高考数学经典(选填)题例专项训练给大家

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（七）一、单选题1．（2022·广东佛山·高三阶段练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα︒<<︒，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（ ）A B C D 【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为()cos sin a αα-，故()222cos sin 14a a αα-=，故112sin c 4os αα-=，即2223sin cos 3tan 3sin cos 8sin cos 8tan 18αααααααα=⇒=⇒=++23tan 8tan 30αα⇒-+=，解得tan α=tan α=.因为045α︒<<︒，则0tan 1α<<，故tan α=. 故选：A2．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知一组数据1234,,,x x x x 的平均数是3，方差是2，则由12341,25,25,25,25x x x x ----这5个数据组成的新的一组数据的方差是（ ）A ．4B ．6C ．325D ．365【答案】C【解析】因为一组数据1234,,,x x x x 的平均数是3，方差是2，所以12341()34x x x x +++=，222212341[(3)(3)(3)(3)]24x x x x -+-+-+-=，所以123412x x x x +++=，22221234(3)(3)(3)(3)8x x x x -+-+-+-=，所以12341,25,25,25,25x x x x ----的平均数为 []123411(25)(25)(25)(25)5x x x x +-+-+-+- []1234112()205x x x x =++++- 1(12420)15=⨯+-=， 所以12341,25,25,25,25x x x x ----的方差为2222212341(11)(251)(251)(251)(251)5x x x x ⎡⎤-+--+--+--+--⎣⎦ 222212341(26)(26)(26)(26)5x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦ 2222123414(3)4(3)4(3)4(3)5x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦ 222212344(3)(3)(3)(3)5x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦ 432855=⨯=， 故选：C3．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()21nn S a n n=+-，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和是（ ）A ．25B ．920C ．511D ．1011【答案】C 【解析】由()21nn S a n n=+-得()21n n S na n n =--， 当2n ≥时，()()11141n n n n n a S S na n a n --=-=----， 整理得14n n a a --=，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又因为11a =， 所以43n a n =-，从而()()123322212n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+， 所以()1111132121n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，所以数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为111111115112223*********⎛⎫⎛⎫⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C4．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙（ ） AB．CD【答案】C【解析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ， 则11222S rl r S r l r ππ===甲乙， 所以122r r =， 又12222r r l lπππ+=， 则121r r l+=， 所以1221,33r l r l ==，所以甲圆锥的高1h ==，乙圆锥的高2h ==，所以221122214313r h l V V r h ππ===甲乙 故选：C.5．（2022·广东深圳·高三阶段练习）如图，双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点为()12,0F -，()22,0F ，过1F ，2F 作圆O ：222x y a +=的切线，四条切线围成的四边形12F AF B，则双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．2222135x y -=【答案】B【解析】如图，由题意2c =，因为四边形12F AF B ，所以直角三角形2AOF即212OF OA =，OA =，2AF ==212a AF ⨯=，1a =，b =线的方程为2213y x -=.故选：B.6．（2022·广东深圳·高三阶段练习）设函数()21,,43,.ax x a f x x x x a -<⎧=⎨-+≥⎩若()f x 存在最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．()2,⎡⋃+∞⎣D ．()2,⎡⋃+∞⎣【答案】B【解析】若0a =时，()21,0,43,0.x f x x x x <⎧=⎨-+≥⎩，()()min 21f x f ∴==-；若0a <时，当x a <时，()1f x ax =-单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值；若0a >时，x a <时，()1f x ax =-+单调递减，()()21f x f a a >=-，当x a ≥时，()()()2min 1,0243,2a f x a a a ⎧-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数()f x 有最小值，需21102a a ⎧-≥-⎨<<⎩或221432a a a a ⎧-≥-+⎨≥⎩，解得0a <≤.故选：B7．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若sin sin C B A =，λ=b a ，则实数λ的最小值是（ ）AB．32C．2 D．2【答案】C【解析】由sin sin C B A =，可得sin c A =， 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+- ，两式结合得：222212sin 2sin cos a b A b b A A =+-⨯，即22212sin 1276cos 22a A A A A b =+-=--，即22π7),(0,π)3a A Ab =-+∈， 则当7π12A =时，2max 2()7a b=+2min 2()7b a ==- 故由baλ=2=，故选：C8．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则2243z x xy y =-+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-，当且仅当20y x =>时取等号. 故xyz的最大值为1. 故选：C.9．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）函数()()20x af x a x+=>在区间(),1a a +上有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．01a << B ．1a > C ．14a << D ．4a >【答案】A【解析】∵2()(0)x a af x x a x x+==+>，∵(2222()1x x a x a f x x x x-'=-==，∵当0x <<()0f x '<，当x >()0f x '>， 可知，()f x在上单调递减，在)+∞上单调递增， ∵()f x在x = 又∵在区间(,1)a a +上有最小值，∵1a a <<+，解得01a <<． 故选：A ．10．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()()sgn ln ln f x x x=-的零点个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】当ln 0x =时1x =；当ln 0x >时1x >；当ln 0x <时01x <<．()1,1sgn ln 0,11,01x x x x >⎧⎪∴==⎨⎪-<<⎩．()()1ln ,1sgn ln ln ln ,11ln ,01x x f x x x x x x x ->⎧⎪∴=-=-=⎨⎪--<<⎩．当1x >时令()0f x =，即1ln 0x -=，解得e 1x =>成立； 当1x =时令()0f x =，即ln 0x -=，解得1x =成立；当01x <<时令()0f x =，即1ln 0x --=，解得()10,1ex =∈成立．综上可得解()0f x =得e x =或1x =或1ex =．所以函数()f x 的零点个数为3． 故选：C11．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）已知函数()(2lg 21x f x x =-+，则不等式()()212f x f x ++>-的解集为（ ）A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1003⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．2,1003⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由()(2lg 21x f x x =-+可知，R x ∈ ，故()()((22lg lg 2121x x f x f x x x -+-=-+--++ (222lg ()2121xx x x x ⋅=-+-+++lg122=-=- ，即()()110f x f x ++-+=，令()()1g x f x =+ ，则()()0g x g x +-=，即()()1g x f x =+为奇函数，因为函数(lg y x =为R 上的单调增函数，221x y =+为R 上的单调减函数故()(2lg 21xf x x =-+为单调增函数，则()()1g x f x =+也单调递增； 不等式()()212f x f x ++>-，即()()21110f x f x ++++>， 即()()()()210,21()g x g x g x g x g x ++>+>-=-，故121,3x x x +>->- ，即()()212f x f x ++>-解集为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，故选:A12．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）设定义域为R 的函数|1251,0,(){44,0,x x f x x x x --≥=++<若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m=.A ．2B ．4或6C ．2或6D ．6【答案】A【解析】请在此输入详解！13．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）已知函数(e 3)()x f x x =-，若经过点(0,)a 且与曲线()y f x =相切的直线有三条，则（ ） A ．3e a -<<- B ．e a >-C ．3a <-D ．3a <-或e a >-【答案】A【解析】()()2e xf x x '=-，设经过点(0,)a 且与曲线()y f x =相切的切点为()()000,3e x x x -，则()()000e 2x f x x '=-.又切线经过()0,a ，故由题意()()00000e e 32xx ax x x --=-有3个解.化简有()()00000e e 32x x a x x x =---，即()02003e 3x a x x =-+-有3个解.设()()2e 33x g x x x =-+-，则()()2e xg x x x '=-+，令()0g x '=有0x =或1x =，故当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减.又()03g =-，()1e g =-，且()()711e g g -=->，()()2e 20g g =-<，故要()02003e 3x a x x =-+-有3个解，则3e a -<<-. 故选：A14．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知0a >，函数()21x f x x a+=+在[)1,+∞上的最大值为23，则=a （ ） A ．2或3316B ．12或3316C ．2D ．12【答案】C【解析】令()12t x t =+，则22111212x t a x a t t a t t+==++-+++-，函数()21x f x x a+=+在[)1,+∞上的最大值为23且()0f x >，即转化为()()122a g t t t t+=+-的最小值为32.2221(1)()1a t a g t t t +-+'=-=，()0g t t '=⇒=，2≤，即03a <≤时，()g t 在[2,)+∞上单调递增，()min 13()222a g t g +===，解得2a =；2>，即3a >时，2t ≤<()0g t '<，()g t递减，t >()0g t '>，()g t递增，min 3()22g t g===，解得33316a =<，舍去．故2a = 故选：C ．15．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）设抛物线2:8E y x =的焦点为F ，过点(4,0)M 的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，||3BF =，则BCF △与ACF 的面积之比BCF ACFSS=（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】C【解析】如图，过点B 作BD 垂直准线2x =-于点D ，则由抛物线定义可知：||||3BF BD ==， 设直线AB 为4x my =+， ()11,A x y ，()22,B x y ，()2,C C y -，不妨设0m >，则120,0y y ><，所以223x +=，解得：21x =，则22288y x ==，解得：2y =-(1,B -，所以41-+=，解得：m =AB为4x y =+，所以当2x =-42y +=-，解得：C y =-(2,C --， 联立4x my =+与28y x =得：28320y my --=，则1232y y =-，所以1y =2116BCF C ACFC S yy BC SAC y y -====-.故选：C16．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．17．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()f x 为奇函数，()1f x +为偶函数，当01x ≤≤时，()21xf x =-，则()2log 2023f =（ ）A ．9991024-B ．252048-C ．10242023-D ．512999-【答案】A【解析】因为()1f x +为偶函数， 所以()(1)1f x f x -+=+， 所以()(2)f x f x -=+，又()f x 为奇函数，即()()f x f x -=-所以()()()()()242f x f x f x f x f x -=+⇒+=-+=， 所以()f x 的周期为4，()()22222202340964096log 2023log 202312log log 2log 409620232023f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22023log 1024220232023999log 211102410241024f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.18．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知函数()()221e xf x x a x =++，则“a =是“函数()f x 在1x =-处取得极小值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】2222()(2)1e (1)(1)e x xf x x a x a x x a '⎡⎤=++++=+++⎣⎦.∵当a ＝0时，2()(1)e 0x f x x '=+≥，故()f x 在R 上单调递增，()f x 无最小值. ∵当a ≠0时，令()0f x '=，得x ＝－1或21x a =--.又211a --<-， 故当21x a <--时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当211a x --<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增. 故()f x 在x ＝－1处取得极小值.综上，函数()f x 在x ＝－1处取得极小值0a ⇔≠.所以“a =是“函数()f x 在x ＝－1处取得极小值”的充分不必要条件. 故选：A.19．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）设函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -是奇函数，当02x ≤≤时，()1f x ；当2x >时，()421x f x -=+．当k 变化时，方程()10f x kx --=的所有根从小到大记为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，则()()()12n f x f x f x ++⋅⋅⋅+取值的集合为（ ） A ．{}1,3 B ．{}1,3,5C ．{}1,3,5,7D ．{}1,3,5,7,9【答案】C 【解析】()1f x -为奇函数，()f x ∴图像关于点()0,1对称，由()10f x kx --=得：()1f x kx =+，则方程的根即为()f x 与直线1y kx =+的交点， 作出()f x 图像如图所示，∵当5120k -≥-，即2k ≥时，如图中11y k x =+所示时，()f x 与直线1y kx =+有5个交点125,,,x x x ⋅⋅⋅， ()f x 与1y kx =+均关于()0,1对称，()()()()125505f x f x f x f ∴++⋅⋅⋅+==； ∵当31512020k --≤<--，即12k ≤<时，如图中21y k x =+所示时，()f x 与直线1y kx =+有7个交点127,,,x x x ⋅⋅⋅， ()f x 与1y kx =+均关于()0,1对称，()()()()127707f x f x f x f ∴++⋅⋅⋅+==； ∵当21314020k --<<--，即114k <<时，如图中31y k x =+所示时，()f x 与直线1y kx =+有5个交点125,,,x x x ⋅⋅⋅，()f x 与1y kx =+均关于()0,1对称，()()()()125505f x f x f x f ∴++⋅⋅⋅+==； ∵当211404k -==-时，如图中41y k x =+所示时，()f x 与直线1y kx =+有3个交点123,,x x x ， ()f x 与1y kx =+均关于()0,1对称，()()()()123303f x f x f x f ∴++==； ∵当2140k -<-，即14k <时，如图中51y k x =+和61y k x =+所示时，()f x 与直线1y kx =+有且仅有一个交点()0,1，()11f x ∴=.综上所述：()()()12n f x f x f x ++⋅⋅⋅+取值的集合为{}1,3,5,7. 故选：C. 二、多选题20．（2022·广东佛山·高三阶段练习）“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，…，则下列说法中正确的是（ ） A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9732410⨯+C ．“提丢斯数列”的前31项和为30321211010⨯+D ．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项 【答案】BCD 【解析】对于选项A ，0.710.40.7≠，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A 错误； 对于选项B ，设“提丢斯数列”为数列{}n a ，当3n ≥时，232410n n a -⋅+=，所以979932410a ⨯+=，故B 正确；对于选项C ，“提丢斯数列”的前31项和为122930340.40.7(222)291010321211010++++++⨯+⨯=，故C 正确；对于选项D ，由232430010n n a -⋅+=≤有：11n ≤，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D 正确. 故选：BCD.21．（2022·广东佛山·高三阶段练习）若224,,a b a b +=∈∈R R ，且0ab ≠，则（ ）A ．||2ab >B ．||a b +≤C ．22log ||log ||1a b +≤D ．111||||a b +< 【答案】BC【解析】对于A ，因为22224||||2||a b a b ab =+=+≥，所以||2ab ≤，当且仅当a b ==时取等，故A 错误；对于B ，因为||a b +≤2≤， 可看作部分圆224(0)x y xy +=≠上的点(,)a b 到直线0x y +=的距离不大于2， 因为圆心(0,0)在直线0x y +=上，半径为22≤恒成立，故B 正确；对于C ，因为||2ab ≤，所以2222log ||log ||log ||log 21a b ab +=≤=，故C 正确；对于D ，因为224,,a b a b +=∈∈R R ，且0ab ≠，令a b ==111||||a b +=>， 故D 错误. 故选：BC.22．（2022·广东佛山·高三阶段练习）九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则（ ） A ．三人选择社团一样的概率为19B ．三人选择社团各不相同的概率为89C ．至少有两人选择篮球社的概率为727D ．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57【答案】ACD【解析】对于A ，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，三人选择社团一样的概率为3113()39⨯=，A 正确；对于B ，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个， 最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为3126()39⨯=，B 不正确； 对于C ，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为213332117C C ()()3327⨯+=，C 正确；对于D ，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A ，由选项C 知，7()27P A =，小王选择羽毛球社的事件为B ， 则事件AB 是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率113322115()C C ()()3327P AB =⨯+=， 所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为()5(|)()7P AB P B A P A ==，D 正确. 故选：ACD23．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点，则下列选项正确的是（ ）A ．1D D AF ⊥B ．直线1A G 与EFC ．三棱锥G AEF -的体积为13D ．存在实数λ、μ使得1AG AF AE λμ=+ 【答案】BD【解析】对于A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//DD AA ，易知1AA 与AF 不垂直，故错误； 对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，取11B C 的中点H ，连接1,A H GH ，如下图， 易知//GH EF ，则1AGH ∠为直线1A G 与EF 夹角或其补角， 2AB =，GH EF ∴=11A H AG = 在1A GH中，2221111cos 2AG GH A H AGH AG GH +-∠==⋅⋅ 因此，直线1A G 与EF对于C ，根据题意作图如下：易知三棱柱ABG DCF -的体积1122224V =⨯⨯⨯=，三棱锥G ABE -的体积211113323ABEV SGB AB BE GB =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=， 四棱锥F AECD -的体积()311133ABCDABEAECD V S FC SSFC =⋅⋅=⋅-⋅=四边形，三棱锥G AEF -的体积12323V V V V =--=，故错误； 对于D ，连接11,D F D A ，作图如下：易知1//AD EF ，则1,,,A E F D 共面，11//AG D F ，则1,,AG AF AE 共面，即存在实数λ、μ使得1AG AF AE λμ=+，故正确； 故选：BD.24．（2022·广东深圳·高三阶段练习）Farey 数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数n ，将分母小于等于n 的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上01，在最后一个分数之后加上11，这个序列称为n 级Farey 数列，用{}n F 表示.如{}3F 的各项为：01，13，12，23，11，共有5项.则（ ）A ．数列{}n F 都有奇数个项B ．6级Farey 数列{}6F 中，中间项为12C ．6级Farey 数列{}6F 共有11项D ．6级Farey 数列{}6F 各项的和为132【答案】BD【解析】1级Farey 数列{}1F 各项为：01，11，A 错误；6级Farey 数列{}6F ：01，16，15，14，13，25，12，35，23，34，45，56，11，共有13项，中间项为12，各项的和为132，故B 正确，C 错误，D 正确. 故选:BD.25．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知函数()()2e 33xf x x x =-+，则（ ）A ．函数()f x 在()0,1上单调递减B ．函数()f x 恰有一个零点C ．当且仅当e 3m <<时，方程()f x m =恰有三个实根D ．若当(],x t ∈-∞（t ∈Z ）时，函数()f x 的最大值为3，则t 的最大值为1 【答案】ACD【解析】函数()()2233e 33e 024xxf x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，选项B 错误；()()e 1x x f x x =-'，0x <或1x >时，()0f x '>，01x <<时，()0f x '<.如图，()f x 在(),0∞-，()1,+∞单调递增，()f x 在()0,1单调递减，选项A 正确；()03f =，()1e f =，当x 趋近正无穷时，()f x 趋近正无穷，当x 趋近负无穷时，()f x 趋近0，选项C 正确；如图，当(],x t ∈-∞（t ∈Z ）时，函数()f x 的最大值为3，则一定有0t ≥，而()22e 3f =>，所以t （t ∈Z ）的最大值为1，选项D 正确.故选：ACD.26．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为V ，圆柱的外接球的表面积为S ，则下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的外接球的表面积S 有最大值，最大值为36πB ．圆柱的外接球的表面积S 有最小值，最小值为18πC ．圆柱的体积V 有最大值，最大值为8πD ．圆柱的体积V 有最小值，最小值为4π 【答案】BC【解析】如图，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，圆柱的外接球的半径为R ， 由4212r h +=，得26r h +=，又2R =03r <<，圆柱的体积为()()222ππ622π3r V r h r r r ===--，则()6π2V r r =-'，当02r <<时，0V '>，当2r >时，0V '<，故函数()22π3r r V =-在()0,2上单调递增，在()2,3上单调递减，所以2r =时，V 取最大值8π，所以08πV <≤，圆柱的外接球的表面积()()()()2222224ππ4π4624π269S R r h r r rr ==+=+-=-+，函数()24π269S r r =-+在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以32r =时，S 取最小值18π，所以18π36πS ≤<.故选：BC.27．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，双曲线的左焦点在直线0x y +上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，P A ，PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +的取值可能为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．2【答案】CD【解析】根据题意知：12b a =，c =2a =，1b =，双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，则220014x y -=，00x >，00y >， 00000201020022242y y x y x x x x k k y =+==+--+，根据渐近线方程知：00102y x <<，故012012x k k y =>+. 故选：CD.28．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）若()f x 图像上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[,]A B 称为函数()f x 的“友情点对”（点对[,]A B 与[,]B A 视为同一个“友情点对”）若32,0()e ,0x x x f x ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩恰有两个“友情点对”，则实数a 的值可以是（ ） A ．0 B ．12020-C ．1e-D ．12023-【答案】BD【解析】若()f x 有两个友情点对，则()f x 在(,0)-∞的图像关于原点对称后与(0,)+∞的图像有两个交点.由0x <时，2()=f x ax ；得其关于原点对称后的解析式为2y ax =-.问题转化为3e x y x =与2y ax =-在(0,)+∞上有两个交点，即方程32ex x ax =-有两根，化简得e xx a -=，即y a =-与e x x y =在(0,)+∞上有两个交点.对于e x xy =，求导1e x x y -'=，令10exx y -'=>，解得：1x <， 即：当(0,1)x ∈时，e xxy =单调递增； 令10e xxy -'=<，解得：1x >， 即：当(1,)x ∈+∞时，e x xy =单调递减，1x ∴=为其极大值点，1emaxy =， 又0x →时，0y →；x →+∞时，0y →；画出其大致图像：欲使y a =-与e xxy =在0x >时有两个交点， 则1(0,)e a -∈，即1(,0)e a ∈-．故选：BD29．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）若函数()f x ，()g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，且()()()2sin cos f x g x x x +=+，则（ ） A ．()cos2f x x = B ．()sin 2g x x = C ．()()()()f g x g f x < D ．()()()()f g x g f x >【答案】BD【解析】∵函数f (x )，g (x )分别是R 上的偶函数、奇函数， ∵f (－x )＝ f (x )，g (－x )＝－g (x ) ∵f (x )＋g (x )＝(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，∵f (－x )＋g (－x )＝1－sin2x ，即f (x )－g (x )＝1－sin2x ， ∵g (x )＝sin2x ，f (x )＝1，∵f (g (x ))＝1，g (f (x ))＝sin2＜1，∵f (g (x ))＞g (f (x ))，所以选项B 、D 正确． 故选：BD ．30．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）定义一：关于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得在x D ∈时，()12kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数()f x ，关于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()f x 在[)0,x ∞+内有一个宽度为ε的通道，则称()f x 在正无穷处有永恒通道.则下列在正无穷处有永恒通道的函数为（ ）A ．()ln f x x =B ．()sin xf x x=C ．()f x =D ．()e xf x -=【答案】BCD【解析】()ln f x x =，单调递增，且无渐近线，故不存在一个实数0x ，使得函数()f x 在[)0,x ∞+内有一个宽度为ε的通道；()sin xf x x=随着x 的增大，函数值趋向于0，故对于任意给定的正数ε，存在一个实数0x ，使得函数()f x 在[)0,x ∞+内有一个宽度为ε的通道；()f x =x 的增大，函数值增大，有渐近线y x =±，故对于任意给定的正数ε，存在一个实数0x ，使得函数()f x 在[)0,x ∞+内有一个宽度为ε的通道；()e x f x -=随着x 的增大，函数值趋向于0，故对于任意给定的正数ε，存在一个实数0x ，使得函数()f x 在[)0,x ∞+内有一个宽度为ε的通道.故选：BCD31．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）对x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A ．x R ∀∈，[]1x x <+ B ．[]y x =，x ∈R 的奇函数C ．函数[]()y x x x R =-∈的值域为[)0,1D ．[][][],,x y R x y x y ∀∈+≤+恒成立【答案】ACD【解析】设{}x 是x 的小数部分，则由取整函数的定义知：[]{}x x x =+，当x 为整数时，{}0x =，则[]=x x ，当x 不为整数时，{}01x <<，则[]x x <，且[]1x x <+成立，即[][]1x x x ≤<+，A ，由取整函数的定义知： [][]1x x x ≤<+，所以x R ∀∈，[]1x x <+成立，故选A 正确；B ，当01x <时，[]0y x ==，当10x -<<时，[]1y x ==-，故[]y x =，x ∈R 不是奇函数，故B 错误；C ，由取整函数的定义知： [][]1x x x ≤<+，所以[]1x x x -<≤，[]01x x ∴≤-<，∴函数[]()y x x x R =-∈的值域为[)01，，故C 正确； D ，由取整函数的定义知： [],,x y R x x ∀∈≤，[]y y ≤，所以[][][][][]⎡⎤+=+≤+⎣⎦x y x y x y ，故D 正确． 故选：ACD ．32．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）函数e ()ln x f x x x x=+-，下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 有且仅有一个零点B ．1x =是函数()f x 的极值点C ．若()f x a ≥恒成立，则(],e 1a ∞∈--D ．若()()12f x f x =且12x x ≠，则121x x +>【答案】BCD【解析】因为e ()ln ,0xf x x x x x =+->所以22e e 1(1)(e )()1x x x x x x f x x x x ⋅---+'=-= 令()e ,0x h x x x =->，()e 10x h x '=-> 即函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1h x h >=所以()01f '=，当01x <<时，()0f x '<，()f x 在()0,1单调递减， 当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞单调递增 所以min ()(1)e 1f x f ==-，即()e 1f x ≥->0 所以()f x 无零点，则A 错误； 所以()f x 极值点为1x =，则B 正确； 若()f x a ≥恒成立，则e 1a ≤-，则C 正确； ln e ()ln e (ln )xx x f x x x x x x-=+-=--令ln t x x =-，()ln g x x x =-，1()1g x x'=-=0，1x = 当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>即函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()(1)1g x g ≥=， 即1t ≥，()e t f t t ∴=-当1t ≥，()e 10t f t '=->，()f t ∴在(1,)+∞单调递增 若12()()f x f x =，则12t t =，即1122ln ln x x x x -=-， 变形为：2121ln ln x x x x -=-，即21211ln ln x x x x -=-不妨设0a b >>，要证ln ln 2a b a b a b -+<-，即证21ln 1a a b a b b⎛⎫- ⎪⎝⎭<+ 令2(1)(1),()ln (1)1a t t t t t t b t ϕ-=>=->+，22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++ 所以函数()t ϕ在(1,)+∞单调递增，(1)0ϕ=，即2(1)ln 01t t t -->+恒成立 即ln ln 2a b a b a b -+<-恒成立，则2112211ln ln 2x x x x x x -+=<- 即1221x x +>>，故D 正确. 故选：BCD33．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）已知随机变量X 的取值为不大于n （n *∈N ）的非负整数，它的概率分布列为：其中i p （0,1,2,3,,i n =⋅⋅⋅）满足[]0,1i p ∈，01i i p ==∑．()E X 为随机变量X 的期望．定义由X 生成的函数()2012n n f x p p x p x p x =+++⋅⋅⋅+，()g x 为函数()f x 的导函数．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由生成的函数为()f x ，则（ ）A ．()10g p = B ．()011f p <+C ．()22524f =D ．()()1E X g =【答案】ACD【解析】四个面分别标有1，2，3，4个点数的正四面体型骰子，连续抛掷两次，向下点数之和为X 的取值为2,3,4,5,6,7,8，111(2)4416P X ==⨯=，111(3)2448P X ==⨯⨯=，113(4)34416P X ==⨯⨯=，111(5)4444P X ==⨯⨯=，113(6)34416P X ==⨯⨯=，111(7)2448P X ==⨯⨯=，111(8)4416P X ==⨯=，则X 的分布列为：由题知00p =，10p =，且生成的函数()2012nn f x p p x p x p x =+++⋅⋅⋅+，23456781131311()16816416816f x x x x x x x x ∴=++++++， 2345671335971()()8844882g x f x x x x x x x x '∴==++++++,对于A ，()100g p ==，故A 正确；对于B ，()0113131111116816416816f p =++++++==+，故B 不正确； 对于C ，()2345678113131122522222222168164168164f =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确； 对于D ，()11313112345678516816416816E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()1335971158844882g =++++++=，故D 正确. 故选：ACD34．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）若62a =，63b =，则下列不等关系正确的有（ ） A ．1ba> B ．14ab <C ．2212+<a b D ．1123b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】由62a =，63b =，得66log 2,log 3a b ==，所以666log 2log 3log 61a b +=+==， 对于A ，626log 3log 31log 2b a ==>，所以A 正确对于B ，因为66log 20,log 30a b =>=>，所以2266(log 2log 3)()1444a b ab ++≤==，因为a b ，所以等号不成立，所以14ab <，所以B 正确，对于C ，因为222a b ab +≥，所以222()122b a a b +≥=+，因为a b ，所以等号不成立，所以2212a b +>，所以C 错误， 对于D ，因为ln 2ln 3,ln 6ln 6a b ==， 所以11ln 6ln 3ln 63ln 2ln 63ln 3b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于ln 6ln 42ln 2ln 2>=，且ln 3ln 6ln 63ln 3+≥ln 3ln 6ln 63ln 3≠，所以等号不成立，所以ln 3ln 6ln 63ln 3+>所以11ln 6ln3ln 6223ln 2ln 63ln3b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+>⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1123b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ABD35．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）A B ．该椭圆的离心率为2C D ．该椭圆的焦距为1【答案】BC【解析】()sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 45︒+︒=︒︒+︒︒=如图，,A B 分别是椭圆的左､右顶点，1F 是椭圆的左焦点，BC 是圆的直径，D 为该圆的圆心.因为111,BD DF DF BC ==⊥，所以1BF设椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，则a c += 因为60,45,2,2A B BC AB a ∠∠====，由正弦定理得()22sin60sin 6045a=+，解得a =c a ==所以2c c a ===故选：BC36．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知函数()e e cos2x xf x x -=+-，若()()12f x f x >，则（ ） A ．()f x 为偶函数B ．()f x 在(),0∞-上为增函数C ．2212x x >D ．12e 1x x ->【答案】AC【解析】对A ，因为()()()e e cos 2e e cos2x x x xf x x x f x ---=+--=+-=，所以()f x 为偶函数，故A 正确；对B ，()e e 2sin2x xf x x -+'=-，当π02x <时，e e 0,2sin20x x x --，所以()0f x '，当π2x 时，ππ122e ee ee e 2,2sin22x xx ----->->-，所以()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-上为减函数，故B 错误；因为()()12f x f x >，所以()()12f x f x >，又因为()f x 在[)0,∞+上递增，所以12x x >，即2212x x >，故C正确；显然120x x ->不一定成立，则12e 1x x ->不成立，故D 错误. 故选：AC37．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）已知(cos ,sin ),(cos )a x x b x x ==，函数()f x a b =⋅，则下列选项正确的是（ ） A ．函数()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．将函数1sin 2y x =+图像上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将所得图像向左平移12π个单位长度，可得函数()f x 图像 C ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 在区间[0,2]π内所有零点之和为143π【答案】ABD【解析】2()cos cos f x a b x x x =⋅=+1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 对于A ，因为sin 21,16x，所以()13,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，将函数1sin 2y x =+图像上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得1sin 22y x =+，再将所得图像向左平移12π个单位长度， 得()11sin 2sin 212262y x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为30,662f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 不是奇函数，故C 错误； 对于D ，令()0f x =，则1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2266x k πππ+=-+或722,Z 66x k k πππ+=+∈， 所以6x k ππ=-+或,Z 2x k k ππ=+∈，因为[0,2]x π，所以56x π=或116π或2π或32π，所以函数()f x 在区间[0,2]π内所有零点之和为51131466223πππππ+++=，故D 正确. 故选：ABD.38．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）已知函数()22,21ln 1,1x x f x x x e +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()212)x x f x -（的取值可能是（ ） A ．3- B ．1-C ．0D ．2【答案】BC【解析】因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <，所以1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-， 从而()()211212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭． 令121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，则1()(1)1x g x x e x +'=+-+，(1,0]x ∈-． 因为(1,0]x ∈-，所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>， 所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立， 从而()g x 在(1,0]-上单调递增．又5(0)0,(1)2g g =-=-，所以5(),02g x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤- ⎥⎝⎦，故选：BC ．39．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知()()e 211x x f x x -=-，则下列结论正确的是（ ）A ．不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,1单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增C ．函数()f x 在定义域上有且仅有两个零点D ．若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是(]3,1,2-∞+⎪∞⎡⎫⎢⎣⎭【答案】AB【解析】对于A ，由()()e 2101x x f x x -=<-，得e (21)(1)0xx x --<，因为e 0x >，所以(21)(1)0x x --<，解得112x <<，所以不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以A 正确，对于B ，()f x 的定义域为{}0x x ≠，由()()e 211x x f x x -=-，得22212(1)(21)(23)()e e e 1(1)(1)x x x x x x x x f x x x x -----'=⋅+⋅=⋅---，令()0f x '>，得0x <或32x >，令()0f x '<，得01x <<或312x <<，所以()f x 在(,0)-∞和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，在(0,1)和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以B 正确，对于C ，令()()e 2101x x f x x -==-，得12x =，所以()f x 在定义域内有且只有一个零点，所以C 错误，对于D ，由选项B 可知()f x 在(,0)-∞和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，在(0,1)和31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，因数(0)1f =，3234e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当x 从1的左侧趋近于1时，()f x →-∞，当x 从1的右侧趋近于1时，()f x →+∞，所以()f x 的值域为32(,1]4e ,⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭，所以若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是32(,1]4e ,⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭，所以D 错误， 故选：AB40．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知函数()ex xf x =，过点(,)a b 作曲线()f x 的切线，下列说法正确的是（ ）A ．当00a b ==，时，有且仅有一条切线B ．当0a =时，可作三条切线，则240e b << C ．当2a =，0b >时，可作两条切线D ．当02a <<时，可作两条切线，则b 的取值范围为24e a -或e a a【答案】ABD【解析】对于A ，当00a b ==，时，点()0,0在函数()e x x f x =的图象上，1()e xxf x -'=，若点()0,0为切点，则切线斜率为(0)1k f '==，所以切线方程为y x =， 若点()0,0不为切点，设切点坐标为()00,x y ，所以00e =x x y ， 切线斜率为01e -=xyx x ，所以00x =，00y =，即切点为原点，所以00a b ==，时，有且仅有一条切线，故A正确；对于B ，设切点坐标为()00,x y ，所以000e =x x y ，1()ex x f x -'=， 则切线的斜率为001e x x k -=，切线方程为()00001e e --=-x x x x y x x ，当0a =时， ()000001e e --=-x x x x b x ，则020ex x b =，设()2e =x x g x ，则()()222e e --'==x x x x x x g x ， 当(),0∈-∞x 时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以0x =时()g x 有极小值，为()00g =，2x =时()g x 有极大值，为()242e =g ，0x >时 ()0e x xf x =>，画出()e xx f x =的图象，当0a =时，若做三条切线，则y b =与()e xxf x =的图象有3个交点，由图可得 240e b <<，故B 正确； 对于C ， 当2a =时，由切线方程得()0000012e e --=-x x x x b x ，则020022e -+=x x x b ，设()222e -+=x x x h x ，则()()222440e e ---+-'==≤x xx x x h x ，所以()h x 单调递减，且()()2110e-+=>xx h x ，如图，所以当2a =，0b >时，y b =与()222e -+=xx x h x 的图象有且只有一个交点，所以只能作一条切线，故C 错误；当02a <<时，由切线方程为()000001e e--=-x x x x y x x 得 ()000001e e --=-x x x x b a x ，则()02001e +-=x x x a b ，设()()21e +-=x x x a t x ，则()()()()2222e e +----'==x x a x x a x a x t x ， 因为02a <<，所以当(),2∈x a 时()0t x '>，()t x 单调递增， 所以当(),∈-∞x a 时()0t x '<，()t x 单调递减， 所以当()2,x ∈+∞时()0t x '<，()t x 单调递减， x a =时，()t x 有极小值为()()210e e +-==>aaa a aat a ， 2x =时，()t x 有极大值为()()22412420ee +--==>aat ， ()t x 的图象为若作两条切线，则b 的取值为24ea -或e a a，故D 正确.。

圆锥曲线小题一、选择题1．(2024年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为 ( )A B C D 【答案】A解析：因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =．故选：A2．(2024年高考全国乙卷理科)设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的随意一点P 都满意||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是 ( )A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C3．(2024年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p =+，解得6p．故选：C ．4．(2024年高考数学课标Ⅱ卷理科)设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 ( )A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 解析：2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B ．5．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = ( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A解析：5ca=，c ∴=，依据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．6．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( ) A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B解析：因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 依据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．7．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 ( )A ．4B C ．D ．【答案】A【解析】由2,a b c ====,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则2P y ==1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ． 8．(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设F 为双曲线:C 22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若PQ OF =，则C的离心率为()( )A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又∵||PQ OF c ==，∴||2c PA =， PA 为以OF 为直径的圆的半径，∴A 为圆心||2c OA =．∴,22c c P ⎛⎫⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，∴22244c c a +=，即222c a =，∴2222c e a==，∴2e =，故选A ．9．(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得8p =，故选D ．10．(2024年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B解析：如图，设2BF t =，则212,3AF t BF t ==，由12122AF AF BF BF a +=+=，可得12AF t =，12AF AF =，所以点A 为椭圆的上顶点或下顶点．在1ABF △中，由余弦定理可得2222129491cos 12sin 2323t t t BAF OAF t t +-∠=-∠==⨯⨯，)的左、右OP ，则C 的离心率为 ( )A B ．2CD【答案】C解析：法一：依据双曲线的对称性，不妨设过点2F 作渐近线by x a=的垂线，该垂线的方程为()a y x c b =--，联立方程()b y x aa y x cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P Pab y c ax c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由22116PF PF OP =⇒=222222266a ab ab a c a c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⇒++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得42222240a a c c a b -++=即()422222240a a c c a c a -++-= 即4223c a c =即223c a =，所以23e =，所以e =C ．法二：由双曲线的性质易知2PF b =，2OF c =，所以222OP c b a =-= 在2Rt POF ∆中，222cos PF bPF O OF c∠== 在12PF F ∆中，由余弦定理可得22221212212cos 2PF F F PF bPF O PF F F c+-∠==所以)222422b c bb cc+-=⋅，整理可得2222464b c a b =-=，即()222224633c a b c a -==-所以223c a =，所以e =C ．12．(2024年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13D ．14【答案】D解析：因为12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由余弦定理得1PF =，所以(2)P c ，而(,0)A a -，由已知AP k =，得4a c =，即14e =，故选D ．13．(2024年高考数学课标Ⅱ卷（理）)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>线方程为( ) A．y = B．y =C．y = D．y = 14．(2024年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线22:13x C y -=,O 为坐标原点，F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN ∆为直角三角形,则MN =( )A ．32B ．3C．D ．4【答案】B解析：双曲线22:13x C y -=的渐近线方程为：y x =，渐近线的夹角为：60，不妨设过()2,0F 的直线为：)2y x =-，则)2y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得3,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭;)23y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩解得：(3,N ，则3MN ==，故选B ．15．(2024年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ．过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN = ( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8【答案】D解析：抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，过点()2,0-且斜率为23的直线为：324y x =+，联立直线与抛物线2:4C y x =，消去x 可得：2680y y -+=，解得122,4y y ==，不妨()1,2M ，()4,4N ，()0,2FM =，()3,4FN =，则()()0,23,48FM FN ==，故选D ． 16．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点,过F 作两条相互垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于,A B 两点,直线2l 与C 交于,D E 两点,则AB DE +的是小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,3344(,),(,)D x y E x y ,直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满意22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥= 当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号．17．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆2222:1x y C a b+=，()0a b >>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A．3B．3C．3D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为原点，半径为R a =，该圆与直线20bx ay ab -+=相切所以圆心()0,0到直线20bx ay ab -+=的距离d R a ===，整理可得223a b =所以c e a ==3==，故选A ．18．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 ( ) A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】由渐近线的方程y x =，可设双曲线的方程为2245x y λ-= 又椭圆221123x y +=的焦点坐标为()3,0± 所以0λ>，且24531λλλ+=⇒=，故所求双曲线C 的方程为：22145x y -=，故选B ． 19．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线C:22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 ( )A ．2BCD．3【解析】解法一：常规解法依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，依据直线与圆的位置关系可求得圆心到=，解得2e =．解法二：待定系数法设渐进线的方程为y kx =∴=23k =；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =． 解法三：几何法从题意可知：112OA OO O A ===，1OO A ∆为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为3π由于tan k θ=，可得3k渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =． 解法四：坐标系转化法依据圆的直角坐标系方程：()2224x y -+=，可得极坐标方程4cos ρθ=，由4cos 2θ=可得极 角3πθ=，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以3k =渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =． 解法五：参数法之直线参数方程如上图，依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a =±，可以表示点A 的坐标为()2cos ,2sin θθ，∵ cos a c θ=，sin b c θ= ∴ 点A 的坐标为22,a b c c ⎛⎫⎪⎝⎭，代入圆方程中，解得2e =．20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A B 、分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】由题意,设直线l 的方程为()y k x a =+,分别令x c =-与0x =,得点()FM k a c =-,OE ka =,由△OBE ∽△CBM ,得12OE OB FM BC =,即2()ka ak a c a c=-+,整理得13c a =,所以椭圆的离心率13e =,故选A. 21．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为 ( ) A ．2 B ．32C ．3D ．2【答案】A【解析1】由题可令21|MF |=3,|MF |=1，则22a 所以1a ，248c ，所以2c ，所以2e故选Ａ．22．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点．已知42AB =，25DE =，则C 的焦点到准线的距离为 ( ) (A)2(B)4(C)6(D)8【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：设(0,22A x ，52p D ⎛-⎝， 点(0,22A x 在抛物线22ypx =上，∴082px =……①点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =． 故选B ．23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程222213-x y m n m n-=+错误!未指定书签。

2024年新高考新结构数学选填压轴好题汇编01一、单选题1.(2024·广东·高三统考阶段练习)在各棱长都为2的正四棱锥V -ABCD 中，侧棱VA 在平面VBC 上的射影长度为()A.263B.233C.3D.2【答案】B【解析】把正四棱锥V -ABCD 放入正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则V 是上底面的中心，取A 1B 1的中点E ，C 1D 1的中点F ，连接EF ，BE ，CF ，过A 作AG ⊥BE ，垂足为G ，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BC ⊥平面ABB 1A 1，AG ⊂平面ABB 1A 1，所以BC ⊥AG ，又BC ∩BE =B ，BC ,BE ⊂平面EFCB ，所以AG ⊥平面EFCB ，所以侧棱VA 在平面VBC 上的射影为VG ，由已知得，AA 1=2，EB =AA 21+AB 22=3，所以S △ABE =12×2×2=12×3⋅AG ，所以AG =223，所以VG =VA 2-AG 2=22-2232=233．故选：B ．2.(2024·广东·高三校联考开学考试)已知a =14，b =3e -1，c =2ln2-ln3，则()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a【答案】B【解析】令f x =e x -x 0<x <1 、g x =ln x +1-x 0<x <1 ，则f x =e x -1>0，故f x 在0,1 上为增函数，故f x >f 0 =1，e x >x +1，其中0<x <1，故e 13>13+1，即3e -1>13，故b >13；而13-2ln2+ln3=13-ln 43=133-ln 6427 =13ln 27×e 364>13ln 27×364>0，故13>2ln2-ln3=c ，故b >c ；又g x =1-xx>0，故g x 在0,1 上为增函数，故g x <g 1 =0，ln x +1-x <0，其中0<x <1，故ln 34+1-34<0，即则14<-ln 34=ln 43，故a <c ；故b >c >a .故选：B .3.(2024·广东·高三校联考开学考试)已知函数f x =2sin 2ωx +3sin2ωx ω>0 在0,π 上恰有两个零点，则ω的取值范围是()A.23,1B.1,53C.23,1D.1,53【答案】B【解析】由题意可得f (x )=2sin 2ωx +3sin2ωx =3sin2ωx -cos2ωx +1=2sin 2ωx -π6 +1.令2sin 2ωx -π6 +1=0，解得sin 2ωx -π6 =-12，因为0<x <π，所以-π6<2ωx -π6<2ωπ-π6.因为f (x )在(0,π)上恰有两个零点，所以11π6<2ωπ-π6≤19π6，解得1<ω≤53.故选：B .4.(2024·广东湛江·统考一模)已知ab >0，a 2+ab +2b 2=1，则a 2+2b 2的最小值为()A.8-227B.223C.34D.7-228【答案】A【解析】因为ab >0，得：a 2+2b 2≥22a 2b 2=22ab (当且仅当a =2b 时成立)，即得：ab ≤a 2+2b 222=24(a 2+2b 2)，则1=a 2+ab +2b 2≤a 2+2b 2+24(a 2+2b 2)=4+24(a 2+2b 2)，得：a 2+2b 2≥14+24=8-227，所以a 2+2b 2的最小值为8-227，故选：A .5.(2024·广东湛江·统考一模)在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B 和C 是正确选项，A 和D 是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件M =“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N =“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X =“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y =“甲、乙两人均未选择B 选项”，则()A.事件M 与事件N 相互独立B.事件X 与事件Y 相互独立C.事件M 与事件Y 相互独立D.事件N 与事件Y 相互独立【答案】C【解析】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，所以P M =C 14⋅C 13⋅C 12C 24⋅C 24=23，P N =C 24C 22C 24⋅C 24=16，P X =C 24C 24⋅C 24=16，P Y =C 23⋅C 23C 24⋅C 24=14，因为事件M 与事件N 互斥，所以P MN =0，又P M ⋅P N =19，所以事件M 与事件N 不相互独立，故A 错误；P XY =C 23C 24⋅C 24=112≠P X P Y =124，故B 错误；由P MY =C 13⋅C 12C 24⋅C 24=16=P M P Y ，则事件M 与事件Y 相互独立，故C 正确；因为事件N 与事件Y 互斥，所以P NY =0，又P Y ⋅P N =124，所以事件N 与事件Y 不相互独立，故D 错误.故选：C ．6.(2024·广东梅州·统考一模)如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =2，点P 是面ABB 1A 1上的动点，若点P 到点D 1的距离是点P 到直线AB 的距离的2倍，则动点P 的轨迹是( )的一部分A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】C【解析】由题意知，以D 为原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图空间直角坐标系，则A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,2)，设P 1,m ,n (m ,n >0)，所以PD 1=(-1,-m ,2-n )，因为P 到D 1的距离是P 到AB 的距离的2倍，所以PD 1=2n ，即-1 2+-m 2+2-n 2=4n 2，整理，得9n +23219-3m 219=1，所以点P 的轨迹为双曲线.故选：C7.(2024·广东深圳·统考一模)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 2的直线与双曲线E 的右支交于A ,B 两点，若AB =AF 1 ，且双曲线E 的离心率为2，则cos ∠BAF 1=()A.-378B.-34C.18D.-18【答案】D【解析】因为双曲线E 的离心率为2，所以c =2a ，因为AB =AF 1 ，所以BF 2 =AB -AF 2 =AF 1 -AF 2 =2a ，由双曲线的定义可得BF 1 -BF 2 =BF 1 -2a =2a ，所以BF 1 =4a =2BF 2 ，在△BF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠BF 2F 1=BF 22+F 1F 2 2-BF 1 22BF 2 ⋅F 1F 2 =4a 2+8a 2-16a 22×2a ×22a=-24，在△AF 1F 2中，cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =24，设AF 2 =m ，则AF 1 =m +2a ，由AF 1 2=F 1F 2 2+AF 2 2-2F 1F 2 AF 2 cos ∠F 1F 2A 得(2a +m )2=(22a )2+m 2-2⋅22a ⋅m ⋅24，解得m =23a ，所以AF 1 =8a3，所以cos ∠BAF 1=AF 12+AB 2-BF 122AF 1 ⋅AB=64a 29+64a 29-16a 22×8a 3×8a 3=-18.故选：D8.(2024·广东深圳·统考一模)已知数列a n 满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +2,n =2k -1-a n,n =2k(k ∈N ∗)，若S n 为数列a n 的前n 项和，则S 50=()A.624B.625C.626D.650【答案】C【解析】数列a n 中，a 1=a 2=1，a n +2=a n +2,n =2k -1-a n ,n =2k(k ∈N ∗)，当n =2k -1,k ∈N ∗时，a n +2-a n =2，即数列a n 的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，则a 1+a 3+a 5+⋯+a 49=25×1+25×242×2=625，当n =2k ,k ∈N ∗时，an +2a n=-1，即数列a n 的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为-1，则a 2+a 4+a 6+⋯+a 50=1×[1-(-1)25]1-(-1)=1，所以S 50=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 49)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 50)=626.故选：C9.(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知实数a ,b 分别满足e a =1.02，ln b +1 =0.02，且c =151，则()A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】D【解析】由e a =1.02，则a =ln1.02，令f x =ln x -2x -1x +1，x >1，则fx =1x -2x +1 -2x -1 x +1 2=x -1 2x x +12，则当x >1时，f x >0，故f x 在0,+∞ 上单调递增，故f 1.02 =ln1.02-21.02-1 1.02+1=ln1.02-2101>f 1 =0，即a =ln1.02>2101>2102=151=c ，即a >c ，由ln b +1 =0.02，则b =e 0.02-1，令g x=e x -ln 1+x -1，x >0，则g x =e x -1x +1，令h x =e x -1x +1，则当x >0时，h x =e x +1x +12>0恒成立，故g x 在0,+∞ 上单调递增，又g 0 =e 0-11=0，故g x >0恒成立，故g x 在0,+∞ 上单调递增，故g 0.02 =e 0.02-ln 1+0.02 -1>g 0 =0，即e 0.02-1>ln1.02，即b >a ，故c <a <b .故选：D .10.(2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为2c ，直线y =b a x+b2与椭圆C 交于点P ,Q，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22C.105,1 D.0,13【答案】C【解析】联立方程y =b a x +b 2x 2a2+y 2b2=1，消去y ，整理得8x 2+4ax -3a 2=0，则Δ=4a 2-4×8×-3a 2 =112a 2>0，设P ,Q 的横坐标分别为x 1,x 2，则x 1+x 2=-a 2，x 1⋅x 2=-3a 28，所以PQ =1+b a 2⋅x 1-x 2 =1+b a2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=a 2+b 2a2⋅a 24+3a 22=72a 2+b 2，由PQ ≤7c ，得72a 2+b 2≤7c ，整理得a 2+b 2≤4c 2，即a 2+a 2-c 2≤4c 2，即c 2a2≥25，又0<e <1，则e =c a ≥105，故105≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为105,1 .故选：C ．11.(2024·湖北武汉·统考模拟预测)如图，在函数f x =sin ωx +φ 的部分图象中，若TA =AB ，则点A 的纵坐标为()A.2-22B.3-12C.3-2D.2-3【答案】B【解析】由题意ωx +φ=3π2，则x =3π2ω-φω，所以T 3π2ω-φω,0 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，因为TA =AB，所以x2+3π2ω-φω2=x1y22=y1，解得x2=2x1-3π2ω+φωy2=2y1，所以2y1=y2=f x2=f2x1-3π2ω+φω=sin2ωx1-3π2+2φ=cos2ωx1+2φ=1-2sin2ωx1+φ=1-2y21，所以2y21+2y1-1=0，又由图可知y1>0，所以y1=3-1 2.故选：B.12.(2024·湖北武汉·统考模拟预测)在三棱锥P-ABC中，AB=22，PC=1，PA+PB=4，CA-CB=2，且PC⊥AB，则二面角P-AB-C的余弦值的最小值为()A.23B.34C.12D.105【答案】A【解析】因为PA+PB=4=2a，所以a=2，点P的轨迹方程为x24+y22=1(椭球)，又因为CA-CB=2，所以点C的轨迹方程为x2-y2=1，(双曲线的一支)过点P作PH⊥AB,AB⊥PC，而PH∩PC=P,PF,PC⊂面PHC，所以AB⊥面PHC，设O为AB中点，则二面角P-AB-C为∠PHC，所以不妨设OH=2cosθ,θ∈0,π2,PH=2sinθ,CH=4cos2θ-1，所以cos∠PHC=2sin2θ+4cos2θ-1-122sinθ4cos2θ-1=2cos2θ22sinθ4cos2θ-1=22⋅1-sin2θsinθ3-4sin2θ，所以cos 2∠PHC =12⋅1-sin 2θ 2sin 2θ3-4sin 2θ，令1-sin 2θ=t ,0<t <1，所以cos 2∠PHC =12⋅1-sin 2θ 2sin 2θ3-4sin 2θ =12⋅t 21-t 4t -1 ≥12⋅t 21-t +4t -122=29，等号成立当且仅当t =25=1-sin 2θ，所以当且仅当sin θ=155,cos θ=105时，cos ∠PHC min =23.故选：A .13.(2024·山东日照·统考一模)已知函数f x =2sin x -2cos x ，则()A.f π4+x=f π4-x B.f x 不是周期函数C.f x 在区间0,π2上存在极值D.f x 在区间0,π 内有且只有一个零点【答案】D【解析】对于A ，sin π4+x =sin π2-π4+x =cos π4-x ,cos π4+x =cos π2-π4+x =sin π4-x，所以f π4+x =2sin π4+x -2cos π4+x =-2sin π4-x -2cos π4-x =-f π4-x ，故A 错误；对于B ，f 2π+x =2sin 2π+x-2cos 2π+x=2sin x -2cos x =f x ，所以f x 是以2π为周期的函数，故B 错误；对于C ，由复合函数单调性可知y =2sin x ,y =2cos x 在区间0,π2上分别单调递增、单调递减，所以f x 在区间0,π2上单调递增，所以不存在极值，故C 错误；对于D ，令f x =2sin x -2cos x =0,x ∈0,π ，得2sin x =2cos x ，所以sin x =cos x ，即该方程有唯一解(函数f x在0,π 内有唯一零点)x =π4，故D 正确.故选：D .14.(2024·山东日照·统考一模)过双曲线x 24-y 212=1的右支上一点P ，分别向⊙C 1:(x +4)2+y 2=3和⊙C 2:(x-4)2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则PM +PN ⋅NM的最小值为()A.28B.29C.30D.32【答案】C【解析】由双曲线方程x 24-y 212=1可知：a =2,b =23,c =a 2+b 2=4，可知双曲线方程的左、右焦点分别为F 1-4,0 ，F 24,0 ，圆C 1:x +4 2+y 2=3的圆心为C 1-4,0 (即F 1)，半径为r 1=3；圆C 2:x -4 2+y 2=1的圆心为C 24,0 (即F 2)，半径为r 2=1．连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则MF 1⊥PM ,NF 2⊥PN ，可得PM +PN ⋅NM =PM +PN ⋅PM -PN =PM 2-PN 2=PF 1 2-r 21 -PF 2 2-r 22 =PF 1 2-3 -PF 2 2-1 =PF 1 2-PF 2 2-2=PF 1 -PF 2 ⋅PF 1 +PF 2 -2=2a PF 1 +PF 2 -2≥2a ⋅2c -2=2×2×2×4-2=30，当且仅当P 为双曲线的右顶点时，取得等号，即PM +PN ⋅NM的最小值为30.故选：C .15.(2024·福建福州·统考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，记g x =f x ．若g x -2 的图象关于点2,0 对称，且g 2x -g (-2x -1)=g (1-2x )，则下列结论一定成立的是()A.f x =f 2-xB.g x =g x +2C.2024n =1g (n )=0D.2024n =1f (n )=0【答案】C【解析】因为g x -2 的图象关于点2,0 对称，所以g x 的图象关于原点对称，即函数g x 为奇函数，则g 0 =0，又g 2x -g (-2x -1)=g (1-2x )，所以g 2x +g (2x +1)=-g (2x -1)，所以g t -1 +g (t )+g (t +1)=0，所以g t +g t +1 +g t +2 =0，所以g t -1 =g t +2 ，所以g t =g t +3 ，即g x =g x +3 ，所以3是g x 的一个周期.因为2024n =1g (n )=2024n =0g (n )=20253×[g (0)+g (1)+g (2)]=0，故C 正确；取符合题意的函数f x =cos 2π3x ，则g (x )=f x =-2π3sin 2π3x所以g 0 =0，又g (0+2)=-2π3sin 4π3=3π3=g (0)，故2不是g x 的一个周期，所以g x ≠g x +2 ，故B 不正确；因为f 1 =cos 2π3=-12不是函数f x 的最值，所以函数f x 的图象不关于直线x =1对称，所以f x ≠f 2-x ，故A 不正确；因为2024n =1f (n )=2024n =1cos2π3n =-1≠0，故D 不正确；故选：C .16.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)已知直线BC 垂直单位圆O 所在的平面，且直线BC 交单位圆于点A ，AB =BC =1，P 为单位圆上除A 外的任意一点，l 为过点P 的单位圆O 的切线，则()A.有且仅有一点P 使二面角B -l -C 取得最小值B.有且仅有两点P 使二面角B -l -C 取得最小值C.有且仅有一点P 使二面角B -l -C 取得最大值D.有且仅有两点P 使二面角B -l -C 取得最大值【答案】D【解析】过A 作AM ⊥l 于M ，连接MB 、MC ，如图所示，因为直线BC 垂直单位圆O 所在的平面，直线l 在平面内，且直线BC 交单位圆于点A ，所以AC ⊥l ，AM ,AC ⊂平面AMC ，AM ∩AC =A ，所以l ⊥平面AMC ，MC ,MB ⊂平面AMC ，所以l ⊥MC ，l ⊥MB ，所以∠BMC 是二面角B -l -C 的平面角，设∠BMC =θ，∠AMC =α，∠AMB =β，AM =t ，则θ=α-β，由已知得t ∈0,2 ，AB =BC =1，tan α=2t ，tan β=1t ，tan θ=tan α-β =tan α-tan β1+tan α⋅tan β=2t -1t 1+2t ⋅1t =t t 2+2，令f t =t t 2+2，则ft =1⋅t 2+2 -t 2t t 2+2 2=2+t 2-t t 2+22，当t ∈0,2 时，f t >0，f t 单调递增，当t ∈2,2 时，f t <0，f t 单调递减，f 2 =13>f 0 =0所以t ∈0,2 ，当t =2时，f t 取最大值，没有最小值，即当t =2时tan θ取最大值，从而θ取最大值，由对称性知当t =2时，对应P 点有且仅有两个点，所以有且仅有两点P 使二面角B -l -C 取得最大值．故选：D ．17.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)设F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点，以F 1为圆心且过F 2的圆与x 轴交于另一点P ，与y 轴交于点Q ，线段QF 2与C 交于点A ．已知△APF 2与△QF 1F 2的面积之比为3:2，则该椭圆的离心率为()A.23B.13-3C.3-1D.3+14【答案】B【解析】由题意可得F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，F 1F 2=2c ，则以F 1为圆心且过F 2的圆的方程为x +c 2+y 2=4c 2，令x =0，则y P =±3c ，由对称性，不妨取点Q 在x 轴上方，即P 0,3c ，则l QF 2:y -3c =3c -00-cx ，即y =-3x +3c ，有S △QF 1F 2=12×2c ×3c =3c 2，则S △APF 2=32×3c 2=332c 2，又S △APF 2=12y A ×4c =2cy A ，即有332c 2=2cy A ，即y A =334c ，代入l QF 2:y =-3x +3c ，有334c =-3x A +3c ，即x A =14c ，即A 14c ,334c在椭圆上，故14c2a 2+334c2b 2=1，化简得b 2c 2+27a 2c 2=16a 2b 2，由b 2=a 2-c 2，即有a 2-c 2 c 2+27a 2c 2=16a 2a 2-c 2 ，整理得c 4-44a 2c 2+16a 4=0，即e 4-44e 2+16=0，有e 2=44-442-4×162=22-613或e 2=44+442-4×162=22+613，由22+613>1，故舍去，即e 2=22-613，则e =22-613=13-3 2=13-3.故选：B .18.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)设a =sin0.2,b =0.16,c =12ln 32，则()A.a >c >bB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】D【解析】设f x =sin x -x -x 2 ,x ∈0,0.2 ,f x =cos x -1+2x ，设g x =f x ,g x =-sin x +2>0，所以g x ≥g 0 =0，所以函数f x 在0,0.2 上单调递增，所以f 0.2 =sin0.2-0.2-0.22 =sin0.2-0.16>f 0 =0，即a >b .根据已知得c =12ln 32=12ln 1.20.8=12ln 1+0.21-0.2，可设h x =12ln 1+x -ln 1-x -sin x ,x ∈ 0,0.2 ，则h x =1211+x +11-x -cos x =11-x 2-cos x >0，所以函数h x 在0,0.2 上单调递增，所以h 0.2 >h 0 =0，即c >a .综上，c >a >b .故选：D .19.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)对于无穷数列{a n }，给出如下三个性质：①a 1<0；②对于任意正整数n ,s ，都有a n +a s <a n +s ；③对于任意正整数n ，存在正整数t ，使得a n +t >a n 定义：同时满足性质①和②的数列为“s 数列”，同时满足性质①和③的数列为“t 数列”，则下列说法正确的是()A.若{a n }为“s 数列”，则{a n }为“t 数列”B.若a n =-12n，则{a n }为“t 数列”C.若a n =2n -3，则{a n }为“s 数列” D.若等比数列{a n }为“t 数列”则{a n }为“s 数列”【答案】C【解析】设a n =-2n -3，此时满足a 1=-2-3=-5<0，也满足∀n ,s ∈N ∗，a n +s =-2(n +s )-3,a n +a s =-2n -3-2s -3=-2(n +s )-6，即∀n ,s ∈N ∗，a n +s >a n +a s ，{a n }为“s 数列”，因为a n +t =-2(n +t )-3=-2n -2t -3=a n -2t <a n ，所以A 错误；若a n =-12 n ，则a n =-12 -1=-12<0，满足①，a n +1=-12 n +1，令-12 n +1>-12n，若n 为奇数，此时-12 n <0，存在t ∈N ∗，且为奇数时，此时满足-12 n +t >0>-12 n，若n 为偶数，此时-12 n >0，则此时不存在t ∈N ∗，使得-12 n +t >-12n，所以B 错误；若a n =2n -3，则a n =2-3=-1<0，满足①，∀n ,s ∈N ∗，a n +s =2(n +s )-3,a n +a s =2n -3+2s -3=2(n +s )-6，因为2(n +s )-3>2(n +s )-6，所以∀n ,s ∈N ∗，a n +s >a n +a s ，满足②，所以C 正确；不妨设a n =(-2)n ，满足a 1=-2<0，且∀n ∈N ∗，a n =(-2)n ，当n 为奇数，取t =1，使得a n +1=(-2)n +1>a n ；当n 为偶数，取t =2，使得a n +2=(-2)n +2>a n ，所以a n 为“t 数列”，但此时不满足∀n ,s ∈N ∗，a n +s >a n +a s ，不妨取n =1,s =2，则a 1=-2,a 2=4,a 3=-8，而a 1+2=-8<-2+4=a 1+a 2，则a n 为“s 数列”，所以D 错误.故选：C .20.(2024·江苏·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，有f x -f x >0，则“x <2”是“e x f x +1 >e 4f 2x -3 ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件【答案】A【解析】因为fx -f x >0，则f x -f x e x>0，令g x =f xex ，则g x >0，所以g x 在R 上单调递增.e xf x +1 >e 4f 2x -3 ⇔f x +1 e x +1>f 2x -3e 2x -3⇔g x +1 >g 2x -3⇔x +1>2x -3⇔x <4，所以“x <2”是“e x f x +1 >e x f 2x -3 ”的充分不必要条件，故选：A .21.(2024·江苏·统考模拟预测)离心率为2的双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与抛物线E :y 2=2px (p >0)有相同的焦点F ，过F 的直线与C 的右支相交于A ,B 两点.过E 上的一点M 作其准线l 的垂线，垂足为N ，若MN =3OF (O 为坐标原点)，且△MNF 的面积为122，则△ABF 1(F 1为C 的左焦点)内切圆圆心的横坐标为()A.14B.24C.22D.12【答案】D【解析】MN =3OF =3⋅p 2,x M +p 2=3p 2,∴x M =p .y 2M =2p 2,y M =2p ,S △MNF =12⋅3p 2⋅2p =122,p =4,F 2,0 ，双曲线中c =2,e =ca =2,∴a =1,b 2=3，双曲线：x 2-y 23=1.设直线AB :x =ty +2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,AF =m ,BF =n ，△ABF 1内切圆圆心为I ，所以m =x 1-22+y 21=x 21-4x 1+4+3x 2-3=2x 1-12=2x 1-1 =2x 1-1，同理n =2x 2-1，从而AB =m +n =2x 1+x 2 -2，由双曲线定义知AF 1 =m +2a =2x 1-1+2=2x 1+1，同理BF 1 =2x 2+1；接下来我们证明如下引理：三个不共线的点C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,E x 5,y 5 构成的三角形的内心坐标为GDE x 3+CE x 4+CD x 5DE +CE +CD,DE y 3+CE y 4+CD y 5DE +CE +CD，先来证明G 是三角形CDE 的内心当且仅当DE GC +CE GD +CD GE =0，若DE GC +CE GD +CD GE =0，则DE GC +CE GC +CD +CD GC +CE =0，则CG =CE CD DE +CE +CD CD CD +CECE，而由平行四边形法则可知CD CD +CECE与∠DCE 的角平分线共线，所以CG 经过三角形CDE 的内心，同理DG 经过三角形CDE 的内心，EG 经过三角形CDE 的内心，所以点G 是三角形CDE 的内心，由于上述每一步都是等价变形，反正亦然，所以G 是三角形CDE 的内心当且仅当DE GC +CE GD +CD GE =0，不妨设三角形CDE 的内心G x ,y ，则由DE GC +CE GD +CD GE =0得DE x 3-x +CE x 4-x +CD x 5-x =0，所以解得x =DE x 3+CE x 4+CD x 5DE +CE +CD ，同理y =DE y 3+CE y 4+CD y 5DE +CE +CD，从而GDE x 3+CE x 4+CD x 5DE +CE +CD,DE y 3+CE y 4+CD y 5DE +CE +CD，引理得证；由上述引理，即由内心坐标公式有x I =2x 2+1 x 1+2x 1+1 x 2-22x 1+x 2 -22x 2+1+2x 2+1+2x 1+x 2 -2=4x 1x 2-3x 1+x 2 +44x 1+x 2，联立x 2-y 23=1与AB :x =ty +2，整理并化简得3t 2-1 y 2+12ty +9=0，Δ=144t 2+363t 2-1 =36t 2+1 >0,y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1，所以x 1+x 2=t y 1+y 2 +4=t ⋅-12t 3t 2-1+4=-43t 2-1，x 1x 2=ty 1+2 ty 2+2 =t 2y 1y 2+2t y 1+y 2 +4=t 2⋅93t 2-1+2t ⋅-12t 3t 2-1+4=-3t 2-43t 2-1，所以x I =4x 1x 2-3x 1+x 2 +44x 1+x 2=-12t 2-163t 2-1+123t 2-1+4-163t 2-1=12，△ABF 1内切圆圆心在直线x =12上.故选：D .22.(2024·云南昆明·统考模拟预测)已知函数f x =x -1 e x +a 在区间-1,1 上单调递增，则a 的最小值为()A.e -1B.e -2C.eD.e 2【答案】A【解析】由题意得f x ≥0在-1,1 上恒成立，f x =e x +a +x -1 e x =xe x +a ，故xe x +a ≥0，即a ≥-xe x ，令g x =-xe x ，x ∈-1,1 ，则g x =-e x -xe x =-x +1 e x <0在x ∈-1,1 上恒成立，故g x =-xe x 在x ∈-1,1 上单调递减，故g x >g -1 =e -1，故a ≥e -1，故a 的最小值为e -1.故选：A23.(2024·湖南·高三校联考开学考试)已知函数f x =x -a exx +1的定义域为0,4 ，若f x 是单调函数，且f x 有零点，则a 的取值范围是()A.0,4B.0,3C.0,2D.0,e【答案】B【解析】因为f x 有零点，所以方程f x =0有解，即x -a =0在0,4 上有解，所以a ∈0,4 ．又由f x =x -a exx +1可得：fx =x 2+1-a x +1x +12e x．因为f x 是单调函数，所以函数g x =x 2+1-a x +1≥0在0,4 上恒成立或g x =x 2+1-a x +1≤0在0,4 上恒成立．因为g 0 =1>0，所以g x =x 2+1-a x +1≤0在0,4 上不可能恒成立．即函数g x =x 2+1-a x +1≥0在0,4 上恒成立，即x +1x+1-a ≥0在0,4 上恒成立．因为x +1x+1-a ≥3-a (当且仅当x =1时，等号成立)，故须使3-a ≥0，解得a ≤3．综上，a 的取值范围是0,3 ．故选：B .24.(2024·山东·高三山东省实验中学校考开学考试)双曲线M :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右顶点分别为A ,B ，曲线M 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则当mn +9mn 取到最小值时，双曲线离心率为()A.3 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】设A (-a ,0),B (a ,0),C (x ,y ),D (x ,-y )，则m =k AC =y x +a ，n =k BD =-y x -a ，所以mn =-y 2x 2-a2，将曲线方程x 2-a 2a 2=y 2b 2代入得mn =-b 2a2，又由均值定理得mn +9mn =mn +9mn ≥2mn ×9mn =6，当且仅当mn =9mn ，即mn =b 2a 2=3时等号成立，所以离心率e =1+b 2a2=2，故选：D .二、多选题25.(2024·广东·高三统考阶段练习)若过点(a ,b )可作曲线f (x )=x 2ln x 的n 条切线(n ∈N )，则()A.若a ≤0，则n ≤2B.若0<a <e -32，且b =a 2ln a ，则n =2C.若n =3，则a 2ln a <b <2ae -32+12e -3D.过e -32,-6 ，仅可作y =f (x )的一条切线【答案】ABD【解析】设切点x 0,x 20ln x 0 ，则f x 0 =2x 0ln x 0+x 0，切线为y -x 20ln x 0=2x 0ln x 0+x 0 x -x 0 ，代入(a ,b )整理得2x 0ln x 0+x 0 a -x 20ln x 0-x 20-b =0，令g (x )=(2x ln x +x )a -x 2ln x -x 2-b ，g (x )=(2ln x +3)a -2x ln x -3x =(2ln x +3)⋅(a -x )，令g(x )=0得x 1=a ,x 2=e -32．当a ≤0时，x ∈0,e-32，g (x )>0，所以g (x )在0,e -32上单调递增，x ∈e -32,+∞ ，g(x )<0，所以在e -32,+∞ 上单调递减，g e-32=-2a ⋅e-32+12⋅e -3-b ，在0,+∞ 两侧均有可能为负，同时极大值可能为正，所以g (x )至多有2个零点，故A 正确；当a ∈0,e -32时，x ∈(0,a )和x ∈e -32,+∞ 时，g(x )<0，所以g (x )在(0,a ),e -32,+∞ 上单调递减，x ∈a ,e-32，g(x )>0，所以g (x )在a ,e -32上单调递增，g (a )=a 2ln a -b ，g e-32=-2ae-32+12⋅e -3-b ，当b =a 2ln a 时，g (a )=0，所以g e -32>0，结合图象，值域为-∞,-2ae -32+12⋅e -3-b，所以n =2，B 正确；若n =3，则g (a )<0<g e -32，即a 2ln a <b <-2ae -32+12e -3，同理当a >e -32时，g e -32 <0<g (a )，即-2ae -32+12e -3<b <a 2ln a ，C 错误；若a =e-32时，g (x )≤0，g (x )单调递减；结合图象，g (x )∈-∞,b ，则当-b >0时，g (x )有1个零点，即b <0，D 正确．故选：ABD .26.(2024·广东·高三校联考开学考试)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=4，E 是棱BB 1上的一点，点F 在棱DD 1上，则下列结论正确的是()A.若A 1，C ，E ，F 四点共面，则BE =DFB.存在点E ，使得BD ⎳平面A 1CEC.若A 1，C ，E ，F 四点共面，则四棱锥C 1-A 1ECF 的体积为定值D.若E 为BB 1的中点，则三棱锥E -A 1CC 1的外接球的表面积是32π【答案】BCD【解析】对A ，由A 1,C ,E ,F 四点共面，得CF ⎳A 1E ，则DF =B 1E ，若E 不是棱BB 1的中点，则BE ≠DF ，故A 错误.对B ，当E 是棱BB 1的中点时，取A 1C 的中点G ，连接GE ,B 1D ，则G 为B 1D 的中点.因为E 为BB 1的中点，则GE ⎳BD .因为GE ⊂平面A 1CE ,BD ⊄平面A 1CE ，所以BD ⎳平面A 1CE ，则B 正确.根据长方体性质知BB 1⎳CC 1，且CC 1⊂平面A 1CC 1，BB 1⊄平面A 1CC 1，所以BB 1⎳平面A 1CC 1，同理可得DD 1⎳平面A 1CC 1，则点E ，F 到平面A 1CC 1的距离为定值，又因为△A 1CC 1的面积为定值，所以三棱锥E -A 1CC 1和三棱锥F -A 1CC 1的体积都为定值，则四棱锥C 1-A 1ECF 的体积为定值，故C 正确.取棱CC 1的中点O 1，由题中数据可得CE =C 1E =22,CC 1=4，则CE 2+C 1E 2=CC 12，所以△CC 1E 为等腰直角三角形，所以O 1是△CC 1E 外接圆的圆心，△CC 1E 外接圆的半径r =2.设三棱锥E -A 1CC 1的外按球的球心为O ，半径为R ，设OO 1=d ，则R 2=d 2+r 2=O 1B 21+A 1B 1-d 2=8+(2-d )2，即d 2+4=8+(2-d )2，解得d =2，则R 2=8，此时O 点位于DD 1中点，从而三棱锥E -A 1CC 1的外接球的表面积是4πR 2=32π，故D 正确.故选：BCD .27.(2024·广东·高三校联考开学考试)已知函数f x 的定义域为R ，且f x -1 +f x +1 =0，f 1-x =f x +5 ，若f 52=1，则()A.f x 是周期为4的周期函数B.f x 的图像关于直线x =1对称C.f x 是偶函数D.f 12 +2f 32 +3f 52 +⋯+30f 592=-31【答案】ABD【解析】对A ，因为f (x -1)+f (x +1)=0，所以f (x +1)+f (x +3)=0，所以f (x -1)=f (x +3)，即f (x )=f (x +4)，所以f (x )是周期为4的周期函数，则A 正确.对B ，因为f (1-x )=f (x +5)，所以f (1-x )=f (x +1)，所以f (x )的图象关于直线x =1对称，则B 正确.对C ，因为f 52 =1，所以f -32 =1.令x =32，得f 12 +f 52 =0，则f 12=-1.因为f (x )的图象关于直线x =1对称，所以f 32 =f 12 =-1，则f 32 ≠f -32，从而f (x )不是偶函数，则C 错误.对D ，由f (x )的对称性与周期性可得f 12 =f 32 =-1,f 52 =f 72=1，则f 12 +2f 32 +3f 52 +⋯+30f 592 =7(-1-2+3+4)-29-30=-31，故D 正确.故选：ABD .28.(2024·广东湛江·统考一模)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB =2BB 1=4，BC =3，M ,N 分别为BB 1和CC 1的中点，P 为棱B 1C 1上的一点，且PC ⊥PM ，则下列选项中正确的有()A.三棱柱ABC -A 1B 1C 1存在内切球B.直线MN 被三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球截得的线段长为13C.点P 在棱B 1C 1上的位置唯一确定D.四面体ACMP 的外接球的表面积为26π【答案】ABD【解析】对于A ，取棱AA 1中点Q ，连接MQ ,NQ ，若三棱柱ABC -A 1B 1C 1存在内切球，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1内切球球心即为△MNQ 的内切圆圆心，∵△MNQ 的内切圆半径即为△ABC 的内切圆半径，又AB ⊥BC ，AB =4，BC =3，∴AC =5，∴△ABC 的内切圆半径r =2S △ABCAB +BC +AC=2×12×4×34+3+5=1，即△MNQ 的内切圆半径为1，又平面ABC 、平面A 1B 1C 1到平面MNQ 的距离均为1，∴三棱柱ABC -A 1B 1C 1存在内切球，内切球半径为1，A 正确；对于B ，取AC 中点G ，NQ 中点O ，MN 中点H ，连接BG ,OG ,OH ,B 1C ,OB 1，∵AB ⊥BC ，∴G 为△ABC 的外接圆圆心，又OG ⎳AA 1⎳BB 1，BB 1⊥平面ABC ，∴O 为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的球心；∵BB 1⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴BB 1⊥AB ，又AB ⊥BC ，BB 1∩BC =B ，BB 1,BC ⊂平面BCC 1B 1，∴AB ⊥平面BCC 1B 1，∵OH ⎳MQ ⎳AB ，∴OH ⊥平面BCC 1B 1，∴H 为四边形BCC 1B 1的外接圆圆心，∵四边形BCC 1B 1为矩形，∴直线MN 被三棱柱ABC -A 1B 1C 1截得的线段长即为矩形BCC 1B 1的外接圆直径，∵B 1C =BC 2+BB 21=9+4=13，∴直线MN 被三棱柱ABC -A 1B 1C 1截得的线段长为13，B 正确；对于C ，在平面中作出矩形BCC 1B 1，设C 1P =m 0≤m ≤3 ，则B 1P =3-m ，∴PC 2=4+m 2，MP 2=1+3-m 2，MC 2=32+12=10，又PC ⊥PM ，∴PC 2+PM 2=MC 2，即4+m 2+1+3-m 2=10，解得：m =1或m =2，∴P 为棱B1C 1的三等分点，不是唯一确定的，C 错误；对于D ，取MC 中点S ，∵PC ⊥PM ，∴S 为△PCM 的外接圆圆心，且BS =12MC =1232+12=102，则四面体ACMP 的外接球球心O 在过S 且垂直于平面PCM 的直线上，∵AB ⊥平面PCM ，∴O S ⊥平面PCM ，设O S =a ，四面体ACMP 的外接球半径为R ，∴R 2=102 2+a 2=102 2+4-a 2，解得：a =2，R 2=132，∴四面体ACMP 的外接球表面积为4πR 2=26π，D 正确.故选：ABD .29.(2024·广东梅州·统考一模)如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n n =2,3,⋅⋅⋅,9 的不同路线条数记为r n ，从1移动到9的事件中，跳过数字n n =2,3,⋅⋅⋅,8 的概率记为p n ，则下列结论正确的是()A.r 6=8B.r n +1>r nC.p 5=934D.p 7>p 8【答案】ABD【解析】画出树状图，结合图形结合树状图可知：r 2=1,r 3=2,r 4=3,r 5=5,r 6=8,r 7=13,r 8=21,r 9=34，对于选项A ：可知r 6=8，故A 正确；对于选项B ：均有r n +1>r n ，故B 正确；对于选项C ：因为r 9=34，过数字5的路线有5条，所以p 5=1-r 5r 9=2934，故C 错误；对于选项D ：因为p 7=1-r 7r 9=2134,p 8=1-r 8r 9=1334，所以p 7>p 8，故D 正确；故选：ABD .30.(2024·广东梅州·统考一模)已知函数f x =e sin x -e cos x ，则下列说法正确的是()A.f x 的图象关于直线x =π4对称 B.f x 的图象关于点π4,0中心对称C.f x 是一个周期函数 D.f x 在区间0,π 内有且只有一个零点【答案】BCD【解析】AB 选项，f x 的定义域为R ，f π2-x =e sin π2-x -e cos π2-x =e cos x -e sin x =-f x ，所以f x 关于点π4,0 中心对称，A 选项错误，B 选项正确.C 选项，f x +2π =esin x +2π-ecos x +2π=e sin x -e cos x =f x ，所以f x 是周期函数，C 选项正确.D 选项，令f x =e sin x -e cos x =0得e sin x =e cos x ，所以sin x =cos x ，在区间0,π 上，解得x =π4，所以f x 在区间0,π 内有且只有一个零点，所以D 选项正确.故选：BCD31.(2024·广东深圳·统考一模)如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B ,C ,D ,E 在同一个平面内．若点M 在四边形BCDE 内(包含边界)运动，N 为AE 的中点，则()A.当M 为DE 的中点时，异面直线MN 与CF 所成角为π3B.当MN ∥平面ACD 时，点M 的轨迹长度为22C.当MA ⊥ME 时，点M 到BC 的距离可能为3D.存在一个体积为103的圆柱体可整体放入Ω内【答案】ACD 【解析】因为BCDE 为正方形，连接BD 与CE ，相交于点O ，连接OA ，则OD ，OE ，OA 两两垂直，故以OD ,OE ,OA 为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，D (22,0,0)，B (-22,0,0)，E (0,22,0)，C (0,-22,0)，A (0,0,22)，F (0,0,-22)，N 为AE 的中点，则N (0,2,2).当M 为DE 的中点时，M (2,2,0)，MN =-2,0,2 ，CF =0,22,-22 ，设异面直线MN 与CF 所成角为θ，cos θ=cos MN ,CF =MN ⋅CFMN CF=0+0-4 2×4=12，θ∈0,π2 ，故θ=π3，A 正确；设P 为DE 的中点，N 为AE 的中点，则PN ∥AD ，AD ⊂平面ACD ，PN ⊄平面ACD ，则PN ∥平面ACD ，又MN ∥平面ACD ，又MN ∩PN =N ，设Q ∈BC ，故平面MNP ∥平面ACD ，平面ACD ∩平面BCDE =CD ，平面MNP ∩平面BCDE =PQ ，则PQ ∥CD ，则Q 为BC 的中点，点M 在四边形BCDE 内(包含边界)运动，则M ∈PQ ，点M 的轨迹是过点O 与CD 平行的线段PQ ，长度为4，B 不正确；当MA ⊥ME 时，设M (x ,y ,0)，MA =(-x ,-y ,22)，ME =(-x ,22-y ,0)，MA ⋅ME=x 2+y (y -22)=0，得x 2+y 2-22y =0，即x 2+(y -2)2=2，即点M 的轨迹以OE 中点K 为圆心，半径为2的圆在四边BCDE 内(包含边界)的一段弧(如下图)，K 到BC 的距离为3，弧上的点到BC 的距离最小值为3-2，因为3-2<3，所以存在点M 到BC 的距离为3，C 正确；由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥A -BCDE 内接最大圆柱的体积，设圆柱底面半径为r ，高为h ，P 为DE 的中点，Q 为BC 的中点, PQ =4，AO =22，根据△AGH 相似△AOP ，得GH OP =AG AO ，即r 2=22-h22，h =2(2-r )，则圆柱体积V =πr 2h =2πr 2(2-r )，设V (r )=2π(2r 2-r 3)(0<r <2)，求导得V (r )=2π(4r -3r 2)，令V (r )=0得，r =43或r =0，因为0<r <2，所以r =0舍去，即r =43，当0<r <43时，V (r )>0，当43<r <2时，V (r )<0，即r =43时V 有极大值也是最大值，V 有最大值32227，32227-53=962-13527=962×2-135227=18432-1822527>0，故32227>53所以存在一个体积为10π3的圆柱体可整体放入Ω内，D 正确.故选：ACD .32.(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知函数f x =A tan ωx +φ (ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则()A.ω⋅φ⋅A =π6B.f x 的图象过点11π6,233C.函数y =f x 的图象关于直线x =5π3对称D.若函数y =f x +λf x 在区间-5π6,π6 上不单调，则实数λ的取值范围是-1,1【答案】BCD【解析】A ：设该函数的最小正周期为T ，则有T =πω=π6--5π6 ⇒ω=1，即f x =A tan x +φ ，由函数的图象可知：π6+φ=π2⇒φ=π3，即f x =A tan x +π3，由图象可知：f 0 =A tan π3=23⇒A =2，所以ω⋅φ⋅A =2π3，因此本选项不正确；B ：f 11π6 =2tan 11π6+π3 =2tan 13π6=2tan π6=2×33=233，所以本选项正确；C ：因为f 5π3-x =2tan 5π3-x +π3=2tan x ，f 5π3+x =2tan 5π3+x +π3=2tan x ，所以f 5π3-x =f 5π3+x ，所以函数y =f x 的图象关于直线x =5π3对称，因此本选项正确；D ：y =f x +λf x =2tan x +π3 +2λtan x +π3当x ∈-π3,π6 时，y =f x +λf x =2tan x +π3 +2λtan x +π3 =2tan x +π3 +2λtan x +π3 =2+2λ tan x +π3 ，当x ∈-5π6,-π3，y =f x +λf x =2tan x +π3 +2λtan x +π3 =-2tan x +π3 +2λtan x +π3=-2+2λ tan x +π3，当函数y =f x +λf x 在区间-5π6,π6上不单调时，则有2+2λ -2+2λ ≤0⇒-1≤λ≤1，故选：BCD33.(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1∼10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进n 步的概率为p n ，则下列说法正确的是()A.p 2=14B.p n =12p n -1+12p n -2n ≥3 C.p n =1-12p n -1n ≥2 D.小华一共前进3步的概率最大【答案】BC【解析】根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是12，所以P 1=12，P 2=12×12+12=34，故选项A错误；当n≥3时，其前进几步是由两部分组成：先前进n-1步，再前进1步，其概率为12p n-1，或者先前进n-2步，再前进2步，其概率为12p n-2，所以p n=12p n-1+12p n-2n≥3，故选项B正确；因为p n=12p n-1+12p n-2n≥3，所以2p n+p n-1=2p n-1+p n-2n≥3，而2p2+p1=2×34+12=2，所以2p n+p n-1=2n≥2，即p n=1-12p n-1n≥2，故选项C正确；因为当n≥2时，p n=1-12p n-1，所以p n-23=-12p n-1-23，又p1-23=12-23=-16，所以数列p n-23是首项为-16，公比为-12的等比数列.所以P n-23=-16×-12n-1，所以P n=23-16×-12n-1.当n为奇数时，n-1为偶数，则P n=23-16×12n-1，此时数列p n 单调递增，所以P n<23；当n为偶数时，n-1为奇数，则P n=23+16×12n-1，此时数列p n 单调递减，所以P n≤P2=3 4；综上，当n=2时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误.故选：BC34.(2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考一模)在三棱锥A-BCD中，AD=BC=4，AB=BD=DC=CA=6，M为BC的中点，N为BD上一点，球O为三棱锥A-BCD的外接球，则下列说法正确的是()A.球O的表面积为11πB.点A到平面BCD的距离为14C.若MN⊥AB，则DN=6NBD.过点M作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2【答案】BCD【解析】由AD=BC=4，AB=BD=DC=CA=6，可将三棱锥A-BCD补形成如图所示的长方体，设BF=x,BE=y,AE=z，则x2+y2=16z2+y2=36x2+z2=36，解得x=22y=22z=27，即AE=27，EB=BF=22，所以球O的半径为272+222+2222=11，所以球O的表面积为44π，故A错误.由题得长方体为正四棱柱，AB=AC=BD=CD，M为BC的中点，故AM⊥BC,DM⊥BC,又AM∩DM=M,AM,DM⊂平面AMD，则BC⊥平面AMD，又BC⊂平面BCD，故平面BCD⊥平面AMD，平面BCD∩平面AMD=MD，过点A作MD的垂线，交MD于H，则AH⊥平面BCD,故AH为点A到平面BCD的距离.在△AMD中，AM=MD=42，AD=4，故cos ∠ADH =16+32-322×4×42=122,sin ∠ADH =722，则AH =4×722=14，故B 正确.以E 为原点，EB ，EC ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A 0,0,27 ,D 22,22,27 ，B 22,0,0 ，M 2,2,0 ，AB =22,0,-27 ，BD =0,22,27 .设BN =λBD=0,22λ,27λ ，所以MN =MB +BN=2,-2,0 +0,22λ,27λ =2,22λ-2,27λ ，因为MN ⊥AB ，所以MN ⋅AB=22×2-27×27λ=0，解得λ=17，所以DN =6NB ，故C 正确.当且仅当OM 与截面垂直时，截面面积最小，由A 解析知：最小的半径为11-7=2，故D 正确.故选：BCD35.(2024·湖北武汉·统考模拟预测)已知函数f x =a e x +1 ln 1+x 1-x-e x+1恰有三个零点，设其由小到大分别为x 1,x 2,x 3，则()A.实数a 的取值范围是0,1eB.x 1+x 2+x 3=0C.函数g x =f x +kf -x 可能有四个零点D.f ′x 3 f ′x 1=e x3【答案】BCD【解析】对于B ，f x =0⇔a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1=0，设h x =a ln 1+x 1-x +1-e xe x +1，则它的定义域为-1,1 ，它关于原点对称，且h -x =a ln 1-x 1+x +1-e -x e -x +1=-a ln 1+x 1-x +1-e xe x +1=-h x ，所以h x 是奇函数，由题意h x =0有三个根x 1,x 2,x 3，则x 1+x 2+x 3=0，故B 正确；对于C ，由f x +kf -x =0⇒a e x +1 ln 1+x 1-x -e x +1+a e -x +1 ln 1-x 1+x -e -x +1 =0，所以a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1+k a ln 1+x 1-x e x -1-e x e x1+e x=0，所以a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1=k e x a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1，即a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1 1-k e x=0已经有3个实根x 1,x 2,x 3，当k >0时，令1-kex =0，则x =ln k ，只需保证ln k ≠x 1,x 2,x 3可使得方程有4个实根，故C 正确；由B 可知，x 1=-x 3，而f x 3 f x 1=e x 3⇔f x 3 =e x3f -x 3 ，又f x =ae x ln 1+x 1-x +a e x +1 21-x 2-e x ,e x 3f-x 3 =a ln 1-x 31+x 3+a e x 3+1 21-x 23-1，所以f x 3 =ae x 3ln 1+x 31-x 3+a e x 3+1 21-x 23-ex3。

二轮复习专题-选填综合-逻辑推理与应用题一．选择题（共24小题）1．（2017•丰台区一模）一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c ．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是( )A ．aB ．bC ．cD ．d2．（2018•西城区一模）某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：)s 依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是( ) A ．U V W →→ B ．V W U →→ C ．W U V →→ D ．U W V →→3．（2012•昌平区二模）爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为1v ，下山的速度为212()v v v ≠，乙上下山的速度都是122v v +（甲、乙两人中途不停歇），则甲、乙两人上下山所用的时间1t ，2t 的关系为( ) A ．12t t > B ．12t t < C ．12t t =D ．不能确定4．（2019•东城区二模）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离； 车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数． 一般的，V 和K 满足一个线性关系，即00(1)KV v k =-（其中0v ，0k 是正数），则以下说法正确的是( )A．随着车流密度增大，车流速度增大B．随着车流密度增大，交通流量增大C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小5．（2019•海淀区一模）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有()A．8种B．10种C．12种D．14种6．（2019•丰台区一模）某电动汽车“行车数据”的两次记录如表：0.126（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，=累计耗电量平均耗电量累计里程，剩余续航里程)=剩余电量平均耗电量下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是() A．等于12.5B．12.5到12.6之间C．等于12.6D．大于12.67．（2016•海淀区一模）某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示，若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是( )A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作8．（2017•海淀区二模）已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1x ，2x ，3x ，4x ，大圆盘上所写的实数分别记为1y ，2y ，3y ，4y ，如图所示．将小圆盘逆时针旋转(1i i =，2，3，4)次，每次转动90︒，记(1i T i =，2，3，4)为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++．若12340x x x x +++<，12340y y y y +++<，则以下结论正确的是( )A ．1T ，2T ，3T ，4T 中至少有一个为正数B ．1T ，2T ，3T ，4T 中至少有一个为负数C ．1T ，2T ，3T ，4T 中至多有一个为正数D ．1T ，2T ，3T ，4T 中至多有一个为负数9．（2017•西城区二模）有三支股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是( ) A ．7 B ．6C ．5D ．410．（2018•保定二模）中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为a ，b ，(c a b c >>，且a ，b ，*)c N ∈；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是( ) A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名11．（2017•丰台区二模）血药浓度()PlasmaConcentration 是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是( )①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2018•东城区二模）A，B，C，D四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的I型、II型零件数，则下列说法错误的是( )A．四个工人中，D的日生产零件总数最大B．A，B日生产零件总数之和小于C，D日生产零件总数之和C．A，B日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和D．A，B，C，D日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和13．（2019•西城区一模）团体购买公园门票，票价如表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为() A．20B．30C．35D．4014．（2019•延庆区一模）5名运动员参加一次乒乓球比赛，每2名运动员都赛1场并决出胜负．设第i 位运动员共胜i x 场，负i y 场(1i =，2，3，4，5)，则错误的结论是( ) A ．1234512345x x x x x y y y y y ++++=++++B ．22222222221234512345x x x x x y y y y y ++++=++++ C ．12345x x x x x ++++为定值，与各场比赛的结果无关D ．2222212345x x x x x ++++为定值，与各场比赛结果无关15．（2019秋•昌平区期末）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给A ，B ，C ，D 四个派送点准备某种商品各50个．根据平台数据中心统计发现，需要将发送给A ，B ，C ，D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品．为完成调整，则( )A ．最少需要16次调动，有2种可行方案B ．最少需要15次调动，有1种可行方案C ．最少需要16次调动，有1种可行方案D ．最少需要15次调动，有2种可行方案16．（2020•平谷区一模）在声学中，声强级L （单位：)dB 由公式1210()10I L lg -=给出，其中I 为声强（单位：2/)W m ．160L dB =，275L dB =，那么12(II = )A ．4510 B ．4510-C ．32-D ．3210-17．（2019秋•海淀区校级期末）某企业为激励员工创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) A ．2022年 B ．2023年 C ．2024年 D ．2025年18．（2019秋•海淀区期末）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为( )（参考数据20.3010lg ≈，30.477)lg ≈A ．734.510⨯秒B ．654.510⨯秒C ．74.510⨯秒D ．28秒19．（2017•西城区一模）将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m ，则m 的最大值为( ) A ．8 B ．9C ．10D ．1120．（2017•蚌埠三模）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是( ) A ．可能有两支队伍得分都是18分B ．各支队伍得分总和为180分C ．各支队伍中最高得分不少于10分D ．得偶数分的队伍必有偶数个21．（2019•东城区一模）某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，70%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值） 最高可能为( )A ．68%B ．88%C ．96%D ．98%22．（2018•东城区一模）某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．123．（2019•丰台区一模）在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若ABC 是格点三角形，其中(0,0)A ，(4,0)B ，且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为( ) A ．6 B ．8C ．10D ．1224．（2019•丰台区二模）某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车( ) A ．12辆 B ．11辆C ．10辆D ．9辆二．填空题（共6小题）25．（2019•西城区二模）因市场战略储备的需要，某公司1月1日起，每月1日购买了相同金额的某种物资，连续购买了4次．由于市场变化，5月1日该公司不得不将此物资全部卖出．已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格（单位：万元）的可能变化情况是 （写出所有正确的图标序号）26．（2016•朝阳区一模）某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第(1i i =，2，⋯，12)项能力特征用i x 表示，0,1,i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征如果某学生具有第项能力特征，若学生A ，B 的十二项能力特征分别记为1(A a =，2a ，⋯，12)a ，1(B b =，2b ，⋯，12)b ，则A ，B 两名学生的不同能力特征项数为 （用i a ，i b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ．27．（2016•石景山区一模）某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“⨯”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．丁得了分．28．（2017•西城区二模）某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是；该班的平均成绩是．29．（2020•顺德区模拟）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是．30．（2016•西城区二模）在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有部优秀影片．。

2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编041.(广东省五校2023-2024学年高三10月联考(二)数学试题)设函数f x =ln x ,x >0x +1x,x <0 ，若方程f x =x +b 有3个不同的实根，则b 的取值范围为()A.-∞,-1B.-1,0C.0,1D.1,+∞2.(广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷)在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∠BAD =π3，AB =AD =AA 1=2，点Q 在侧面DCC 1D 1内，且A 1Q =7，则点Q 轨迹的长度为()A.π6B.π3C.2π3D.4π33.(广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷)已知a >0，f x =ae x -1x ln x +b ，当x >0时，f x ≥0，则a 1-b 3的最大值为()A.1e 2B.2e 2C.3e 2D.4e 24.(广东省(上进联考)2024届高三10月阶段检测考数学试题)已知D 为双曲线C :x 24-y 2=1右支上一点，过点D 分别作C 的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点A ,B ，则DA ⋅DB =()A.2B.5C.54D.525.(广东省顺德区高中第四联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷)设函数f (x )=ln x ,x >0e x (x +1),x ≤0，若方程[f (x )]2-af (x )+116=0有六个不等的实数根，则实数a 可取的值可能是()A.23B.23或1 C.1D.23或26.(广东省顺德区高中第四联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷)已知椭圆E ：x 216+y 24=1的左右顶点分别为A 1，A 2，圆O 1的方程为x +1 2+y -322=14，动点P 在曲线E 上运动，动点Q 在圆O 1上运动，若△A 1A 2P 的面积为43，记PQ 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m +n 的值为()A.7 B.27C.37D.477.(广东省肇庆市肇庆中学2024届高三10月月考数学试卷)已知函数f x =a sin2ωx +cos2ωx ω>0 图象的对称轴方程为x =k π+π4，k ∈Z ．则f a4π =()A.22B.-22C.2D.-28.(湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考(二)数学试题)若x ，y ≥0，x +y =1，则3x +y 的取值范围为()A.1,3B.1,2C.3,2D.12,39.(湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考(二)数学试题)已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，过点F 的直线与C 相交于M ，N 两点，则2MF +12NF 的最小值为()A.92B.4C.72D.310.(湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考(二)数学试题)从重量分别为1，2，3，4，⋯，10克的砝码(每种砝码各2个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中x 9的系数为m 的选项是()A.1+x 1+x 2 1+x 3 ⋯1+x 10B.1+x 1+2x 1+3x ⋯1+10xC.1+x 21+x 2 21+x 3 21+x 4 2⋯1+x 10 2D.1+x 21+x +x 2 21+x +x 2+x 3 2⋯1+x +x 2+⋯+x 10 211.(湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考(二)数学试卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :y =kx +12与圆C :x 2+y 2=1交于A ,B 两点，则△AOB 的面积的最大值为()A.1B.12C.32D.3412.(湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考(二)数学试卷)设函数f x =x 2+ax +b ln x ，若f x ≥0，则a 的最小值为()A.-2B.-1C.2D.113.(湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷)在平面直角坐标系中，双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,A 为双曲线右支上一点，连接AF 1交y 轴于点B ，若AB =AF 2 ，且AF 1⊥AF 2，则双曲线的离心率为()A.1+2B.2+2C.5D.614.(湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷)已知函数f x =cos x -ax 在区间0,π6单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,-12B.-∞,32 C.12,+∞ D.-32,+∞ 15.(湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷)已知函数f x =ln x -a x -1x有两个极值点x 1,x 2，则f x 1+x 2 的取值范围是()A.0,ln2-34B.ln2-32,+∞ C.0,2ln2-32D.ln2-34,+∞ 16.(湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高三10月月考数学试题)已知a ∈R ，设函数f (x )=x 2-2ax +2a ,x ≤1,x -a ln x ,x >1, 若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e17.(湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高三10月月考数学试题)已知函数f x =f -x ,x ∈R ，f 5.5 =1，函数g x =x -1 ⋅f x ，若g x +1 为偶函数，则g -0.5 的值为()A.3B.2.5C.2D.1.518.(湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题)已知函数f x 的定义域为R ，y =f x +2e x 是偶函数，y =f x -4e -x 是奇函数，则f x 的最小值为()A.eB.22C.23D.2e19.(湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题)已知函数f x =ln xx,x >0-e xx,x <0，若函数g x =f x -x -kx恰有2个零点，则实数k 的取值范围是()A.-1,eB.-∞，-1 ∪e ，+∞C.[-1,1)D.-∞，-1 ∪1，+∞20.(河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题)如图所示，直线y =kx +m 与曲线y =f x 相切于x 1,f x 1 ,x 2,f x 2 两点，其中x 1<x 2．若当x ∈0,x 1 时，f x >k ，则函数f x -kx 在0,+∞ 上的极大值点个数为()A.0B.1C.2D.321.(河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试(二)数学试题)将函数f (x )=cos ωx +π6(0<ω<6)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则f(x)在区间(0,π)内的极值点个数为()A.1B.2C.3D.422.(河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试(二)数学试题)已知函数f x 的定义域为R,f x -1为奇函数，f x+2为偶函数，则f1 +f2 +⋯+f16=()A.0B.16C.22D.3223.(河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R，若f x =f-x+2x,f x 的图象关于直线x=1对称，且f2 =0，则f(20)-20i=1f(i)=()A.10B.20C.-10D.-2024.(河南省部分名校2024届高三月考(一)数学试题)△ABC与△ABD都是边长为2的正三角形，沿公共边AB折叠成三棱锥且CD长为3，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为()A.139π B.208π9C.112π3D.529π25.(河南省部分名校2024届高三月考(一)数学试题)已知函数f x 及其导函数f x 在定义域均为R且F x =e x+2f x+2是偶函数，其函数图象为不间断曲线且x-2f x +f x>0，则不等式xf ln x<e3f3 的解集为()A.0,e3B.1,e3C.e,e3D.e3,+∞26.(多选题)(广东省五校2023-2024学年高三10月联考(二)数学试题)若x，y满足x2+y2-xy=1，则()A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥127.(多选题)(广东省五校2023-2024学年高三10月联考(二)数学试题)若正实数x，y满足xe x-1=y1+ln y，则下列不等式中可能成立的是()A.1<x<yB.1<y<xC.x<y<1D.y<x<128.(多选题)(广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷)如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是()A.若DP ⎳平面CEF ，则点P 的轨迹长度为22B.若DP ⎳平面CEF ，则三棱锥P -DEF 的体积为定值C.若AP =17，则点P 的轨迹长度为2πD.若P 是棱A 1B 1的中点，则三棱锥P -CEF 的外接球的表面积是41π29.(多选题)(广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷)已知抛物线C :x 2=4y 的焦点为F ，A ，B ，P 为抛物线C 上的点，cos ‹FA ,FB›=-1，若抛物线C 在点A ，B 处的切线的斜率分别为k 1,k 2，且两切线交于点M ．N 为抛物线C 的准线与y 轴的交点．则以下结论正确的是()A.若AF +BF =4，则AF ⋅BF=-1B.直线PN 的倾斜角α≥π4C.若k 1+k 2=2，则直线AB 的方程为x -y +1=0D.|MF |的最小值为230.(多选题)(广东省(上进联考)2024届高三10月阶段检测考数学试题)已知函数f x 不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记f x 的导函数为f x ，则()A.存在f x 和实数t ，使得f x =tf xB.不存在f x 和实数t ，满足f x +f t =f 2xC.存在f x 和实数t ，满足f x t =tf xD.若存在实数t 满足f x =f x +t ，则f x 只能是指数函数31.(多选题)(广东省(上进联考)2024届高三10月阶段检测考数学试题)已知F 1,0 ，圆M :(x +1)2+y 2=1，点P 为圆M 上一动点，以PF 为直径的圆N 交y 轴于A ,B 两点，设A x A ,y A ,B x B ,y B ,P x P ,y P ，则()A.当点N 在y 轴上时，PF =5B.MN 的取值范围是12,32C.y A y B =x PD.cos ∠AFP =1BF32.(多选题)(广东省顺德区高中第四联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷)设函数f x =2x 3-3ax 2+1，则()A.存在a ，b ，使得x =b 为曲线y =f x 的对称轴B.存在a ，使得点1,f 1 为曲线y =f x 的对称中心C.当a <0时，x =a 是f x 的极大值点D.当a >1时，f x 有三个零点33.(多选题)(广东省肇庆市肇庆中学2024届高三10月月考数学试卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 1，B 2，B 3，⋯，B n 均在x 轴正半轴上，点C 1，C 2，C 3，⋯，C n 均在y 轴正半轴上．已知OB 1=1，B 1B 2=2，B 2B 3=3，⋯，B n -1B n =n (n ≥2)，OC 1=1，C 1C 2=C 2C 3=⋯=C n -1C n =23(n ≥2)，四边形OB 1D 1C 1，OB 2D 2C 2，OB 3D 3C 3，⋯，OB n D n C n 均为长方形．当n ≥2时，记B n -1B n D n C n C n -1为第n -1个倒“L ”形，则()A.第10个倒“L ”形的面积为100B.长方形OB n D n C n 的面积为n (n +1)(2n +1)6C.点D 1，D 2，D 3，⋯，D n 均在曲线y 2=89x +19上D.60i =1i 2 能被110整除34.(多选题)(湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考(二)数学试题)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD -A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有()A.没有水的部分始终呈棱柱形B.水面EFGH 所在四边形的面积为定值C.随着容器倾斜度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D.当容器倾斜如图(3)所示时，AE ⋅AH 为定值35.(多选题)(湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考(二)数学试题)已知奇函数f x 在R 上单调递增，f x =g x ，g x =f x ，若f 2x =2f x g x ，则()A.g x 的图象关于直线x =0对称B.g 2x =g 2x +f 2xC.g 0 =0或1D.g 2x -f 2x =136.(多选题)(湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考(二)数学试卷)已知函数f (x )=sin ωx +a cos ωx (x ∈R ,ω>0)的最大值为2，其部分图象如图所示，则()A.a >0B.函数f x -π6为偶函数C.满足条件的正实数ω存在且唯一D.f (x )是周期函数，且最小正周期为π37.(多选题)(湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考(二)数学试卷)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，直线l 经过F 且与C 交于A ,B 两点，其中点A 在第一象限，线段AF 的中点M 在y 轴上的射影为点N .若MN =NF ，则()A.l 的斜率为3B.△ABD 是锐角三角形C.四边形MNDF 的面积是3p 2D.BF ⋅FA >|FD |238.(多选题)(湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷)已知a >b >c ，且2a +b +c =0，则()A.a >0,c <0B.c a +ac<-2 C.a +c >0D.a +2ca +b<-139.(多选题)(湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷)设α,β是锐角三角形的两个内角，且α>β，则下列不等式中正确的有()A.sin α+sin β>1B.tan α⋅tan β<1C.cos α+cos β<2D.12tan α-β >tan α-β240.(多选题)(湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高三10月月考数学试题)设函数f (x )=2x 3-3ax 2+1，则()A.当a =0时，直线y =1是曲线y =f (x )的切线B.若f (x )有三个不同的零点x 1,x 2,x 3，则x 1⋅x 2⋅x 3=-12C.存在a ,b ，使得x =b 为曲线y =f (x )的对称轴D.当x 0≠a2时，f x 在x =x 0处的切线与函数y =f x 的图象有且仅有两个交点41.(多选题)(湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题)设函数f x 的定义域为R ，f x +π2为奇函数，f x +π 为偶函数．当x ∈0,π 时，f x =cos x ，则下列结论正确的有()A.f x 在3π,4π 上单调递减B.f 7π2=0C.点-52π,0 是函数f x 的一个对称中心D.方程f x +lg x =0有5个实数解42.(多选题)(湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题)x 表示不超过x 的最大整数，例如，[-0.5]=-1，1.1 =1，已知函数f x =x ，下列结论正确的有()A.若x ∈0,1 ，则f -x +14<-f x +14B.f x +y <f x +f yC.设g x =f 25x +f x 220 ，则∑20k =1g k =401D.所有满足f m =f n m ,n ∈0,143的点m ,n 组成的区域的面积和为40943.(多选题)(河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题)已知函数f x 的定义域为R ，且满足f x +f y =f x +y -2xy +1,f 1 =3，则下列结论正确的是()A.f 4 =21B.方程f x =x 有整数解C.f x +1 是偶函数D.f x -1 是偶函数44.(多选题)(河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题)如图，在长方体ABCD -A B C D 中，AB =BC =2，AA =4，N 为棱C D 中点，D M =12，P 为线段A B 上一动点，下列结论正确的是()A.线段DP长度的最小值为655B.存在点P，使AP+PC=23C.存在点P，使A C⊥平面MNPD.以B为球心，176为半径的球体被平面ABC所截的截面面积为6π45.(多选题)(河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试(二)数学试题)已知函数f(x)=sin2x+1sin x cos x，则()A.f(x)为奇函数B.f(x)的值域为(-∞,-22]∪[22,+∞)C.f(x)的图象关于直线x=3π4对称 D.f(x)以π为周期46.(多选题)(河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试(二)数学试题)已知对任意x>0，不等式e x-ax3+2ax2ln x≥0恒成立，则实数a的可能取值为()A.1B.e2C.eD.e247.(多选题)(河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷)已知函数f x =1ln x+1，则下列说法正确的是()A.f x 的图象无对称中心B.f x +f1x=2C.f x 的图象与g x =-1ln-x-1的图象关于原点对称D.f x 的图象与h x =e x-1的图象关于直线y=x对称48.(多选题)(河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷)记函数f x =e x-1x的零点为x0，则下列说法正确的是()A.x0-ln x0=0B.x0∈12,3 4C.当x>32时，f x >x+1 D.x0为函数g x =e1x+x ln xx+1的极值点49.(多选题)(河南省部分名校2024届高三月考(一)数学试题)已知定义在实数集R上的函数f x ，其导函数为f x ，且满足f x+y=f x +f y +xy，f1 =0,f 1 =12，则()A.f x 的图像关于点1,0成中心对称 B.f 2 =3 2C.f2024=1012×2023 D.2024k=1f (k)=1012×202450.(多选题)(河南省部分名校2024届高三月考(一)数学试题)设函数f(x)的定义域为R，f x-π4为奇函数，f x+π4为偶函数，当x∈-π4,π4时，f(x)=cos43x，则()A.f(x+4π)=f(x)B.f(x)的图象关于直线x=3π4对称C.f(x)在区间3π2,2π上为增函数 D.方程f(x)-lg x=0仅有4个实数解51.(广东省五校2023-2024学年高三10月联考(二)数学试题)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，其导函数为f (x)，若xf (x)-1<0.f(e)=2，则关于x的不等式f(e x)<x+1的解集为.52.(广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷)已知函数f(x)=3x-13x+1，数列a n满足a1=1，a2=2，a n+3=a n n∈N*，f a2+f a3+a4=0，则2024i=1a i=.53.(广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷)函数f x =8ln sin x+sin22x在区间0,π2上的零点个数为个．54.(广东省(上进联考)2024届高三10月阶段检测考数学试题)已知正数a,b满足2a+1b+1=4，则a +b的最小值为．55.(广东省(上进联考)2024届高三10月阶段检测考数学试题)若关于θ的方程sinθ-a cosθcosθ+a sinθ=-cos3θsin3θ在区间0,π4上有且仅有一个实数解，则实数a=．56.(广东省顺德区高中第四联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷)椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e满足e=5-12，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若x210+y2m=110>m>0是“黄金椭圆”，则m=；“黄金椭圆”C:x2a2+y2b2=1a>b>0两个焦点分别为F1-c,0、F2c,0(c>0)，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是△PF1F2的内心，连接PM并延长交F1F2于N，则PMMN=．57.(广东省肇庆市肇庆中学2024届高三10月月考数学试卷)若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(ln x-x+2-t)(1-t-x)≤0成立，则整数s的最大值为．(ln3≈1.099，ln4≈1.386)58.(湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考(二)数学试题)如图，△ABC中，AB=6，AC=2BC，D为AB中点，则tan∠BDC的取值范围为.1159.(湖南省长沙市雅礼中学2024届高三月考(二)数学试题)小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子(黑球数少于白球数)轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗(至少取1颗)，或者在两个盒子中取出相同颗数的球(至少各取1颗)，最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为.60.(湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考(二)数学试卷)小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子A ,B 中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B 中的1颗糖放入A 中，否则将A 中的1颗糖放入B 中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B 中没有糖的概率是．61.(湖北省云学部分重点高中联盟2023-2024学年高三10月联考数学试卷)在如图所示的直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ,AB=1,BC =CD =2,AB ⊥BC .P 为梯形ABCD 内一动点，且AP =1，若AP =λAB +μAD ，则λ+μ2的最大值为.62.(湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高三10月月考数学试题)掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，(1)恰好得3分的概率为；(2)恰好得n 分的概率为．(用与n 有关的式子作答)63.(湖北省新八校协作体2023-2024学年高三10月联考数学试题)任意一个三次多项式函数f x =ax 3+bx 2+cx +d 的图象都有且仅有一个中心对称点为x 0，f x 0 ，其中x 0是f ″x =0的根，f ″x 是f x 的导数.若函数f x =x 3+px 2+x +q 图象的中心对称点为-1，2 ，存在x ∈1,+∞ ，使得e x -mx e ln x +1 ≤f x -x 3-3x 2+e x e 成立，则m 的取值范围为.64.(河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题)南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为12．65.(河南省七校联考2024届高三第二次联合教学质量检测数学试题)在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 分别为x 、y 轴上的点，2OA =OB ，则以原点为顶点且经过A 、B 两点的抛物线的准线斜率为.66.(河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试(二)数学试题)已知a ,b 均为正实数，且2a +3b =ab ，则1a -3+3b -2的最小值为.67.(河南省部分名校2023-2024学年高三阶段性测试(二)数学试题)已知曲线y =e x 上有不同的两点P 和Q ，若点P ,Q 关于直线y =x 的对称点P ,Q 在曲线y =kx 2-x 上，则实数k 的取值范围为.68.(河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷)若函数f x =sin x +ax 的图象上存在A ,B 两点使得f x 在A 处的切线与在B 处的切线的夹角为π4，则实数a 的取值范围是.69.(河南省部分名校2023-2024学年高三10月月考数学试卷)已知a >b >0，则a 2+b 2ab -b 2的最小值为.70.(河南省部分名校2024届高三月考(一)数学试题)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a ,b >0)的左焦点为F ，过坐标原点O 作直线与双曲线的左右两支分别交于A ,B 两点，且FB =4FA ,∠AFB =2π3，则双曲线的渐近线方程为．。

数学PA高考数学客观题训练【6套】选择、填空题专题练习（一）1．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U则≥-+=≥=（ ）A ．{x |x <2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－1<x ≤2}D ．{x |－1≤x <2}2．设,0,0<>b a 已知),(a b m ∈且0≠m ，则m1的取值范围是： ( )A ．)1,1(a b B.)1,1(b a C.)1,0()0,1(a b ⋃ D.),1()1,(+∞⋃-∞ab 3．设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是4．直线052)3(057)3()1(2=-+-=-+-++yx m m y m x m 与直线垂直的充要条件是（ ）A ．2-=mB ．3=mC ．31=-=m m 或D ．23-==m m 或5．命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为 （ ）(A) 042,2≥+-∈∀x x R x (B) 042,2>+-∈∃x x R x (C)042,2≤+-∉∀x x R x (D) 042,2>+-∉∃x x R x6. 若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=,()0AB AD AC -⋅=,则该四边形一定是A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形7．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 A ．2a πB ．22a πC ．32a πD ．42a π8．若22πβαπ<<<-，则βα-一定不属于的区间是 ( )A ．()ππ,- B ．⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ C ．()π,0 D ． ()0,π-9．等差数列{a n } 中，a 3 =2，则该数列的前5项的和为( ) A ．10 B ．16C ． 20D ．3210．不等式10x x->成立的充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >-D ．1x >二、填空题 （每题5分，满分20分，请将答案填写在题中横线上） 11. 线性回归方程ˆybx a =+必过的定点坐标是________. 12. .在如下程序框图中，已知：x xe x f =)(0，则输出的是__________.13. 如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒末，它从原点运 动到（0，1），接着它按如图所示的x 轴、y 轴的平行方向来 回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→ （2，0）→…），且每秒移动一个单位，那么第2008秒末这 个粒子所处的位置的坐标为______。

2024年新高考数学选填压轴题汇编(一)一、多选题1(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体()A.一定不是正方体B.外接球的表面积为6πC.长、宽、高的值均属于区间1,2D.体积的取值范围为5027,2【答案】ABD【解析】设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，则可得2ab +ac +bc =104a +b +c =16，即ab +ac +bc =5a +b +c =4 ，又因为a +b +c 2=a 2+b 2+c 2 +2ab +ac +bc =16，所以a 2+b 2+c 2=6，由不等式可得，a 2+b 2+c 2≥ab +ac +bc ，当且仅当a =b =c 时，等号成立，而a 2+b 2+c 2>ab +ac +bc ，取不到等号，所以得不到a =b =c ，即该长方体一定不是正方体，故A 正确；设长方体外接球的半径为R ，则2R =a 2+b 2+c 2=6，即R =62，则外接球的表面积为4π622=6π，故B 正确；由a +b +c =4可得，c =4-a +b ，代入ab +ac +bc =5可得，ab +4-a +b a +b =5，即ab =5-4-a +b a +b ，因为a ,b >0，由基本不等式可得ab ≤a +b24，即5-4-a +b a +b ≤a +b24，设a +b =t ，则t >0，则5-4-t t ≤t 24，化简可得3t 2-16t +20≤0，即3t -10 t -2 ≤0，所以2≤t ≤103，即2≤a +b ≤103，又因为a +b =4-c ，则23≤c ≤2，同理可得a ,b ∈23,2 ，故C 错误；设长方体的体积为V ，则V =abc =5-4-a +b a +b 4-a +b ，且a +b =t ，2≤t ≤103，即V =5-4-t t 4-t ，其中t ∈2,103，化简可得，V =4-t 5-4t +t 2 ，t ∈2,103，且V =-5-4t +t 2 +4-t -4+2t =-3t -7 t -3 ，t ∈2,103，令V =0，则t =73或3，当t ∈2,73时，V <0，即V 单调递减，当t ∈73,3时，V >0，即V 单调递增，当t ∈3,103时，V <0，即V 单调递减，所以，当t =73时，V 有极小值，且V 73 =4-73 5-4×73+499 =5027，当t =3时，V 有极大值，且V 3 =4-3 5-4×3+9 =2，又因为V 2 =4-2 5-4×2+4 =2,V 103 =4-103 5-4×103+1009 =5027，所以V ∈5027,2 ，故D 正确；故选：ABD2(2023·广东·高三校联考阶段练习)对于数列a n ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有a n ≤M ，则称数列a n 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列a n 是无界的.记数列a n 的前n 项和为S n ，下列结论正确的是()A.若a n =1n，则数列a n 是无界的 B.若a n =12nsin n ，则数列S n 是有界的C.若a n =-1 n ，则数列S n 是有界的 D.若a n =2+1n2，则数列S n 是有界的【答案】BC【解析】对于A ，∵a n =1n=1n≤1恒成立，∴存在正数M =1，使得a n ≤M 恒成立，∴数列a n 是有界的，A 错误；对于B ，∵-1≤sin n ≤1，∴-12n≤a n =12n⋅sin n ≤12n，∴S n =a 1+a 2+⋯+a n <12+122+⋯+12n=121-12 n1-12=1-12n<1，S n =a 1+a 2+⋯+a n >-12+12 2+⋯+12 n=-1+12 n>-1，所以存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴则数列S n 是有界的，B 正确；对于C ，因为a n =-1 n ，所以当n 为偶数时，S n =0；当n 为奇数时，S n =-1；∴S n ≤1，∴存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是有界的，C 正确；对于D ，1n 2=44n 2<42n -1 2n +1=412n -1-12n +1 ，∴S n =2n +1+122+132+⋅⋅⋅1n2≤2n +41-13+13-15+⋅⋅⋅+12n -1-12n +1 =2n +41-12n +1 =2n +8n 2n +1=2n -22n +1+2 ；∵y =x -22x +1在0,+∞ 上单调递增，∴n -22n +1∈13,+∞，∴不存在正数M ，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是无界的，D 错误.故选：BC .3(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，P 为棱BC 上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点P ，使AC 1⊥平面D 1EPB.存在点P ，使PE =PD 1C.四面体EPC 1D 1的体积为定值D.二面角P -D 1E -C 1的余弦值取值范围是55,23【答案】BC【解析】(向量法)为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，CP =20≤a ≤2 ，则P a ,2,2 ，E 2,1,0 ，A 2,0,0 ,C 10,2,2 ，AC 1 =-2,2,-2 ，D 1E ⋅AC 1 =-2≠0，故AC 1与D 1E 不垂直，故A 错误.由PE =PD 1知a 2+22+22=a -2 2+12+22,a =14∈0,2 ，故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.又D 1E =2,1,0 ，D 1P =a ,2,2 ，设平面D 1EP 的法向量n 1 =x ,y ,z ，由D 1E ⋅n 1=0D 1P ⋅n 1 =0,2x +y =0ax +2y +2z =0 ，令x =2则y =-4，z =4-a ，∴n 1=2,-4,4-a ，又平面D 1EC 1的法向量n 2=0,0,1 ，∴cos n 1 ,n 2 =4-a 22+-4 2+4-a 2=11+204-a2，又0≤a ≤2，∴4≤4-a 2≤16，∴cos n 1 ,n 2 ∈66,23.故D 错误.(几何法)记棱A 1D 1,D 1D ,DC ,CB ,BB 1中点分别为F ,G ,J ,I ,H ，易知AC 1⊥平面EFGJIH ，而EF ⊂平面EFGJIH则AC 1⊥EF ，若AC 1⊥平面D 1EP ，D 1E ⊂平面D 1EP ，则AC 1⊥D 1E ，由EF ∩D 1E =E ,EF ,D 1E ⊂平面D 1EF ，所以AC 1⊥平面D 1EF ，与已知矛盾，故AC 1不垂直于平面D 1EP .故A 错误.连接EB ,D 1C ，易知BC ⊥EB ，BC ⊥D 1C ，设正方体棱长为2，知EB =5，D 1C =22，记BP =m 0≤m ≤2 ，则EP =m 2+5，D 1P =2-m2+8，由m 2+5=2-m 2+8，得m =74∈0,2 .故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.过点P 作PM ⊥B 1C 1于点M ，易知PM ⊥D 1E ，过点M 作MN ⊥D 1E 于点N ，知D 1E ⊥平面PMN ，所以PN ⊥D 1E ，则二面角P -D 1E -C 1的平面角为∠PNM ，现在△PNM 中求解cos ∠PNM .设正方体棱长为2，NM =x ，则NP =x 2+4，∴cos ∠PNM =NMNP=xx 2+4，只需求x 取值范围即可：记BP =m 0≤m ≤2 ，则B 1M =BP =m ，分析易知M 在C 1时x 取到最大值，此时x =C 1N 1，M 在B 1时x 取到最小值，此时x =B 1N 2，又C 1N 1C 1D 1=D 1A 1D 1E 即C 1N 1=2⋅25=455，B 1N 2D 1A 1=B 1E D 1E 即B 1N 2=2⋅15=255，所以255≤x ≤455即45≤x 2≤165，∴cos ∠PNM =x x 2+4=1-4x 2+4∈66，23 .故D 错误.故选：BC4(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =xe x ，g x =x ln x .若存在x 1∈R ，x 2∈0,+∞ ，使得f x 1 =g x 2 =t 成立，则下列结论中正确的是()A.当t >0时，x 1x 2=tB.当t >0时，e ln t ≤x 1x 2C.不存在t ，使得f x 1 =g x 2 成立D.f x >g x +mx 恒成立，则m ≤2【答案】AB【解析】选项A ，∵f x 1 =g x 2 =t ∴t =x 1e x 1=x 2ln x 2=ln x 2e ln x 2>0，则x 1>0,x 2>0,ln x 2>0，且t =f (x 1)=f (ln x 2)>0，由f x =xe x ，得f x =e x x +1 ，当x >0时，f x >0，则f x 在0,+∞ 上递增，所以当t >0时，f x =t 有唯一解，故x 1=ln x 2，∴x 1x 2=x 2ln x 2=t ，故A 正确；选项B ，由A 正确，得ln t x 1x 2=ln tt(t >0)，设φt =ln t t ，则φ t =1-ln tt 2，令φ t =0，解得t =e易知φt 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴φt ≤φe =1e ，∴ln t x 1x 2≤1e ，∴e ln t ≤x 1x 2，故B 正确；选项C ，由f x =e x x +1 ，g x =ln x +1=0，得f -1 =g 1e=0，又验证知f -1 =g 1e =-1e ，故存在t =-1e ，使得f -1 =g 1e=0，C 错误；选项D ，由x >0，f x >g x +mx 恒成立，即e x -ln x >m 恒成立，令r x =e x -ln x ，则r x =e x -1x ，由r x 在0,+∞ 上递增，又r 12=e -2<0，r 1 =e -1>0，∴存在x 0∈12,1 ，使r x 0 =0，∴r x 在0,x 0 上递减，在x 0,+∞ 上递增(其中x 0满足e x 0=1x 0，即x 0=-ln x 0).∴r x ≥r x 0 =e x 0-ln x 0=1x 0+x 0>2，要使m <e x -ln x 恒成立，∴m <r (x 0)，存在2<m <r (x 0)满足题意，故D 错误.故选：AB .5(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f 1+x =-f 1-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 2+x -2，则()A.f x 是以4为周期的周期函数B.f 2021 +f 2022 =-2C.函数y =f x -log 2x +1 有3个零点D.当x ∈3,4 时，f x =x 2-9x +18【答案】ACD【解析】依题意，f x 为偶函数，且f 1+x =-f 1-x ⇒f x 关于1,0 对称，则f x +4 =f 1+x +3 =-f 1-x +3 =-f -2-x=-f -2+x =-f 2+x =-f 1+1+x =f 1-1+x =f -x =f x ，所以f x 是周期为4的周期函数，A 正确.因为f x 的周期为4，则f 2021 =f 1 =0，f 2022 =f 2 =-f 0 =2，所以f 2021 +f 2022 =2，B 错误；作函数y =log 2x +1 和y =f x 的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C 正确；当x ∈3,4 时，4-x ∈0,1 ，则f x =f -x =f 4-x =4-x 2+4-x -2=x 2-9x +18，D 正确.故选：ACD6(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)如图,正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC的中点将△ADE,ΔCDF,△BEF分别沿DE、DF、EF折起,使A、B、C重合于点P.则下列结论正确的是A.PD⊥EFB.平面PDE⊥平面PDFC.二面角P-EF-D的余弦值为13D.点P在平面DEF上的投影是ΔDEF的外心【答案】ABC【解析】对于A选项，作出图形，取EF中点H，连接PH，DH，又原图知ΔBEF和ΔDEF为等腰三角形，故PH⊥EF,DH⊥EF，所以EF⊥平面PDH，所以PD⊥EF，故A正确；根据折起前后，可知PE,PF,PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE⊥平面PDF，故B正确；根据A选项可知∠PHD为二面角P-EF-D的平面角，设正方形边长为2，因此PE=PF=1，PH=22，DH=22-22=322，PD=DF2-PF2=2，由余弦定理得：cos∠PHD=PH2+HD2-PD22PH⋅HD =13，故C正确；由于PE=PF≠PD，故点P在平面DEF上的投影不是ΔDEF的外心，即D错误；故答案为ABC.7(2023·广东·高三校联考阶段练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则()A.直线D1D与EF所成的角为30°B.直线A1G与平面AEF平行C.若正方体棱长为1，三棱锥A1-AEF的体积是112D.点B 1和B 到平面AEF 的距离之比是3:1【答案】BCD【解析】对于选项A ，由图可知CC 1与DD 1显然平行，所以∠EFC =45°即为所求，故选项A 不正确；对于选项B ，取B 1C 1的中点M ，连接A 1M 、GM ，如图所示，易知A 1M ⎳AE ，且A 1M ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以A 1M ⎳平面AEF ．又易知GM ⎳EF ，GM ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GM ⎳平面AEF ．又A 1M ∩GM =M ，A 1M 、GM ⊂面A 1MG ，所以平面A 1MG ⎳平面AEF ．又A 1G ⊂平面A 1MG ，所以A 1G ⎳平面AEF ，故选项B 正确；对于选项C ，由选项B 知，A 1G ⎳平面AEF ，所以A 1和G 到平面AEF 的距离相等，所以V A 1-AEF =V G -AEF =V A -FEG =13×12×12×1×1=112．故选项C 正确；对于选项D ，平面AEF 过BC 的中点E ，即平面AEF 将线段BC 平分，所以C 与B 到平面AEF 的距离相等，连接B 1C 交EF 于点H ，如图所示，显然B 1H :HC =3:1，所以B 1与B 到平面AEF 的距离之比为3:1，故选项D 正确.故选：BCD ．8(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知数列a n 满足a 1=1,a 2=3，S n 是前n 项和，若n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ，(n ∈N *且n ≥2)，若不等式a n <n -2t 2-a +1 t +a 2-a +2 对于任意的n ∈N *,t ∈1,2 恒成立，则实数a 的值可能为()A.-4 B.0C.2D.5【答案】AD【解析】由n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ,n ≥2，则na n +1-1=n +1 a n ,n ≥2,得a n +1-1n =n +1n a n ,n ≥2;a 2-11=2=21a 1，所以a n +1n +1-a n n =1n n +1=1n -1n +1,n ≥1，则a n n -a n -1n -1=1n -1-1n ，a n -1n -1-a n -2n -2=1n -2-1n -1，⋯，a 22-a 11=1-12，上述式子累加可得a n n -a 1=1-1n ，所以a n n =2-1n<2．所以-2t 2-a +1 t +a 2-a +2≥2对于任意的t ∈1,2 恒成立，整理得2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立．方法一：对选项A ，当a =-4时，不等式为2t +5 t -4 ≤0，其解集-52,4包含1,2 ，故选项A 正确；对选项B ，当a =0时，不等式为2t +1 t ≤0，其解集-12,0不包含1,2 ，故选项B 错误；对选项C ，当a =2时，不等式为2t -1 t +2 ≤0，其解集-2,12不包含1,2 ，故选项C 错误；对选项D ，当a =5时，不等式为2t -4 t +5 ≤0，其解集-5,2 包含1,2 ，故选项D 正确．方法二：令f t =2t -a -1 t +a ，若2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立，只需f 1 ≤0f 2 ≤0，即3-a 1+a ≤05-a 2+a ≤0 ，解得a ≥5或a ≤-2．故选：AD ．9(2023·广东·高三统考阶段练习)已知函数f x =sin n x +cos n x x ∈N * ，则()A.对任意正奇数n ，f x 为奇函数B.对任意正整数n ，f x 的图像都关于直线x =π4对称C.当n =3时，f x 在0,π2上的最小值22D.当n =4时，f x 的单调递增区间是-π4+k π,k π k ∈Z 【答案】BC【解析】取n =1，则f x =sin x +cos x ，从而f 0 =1≠0，此时f x 不是奇函数，则A 错误；因为f π2-x =sin n π2-x +cos n π2-x =cos n x +sin n x =f x ，所以f x 的图象关于直线x =π4对称，则B 正确；当n =3时，f x =3sin 2x cos x -3cos 2x sin x =3sin x cos x sin x -cos x ，当x ∈0,π4时，fx <0；当x ∈π4,π2 时，f x >0.所以f x 在0,π4 上单调递减，在π4,π2 上单调递增，所以f x 的最小值为f π4 =22 3+22 3=22，故C 正确；当n =4时，f x =sin 4x +cos 4x =sin 2x +cos 2x 2-2sin 2x cos 2x =1-12sin 22x=1-1-cos4x 4=14cos4x +34，则f x 的递增区间为-π4+k π2,k π2k ∈Z ，则D 错误.故选：BC .10(2023·广东·高三统考阶段练习)若实数a ，b 满足2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是()A.0<a<b<1B.b<a<0C.1<a<bD.a=b【答案】ABD【解析】设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x，则f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x都为增函数，作出两函数的图象，两个函数图象有2个交点，分别为(0,1),(1,5)，对于A，作直线y=m(1<m<5)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为a,b，且0<a<b<1，此时f(a)=g(b)=m，即2a+3a=3b+2b能成立，故A正确；对于B，作直线y=n(n<0)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为b,a，且b<a<0，此时f(a)=g(b) =n，即2a+3a=3b+2b能成立，故B正确；对于C，a=2,f(a)=f(2)=10，因为2=a<b，所以f(b)=3b+2b>32+4=13，所以此时2a+3a=3b+2b 不可能成立，故C不正确；对于D，a=b=0或a=b=1，2a+3a=3b+2b成立，所以D正确．故选：ABD．11(2023·广东·高三统考阶段练习)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 为DD 1的中点，N 为ABCD 所在平面上一动点，N 1为A 1B 1C 1D 1所在平面上一动点，且NN 1⊥平面ABCD ，则下列命题正确的是()A.若MN 与平面ABCD 所成的角为π4，则点N 的轨迹为圆B.若三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为定值，则点N 的轨迹为椭圆C.若点N 到直线BB 1与直线DC 的距离相等，则点N 的轨迹为抛物线D.若D 1N 与AB 所成的角为π3，则点N 的轨迹为双曲线【答案】ACD【解析】A ：连接DN ，因为MD ⊥平面ABCD ，所以∠MND 是MN 与平面ABCD 所成的角，即∠MND =π4，因为M 为DD 1的中点，所以MD =12DD 1=2，在直角三角形MND 中，tan ∠MND =MD DN ⇒1=2DN⇒DN =2，因此点N 的轨迹为以D 为圆心半径为2的圆，所以本选项命题是真命题；B ：过N 做EN ⊥AD ，设三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为S ，所以S =2×12×4⋅NE +(AD +DN +AN )⋅4=4(4+DN +AN +NE )=定值，显然有N 到A 、D 、直线AD 的距离之和为定值，这与椭圆的定义不符合，故本选项命题是假命题；C ：连接BN ，因为BB 1⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥BN ，即点N 到直线BB 1与NB 相等，所以点N 的轨迹为点N 到点B 与直线DC 的距离相等的轨迹，即抛物线，所以本选项命题是真命题；D ：以D 为空间坐标系的原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 、y 、z ，D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,4,0)、N (x ,y ,0)、D 1(0,0,4)，则有AB =(0,4,0)、D 1N =(x ,y ,-4)，因为D 1N 与AB 所成的角为π3，所以cos π3=AB ⋅D 1N AB ⋅D 1N ⇒12=4y 4⋅x 2+y 2+16⇒3y 2-x 2=16，所以点N 的轨迹为双曲线，故本选项命题是真命题,故选：ACD12(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)已知函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，若不等式f (2-ax )<f x 2+3 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值可能是()A.-4B.-12C.2D.32【答案】BC【解析】由函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，令t =x -1，则x =t +1，可得g (t )=e t +e -t +t 2-1，可得g (-t )=e -t +e t +(-t )2-1=e t +e -t +t 2-1=g (t )，所以g t 为偶函数，即函数f x 的图象关于x =1对称，又由g (t )=e t -e -t +2t ，令φ(t )=g (t )=e t -e -t +2t ，可得φ (t )=e t +e -t +2>0，所以φ(t )为单调递增函数，且φ(0)=0，当t >0时，g (t )>0，g t 单调递增，即x >1时，f x 单调递增；当t <0时，g (t )<0，g t 单调递减，即x <1时，f x 单调递减，由不等式f (2-ax )<f x 2+3 ，可得2-ax -1 <x 2+3-1 ，即1-ax <x 2+2所以不等式1-ax <x 2+2恒成立，即-x 2-2<ax -1<x 2+2恒成立，所以x 2+ax +1>0x 2-ax +3>0 的解集为R ，所以a 2-4<0且(-a )2-12<0，解得-2<a <2，结合选项，可得BC 适合.故选：BC .13(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，若函数g x =f x -1也有三个不同的零点t 1,t 2,t 3t 1<t 2<t 3 ，则下列等式或不等式一定成立的有()A.b 2<3cB.t 3>x 3C.x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3D.x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=1【答案】BC【解析】f x =3x 2+2bx +c ，因为原函数有三个不同的零点，则f x =0有两个不同的实根，即3x 2+2bx +c =0，则Δ=4b 2-12c >0，即b 2>3c ，所以A 错误；因为三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，所以x 3+bx 2+cx +d =x -x 1 x -x 2 x -x 3 =x 3-x 1+x 2+x 3 x 2+x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3 x -x 1x 2x 3=0，所以x 1+x 2+x 3=-b ,x 1x 2x 3=-d ，同理t 1+t 2+t 3=-b ,t 1t 2t 3=1-d ，所以x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3,x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=-1，故C 正确，D 错误；由f x 的图象与直线y =1的交点可知t 3>x 3，B 正确．故选：BC ．14(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知直线l 过抛物线E :y 2=4x 的焦点F ，与抛物线相交于A x 1,y 1 、B x 2,y 2 两点，分别过A ,B 作抛物线的准线l 1的垂线，垂足分别为A 1,B 1，以线段A 1B 1为直径作圆M ,O 为坐标原点，下列正确的判断有()A.x 1+x 2≥2B.△AOB 为钝角三角形C.点F 在圆M 外部D.直线A 1F 平分∠OFA【答案】ABD 【解析】如图所示：对选项A ，由抛物线的焦半径公式可知AB =x 1+x 2+2≥2p =4，所以x 1+x 2≥2，故A 正确；对于选项B ，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=y 1y 2216+y 1y 2，令直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 得y 2-4my -4=0，所以y 1y 2=-4，所以OA ⋅OB=-3<0，所以△AOB 是钝角三角形，故B 正确；对选项C ，D ，由AA 1 =AF 可知∠AA 1F =∠AFA 1，又AA 1∥OF ，所以∠AA 1F =∠OFA 1=∠AFA 1，所以直线FA 1平分角∠AFO ，同理可得FB 平分角∠BFO ，所以A 1F ⊥B 1F ，即∠A 1FB 1=90°，所以圆M 经过点F ，故C 错误，D 正确．故选：ABD15(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知圆O :x 2+y 2=4和圆C :(x -3)2+(y -3)2=4,P ,Q 分别是圆O ，圆C 上的动点，则下列说法错误的是()A.圆O 与圆C 相交B.PQ 的取值范围是32-4,32+4C.x -y =2是圆O 与圆C 的一条公切线D.过点Q 作圆O 的两条切线，切点分别为M ,N ，则存在点Q ，使得∠MQN =90°【答案】AC【解析】对于A 选项，由题意可得，圆O 的圆心为O 0,0 ，半径r 1=2，圆C 的圆心C 3,3 ，半径r 2=2，因为两圆圆心距OC =32>2+2=r 1+r 2，所以两圆外离，故A 错误；对于B 选项，PQ 的最大值等于OC +r 1+r 2=32+4，最小值为OC -r 1-r 2=32-4，故B 正确；对于C 选项，显然直线x -y =2与直线OC 平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC :y =x ，设外公切线为y =x +t ，则两平行线间的距离为2，即t2=2，故y =x ±22，故C 错误；对于D 选项，易知当∠MQN =90°时，四边形OMQN 为正方形，故当QO =22时，∠MQN =90°，故D 正确.故选：AC ．16(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x =3sin ωx +cos ωx (0<ω<3)满足f x +π2 =-f x ，其图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数y =g x 的图象，且y =g x 在-π6,π6上单调递减，则()A.ω=1 B.函数f x 的图象关于5π12,0 对称C.s 可以等于5D.s 的最小值为2【答案】BCD【解析】对于A ，因为f x +π2 =-f x ，f x =3sin ωx +cos ωx =2sin ωx +π6，所以2sin ωx +π2ω+π6 =-2sin ωx +π6 ,π2ω=2k +1 π,k ∈Z ，则ω=4k +2,k ∈Z ，又0<ω<3，故ω=2，故A 错误；对于B ，由选项A 得f x =2sin 2x +π6，所以f 5π12=2sin 5π6+π6 =2sinπ=0，故5π12,0 是f x 的一个对称中心，故B 正确；对于C ，f x 的图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数g x =2sin 2x -s +π6的图象，则g x =2sin 2x +π6-2s ，因为g x 在-π6,π6上单调递减，所以2×-π6 +π6-2s ≥2k π+π22×π6+π6-2s ≤2k π+3π2k ∈Z ，解得-k π-π2≤s ≤-k π-π3k ∈Z ，当k =-2时，3π2≤s ≤5π3，因为s ∈N *，所以s =5，故C 正确；对于D ，因为s ∈N *，所以-k π-π3>0，则k <-13，又k ∈Z ，故k ≤-1，当k =-1时，π2≤s ≤2π3，可知s min =2，故D 正确.故选：BCD .17(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为0,+∞ ，其导函数为f x ，且f x +f x =x ln x ，f 1e =-1e，则()A.f 1e⋅e 1e-1>f 1B.f e ⋅e e -1>f 1C.f x 在0,+∞ 上是增函数D.f x 存在最小值【答案】ABC【解析】设F x =e x -1f x ，则F x =e x -1f x +f x =e x -1x ln x ，当x >1时，F x >0，当0<x <1时，F x <0，F x =e x -1f x 在1,+∞ 上单调递增，在0,1 上单调递减，A 选项，因为1e <1，所以F 1e >F 1 ，即e 1e-1f 1e>f 1 ，A 正确；B 选项，因为e >1，所以F e >F 1 ，即e e -1f e >f 1 ，B 正确；C 选项，f x =F x e x -1，则fx =F x -F x e x -1，令g x =F x -F x ，则g x =e x -1x ln x -e x -1x ln x =e x -11+ln x ，当x >1e 时，g x >0，当0<x <1e时，g x <0，故g x =F x -F x 在0,1e 上单调递减，在1e ,+∞ 单调递增，又g 1e =F 1e -F 1e =e 1e -1⋅1e ln 1e -e 1e -1f 1e =-e 1e -1⋅1e +e 1e-1⋅1e =0，故g x =F x -F x ≥0恒成立，所以fx =F x -F x ex -1≥0在0,+∞ 上恒成立，故f x 在0,+∞ 上是增函数，C 正确；D 选项，由C 选项可知，函数f x 在0,+∞ 上单调递增，故无最小值.故选：ABC18(2023·广东惠州·高三统考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718 ,x >1 ，则下列说法正确的是()A.函数f x 在-13,13上单调递减B.若函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，则p ∈0,23C.对任意实数k ，y =f x 的图象与直线y =kx 最多有6个交点D.方程f x =m m >0 有4个解，分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4>-143【答案】BD【解析】因为定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，即f -x -2 +f x +2 =0，所以函数为奇函数，因为f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718,x >1 ，故作出函数的图象，如图所示.选项A ：由图可知，当x ∈-13,0 时，函数单调递减，当x ∈0,13时，函数单调递减，但当x ∈-13,13，并不是随着x 增加而减少，故选项A 错误；选项B ：因为函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，所以由图象可知，0<p <1由3x 2-2x +1=1解得，x 1=0,x 2=23，所以0<p ≤23，故选项B 正确；选项C ：取k =74时，如图所示，1°当x ∈0,1 时，联立方程组y =74x y =3x 2-2x +1 ，化简得3x 2-154x +1=0，设函数h (x )=3x 2-154x +1，因为Δ>0h (0)=1>0h (1)=14>0且对称轴为x =58∈0,1 ，所以方程3x 2-154x +1=0在0,1 上有两个不相等的实数根，2°设m (x )=74x -log 13x 2-718 ，x ∈1,+∞ ，因为函数m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 上单调递增，且m (1)=74-2<0，m (2)=72-log 131118 >0，所以m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 在只有一个零点，所以直线y =74x 与函数y =f (x )图象在x ∈1,+∞ 有1个交点，所以当x ∈0,+∞ 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，因为函数y =74x 与函数y =f (x )均为奇函数，所以当x ∈-∞,0 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，又当x =0时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有1个交点，所以此时直线y =74x 与函数y =f (x )图象有7个交点，故选项C 错误；选项D ：当m >0时，则根据图象可得f (x )=m 的4个解所在大致范围为x 1<0，0<x 2<13，13<x 3<1，x 4>1，因为f (x )=m 有4个解，所以23<m <1，所以23<log 13x 42-718 <1，解得139<x 4<21323+79，所以6<9x 4-7<181323，由二次函数的对称性可知，3x 2-2x +1=m 的解x 2、x 3满足x 2+x 3=23，因为函数y =f (x )为奇函数，且当x >1时解析式为y =log 13x 2-718，所以当x <-1时解析式为y =-log 13-x 2-718，所以log 13x 42-718=-log 13-x 12-718 ，所以有-x 12-718 x 42-718 =1，即x 1=-369x 4-7-79，所以x 1+x 4=x 4+-369x 4-7-79=9x 4-79-369x 4-7，设9x 4-7=t ，6<t <181323，又因为函数y =t 9-36t 在6,1813 23单调递增，所以x 1+x 4=t 9-36t >69-366=23-6=-163，所以x 1+x 2+x 3+x 4>-163+23=-143，所以选项D 正确，故选：BD .19(2023·广东揭阳·高三校考阶段练习)若定义在-1,1 上的函数f x 满足f x +f y =f x +y 1+xy，且当x >0时，f x <0，则下列结论正确的是( )．A.若x 1，x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，则f x 1 +f x 2 >0B.若f 12 =-12，则f 4041 =-2C.若f 2-x +g x =4，则g x 的图像关于点2,4 对称D.若α∈0,π4，则f sin2α >2f sin α 【答案】BC【解析】令y =-x ，则f x +f -x =f 0 =0，∴f x 为奇函数，把y 用-y 代替，得到f x -f y =f x -y1-xy，设-1<y <x <1，1-x 1+y >0，∴0<x -y1-xy<1．又∵当x >0时，f x <0，∴f x <f y ，∴f x 在-1,1 上单调递减．∵x 1,x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，当x >0时，f x <0，则当x 1>0时，则x 2>x 1>0，f x 1 +f x 2 <0，当x 1<0时，则x 2>-x 1>0，f x 1 +f x 2 =f x 2 -f -x 1 <0．综上，f x 1 +f x 2 <0，∴A 错误．令x =y =12，得2f 12 =f 45 ，∴f 45 =-1，令x =y =45，得2f 45 =f 4041 ，∴f 4041 =-2，∴B 正确．由f 2-x +g x =4，得f 2-x =4-g x ，得f x =4-g 2-x ，又∵f -x =4-g 2+x ，f x 为奇函数，∴f x +f -x =0，则g 2-x +g 2+x =8，则g x 的图像关于点2,4 对称，∴C 正确．f sin2α =f 2sin α⋅cos α =f2tan α1+tan 2α=2f tan α ，假设f sin2α >2f sin α ，可得f tan α >f sin α ，即tan α<sin α，当α∈0,π4时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D 错误．故选：BC .20(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)已知函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点构成一个公差为π2的等差数列，把f x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位得到函数g x 的图象，则()A.g x 在π4,π2上单调递增 B.π4,0 是g x 的一个对称中心C.g x 是奇函数 D.g x 在区间π6,2π3上的值域为0,2 【答案】AB【解析】因为f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 ，所以f x =232sin2ωx +12cos2ωx =2sin 2ωx +π6 ，因为函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，∴12⋅2π2ω=π2，∴ω=1，所以f (x )=2sin 2x +π6 ，把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位，得到g (x )=2sin 2x -π3 +π6 =2sin 2x -π2 =-2cos2x ，即g (x )=-2cos2x ，所以g (x )为偶函数，故C 错误；对于A ：当x ∈π4,π2 时2x ∈π2,π ，因为y =cos x 在π2,π 上单调递减，所以g x 在π4,π2上单调递增，故A正确；对于B：gπ4=-2cos2×π4=-2cosπ2=0，故π4,0是g x 的一个对称中心，故B正确；对于D：因为x∈π6,2π3，所以2x∈π3,4π3，所以cos2x∈-1,12，所以g x ∈-1,2，故D错误；故选：AB21(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)对于函数f(x)=xln x，下列说法正确的是()A.f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减B.若方程f(|x|)=k有4个不等的实根，则k>eC.当0<x1<x2<1时，x1ln x2<x2ln x1D.设g(x)=x2+a，若对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，则a≥e 【答案】BD【解析】函数f(x)=xln x的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，f(x)=ln x-1(ln x)2，当0<x<1或1<x<e时，f (x)<0，当x>e时，f (x)>0，f(x)在(0,1)，(1,e)上都单调递减，在(e,+∞)上单调递增，A不正确；当x∈(1,+∞)时，f(x)的图象在x轴上方，且在x=e时，f(x)min=e，f(x)在(0,1)上的图象在x轴下方，显然f(|x|)是偶函数，在方程f(|x|)=k中，k<0或k=e时，方程有两个不等实根，0≤k<e时，方程无实根，k>e时，方程有4个不等的实根，B正确；因0<x1<x2<1，则有f(x2)<f(x1)<0，即x2ln x2<x1ln x1<0，于是得x2ln x1<x1ln x2，C不正确；当x∈R时，g(x)的值域为[a,+∞)，当x∈(1,+∞)时，f(x)的值域为[e,+∞)，因对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，从而得[a,+∞)⊆[e,+∞)，即得a≥e，D正确.故选：BD二、单选题22(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】圆(x-5)2+(y-1)2=2的圆心(5，1)，过(5，1)与y=x垂直的直线方程为x+y-6=0，它与y=x的交点N(3，3)，N到(5，1)距离是22，圆的半径为2，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为2×30°=60°．故选C．23(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三点重合于点A ，若三棱锥A -EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为()A.2πB.3πC.6πD.8π【答案】C【解析】根据题意可得A D ⊥A E ,A D ⊥A F ,A E ⊥A F ，且A E =1,A F =1,A D =2，所以三棱锥D -A EF 可补成一个长方体，则三棱锥D -A EF 的外接球即为长方体的外接球，如图所示，设长方体的外接球的半径为R ，可得2R =12+12+22=6，所以R =62，所以外接球的表面积为S =4πR 2=4π⋅622=6π，故选：C24(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =2sin ωx +π3+a -1 sin ωx (a >0，ω>0)在0,π 上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，又φx =f x -23，且有φx max =0，则实数ω的取值范围是()A.1<ω≤53B.1≤ω<53C.56<ω<32D.56<ω≤32【答案】A【解析】由题意可得f x =sin ωx +3cos ωx +a -1 sin ωx ，=a sin ωx +3cos ωx =a 2+3sin ωx +φ ，其中φ满足tan φ=3a，又φx max =0，即f x max =23，所以a 2+3=23，又a >0，解得a =3，所以f x =23sin ωx +π6，又0<x <π，所以π6<ωx +π6<ωπ+π6，因为f x 在上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，即sin ωx 0+π6 =-12，所以7π6<ωx +π6≤11π6，解得1<ω≤53，故选：A 25(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)在△ABC 中，角B ,C 的边长分别为b ,c ，点O 为△ABC 的外心，若b 2+c 2=2b ，则BC ⋅AO的取值范围是()A.-14,0 B.0,2C.-14,+∞ D.-14,2【答案】D【解析】取BC 的中点D ，则OD ⊥BC ，所以BC ·AO =BC ·AD +DO =BC ·AD +BC ·DO =BC ·AD=AC -AB ⋅12AC +AB =12AC 2-AB 2=12b 2-c 2 =12b 2-2b -b 2 =b 2-b =b -122-14.因为c 2=2b -b 2>0，则b b -2 <0，即0<b <2.所以-14≤BC ⋅AO <2，故选：D .26(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知等腰直角△ABC 中，∠C 为直角，边AC =6，P ，Q 分别为AC ，AB 上的动点(P 与C 不重合)，将△APQ 沿PQ 折起，使点A 到达点A 的位置，且平面A PQ ⊥平面BCPQ ．若点A ，B ，C ，P ，Q 均在球O 的球面上，则球O 体积的最小值为()A.8π3B.4π3C.82π3D.42π3【答案】C【解析】显然P 不与A 重合，由点A ，B ，C ，P ，Q 均在球D 的球面上，得B ，C ，P ，Q 共圆，则∠C +∠PQB =π，又△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，即有PQ ⊥AB ，将△APQ 翻折后，PQ ⊥A Q ，PQ ⊥BQ ，又平面A PQ ⊥平面BCPQ ，平面A PQ ∩平面BCPQ =PQ ，A Q ⊂平面A PQ ，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q ⊥平面BCPQ ，BQ ⊥平面A PQ ，显然A P ，BP 的中点D ，E 分别为△A PQ ，四边形BCPQ 外接圆圆心，则DO ⊥平面A PQ ，EO ⊥平面BCPQ ，因此DO ⎳BQ ，EO ⎳A Q ，取PQ 的中点F ，连接DF ，EF ，则有EF ⎳BQ ⎳DO ，DF ⎳A Q ⎳EO ，四边形EFDO 为矩形，设A Q =x 且0<x <23，DO =EF =12BQ =23-x 2，A P =2x ，设球O 的半径R ，有R 2=DO 2+A P 2 2=34x 2-3x +3=34x -2332+2，当x =233时，R 3min=22，所以球O 体积的最小值为4πR 33=82π3．故选：C ．27(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a n S n =22n -1-2n -1，设b n =log 2S n +1 ，将数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，则c 2023=()A.4048B.2023C.2022D.4046【答案】B【解析】令数列a n 的公比为q ，∵a n >0，∴a 1>0，q >0，因为a n S n =22n -1-2n -1，所以当n =1时，a 21=21-20=1，即a 1=1或a 1=-1(舍去)，当n =2时，a 2S 2=23-21=6，即q 1+q =6，解得q =2或q =-3(舍去)，所以a n =2n -1，S n =1×1-2n 1-2=2n -1，即b n =log 2S n +1 =n ，因为数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，所以n =k 2，k ∈N *，此时b k 2=k 2=k ，即c n =n ，∴c 2023=2023．故选：B28(2023·广东·高三统考阶段练习)已知AB ⊥AC ，|AB |=t ，|AC |=1t．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP =AB |AB |+2AC|AC |，则PB ⋅PC 的最大值为()A.13 B.5-22C.5-26D.10+22【答案】B【解析】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P (x ，y )则B (t ,0),C 0,1t (t >0)，可得AB AB=(1,0)，2AC |AC |=(0,2)，所以AP =(1,2)，即P (1,2)，故PB =(t -1,-2)，PC =-1,1t-2 ，所以PB ⋅PC =1-t +4-2t =5-t +2t ≤5-22，当且仅当t =2t即t =2时等号成立．故选：B ．29(2023·广东·高三统考阶段练习)已知-π2<α-β<π2，sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，则sin β+π3=A.33B.63C.36D.66【答案】A【解析】由sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，将两个等式两边平方相加，得5+4sin α-β =3，sin α-β =-12，∵-π2<α-β<π2，∴α-β=-π6，即α=β-π6，代入sin α+2cos β=1，得3sin β+π3 =1，即sin β+π3 =33.故选A30(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设函数f (x )=log 2(1-x ),-1≤x <k ,x 3-3x +1,k ≤x ≤3 的值域为A ，若A ⊆[-1,1]，则f (x )的零点个数最多是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】令g (x )=log 2(1-x )，则g (x )=log 2(1-x )在(-∞,1)上单调递减；令h (x )=x 3-3x +1，则h (x )=3x 2-3．由h (x )>0，得x >1或x <-1；由h (x )<0，得-1<x <1，所以h (x )在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，于是，h (x )的极大值为h (-1)=3，极小值为h (1)=-1．在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的图象，如下图：显然f (-1)=g (-1)=1；由g (x )=-1，得x =12；由f (x )的解析式，得-1<k ≤1．(1)若-1<k <0，当k ≤x <0时，f (x )>f (0)=1，不符合题意；(2)若12<k ≤1，当12<x <k 时，f (x )<f 12=-1，不符合题意；(3)若0≤k ≤12，①当-1≤x <k 时，-1<f (x )≤1；②当k ≤x ≤3时，f (1)≤f (x )≤max {f (k ),f (3)}≤1，即-1≤f (x )≤1．由①②，0≤k ≤12时符合题意．此时，结合图象可知，当k =0时，f (x )在[-1,k )上没有零点，在[k ,3]上有2个零点；当0<k ≤12时，f (x )在[-1,k )上有1个零点，在[k ,3]上有1个或2个零点，综上，f (x )最多有3个零点．故选：C ．31(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设a =511,b =ln 2111,c =sin 511，则()A.c <a <bB.c <b <aC.a <b <cD.b <c <a【答案】A 【解析】当x ∈0,π2 时，记f x =x -sin x ，则f x =1-cos x ≥0，故f (x )在x ∈0,π2单调递增，故f (x )>f 0 =0，因此得当x ∈0,π2 时，x >sin x ，故511>sin 511，即a >c ；b -a =ln 2111-511=ln 1+2×511 -511，设g (x )=ln (1+2x )-x 0<x <12 ，则b -a =g 511，因为g (x )=21+2x -1=1-2x1+2x，当0<x <12时，g (x )>0．所以g (x )在0,12 上单调递增，所以g 511>g (0)=0，即b >a ，所以b >a>c ．故选：A32(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 ，12≤λ≤2 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.0,22B.22,53C.23,53D.53,1 【答案】B【解析】设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，运用椭圆的定义和勾股定理，求得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=21m -12 2+12，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围．设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由椭圆的定义可得，|PF 1|+|PF 2|=2a ，可设|PF 2|=t ，可得|PF 1|=λt ，即有(λ+1)t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，即为(λ2+1)t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由12≤λ≤2，可得32≤m ≤3，即13≤1m ≤23，则当m =2时，取得最小值12；当m =32或3时，取得最大值59，即有12≤e 2≤59，解得：22≤e ≤53，所以椭圆离心率的取值范围为22,53.故选：B .33(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设a =ln1.1,b =e 0.1-1,c =tan0.1，则()A.a <b <cB.c <a <bC.a <c <bD.b <a <c【答案】C【解析】令f x =e x -x +1 ，所以f x =e x -1，当x >0时f x >0，当x <0时f x <0，即函数f x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 0 =0，即e x ≥x +1，当且仅当x =0时取等号，令x =0.1，可得b =e 0.1-1>0.1，令h (x )=tan x -x ，x ∈0,π2 ，则在x ∈0,π2 时，h (x )=1cos 2x -1>0，∴h (x )=tan x -x 在x ∈0,π2 上单调递增，∴h (x )>h (0)=0，∴x ∈0,π2时，tan x >x ．∴c =tan0.1>0.1，令g x =ln x -x +1，则g x =1x -1=1-xx，所以当0<x <1时g x >0，当x >1时g x <0，即函数g x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，所以g x max =g 1 =0，即ln x ≤x -1，当且仅当x =1时取等号，所以当x =1.1，可得a =ln1.1<1.1-1=0.1，所以a 最小，设t x =e x -1-tan x x ∈0,0.1 ，则t (x )=e x -1cos 2x>0，∴t (x )在0,0.1 上单调递增，∴t (0)<t (0.1)，∴t (0.1)=e 0.1-1-tan0.1>e 0-1-tan0=0，∴b =e 0.1-1>tan0.1=c ，综上可得b >c >a ；故选：C34(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)符号x 表示不超过实数x 的最大整数，如 2.3 =2，-1.9 =-2.已知数列a n 满足a 1=1，a 2=5，a n +2+4a n =5a n +1.若b n =log 2a n +1 ，S n 为数列8100b n b n +1的前n 项和，则S 2025 =()A.2023B.2024C.2025D.2026【答案】B【解析】因为a n +2+4a n =5a n +1，则a n +2-a n +1=4a n +1-a n ，且a 2-a 1=4，所以，数列a n +1-a n 是首项为4，公比也为4的等比数列，所以，a n +1-a n =4×4n -1=4n ，①由a n +2+4a n =5a n +1可得a n +2-4a n +1=a n +1-4a n ，且a 2-4a 1=1，所以，数列a n +1-4a n 为常数列，且a n +1-4a n =1，②由①②可得a n =4n -13，因为4n +1-13-4n=4⋅4n -1-3⋅4n 3=4n -13>0，4n +1-13-2⋅4n =4⋅4n -1-6⋅4n 3=-2⋅4n +13<0，则4n <a n +1=4n +1-13<2⋅4n ，。

高考数学复习选填题专项练习22---比较大小第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·福建高三期末）若0,a b c R >>∈，则（ ）A ．ac bc >B ．32a bC ．2233a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22log log a b >【答案】D 【解析】【分析】取特殊值排除AB 选项，根据指数函数以及对数函数的单调性判断CD 选项. 【详解】当1c =-时，a b ac bc >⇒<，故A 错误；当3,1a b ==时，3212a b=<=，故B 错误； 由于函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，a b >，则2233ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；由于函数2log yx =在0,上单调递增，0a b >>则22log log a b >，故D 正确；故选：D【点睛】本题主要考查了根据所给条件判断不等式是否成立以及利用函数单调性比较大小，属于基础题.2．（2020·江西省南城一中高三期末）三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ）A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.40.20.43<log 0.5<4C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.20.40.4log 0.543<<【答案】D【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==<== D.3．（2020·重庆高三）己知命题:0p x ∀>，lg ln x x <，:0q x ∃>，2x <则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∨⌝【答案】C 【解析】【分析】分别判断命题,p q 的真假再利用或且非的关系逐个选项判断即可. 【详解】易得当1x =时, lg ln x x =,故p 为假命题.当14x =时, 2x <.故q 为真命题.故p q ∨为真命题.故选：C【点睛】本题主要考查了命题真假的判断,属于基础题型. 4．（2020·钦州市第三中学高三月考）设sin6a π=，2log 3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用相关知识分析各值的范围，即可比较大小.【详解】1sin 62a π==,21log 32b <=<,12343111421202c ⎛⎫=<= ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,c a b ∴<<,故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题. 5．（2020·福建高三）已知log e a π=，lneb π=，2e lnc π=，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】【分析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<，故选：B . 【点睛】本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.6．（2020·天津二十五中高三月考）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，13111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<， 133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．7．（2020·榆林市第二中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则32(2)a f =,31(log )27b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，31(log )(3)(3)27b f f f ∴==-=，320223<<=，当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立，∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，3231(log )(2)27f f f ∴>>，即b a c >>.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.8．（2020·内蒙古高三期末）已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则A ．e π＜3eB ．π23e －＜32e π－C ．log e π＞3log eD ．π3log e ＞3log e π【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出．【详解】对于A ：函数y=x e 是（0，+∞）上的增函数，A 错；对于B ：π3e ﹣2＜3πe ﹣2⇔3e ﹣3＜πe ﹣3，而函数 y=x e ﹣3是（0，+∞）上的减函数，B 错；对于C ：31133e e e e log e log e log log log log πππ⇔⇔＞＞＜，而函数y=log e x 是（0，+∞）上的增函数，C 错，对于D ：33333333e e e e log e log e log log log log ππππππππ⇔⇔⇔＞＞＞＞，D 正确；故答案为：D ．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．（2020·天津静海一中高三学业考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数.设()8log 0.2a f =，()0.3log 4b f =，()1.12c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出 1.180.3log 0.2log 42、、的大小关系从而比较函数值的大小关系.【详解】由题意可知()f x 在(],0-∞上是增函数，在0,上是减函数.因为0.30.30.3100102log log 4log 193-=<<=-，3881log 0.125log 0.2log 10-=<<=， 1.122>， 所以 1.180.3log 0.2log 42<<，故c b a <<.故选：A【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题.10.（2020·湖南高三期末）已知 3x >，且357log log log ==x y z ，则下列不等式关系中正确的是（ ）A ．357<<x y zB ．753<<z y xC ．735<<z x yD ．537<<y x z【答案】B 【解析】【分析】令357log log log x y z k ===，求得1313k x -=，1515k y -=，1717k z -=，再根据幂函数的单调性即可得出结论．【详解】令357log log log x y z k ===()1k >，∴3k x =，5ky =，7k z =，∴133133k k x -==，155155k k y -==，177177k k z -==，∵3x >，∴1k >，∴10k ->，∴幂函数1k y x -=在()0,∞+上单调递增，∴1110357k k k ---<<<，∴111111753k k k ---<<，即753<<z y x ，故选：B ． 【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化，考查根据幂函数的单调性比较大小，属于中档题．11．（2020·福建高三月考）函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，()01f x x '>+，且(1)=-y f x 为偶函数，则（ ）A ．(2)(1)f f -<B ．(2)(1)f f -=C ．(2)(1)f f ->D ．|(2)||(1)|f f ->【答案】A 【解析】 【分析】根据()01f x x '>+以及(1)=-y f x 为偶函数判断出函数()f x 的单调性和对称性，由此判断出()2f -和()1f 的大小关系.【详解】由于(1)=-y f x 为偶函数，所以函数()f x 关于1x =-对称.由于()01f x x '>+，所以当1,10x x <-+<时()'0f x <，()f x 递减，当1,10x x >-+>时，()'0f x >，()f x 递增.所以(2)(1)f f -<.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查函数的图像变换，考查函数的对称性，属于中档题.12．（2020·福建高三月考）已知25log 5log 2a =+，25log 5log 2b =⋅，25log 5log 2c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c <<C ．b c a <<D ． c b a <<【答案】A 【解析】【分析】根据2225552log log 5log 83,0log log 24log 511=<<==<=<，得24a <<，25221log 5log 2log 51log 5b =⋅=⋅=，()()222225log 5log 5log 44log 2c ==>=，再比较. 【详解】因为2225552log log 5log 83,0log log 24log 511=<<==<=<，所以252log 5log 24<+<， 所以24a <<，又因为25221log 5log 2log 51log 5b =⋅=⋅=，()()222225log 5log 5log 44log 2c ==>=， 所以b a c <<.故选：A 【点睛】本题主要考查对数的换底公式和对数比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．（2020·江西省南城一中高三期末）若23a ⎛= ⎪⎝⎭，log 3b π=，2log ec π=，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数比较a 、b 、c 三个数与0和23的大小关系，进而可得出这三个数的大小关系. 【详解】指数函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R上的减函数，则22033⎛<<⎪⎝⎭，即023a <<；对数函数log y x π=为()0,∞+上的增函数，()322333ππ⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，233π∴<，所以，232log log 33πππ=<，即23b >；对数函数2log y x =为()0,∞+上的增函数，则22log log 10ec π=<=.因此，b a c >>.故选：D.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于基础题.14．（2020·山西高三月考）若()10,,2nm m n a b e e c >>==+=，则（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式得出2m nm n ++>>，再根据函数的单调性即可比较大小．【详解】当0m n >>时，2m n m n ++>>，且xy e =是定义域R 上的单调增函数，2m n a e+==,所以2m ne+>a c >；又22m n m n e e e++>=，所以21()2m nm ne e e ++>，即b a >；所以b a c >>．故选：A ．【点睛】本题主要考查了根据基本不等式和函数的单调性比较大小的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15．（2020·广西师大附属外国语学校高三）已知函数()1y f x =+是偶函数，且函数()y f x =在区间[)1,∞+上是增函数，则下列大小关系中正确的是（ ）A ．()211log 323f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()211log 323f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()211log 332f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()211log 332f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据函数()1y f x =+是偶函数，关于x ＝0对称，则()y f x =的图象关于直线x =1对称，结合单调性比较大小.【详解】函数()1y f x =+是偶函数，关于x ＝0对称，()y f x =的图象关于直线x =1对称，且在区间[)1,∞+上是增函数，则在(0，1)上为减函数，1123>，2211322303327log log --=>， ()22119230228log log --=>， 所以()2211112332323log f f log f ⎛⎫⎛⎫>-><< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D 【点睛】此题考查函数奇偶性的辨析，根据对称性和单调性比较函数值的大小关系，关键在于准确识别函数的单调区间.16．（2020·山西高三月考）已知()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，满足(1)1f =，2()()xf x f x x '-<，则不等式①(2)2f <，②(2)4f <，③1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，④1124f ⎛⎫< ⎪⎝⎭中一定成立的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】【分析】根据题意构造函数()()f x g x x=-x ，并判断其在（0，+∞）上单调递减，然后分别算出g （1）、g （2）和g （12），并利用单调性比较大小，即可判断每个选项． 【详解】令()()f x g x x=-x ，则()()()2''xf x f x g x x -=-1()()22'xf x f x x x --=，∵xf '（x ）﹣f （x ）＜x 2，∴g '（x ）＜0在（0，+∞）上恒成立，即g （x ）在（0，+∞）上单调递减， ∵f （1）＝1，∴()()1111101f g =-=-=，对于()()()222102f g g =-=＜，即f （2）＜4，∴①错误，②正确；对于()1112101222f g g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭＞，即1124f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＞，∴③和④均错误；因此一定成立的只有②，故选：A ．【点睛】本题主要考查导数的综合应用，构造新函数是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

2023年新高考数学选填压轴题好题汇编(二)一、单选题1.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知a,b∈R，函数f(x)=x,x<013x3-12(a+1)x2+ax,x≥0 ，若函数y=f(x)-ax-b恰有三个零点，则()A.a<-1,b<0B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>02.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1-m2=2.5lg E2-lg E1.其中星等为m i的星的亮度为E i i=1,2.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是( )(当x 较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2)A.1.22B.1.24C.1.26D.1.283.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知函数f x =2sin2x-π3，若方程f x =23在(0，π)的解为x1，x2(x1<x2)，则sin x1-x2=( )A.-223B.223C.13D.-134.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A，B分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A，B两点在水平方向的距离约为( )A.23mB.25mC.27mD.29m5.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知a=4ln5π,b=5ln4π,c=5lnπ4，则a,b,c的大小关系是( )A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.c<b<a6.(2022·湖北·高三开学考试)已知直线l是曲线y=ln x与曲线y=x2+x的一条公切线，直线l与曲线y=x2 +x相切于点a,a2+a，则a满足的关系式为( )A.a2+1-ln2a+1=0 B.a2+1+ln2a+1=0C.a2-1-ln2a+1=0 D.a2-1+ln2a+1=07.(2022·湖北·高三开学考试)在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠PAB，AC=2AB=4，PA=PB=2，BC =23，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A.22πB.26πC.64π3D.68π38.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知函数f x =x 2-23ax 3(a >0)的定义域为R ，若对于任意的x 1∈3,+∞ ，都存在x 2∈1,+∞ ，使得f x 1 ⋅f x 2 =1，则a 的取值范围是( )A.0,13B.32,+∞C.13,12D.12,329.(2022·湖北·高三阶段练习)已知四面体D -ABC 中，AC =BC =AD =BD =1，则D -ABC 体积的最大值为( )A.4227B.328C.2327D.31810.(2022·湖北·高三阶段练习)恰有一个实数x 使得x 3-ax -1=0成立，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,32B.-∞,3322C.322D.-∞,32211.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与Γ交于A ，B 两点.若AF 2 =3F 2B ，AB =2AF 1 ，则Γ的离心率为( )A.15B.55C.105D.15512.(2022·湖北武汉·高三开学考试)若x +y -1=e x +2ln y 2，其中x >2，y >2，则下列结论一定成立的是( )A.2x >yB.2e x2>yC.x >yD.2e x >y13.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知a =e 0.2-1,b =ln1.2,c =tan0.2，其中e =2.71828⋯为自然对数的底数，则( )A.c >a >bB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c14.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知正实数C 满足：对于任意θ，均存在i ,j ∈Z ,0≤i ≤j ≤255，使得cos 2θ-ij≤C ，记C 的最小值为λ，则( )A.12000<λ<11000B.11000<λ<1500C.1500<λ<1200D.1200<λ<110015.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠(球)的表面上有四个点A ，B ，C ，P ，且球心O 在PC 上，AC =BC =4，AC ⊥BC ，tan ∠PAB =tan ∠PBA =62，则该鞠(球)的表面积为( )A.9π B.18πC.36πD.64π试卷第12页，共61页二、多选题16.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知函数f x =x 2π+cos x -π4x ∈R ，则下列说法正确的有( )A.直线y =0为曲线y =f (x )的一条切线B.f (x )的极值点个数为3C.f (x )的零点个数为4D.若f (x 1)=f (x 2)(x 1≠x 2)，则x 1+x 2=017.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f 1+x=-f 1-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 2+x -2，则( )A.f x 是以4为周期的周期函数 B.f 2021 +f 2022 =-2C.函数y =f x -log 2x +1 有3个零点D.当x ∈3,4 时，f x =x 2-9x +1818.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是圆O ：x 2+y 2=1上两点，则下列结论正确的是( )A.若AB =1，则∠AOB =π3B.若点O 到直线AB 的距离为12，则AB =32C.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为22D.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为419.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知定义在R 上的偶函数f x ，其导函数为f 'x ，当x ≥0时，f 'x +sin2x <0.则( )A.函数g x =f x -cos 2x 的图象关于y 轴对称B.函数g x =f x -cos 2x 在区间0,+∞ 上单调递减C.不等式f x -f x +π2 <cos2x 的解集为-∞,-π4D.不等式f x -f x +π2 <cos2x 的解集为-π4,+∞ 20.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知椭圆C ：x 2a +y 22=1(a >2)的离心率为33，过点P (1，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP =λPB.动点Q 满足AQ =-λQB ，则下列结论正确的是( )A.a =3B.动点Q 的轨迹方程为2x +3y -6=0C.线段OQ (O 为坐标原点)长度的最小值为31313D.线段OQ (O 为坐标原点)长度的最小值为6131321.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知函数f (x )满足∀x ∈R ，有f (x )=f (6-x )，且f (x +2)=f (x -2)，当x ∈[-1,1]时，f (x )=ln 1+x 2-x ，则下列说法正确的是( )A.f (2021)=0B.x ∈(2020,2022)时，f (x )单调递增C.f (x )关于点(1010,0)对称D.x∈(-1,11)时，方程f(x)=sinπ2x的所有根的和为3022.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知函数f x =e x+1e2x+k.则( )A.当k=0时，f x 是R上的减函数B.当k=1时，f x 的最大值为1+22C.f x 可能有两个极值点D.若存在实数a，b，使得g x =f x+a+b为奇函数，则k=-123.(2022·湖北·高三开学考试)已知双曲线C:x2-y224=1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则下列结论正确的是( )A.双曲线C的渐近线方程为y=±26xB.△PF1F2内切圆的半径为2C.PF1+ PF2=12D.点P到x轴的距离为24524.(2022·湖北·高三开学考试)已知函数f x =x-ax-bx-c的三个零点a，b，c满足a<b<c，a+b+c=9ab+bc+ca=24,则( )A.0<a<1B.2<b<4C.4<c<5D.b-4c-4的最小值是-9 425.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r(0<r<2)，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是( )A.当r=1时，V=73π3 B.V存在最大值C.当r在区间0,2内变化时，V逐渐减小 D.当r在区间0,2内变化时，V先增大后减小26.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A,B两点(其中A在B的上方)，O为坐标原点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA,OB,l于点P,Q,N.则( )A.若AF=2FB，则直线AB的斜率为22B.PM=NQC.若P,Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为22D.若P,Q不是线段MN的三等分点，则一定有PQ>OQ27.(2022·湖北·高三阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方体的中心，M为DD1的中点，F为侧面正方形AA1D1D内一动点，且满足B1F⎳平面BC1M，则( )A.若P为正方体表面上一点，则满足△OPA的面积为22的点有12个B.动点F的轨迹是一条线段试卷第12页，共61页C.三棱锥F -BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D.若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为263,2228.(2022·湖北·高三阶段练习)[多选题]已知抛物线x 2=12y 的焦点为F ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )A.点F 的坐标为18,0B.若直线MN 过点F ，则x 1x 2=-116C.若MF =λNF ，则MN 的最小值为12D.若MF +NF =32，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为5829.(2022·湖北·高三阶段练习)画法几何的创始人--法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线l :bx +ay -a 2-b 2=0，则( )A.直线l 与蒙日圆相切B.C 的蒙日圆的方程为x 2+y 2=2a 2C.记点A 到直线l 的距离为d ，则d -AF 2 的最小值为43-62 b3D.若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为8b 230.(2022·湖北武汉·高三开学考试)设函数f x =sin ωx +π3(ω>0)，若f x 在[0，2π]有且仅有5个零点，则( )A.f x 在(0，2π)有且仅有3个极大值点B.f x 在(0，2π)有且仅有2个极小值点C.f x 在0，π10单调递增D.ω的取值范围是73，17631.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知数列a n 满足：a 1=1，a n =123a n -1+5a 2n -1+4 n ≥2 ，下列说法正确的是( )A.∀n ∈N ∗，a n ,a n +1,a n +2成等差数列B.a n +1=3a n -a n -1n ≥2C.2n -1≤a n ≤3n -1n ∈N *D.∀n ∈N *，a n ,a n +1,a n +2一定不成等比数列32.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)如图，ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ⊥平面ABCD ．点P 为半圆弧AD上一动点(点P 与点A ，D 不重合)．下列说法正确的是( )A.三棱锥P -ABD 的四个面都是直角三角形B.三棱锥P 一ABD 体积的最大值为1254C.异面直线PA 与BC 的距离为定值D.当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P -ABCD 外接球的截面面积为253-2 π433.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a ,b >0)的虚轴长为2，F 1,F 2为其左右焦点，P ,Q ,R 是双曲线上的三点，过P 作C 的切线交其渐近线于A ,B 两点.已知△PF 1F 2的内心I 到y 轴的距离为1.下列说法正确的是( )A.△ABF 2外心M 的轨迹是一条直线B.当a 变化时，△AOB 外心的轨迹方程为x 2+a 2y 2=(a 2+1)24C.当P 变化时，存在Q ,R 使得△PQR 的垂心在C 的渐近线上D.若X ,Y ,Z 分别是PQ ,QR ,PR 中点，则△XYZ 的外接圆过定点34.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知函数f x =x +1 e x,x <0x +12e x,x ≥0，下列选项正确的是( )A.函数f (x )在(-2，1)上单调递增B.函数f (x )的值域为-1e 2,+∞ C.若关于x 的方程f x 2-a f x =0有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是1e 2,4eD.不等式f x -ax -a >0在-1,+∞ 恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是3e 2,2e三、填空题35.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知函数f x =ax 2-2x +ln x 有两个不同的极值点x 1,x 2,且不等式f x 1 +f x 2 <x 1+x 2+t 恒成立,则t 的取值范围是__________．36.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且f (x +1)=f (1-x )，当x ∈0，1 时，f x =x ，若函数y =f (x )-log a (x +1)(a >0且a ≠1)有且仅有6个零点，则a 的取值范围是______．37.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)若直线l ：y =kx +b 为曲线f x =e x 与曲线g x =e 2⋅ln x 的公切线(其中e 为自然对数的底数，e ≈2.71828⋯)，则实数b =___________.38.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)在四棱锥P -ABCD 中，已知底面ABCD 是边长为43的正方形，其顶点P 到底面ABCD 的距离为3，该四棱锥的外接球O 的半径为5，若球心O 在四棱锥P -ABCD 内，则顶点P 的轨迹长度为___________.39.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知函数f x =e x sin x -ax 在-π,0 上单调递增，则实数a 的取值范围________.40.(2022·湖北·高三开学考试)记数列a n 的前n 项和为S n ，若a n =2n3n -49，则使得S n 取得最小值时n 的值为________.41.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)设a =15,b =2ln sin 110+cos 110 ,c =65ln 65，则a ,b ,c 的大小关系是___________.试卷第12页，共61页42.(2022·湖北·高三阶段练习)有一个棱长为6的正四面体，其中有一半径为64的球自由运动，正四面体内未被球扫过的体积为43.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则该正三棱锥体积的最大值为___________.44.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)如图，经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆x 2+y 2-4x +2y -20=0相交于A ，C ，B ，D 四点，M 为弦AB 的中点，有下列结论：①弦AC 长度的最小值为45；②线段BO 长度的最大值为10-5；③点M 的轨迹是一个圆；④四边形ABCD 面积的取值范围为205,45 ．其中所有正确结论的序号为______．45.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知函数f x =4e ln x -x 2x -e ln x+mx 存在4个零点，则实数m 的取值范围是__________．46.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 上任意一点P x 0,y 0 的切线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1．若已知△ABC 内接于椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，且坐标原点O 为△ABC 的重心，过A ，B ，C 分别作椭圆E 的切线，切线分别相交于点D ，E ，F ，则S△DEF S △ABC =______．47.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1､F 2，过F 1作圆O :x 2+y 2=a 2的切线l 切圆O 于点B 并与双曲线的右支交于点C ，若BC =CF 2 ，则双曲线的离心率为___________.四、双空题48.(2022·湖北·高三开学考试)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的准线l 与x 轴的交点为H ，抛物线C 的焦点为F ，过点H 的直线与抛物线C 交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点，BF =4AF ，则x2x 1=________；若AB 的中点到准线l 的距离为254，则p =_________.49.(2022·湖北·高三阶段练习)已知2a +4a 2+1 b +b 2+1 =1，则2a +b +b 2-4a 24a 2+1-b 2+1的最大值为_______，此时a +b =__________.50.(2022·湖北·高三阶段练习)如图，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3是全等的等腰直角三角形(OB 1=2，B i i =1,2,3 处为直角顶点)，且O ，A 1，A 2，A 3四点共线.若点P 1，P 2，P 3分别是边A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3上的动点(包含端点)，则OB 1 ⋅OP 3 =________，OB 2 ⋅OP 2的取值范围为_______.试卷第12页，共61页2023年新高考数学选填压轴题好题汇编(二)一、单选题1.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知a ,b ∈R ，函数f (x )=x ,x <013x 3-12(a +1)x 2+ax ,x ≥0，若函数y =f (x )-ax -b 恰有三个零点，则()A.a <-1,b <0B.a <-1,b >0C.a >-1,b <0D.a >-1,b >0【答案】C【解析】当x <0时，y =f (x )-ax -b =x -ax -b =(1-a )x -b =0，得x =b1-a；y =f (x )-ax -b 最多一个零点；当x ≥0时，y =f (x )-ax -b =13x 3-12(a +1)x 2+ax -ax -b =13x 3-12(a +1)x 2-b ，y ′=x 2-(a +1)x ，当a +1≤0，即a ≤-1时，y ′≥0，y =f (x )-ax -b 在[0，+∞)上递增，y =f (x )-ax -b 最多一个零点．不合题意；当a +1>0，即a >-1时，令y ′>0得x ∈[a +1，+∞)，函数递增，令y ′<0得x ∈[0，a +1)，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y =f (x )-ax -b 恰有3个零点⇔函数y =f (x )-ax -b 在(-∞,0)上有一个零点，在[0，+∞)上有2个零点，如图：∴b1-a <0且-b >013(a +1)3-12(a +1)(a +1)2-b <0，解得b <0，1-a >0，0>b >-16(a +1)3,∴a >-1．故选C ．2.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus )在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M .R .Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=2.5lg E 2-lg E 1 .其中星等为m i 的星的亮度为E i i =1,2 .已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是( )(当x 较小时，10x ≈1+2.3x +2.7x 2)A.1.22 B.1.24C.1.26D.1.28【答案】C【解析】若“天津四”的亮度是E ，则“心宿二”的亮度是rE ，∴1.25-1=2.5⋅(lg rE -lg E )，即lg rE E =lg r =110，∴r =100.1≈1+2.3×0.1+2.7×(0.1)2=1.257.故选：C .3.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知函数f x =2sin 2x -π3 ，若方程f x =23在(0，π)的解为x 1，x 2(x 1<x 2)，则sin x 1-x 2 =( )A.-223B.223C.13D.-13【答案】A【解析】因为x ∈0,π ，所以2x -π3∈-π3,5π3 ，又因为x 1,x 2是sin 2x -π3 =13的两根，结合图象可知x 1+x 22=5π12，所以x 2=5π6-x 1，所以sin x 1-x 2 =sin 2x 1-5π6 =-cos 2x 1-π3 ，又因为x 1<x 2,x 2=5π6-x 1，所以0<x 1<5π12，所以2x 1-π3∈-π3,π2 ，所以cos 2x 1-π3 =223，所以sin x 1-x 2 =-223.故选：A .4.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A ，B 分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m .两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A ，B 两点在水平方向的距离约为( )A.23m B.25mC.27mD.29m【答案】D【解析】以滑道的最陡处为原点O 建立平面直角坐标系，由题意可知，O 为AB 的中点，设三次函数的解析式为f x =ax 3+bx 2+cx ，其中a ≠0，设点A -x 0,10 ，则B x 0,-10 ，f x =3ax 2+2bx +c ，在滑道最陡处，x =0，则f x 的对称轴为直线x =0，则-b3a=0，可得b =0，则f x =3ax 2+c ,f x =ax 3+cx ，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为α，则f 0 =c =tan α+π2 =sin α+π2cos α+π2 =-cos αsin α=-1tan α，所以fx=ax 3-x tan α,f x =3ax 2-1tan α，由图可知f (x 0)=3ax 02-1tan α=0f (x 0)=ax 03-x 0tan α=-10可得2x 0=30tan α,，因为α≈44∘，则2x 0=30tan α≈28.97≈29m .故选：D .5.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知a =4ln5π,b =5ln4π,c =5lnπ4，则a ,b ,c 的大小关系是( )A.c <a <bB.a <b <cC.a <c <bD.c <b <a试卷第12页，共61页【答案】B【解析】令f x =ln xx x≥e，可得f x =1x⋅x-ln xx=1-ln xx，当x≥e时，f x ≤0恒成立，所以f x =ln xx在e,+∞上单调递减，所以fπ >f4 >f5 ，即lnππ>ln44>ln55，可得4lnπ>πln4，5ln4>4ln5，所以lnπ4>ln4π，5πln4>4πln5，所以5lnπ4>5ln4π，5ln4π>4ln5π，即c>b，b>a.所以a<b<c.故选：B.6.(2022·湖北·高三开学考试)已知直线l是曲线y=ln x与曲线y=x2+x的一条公切线，直线l与曲线y=x2 +x相切于点a,a2+a，则a满足的关系式为( )A.a2+1-ln2a+1=0 B.a2+1+ln2a+1=0C.a2-1-ln2a+1=0 D.a2-1+ln2a+1=0【答案】C【解析】记y=f(x)=ln x得f (x)=1x,记g(x)=x2+x得g x =2x+1，设直线l与曲线f x =ln x相切于点b,ln b，由于l是公切线，故可得f b =g (a)g(a)-f(b)a-b=g a ，即1b=2a+1a2+a-ln ba-b=g (a)=2a+1化简得a2-1-ln2a+1=0，故选：C7.(2022·湖北·高三开学考试)在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠PAB，AC=2AB=4，PA=PB=2，BC =23，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A.22πB.26πC.64π3D.68π3【答案】A【解析】PA2+PB2=AB2⇒PA⊥PB，且∠PAB=45∘，∴∠PAC=∠PAB=45∘，在△PAC中，根据余弦定理得，PC2=AC2+AP2-2AC⋅AP⋅cos∠PAC=16+2-2×4×2×22=10，∴PB2+PC2=2+10=12=BC2，∴PB⊥PC，又PA∩PC=P，PA,PC⊂平面PAC，∴PB⊥平面PAC，故可将三棱锥B -APC 补为直三棱柱BA 1C 1-PAC ，则直三棱柱BA 1C 1-PAC 的外接球即为三棱锥P -ABC 的外接球，设△PAC 外接圆圆心为O 2，△A 1BC 1的外接圆圆心为O 1，则直三棱柱的外接球球心为O 1O 2中点O ，OA 即为外接球的半径.在△PAC 中，根据正弦定理可得2O 2A =PC sin ∠PAC =1022=25，∴O 2A =5，∴OA 2=OO 22+O 2A 2=O 1O 22 2+O 2A 2=22 2+5=112，∴外接球表面积为：4π⋅OA 2=4π×112=22π．故选：A ．8.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知函数f x =x 2-23ax 3(a >0)的定义域为R ，若对于任意的x 1∈3,+∞ ，都存在x 2∈1,+∞ ，使得f x 1 ⋅f x 2 =1，则a 的取值范围是( )A.0,13B.32,+∞C.13,12D.12,32【答案】D【解析】因为f x =x 2-23ax 3，所以f x =2x -2ax 2=2x (1-ax )，f (1)=1-2a3，f (3)=9-18a ，令f x =0，可得x =0或x =1a，当0<a ≤1时，x ∈1,1a ，则f (x )>0，x ∈1a ,+∞ ，则f (x )<0，所以函数f (x )在1,1a 上单调递增，函数f (x )在1a,+∞ 上单调递减，当a >1时，x ∈(1,+∞)时，f (x )<0，所以函数f (x )在(1,+∞)上为减函数，设g (x )=1f (x )，因为对于任意的x 1∈3,+∞ ，都存在x 2∈1,+∞ ，使得f x 1 ⋅f x 2 =1，所以对于任意的x 1∈3,+∞ ，都存在x 2∈1,+∞ ，使得f x 2 =g x 1 ，所以函数g (x )在(3,+∞)上的值域包含与函数f (x )在(1,+∞)上值域，当a ≥1时，9-18a <0，1a≤1函数f (x )在(1,+∞)上为减函数，函数f (x )在(1,+∞)上的值域为-∞,1-2a3 ，函数f (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,9-18a ，所以函数g (x )在(3,+∞)上的值域为19-18a ,0，由已知19-18a ,0 ⊆-∞,1-2a3 ，所以1-2a 3≥0，又a ≥1，所以1≤a ≤32，(注：由此可排除A ，B ，C )当0<a ≤13时，1-2a 3≥0，9-18a >0，1a≥3函数f (x )在1,1a 上单调递增，函数f (x )在1a,+∞ 上单调递减，函数f (x )在(1,+∞)上的值域为-∞,1a 2 ，函数f (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,1a2 ，试卷第12页，共61页所以函数g (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,0 ∪(a 2,+∞)，与已知矛盾，当13<a <12时，1-2a 3≥0，9-18a >0，2<1a<3因为函数f (x )在1,1a 上单调递增，函数f (x )在1a,+∞ 上单调递减，所以函数f (x )在(1,+∞)上的值域为-∞,1a2 ，函数f (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,9-18a ，所以函数g (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,0 ∪19-18a,+∞ ，与已知矛盾，当a =12时，1-2a 3>0，9-18a =0，1a=2x ∈1,2 ，则f (x )>0，x ∈2,+∞ ，则f (x )<0，所以函数f (x )在1,2 上单调递增，函数f (x )在2,+∞ 上单调递减，所以函数f (x )在(1,+∞)上的值域为-∞,4 ，函数f (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,0 ，所以函数g (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,0 ，-∞,0 ⊆-∞,4 ，满足要求当12<a <1时，1-2a 3>0，9-18a <0，1<1a<2函数f (x )在1,1a 上单调递增，函数f (x )在1a,+∞ 上单调递增所以函数f (x )在(1,+∞)上的值域为-∞,1a 2 ，函数f (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,9-18a ，所以函数g (x )在(3,+∞)上的值域为19-18a ,0 ，19-18a ,0 ⊆-∞,1a2 ，满足要求，综上所述，12≤a ≤32，故选：D .9.(2022·湖北·高三阶段练习)已知四面体D -ABC 中，AC =BC =AD =BD =1，则D -ABC 体积的最大值为( )A.4227B.328C.2327D.318【答案】C【解析】设M 为CD 的中点，连接AM ,BM ,设四面体A -BCD 的高为h ，则h ≤AM ,由于AC =BC =AD =BD =1，故△ACD ≌△BCD ,则∠ACD =∠BCD ,设∠ACD =∠BCD =α,α∈0,π2，则AM =BM =BC sin α=sin α,CD =2CM =2BC cos α=2cos α,所以V D -ABC =V A -DBC =13S △BCD ⋅h ≤16CD ⋅BM ⋅AM=13cos αsin 2α=1322cos 2α⋅sin 2α⋅sin 2α≤1322cos 2α+sin 2α+sin 2α3 3=2327，当且仅当平面ACD 与平面BCD 垂直且sin α=2cos α即α=arctan2时取等号，故选：C10.(2022·湖北·高三阶段练习)恰有一个实数x 使得x 3-ax -1=0成立，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,32B.-∞,3322C.322D.-∞,322【答案】B【解析】当x =0时，-1=0不成立，所以x =0不是方程的根，故对原方程转化为a =x 2-1x ，故转化为y =a 与f (x )=x 2-1x仅有一个交点，构造f (x )=x 2-1x ，f (x )=2x +1x 2=2x 3+1x 2，当1-32<x <0或x >0时，f (x )>0，当x <1-32时，f x<0，故函数f (x )在-∞,1-32单调递减，在1-32,0和0,+∞单调递增，又f 1-32=3322，当x →-∞时，f (x )→+∞，x →+∞时，f (x )→+∞，且x →0-时，f (x )→+∞，x →0+时，f (x )→-∞，故要使得y =a 与f (x )仅有一个交点，即a 的取值范围是-∞,3322故选：B ．11.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与Γ交于A ，B 两点.若AF 2 =3F 2B ，AB =2AF 1 ，则Γ的离心率为( )A.15B.55C.105D.155【答案】C【解析】设F 2B =m ,则AF 2 =3m ,AB =2AF 1 =4m .由椭圆的定义可知BF 1 +BF 2 =2a =5m ,所以m =25a ,所以AF 2 =65a ,AF 1 =45a .在△ABF 1中,cos A =AB 2+AF 12-BF 122AB ×AF 1=8a 5 2+4a 5 2-8a 5 228a 5×4a 51=14.所以在△AF 1F 2中,F 1F 22=AF 1 2+AF 2 2-2AF 1 AF 2 cos A ,即4c 2=4a 5 2+4a 5 2-24a 5 2×14整理可得：e 2=c 2a 2=25,所以e =105故选：C 12.(2022·湖北武汉·高三开学考试)若x +y -1=e x +2ln y2，其中x >2，y >2，则下列结论一定成立的是( )A.2x >y B.2e x2>yC.x >yD.2e x >y【答案】D试卷第12页，共61页【解析】因为x +y -1=e x +2ln y2，其中x >2，y >2，所以e x -x =y -1-2ln y 2=2y 2-1-2ln y 2=y 2-1-ln y 2+y 2-ln y2，其中x >2，y >2，令y =x -1-ln x ，y =1-1x =x -1x，故x ∈0,1 时，y =x -1x <0，y =x -1-ln x 单调递减，x ∈1,+∞ 时，y =x -1x>0，y =x -1-ln x 单调递增，所以y =x -1-ln x ≥0，即x -1≥ln x ，当且仅当x =1时等号成立，所以y 2-1>ln y2,y >2，所以e x -x >y 2-lny2故令f x =e x -x ,x >2，则e x -x >y 2-ln y 2等价于f x >f ln y2，因为f x =e x -1>0,x >2，故函数f x =e x -x 在2,+∞ 单调递增，所以f x >f ln y 2 等价于x >ln y 2，即x =ln e x >lny2所以e x >y2，即2e x >y .故选：D13.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知a =e 0.2-1,b =ln1.2,c =tan0.2，其中e =2.71828⋯为自然对数的底数，则( )A.c >a >b B.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c【答案】B【解析】令f (x )=e x -1-tan x =cos x e x -cos x -sin x cos x ，0<x <π4，令g (x )=cos x e x -cos x -sin x ，g (x )=(-sin x +cos x )e x+sin x -cos x =(e x -1)⋅(cos x -sin x )，当0<x <π4时，g (x )>0，g (x )单调递增，又g (0)=1-1=0，所以g (x )>0，又cos x >0，所以f (x )>0，在0,π4成立，所以f (0.2)>0即a >c ，令h (x )=ln (x +1)-x ，h (x )=1x +1-1=-x x +1，h (x )在x ∈0,π2为减函数，所以h (x )<h (0)=0，即ln (x +1)<x ，令m (x )=x -tan x ，m (x )=1-1cos 2x ，m (x )在x ∈0,π2 为减函数，所以m (x )<m (0)=0，即x <tan x ，所以ln (x +1)<x <tan x ，x ∈0,π2成立，令x =0.2，则上式变为ln (0.2+1)<0.2<tan0.2，所以b <0.2<c 所以b <c ，所以b <c <a .故答案为：B .14.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知正实数C 满足：对于任意θ，均存在i ,j ∈Z ,0≤i ≤j ≤255，使得cos 2θ-ij≤C ，记C 的最小值为λ，则( )A.12000<λ<11000B.11000<λ<1500C.1500<λ<1200D.1200<λ<1100【答案】B【解析】题设等价于对于任意x ∈0,1 ，均存在i ,j ∈Z ,0≤i ≤j ≤255，使得x -i j≤C ，将i j在数轴上表示如下：当x 与上述数轴上的点重合时，易得存在i ,j ∈Z ,0≤i ≤j ≤255使得x -i j =0，又C 为正实数，则x -i j≤C 成立；当x 与上述数轴上的点不重合时，假设在相邻的两个点i 1j 1,i 2j 2之间，则x -i 1j 1 ≤12i 2j 2-i 1j 1，当且仅当x 在相邻的两个点i 1j 1,i 2j 2中点时取等，要使对于任意x ∈0,1 ，均存在i ,j ∈Z ,0≤i ≤j ≤255，使得x -i j ≤C ，则有C ≥12i 2j 2-i 1j 1，又数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为1255-0=1-254255=1255，此时x 在相邻的两个点0,1255或254255,1中点，则C ≥12×1255=1510.以下说明数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为1255，易得数轴上k 255,k +1255k ∈Z ,0≤k ≤254 两点之间的距离为1255，当k =0或k =254，0,1255和254255,1为相邻的两点，之间的距离为1255；当1≤k ≤253时，则k 255<k254<k +1255，即k 255,k +1255之间必存在点k 254，可得相邻的两点之间的距离小于1255，综上可得数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为1255.故λ=1510，故11000<λ<1500.故选：B .15.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠(球)的表面上有四个点A ，B ，C ，P ，且球心O 在PC 上，AC =BC =4，AC ⊥BC ，tan ∠PAB =tan ∠PBA =62，则该鞠(球)的表面积为( )A.9πB.18πC.36πD.64π【答案】C【解析】如图，取AB 的中点M ，连接MP ，由AC =BC =4，AC ⊥BC 得：AB =42，试卷第12页，共61页由tan ∠PAB =tan ∠PBA =62，得：MP =22×62=23，连接CM 并延长，交球O 于点H ，连接PH ，因为PC 球O 的直径，设球的半径为R ，则PH ⊥CH ，MH =12CH =12AB =22，则PH =PM 2-MH 2=12-8=2，所以2R 2=PC 2=CH 2+PH 2=42 2+4=36，解得：R =3，球的表面积为4πR 2=36π.故选：C 二、多选题16.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知函数f x =x 2π+cos x -π4x ∈R ，则下列说法正确的有( )A.直线y =0为曲线y =f (x )的一条切线B.f (x )的极值点个数为3C.f (x )的零点个数为4D.若f (x 1)=f (x 2)(x 1≠x 2)，则x 1+x 2=0【答案】AB 【解析】因为f x =x 2π+cos x -π4x ∈R ，所以f x =2x π-sin x x ∈R ，令f x =0，即2xπ=sin x ，令y 1=sin x ，y 2=2xπ，在同一坐标系中作出两函数的图像，由图像得：当x ∈π2,+∞和x ∈-π2,0 时，sin x <2x π，所以此时f x >0，所以f x 在-π2,0 和π2,+∞ 上单调递增；当x ∈-∞,-π2 和x ∈0，π2 时，sin x >2xπ，所以此时f x <0，所以f x 在-∞，-π2 和0,π2 上单调递减；且f 0 =1-π4，f π2 =π2 2π+cos π2-π4=0，f -π2 =-π2 2π+cos -π2 -π4=0，作出函数f x 的图象如下图所示：对于A 选项：根据函数的图象，知A 选项正确；对于B ：由图象得f x =0有3个不同的解，有3个极值点，故B 正确；对于C ：当x =π2或x =-π2时，f x =0，所以函数f x 有2个零点，故C 不正确；对于D ：因为f -x =-x 2π+cos -x -π4=x 2π+cos x -π4=f x ，所以函数f x 是偶函数，所以函数f x 关于y 轴对称，若f x 1 =f x 2 ，则当x 1=0≠x 2时，f 0 =f x 2 =1-π4，此时即x 1+x 2=x 2≠0，故D 不正确.故选：AB .17.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f 1+x=-f 1-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 2+x -2，则( )A.f x 是以4为周期的周期函数 B.f 2021 +f 2022 =-2C.函数y =f x -log 2x +1 有3个零点D.当x ∈3,4 时，f x =x 2-9x +18【答案】ACD【解析】依题意，f x 为偶函数，且f 1+x =-f 1-x ⇒f x 关于1,0 对称，则f x +4 =f 1+x +3 =-f 1-x +3 =-f -2-x=-f -2+x =-f 2+x =-f 1+1+x =f 1-1+x =f -x =f x ，所以f x 是周期为4的周期函数，A 正确.因为f x 的周期为4，则f 2021 =f 1 =0，f 2022 =f 2 =-f 0 =2，所以f 2021 +f 2022 =2，B 错误；作函数y =log 2x +1 和y =f x 的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C 正确；当x ∈3,4 时，4-x ∈0,1 ，则f x =f -x =f 4-x =4-x 2+4-x -2=x 2-9x +18，D 正确.故选：ACD18.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是圆O ：x 2+y 2=1上两点，则下列结论正确的是( )A.若AB =1，则∠AOB =π3B.若点O 到直线AB 的距离为12，则AB =32C.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为22D.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为4【答案】AD【解析】对于A ，若AB =1，则可知点O 到AB 的距离为32，从而可知∠AOB =π3，故A 正确；对于B ，若点O 到直线AB 的距离为12，则可知AB 2=32，从而得AB =3，故B 错误；试卷第12页，共61页对于C ，D ，x 1+y 1-12+x 2+y 2-12的值可转化为单位圆上的A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点到直线x +y -1=0的距离之和，又∠AOB =90∘，所以三角形AOB 是等腰直角三角形，设M 是AB 的中点，则OM ⊥AB ，且OM =22OA =22，则M 在以O 点为圆心，半径为22的圆上，A ,B 两点到直线x +y -1=0的距离之和为AB 的中点M 到直线x +y -1=0的距离的两倍.点O 0,0 到直线x +y -1=0的距离为12=22，所以点M 到直线x +y -1=0的距离的最大值为22+22=2，所以x 1+y 1-1 2+x 2+y 2-12的最大值为2 2.因此x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为4.从而可知C 错误，D 正确..故选：AD .19.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知定义在R 上的偶函数f x ，其导函数为f 'x ，当x ≥0时，f 'x +sin2x <0.则( )A.函数g x =f x -cos 2x 的图象关于y 轴对称B.函数g x =f x -cos 2x 在区间0,+∞ 上单调递减C.不等式f x -f x +π2 <cos2x 的解集为-∞,-π4D.不等式f x -f x +π2 <cos2x 的解集为-π4,+∞ 【答案】ABC【解析】对于选项A ，由g -x =f -x -cos 2-x =f x -cos 2x ，所以g x 为偶函数，所以函数g x =f x -cos 2x 的图象关于y 轴对称.故A 正确；对于选项B ，由g x =f x -cos 2x 为偶函数.当x ≥0时，g x =f x +sin2x <0，所以g x 在0,+∞ 上单调递减，故g x 在-∞,0 上单调递增.故B 正确；对于C 、D 选项，由f x -f x +π2 <cos2x ，得f x -f x +π2<cos 2x -sin 2x ，所以f x +π2 -sin 2x >f x -cos 2x ，即f x +π2 -cos 2x +π2 >f x -cos 2x ，所以g x +π2 >g x .所以x +π2 <x ，解得x <-π4.所以C 正确，D 错误，故选：ABC .20.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知椭圆C ：x 2a +y 22=1(a >2)的离心率为33，过点P (1，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP =λPB.动点Q 满足AQ =-λQB ，则下列结论正确的是( )A.a =3B.动点Q 的轨迹方程为2x +3y -6=0C.线段OQ (O 为坐标原点)长度的最小值为31313D.线段OQ (O 为坐标原点)长度的最小值为61313【答案】ABD【解析】对于A ：由椭圆C :x 2a +y 22=1(a >2)的离心率为33，得1-2a =33，所以a =3，故A 正确；对于B ：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,Q m ,n ,∴AP =1-x 1,1-y 1 ,PB=x 2-1,y 2-1 ,AQ =(m -x 1,n -y 1),QB =(x 2-m ,y 2-n )，由AP =λPB ,AQ =-λQB ，得1-x 1=λx 2-1 ,m -x 1=-λx 2-m ,∴x 1+λx 2=1+λ,x 1-λx 2=m 1-λ ,两式相乘得x 21-λ2x 22=m 1-λ2，同理可得y 21-λ2y 22=n 1-λ2,∴x 213+y 212-λ2x 223+y 222=1-λ2 m 3+n 2，由题意知λ>0且λ≠1，否则与AQ =-λQB矛盾，∴m 3+n 2=1,∴动点Q 的轨迹方程为x3+y 2=1，即直线2x +3y -6=0，故B 正确；对于C 、D ：所以线段OQ 长度的最小值即为原点到直线的距离，∴OQ min =64+9=61313，故C 错误，D 正确.故选：ABD .21.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知函数f (x )满足∀x ∈R ，有f (x )=f (6-x )，且f (x +2)=f (x -2)，当x ∈[-1,1]时，f (x )=ln 1+x 2-x ，则下列说法正确的是( )A.f (2021)=0B.x ∈(2020,2022)时，f (x )单调递增C.f (x )关于点(1010,0)对称D.x ∈(-1,11)时，方程f (x )=sin π2x的所有根的和为30【答案】CD【解析】由题设知：f (-x )=ln (1+x 2+x )=ln11+x 2-x=-ln (1+x 2-x )=-f (x )，故f (x )在x ∈[-1,1]上为奇函数且单调递减，又f (x +2)=f (4-x )=f (x -2)，即关于x =2k +1、(2k ,0)，k ∈Z 对称，且最小周期为4，A.f (2021)=f (505×4+1)=f (1)=ln (2-1)≠0，错误；B.x ∈(2020,2022)等价于x ∈(0,2)，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故f (x )不单调，错误；C.由上知：f (x )关于(2k ,0)对称且k ∈Z ，所以f (x )关于(1010,0)对称，正确；D.由题意，只需确定f (x )与y =sin πx2在x ∈(-1,11)的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于x =5对称，则x 1+x 6=x 2+x 5=x 3+x 4=10，∴所有根的和为30，正确.故选：CD试卷第12页，共61页。