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§3 二阶偏微分方程
一、一、二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程
考虑二阶偏微分方程
(1) 式中a ij(x)=a ij(x1,x2,…,x n)为x1,x2,…,x n的已知函数.
[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]
代数方程
称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,a n是某些参数，且有.如果点x︒=(x1︒,x2︒,…,x n︒)满足特征方程，即
则过x︒的平面的法线方向l:(a1,a2,…,a n)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.
[n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1︒,x2︒,…,x n︒)，根据二次型
(a i为参量)
的特征根的符号，可将方程分为四类：
(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.
(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.
(iii) 特征根都不为零，有个具有同一种符号(n>m>1)，其余m个具有另一种符号，称方程在点P为超双曲型.
(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P为抛物型.
若在区域D内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D内是椭圆型、双曲型或抛物型.
在点P作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：
椭圆型：
双曲型：
超双曲型：
抛物型：
式中Φ为不包含二阶导数的项.
[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为
(2) a11,a12,a22为x,y的二次连续可微函数，不同时为零.
方程
a11d y2a12d x d y+a22d x2=0
称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线.
在某点P(x0,y0)的邻域D内，根据Δ=a122－a11a12的符号将方程分类：
当Δ>0时，方程为双曲型；
当Δ=0时，方程为抛物型；
当Δ<0时，方程为椭圆型.
在点P的邻域D内作变量替换，可将方程化为标准形式：
（i）（i）双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线，，作变换，和方程化为标准形式
或
（ii）（ii）抛物型:因Δ=0，只存在一族实的特征曲线，取二次连续可微函数，使，作变换，，方程化为标准形式
（iii）（iii）椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设
为的积分，不同时为零，作变量替换，,方程化为标准形式
二、极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理
椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用.
[椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]
1︒极值原理设D为n维欧氏空间E n的有界区域，S是D的边界，在D内考虑椭圆型方程
式中a ij(x),b i(x),c(x),f(x)在上连续，c(x)≤0且二次型正定，即存在常数μ>0，对任意和任意的a i有
定理1设u(x)为D内椭圆型方程的解，它在D内二次连续可微，在上连续，且不是常数，如f(x)≤0（或f(x)≥0），则u(x)不能在D的内点取非正最小值（或非负最大值）.
如果过边界S上的任一点P都可作一球，使它在P点与S相切且完全包含在区域D内，则有
定理2设u(x)为椭圆型方程在D内二次连续可微，在上连续可微的解，且不是常数，并设f(x)≤0（或f(x)≥0）.若u(x)在边界S上某点M处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数在点M存在，则
(或)
2︒定解问题
(i) 第一边值问题（狄利克莱问题）
(S)
(ii) 第二边值问题（诺伊曼问题）
(S)
其中N为S的外法线方向.
(iii) 第三边值问题（混合问题）
(S)
a(),b(),()在S上连续，N是S的外法线方向，a()≥0,b()≤0，且a2()+b2()≠0.
3︒解的惟一性问题设c(x)及b()不同时恒等于零，如果定解问题Lu=f,lu=的解存在，则是惟一的，设c(x)及b()都恒等于零，如果定解问题Lu=f,lu=的解存在，则除相差一个常数外，解是惟一的.
[抛物型方程的极值原理与解的惟一性定理]设为柱体，在柱体内部考虑抛物型方程
式中a ij(x,t),b i(x,t),c(x,t),f(x,t)在上连续，且正定.
1︒强极值原理设u(x,t)为抛物型方程Lu=f(x,t)在D×(0,T)内连续可微在上连续的解.并设f(x)=0，若u(x,t)在D×(0,T]的某点(x0,t0)取非负的最大值，即
则对任意满足下列条件的点P(x,t)，都有u(x,t)=m：点P(x,t)满足t如在的侧边界Γ:S×[0,T]上（S是D的边界）任一点P都可作一球，使它在P点与Γ相切且完全在D×(0,T)内，则有
定理设u(x,t)在上连续，在D×(0,T]内满足抛物型方程Lu=f，且不是常数，设f≤0，若u(x,t)在Γ上某点M处取非正最小值，只要外法向导数在点M存在，则
2︒柯西问题与混合问题
柯西问题的初值条件是
混合问题按下列的定解条件分别称为
(i) 第一边值问题：,;
(ii) 线性边值问题：,,
其中N为Γ的外法线方向为已知函数，a≥0，b≤0，a2+b2≠0
3︒解的惟一性定理如果抛物型方程Lu=f的混合问题的解存在,那末它是惟一的.如果柯西问题存在有界的解，那末在有界函数类中，解是惟一的.
[波动方程的能量积分与解的惟一性定理]
1︒波动方程的柯西问题与混合问题设波动方程为
柯西问题的初值条件是
如果在有界区域Q:D×(0,T]中考虑波动方程，记的侧边界为Γ，则混合问题的定解条件是
(i) (i) 第一边值问题
(ii) (ii) 第二边值问题
(iii) (iii) 第三边值问题
式中N为Γ的外法线方向，φ(x),ψ(x)为D上的已知函数，为定义在Γ上的已知函数，.
2︒解的惟一性定理波动方程的混合问题与柯西问题的解如果存在必定惟一.
惟一性定理可用下面能量积分证明.
