1. 假定对流层顶高度为H ，对流层中的温度随高度线性递减(TT =TT 0−γγγγ)，对流层顶以上温度随高度不变，大气满足静力平衡条件，试求单位截面积自海平面延伸至大气上界整个气柱中的内能、位能、全位能。 解：
大气温度的垂直分布为：
00,0,T z z H T T H z H
γγ−≤≤ = −>
由静力方程和状态方程，可以得到：
000,,R g H H H
p T p p p T p T p p γ
<< = <
因为0
*0
p v
c I Tdp g
=
∫
，0
*0
p R Tdp g Φ=∫，***P I =+Φ，所以：
0*000H H R g p p v H p c p I T dp T dp g p γ
=+
∫∫ ()00v
H H
H H c g T p T p T p g
g R γ
−+ + 00
v H H c R T p T p g R g γγ
+ +
*
*00
H H v R R
R I T p T p c g R g γγ
Φ=
=+ +
*
**00
p
H H c R P I T p T p g R g γ
γ =+Φ=+ +
2. 试证明全位能平衡方程有以下形式，其中pp 00=1000ℎPPPP 。
/*
00p
R c p M M E
p d dM c dM t p dt
θ
ωα ∂=+ ∂
∫∫
解：
全位能平衡方程为：
*
M
M
E dM Q dM t
ωα∂=
+∂∫
∫
热力学能量方程为：
ln 1p d Q dt c T
θ=
因为：
00p
R c p T p θ
=
所以：
111000p
R c p p d Q T dt c T
θ =
即：
1000p
R c p p d Q c dt
θ =
所以全位能平衡方程为：
/*
00p
R c p M M E p d dM c dM t
p dt
θ
ωα
∂=
+ ∂
∫∫
3. 利用上题证明有效位能平衡方程有以下形式：
*
1p R
c M M A p
dM Q dM t p ωα ∂ =+− ∂ ∫∫
其中，pp̅为大气参考状态（有效位能为零）时的气压，试讨论方程右端两项的物理意义。 解：
大气处于参考状态时，有效位能为零，即全位能不能转化为动能。在参考状态时pp ee =pp ，此时全位能与动能转化项为零。
/*min
00p
R c p M p
p d c dM t p dt
θ
∂= ∂
∫ 因为：
*
**min p A p t t t
∂∂∂=−∂∂∂ 所以：
*
0000p p R R
c c p M M A p p
d dM c dM t p p dt θωα ∂ =+− ∂ ∫∫ 001p
p R
R
c c p M M p p
d dM c dM p p dt
θ
ωα
=+−
∫∫ 1p
R
c M M p
dM Q dM p ωα +− ∫∫
第一项：是有效位能和动能之间的转换，转换的方向决定于ω和α的相关性。 第二项：有效位能产生项，等位温面上高压区(pp >pp )增温�QQ >0�，低压区(pp 4. 试证明基本气流有效位能向涡动有效位能的转换项：
[],p
M c T A A T T V T dM T p ω ′′∂′′′<>=∇+ ∂
∫d 可改写为：
[],p
M c T T A A T v T dM T y p ω
∂∂′′′′′<>=−
+
∂∂
∫ 解：
对于右边第一项：
[],p
M
c A A T T V dM T ′′′<>
=∇∫d
[]()
p
M c T T V T V T dM T ′′′′=∇−∇
∫d d []p M
c
T V TdM T ′′=−∇∫d 考虑正压纬向基本气流的情况，即uu =uu (yy )，上式可以化为：
[],p
M
c T
A A T v dM T y
∂′′′
<>=−
∂∫ 同理，对于右边第二项，我们可以化为：
[],p
M
c T
A A T dM T p
ω∂′′′
<>=−
∂∫ 所以：
[],p
M c T T A A T v T dM T y p ω
∂∂′′′′′<>=−
+ ∂∂
∫
