴ 41≤a .解得0<a 或41≥a 21.设()f x 是定义在R 上的函数,对k N *∈,当(]21,21k x I k k ∈=-+时,()()22.f x x k =-求集合(){}k k M a f x ax I ==方程在上有两个不相等的实根.21.解：问题等价于方程()22440x k a x k -++=在区间(]21,21k k -+有两个不等实根.记()()2244g x x k a x k =-++ ,利用根的分布,有()()()2221021041212124160g k g k k k k k a k ⎧->⎪+≥⎪⎪+⎨-<<+⎪⎪∆=+->⎪⎩解得1211212208a k a k a a a k ⎧<⎪-⎪⎪≤⎨+⎪-<<⎪⎪><-⎩或即1021a k <≤+. 所以10,21k M k ⎛⎤= ⎥+⎝⎦. 22.已知113a ≤≤, 若()221f x ax x =-+在区间[]1,3上的最大值为()M a , 最小值为()N a , 令()()()g a M a N a =-. (1)求()g a 的函数解析式；(2)判断()g a 的单调性, 并求出()g a 的最小值.。

天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2B．4C．5D．204．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2B．C．1D．6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，变形为，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，∴==2+2i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解补集以及交集即可．解答：解：全集U=R，A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，∴∁U A={y|y≤1}B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}={x|}，则（∁U A）∩B={x|＜x≤1}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2B．4C．5D．20考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+3y 的最小值．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+3y=z，显然当平行直线过点A（2，0）时，z取得最小值为4；故选B．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2B．C．1D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b ＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．解答：解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B．C．D．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．点评：本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n 是否继续循环循环前0 1第一圈0 2 是第二圈 3 3 是第三圈 5 4 是第四圈10 5 否此时S值为10．故答案为：10．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是﹣192．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题；概率与统计．分析：先求定积分得出a的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答：解：∵已知=（sinx﹣cosx）=2，则二项式=的展开式的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=•x3﹣r．令3﹣r=2，解得r=1，故展开式中含x2项的系数是=﹣192，故答案为﹣192．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆；推理和证明．分析：由已知条件求出BD=2，BE=，再由切割线定理知BE•BF=BD•BC，由此能求出EF．解答：解：∵在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，∴BD=2，BE==，∵BE•BF=BD•BC，∴，解得EF=．故答案为：．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为3．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得圆的普通方程．求出圆心到直线l的距离d．即可得出圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），∵cos2θ+sin2θ=1，∴圆的普通方程为（x﹣2）2+y2=1．圆心（2，0）到直线l的距离d==2．则圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r=3．故答案为：3．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过题意可知AD=AC=5，cos∠CAD=，cos∠BAC=，利用=•﹣•，代入计算即可．解答：解：∵AB⊥BC，AB=3，BC=4，∴AC==5，cos∠BAC=，又∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC=5，cos∠CAD=，∴=•（﹣）=•﹣•=﹣=，故答案为：．点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围a≥e．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a ﹣1，而|f（x1）﹣f（x2）|max=f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．解答：解：f′（x）=a x lna+2x﹣lna=（a x﹣1）lna+2x，当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；当0＜a＜1时，a x≤1，lna＜0，2x≥0，此时也有f′（x）≥0，综上知，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：a≥e．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；（Ⅱ）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．解答：解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分），，…（5分）乙得分的分布列为：X 0 10 20 30P…（6分）所以乙得分的数学期望为15…（8分）（Ⅱ）乙通过测试的概率为…（9分）甲通过测试的概率为…（11分）甲、乙都没通过测试的概率为因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为…（13分）点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由f（）=2，得到sin（A﹣）=1，确定出A的度数，求出cosA的值，再由b，c 的值，利用余弦定理即可求出a的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），∵ω=2，∴最小正周期T==π；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（）=2，∴2sin（A﹣）=2，即sin（A﹣）=1，∴A﹣=+2kπ，k∈Z，即A=+2kπ，k∈Z，又0＜A＜π，∴A=，由余弦定理及b=1，c=2，cosA=﹣得：a2=b2+c2﹣2bccosA=7，即a2=1+4+2=7，解得：a=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．解答：（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用4S n=（2n﹣1）a n+1+1，写出4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得，利用累加法求解a n，判断数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）利用放缩法以及裂项法，直接证明求解即可．解答：（Ⅰ）证明：因为4S n=（2n﹣1）a n+1+1，所以当n≥2时，4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n（n≥2），所以（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，即，在4S n=（2n﹣1）a n+1+1中，令n=1，得a2=3，所以=，所以a n﹣a n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2（n≥2），故数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，且a n=2n﹣1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，当n=1时，；当n≥1时，，所以．点评：本题考查等差数列的判定，数列的递推关系式的应用，放缩法以及裂项求和的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可得f（x1）﹣f（x2），构造新函数F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），确定其单调性，即可得出结论；（Ⅲ）确定g（x）在上单调递增，可得g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，h（a）=）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），分类讨论，确定单调性，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，∴x1+x2=，x1x2=∴2（x1+x2）=a，x2=，∴f（x1）﹣f（x2）=lnx1+x12﹣ax1﹣（lnx2+x22﹣ax2）=2lnx1﹣x12++ln2（0＜x≤1）．设F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），则F′（x）=﹣＜0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，∴F（x）≥F（1）=﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）解：g（x）=f（x）+2ln=2ln（ax+2）+x2﹣ax﹣2ln6，∴g′（x）=，∵a∈（2，4），∴x+＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在上单调递增，∴g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，∴2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6＞k（4﹣a2）在（2，4）上恒成立．令h（a）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），则h（2）=0，∴h（a）＞0在（2，4）上恒成立．∵h′（a）=，k≤0时，h′（a）＜0，h（a）在（2，4）上单调递减，h（a）＜h（2）=0，不合题意；k＞0时，h′（a）=0，可得a=．①＞2，即0＜k＜时，h（a）在（2，）上单调递减，存在h（a）＜h（2）=0，不合题意；②≤2，即k≥时，h（x）在（2，4）上单调递增，h（a）＞h（2）=0，满足题意．综上，实数k的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．。

一、单选题1. 某几何体的三视图为三个直角边为1的等腰直角三角形，如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．C．D．2. 已知三棱锥的各棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．3.已知集合，，则等于．A．B．C．D．4. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论一定成立的是（）A ．三棱锥的体积大小与点的位置有关B．与平面相交C ．平面平面D．5. 若复数满足，其中是虚数单位，则复数的共轭复数为（ ）A．B．C．D．6. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情发生后，党中央、国务院高度重视，及时做出防控部署，坚决打赢这场疫情战役，下面是武汉某医院2月6号到15号每天新接收的发热病人数的统计图，下列叙述错误的是（ ）天津市南开中学2023届高三高考模拟数学试题A．从8号到10号，每天新接收的发热病人数逐渐增加B．这10天中每天新接收的发热病人数的平均数是49.3C．从这10天中随机选一天，这一天新接收的发热病人数小于35的概率是D．这10天中每天新接收的发热病人数的中位数是457. 若，且，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．8. 设，，则（）A．B．C．D．9. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（）A．是最小正周期为的偶函数B．是最小正周期为的奇函数C ．)在上单调递减D．在上的最大值为10. 已知正实数，，满足，，，则，，之间的大小关系为（）A．B．C．D．11. 设函数的零点，函数的零点，其中，，若过点作圆的切线，则的方程为（）A．B．C．D．，12. 图1中，正方体的每条棱与正八面体（八个面均为正三角形）的条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若，则点M到直线的距离等于（）A．B．C．D．13.设函数的最小正周期为.且过点.则下列说法正确的是（）A．B ．在上单调递增二、多选题C．的图象关于点对称D ．把函数向右平移个单位得到的解析式是14.设复数，则（ ）A．B ．4C．D ．215.设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．16.如图，在三棱柱中，底面ABC ，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（）A ．1:2B ．4:5C ．4:9D ．5:717. 已知向量，则（ ）A．B．C．D．18.如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（）A ．是直角三角形B ．异面直线与所成的角为C ．当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值D ．平面平面19. 已知，，且，则下列判断正确的是（ ）A．的最小值为12B．的最小值为C ．若不等式恒成立，则D．的最大值为820.设函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的图象可由的图象伸缩平移变换得到B ．直线为函数的图象的对称轴C．函数的图象的对称中心是，三、填空题D．函数的单调递增区间是，21. 已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）A．B．C．D．22. 已知函数的定义域为R ，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的为（ ）A．是偶函数B．C．的图象关于对称D．23. 饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET ”.随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义.温州某高中随机调查了该校某两个班（A 班，B 班）4月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按，，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（）A．B ．A 班该月平均每天产生的饮料瓶比B 班更多C ．若A 班和B 班4月产生饮料瓶数的第75百分位数分别是和，则D ．已知该校共有学生2000人，则约有400人4月份产生饮料瓶数在之间24.已知函数，则（ ）A．的图象关于直线轴对称B．的图象关于点中心对称C．的所有零点为D ．是以为周期的函数25. 2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D 是垂直下落于点C，某时刻地面上点观测点观测到点D 的仰角分别为，若间距离为10千米（其中向量与同向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离约为___________千米（结果保留整数，参考数据：）.26. 若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为________________．27. 把正整数按如下规律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，……，构成数列，则__________．28.记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为__________．29. 已知，为单位向量，，且，则________．四、解答题五、解答题30. 直线与圆交，两点，若为等边三角形，则的值为______．31. 我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．32. 设表示不超过的最大整数，如，，则________．33.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求34. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.35.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.36.已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．37. （1）求值：；（2）已知，求的值.38. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.39. 中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在内的频数为3.(1)求的值；(2)已知抽取的名参赛人员中，成绩在和女士人数都为2人，现从成绩在和的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为，求的分布列与数学期望.40. 已知函数，其中[x]表示不超过的最大整数，例如(1)将的解析式写成分段函数的形式;(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象;(3)根据图象写出函数的值域.41. 如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且.（1）在∠BDC的角平分线上，是否存在一点O，使得AO∥平面EFC？若存在，请作出证明；若不存在，请说明理由；（2）若平面BCD⊥平面ADC，BD⊥DC，，求二面角F-EC-D的正切值.42. 如图，正方体的棱长为，为棱的中点．（1）画出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求点到该平面的距离．43. 一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌长与身高进行测量，得到数据（单位均为）作为样本如下表所示.20212223242526272829脚掌长(x)六、解答题身高(y )141146154160169176181188197203（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程；（2）若某人的脚掌长为，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．(参考数据：，，，)44. 某小型学院对所有入学新生进行了数学摸底考试，如果学生得分在35分以下，则不能进入正常数学班学习，必须进补习班补习，10名进入正常数学班的学生的摸底考试成绩和学期末考试成绩如下：摸底成绩50354055806065359050期末成绩53515668877146317968并计算得：（1）画出散点图；（2）建立一个回归方程，用摸底考试成绩来预测期末考试成绩(精确到0.1)；（3）如果期末考试60分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于多少分学生将不能获得某课程结业．(附：)45. 如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O ，．(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点F ，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．46. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，，，.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.47. 如图，在五面体中，已知平面，，为正三角形，且．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值．48. 如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点为线段上一点.(1)求证：平面；(2)若与平面所成角为，求平面与平面所成角的余弦值.49. 如图，在长方体中，，，点是线段中点．(1)求证：；(2)求点到平面的距离．50. 如图，在四棱锥中，，平面平面，设平面与平面的交线为.七、解答题(1)证明：平面平面；(2)已知.若直线与直线所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.51. 某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品､二级正品､次品共三个等级.根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可获利50元，一个次品亏损80元.该运动产品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了这些产品的等级，如下表：等级一级正品二级正品次品频数1000800200(1)求这2000个产品的平均利润是多少；(2)该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100名女性，每位对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：满意不满意总计男性3268100女性6139100总计93107200问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82852. 为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣．(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男女合计(2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行.第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以取胜的同学积3分，负的同学积0分；以取胜的同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为，记小强同学所得积分为， 求的分布列和期望.附表：P （K 2≥k 0）0.500.400.250.1500.1000.050k 00.4550.7801.3232.0722.7063.84153. 根据中国造纸协会统计数据显示，2014年以来，我国纸及纸板生产量整体呈现震荡上行趋势，增速保持在低位运行.如图是2014~2020年八、解答题中国纸及纸板生产量统计图.(1)试计算2014~2020年中国纸及纸板生产量的平均值、中位数与极差（平均值结果保留两位小数）；(2)2018年，行业景气度下滑，中国纸及纸板生产量小幅下滑，试计算2014~2017年、2018~2020年两个时间段中国纸及纸板生产量的平均值的大小，并比较这两个时间段中国纸及纸板生产量的方差的大小.54. 8年来，某地第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图表如下图所示，根据该图提供的信息解决下列问题.(1)在所统计的8个生产总值中任取2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望；(2)由统计图表可看出，从第5年开始，该地第三产业生产总值呈直线上升趋势，试用线性回归模型预测该地第10年的第三产业生产总值.（参考公式：，）55. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.56. 在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.57.设函数，.（1）若，，求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线与直线平行.①求，的值；②求实数的取值范围，使得对恒成立.58. 已知函数(1)当时，①求曲线的单调区间和极值；②求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．59. 已知椭圆：上的点到左焦点的最大距离是，且点在椭圆上，其中为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）如图所示，是椭圆上的两点，且，求面积的取值范围．60. 如图，平面平面ABC，，，D分别为PA的中点，，．(1)设平面平面，若直线，证明：O为AC中点；(2)在（1）的条件下，求点P到平面BOD的距离．61. 一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且.(1)求的概率；(2)若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于的零件个数，求X的分布列与数学期望.62. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，底面ABCD，，，，E为PA的中点．(1)证明：平面平面BCE；(2)若二面角P-BC-E的余弦值为，求三棱锥P-BCE的体积．。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（天津卷）第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高。

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =∈-<，则()A B =R I ð（）A ．{}34x x -<≤B ．{}34x x -≤<C ．{}4x x ≥D ．{}45x x ≤<【答案】D【解析】由2120x x --<，得34x -<<，所以{}34A x x =-<<；由()2log 51x -<，得052x <-<，解得35x <<，所以{}35B x x =<<.所以{R 3A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 45A B x x ⋂=≤<ð.故选：D ．2．已知等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则“0d >”是“81092S S S +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为8109810991091092220S S S S S S a a a a a d +>⇔+-=+-=-=>，所以“0d >”是“81092S S S +>”的充要条件.故选：C.3．华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．sin ()3xf x =B ．cos ()3xf x =C ．sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cos 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可知，()y f x =的图象不关y 轴对称,而()()cos cos ()33x xf x f x --===，()()cos cos 11()33x xf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即这两个函数均关于y 轴对称，则排除选项B 、D ；由指数函数的性质可知3xy =为单调递增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，由sin y x =的图象可知存在一个极小的值00x >，使得sin y x =在区间()00,x 上单调递增，由复合函数的单调性可知，sin ()3xf x =在区间()00,x 上单调递增，sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()00,x 上单调递减，由图象可知sin ()3x f x =符合题意，故选：A .4．已知0.10.52log 3,log 3,2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b<c<a【答案】A【解析】由题意得0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，2log y x =在(0,)+∞上单调递增，2x y =在R 上单调递增，故0.10.50.0522102121log 3log ,log 3log ,02a b c -=<<==<=>==，故a c b <<，故选：A5．下列说法错误的是（）A ．若随机变量ξ、η满足21ηξ=-且()3D ξ=，则()12D η=B ．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C ．若事件A 、B 相互独立，则()(|)P A B P A =D ．若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，则A 组数据的相关性更强【答案】D【解析】对于A ：因为21ηξ=-且()3D ξ=，所以()()()221212D D D ηξξ=-=⨯=，故A 正确；对于B ：因为1045% 4.5⨯=，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B 正确；对于C ：若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()(|)P AB P A P B P A B P A P B P B ===，故C 正确；对于D ：若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，因为B A r r >，所以B 组数据的相关性更强，故D 错误.故选：D6的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为（）A ．322+B ．32C ．322+D ．322+【答案】D【解析】由题得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1．由于鸡蛋（球）的半径为12=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为1312222++=+．故选：D ．7．已知函数()()ππ2sin 222f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间ππ36⎛⎫- ⎪⎝⎭，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点【答案】C【解析】 函数()f x 的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，π2π2sin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππ,Z 3k k ϕ∴+=∈，即2ππ,Z 3k k ϕ=-+∈，又ππ22ϕ-<<，π3ϕ∴=，则()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，πsin 2,13x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()(2f x⎤∴∈⎦，故A 错误；将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故B 错误；令2223πππππ,22k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ，当0k =时，π51212πx -≤≤，∴函数()g x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；令π2π,3x k k -=∈Z ，得ππ62k x =+，k ∈Z ，∴函数()g x 在区间[]π,π-内的零点有5π6x =-，ππ2π,,363x x x =-==，共4个，故D 错误．故选：C.8．记双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）虚轴的两个端点分别为M ，N ，点A ，B 在双曲线C 上，点E在x 轴上，若M ，N 分别为线段EA ，EB 的中点，且60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）ABC．3D【答案】C【解析】由题意得，M ，N 关于x 轴对称，则,A B 也关于x 轴对称且4AB b =，不妨设点A 在双曲线C 的右支上且在第一象限，其纵坐标为2b ，又因为260AEB AEO ∠=∠=︒，所以30AEO ∠=︒，所以4AE BE b ==，则ABE 为等边三角形，故),2Ab ，代入22221x y a b-=中，得2253b a =，则双曲线C的离心率c e a ===C 正确.故选:C.9．已知函数()()()eln 010xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()()210f x af x a -+⎣⎦-⎤=⎡有8个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A．()1,1-B．)1,1C．()2,1D．()1,2+【答案】C【解析】令()eln xh x x =，则()()2e 1ln x h x x-'=，令()0h x '=，解得e x =，故当0e x <<时，()()0,h x h x '>单调递增，当e x >时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()()max e 1h x h ==，且当1x >时，()0h x >，当01x <<时，()0h x <，结合绝对值函数的图象可画出函数()f x的大致图象，如图所示：令()t f x =，则方程()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦，即方程()210t at a -+-=*，()22Δ4144a a a a =--=+-，①当Δ0<时，()*式无实数根，直线y t =和()f x 的图象无交点，原方程无实数根；②当Δ0=时，()*式有两个相等的实数根，直线y t =和()f x 的图象最多有4个交点，因此要使()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦有8个不相等的实数根，则()*式有两个不相等的实数根，不妨设为12,t t ，且12t t <，则1201t t <<<.则22Δ440012101110a a a a a a ⎧=+->⎪⎪<<⎪⎨⎪->⎪-⨯+->⎪⎩，解得21a <<.故选：C.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。

2018年天津市南开中学高三模拟考试数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：分别求出不等式和的解集，求得集合，再求出集合的交集即可.详解：，，则，故选B.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，注意正确求解对应的不等式，属于基础题目.2. 若实数满足不等式组，则的最小值为（）A. 2B. 3C.D. 14【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域，则在点处取到最小值，，所以最小值为2，故选A.3. 执行如图所示的程序框图，如果输出的，那么判断框中填入的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先从框图中观察各变量和各语句的作用，再根据流程图，可得到该程序所要解决的问题，逐步执行，求出满足条件的，并确定循环的条件，据此即可得到答案.详解：根据题中所给的框图，执行过程中会出现：，；，；，；观察选项，没有合适的条件，继续执行；根据上边的规律可以得到，再执行三次，得到，从而可以从选项中选出合适，故选C.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意对执行框中的内容认真分析，虚拟执行，判断条件，得到结果.4. 已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出结果.详解：因为，，，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围，借助于中介值来完成任务.5. 已知等比数列的前项和为，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设出等比数列的公比为，利用等比数列的性质，根据已知等式求出的值，进而求出的值，表示出与，即可求出结果.详解：设等比数列的公比为，所以，所以，解得，，，所以，故选D.点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.6. 中，“”是“为直角三角形”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：利用正弦定理以及二倍角公式，化简已知表达式，然后确定三角形的形状，即可推出两者的关系，得到选项.详解：由正弦定理可知，化为，所以，因为是三角形内角，所以或，即或，即或，所以中，“”是“为直角三角形”的必要不充分条件，故选B.点睛：该题考查的是有关充分条件和必要条件的判断，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，三角形形状的判断问题，在解题的过程中，需要对题的条件认真分析，理解透彻，从而求得最后的结果.7. 过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，的中点在第一象限，则以下结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：连结，则，在直角三角形中，，连结为线段的中点，为坐标原点，，故选A．考点：1、双曲线和圆的标准方程；2、双曲线的定义和简单几何性质．【思路点睛】本题主要通过双曲线和圆的标准方程考查双曲线的定义和几何性质，属于难题．本题的难点在于怎样巧妙将双曲线的定义运用于解题过程，在解题过程中一定要注意两点：一是圆的半径正是双曲线的实半轴，从而利用切线性质得出；二是利用中位线得出后再巧妙地利用双曲线的定义得到．8. 设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，当时，不等式成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由及的奇偶性求得，进而可把表示出来，分离出参数后，求函数的最值，问题即可解决.详解：由，即，得，又分别为偶函数、奇函数，所以，联立两个式子，可以解得，，即，即，即，因为存在实数，当时，不等式成立，，所以，所以的最小值为，故选A.点睛：该题考查的是有关恒成立问题对应的参数的取值范围问题，涉及到的知识点有奇偶函数的定义、函数解析式的求解、分离参数，恒成立问题向最值靠拢，利用函数的单调性得到最值，从而求得结果.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 随机抽取100名年龄在年龄段的市民进行问卷调査，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在年龄段抽取的人数为__________．【答案】2.【解析】分析：根据频率分布直方图，求出样本中不小于40岁的人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数.详解：根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是，所以不小于40岁的人的频数是；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，在年龄段抽取的人数为，故答案为2.10. 已知，则的展开式中常数项为__________．【答案】.【解析】n＝，二项式的展开式的通项为，令＝0，则r＝3，展开式中常数项为(－2)3＝－8×4＝－32.故答案为：-32.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.11. 一个几何体的三视图如图所示（单位：)，则该几何体的体积为__________.【答案】.【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，将几何体还原，分析得到其为一个圆柱和一个圆锥的组合体，所以其体积为圆柱和圆锥的体积之和，结合图中所给的数据，利用体积公式求得结果.详解：根据题中所给的几何体的三视图，将几何体还原，可以得到几何体是一个圆柱和圆锥的组合体，利用相关数据可知圆柱的体积为，圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故答案是.点睛：该题考查的是有关根据几何体的三视图求其体积的问题，在解题的过程中，还原几何体是解题的关键，之后利用图中的相关数据，结合体积公式求得结果，注意组合体的体积在求解的时候将其分割，计算即可.12. 已知抛物线的参数方程为(为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.若，点的横坐标为3，则__________．【答案】2.详解：抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，消去参数可得，化简可得，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是轴的抛物线，故焦点，准线的方程为，则由抛物线的定义可得，再由，可得为等边三角形，设点的坐标为，则点，把点的坐标代入抛物线的方程可得，即，再由，可得，即，解得或（舍去），故答案是2.点睛：该题考查的是有关抛物线方程的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有抛物线的定义，有关三角形的边的关系，对应的等量关系式的建立，最后求得结果.13. 平行四边形中，，是平行四边形内一点，且，若，则的最大值为__________．【答案】2.【解析】分析：根据，利用，利用向量的平方和向量模的平方是相等的，利用基本不等式得出的最大值.详解：因为，所以，又，即，所以，当且仅当，即时，取得最大值2，故答案是2.点睛：该题考查的是求式子的最值的问题，涉及到的知识点有向量的平方和向量模的平方是相等的，向量数量积的定义式，利用基本不等式求最值，在解题的过程中，注意式子的正确使用.14. 用五种不同的颜色给三棱柱六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有__________种.(用数字作答）【答案】1920.【解析】分析：分两步来进行，先涂，再涂，然后分若5种颜色都用上、若5种颜色只用4种、若5种颜色只用3种这三种情况，分别求得结果，再相加，即可得结果.详解：分两步来进行，先涂，再涂.第一类：若5种颜色都用上，先涂，方法有种，再涂中的两个点，方法有种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有种；第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；先涂，方法有种，再涂中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有种；第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有种；先涂，方法有种，再涂，方法有2种，故此时方法共有种；综上可得，不同涂色方案共有种，故答案是1920.点睛：该题考查的是有关排列组合的综合题，在解题的过程中，涉及到的知识点有分步计数乘法原理和分类计数加法原理，要认真分析题的条件，列式求得结果.解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数的图象经过点.（1）求的值，并求函数的单调递增区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；的单调递增区间为.(2).【解析】分析：（1）利用倍角公式和辅助角公式可以求得，然后再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间；（2）由，可得，可得的取值范围是，根据不等式恒成立，即，从而求得结果.详解：（1）因为经过点，所以，，因为的单调递增区间为所以所以所以的单调递增区间为.（2）由（1）知，因为，所以，当，即时，，因为恒成立即，所以所.点睛：该题考查的是有关三角函数的恒等变换以及恒成立问题，涉及到的知识点有倍角公式、辅助角公式、正弦函数的单调性、三角函数在闭区间上的最值等，在解题的过程中，注意正确使用公式，再者就是将恒成立问题转化为最值来处理即可.16. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】(1).(2)分布列见解析；.【解析】分析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的槪率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，则 ,(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的槪率为；(2)的所有可能取值为0, 2, 4，由于与互斥，与互斥，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望. 详解：（1）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的槪率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，则 ,这4个人中恰有2人去参加甲游戏的槪率.（2）的所有可能取值为0, 2, 4.由于与互斥，与互斥，所以，，所以的分布列是所以随机变量的数学期望.点睛：该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的分布列及其期望，在解题的过程中，需要认真审题，正确使用公式计算结果.17. 如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）设点是线段上的一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.【答案】(1)证明见解析.(2).(3)；证明见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形性质得，由平面得，再根据线面垂直判定定理得平面（2）利用空间向量求二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角（3）设点坐标，根据平面得，列方程解得点坐标，再确定位置试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，又∵是正方形，∴，∵，∴平面．（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，∵与平面所成角为，即，∴，由，可知：，．则，，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则．因为平面，所以为平面的法向量，∴，所以．因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．（Ⅲ）依题意得，设，则，∵平面，∴，即，解得：，∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18. 已知数列是首项的等差数列，设.（1）求证：是等比数列；（2）记，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值.【答案】(1)证明见解析.(2) .(3)11.【解析】分析：(1)运用等差数列的通项公式，可得公差，进而得到，再由对数的运算性质和等比数列的定义，即可得证；(2)利用裂项相消法求和即可；(3)根据题意，求得，设，判断其为单调递增，求得最小值，再由恒成立思想可得的范围，进而得到最大值.详解：（1）由及，得，所以.因为，所以，即.则，所以数列是首项，公比的等比数列.（2）由（1），得，所以（3）因为，则问题转化为对任意正整数使不等式恒成立.设，则.所以，故的最小值是/.由，得整数可取最大值为11.点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有用定义证明等比数列，对数的运算，裂项相消法求和，恒成立问题求有关参数的取值范围和最值问题，在解题的过程中，注意对公式的正确使用以及对问题的正确理解.19. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴轴分别交于两点.①设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；②求面积的最大值.【答案】(1).(2) ①证明见解析，；②.【解析】试题分析：（1）首先由题意得到，即.将代入可得，由，可得.得解.（2）（ⅰ）注意从确定的表达式入手，探求使成立的.设，则，得到，根据直线BD的方程为，令，得，即.得到.由，作出结论.（ⅱ）直线BD的方程，从确定的面积表达式入手，应用基本不等式得解. 试题解析：（1）由题意知，可得.椭圆C的方程可化简为.将代入可得，因此，可得.因此，所以椭圆C的方程为.（2）（ⅰ）设，则，因为直线AB的斜率，又，所以直线AD的斜率，设直线AD的方程为，由题意知，由，可得.所以，因此，由题意知，所以，所以直线BD的方程为，令，得，即.可得.所以，即.因此存在常数使得结论成立.（ⅱ）直线BD的方程，令，得，即，由（ⅰ）知，可得的面积，因为，当且仅当时等号成立，此时S取得最大值，所以的面积的最大值为.考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，基本不等式的应用.视频20. 已知，其中常数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求证：；（3）求证：.【答案】(1)有极小值，没有极大值.(2)证明见解析.(3)证明见解析.【解析】试题分析：先写出函数的定义域，（1）由，求出的导数，再求出的单调性，即可求得极值；（2）先证明：当恒成立时，有成立，若，则显然成立；若，运用参数分离，构造新函数通过求导数及单调性，结合函数零点存在定理，即可得证；（3）讨论当当时，恒成立，可设设，求出导数，单调区间及最大值，运用不等式的性质，即可得证.试题解析：函数的定义域为，（1）当时，，，而在上单调递增，又，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以有极小值，没有极大值.（2）先证明：当恒成立时，有成立.若，则显然成立；若，由得，令，则，令，由得在上单调递增，又∵，所以在上为负，在上为正，∴ 在上递减，在上递增∴，从而.因而函数若有两个零点，则，所以，由得，则，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递增∴，则∴由得，则∴，综上得.（3）由（2）知当时，恒成立，所以，即，设，则，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以的最大值为，即，因而，所以，即点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．。

南开中学2024届高三模拟检测数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 在复平面内，13i 1i+−对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限2. 已知22:230, :20p x x q x x +−<+−<，则p 是q 的（ ）条件 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件3. 下列图象中，不可能成为函数()3f x t x x=+的图象的是（ ） （A ） （B ）（C ） （D ）4. 已知0.63a =，2log 5b =，3log c =a ，b ，c 的大小关系是（ ） （A ）b a c >>（B ）a b c >> （C ）b c a >> （D ）a c b >>考试时间：120分钟5. 已知正方体1111ABCD A B C D −的外接球的体积为36π，点E 为棱AB 的中点，则三棱锥1C AED −的体积为（ ）（A ）23（B ）（C ）3（D ）6. 双曲线2213x y −=和抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为6，则AB =（ ） A ．16B ．12C ．10D ．87. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，不正确的是（ ）（A ）图（1）的平均数=中位数=众数 （B ）图（2）的众数<中位数<平均数 （C ）图（2）的平均数<众数<中位数 （D ）图（3）的平均数<中位数<众数8. 已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[]0,m 上的值域为⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）（A ）5π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）π5π,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）5π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）5π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦9. 数列{}n a 各项均为实数，对任意*n ∈N 满足3n n a a +=，定义：行列式ad bc a bc d=−且行列式123n n n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是（ ）（A ）11a =，1c = （B ）12a =，2c =（C ）11a =，0c =（D ）12a =，0c =第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题５分，共30分．）10. 若直线l ：2y x =与圆C ：22270x y x +−−=交于A ，B 两点，则AB = ．11. 在()622x a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为160−，则实数a 为 ．12. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．设第1, 2, 3次都摸到红球的概率为1P ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为2P ．求12P P += ． 13. 为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：在本次考察中，依据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，得出“药物有效”的结论，则t 的最小值为 ．（其中40t ≥且*t ∈N ） 2.58≈，3.29≈）附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，n a b c d =+++14. 已知正ABC △O ，过O 的动直线l 与边AB ，AC 分别相交于点M 、N ，AM AB λ=，AN AC μ=，BD DC =．（1）若2AN NC =，则AD BN ⋅= ．（2）AMN △与ABC △的面积之比的最小值为 ．15. 已知函数()ln ,0,1,0,x x x f x x x x>⎧⎪=⎨−<⎪⎩若函数()()()() 1g x f f x a f x =−+有唯一零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共５小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分14分）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a =，2b c =，1cos .4A =−（1）求c 的值； （2）求sin B 的值； （3）求sin(2)A B −的值．17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ,CD AD ⊥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =．（1）若点E 是边AB 的中点，点F 是边PC 的中点，求异面直线,BC EF 所成角的余弦值； （2）求平面PAC 和平面PAD 的夹角的余弦值； （3）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面PCD 若存在，求PM PC的值？若不存在，说明理由．（2）设过点(4, )P t 的直线1PA ，2PA 与椭圆分别交于点M ，N .①求证：直线MN 过x 轴上的定点； ②求OMN △的面积S 的最大值．19.（本小题满分15分）已知函数()32f x x ax bx c =+++．（1）如果1和1−是()f x 的两个极值点，且()f x 的极大值为3，求()f x 的极小值； （2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0c =时，且函数()f x 在区间[]22−,上最大值为2，最小值为2−．求()3f 的值．设集合1210, 2ii i t a t A a a a a =⎧⎫=<<<∈⎨⎬⎩⎭∑N ≤∣，其中*t ∈N ．把集合A 中所有的数从小到大排列成数列{}()n b t ，数列{}()n b t 的前n 项和为()n S t ．例如：当2t =时,0121231234(2)223, (2)225, (2)226,(2)229,,b b b b =+==+==+==+=41234(2)(2)(2)(2)(2)23S b b b b =+++=.（1）写出56(2), (2)b b ，并求10(2)S ；（2）判断88是否为数列{}(3)n b 中的项．若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；（3）若2024是数列{}()n b t 中的某一项()00n b t ，求00,t n 及()00n S t 的值．。