插值法：原理与应用[精制材料]

插值法原理
插值法是一种常用于数据处理和数值计算中的方法，其原理是根据已知的数据点来推算出未知数据点的近似值。

具体来说，插值法可以将一系列离散的数据点映射到一个连续的函数上，从而实现对这个函数在未知位置处的值的估计。

在插值法中，通常选择一个合适的拟合函数（例如线性函数、多项式函数等），并利用已知的数据点来确定这个函数的系数。

这样，对于任意一个未知数据点，就可以通过代入这个拟合函数来计算其近似值。

当然，在选择拟合函数和确定系数的过程中，需要确保计算出的函数与已知的数据点尽可能接近，以保证插值的精度。

插值法在实际应用中有着广泛的应用，例如数值积分、信号处理、图像处理等领域。

常见的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等，每种算法都有其独特的优势和局限性。

因此，在实际应用中需要根据具体问题选择合适的插值算法来获得最佳的结果。

插值计算的原理及应用1. 概述插值计算是一种通过已知数据点推测出未知数据点的数值的方法。

这种计算方法被广泛应用于各个领域，如数值分析、数据处理、图像处理等。

2. 原理插值计算的原理是基于一个假设：已知数据点之间存在某种规律或趋势，可以通过这种规律或趋势推测出未知数据点的数值。

插值计算的基本思想是在给定的数据点之间构建一个适当的插值函数，根据这个函数来推测出未知数据点的数值。

3. 插值方法插值计算有多种方法，下面列举了一些常用的插值方法：•线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一。

它假设数据点之间的关系是线性的，通过这些已知点之间的直线来推测未知点的数值。

•拉格朗日插值：拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。

它通过在已知数据点上构建一个多项式来推测未知数据点的数值。

•牛顿插值：牛顿插值也是一种基于多项式的插值方法。

它通过使用插值多项式的差商表来推测未知数据点的数值。

•样条插值：样条插值是一种通过在已知数据点之间构建多项式部分来推测未知数据点的数值的方法。

这些多项式部分称为样条函数。

4. 插值应用插值计算在各个领域都有广泛的应用，下面列举了一些常见的插值应用：•数值分析：在数值计算中，插值计算可以在给定数据点之间进行数值逼近，从而得到更加精确的结果。

•数据处理：在数据处理中，插值计算可以填补数据缺失的部分，从而得到完整的数据集。

•图像处理：在图像处理中，插值计算可以用于图像的放大、缩小、旋转等操作，从而得到更高质量的图像。

•地理信息系统：在地理信息系统中，插值计算可以根据已知地理数据点推测未知地理数据点的数值，从而进行地理信息的分析和预测。

5. 总结插值计算是一种通过已知数据点推测出未知数据点的数值的方法。

它基于已知数据点之间存在某种规律或趋势的假设，并通过构建适当的插值函数来推测未知数据点的数值。

插值计算有多种方法，如线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。

插值计算在各个领域都有广泛的应用，如数值分析、数据处理、图像处理和地理信息系统等。

三、几何意义、
四、多项式插值问题
对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值问题 – 当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; – 当Φ为一些有理分式集合时：有理插值； – 当Φ为一些多项式集合时：多项式插值（代数插
值）
特别的取 = Pn span 1, x, x2,, xn , 即
Pn (x) (x) a0 a1x a2x2 anxn, ai R, 0 i n
求得 V n(x0,x1, ,xn) (xixj) 0jin
由于假设ij时，xixj，故所有因子xi-xj0，于 是Vn(x0,x1,…,xn)0。由克莱姆(Grammer)法则，
方程组的解存在且唯一，从而插值多项式是存在唯
一的。
证毕
六、插值余项
引理 已知函数f(x)在[a,b]上具有m-1阶连续导函 数，且在（a,b）上存在m阶导数。 若它在该区间 上有m+1个零点，则它的m阶导函数在(a,b)内至
(xi
) n i0
。
若函数族 中的函数(x) 满足条件
(xi ) f (xi ), i 0,1,, n
（1）
则称 ( x)
为
f
(x)
在
中关于节点
xi
n i0
的一个插值函数。
f (x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
xi
n i0
——插值节点；
式（1）——插值条件.
求插值函数(x)的问题称为插值问题。
n
n
若记 n1(x) ，(x则x有i)
n1(x，k)从而(xk xi)
i0
lk(x)(xxkn) 1(n'x)1(xk)
i0,ik
3.插值基函数的性质

插值法的原理及应用1. 插值法的概述插值法是数值计算和数值分析中常用的一种方法，它通过已知数据点的函数值来估计在这些数据点之间的未知函数值。

插值方法的目的是找到一个简单的函数，它可以近似地表达已知数据点的函数值，并能够在数据点之间进行插值。

插值法的原理是基于一个假设，即已知的数据点所对应的函数值在数据点之间是连续变化的。

根据这个假设，插值方法可以通过构造一个适当的插值函数来实现对未知部分的估计。

2. 插值法的基本思想插值法的基本思想是利用已知数据点构造一个插值函数，使得这个函数在已知数据点上与真实函数的函数值相等。

通过这个插值函数，就可以估计在已知数据点之间任意点的函数值。

插值法通常使用不同的插值函数来逼近真实函数，常见的插值函数有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值等。

这些插值函数都有着自己特定的优点和适用范围。

3. 插值法的应用领域插值法在实际应用中具有广泛的应用领域，下面列举了几个常见的应用领域：•地理信息系统(GIS)：在地理信息系统中，插值法被用于估计未知地点的特征值，比如海拔高度、降雨量等。

通过已知地点的观测值，可以利用插值法来生成整个区域的连续表面。

•图像处理：在图像处理中，插值法被用于图像放大和缩小。

通过已知像素点的颜色值，可以使用插值法来估计未知像素点的颜色值，从而实现图像的放大和缩小。

•金融领域：在金融领域，插值法被广泛用于计算隐含利率曲线、期权价格等。

通过已有的市场数据点，可以使用插值法来估计未知数据点，从而进行金融风险管理和定价等工作。

•物理模拟：在物理模拟中，插值法被用于数值求解微分方程。

通过已知的初始条件和边界条件，可以使用插值法来逼近微分方程的解，从而对物理系统进行模拟和预测。

•数据压缩：在数据压缩中，插值法被用于图像和音频信号的离散化。

通过已知的采样点，可以使用插值法来估计未知的采样点，从而实现对信号的压缩和还原。

4. 插值法的优缺点插值法作为一种数值计算方法，具有以下优点和缺点：4.1 优点•插值法可以通过已知数据点来近似估计未知数据点的函数值，因此可以实现对连续变化的函数值的估计。

56
13.214 285 71

175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,

插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。

插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。

本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。

一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。

根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。

插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。

这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。

2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。

常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。

3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。

这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。

4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。

通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。

二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。

插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。

2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。

插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。

则 Ln(x) yili(x) 即为
i0
拉格朗日(Lagrange) 插值多项式
若引入记号 n 1 ( x ) ( x x 0 )x (x 1 )x . .x n .)(
' n 1 ( x k ) （ x k x 0 ） .x . k . x k 1 ( ) x k ( x k 1 )x k . x . n ) ..
(3)
a0a1xna2xn2...anxnn yn
一般插值多项式的原理
令： 1
A
1
x0
x1
x0n x1n
1
xn
xnn
方程组的矩阵形式如下：
a 0
X
a
1
a
n
y0
Y
y
1
y
n
A Y X
( 4 )
n n1
由 于A (xi xj)0 i1 j0
所以方程组（4）有唯一解。
则 (x k ) 0 (k 0 ,1 ,2 ,.n )..
Lagrange插值余项与误差估计
注 R n ( x 意 ) f ( x ) L n ( 到 x ) K ( x ) n 1 ( x )
故 ( x k 有 ) 0( k 0 , 1 , 2 ,n . )且 .. ( x ) 0
插值引例
三、插值引例
实例1
标准正态分布函数 (x)
查
x0
1
2…
函
┇┇ ┇ ┇┇
数
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 … 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
表
┇┇ ┇ ┇┇
求(1.014)
实例2
插值引例
求机翼下轮廓线上一点的近似数值

插值法：原理与应用
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
END

16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃

插值法的原理与应用1. 插值法的概述插值法是一种数值分析方法，用于在给定数据点集合上估计未知数据点的值。

该方法基于已知数据点之间的关系，通过建立一个插值函数来逼近未知数据点的值。

插值法在科学计算、工程应用和数据处理等领域都有广泛的应用。

2. 插值法的原理插值法的基本原理是在已知数据点上构造一个逼近函数f(x)，使得在该函数上的任意点x上的函数值等于对应的已知数据点。

常见的插值方法有多项式插值、样条插值和径向基函数插值等。

2.1 多项式插值多项式插值是一种简单而常用的插值方法，它假设插值函数f(x)是一个多项式函数。

通过选择合适的插值点和多项式次数，可以得到对给定数据集的良好逼近。

多项式插值的基本原理是通过求解一个关于插值点的线性方程组，确定插值多项式的系数。

然后，使用插值多项式对未知数据点进行逼近。

2.2 样条插值样条插值是一种光滑的插值方法，它通过使用分段多项式函数来逼近曲线或曲面。

样条插值的基本原理是将要插值的区间分成若干个小段，每个小段上都使用一个低次数的多项式函数逼近数据点。

为了使插值曲线光滑，相邻小段上的多项式函数需要满足一定的条件，如连续性和一阶或二阶导数连续性。

2.3 径向基函数插值径向基函数插值是一种基于径向基函数构造插值函数的方法，它的基本思想是通过使用径向基函数，将数据点映射到高维空间中进行插值。

径向基函数插值的基本原理是选择合适的径向基函数和插值点，将数据点映射到高维空间中，并使用线性组合的方式构造插值函数。

然后，使用插值函数对未知数据点进行逼近。

3. 插值法的应用插值法在科学计算、工程应用和数据处理等领域都有广泛的应用。

以下列举了一些常见的应用场景。

3.1 信号处理在信号处理中，经常需要通过对已知数据点进行插值来估计未知数据点的值。

例如，通过插值法可以从离散采样数据中恢复连续信号，并进行进一步的分析和处理。

3.2 机器学习在机器学习中，插值法可以用于对缺失数据进行估计。

通过对已知数据点进行插值，可以填补缺失的数据，以便进行后续的模型训练和预测。

x4 94

1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1( x)
y0l0 ( x) y1l1( x) 2
5
( x 9) 3 ( x 4) 5
2 ( x 9) 3 ( x 4) 1 ( x 6)
5
5
5
所以
7

L1 (7)

13 5

2.6
ppt课件
项式(2-2) 存在且唯一。证毕。
ppt课件
5
第二节 拉格朗日插值
一、基函数
考虑下面最简单`最基本的插值问题。求n 次多项 式 l i(x) (i=0,1, …, n)，使其满足条件
0 , j i li ( xj ) 1, j i ( j 0,1, , n)
故可设
li ( x) A( x x0 )( x xi1 )( x xi1 )( x xn )
15
例2 求过点(1,2), (1,0), (3,6), (4,3)的三次插值多项式。
解 以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 为节点的基函数
分别为:
l0
(
x)

( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4)

Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (2-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
ppt课件
3

a0 a0

a1 x0 a1 x1

插值算法的介绍及其在数学建模中的应用一、插值的介绍及其作用数模比赛中，常常需要根据已知的样本点进行数据的处理和分析，而有时候现有数据较少或数据不全，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用插值法“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

在直观上，插值就是找到一个连续函数使其经过每个样本点插值法还可用于短期的预测问题（插值与拟合经常会被弄混，为了区分，这里简要介绍一下拟合：即找到一个函数，使得该函数在最小二乘的意义下与已知样本点的总体差别最小，该函数不一定要经过样本点。

通常情况下，拟合要求已知样本点的数据较多，当数据较少时不适用）二、插值法原理三、插值法的分类注：下面的1、2、3、4 并非是并列关系，几个部分之间也有交叉，目的在于逐渐引出数学建模中最常用的两种插值方法：三次样条插值与三次埃尔米特插值。

1、普通多项式插值多项式插值中，拉格朗日插值与牛顿插值是经典的插值方法，但它们存在明显的龙格现象（下面会解释龙格现象），且不能全面反映插值函数的特性（仅仅保证了插值多项式在插值节点处与被插函数有相等的函数值）。

然而在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在所有节点处有相同的函数值，它也需要在一个或全部节点上插值多项式与被插函数有相同的低阶甚至高阶的导数值。

对于这些情况，拉格朗日插值和牛顿插值都不能满足。

因此，数学建模中一般不使用这两种方法进行插值，这里也不再介绍这两种方法。

龙格现象（Runge phenomenon）: 1901年，Carl Runge 在他的关于高次多项式插值风险的研究中，发现高次插值函数可能会在两端处波动极大，产生明显的震荡，这种现象因此被称为龙格现象。

所以在不熟悉曲线运动趋势的前提下，我们一般不轻易使用高次插值。

下面是对函数f(x)=\cfrac{1}{1+x^2}不同次数拉格朗日插值多项式的比较图，其中红线为函数本身图像。

可以发现，n值越大，在两端的波动越大。

对n=1及n=2时的情况前面已经讨论. 用类似 的推导方法，可得到n次插值基函数为
lk
(
x)
(x ( xk
x0 x0
) )
( x xk1 )( x xk1 ) ( x xn ) ( xk xk1 )( xk xk1 ) ( xk xn )
(k 0,1, ,n)
(2.8)
上页 下页
显然它满足条件(2.7). 于是，满足条件(2.6)的插值多
(2.4)
上页 下页
满足条件(2.4)的插值基函数是很容易求出的，例如
求lk-1(x)，因它有两个零点xk及xk+1，故可表示为
lk1( x) A( x xk )( x xk1 ),
其中A为待定系数，可由条件lk-1(xk-1)=1定出
A
1
,
( xk1 xk )( xk1 xk1 )
于是
(2.6)
为了构造Ln(x)，我们先定义n次插值基函数.
上页 下页
定义1 若n次多项式lj(x) (j=0,1,…,n)在n +1个 节点x0<x1<…<xn上满足条件
1, k j l j ( xk ) 0, k j ( j, k 0,1, , n)
(2.7)
就称这n +1个n次多项式l0(x), l1(x), …, ln(x)在为节点 x0, x1, …, xn上的n次插值基函数.
Lagrange 法1736-1813
1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日 卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中
都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突
出。
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2.2.1 线性插值与抛物线插值

牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。

为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。

插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。

若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。

定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp(&apos;x和y的维数不相等！&apos;);return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,&apos;t&apos;,x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

简述插值法的基本原理插值法是一种数值计算的方法，用于根据已知数据点的值来估计未知数据点的值。

其基本原理是根据已知数据点的特性，建立一个数学模型，并利用该模型来推断未知数据点的值。

在实际应用中，我们经常遇到需要估计某些数据点的情况。

例如，在地理信息系统中，我们需要根据已知地点的气温数据来推断其他地点的气温；在金融领域中，我们需要根据已知的股价数据来预测未来的股价走势。

这些场景下，插值法就成为了一种常用的工具。

插值法的基本思想是假设已知数据点之间存在某种函数关系，并通过该函数关系来推断未知数据点的值。

常用的插值方法包括线性插值、多项式插值和样条插值等。

线性插值是最简单也是最常用的插值方法之一。

其基本原理是假设已知数据点之间的关系是线性的，即任意两个相邻数据点之间的值可以通过一条直线来表示。

根据这个假设，我们可以通过已知数据点的斜率和截距来计算未知数据点的值。

多项式插值是一种更精确的插值方法。

其基本原理是假设已知数据点之间的关系可以用一个多项式函数来表示。

通过已知数据点的值来确定多项式函数的系数，然后利用该多项式函数来计算未知数据点的值。

样条插值是一种更加灵活的插值方法。

其基本原理是假设已知数据点之间的关系可以用多个小段的函数来表示，每个小段函数是一个低阶多项式。

通过已知数据点的值来确定每个小段函数的系数，然后利用这些小段函数来计算未知数据点的值。

插值法的优点是可以根据已知数据点的特性来推断未知数据点的值，从而填补数据的空白。

然而，插值法也存在一些局限性。

首先，插值法要求已知数据点之间存在某种函数关系，但实际数据往往并不完全符合某种函数关系，因此插值结果可能存在误差。

其次，插值法只能对已知数据点之间的数据进行估计，对于超出已知范围的数据点，插值法无法提供准确的估计值。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适合的插值方法。

对于数据点之间变化较为平滑的情况，可以使用线性插值或多项式插值方法；对于数据点之间变化较为复杂的情况，可以使用样条插值方法。

插值计算的原理及应用方法概述插值计算是基于已知一些数据点，通过建立一个合理的数学函数来估计未知位置的值的一种方法。

它广泛应用于数据分析、数值计算、图像处理等领域。

本文将介绍插值计算的原理以及常见的应用方法。

原理插值计算的原理是基于一个假设：在已知的数据点之间的未知位置上的值可以由数据点之间的函数关系来表示。

通过建立一个合适的插值函数，我们可以预测未知位置上的值。

插值方法可以分为两种类型：多项式插值和非多项式插值。

多项式插值使用多项式函数来逼近数据点之间的关系；非多项式插值使用其他函数形式，如三角函数、指数函数等。

以下是常见的插值方法：1.线性插值–原理：通过连接两个相邻数据点之间的直线来估计未知点的值。

–公式：假设已知数据点为(x0,y0)和(x1,y1)，则未知位置(x,y)的值可以通过公式$y = y_0 + \\frac{(x - x_0)(y_1 - y_0)}{(x_1 - x_0)}$来计算。

–适用场景：适用于数据点之间的变化趋势比较平滑的情况。

2.拉格朗日插值–原理：通过一个多项式函数的线性组合来逼近数据点之间的关系。

–公式：假设已知数据点为(x i,y i)，则未知位置(x,y)的值可以通过公式$y = \\sum_{i=0}^n y_i \\cdot L_i(x)$来计算，其中L i(x)为拉格朗日基函数。

–适用场景：适用于不等间隔的数据点。

3.牛顿插值–原理：通过一个n次多项式来逼近数据点之间的关系。

–公式：假设已知数据点为(x i,y i)，则未知位置(x,y)的值可以通过公式$y = f[x_0] + f[x_0, x_1](x-x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x-x_0)(x-x_1) +\\ldots$来计算，其中$f[x_0], f[x_0, x_1], f[x_0, x_1, x_2], \\ldots$为差商。

–适用场景：适用于等间隔的数据点。

应用方法插值计算在许多领域中都有广泛应用。

以n+1个n次基本插值多项式
l k ( x)(k 0,1,, n)
为基础,就能直接写出满足插值条件
P( xi ) f ( xi ) (i 0,1,2,, n) 的n次代数插值多项式。
P( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn
事实上，由于每个插值基函数 l k ( x)(k 0,1,, n)
( x 0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ) 的抛物线 y P( x) 近似代替曲线
y f ( x) ,如下图所示。因此也称之为抛物插值。
P(x)的参数 a0 , a1 , a 2
直接由插值条件决定， 即
y
a0 , a1 , a2满足下面
O
y=L2(x) y0 x0 y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
a1 x a0
满足
P( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称
为代数插值法。其几何意义如下图所示
y y=P(x) y=f(x)
Hale Waihona Puke y1 x0 x1yn xn x
定理1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的
证明: 设n次多项式
a n x0 n a n 1 x0 n 1 a1 x0 a 0 f ( x0 ) n n 1 a n x1 a n 1 x1 a1 x1 a 0 f ( x1 ) a x n a x n 1 a x a f ( x ) n 1 n 1 n 0 n n n
2 0 2 1 2 2

简述插值法原理
财务人员在时间价值及内部报酬率计算时常用到插入法，但部分财务人员对该方法并不是很理解，下面让小编来为您讲解：插值法又称内插法，是利用函数f （x）在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f （x）的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

插值法原理
数学内插法即直线插入法。

其原理是，若A（i1,b1），B（i2,b2）为两点，则点P（i,b）在上述两点确定的直线上。

而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称直线内插法。

数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。

上述公式易得。

A、B、P三点共线，则
（b-b1）/（i-i1）=（b2-b1）/（i2-i1）=直线斜率，变换即得所求。