金融数学第六章连续时间金融初步
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金融数学完整课件全辑
风险管理政策
制定明确的风险管理政策和流程，确保业务 操作的合规性。
危机应对计划
制定应对重大风险的应急预案，确保在危机 发生时能够迅速、有效地应对。
05
投资组合优化
马科维茨投资组合理论
总结词
该理论是现代投资组合理论的基石，它通过 数学模型和优化技术，为投资者提供了构建 最优投资组合的方法。
详细描述
债券是一种常见的固定收益证券，其价格与利率之间存在密切关系。债券定价模型用于确定债券的理 论价格，通常基于现值计算方法。不同类型的债券（如国债、企业债等）具有不同的风险和收益特征 ，因此需要采用不同的定价模型。
复杂衍生品定价
总结词
概述了复杂衍生品定价的难点和方法， 包括信用衍生品、利率衍生品和商品衍 生品等。
数据清洗
对数据进行预处理，去除异常值、缺 失值和重复值，提高数据质量。
数据存储
采用分布式存储系统，高效地存储和 管理大规模金融数据。
数据可视化
通过图表、图像等形式直观地展示数 据分析结果，帮助用户更好地理解数 据。
机器学习在金融中的应用
风险评估
信贷审批
利用机器学习算法对历史金融数据进行分 析，预测未来市场走势和风险状况。
微积分
微积分是研究函数、极限、导数和积 分的数学分支。在金融领域，微积分 用于计算金融衍生品的价格和风险度 量。
线性代数
线性代数是研究线性方程组、矩阵和 向量空间的数学分支。在金融领域， 线性代数用于数据处理、模型建立和 优化问题求解等方面。
03
金融衍生品定价
期权定价模型
总结词
详细描述了期权定价模型的基本原理、应用场景和优缺点。
通过机器学习模型对借款人的信用状况进 行评估，提高信贷审批的效率和准确性。
金融数学读书笔记(Word最新版)
金融数学读书笔记通过整理的金融数学读书笔记相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！金融数学读书笔记（一）：金融数学综述和探讨前景展望狭义的金融学是指金融市场的经济学。
现代意义下的金融市场至少已有300年以上的历史，它从一起先就是经济学的探讨对象。
但人们通常认为现代金融学只有不到50年的历史。
这50年也就是使金融学成为可用数学公理化方法架构的历史.从瓦尔拉斯-阿罗-德布**的一般经济均衡体系的观点来看，现代金融学的第一篇文献是阿罗于1953年发表的论文《证券在风险担当的最优配置中的作用。
在这篇论文中，阿罗把证券理解为在不确定的不同状态下有不同价值的商品。
这一思想后来又被德布**所发展，他把原来的一般经济均衡模型通过拓广商品空间的维数来处理金融市场，其中证券无非是不同时间、不同状况下有不同价值的商品。
但是后来大家发觉，把金融市场用这种方式混同于一般商品市场是不合适的。
缘由在于它掩盖了金融市场的不确定性本质。
尤其是其中隐含着对每一种可能发生的状态都有相应的证券相对应，犹如每一种可能有的金融风险都有保险那样，与现实相差太远。
这样，经济学家又为金融学寻求其他的数学架构.新的用数学来架构的现代金融学被认为是两次“华尔街革命”的产物.第一次“华尔街革命”是指1952年马科维茨的证券组合选择理论的问世。
其次次“华尔街革命”是指1973年布莱克-肖尔斯期权定价公式的问世.这两次“革命”的特点之一都是避开了一般经济均衡的理论框架，以致在很长时期内都被传统的经济学家认为是“异端邪说”。
但是它们又的确使以华尔街为代表的金融市场引起了“革命”,从而最终也使金融学发生根本改观。
马科维茨因此荣获1990年诺贝尔经济学奖,肖尔斯(M.Scholes,1941—)则和对期权定价理论作出系统探讨的默顿一起荣获1997年的诺贝尔经济学奖。
布莱克(F.Black,1938—1995)不幸早逝，没有与他们一起领奖。
从马科维茨的证券组合选择理论起先的金融经济学变革：马科维茨探讨的是这样一个问题:一个投资者同时在很多种证券上投资,那么应当如何选择各种证券的投资比例,使得投资收益最大,风险最小.马科维茨在观念上的最大贡献,在于他把收益与风险这两个原本有点模糊的概念明确为具体的数学概念。
数理金融初步
数理金融初步课程目的：（1）了解数学与金融学交叉而成的新兴科学的基本情况；（2）通过一个侧面，了解数学在当今时代的重要作用；（3）通过课程的介绍，希望同学们结合自己的兴趣对今后的大学生涯有一个很好的认识和规划；（4）通过课程的学习，期望能对同学们今后的生活方式和理财方式，进而是消费方式的科学合理安排产生一定的积极影响。
第一讲，金融数学与金融工程介绍：一、金融数学介绍：金融数学是一门新兴的边缘科学, 是数学与金融学的交叉。
它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的, 其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。
近年来, 由于金融理论的长足进步、现代信息技术的飞速发展以及金融市场的动荡, 金融创新步伐日益加快, 新的金融产品、金融服务在市场上层出不穷，资金的流动也显著加快。
金融市场运行的规律、资产的定价、风险管理以及投资决策分析显得空前重要, 这些问题是现代金融理论与实践中的核心问题。
由于所研究问题的复杂性,单纯的描述型方法已不适应现代金融学研究的需要。
现代金融学已从单纯的描述型学科转变成分析型学科，通过建立证券市场的数学模型, 研究其运行规律, 并正在向工程化阶段转变。
人们把研制、开发和实施新型金融产品的科学称为金融工程。
而把相应的数学上的建模、分析、计算称为金融数学。
金融工程是金融创新实现的手段, 金融数学是金融工程的基础, 并促使金融工具不断创新。
21世纪中国经济与金融领域研究的一个重大转变，就是数量方法的研究被越来越广泛地应用。
数量方法在金融中的大量应用使得数学与金融的联系变得密不可分，由此产生了金融数学这门交叉学科。
随着金融相关问题研究方式的转变，我国高校金融学专业的教学方式也发生了变革，金融学科普遍加强了数量方法类课程的设置，金融数学往往是被优先考虑的课程。
现在很多综合性大学数学系也逐渐增设金融数学专业。
金融数学在我国的发展不仅是我国开展金融理论研究的需求，而实践的需求也进一步推动了金融数学学科的发展。
金融数学课程简介
《金融数学》课程简介金融数学 3.0课程英文名称：Financial Mathematical 3---0,预修课程：微积分、线性代数面向对象：全校本科生内容简介：金融数学是一门数学科学与金融学的新兴交叉学科，目前在世界上它发展非常迅速，已成为十分活跃的前沿学科之一。
金融数学就是利用数学工具对金融学中的理论和现象进行研究和分析，建立相应的数学模型，进行理论分析和数值计算等，以求找到金融活动内在的规律并用以指导实践。
通过金融数学的学习，希望培养学生数学、经济、金融等方面的相关基础知识，造就应用数学与金融学交叉科学领域方面的复合型人才。
推荐教材或参考书：（含教材名，主编，出版社，出版年代）《期权定价的数学模型和方法》，姜礼尚，高等教育出版社2003，北京《数理金融:资产定价与金融决策理论》，叶中行林建忠编著，科学出版社，1998，北京。
《数理金融经济学》王一鸣，北京大学出版社，2000，北京Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve. Karatzas, Ioannis. 1998Martingale methods in financial modelling / Marek Musiela, Marek Rutkowski. Musiela, Marek, 1950- 1997《金融数学》教学大纲金融数学 3.0课程英文名称：Financial Mathematical 3---0,预修课程：微积分、线性代数面向对象：全校本科生一、教学目的与基本要求：（1）使学生了解金融数学研究的主要对象和经济背景，理解金融数学中的主要概念和理论，掌握主要的建模工具以及重要的数学模型的应用方法，较为熟练地运用一些主要的公式进行计算。
（2）要正确理解以下概念：效用与偏好序，投资组合，套利，风险厌恶，等价概率分布，风险中性定价，状态定价向量，布朗运动与扩散，倍率函数，风险控制函数；股票与债券，证券与衍生证券，期货与期权，未定权益，利率期限结构，公司资本结构等基本概念。
西南财经大学金融学院考研导师方能胜
西南财经大学金融学院考研导师方能胜一、个人基本信息办公室：通博楼A214姓名性别系别职称职务办公电话方能胜男金融工程副教授二、教育背景起止年月（本科起）院校及系、专业2000.9-2004.7 厦门大学数学科学学院2004.9-2009.7（硕博连读）厦门大学数学科学学院三、工作经历起止年月单位及职务2009.9-至今西南财经大学金融学院四、讲授课程名称讲授课程层次讲授课程名称研究生选修课《连续时间金融》《volatility and pricing》本科生选修课《衍生金融工具》《金融风险管理》《数学模型与数学实验》《身边的金融》五、主要研究领域与方向1. 资产定价2. 金融数学六、承担的研究项目姓名项目名称资助单位批准时间备注罗荣华、方能胜一种度量风险的新方法——基于极值理论的拓展和应用国家自然科学基金委2010.09参与朱波、方能胜宏观审慎时代金融体系系统性风险研究国家自然科学基金委2011.09参与方能胜波动率模型的研究和应用西南财经大学211课题2010.11主持【金融硕士考研经验】凯程2015年考取全国金融硕士超过200人，经验分享视频见凯程光荣榜，其中基本都是跨专业的学生，还有很大一部分是本科二本的同学。
各校金融硕士在录取的时候非常公平，招生人数多（各个学校招生人数咨询凯程老师），加上凯程的专业辅导与人脉关系，凯程已经成为了金融硕士的黄埔军校，每年考取各校金融硕士的人数是其他院校的总和还要多。
在凯程网站有很多成功学员的视频，凯程学校里有专门针对道口、清华经管、北大、人大、中财、贸大等院校的内部讲义，这是其他机构所不具备的，同学们到了凯程学校可以实地查看（有些机构根本就没有开过金融硕士课程，自然没有讲义了）（其中中财金融硕士讲义包括：中财金融硕士凯程通，中财金融硕士热点讲义，中财金融硕士真题讲义，中财金融硕士冲刺讲义、题库等）。
此外，其他机构1个经验谈视频都没有，凯程的金融硕士经验谈非常多，在凯程网站有展示，同学们可以查看。
金融数学基础书籍系列介绍
金融数学基础书籍系列介绍mqx:金融数学（Financial Mathematics），又称数理金融学、数学金融学、分析金融学，是利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融动内在规律并用以指导实践。
金融数学也可以理解为现代数学与计算技术在金融领域的应用，因此，金融数学是一门新兴的交叉学科，发展很快，是目前十分活跃的前言学科之一。
金融数学的发展曾两次引发了“华尔街革命”。
上个世纪50年代初期，马科威茨提出证券投资组合理论，第一次明确地用数学工具给出了在一定风险水平下按不同比例投资多种证券收益可能最大的投资方法，引发了第一次“华尔街革命”，马科威茨因此获得了１９９０年诺贝尔经济学奖。
1973年，布莱克和斯克尔斯用数学方法给出了期权定价公式，推动了期权交易的发展，期权交易很快成为世界金融市场的主要内容，成为第二次“华尔街革命”，修斯因此获得了１９９７年诺贝尔经济学奖。
2003年诺贝尔经济学奖第三次授予以数学为工具分析金融问题的美国经济学家恩格尔和英国经济学家格兰杰以表彰他们分别用“随着时间变化易变性”和“共同趋势”两种新方法分析经济时间数列给经济学研究和经济发展带来巨大影响。
金融数学在我国起步比较晚，但于1997 年正式实施的国家“九五”重大项目《金融数学、金融工程、金融管理》，直接推动了我国金融数学这一交叉学科的兴起和发展。
金融数学,运用随机分析，随机最优控制，倒向随机微分方程，非线性分析，分形几何等现代数学工具研究以下问题：（1）不完备金融市场有价证券（例如期货，期权等衍生工具）的资本资产定价模型，套利定价理论，套期保值理论及最优投资和消费理论。
（2）利率的期限结构和利率衍生产品的定价理论。
（3）不完备金融市场的风险管理和风险控制理论。
直愚：1.概率论很不幸的事实是,概率论基本上没有好的中文教材(1998之前,之后我就不清楚了)，Ross的书适合本科和硕士生,胜在例子详尽，Billingsley的概率论和弱收敛的两本教材是非常好的入门书，chung的概率论教材很严格,读起来会有点累，如果你真的想理解概率论,feller的两本书是不可不读的,可以说,从高中水平到博士以上学位的读者,都会从中获益---如果要推选概率论里面最有影响的教材,feller的书无可比拟，Breiman的书也是经典,概率味比chung的浓，loeve的书可以作为工具书使用。
金融数学课件(南京大学)
2013-8-27
23
二、金融数学的发展历程
1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。 在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下， 显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位 置，达菲和黄(Duffle and Huang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱 克-斯科尔斯模型。
同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法 开始使用。
2013-8-27 22
二、金融数学的发展历程
金融数学发展的第三个时期：
1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果
频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲 （D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。
2013-8-27
10
一、金融与金融数学
完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融
学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数
理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论到 实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，两次华尔
街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学。随着金融市
场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不 穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金 融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。
括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融
机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风 险转移和控制等。
2013-8-27 9
一、金融与金融数学
宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运行规律，重点 讨论货币供求均衡、金融经济关系、通货膨胀与通货紧缩、金 融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国 际金融体系等问题。 与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分再有微 观部分。
金融数学课本知识精粹
n n 1k
或i
1
n 1k
( n 1 =1/2)
2n
2n
2
4、可赎回债券计算收益率时：i i
g (溢价发行)：赎回日尽可能早 g(折价发行): 赎回日尽可能晚
5、系列债券：
m
系列债券的价格
t 1
pt
m t 1
Kt
g i
m
( Ct
t 1
m t 1
(g i)vnt1
1 (g i)a nt i
n-1 g ng 合计 ng
i[1 (g i)a ] 2i
i[1 (g i)a ] 1i
ng-p
(g i)v2 (g i)v1
1 (g i)a 1i
1
(g i)a p ni
3、票息支付周期内债券的估价
Bf
债券的平价： t k
pk =vnk 1
2、连续偿还的分期偿还表
t时刻的余额
Btp
a nt
Btr
an
(1 i)t
S t
9
t时刻偿还的本金利息
I
Bt
pt 1 I 1 Bt
3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表
（1）若偿还期计息 k 次（偿还频率小于计息频率）
n 1
j
4、基金收益率：A：期初基金的资本量
B：期末基金的本息和
I：投资期内基金所得收入 Ct ：t 时刻的现金流（ 0 t 1）
C：在此期间的现金流之和 C Ct ，
t
数理金融学第6章远期与期货
f (FK)er(Tt)。
f—— 时刻t时，远期合约多头的价值。 下面我们看一个具体例子。设投资者买入一个远期合约， 今天报价是100美元，合约到期日是45天，无风险利率是 10%。远期合约以协定价格100美元买入期限是45天的多 头；20天后，新远期合约有同样到期日——期限是 25天，
价格是104美元，则 r 0.1
4、保证金：期货交易者为了履行合约承诺而按照规定存 入的一笔款项。保证金市交易者履行合约义务的一种 保证，可以以现金支付，也可以证券等形式支付。交 易所要求其会员缴纳保证金，期货经纪商也会要求其 客户缴纳保证金。保证金制度还适用于结算所的财务 管理。
整理ppt
10
5、空头：指交易者处于卖出期货合约的交易部位。期 货交易者卖出自己手头还没有的商品期货合约。交 易者卖出期货合约的这种行为称为“卖空”。
▪ 任何金融工具都是标准化的资本证券，标准化的 目的是增强流动性。一般要把期限、交易条款、 交易金额标准化，只剩下交易价格需要由市场决 定。本章将介绍两类衍生金融工具：远期与期货。
整理ppt
2
1.远期交易
▪ 远期合约是买卖双方之间的一个协议，它是指买卖 双方定立一个在确定的将来时间按确定的价格购买 或出售某项资产的协议。通常是在两个金融机构之 间或金融机构与其公司客户之间签订的合约。
最容易定价的远期合约是基于不支付收益证券的远期合约。
不付红利的股票和贴现债券就是诸如此类的证券。
由于没有套利机会，对无收益证券而言，该证券远期价格
F与现价S之间的关系应该是
整理ppt
5
FSer(Tt)
式中：F—— 时刻t时的远期价格； S—— 远期合约标的资产在时间t时的价格； r—— 对T时刻到期的一项投资而言，时刻t以连续 复利计算的无风险利率； T—— 远期合约到期时间（年）； t—— 现在的时间（年）。
f—— 时刻t时，远期合约多头的价值。 下面我们看一个具体例子。设投资者买入一个远期合约， 今天报价是100美元，合约到期日是45天，无风险利率是 10%。远期合约以协定价格100美元买入期限是45天的多 头；20天后，新远期合约有同样到期日——期限是 25天，
价格是104美元，则 r 0.1
4、保证金：期货交易者为了履行合约承诺而按照规定存 入的一笔款项。保证金市交易者履行合约义务的一种 保证，可以以现金支付，也可以证券等形式支付。交 易所要求其会员缴纳保证金，期货经纪商也会要求其 客户缴纳保证金。保证金制度还适用于结算所的财务 管理。
整理ppt
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5、空头：指交易者处于卖出期货合约的交易部位。期 货交易者卖出自己手头还没有的商品期货合约。交 易者卖出期货合约的这种行为称为“卖空”。
▪ 任何金融工具都是标准化的资本证券，标准化的 目的是增强流动性。一般要把期限、交易条款、 交易金额标准化，只剩下交易价格需要由市场决 定。本章将介绍两类衍生金融工具：远期与期货。
整理ppt
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1.远期交易
▪ 远期合约是买卖双方之间的一个协议，它是指买卖 双方定立一个在确定的将来时间按确定的价格购买 或出售某项资产的协议。通常是在两个金融机构之 间或金融机构与其公司客户之间签订的合约。
最容易定价的远期合约是基于不支付收益证券的远期合约。
不付红利的股票和贴现债券就是诸如此类的证券。
由于没有套利机会，对无收益证券而言，该证券远期价格
F与现价S之间的关系应该是
整理ppt
5
FSer(Tt)
式中：F—— 时刻t时的远期价格； S—— 远期合约标的资产在时间t时的价格； r—— 对T时刻到期的一项投资而言，时刻t以连续 复利计算的无风险利率； T—— 远期合约到期时间（年）； t—— 现在的时间（年）。
金融数学大纲
《金融数学》课程教学大纲英文名称：Financial mathematics课程编码：0411040课程性质：专业选修课学时：30学时学分：2学分开课学期：第七学期适用专业：数学与应用数学专业先修课程：《高等数学》、《概率论与数理统计》、《常微分方程》一、课程性质、目的和要求金融数学为数学系金融数学专业的专业选修课，通过本课程的学习，要求学生了解金融数学是以与货币的流通发行和运用过程相关的所有经济活动为研究对象的，并运用数学和统计学等方法进行定量研究和应用的学科。
本课程的教学目的是使学生掌握金融数学的基本模型和方法，提高学生利用定量化分析技术处理金融问题的能力，为进一步学习、研究现代金融理论打好基础。
教学过程采取课堂讲解、案例教学、课堂讨论相结合的方式。
本课程要求学生了解和掌握基本数学工具，能够将学到的金融数学方法与分析技术运用到实际的研究工作中。
二、教学内容、要点和课时安排第一章利息基本计算（4学时）教学目的与要求：使学生了解利息计算的基本函数，计算过程中常见的基本处理方法和工具。
教学重点：在计算利息时常用的几个基本概念。
教学难点：有关利息的计算实例。
教学方法和手段：讲授法第一节利息基本函数一、有关概念：累积函数、单利和复利、贴现函数、名利率和名贴现率二、连续利息计算第二节利息基本计算一、时间单位的确定二、价值方程与等时间法三、利率的计算第三节 实例分析一、现实生活中与利率有关的金融现象二、提前支取的处罚三、其他实例思考题：1.设总量函数为A （t ）= 223t t ++,试计算累积函数a(t)和第n 个时段的利息n I 。
2.已知帐户A 的累积函数为2()1A a t t =+，帐户B 的累积函数为2()12B a t t t =++，试计算帐户A 的利息力超过帐户B 的利息力的时刻。
第二章 年金（4学时） 教学目的与要求：使学生了解年金的概念及年金现金流的计算问题。
教学重点：基本年金、广义年金与变化年金的概念与基本计算。
金融数学-ppt课件利率的期限结构
29
例（价格被低估）：一个年息票率为5%的两年期债券的价格 为99元，其面值为100元。1年期即期利率为4.5%，2年期 即期利率为5%。试判断是否存在套利机会。如果存在， 请确定一个无净现金流出，且可获得无风险收益的策略。
解：由前例可知，与即期利率一致的债券价格为100.0228 元。由于该债券的市场价格为99元，故该债券被低估了， 存在套利机会。
24
应用前面的公式，分别计算第2年和第3年的远期利率为 (1r2)2(1f0)(1f1) 1 .0 5 1 2 6 2(1 .0 5 )(1f1) f16.0277% (1r3)3(1r2)2(1f2)f21 1..0 05 65 01 42 16 13 217.1061%
25
例：假设各年的远期利率分别为 f0 3 .9 % , f1 4 .5 % , f2 4 .2 %
14
例：假设0到1年的远期利率为4.9%，1年期的远期利率为 f1 = 5.2%，2年期的远期利率为 f2 = 5.4%。请计算一个年息 票率为10%的三年期债券的价格。假设该债券的面值为 100元。
解：该债券的价格为：
P
Ct
t (1f0)(1f1)...(1ft1)
10 10
110
1.049 (1.049)(1.052) (1.049)(1.052)(1.054)
9
如何求得即期利率 ？两种方法 1. 通过市场上零息债券的价格计算： n 年期的即期利率＝ n 年期零息债券的收益率 2. 自助法（bootstrapping）：从一系列含有息票的债券的 价格中计算得到。 由一年期债券的价格计算1年期的即期利率 利用这个信息及两年期债券的价格，计算2年期的即 期利率 以此类推。在自助法中，要求应用收益率和即期利 率计算的债券价格相等。
例（价格被低估）：一个年息票率为5%的两年期债券的价格 为99元，其面值为100元。1年期即期利率为4.5%，2年期 即期利率为5%。试判断是否存在套利机会。如果存在， 请确定一个无净现金流出，且可获得无风险收益的策略。
解：由前例可知，与即期利率一致的债券价格为100.0228 元。由于该债券的市场价格为99元，故该债券被低估了， 存在套利机会。
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应用前面的公式，分别计算第2年和第3年的远期利率为 (1r2)2(1f0)(1f1) 1 .0 5 1 2 6 2(1 .0 5 )(1f1) f16.0277% (1r3)3(1r2)2(1f2)f21 1..0 05 65 01 42 16 13 217.1061%
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例：假设各年的远期利率分别为 f0 3 .9 % , f1 4 .5 % , f2 4 .2 %
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例：假设0到1年的远期利率为4.9%，1年期的远期利率为 f1 = 5.2%，2年期的远期利率为 f2 = 5.4%。请计算一个年息 票率为10%的三年期债券的价格。假设该债券的面值为 100元。
解：该债券的价格为：
P
Ct
t (1f0)(1f1)...(1ft1)
10 10
110
1.049 (1.049)(1.052) (1.049)(1.052)(1.054)
9
如何求得即期利率 ？两种方法 1. 通过市场上零息债券的价格计算： n 年期的即期利率＝ n 年期零息债券的收益率 2. 自助法（bootstrapping）：从一系列含有息票的债券的 价格中计算得到。 由一年期债券的价格计算1年期的即期利率 利用这个信息及两年期债券的价格，计算2年期的即 期利率 以此类推。在自助法中，要求应用收益率和即期利 率计算的债券价格相等。
金融数学简要概述
金融数学金融数学（FinancialMathematics），又称数理金融学、数学金融学、分析金融学，是利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融学内在规律并用以指导实践。
金融数学也可以理解为现代数学与计算技术在金融领域的应用，因此，金融数学是一门新兴的交叉学科，发展很快，是目前十分活跃的前沿学科之一。
目录概述必备工具现状及发展研究科目人才现状主要研究内容数据挖掘图书《金融数学》概述必备工具现状及发展研究科目人才现状主要研究内容数据挖掘图书《金融数学》•目录概述金融数金融数学学是一门新兴学科，是“金融高技术”的重要组成部分。
研究金融数学有着重要的意义。
金融数学总的研究目标是利用我国数学界某些方面的优势，围绕金融市场的均衡与有价证券定价的数学理论进行深入剖析，建立适合我国国情的数学模型，编写一定的计算机软件，对理论研究结果进行仿真计算，对实际数据进行计量经济分析研究，为实际金融部门提供较深入的技术分析咨询。
金融数学是在两次华尔街革命的基础上迅速发展起来的一门数学与金融学相交叉的前沿学科。
其核心内容就是研究不确定随机环境下的投资组合的最优选择理论和资产的定价理论。
套利、最优与均衡是金融数学的基本经济思想和三大基本概念。
在国际上，这门学科已经有50 多年的发展历史，特别是近些年来，在许多专家、学者们的努力下，金融数学中的许多理论得以证明、模拟和完善。
金融数学的迅速发展，带动了现代金融市场中金融产品的快速创新，使得金融交易的范围和层次更加丰富和多样。
这门新兴的学科同样与我国金融改革和发展有紧密的联系，而且其在我国的发展前景不可限量。
必备工具21世金融数学纪数学技术和计算机技术一样成为任何一门科学发展过程中的必备工具。
美国花旗银行副总裁柯林斯（Collins）1995年3月6日在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所的讲演中叙述到：“在18世纪初，和牛顿同时代的著名数学家伯努利曾宣称：‘从事物理学研究而不懂数学的人实际上处理的是意义不大的东西。
金融数学章节件南京大学
强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方程等 知识对金融原理进行推导。
如：第一次华尔街革命（资产组合问题、资本资产定价模 型）；第二次华尔街革命（期权定价公式）。
实证金融数学：
强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知 识对金融原理进行假设检验，并得出一些经验结论。
如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。
2020/1/17
6
一、金融与金融数学
金融是一个经济学的概念和范畴。通常，“金”是指资金， “融”是指融通，“金融”则指资金的融通，或者说资本的 借贷，即由资金融通的工具、机构、市场和制度构成的有机 系统，是经济系统的重要组成部分。
金融核心：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进 行跨期（最优）配置。
2020/1/17
18
二、金融数学的发展历程
这些基础性的工作在后来的10年内得到了两个重要的发 展：其一是，在马科维茨组合理论的基础上，夏普(Sharpe， 1964)、林特纳(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示， 在市场出清状态，所有投资者都将选择无风险资产与市场组 合证券的线性组合；另一重要发展是对阿罗-德布鲁理论的 推广。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)显示了阿罗-德布 鲁理论在一些基本的金融理论问题中的应用，并在一般均衡 体系中证明了M-M定理，第一次将阿罗-德布鲁框架与套利 理论联系起来。
2020/1/17
2
导论
在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现，金融 （finance）就产生了。时至今日，金融学已形成了宏观金融 学和微观金融学两个分支，其需要解决的核心问题是：如何 在不确定（uncertainty）的环境下，通过资本市场对资源进行 跨期的（intertemporally）最优配置（allocation）。金融发展 史表明，伴随着金融学两个分支学科的深化与发展，金融数 学（Financial Mathematics）应运而生。
如：第一次华尔街革命（资产组合问题、资本资产定价模 型）；第二次华尔街革命（期权定价公式）。
实证金融数学：
强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知 识对金融原理进行假设检验，并得出一些经验结论。
如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。
2020/1/17
6
一、金融与金融数学
金融是一个经济学的概念和范畴。通常，“金”是指资金， “融”是指融通，“金融”则指资金的融通，或者说资本的 借贷，即由资金融通的工具、机构、市场和制度构成的有机 系统，是经济系统的重要组成部分。
金融核心：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进 行跨期（最优）配置。
2020/1/17
18
二、金融数学的发展历程
这些基础性的工作在后来的10年内得到了两个重要的发 展：其一是，在马科维茨组合理论的基础上，夏普(Sharpe， 1964)、林特纳(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示， 在市场出清状态，所有投资者都将选择无风险资产与市场组 合证券的线性组合；另一重要发展是对阿罗-德布鲁理论的 推广。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)显示了阿罗-德布 鲁理论在一些基本的金融理论问题中的应用，并在一般均衡 体系中证明了M-M定理，第一次将阿罗-德布鲁框架与套利 理论联系起来。
2020/1/17
2
导论
在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现，金融 （finance）就产生了。时至今日，金融学已形成了宏观金融 学和微观金融学两个分支，其需要解决的核心问题是：如何 在不确定（uncertainty）的环境下，通过资本市场对资源进行 跨期的（intertemporally）最优配置（allocation）。金融发展 史表明，伴随着金融学两个分支学科的深化与发展，金融数 学（Financial Mathematics）应运而生。
⑥金融数学基础-第四讲
而对于 f ( x, t ) ，由二元函数的Taylor公式，有
f f 1 2 f 2 f 2 f 2 2 f x t 2 x 2 x t 2 t ( 2 x 2 t ) x t 2 x xt t f f 1 2 f 2 f ( at bW (t )) t x 2 (at bW (t ))t (t ) 2 x t 2 x xt f f 1 2 f f ( a ) t x 2 bW (t ) (t ) x t 2 x 2 x
金融数学基础
第四讲 Black-Scholes模型（一）
一、证券价格模型 （本节考虑不支付红利的证券的价格模型。）
1. 布朗运动与伊藤过程 定义4.1.1 （标准）布朗运动（维纳过程）{W (t ), t [0, )}是一个随 机过程，且满足 （1）轨线连续性： W (0) 0 ， W (t )是t的连续函数； （2）增量服从正态分布：在时段 t 内，增量 W (t ) W (t t ) W (t ) W (t ) t t ① 其中 ~ N (0,1) 即 W (t ) ~ N (0, t ) （3）增量是独立的：对不重叠的时段 t 、 s， t t t s s s 增量 W (t ) W (t t ) W (t ) 与 W (s) W (s s) W (s) 是独立的，即 Cov(W (t ), W (s)) 0 ② 令 t 0 ，在连续时间下，①②式的微分形式为： dW (t ) t dt ③ Cov(dW (t ), dW ( s)) 0 ④ 此时 dW (t )~N (0, dt ) E(dW (t )) 0, Var (dW (t )) dt
Si Si t t i
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第一节 连续时间金融数学基础
涉及到的数学： 测度论、实变函数、随机过程、随机微分 方程、马尔可夫链 等等 已经超过本教材的范围， 详细内容，参阅下面经典著作： Protter (1992) Karatzas和Shreve(1988) Ikeda和Watanabe（1989） Chung和Williams（1990） Williams（1991）
f (t dt, Bt dt ) f (t , Bt ) f1 (t , Bt )dt f 2 (t , Bt )dBt 1 / 2[ f11 (t , Bt )(dt) 2 f12 (t , Bt )dtdBt
2
f 22 (t , Bt )(dBt ) ] ...
2
Ito引理
f ( Bt ) f ( Bs ) f ( Bx )dBx 1 / 2 f ( Bx )(dBx )
s s t t 2
(dBx ) ( Bt dt Bt ) dt , s t
2 2
f ( Bt ) f ( Bs ) f ( Bx )dBx 1 / 2 f ( Bx )dx
对具有不变的相对风险厌恶系 数类的效用函数
C r 1 u (C ) , r 1, r 0 r
最优消费为该时刻财富的线性函数 投资与风险资产的最优权重与时间及财富都无关 与风险资产的波动性、经济人偏好有关 v * C (t ) W (t ) , v 0 v ( t T ) 1 (v 1)e 1 * C (t ) W (t ) , v 0 T t r * S (t ) 2 S* (1 r )
结论：随机变量Bt－Bs (t＞s)与随机变量Bt-s 的分布相同， 都服从均值为0，方差为t-s的正态分布 分布的相等并不意味着样本路径的相等
Bt Bs Bt s
d
but Bt Bs Bt s
结论：布朗运动 B ( Bt , t [0, )) 为高斯过程，并且， 均值 E(Bt)=0 协方差 E(BtBs)=min(s,t)
六、解析解不存在下的数学处理 连续时间方法在一定程度上简化了对经济 问题的分析；然而，在求解连续时间问题 的时候，却出现了技术上的困难。如果没 有特殊设定，难以得到分析解 方法包括：有限差分近似法（BrennanSchwartz（1076a，1976b，1976c））、数 值积分法（Parkinson（1976）），以及 Boyle（1976）提供的Monte Carlo模拟
给定约束条件和优化条件,偏微分方程系统可以 通过Matlab用数值方法求出给定参数下的解
( S , C ;W ; t ) 0 * * (*) C ( S , C ;W ; t ) 0 ( S * , C * ;W ; t ) 0 S
* *
boundrycondition: I [W (T ),T ] B[W (T ),T ]
布朗运动与几何布朗运动
定义：称随机过程 B ( Bt , t [0, )) 为标准布朗运动（Brownian Motion）或维纳 过程（Wiener process），如果满足4个条件： （1）该运动起始于0点，即，B0=0； （2）该运动具有平稳性和独立增量性； （ 3 ）对任意的 t ＞ 0 ， Bt 服从均值为 0 ，方差 为t的正态分布，即，Bt～N（0，t）。 （4）该运动样本轨迹连续，即，不存在跳跃
ut Bt
( u 2 / 2 )t ( u 2 / 2 )( t s )
C x (t , s) e
(e
2 s
1), s t
(t ) e
2 x
( 2 u 2 ) t
(e
2 t
1)
Taylor展开
以双变量的Taylor展开为例。三阶略去。
七、连续时间金融的实证分析 指出这一方向，目的在于表明连续时间方法 在实证领域同样具有重要的地位 关于连续时间金融的著作，以供理论工作者 参考阅读： Merton （ 1990 ）、 Duffie （ 1992 ， 1996 ），以及 Edgar 公司组织编写的一套经 济学丛书，其中包括了“期权市场”卷、 “公司债务”卷、“连续时间金融基础”卷，
Merton连续时间金融模型
假设存在一个典型代表性的经济人 W(t)表示该经济人在t时刻的总财富 Xi(t)表示t时刻第i种资产的价格（i=1,2,…,m） C(t)表示t时刻的单位时间消费 假定任一资产价格服从几何布朗运动 某一时间段资产收益服从大漂移的布朗运动 投资者面临的决策问题是： 在给定的投资期限下（无限期的情形更简 单），如何进行消费决策以及投资决策，使 得投资期限内的总效用最大化
第三节Black-Scholes 期权定价公式
Black 和 Scholes 的期权定价模型，利用无套 利定价模型，不依赖于投资者的风险态度 无套利定价，是指如果金融市场上的期权是 正确定价的，那么，投资者就不能通过买入 或者卖空期权及其标的资产来建立投资组合 得到超过无风险资产收益的确定的回报 给出Black-Scholes 模型的定义以及在此模型 下的期权定价公式 推导主要基于Black和Scholes(1973)
性质6-1：布朗运动为0.5自相似 性质6-2：布朗运动相对于自然过滤 Ft=σ(Bs，t＞s)而言，为一个鞅
几何布朗运动
在Black—Scholes（1973）和Merton （1973）的论文中，都假定价格的波动 （运动）服从几何布朗运动，即
Pt P0 e E ( Pt ) e
Black-Scholes 模型
Black和Scholes(1973)用几何布朗运动作 为股票价格运动的随机过程。假设股票 价格St过程服从线性随机微分方程（SDE）
dSt St dt St dWt
μ∈ R 为股票价格的期望收益率 σ＞0 为波动性系数 S0 ＞0为股票的初始价格。假定它们都是常数 Wt表示含σ-代数流的概率空间上的一维标准布 朗运动
s s
t
t
f (t , Bt ) f ( s, Bs ) f 2 ( x, Bx )dBx
s
t
( f1 ( x, Bx ) 1 / 2 f 22 ( x, Bx )dx
s
t
Байду номын сангаас
第二节 不确定情形下的 连续时间资产组合决策
以Merton（1969）的经典论文为例 在Merton（1969）之前，有少量的文章 分析多期下的资产组合问题，或者在分 析经济问题的时候运用多期分析的框架 例如，Tobin（1965）、Phelps（1962） 和Samuelson（1969） 从严格的意义上讲，Merton（1969）的 文章是连续时间金融领域的奠基之作
自融资策略
交易策略是指概率空间上的一对循序可测的随机过程 循序可测的概念参见严加安的《测度论》 交易策略为自融资的是指财富过程满足某条件（略） 在Black和Scholes(1973)中没有明显地提出自融资策略， 但是已经使用了这个概念 如果不限制投资者所使用的策略为自融资的，则，在 无约束的Black-Scholes 模型中也能够构造一个套利机 会。具体可参见Musiela和Rutkowski（1997）
2
d 2 ( s, t ) d1 ( s, t ) t
第四节 连续时间金融的简单概括
一、分析投资者最优组合决策问题 至少包括两种分析框架 其一，假定资产价格服从一个扩散过程； 其二，假定资产价格服从仿射跳扩散过程 Longstaff（2001）利用连续时间方法分析存在 事件风险下的投资者优化组合决策问题。价格 假定服从一个扩散过程（AJD），也即扩散过 程加上一个跳过程 Duffie-Pan-Liu（2001）提出了一个更一般的存 在AJD过程的理论分析框架
在这个决策系统里，消费水平以及投资 于m种资产的比例为控制变量 求解Bellman方程时，必须清楚哪些是控 制变量，哪些是状态变量
为了求解优化问题，先进行必要计算， 以便在求解优化问题的时候将注意力集 中于数学背后的经济学
简单思路
财富变化的平均速率 两种资产的简化情况 投资者的问题：选择最优的S(t)和C(t)， 使得效用函数最大化
利用Ito公式，得到股票价格波动过程
St S0 exp{( / 2) Wt }
2
假定无风险资产按照无风险利率r 计连续 复利，则，无风险资产的价格过程为
dBt rBt dt
or Bt e
rt
Black-Scholes对金融市场的假设
1．短期利率已知，且不随时间变化； 2．股票价格服从连续时间的随机游走，其 方差与股票价格的平方成比例。在任何有 限时间区间的期末，股票价格服从对数正 态分布，且股票收益的方差为常数； 3．股票不支付红利，也没有其它支出； 4．期权是“欧式的” ； 5．买卖股票和期权不存在交易费； 6．能够以短期利率借入证券价格的任意比 例的资金用以购买证券； 7．卖空没有交易费。
max E[ e u(C (t ))dt B(W (T ),T ))]
t 0
T
约束：预算方程（6.15），C(t)≥0，W(t)≥0， W(0)=W0＞0。效用函数u’＞0，u’’＜0 T表示终结期。B(W(T),T)是一个设定的残值函数， 在W(t)上是凹函数
最优消费和投资策略
期权定价公式
两种推导期权定价公式的办法 第一，基于无风险收益能够用期权及其 标的资产的连续调整的头寸来复制的事 实——无风险组合方法 第二，基于均衡的要求。也就是说，期 权作为一种资产必须使得期望的收益率 与其风险相对应——均衡推导
涉及到的数学： 测度论、实变函数、随机过程、随机微分 方程、马尔可夫链 等等 已经超过本教材的范围， 详细内容，参阅下面经典著作： Protter (1992) Karatzas和Shreve(1988) Ikeda和Watanabe（1989） Chung和Williams（1990） Williams（1991）
f (t dt, Bt dt ) f (t , Bt ) f1 (t , Bt )dt f 2 (t , Bt )dBt 1 / 2[ f11 (t , Bt )(dt) 2 f12 (t , Bt )dtdBt
2
f 22 (t , Bt )(dBt ) ] ...
2
Ito引理
f ( Bt ) f ( Bs ) f ( Bx )dBx 1 / 2 f ( Bx )(dBx )
s s t t 2
(dBx ) ( Bt dt Bt ) dt , s t
2 2
f ( Bt ) f ( Bs ) f ( Bx )dBx 1 / 2 f ( Bx )dx
对具有不变的相对风险厌恶系 数类的效用函数
C r 1 u (C ) , r 1, r 0 r
最优消费为该时刻财富的线性函数 投资与风险资产的最优权重与时间及财富都无关 与风险资产的波动性、经济人偏好有关 v * C (t ) W (t ) , v 0 v ( t T ) 1 (v 1)e 1 * C (t ) W (t ) , v 0 T t r * S (t ) 2 S* (1 r )
结论：随机变量Bt－Bs (t＞s)与随机变量Bt-s 的分布相同， 都服从均值为0，方差为t-s的正态分布 分布的相等并不意味着样本路径的相等
Bt Bs Bt s
d
but Bt Bs Bt s
结论：布朗运动 B ( Bt , t [0, )) 为高斯过程，并且， 均值 E(Bt)=0 协方差 E(BtBs)=min(s,t)
六、解析解不存在下的数学处理 连续时间方法在一定程度上简化了对经济 问题的分析；然而，在求解连续时间问题 的时候，却出现了技术上的困难。如果没 有特殊设定，难以得到分析解 方法包括：有限差分近似法（BrennanSchwartz（1076a，1976b，1976c））、数 值积分法（Parkinson（1976）），以及 Boyle（1976）提供的Monte Carlo模拟
给定约束条件和优化条件,偏微分方程系统可以 通过Matlab用数值方法求出给定参数下的解
( S , C ;W ; t ) 0 * * (*) C ( S , C ;W ; t ) 0 ( S * , C * ;W ; t ) 0 S
* *
boundrycondition: I [W (T ),T ] B[W (T ),T ]
布朗运动与几何布朗运动
定义：称随机过程 B ( Bt , t [0, )) 为标准布朗运动（Brownian Motion）或维纳 过程（Wiener process），如果满足4个条件： （1）该运动起始于0点，即，B0=0； （2）该运动具有平稳性和独立增量性； （ 3 ）对任意的 t ＞ 0 ， Bt 服从均值为 0 ，方差 为t的正态分布，即，Bt～N（0，t）。 （4）该运动样本轨迹连续，即，不存在跳跃
ut Bt
( u 2 / 2 )t ( u 2 / 2 )( t s )
C x (t , s) e
(e
2 s
1), s t
(t ) e
2 x
( 2 u 2 ) t
(e
2 t
1)
Taylor展开
以双变量的Taylor展开为例。三阶略去。
七、连续时间金融的实证分析 指出这一方向，目的在于表明连续时间方法 在实证领域同样具有重要的地位 关于连续时间金融的著作，以供理论工作者 参考阅读： Merton （ 1990 ）、 Duffie （ 1992 ， 1996 ），以及 Edgar 公司组织编写的一套经 济学丛书，其中包括了“期权市场”卷、 “公司债务”卷、“连续时间金融基础”卷，
Merton连续时间金融模型
假设存在一个典型代表性的经济人 W(t)表示该经济人在t时刻的总财富 Xi(t)表示t时刻第i种资产的价格（i=1,2,…,m） C(t)表示t时刻的单位时间消费 假定任一资产价格服从几何布朗运动 某一时间段资产收益服从大漂移的布朗运动 投资者面临的决策问题是： 在给定的投资期限下（无限期的情形更简 单），如何进行消费决策以及投资决策，使 得投资期限内的总效用最大化
第三节Black-Scholes 期权定价公式
Black 和 Scholes 的期权定价模型，利用无套 利定价模型，不依赖于投资者的风险态度 无套利定价，是指如果金融市场上的期权是 正确定价的，那么，投资者就不能通过买入 或者卖空期权及其标的资产来建立投资组合 得到超过无风险资产收益的确定的回报 给出Black-Scholes 模型的定义以及在此模型 下的期权定价公式 推导主要基于Black和Scholes(1973)
性质6-1：布朗运动为0.5自相似 性质6-2：布朗运动相对于自然过滤 Ft=σ(Bs，t＞s)而言，为一个鞅
几何布朗运动
在Black—Scholes（1973）和Merton （1973）的论文中，都假定价格的波动 （运动）服从几何布朗运动，即
Pt P0 e E ( Pt ) e
Black-Scholes 模型
Black和Scholes(1973)用几何布朗运动作 为股票价格运动的随机过程。假设股票 价格St过程服从线性随机微分方程（SDE）
dSt St dt St dWt
μ∈ R 为股票价格的期望收益率 σ＞0 为波动性系数 S0 ＞0为股票的初始价格。假定它们都是常数 Wt表示含σ-代数流的概率空间上的一维标准布 朗运动
s s
t
t
f (t , Bt ) f ( s, Bs ) f 2 ( x, Bx )dBx
s
t
( f1 ( x, Bx ) 1 / 2 f 22 ( x, Bx )dx
s
t
Байду номын сангаас
第二节 不确定情形下的 连续时间资产组合决策
以Merton（1969）的经典论文为例 在Merton（1969）之前，有少量的文章 分析多期下的资产组合问题，或者在分 析经济问题的时候运用多期分析的框架 例如，Tobin（1965）、Phelps（1962） 和Samuelson（1969） 从严格的意义上讲，Merton（1969）的 文章是连续时间金融领域的奠基之作
自融资策略
交易策略是指概率空间上的一对循序可测的随机过程 循序可测的概念参见严加安的《测度论》 交易策略为自融资的是指财富过程满足某条件（略） 在Black和Scholes(1973)中没有明显地提出自融资策略， 但是已经使用了这个概念 如果不限制投资者所使用的策略为自融资的，则，在 无约束的Black-Scholes 模型中也能够构造一个套利机 会。具体可参见Musiela和Rutkowski（1997）
2
d 2 ( s, t ) d1 ( s, t ) t
第四节 连续时间金融的简单概括
一、分析投资者最优组合决策问题 至少包括两种分析框架 其一，假定资产价格服从一个扩散过程； 其二，假定资产价格服从仿射跳扩散过程 Longstaff（2001）利用连续时间方法分析存在 事件风险下的投资者优化组合决策问题。价格 假定服从一个扩散过程（AJD），也即扩散过 程加上一个跳过程 Duffie-Pan-Liu（2001）提出了一个更一般的存 在AJD过程的理论分析框架
在这个决策系统里，消费水平以及投资 于m种资产的比例为控制变量 求解Bellman方程时，必须清楚哪些是控 制变量，哪些是状态变量
为了求解优化问题，先进行必要计算， 以便在求解优化问题的时候将注意力集 中于数学背后的经济学
简单思路
财富变化的平均速率 两种资产的简化情况 投资者的问题：选择最优的S(t)和C(t)， 使得效用函数最大化
利用Ito公式，得到股票价格波动过程
St S0 exp{( / 2) Wt }
2
假定无风险资产按照无风险利率r 计连续 复利，则，无风险资产的价格过程为
dBt rBt dt
or Bt e
rt
Black-Scholes对金融市场的假设
1．短期利率已知，且不随时间变化； 2．股票价格服从连续时间的随机游走，其 方差与股票价格的平方成比例。在任何有 限时间区间的期末，股票价格服从对数正 态分布，且股票收益的方差为常数； 3．股票不支付红利，也没有其它支出； 4．期权是“欧式的” ； 5．买卖股票和期权不存在交易费； 6．能够以短期利率借入证券价格的任意比 例的资金用以购买证券； 7．卖空没有交易费。
max E[ e u(C (t ))dt B(W (T ),T ))]
t 0
T
约束：预算方程（6.15），C(t)≥0，W(t)≥0， W(0)=W0＞0。效用函数u’＞0，u’’＜0 T表示终结期。B(W(T),T)是一个设定的残值函数， 在W(t)上是凹函数
最优消费和投资策略
期权定价公式
两种推导期权定价公式的办法 第一，基于无风险收益能够用期权及其 标的资产的连续调整的头寸来复制的事 实——无风险组合方法 第二，基于均衡的要求。也就是说，期 权作为一种资产必须使得期望的收益率 与其风险相对应——均衡推导