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时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真时域有限差分法（FDTD 算法）时域有限差分法是1966年K.S.Yee 发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee 网格空间离散方式。
这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。
FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。
需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。
有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。
1.FDTD 的基本原理FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。
Maxwell 方程的旋度方程组为：E E H σε+∂∂=⨯∇t H HE m tσμ-∂∂-=⨯∇ （1） 在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z z x y y y z x x x yz E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z m zx y y m y z x x m x y z H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2）上面的六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。
Yee 首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻t n ∆时刻，F(x,y,z)可以写成),,(),,,(),,,(k j i F t n z k y j x i F t z y x F n =∆∆∆∆= （3）用中心差分取二阶精度： 对空间离散：()[]2),,21(),,21(),,,(x O xk j i F k j i F x t z y x F n n xi x ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2),21,(),21,(),,,(y O yk j i F k j i F y t z y x F n n yj y ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2)21,,()21,,(),,,(z O zk j i F k j i F z t z y x F n n zk z ∆+∆--+≈∂∂∆=对时间离散：()[]22121),,(),,(),,,(t O tk j i F k j i F t t z y x F n n tn t ∆+∆-≈∂∂-+∆= （4） Yee 把空间任一网格上的E 和H 的六个分量，如下图放置:oyxzEyHzExEzHxEyEyEzEx HyEzEx图1 Yee 氏网格及其电磁场分量分布在FDTD 中，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图所示。
时域有限差分法的Matlab仿真关键词: Matlab 矩形波导时域有限差分法摘要：介绍了时域有限差分法的基本原理，并利用Matlab仿真，对矩形波导谐振腔中的电磁场作了模拟和分析。
关键词：时域有限差分法；Matlab；矩形波导；谐振腔目前，电磁场的时域计算方法越来越引人注目。
时域有限差分（Finite Difference Time Domain，FDTD）法［1］作为一种主要的电磁场时域计算方法，最早是在1966年由K. S. Yee提出的。
这种方法通过将Maxwell旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解，通过建立时间离散的递进序列，在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。
经过三十多年的发展，这种方法已经广泛应用到各种电磁问题的分析之中。
Matlab作为一种工程仿真工具得到了广泛应用［2］。
用于时域有限差分法，可以简化编程，使研究者的研究重心放在FDTD法本身上，而不必在编程上花费过多的时间。
下面将采用FDTD法，利用Matlab仿真来分析矩形波导谐振腔的电磁场，说明了将二者结合起来的优越性。
1FDTD法基本原理时域有限差分法的主要思想是把Maxwell方程在空间、时间上离散化，用差分方程代替一阶偏微分方程，求解差分方程组，从而得出各网格单元的场值。
FDTD 空间网格单元上电场和磁场各分量的分布如图1所示。
电场和磁场被交叉放置，电场分量位于网格单元每条棱的中心，磁场分量位于网格单元每个面的中心，每个磁场（电场）分量都有4个电场（磁场）分量环绕。
这样不仅保证了介质分界面上切向场分量的连续性条件得到自然满足，而且还允许旋度方程在空间上进行中心差分运算，同时也满足了法拉第电磁感应定律和安培环路积分定律，也可以很恰当地模拟电磁波的实际传播过程。
1.1Maxwell方程的差分形式旋度方程为：将其标量化，并将问题空间沿3个轴向分成若干网格单元，用Δx，Δy和Δz 分别表示每个网格单元沿3个轴向的长度，用Δt表示时间步长。
时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真姓名：王云璐学号：2011302021（西北工业大学电子信息学院08041103，陕西西安，710072）摘要：本文分析FDTD算法的基本原理及两种典型边界条件的算法特点，通过MATLAB程序对TE波进行了仿真，模拟了高斯制下完全匹配层中磁场分量瞬态分布。
得到了相应的磁场幅值效果图。
最后得出用Matlab语言对FDTD算法编程的几点结论。
关键词：FDTD；MATLAB；PML；平面TE波1引言电磁场的有限差分一般是在时域上进行的，随着计算机技术的发展和应用，近年来，时域计算方法越来越受到重视。
时域有限差分法具有简单、结果直观、网格剖分简单等优点。
近些年FDTD发展的十分迅速，在许多方面都有重要应用，包括天线设计，微波电路设计，电磁兼容分析，电磁散射计算，光子学应用等等。
时域有限差分(FDTD)算法是K.S.Yee于1966年提出的直接对麦克斯韦方程作差分处理，用来解决电磁脉冲在电磁介质中传播和反射问题的算法。
基本思想是：FDTD计算域空间节点采用Yee元胞的方法，同时电场和磁场节点空间与时间上都采用交错抽样；把整个计算域划分成包括散射体的总场区以及只有反射波的散射场区，这两个区域是以连接边界相连接，最外边是采用特殊的吸收边界，同时在这两个边界之间有个输出边界，用于近、远场转换；在连接边界上采用连接边界条件加入入射波，从而使得入射波限制在总场区域；在吸收边界上采用吸收边界条件，尽量消除反射波在吸收边界上的非物理性反射波。
本文主要简述了FDTD算法的基本原理，解的稳定性以及边界条件特点，并用Matlab语言进行对平面TE波进行了编程计算。
2FDTD基本原理时域有限差分法的主要思想是把Maxwell方程在空间、时间上离散化，用差分方程代替一阶偏微分方程，求解差分方程组，从而得出各网格单元的场值。
FDTD空间网格单元上电场和磁场各分量的分布如图1所示。
图1.Yee 氏网格及其电磁场分量分布电场和磁场被交叉放置，电场分量位于网格单元每条棱的中心，磁场分量位于网格单元每个面的中心，每个磁场(电场)分量都有4个电场(磁场)分量环绕。
南京理工大学课程考核论文课程名称：高等数值分析论文题目：有限差分法求解偏微分方程*名：**学号： 1成绩：有限差分法求解偏微分方程一、主要内容1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：22(,)()u uf x t t xαα∂∂-=∂∂其中为常数具体求解的偏微分方程如下：22001(,0)sin()(0,)(1,)00u u x t x u x x u t u t t π⎧∂∂-=≤≤⎪∂∂⎪⎪⎪=⎨⎪⎪==≥⎪⎪⎩2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性；3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析；4.结论及完成本次实验报告的感想。
二、推导几种差分格式的过程：有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。
有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下：()2100000000()()()()()()()......()(())1!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1)求解区域的网格划分步长参数如下：11k k k kt t x x h τ++-=⎧⎨-=⎩ (2-2) 2.1 古典显格式2.1.1 古典显格式的推导由泰勒展开公式将(,)u x t 对时间展开得 2,(,)(,)()()(())i i k i k k k uu x t u x t t t o t t t∂=+-+-∂ (2-3) 当1k t t +=时有21,112,(,)(,)()()(())(,)()()i k i k i k k k k k i k i k uu x t u x t t t o t t tuu x t o tττ+++∂=+-+-∂∂=+⋅+∂ (2-4)得到对时间的一阶偏导数1,(,)(,)()=()i k i k i k u x t u x t uo t ττ+-∂+∂ (2-5) 由泰勒展开公式将(,)u x t 对位置展开得223,,21(,)(,)()()()()(())2!k i k i k i i k i i u uu x t u x t x x x x o x x x x∂∂=+-+-+-∂∂ (2-6)当11i i x x x x +-==和时，代入式(2-6)得2231,1,1122231,1,1121(,)(,)()()()()(())2!1(,)(,)()()()()(())2!i k i k i k i i i k i i i i i k i k i k i i i k i i i iu uu x t u x t x x x x o x x x x u u u x t u x t x x x x o x x x x ++++----⎧∂∂=+-+-+-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-+-+-⎪∂∂⎩(2-7) 因为1k k x x h +-=，代入上式得2231,,22231,,21(,)(,)()()()2!1(,)(,)()()()2!i k i k i k i k i k i k i k i ku uu x t u x t h h o h x xu u u x t u x t h h o h x x +-⎧∂∂=+⋅+⋅+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=-⋅+⋅+⎪∂∂⎩ (2-8) 得到对位置的二阶偏导数2211,22(,)2(,)(,)()()i k i k i k i k u x t u x t u x t u o h x h+--+∂=+∂ (2-9) 将式(2-5)、(2-9)代入一般形式的抛物线型偏微分方程得21112(,)(,)(,)2(,)(,)(,)()i k i k i k i k i k i k u x t u x t u x t u x t u x t f x t o h h αττ++---+⎡⎤-=++⎢⎥⎣⎦(2-10)为了方便我们可以将式(2-10)写成11122k kk k k k i i i i i i u u u u u f h ατ++-⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦(2-11) ()11122k k k k k k i i i i i i u u uu u f h τατ++----+= (2-12)最后得到古典显格式的差分格式为()111(12)k k k k k i i i i i u ra u r u u f ατ++-=-+++ (2-13)2r h τ=其中，古典显格式的差分格式的截断误差是2()o h τ+。
时域有限差分和时域有限元电磁数值计算的研究的开题报告一、课题背景和研究意义随着计算机技术的不断发展和应用领域的不断扩大，电磁数值计算技术在电磁场求解中得到了广泛应用。
其中，时域有限差分（FDTD）和时域有限元（FEM）方法是常用的电磁数值计算方法，具有计算精度高、适用范围广等优点，广泛应用于电磁场计算、天线设计、散射特性计算、电磁兼容性分析等领域。
本文将重点研究FDTD和FEM方法在电磁数值计算中的应用，探讨两种方法的原理和计算特点，分析它们的优缺点和适用范围，并对它们在电磁场计算、天线设计等方面的应用进行研究和分析。
该研究对于提高电磁数值计算的准确性和效率，推动电磁场计算技术的发展具有重要意义。
二、研究内容和研究方法1. 理论分析：对FDTD和FEM方法的理论基础进行深入分析，探讨它们的数学原理、计算特点以及在电磁场计算中的应用。
2. 编程实现：通过编程实现FDTD和FEM方法，将电磁场的边值问题转化为差分方程或有限元方程，在计算机上进行求解，并得到电磁场的分布情况。
3. 数值模拟与分析：通过数值模拟和实验验证，对比分析FDTD和FEM方法的精度和计算效率，并对它们在电磁场计算、天线设计等方面的应用进行研究和分析。
三、预期研究成果1. 对FDTD和FEM方法的原理和计算特点进行深入分析，分析它们的优缺点和适用范围。
2. 通过数值模拟和实验验证，对比分析FDTD和FEM方法的精度和计算效率，并探讨在电磁场计算、天线设计等方面的应用。
3. 提出针对FDTD和FEM方法的优化算法，进一步提高电磁场计算的精度和效率。
四、研究计划和进度安排1. 第1-2个月：查阅相关文献，深入理解FDTD和FEM方法的原理和计算特点。
2. 第3-4个月：编写FDTD和FEM的数值求解算法，通过计算机程序对其进行验证。
3. 第5-7个月：通过数值模拟和实验验证，对比分析FDTD和FEM方法的精度和计算效率，并对它们在电磁场计算、天线设计等方面的应用进行研究和分析。
时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真摘要时域有限差分法是由有限差分法发展出来的数值计算方法。
自1966年Yee 在其论文中首次提出时域有限差分以来，时域有限差分法在电磁研究领域得到了广泛的应用。
主要有分析辐射条线、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面计算、分析周期结构、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲的传播和散射以及在地面的反射及对电缆传输线的干扰、微光学元器件中光的传播和衍射特性等等。
由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。
时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。
在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。
另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。
文中主要谈到了关于高斯制下完全匹配层的差分公式的问题，通过MATLAB 程序对TE波进行了仿真，模拟了高斯制下完全匹配层中磁场分量瞬态分布。
得到了相应的磁场幅值效果图。
关键词：时域有限差分完全匹配层MATLAB 磁场幅值效果图目录摘要 (1)目录 (3)第一章绪论 (4)1.1 课题背景与意义 (4)1.2 时域有限差分法的发展与应用 (4)2.1 Maxwell方程和Yee氏算法 (7)2.2 FDTD的基本差分方程 (9)2.3 时域有限差分法相关技术 (11)2.3.1 数值稳定性问题 (11)2.3.2 数值色散 (12)2.3.3 离散网格的确定 (13)2.4 吸收边界条件 (13)2.4.1 一阶和二阶近似吸收边界条件 (14)2.4.2 二维棱边及角顶点的处理 (17)2.4.3 完全匹配层 (19)2.5 FDTD计算所需时间步的估计 (23)第三章MATLAB的仿真的程序及模拟 (25)3.1 MATLAB程序及相应说明 (25)3.2 出图及结果 (28)3.2.1程序部分 (28)3.2.2 所出的效果图 (29)第四章结论 (31)参考文献 (32)第一章绪论1.1 课题背景与意义20世纪60年代以来，随着计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法逐步发展起来，并得到广泛应用，其中主要有：属于频域技术的有限元法（FEM）、矩量法(MM)和单矩法等；属于时域技术方面的时域有限差分法(FDTD)、传输线矩阵法(TLM)和时域积分方程法等。
开题报告
论文题目：基于matlab的时域有限差分法的电磁仿真研究（10分）
学院：电气工程及其自动化学院学号：1103000105姓名：__杨志刚___
一、论文选题的目的和意义（300字以内；15分）
时域有限差分法，因具有多种优点被运用到电磁场理论研究的各个方面，而且其使用成效和应用领域还在迅速扩大和提高，在现代电磁场理论研究中具有很大的重要性和很强的可操作性。
但是同时这种方法也存在一定的缺陷，主要表现在对无边界问题需要吸收边界条件处理，有色散误差，消耗内存大等方面。
本课题在利用时域有限差分法对一些实际的算例进行实验仿真和验证，同时对这种方法在解决实际问题的缺陷进行一定程度的研究和分析。
Matlab作为一种工程仿真工具得到了广泛应用。
用于时域有限差分法，可以简化编程，使研究者的研究重心放在FDTD法本身上，而不必在编程上花费过多的时间。
二、国内外关于该论题的研究现状和发展趋势（500字以内；15分）
时域有限差分方法作为一种典型的全波时域分析方法，因其原理直观、编程简便、实用性强在目前的计算电磁学领域内被人们广泛深入地研究，并取得巨大应用成功的方法。
时域数值技术的一个突出优点是可以给出关于问题空间的丰富的时域信息，而且经过简单的时频变换，即可得到宽带范围的频域信息，相对频域方法显著地节约了计算量。
最近几十年，是电磁场数值计算时域技术蓬勃发展的时期，各具优势和特色的新颖时域算法层出不穷。
但是到目前为止国内关于时域有限差分法中的PML 算法文献较少，其中绝大多数文献集中在综述和应用方面。
而在国际的学报和杂志上对于这方面的文献非常多。
时域有限差分法经过了三十年多年的高速发展之后，仍然还是计算电磁学制高点的研究热潮，而且其应用的范围和成效还在迅速的扩大和提高。
本课题正是利用时域有限差分法的基础理论，利用matlab对一些实际的电磁场问题进行仿真研究。
三、论文的主攻方向、主要内容、研究方法及技术路线（1000字左右；40分）
通过对时域有限差分法理解基础之上，利用matlab仿真软件按照这种方法编程，实现对三种情况下的电磁场情况的仿真研究。
1.时域有限差分法的理论研究：理论研究的主要内容是在麦克斯韦方程组的基础上，利用时域有限差分法的研究思路，全面细致地推导出在直角坐标系中，时域有限差分法二维仿真研究的基本数值计算公式。
并且，根据时域有限差分法的缺点，分析这种方法的数值稳定性条件，吸收边界条件和数值色散分析。
2.时域有限差分法的实现步骤：本课题对于时域有限差分法的研究主要是基于matlab 这一编程软件的仿真研究。
因此，实现仿真研究首先需要搭建matlab 仿真平台，然后从理论上分析时域有限差分法的实现功能和实现步骤，并给出伪代码或者核心思路。
最后对这种方法实现的电磁仿真研究进行评估。
3.基于matlab 的时域有限差分法的验证和应用：选择三种合适的算例，分别是二维方金属柱电磁散射算例、电解槽算例以及等离子体算例，利用理论分析得到的结果在matlab 软件上编程实现仿真进行算例测试，并且对测试的结果进行比较和分析。
时域有限差分法的理论基础
时域有限差分法是在麦克斯韦方程组的微商形式基础上，利用差商代替微商的方法进行离散化处理，将连续型数学模型转化为等价的离散型数学模型，由离散数值构成的离散代数方程组，然后求解出该数学模型的离散数值解。
麦克斯韦方程组
宏观电磁现象的基本规律可以用麦克斯韦方程组表示，如果研究有耗煤质的电磁问题，在求解过程中引入假想的磁荷概念是非常方便的，相应的麦克斯韦方程组式（1）中需引入磁流密度。
已经证明的麦克斯韦方程组修正形式如下所示：ρ
ρ=⋅∇=⋅∇-∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇D B J t B E t D J H m m 式中，除了与原来相同参数之外，m J ——磁流密度； m ρ——磁荷密度。
Yee 元胞
Yee 元胞中E ，H 各分量空间节点与时间步取值的整数和半整数约定如下表所示：
电磁场分量 空间分量取样
时间轴 t 取样
X 坐标 Y 坐标 Z 坐标 E 节点 x E
21+i j k
n y E
i 21+j k z E i
j 21+k H 节点 x H
i 21+j 21+k 2
1+n y H 21+i j 21+k
z H 21+i 21+j k
麦克斯韦方程组的时域有限差分法的差分形式
根据（1）中的麦克斯韦方程组以及各项同性介质中的本构关系：H
J E J H B E D m m γγμε==== 以E ，H 为变量，在直角坐标中，展开麦克斯韦第一、二方程，分别为
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z γE t z E εy x H x y H y γE t y E εx z H z x H x γE t x E εz y H y z H ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z H m γt z H μy x E x y E y H m γt y H μx z E z x E x H m γt x H μz y E y z E 令()z,t y,x,f 代表E ，H
在直角坐标中的任何一个分量，离散符号取为 ()()()k ,j ,i f t n ,z k ,y j ,x i f t z y x f n =∆∆∆∆=,,,
直角坐标系中时域有限差分法的二维迭代方法
直角坐标系中时域有限差分法的二维迭代方法，实际上也就是matlab 软件仿真的程序
设计的基本思想。
作出matlab 仿真实现的流程图
技术要求：
1．时域有限差分法的程序化设计；
2．二维方金属柱电磁散射算例验证；
3．电解槽算例验证；
4．等离子体算例验证
在对时域有限差分法的理论研究基础之上，利用matlab 软件实现程序化的电磁仿真研究。
利用matlab 的编程结果分别对二维方金属柱的电磁散射算例，电解槽算例和等离子体算例三种情况进行实验仿真，并对仿真的结果进行比较和分析。
四、论文工作3个月的时间安排（字数不限；10分 ）
2013年12月20日-2014年02月20日：收集相关文献资料，论文开题。
寒假期间阅读有关计算电磁学和时域有限差分法的相关书籍和资料，对课题主体方法和核心思路有很深的认识。
2014年02月20日-2014年04月12日：基本上完成论文的前两章内容，也就是论文的核心理论，在主要算法的matlab 实验上有明确思路和核心伪代码，基本完成后两章的框架。
2014年04月12日-2014年05月22日：完成时域有限差分法的matlab仿真实验验证的全部内容和论文剩余部分的撰写，并对论文进行排版。
2014年05月22日-2014年05月31日：修改论文，完善最后对实验结果优化，宏观调整论文内容，准备结题验收和答辩。
五、论文主要参考文献（字数不限；10分）
[1] 葛德彪,闫玉波.电磁场时域有限差分方法[M].西安:西安电子科技大学出版社,2005.
[2] Yee K S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell equations in isotropic media[J].IEEE Trans, Antennas Propagat, May 1996,AP-14(3): 302-307.
[3] (美)Duane Hanselman,Bruce Littlefield著.精通Matlab 7[M].朱仁峰,译.北京:清华大学出版社, 2006.5.
[4] 杨臻颖.三维散射的FDTD模拟及平面入射波补偿若干问题的研究[J].2006.
指导教师签名：
年月日。
