【优化方案】(山东专用)2016年高考数学二轮复习 小题分层练(二)理

小题分类练(二) 推理论证类(建议用时：50分钟)1．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x2．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2015·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称 4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d5．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·AB →＝|AB →|2，则( ) A ．△ABC 是锐角三角形 B ．△ABC 是直角三角形 C ．△ABC 是钝角三角形 D ．△ABC 的形状不能确定6．(2015·济南质量监测)若tan (α＋45°)<0，则下列结论正确的是( ) A ．sin α<0 B ．cos α<0 C ．sin 2α<0 D ．cos 2α<07．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定8．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．(2015·潍坊调研)观察等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°·cos 45°＝34，…，由此得出以下推广命题，不正确的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos 2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin 2(α－15°)＋cos 2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D ．sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3410．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有3个是增函数；②若log m 3＜log n 3＜0，则0＜n ＜m ＜1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A (1，0)对称；④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≤2，log 3（x －1），x ＞2，则方程f (x )＝12有2个实数根，其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________． 12．数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，A n 表示{a n }的前n 项之积，则A 2 016的值为________．13．(2015·东营模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g (x )的图象与y ＝e x的图象关于直线y ＝x 对称．而函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称．若f (m )＝－1，则m 的值是________．14．(2015·安丘模拟)观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．15．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.小题分类练(二) 推理论证类1．解析：选D.对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ，因为 f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以 y ＝e x －e －x为奇函数，故选D.2．解析：选D.特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0 ab ＞0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0 a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．3．解析：选B.因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4，所以A ，C 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，所以B 正确，D 错误． 4．解析：选B.法一：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，b d ＝－1，排除选项C ，D ；又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <b c， 所以选项A 错误，选项B 正确．故选B. 法二：因为c <d <0，所以－c >－d >0，所以1－d >1－c >0.又a >b >0，所以a－d >b－c，所以a d <b c.故选B.5．解析：选 B.依题意得，(CA →＋CB →)·(CB →－CA →)＝|AB →|2，即CB →2－CA →2＝|AB →|2，|CB →|2＝|CA →|2＋|AB →|2，CA ⊥AB ，因此△ABC 是直角三角形，故选B.6．解析：选D.因为tan (α＋45°)<0，所以k ·180°－135°<α<k ·180°－45°，所以k ·360°－270°<2α<k ·360°－90°，所以cos 2α<0，故选D.7．解析：选D.如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.8．解析：选A.根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20.若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20>r 2，d <r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20<r 2，d >r ，相离，故只有①正确．9．解析：选A.观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题应具备此关系，但A 中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.10．解析：选C.命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12，y ＝x 3为增函数，故①不正确；②中不等式等价于0＞log 3m ＞log 3n ，故0＜n ＜m ＜1，②正确；③中函数y ＝f (x －1)的图象是把y ＝f (x )的图象向右平移一个单位得到的，由于函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，故函数y ＝f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log 312＜2，当log 3(x －1)＝12时，x ＝1＋3＞2，故方程f (x )＝12有2个实数根，④正确．11．解析：由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.答案：A12．解析：由a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝a n －1a n ，所以a 2＝3－13＝23，a 3＝－12，a 4＝3，所以{a n }是以3为周期的周期数列，且a 1a 2a 3＝－1.又2 016＝3×672，所以A 2 016＝(－1)672＝1.答案：113．解析：由题意知g (x )＝ln x ，则f (x )＝ln(－x )，若f (m )＝－1，则ln(－m )＝－1，解得m ＝－1e.答案：－1e14．解析：由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2；由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22. 答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2215．解析：因为 AB →2＝4|a |2＝4，所以 |a |＝1，故①正确；因为 BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，所以 |BC →|＝|b |＝2，故②错误；因为 b ＝AC →－AB →，所以a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；因为 BC →＝b ，故④正确；因为 (AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0，所以 (4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案：①④⑤。

第二部分应试高分策略 第2讲 巧解客观题 第2课时 填空题解题技法专题强化精练提能 理[A 卷]1．(2015·河北省五校联考)已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2解析：选B.z 2－2z z －1＝（1＋i ）2－2（1＋i ）i ＝－2i＝2i ，故选B.2．给定两个命题p 、q .若¬p 是q 的必要而不充分条件，则p 是¬q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.(逆向思维法)若¬p 是q 的必要而不充分条件，则q ⇒¬p 但¬p q ，其逆否命题为p ⇒¬q 但¬q p ，所以p 是¬q 的充分而不必要条件．3．函数y ＝e sin x(－π≤x ≤π)的大致图象为( )解析：选D.x 取－π，0，π这三个值时，y 的取值总是1，故排除A 、C ；当0<x <π2时，y ＝e sin x是增函数，排除B.故选D.4．设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101的值为( )A ．2B ．200C ．－2D ．0 解析：选A.设等比数列的公比为q .由a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0得a n (1＋2q ＋q 2)＝0.因为a n ≠0，所以可得1＋2q ＋q 2＝0， 解得q ＝－1，所以S 101＝a 1＝2.5．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是( )A ．1 cm 3B ．2 cm 3C ．3 cm 3D ．6 cm 3解析：选A.由几何体的三视图可知，该几何体是有三个面为直角三角形的四面体，如图所示．三棱锥的底面三角形中直角边长分别为1，2，高为3，故V ＝13S 底·h ＝13×12×1×2×3＝1(cm 3)．6．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π，则tan θ2等于( ) A.m －38－m B.m －3|9－m | C.13D ．5 解析：选D.由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一确定的值，进而推知tan θ2也为一确定的值，又π2<θ<π，因而π4<θ2<π2，故tan θ2>1.7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中B ＝π3.设向量m ＝(cos A ，cos2A )，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，1，当m·n 取得最小值时，△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角三角形解析：选D.因为m·n ＝－125cos A ＋cos 2A ＝－125cos A ＋2cos 2A －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A －65cos A －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos A －352－ 4325，所以当cos A ＝35时，m·n 取得最小值． 此时12<cos A ＝35<32(0<A <π)，于是π6<A <π3.又B ＝π3，所以A ＋B >π2，即C <π2.所以△ABC 为锐角三角形．8．设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的长轴的两端点分别是M ，N ，P 是C 上异于M ，N 的任意一点，则PM 与PN 的斜率之积等于( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43 解析：选B.取特殊点，设P 为椭圆的短轴的一个端点(0，3)，又取M (－2，0)，N (2，0)，所以k PM ·k PN ＝32·3－2＝－34(亦可用常规解法，即设P (x ，y ))，故选B.9．(2015·南昌市调研测试卷)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．49解析：选A.因为a ，b >0，1a ＋1b＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1）（b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1＝4b ＋16a －20. 又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )＝4(b ＋4a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥20＋4×2b a ·4a b＝36， 当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号． 所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 10．方程x lg(x ＋2)＝1的实数根的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．不确定解析：选B.方程x lg(x ＋2)＝1⇔lg(x ＋2)＝1x，在同一坐标系中画出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x的图象，可得两函数图象有两个交点，故所求方程有两个不同的实数根．11．已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＝4，则a 2＋2b 2的最小值为________．解析：f ′(x )＝(x －a )(x －b )＋x [(x －a )(x －b )]′， f ′(0)＝ab ＝4，a 2＋2b 2≥22ab ＝8 2. 当且仅当a ＝2b 时等号成立． 答案：8 212．(2015·洛阳模拟)已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________．解析：如图，建立平面直角坐标系，则A (0，1)，B (0，0)，C (1，0)，所以AB →＝a ＝(0，－1)，BC →＝b ＝(1，0)，AC →＝c ＝(1，－1)，所以a ＋b ＋c ＝(2，－2)，|a ＋b ＋c |＝2 2. 答案：2 213．(2015·南昌市第一次模拟)如图所示的程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有________个．解析：由程序框图可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，|x |>1，x 3，|x |≤1，则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧|x |>1，ln|x |＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1，x 3＝x .而由⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1，x 3＝x 得x ＝0或±1. 令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx，当x >1时，f ′(x )<0，所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数，又f (1)＝ln 1－1＝－1<0，故当x >1时，方程ln x ＝x 即ln|x |＝x 无解；当x <－1时，ln|x |>ln 1＝0，则ln|x |>x ，即ln|x |＝x 无解，所以⎩⎪⎨⎪⎧|x |>1，ln|x |＝x无解．综上所述，符合条件的x 的值有3个． 答案：314.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．解析：令x ＝1，可得各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1(2－1)5＝1＋a ＝2，故a ＝1，原式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 525－r ·x 5－2r ，令5－2r ＝－1，即r ＝3，则x －1的系数为－40，令5－2r ＝1，则r ＝2，则x 的系数为80，所以原展开式中常数项为－40＋80＝40.答案：4015．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．解析：不妨设A (2cos θ，3sin θ)，θ∈(0，π)，△FAB 的周长为2(|AF |＋3sinθ)＝2(2＋cos θ＋3sin θ)＝4＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6.当θ＝π3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，△FAB 的周长最大．所以△FAB 的面积为S ＝12×2×3＝3.答案：3[B 卷]1．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D.因为(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．2．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a<1bB．a2>b2C.ac2＋1>bc2＋1D．a|c|>b|c|解析：选C.取a＝1，b＝－1，排除A；取a＝0，b＝－1，排除B；取c＝0，排除D，故选C.3．(2015·福州地区八校联考)在等差数列{a n}中，a1＝0，公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( )A．37 B．36C．20 D．19解析：选A.a m＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋9×82d＝36d＝a37，故选A.4．已知函数f(x)＝|x|＋1x，则函数y＝f(x)的大致图象为( )解析：选B.由f(x)不是奇函数，排除A、C选项．当x>0时，f(x)>0恒成立，排除D 选项，故选B.5．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15解析：选D.由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V2＝13－16＝56.所以V1V2＝1656＝15，故选D.6．执行如图所示的程序框图，x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分．当x 1＝6，x 2＝9，p ＝9.5时，x 3等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7解析：选A.根据x 1＝6，x 2＝9，不满足|x 1－x 2|≤2，故进入循环体，输入x 3，判断x 3与x 1，x 2哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此9.5＝9＋x 32，解得x 3＝10.7．(2015·井冈山模拟)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45C.74D.34解析：选D.法一：由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 又sin 2θ＝378，故cos 2θ＝－18.故sin θ＝1－cos 2θ2＝34. 法二：因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以sin θ≥22， 从而可排除 A 、C ；若sin θ＝45，则cos θ＝35，所以sin 2θ＝2425，从而可排除B.故选D.8．(2015·山西省考前质量检测)设P 为双曲线C ：x 2－y 2＝1上一点，F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos∠F 1PF 2＝13，则△PF 1F 2的外接圆半径为( )A.94 B ．9 C.32D ．3 解析：选C.由题意知双曲线中a ＝1，b ＝1，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2 2.因为cos∠F 1PF 2＝13，所以sin∠F1PF 2＝223. 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|sin∠F 1PF 2＝2R (R 为△PF 1F 2的外接圆半径)，即22223＝2R ，解得R ＝32，即△PF 1F 2的外接圆半径为32，故选C.9．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1) B ．[－5，1) C ．[－2，1) D ．(－2，1) 解析：选C.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以f (x )的大致图象如图所示，f (1)＝－2，f (－2)＝－2，若函数f (x )在(a ，6－a 2)上有最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <1，6－a 2>1，解得－2≤a <1. 10．如果关于x 的三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 C ．(－1，0)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞) 解析：选D.若x 2＋4ax －4a ＋3＝0无实根．则Δ＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，即4a 2＋4a －3<0，解得－32<a <12.若x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0无实根，则Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即3a 2＋2a －1>0，解得a <－1或a >13.若x 2＋2ax －2a ＝0无实根，则Δ＝4a 2＋8a <0， 即4a (a ＋2)<0，解得－2<a <0.则三个方程均无实根时a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1. 所以三个方程中至少有一个方程有实根时a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)． 11．若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则⎠⎛03f(x)d x ＝________．解析：因为f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，令x ＝2得f ′(2)＝4＋2f ′(2)，即f ′(2)＝－4，所以f (x )＝x 2－8x ＋3，所以∫30f(x)d x ＝∫30(x 2－8x ＋3)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫13x 3－4x 2＋3x 30＝13×33－4×32＋3×3－0＝－18.答案：－1812．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是________．解析：由题意，圆心到直线的距离d ＝|k ·2－3＋3|1＋k 2＝|2k |1＋k2，若|MN |≥23，则4－d 2≥(3)2，解得－33≤k ≤33. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 13．(2015·高考福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.因为f (x )的值域为[4，＋∞)， 所以当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，所以log a 2≥1， 所以1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意． 故a ∈(1，2]． 答案：(1，2]14．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________．解析：法一：AP →·AC → ＝AP →·(AB →＋BC →) ＝AP →·AB →＋AP →·BC → ＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →) ＝AP →·BD →＋2AP →·AB →，因为AP ⊥BD ，所以AP →·BD →＝0.又因为AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos ∠BAP ＝|AP →|2，所以AP →·AC →＝2|AP →|2＝2×9＝18.法二：把平行四边形ABCD 看成正方形，则P 点为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18. 答案：1815．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f (x )的命题：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0，1]上是增函数；④f (x )在[1，2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确命题的序号是________．解析：由f (x ＋1)＝－f (x )，可得f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝－f (x ＋1)＝－(－f (x ))＝f (x )，所以函数f (x )是周期函数，它的一个周期为2， 所以命题①正确；由f (x ＋1)＝－f (x )，令x ＝－12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 而函数f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 解得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0. 根据函数f (x )在[－1，0]上为增函数及 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，作出函数f (x )在[－1，0]上的图象，然后根据f (x )为偶函数作出其在[0，1]上的图象，再根据函数的周期性把函数图象向两方无限延展，即得满足条件的一个函数图象，如图所示．由函数的图象显然可判断出命题②⑤正确，而函数f (x )在[0，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，所以命题③④是错误的，综上，命题①②⑤是正确的．答案：①②⑤。

小题分层练(三) 本科闯关练(3)(建议用时：50分钟)1．若i 为虚数单位，复数z ＝1＋2i ，则z 2|z |2＝( )A ．－35＋45i B.35－45iC ．1＋45iD ．1－45i2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，ln x ，x ＞1，则f (f (e))＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．e3．(2015·济南模拟)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝04．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋ax 0－4＜0，命题q ：∀x ∈R ，2x ＜3x，则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∧q5．函数f (x )＝|x |＋1x的大致图象为( )6．已知数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝4，则数据－3x 1＋2 015，－3x 2＋2 015，…，－3x n ＋2 015的标准差为( )A ．36B ．6C ．2 041 D. 2 0417．(2015·东营模拟)若四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 为正方形，且PD 垂直于底面ABCD ，N 为PB 的中点，则三棱锥P ­ANC 与四棱锥P ­ABCD 的体积之比为( )A.13B.12C.23D.14 8．已知集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈N *}，执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值为( )A ．27B ．102C ．115D ．139．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，b ＝2，cos 2(A ＋B )＝0，则c ＝( )A. 2B.10C.2或10D.1310．(2015·青岛模拟)若函数y ＝e x＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，1)11．已知平面向量a ，b 满足：a ＝(1，－2)，|b |＝25，a ·b ＝－10，则向量b 的坐标是________．12．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．13．(2015·威海模拟)已知bx n ＋1＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n对任意的x ∈R 恒成立，且a 1＝18，a 2＝72，则b 的值为________．14．若点P (x ，y )是不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤3，y ≤3，x ≤3y表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x －y ＋a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．若关于x 的不等式e x －e －x ≤m e x＋2m －3在(0，＋∞)上恒成立，则实数m 的取值范围为________．小题分层练(三) 本科闯关练(3)1．解析：选A.因为z ＝1＋2i ，所以z 2＝(1＋2i)2＝－3＋4i ，|z |＝5，所以z 2|z |2＝－3＋4i 5＝－35＋45i ，故选A.2．解析：选C.f (f (e))＝f (ln e)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，故选C. 3．解析：选A.因为所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，所以设所求的直线方程为2x＋y ＋m ＝0.因为所求直线与圆x 2＋y 2＝5相切，所以|m |1＋4＝5，所以m ＝±5.即所求的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.4．解析：选B.由方程x 2＋ax －4＝0得，Δ＝a 2－4×(－4)＝a 2＋16＞0，所以命题p为真命题．当x ＝0时，20＝30＝1，所以命题q 为假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∧q 为假命题，故选B.5．解析：选B.f (－x )＝|－x |＋1－x ＝|x |－1x，显然函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数，即函数f (x )的图象不关于原点对称，故排除A ，C ，又f (－1)＝|－1|＋1－1＝1－1＝0，故排除D ，故选B.6．解析：选 B.由条件可设原数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，则1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]＝4，新数据的平均数为－3x －＋2 015，从而新数据的方差s ′2＝1n{[(－3x 1＋2 015)－(－3x －＋2 015)]2＋[(－3x 2＋2 015)－(－3x －＋2 015)]2＋…＋[(－3x n＋2 015)－(－3x －＋2 015)]2}＝1n[9(x 1－x －)2＋9(x 2－x －)2＋…＋9(x n －x －)2]＝36，故所求标准差为6.7．解析：选 D.设正方形ABCD 的面积为S ，PD ＝h ，则所求体积之比为V 三棱锥P ­ANCV 四棱锥P ­ABCD＝V 四棱锥P ­ABCD －V 三棱锥N ­ABC －V 三棱锥P ­ADC V 四棱锥P ­ABCD ＝13Sh －13·12S ·12h －13·12Sh13Sh ＝14.8．解析：选B.输入x ＝2，2∈A ，执行x ＝2×2＋1＝5∉A ，执行x ＝(5－3)2＋2＝6＜7；执行x ＝2×6＋1＝13∉A ，执行x ＝(13－3)2＋2＝102＞7，故输出的x 的值为102.9．解析：选C.因为cos(2A ＋2B )＝0，A ＋B ＋C ＝π，所以2A ＋2B ＝π2或3π2，即A ＋B＝π4或3π4.当A ＋B ＝3π4时，C ＝π4，此时由c 2＝2＋4－2×2×2×cos π4，得c ＝2；当A ＋B ＝π4时，C ＝3π4，此时由c 2＝2＋4－2×2×2×cos 3π4，得c ＝10，所以c ＝2或10.10．解析：选B.y ′＝(e x ＋mx )′＝e x ＋m ，函数y ＝e x＋mx 没有极值的充要条件是函数在R 上为单调函数，即y ′＝e x ＋m ≥0(或≤0)恒成立，而e x ≥0，故当m ≥0时，函数y ＝e x＋mx 在R 上为单调递增函数，不存在极值，所以函数存在极值的条件是m <0.11．解析：设向量a ，b 的夹角为θ，依题意得a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝10cos θ＝－10，cos θ＝－1，θ＝π，又|b |＝2|a |，因此b ＝－2a ＝(－2，4)．答案：(－2，4)12．解析：因为3S 1，2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －113．解析：因为bx n ＋1＝b [1＋(x －1)]n ＋1＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n，且a 1＝18，a 2＝72，所以b C 1n ＝18，b C 2n ＝72，解得b ＝2，n ＝9.答案：2 14．解析：将不等式2x －y ＋a ≥0化为a ≥y －2x ，只需求出y －2x 的最大值即可．令z ＝y －2x ，作出不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤3，y ≤3，x ≤3y表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线y ＝2x ，可知在(0，3)处z ＝y －2x 取到最大值3，则实数a 的取值范围是a ≥3.答案：[3，＋∞)15．解析：将不等式e x －e －x ≤m e x ＋2m －3变形为m ≥1＋e x－1e 2x ＋2e x ，令t ＝e x－1(t ＞0)得m ≥1＋tt 2＋4t ＋3＝1＋1t ＋3t＋4，利用基本不等式可得t ＋3t ≥2t ·3t＝23(当且仅当t ＝3t，即t ＝3时等号成立)，从而1＋1t ＋3t＋4≤1＋123＋4＝4－32(当且仅当t ＝3时等号成立)，结合题意得m ≥4－32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫4－32，＋∞。

小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(建议用时：50分钟)1．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－12．(2015·济南二模)集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x4．(2015·河北省五校联盟质量监测)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0， f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 5．(2015·临沂调研)若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a <3B ．a >1C ．a <3D ．a <16．若直线x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．57．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )8．(2015·泰安统考)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( )A.32B.43 C ．2 D ．49．若函数y ＝f(x)(x∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |，则函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．510．设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________．12．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________．13．已知命题p ：不等式xx －1<0的解集为{x |0<x <1}；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是________．(请把正确结论的序号都填上)14．(2015·济宁模拟)如图为函数f (x )的图象，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式xf ′(x )<0的解集为________．15．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．小题限时专练 小题专题练小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数1．解析：选A.改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.2．解析：选D.由题意，得A ＝{x |x <2}．又因为A ∩B ＝A ，所以a ≥2，故选D.3．解析：选D.A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋（－x ）2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B 选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x＝1ex －x ，所以是非奇非偶函数．4．解析：选A.因为f (1)＝1g 1＝0，f (0)＝∫a 03t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得：a 3＝1，a ＝1，故选A.5．解析：选A.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，所以|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3.6．解析：选C.将(1，1)代入直线x a ＋y b ＝1，得1a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，故a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时取到等号，故选C.7．解析：选D.函数f (x )＝(x －1x)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝(π－1π)cos π＝1π－π＜0，排除选项C ，故选D.8. 解析：选B.画出不等式组所表示的区域，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43.9．解析：选C.由题设可知函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2的函数，结合x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |，可画出函数y ＝f (x )在整个定义域R 上的图象，同时在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3|x |的图象，观察可知两函数的图象一共有4个交点．10．解析：选D.因为 f (0)＝－1＋a ＜0， 所以 x 0＝0.又因为 x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×（－1）－1]＋a ＋a ≥0，e （2×1－1）－a ＋a ≥0，解得a ≥32e.又因为 a ＜1，所以 32e ≤a ＜1，经检验a ＝34，符合题意．故选D.11．解析：因为 －2<1，所以 f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.因为 log 212>1，所以 f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. 所以 f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案：912．解析：因为 f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，所以 4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 答案：－213．解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，所以命题q 是假命题，所以①正确，②错误，③正确，④错误．答案：①③14．解析：由题意可知，f ′(x )>0的区间为(－3，－1)，(1，＋∞)，f ′(x )<0的区间为(－∞，－3)，(－1，1)，不等式xf ′(x )<0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f ′（x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f ′（x ）<0，故不等式xf ′(x )<0的解集为(－3，－1)∪(0，1)．答案：(－3，－1)∪(0，1)15．解析：因为f (x )＝2|x －a |，所以f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是[1，＋∞)，由函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，知[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m ≥1，故m 的最小值为1.答案：1。

小题分层练(六) “985”跨栏练(2)(建议用时：50分钟)1．已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，若存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素之和为28，则实数a 的取值范围是( )A ．[9，10)B ．[7，8)C ．(9，10)D ．[7，8]2．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，23 3．设函数F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2是函数F (x )的一个单调递增区间．将函数F (x )的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π 4．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．55．已知实数a ，b 满足等式2 014a ＝2 015b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．(2015·潍坊第一次模拟) 如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的大致图象是( )7．(2015·烟台模拟(二))已知双曲线x 2a2 －y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论成立的是( )A ．|OA |>|OB | B ．|OA |<|OB |C ．|OA |＝|OB |D ．|OA |与|OB |大小关系不确定8．若至少存在一个x (x ≥0)，使得关于x 的不等式x 2≤4－|2x －m |成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－4，5]B ．[－5，5]C ．[4，5]D ．[－5，4]9．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1(x 2＞x 1)，已知函数f (x )＝（a 2＋a ）x －1a 2x(a ∈R ，a ≠0)的定义域与值域都是[m ，n ](n ＞m )，则区间[m ，n ]取最大长度时实数a 的值为( )A.233 B ．－3C ．1D ．310．已知向量OA →，OB →为单位向量，且OA →·OB →＝14，点C 是向量OA →，OB →的夹角内一点，|OC→|＝4，OB →·OC →＝72.若数列{a n }满足OC →＝3a n ＋1（a n ＋1）2a nOB →＋a 1OA →，则a 4＝( )A.1516B.1615C ．16 D.8711．(2015·济宁第一次统考)若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y的最小值为________．12．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角为________．13．设a ＞1，b ＞1，若ab ＝e 2，则s ＝b ln a－2e 的最大值为________．14．设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数ω＞0，使|f (x )|≤ω|x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f (x )＝4x ；②f (x )＝x 2＋2；③f (x )＝2x x 2－2x ＋5；④f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤4|x 1－x 2|.其中是“条件约束函数”的序号是________(写出符合条件的全部序号)．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于x 的方程f (f (x ))＝k 恰有5个不同的根，则实数k 的取值范围是________．小题分层练(六) “985”跨栏练(2)1．解析：选B.注意到不等式x 2＋a ≤(a ＋1)x ，即(x －a )·(x －1)≤0，因此该不等式的解集中必有1与a .要使集合A 中所有整数元素之和为28，必有a ＞1.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为7×（7＋1）2＝28，因此由集合A 中所有整数元素之和为28得7≤a <8，即实数a 的取值范围是[7，8)．2．解析：选A.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜ω≤1，ω＝k3，其中k ∈Z ，则ω＝13、ω＝23或ω＝1.3．解析：选D.因为F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，所以F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )，所以F (x )为偶函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π为函数F (x )的一个单调递减区间．将F (x )的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π. 4．解析：选C.由已知x ＋y ＋1x ＋1y ＝5得x ＋y ＋x ＋y xy ＝5，因为xy ≤（x ＋y ）24，所以1xy≥4（x ＋y ）2，x ＋y xy ≥4x ＋y ，所以x ＋y ＋4x ＋y ≤5.设x ＋y ＝t ，即t ＋4t ≤5，得到t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4，所以x ＋y 的最大值是4.5．解析：选B.设2 014a ＝2 015b＝t ，如图所示，由函数图象，可得(1)若t >1，则有a >b >0； (2)若t ＝1，则有a ＝b ＝0； (3)若0<t <1，则有a <b <0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立． 6．解析：选C.如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N .又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ， 所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B ，2x 1－x M ＋x N ＝2x B ， 得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T 2，x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x M －x N |＝T 2＝πω(常数)，选C.7．解析：选C.由于点Q 为△PF 1F 2内切圆的圆心，故延长F 2B 交PF 1于点N ，易知垂足B为F 2N 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|F 1N |＝12(|F 1P |－|F 2P |)＝a ；又设内切圆与PF 1，PF 2分别切于G ，H ，则由内切圆性质可得|PG |＝|PH |，|F 1G |＝|F 1A |，|F 2A |＝|F 2H |，故|F 1P |－|F 2P |＝|F 1A |－|F 2A |＝2a ，设|OA |＝x ，则有x ＋c －(c －x )＝2a ，解得|OA |＝a ，故有|OA |＝|OB |＝a ，故选C.8．解析：选A.由x 2≤4－|2x －m |可得4－x 2≥|2x －m |，在同一坐标系中画出函数y ＝4－x 2，y ＝|2x －m |的图象如图所示．当y ＝|2x －m |位于图中实折线部分时，由CD ：y ＝－2x ＋m 与y＝4－x 2相切可得m ＝5，显然要使得至少存在一个x (x ≥0)，使得原不等式成立，需满足m ≤5；当y ＝|2x －m |位于图中虚折线部分时，由AB ：y ＝2x －m 过点(0，4)可得－m ＝4，显然要使得至少存在一个x (x ≥0)，使得原不等式成立，需满足－m ≤4，即m ≥－4.综上可知，实数m 的取值范围为[－4，5]．9．解析：选D.由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，则[m ，n ]是函数f (x )的定义域的子集，所以[m ，n ]⊆(－∞，0)或[m ，n ]⊆(0，＋∞)，故函数f (x )＝（a 2＋a ）x －1a 2x＝a ＋1a －1a 2x 在区间[m ，n ]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m ，f （n ）＝n ，故m ，n 是方程a ＋1a －1a 2x ＝x 的同号的相异实数根，即m ，n 是方程a 2x 2－(a 2＋a )x ＋1＝0的同号的相异实数根，则m ＋n ＝a ＋1a，mn ＝1a 2＞0，故只需Δ＝[－(a 2＋a )]2－4a 2＝a 2(a ＋3)(a －1)＞0，解得a ＞1或a ＜－3，而n －m ＝（m ＋n ）2－4mn ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －132＋43，故n －m 的最大值为233，即区间[m ，n ]取最大长度233时，a ＝3.10．解析：选B.因为OC →＝3a n ＋1（a n ＋1）2a n OB →＋a 1OA →，所以OB →·OC →＝3a n ＋1（a n ＋1）2a nOB →·OB→＋a 1OA →·OB →，即72＝3a n ＋1（a n ＋1）2a n ＋14a 1，①设OA →，OB →的夹角为θ，OB →，OC →的夹角为α，OA →，OC →的夹角为β，则OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝14，所以cos θ＝14，又θ∈[0，π]，所以sin θ＝154，同理可得cos α＝78，sin α＝158，所以cos β＝cos (θ－α)＝1116，所以OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos β＝114，又OA →·OC →＝3a n ＋1（a n ＋1）2a n OA →·OB →＋a 1OA →·OA →，所以114＝3a n ＋1（a n ＋1）2a n ×14＋a 1，②联立①②，解得a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋1，所以a 2＝2a 1a 1＋1＝43，a 3＝2a 2a 2＋1＝87，a 4＝2a 3a 3＋1＝1615. 11．解析：依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y ≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，2. 答案：5312．解析：由抛物线的方程知F (1，0)，准线l ：x ＝－1，由抛物线的定义知|PA |＝4，点P 的横坐标为3，代入抛物线的方程得P (3，23)．设准线l 交x 轴于点B ，则|AB |＝23，|BF |＝2，在Rt △ABF 中，易得tan ∠AFB ＝|AB ||BF |＝3，所以∠AFB ＝π3，从而直线AF 的倾斜角为2π3.答案：2π313．解析：因为a ＞1，b ＞1，所以ln a ＞0，ln b ＞0，由ab ＝e 2得ln a ＋ln b ＝2为定值，令t ＝b ln a ，所以t ＞0，ln t ＝ln b ln a＝ln a ·ln b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a ＋ln b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝e 时等号成立，所以ln t ≤1，所以t ≤e ，所以s ＝b ln a－2e ≤－e.答案：－e14．解析：对于①，f (x )＝4x ，易知ω＝4符合题意，故①是“条件约束函数”；对于②，当x ≠0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x ）x＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2x ，显然当x 趋于无穷大时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x ）x 趋于无穷大，这时ω不存在，因此②不是“条件约束函数”；对于③，|f (x )|＝2|x |（x －1）2＋4≤12|x |，所以存在常数ω＝12，使|f (x )|≤ω|x |对一切实数x 均成立，故③是“条件约束函数”；对于④，令x 1＝x ，x 2＝－x ，则|f (x 1)－f (x 2)|＝|f (x )－f (－x )|＝|2f (x )|≤4|2x |，即|f (x )|≤4|x |，故存在ω＝4，使|f (x )|≤ω|x |对一切实数x 均成立，因此④是“条件约束函数”．综上可知①③④是“条件约束函数”．答案：①③④ 15．解析：在平面直角坐标系中作出函数f (x )的图象，如图所示，当k ＜0时，f (t )＝k 有2个根t 1＜0，0＜t 2＜1，而t 1＝f (x )，t 2＝f (x )都有2个根，一共有4个根；当k ＝0时，f (t )＝k 有2个根t 1＜0，t 2＝1，而t 1＝f (x )，t 2＝f (x )分别有2个根和3个根，一共有5个根；当0＜k ＜1时，f (t )＝k 有2个根t 1＜0，1＜t 2＜2，而t 1＝f (x )，t 2＝f (x )分别有2个根和3个根，一共有5个根；当1＜k ＜2时，f (t )＝k 有3个根t 1＜0，t 2＜0，t 3＞2，而t 1＝f (x )，t 2＝f (x )，t 3＝f (x )分别有2个根，2个根和1个根，一共有5个根；当k ＝1时，f (t )＝k 有3个根t 1＜0，t 2＝0，t 3＝2，而t 1＝f (x )，t 2＝f (x )，t 3＝f (x )分别有2个根，2个根和2个根，一共有6个根；当k ＝2时，f (t )＝k 有2个根t 1＝－1，t 2＝4，而t 1＝f (x )，t 2＝f (x )分别有2个根和1个根，一共有3个根；当k ＞2时，f (t )＝k 有1个根t ＞4，而t ＝f (x )有1个根，一共有1个根．综上，0≤k ＜2且k ≠1.答案：[0，1)∪(1，2)。

【优化方案】（山东专用）2016年高考数学二轮复习 高考热点追踪（二）专题强化精练提能 理1．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52解析：选D.a ＋2b ＝(－1＋2m ，4)，2a －b ＝(－2－m ，3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. 2．已知sin αcos α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.12 B.13 C.16 D.23解析：选C.因为sin αcos α＝13，所以sin 2α＝2sin αcos α＝23，所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，sin C ＝3sin B ，且S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．1B ．2 3C ．3 2D ．3解析：选A.因为cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝12bc sin A ＝2，所以bc ＝3.又sin C ＝3sin B ，所以c ＝3b ，所以b ＝1，c ＝3.故选A.4．(2015·东营市摸底考试)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( )A ．－94 B.94C.274 D ．－274解析：选B.依题意得|CD →|＝32，CD →·AB →＝0，CD →·CB →＝CD →·(CA →＋AB →)＝CD →·CA →＋CD →·AB →＝CD →·CA →＝|CA →|·|CD →|·cos 60°＝3×32×12＝94，故选B.5．(2015·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：选D.由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2π|ω|＝2，所以|ω|＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4. 由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D. 6．(2015·河北省唐山市统考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．6 D ．5解析：选B.因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π22＝0.因为f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π22＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＋π3＝0，所以π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω＞0，所以ω＝2.7．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，若a ，b 在向量c 上的投影相等，且(c －a )·(c－b )＝－52，则向量c 的坐标为________．解析：设c ＝(x ，y )，由已知有a ·c |c |＝b ·c|c |，即(a －b )·c ＝0，即3x －y ＝0，①由已知(c －a )·(c －b )＝－52，即x 2＋y 2－x －3y ＋52＝0，②①②联立得x ＝12，y ＝32，即c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 8．将函数y ＝sin(x ＋π6)(x ∈R )的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为________．解析：原函数图象向左平移π4个单位后得y ＝sin(x ＋π6＋π4)＝sin(x ＋5π12)(x ∈R )的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋5π12(x ∈R )的图象．答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋5π12(x ∈R )9．已知α 为第二象限角，函数f (x )＝2cos 2x 2－3sin x ．若f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝________．解析：因为f (x )＝2cos 2x 2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13，又α为第二象限角，所以sin α＝223.所以cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝12－ 2.答案：12－ 210．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3a 2x，2a ，n ＝(1，－ln x )，函数f (x )＝m ·n 在区间(1，2)内是增函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝x ＋3a 2x －2a ln x ，所以f ′(x )＝1－3a 2x 2－2a x，由已知得1－3a 2x 2－2ax≥0在x ∈(1，2)内恒成立，即x 2－2ax －3a 2≥0在x ∈(1，2)内恒成立．设g (x )＝x 2－2ax －3a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）≥0，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧g （2）≥0，a ≥2或Δ＝(－2a )2＋12a 2≤0，解得－1≤a ≤13或∅或a ＝0，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 11．(2015·济南模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos 2β＝－79，sin(α＋β)＝79. (1)求cos β的值； (2)求sin α的值．解：(1)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos β<0. 又cos 2β＝2cos 2β－1＝－79，所以cos β＝－13.(2)根据(1)，得sin β＝1－cos 2β＝223. 而α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，且sin(α＋β)＝79，所以cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－429. 故sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－429×223＝13. 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4b sin A ＝7a . (1)求sin B 的值；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且公差大于0，求cos A －cos C 的值． 解：(1)由4b sin A ＝7a ，得4sin B sin A ＝7sin A ，所以sin B ＝74.(2)由已知和正弦定理以及(1)得sin A ＋sin C ＝72.①设cos A －cos C ＝x ，②①2＋②2，得2－2cos(A ＋C )＝74＋x 2.③又a <b <c ，A <B <C ，所以0°<B <90°，cos A >cos C ，故cos(A ＋C )＝－cos B ＝－34，代入③式得x 2＝74.因此cos A －cos C ＝72. 13．(2015·高考四川卷)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根．(1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值．解：(1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0，所以p ≤－2或p ≥23.由根与系数的关系，有tan A ＋tan B ＝－3p ， tan A tan B ＝1－p ，于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3pp＝－ 3.所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3，所以C ＝60°.(2)由正弦定理，得sin B ＝AC sin C AB ＝6sin 60°3＝22，解得B ＝45°或B ＝135°(舍去)． 于是A ＝180°－B －C ＝75°.则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.所以p ＝－13(tan A ＋tan B )＝－13(2＋3＋1)＝－1－ 3. 14．已知m ＝(cos ωx ＋sin ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx ，2sin ωx )，其中ω>0，若函数f (x )＝m ·n ，且f (x )的对称中心到f (x )对称轴的最近距离不小于π4.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，当ω取最大值时，f (A )＝1，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝m ·n ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 因为ω>0，所以T ＝2π2ω＝πω，由题意知T 4≥π4，即1ω≥1，所以0<ω≤1.故ω的取值范围是(0，1]． (2)由(1)知ω的最大值为1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为f (A )＝1且0<A <π.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12， 所以A ＝π3，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以b 2＋c 2－bc ＝a 2.又b ＋c ＝2，a ＝1，所以bc ＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34.。

2016年高考山东卷理科第20(2)题的最自然证法高考题1 (2016年高考山东卷理科第20题)已知()221()ln ,x f x a x x a x-=-+∈R . (1)讨论()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[]1,2x ∈成立. 解 (1)略.(2)(参考答案)当1a =时，可得22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1(12)x x x x x x=-++--≤≤ 令23312()ln (12),()1(12)g x x x x h x x x x x=-≤≤=+--≤≤，得()()f x f x gxhxx'-=+≤≤.由1()0(12)x g x x x-'=><≤，可得()(1)1(12)g x g x =≤≤…(当且仅当1x =时取得等号).还可得24326'()x x h x x --+=.设2()326x x x ϕ=--+，可得()x ϕ在x ∈[1,2]单调递减.由(1)1,(2)10ϕϕ==-知，存在0(1,2)x ∈使得当0(1,)x x ∈时，()0x ϕ>；当0(,2)x x ∈时，()0x ϕ<.所以函数()h x 在0(1,)x 上单调递增；在0(,2)x 上单调递减.因为1(1)1,(2)2h h ==，所以当x ∈[1,2]时，1()(2)2h x h =…(当且仅当2x =时取等号). 得13()'()122f x f x ->+=，即3()'()2f x f x >+对于任意的[1,2]x ∈恒成立.(2)的另证设()ln (12)g x x x x =-≤≤，可得1()0(12)x g x x x-'=><≤，所以()(1)1(1g x g x =≤≤…(当且仅当1x =时取得等号).由此可得，当1,12a x =≤≤时：2233211223()()ln (1)22x f x f x x x x x x x -'--=-+---+-223211223()2x x x x x -≥---+-(当且仅当1x =时取等号)23(2)(32)0(12)2x x x x --=≥≤≤(当且仅当2x =时取等号)所以3()()02f x f x '--> 3()()2f x f x '>+得欲证结论成立.以上对第(2)问的两种证法都是“分而食之”，减少了运算量.实际上，解答2014年高考课标全国卷I 理科第21(2)题时也要运用这种“分而食之”的技巧——指对分离.高考题2(2014年高考课标全国卷I 理科第21题)设函数1e ()e ln x xb f x a x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为e(1)2y x =-+．(1)求,a b ；(2)证明：()1f x >． 分析(1)112()e ln e e e x x x x a b b f x a x x x x--'=+-+． 题设即(1)2,(1)e f f '==，可求得1,2a b ==． (2)由(1)的答案可知，即证12e ln e 1x x x x -+>．自然的想法是先求左边函数的最小值或下确界，再证明其大于1.但这种常规方法往往是徒劳无功的.其原因是对数与指数的组合函数的导函数往往仍然含有对数与指数的组合函数，接下来会很难处理.鉴于此，我们应当考虑把对数与指数分离开来，分别放在欲证不等式的两边，对两边的函数分别用导数处理(求最值或取值范围)：因为欲证不等式中有e ln xx ，所以应当“指对分离”，两边都除以正数e x (因为ln x 的正负不确定，所以不优先考虑两边都除以ln x )，得即证21ln e e xx x +>①可以尝试着求该不等式左、右两边的最值或取值范围，以达到目的： 设2()ln e g x x x =+，得2212e 2()e e x g x x x x-'=-=，进而可得：当且仅当2e x =时，min 2ln ln 2e x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.接下来，若能证明1ln 2(0)exx >>即可，但这是办不到的：因为当0x +→时，11,ln 21e x →<.证明失败了.但失败是成功之母：把上述“证明”作微调后即可获得成功. 把①式两边都乘以x 后，即证2ln e e xx x x +>② 设2()ln eu x x x =+，得()l n 1u x x '=+进而可得：当且仅当1ex =时，m i n 21ln e e x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 设()e x x v x =，得1()e x x v x -'=进而可得：当且仅当1x =时，max1e e x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 因为11e≠，所以 21ln e e e x x x x +≥≥且两个等号不能同时取到，所以②成立，得欲证成立.这种证明函数不等式的策略是“一分为二，尝试成功”.下面再给出高考题1(2)题的最自然证法：当1a =时，可以求得函数()()(12)f x f x x '-≤≤的最小值是5ln 22-，再由53ln 222->，便得欲证结论成立.当1a =时，可得23312()'()ln 1(12)f x f x x x x x x x-=-++--≤≤ 设()()'()g x f x f x =-，可得43223441326326()1(12)x x x x g x x x x x x x ---+'=---+=≤≤再设432()326(12)h x x x x x x =---+≤≤，可得32()4362(12)h x x x x x '=---≤≤ (())6(21)(1)0(12)h x x x x ''=+-><≤所以函数()h x '是增函数.又因为(1)70,(2)60h h ''=-<=>，所以1(1,2)x ∃∈使得1()0h x '=，得函数()h x 在11[1,),(,2]x x 上分别是减函数、增函数.又因为(1)10,(2)20h h =>=-<(得1()20h x '<-<)，所以21(1,)x x ∃∈使得2()0h x =即2()0g x '=，得函数()g x 在22[1,),(,2]x x 上分别是增函数、减函数.所以{}min 55()min (1),(2)min 2,ln 2ln 2(12)22g x g g x ⎧⎫==-=-≤≤⎨⎬⎩⎭实际上，这种最自然的证法，就是“把求导进行到底”：导数是研究函数的有力工具，如果函数()f x 的导函数()f x '的性质仍不清楚，可以对()f x '继续求导得()f x ''，若()f x ''的性质清楚了，一般来说()f x '的性质也清楚了，再由()f x '的性质可得原函数()f x 的性质.笔者用几何画板得到了关于两个初等函数sin x 与ln(1)x +的一个不等式(见下文的结论)，证明它还有些困难.经过多次尝试，用“求导进行到底”终于获证.结论若02x π≤≤，则sin ln(1)x x >+(当且仅当0x =时取等号).证明设()sin ln(1)02f x x x x π⎛⎫=-+≤≤⎪⎝⎭，得1()cos 012f x x x x π⎛⎫'=-≤≤ ⎪+⎝⎭ 21()sin 0(1)2f x x x x π⎛⎫''=-+≤≤ ⎪+⎝⎭32()cos 00(1)2f x x x x π⎛⎫'''=--<≤≤ ⎪+⎝⎭ 所以()f x ''是减函数(由两个减函数之和是减函数，也可得此结论).又21(0)10,10212f f ππ⎛⎫''''=>=-<⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得0()0f x ''=，进而可得()f x '在00(0,),,2x x π⎛⎫⎪⎝⎭上分别是增函数、减函数.又(0)0f '=，所以0()0(0)f x x x '><≤，得0()0f x '>. 又()f x '在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上分别是增函数、减函数，02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，所以存在唯一的10,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得1()0f x '=，进而可得()f x 在11(0,),,2x x π⎛⎫⎪⎝⎭上分别是增函数、减函数. 所以min ()min (0),min 0,1ln 122f x f f ππ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫==-+⎨⎬⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭. 可得 3.2ln 1ln 1ln 2.61,1ln 10222ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+=<-+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以min ()0f x =，当且仅当0x =时()0f x =，得欲证结论成立.。

小题专题练(二) 三角函数与平面向量(建议用时：50分钟)1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．－43 B.43C ．－34 D.342．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－2)，若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－13C ．－1D ．－233．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 34．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．(2015·淄博第一次统考)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|<π)的图象向左平移π6个单位后得到函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，则φ的值为( ) A ．－2π3 B ．－π3C.π3D.2π36．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( )A.π6B.7π12C.76π D.73π7．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( )A.89B.109C.259D.2698．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．(2015·聊城质量检测)若△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为( )A ．4 B.15 C.7 D ．110．(2015·菏泽第三次四校联考)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )A ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数 B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2，1]11．(2015·枣庄统考)已知角α的终边经过点A (－3，a )，若点A 在抛物线y ＝－14x2的准线上，则sin α＝________．12．(2015·莱芜摸底考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知ac ＝b2－a 2，A ＝π6，则B ＝________．13．已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________．14．函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是________．15．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．小题专题练(二) 三角函数与平面向量1．解析：选A.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝45，所以sin α＝45，显然α在第二象限，所以cosα＝－35，故tan α＝－43.2．解析：选C.由题知λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，又λa＋b 与c 共线，所以－2(λ＋2)－2λ＝0，所以λ＝－1.3．解析：选C.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，所以b ＝2.4．解析：选B. 设向量a ＋b 与a －b 的夹角为θ，因为|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝43a 2，a 2－2a ·b ＋b 2＝43a 2，两式相加得，b 2＝13a 2，则cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝a 2－b 2|a ＋b ||a －b |＝a 2－13a2233|a |233|a |＝12，所以θ＝π3.5．解析：选C.由题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ，又g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 所以π3＋φ＝2k π＋2π3，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，因为|φ|<π，所以φ＝π3.6．解析：选C.由题中图象知T 4＝π3－π12＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2.又知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－A ， 由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，所以A ＝712π，所以A ·ω＝76π.故选C. 7．解析：选B.由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.8．解析：选C.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－310π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5， 所以 原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5.又因为 tan α＝2tan π5，所以 原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.9. 解析：选C.如图所示，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则由平面向量加法的几何意义得AB →＋AC →＝2AD →.又由条件得AB →＋AC →＝－12OA →＝12AO →，所以2AD →＝12AO →，即4AD →＝AO →，所以A ，O ，D 共线，所以OA ⊥BC ，所以CD 为CA →在CB →方向上的投影．因为|AO →|＝|CO →|＝4，所以|OD →|＝3，所以|CD →|＝|OC →|2－|OD →|2＝7，故选C.10．解析：选D.f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，由题设知T 2＝π2，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，g (x )是偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，其图象关于直线x ＝－π4不对称，所以A ，B ，C 错误．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域是[－2，1]．11．解析：由条件，得抛物线的准线方程为y ＝1，因为点A (－3，a )在抛物线y ＝－14x 2的准线上，所以a ＝1，所以点A (－3，1)，所以sin α＝13＋1＝12.答案：1212．解析：依题意得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－a 2＋c 2－2bc cos A ＝ac ＋c 2－3bc ＝0，a ＋c ＝ 3 b ．b 2－a 2－ac ＝b 2－a (a ＋c )＝b 2－3ab ＝0，b ＝3a ，且c ＝3b －a ＝2a >b ，c 2＝a 2＋b 2，C ＝π2，B ＝π3.答案：π313．解析：因为 e 1·e 2＝12，所以 |e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，所以 〈e 1，e 2〉＝60°.又因为 b·e 1＝b·e 2＝1>0，所以 〈b ，e 1〉＝〈b ，e 2〉＝30°.由b·e 1＝1，得|b||e 1|cos 30°＝1，所以 |b|＝132＝233.答案：23314．解析：由函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k∈Z ) 15．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2。