19.3梯形同步测试题

19.3 梯形课型:新授主备: 审稿人:____________ 审定人:_____________ 班级:_______________ 学生姓名:________________[学习目标]１、掌握梯形的有关概念和性质２、梯形的有关分类[学习重点]梯形的性质。

[学习难点][情感目标]通过观察、实验、探究，猜想结论，并能积极的快乐的学习。

一、预习看书117—119页，用铅笔记下你的疑问和收获。

二、完成下列预习作业：１、回忆：平行四边形的性质和判定？矩形、菱形、正方形的性质和判定？２、梯形的定义____________________________________.在下面作一个梯形。

指出梯形的底（上底、下底）高，梯形的面积公式。

3、你学过哪些特殊的梯形？并且画一个。

观察一下有什么性质？用你所学过的知识证明你所得到的结论。

（1）等腰梯形的同一底边上的两底角相等。

（2）等腰梯形的两条对角线相等。

问题:_等腰梯形还有其它的性质吗？应该从哪些方面来了解他的性质？______________________________________________________________________________ 小组评价：_____________________________________________ 组长签字：__________ 三、合作探究，解决问题：（1）有两个角相等的梯形是 ______A、等腰梯形B、直角梯形C、一般梯形D、等腰梯形或直角梯形（2）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形和圆中，既是轴对称又是中心对称图形有___________A、6种B、5种C、4种D、3种（3）梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30度，∠C=45度AD=AB=8cm，求腰CD和下底BC的长度。

四、达标检测：1、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是CD 的中点，则△ABE是_______A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形2、在梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A:∠B:∠C:∠D可能为__________A、3:5:6:4B、3:4:5:6C、5:4:6:3D、6:5:4:33、下列命题是假命题的是_______A、等腰三角形的两条对角线相等B、对角线相等的四边形是等腰三角形C、等腰三角形是轴对称图形D、梯形的两底之和小于两对角线之和4、等腰梯形中上底：腰：下底=1：2：3，则下底角的度数为_____________5、如图：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8m,BC=17m, ∠C=70度，∠B=55度，求BC的长度。

19.3 梯形达标训练一、基础·巩固1.如图19－3－16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对图19－3－16 图19－3－172.如图19－3－17，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC,∠A=60°，AB=9，CD=5，BC 的长是（）A.3B.4C.5D.63.如图19－3－18,在梯形ABCD中，A D∥BC，AD=AB=DC，BD⊥DC，求∠C的度数.图19－3－18二、综合·应用4．如图19－3－19，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6 cm，BC=15 cm.求CD的长.图19－3－195.如图19－3－20，等腰△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O.求证：（1）四边形EFCB是等腰梯形；（2）EF2+BC2=2BE2.图19－3－206.如图19－3－21，上底AD=3，下底BC=5，P为腰CD上任意一点，当点P在何处时，四边形ABPD的面积是梯形ABCD面积的一半.图19－3－217.证明：对角线相等的梯形是等腰梯形.如图19－3－22，梯形ABCD中，对角线AC=BD.求证：梯形ABCD是等腰梯形.图19－3－228.已知：如图19－3－23，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠CAB=∠ABC，BE⊥AC 于E.求证：BE=CD.图19－3－239.已知：如图19－3－24，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于G，F 是垂足.求证：四边形ABGE是等腰梯形.图19－3－2410.画一等腰梯形，使它上、下底长分别为4 cm、12 cm，高为3 cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积.参考答案一、基础·巩固1.如图19－3－16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）图19－3－16A.1对B.2对C.3对D.4对思路分析：根据等腰梯形的性质，结合全等三角形的判方法判断即可.△ABC≌△DCB,△ABD≌△DCA,△AOB≌△DOC,共3对.答案：C2.如图19－3－17，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC,∠A=60°，AB=9，CD=5，BC 的长是（）图19－3－17A.3B.4C.5D.6思路分析：过C点作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形，可得到AD=CE.又因为AD=BC,所以CE=BC.因为∠A=60°，所以∠CEB=60°，△CEB是等边三角形，可求得BC的长.过C点作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形，∴AD=CE,AE=CD=5.又∵AD=BC,∴CE=BC.∵∠A=60°，所以∠CEB=60°，即△CEB是等边三角形，∴BC=BE=AB－AE=9－5=4. 答案：B3.如图19－3－18,在梯形ABCD中，A D∥BC，AD=AB=DC，BD⊥DC，求∠C的度数.图19－3－18思路分析：根据等腰梯形的知识，结合方程的思想，本题可易解得.解：∵AD=AB=DC，∴△ABD是等腰三角形，梯形ABCD是等腰梯形，∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°.设∠ABD=x,则∠ADB=∠CBD=x,∠ADC=∠A=90+x.又∵∠A+∠ABC=180°，∴90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠C=∠ABC=2x=60°.二、综合·应用4．如图19－3－19，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6 cm，BC=15 cm.求CD的长.图19－3－19思路分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题.其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC－EC=BC－AD=9 cm.解：（略）5.如图19－3－20，等腰△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O.求证：（1）四边形EFCB是等腰梯形；（2）EF2+BC2=2BE2.图19－3－20思路分析：点E、F分别是AB、AC的中点，所以EF是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理可知，EF∥BC.因为AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，所以BE=CF,可证得四边形EFCB是等腰梯形.（2）因为CE⊥BF于点O，四边形EFCB是等腰梯形，所以△OEF和△OBC都是等腰直角三角形，即OE=OF,OB=OC,由勾股定理可证得结论.证明：（1）在等腰△ABC 中，AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线，由三角形的中位线定理可知，EF ∥BC ，BE=CF, ∴四边形EFCB 是等腰梯形.（2）∵CE ⊥BF 于点O ，四边形EFCB 是等腰梯形，∴△OEF 和△OBC 都是等腰直角三角形，即OE=OF,OB=OC,由勾股定理可得： OE 2+OF 2=EF 2,OB 2+OC 2=BC 2, ∴EF 2+BC 2=2OE 2+2OB 2=2BE 2.6.如图19－3－21，上底AD=3，下底BC=5，P 为腰CD 上任意一点，当点P 在何处时，四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半.图19－3－21思路分析：分别作DE ⊥BC 于E,PF ⊥BC 于F,则四边形ABED 是矩形，BE=AD=3,CE=2 在直角梯形ABCD 中，∠C=45°，可得△CED 是等腰直角三角形，所以CE=DE=2,梯形ABED 的面积为21(AD+BC)×DE=21(3+5)×2=8.当四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半时，△PBC 的面积也是梯形ABCD 面积的一半，我们可以求出三角形PBC 的高PF,从而确定出P 点所处的位置.解：分别作DE ⊥BC 于E,PF ⊥BC 于F,则四边形ABED 是矩形，BE=AD=3,CE=2. ∵在直角梯形ABCD 中，∠C=45°， ∴△CED 是等腰直角三角形，∴CE=DE=2, 梯形ABED 的面积为21 (AD+BC)×DE=21(3+5)×2=8. ∵当四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半时，△PBC 的面积也是梯形ABCD 面积的一半， △PBC 的面积为21BC×PF=21×5×PF=4,解得PF=58. ∵PF ∥DE,∴54258===CD CP DE PF ,即14=PD CP 时，四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半. 7.证明：对角线相等的梯形是等腰梯形.如图19－3－22，梯形ABCD 中，对角线AC=BD.求证：梯形ABCD是等腰梯形.图19－3－22思路分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形.在△ABC 和△DCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证△ABC≌△DCB得到AB=DC.证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，又AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC.∵ AC=BD，∴ DE=BD，∴∠1=∠E.∵∠2=∠E，∴∠1=∠2.又AC=DB，BC=CE，∴△ABC≌△DCB.∴ AB=CD.∴梯形ABCD是等腰梯形.说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路.问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如右图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证Rt△ABC≌Rt△CAE，得∠1=∠2.8.已知：如图19－3－23，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠CAB=∠ABC，BE⊥AC 于E.求证：BE=CD.图19－3－23思路分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D 作DF ∥AB 交BC 于F ，因此四边形ABFD 是平行四边形，则DF=AB ，由已知可导出∠DFC=∠BAE ，因此Rt △ABE ≌Rt △FDC （AAS ），故可得出BE=CD. 证明：略另证：如题图，根据题意可构造等腰梯形ABFD ，证明△ABE ≌△FDC 即可.9.已知：如图19－3－24，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，CF ⊥BE 交BD 于G ，F 是垂足.求证：四边形ABGE 是等腰梯形.图19－3－24思路分析：先证明OE=OG ，从而说明∠OEG=45°，得出EG ∥AB ，由AE ，BG 延长交于O ，显然EG≠AB.得出四边形ABGE 是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形. 证明：（略）10.画一等腰梯形，使它上、下底长分别为4 cm 、12 cm ，高为3 cm ，并计算这个等腰梯形的周长和面积.思路分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形.解：如右图，先算出AB 长，可画等腰三角形ABE ，然后完成AECD 的画图.画法：①画△ABE ，使BE=12－4=8 cm. AB=AE=2234 =5 cm. ②延长BE 到C 使EC=4 cm.③分别过A 、C 作AD ∥BC ，CD ∥AE ，AD 、CD 交于点D. 四边形ABCD 就是所求的等腰梯形. 解：梯形ABCD 周长=4＋12＋5×2=26 cm.S 梯形ABCD =21×(4+12)×3=24 cm 2. 答：梯形周长为26 cm ，面积为24 cm 2.。

19.3.3 梯形的中位线
一、类比旧知，猜想新知:
1、定义类比联想：与三角形中位线类似，连接梯形两腰中
点的线段叫，梯形有条中位线。

2、性质类比猜想：
3、根据梯形的中位线定理，如果中位线长为Ｌ，那么Ｌ=____ ___,则可得出梯形的另一个面积计算公式为____________
二、典题解析：
例1、在梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠B=45°，AD=CD=a，
求中位线EF的长及梯形的面积.
例2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，AD=AB+CD，
求证： AE⊥DE 例3、在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，BC=5AD 求四边形AEFD与四边形EBCF的面积之比.
三、课堂练习：
１、已知，如图，梯形
ABCD中，
AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，
求证：AD+BC=DC
．
２、如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D，E、F、G分别是AC、AB、BC的中点。

求证：四边形DEFG是等腰梯形。

A
F
E
D
B
C
G
C
四、课后作业：
１、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上一点，且CE=CD。

求证：∠B=∠E
２、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC=8，AB=6，AD=5，
求△CDE的周长。

３、如图在梯形ABCD中，已知∠B+∠C=90°，EF是两底中点的连线，试说明
EF=1
()
2
BC AD。

E
C
E
E
B
F。

AB E19.3梯形训练题基础训练一、选择题1、在下列命题中，正确的是（ ）A 、平行四边形的两条对角线相等B 、矩形的两条对角线互相垂直C 、菱形的两条对角线互相平分D 、等腰梯形的两条对角线互相平分2、如图，等腰梯形的两条对角线相交于O ，则图中全等的三角形有（ ）A 、4对B 、3对C 、2对D 、1对3、已知等腰梯形的底角为450，高等于上底，如果等腰梯形的下底为9，那么梯形的上底为（ ） A 、3 B 、5 C 、23 D 、324、在梯形ABCD 中，下底AB=14㎝，上底CD=6㎝，且∠A=300，∠B=600，则BC 的长为（ ） A 、8㎝ B 、6㎝ C 、4㎝ D 、3㎝ 二、填空题5、如果梯形的一组对角分别为1050和600，那么另外两个内角分别为 。

6、如果等腰梯形的两条对角线互相垂直，且梯形的高为4㎝，那么等腰梯形的面积为 。

7、已知梯形ABCD 的周长为40㎝，上底CD=6㎝，DE ∥BC 交AB 于E ，则△ADE 的周长为 。

8、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=900，AD=2，AB=6，BC=10，则CD 的长为 。

9、如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠DAB ，∠DAB=60°，若梯形的周长为10cm ，则AB= 。

三、解答题10、如图，在等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，AB=9㎝， CD=4㎝，AD=5㎝，求∠B 的度数。

11、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ， AC=12㎝，BD=5㎝，求该梯形的面积。

12、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ， 延长AB 到E ，使BE=DC ，连接AC ，CE ，求证：AC=CEAF A B 综合训练一、选择题1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，若△ABE 的面积为S ，则梯形ABCD 的面积为（ ）A 、2SB 、S 25 C 、S 47D 、S 492、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC=900，AB=9㎝，BC=8㎝，CD=7㎝，E 是AD 的中点，且EF ⊥AD 交BC 于F ，则BF 的长为（ ） A 、1㎝ B 、1.5㎝ C 、2㎝ D 、2.5㎝二、填空题3、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B+∠C=900，AD=5，BC=13，∠C=600，则该梯形的面积是 。

19．3 梯形一、选择题1．梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）A．4：6：2：8 B．2：4：6：8 C．4：2：8：6 D．8：4：2：62．如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB=DC，AD∥BC，AC、BD相交于点O，•则图中面积相等的三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．（2006·长沙）如图2，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，•BC=8，则此等腰梯形的周长为（）A．19 B．20 C．21 D．22(1) (2)4．四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=2：2：1：3，则这个四边形是（）A．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．任意四边形5．梯形的对角线（）A．有可能被交点所平分B．不可能被交点所平分C．不相等D．不可能互相垂直6．在梯形中，以下结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④两底相等，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若等腰梯形的两底之差等于一腰的长，那么它的下底角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°8．顺次连接等腰梯形各边中点，得到的四边形为（）A．梯形B．矩形C．菱形D．平行四边形9．下列命题中，真命题有（）①有两个角相等的梯形是等腰梯形;②有两条边相等的梯形是等腰梯形;③两条对角线相等的梯形是等腰梯形;④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分.A．1个B．2个C．3个D．4个(3) (4)10．（2006·天津）如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC、•BD交于M、N两点，若EF=18cm，MN=8cm，则AB的长等于（）A．10cm B．13cm C．20cm D．26cm二、填空题11．梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=55°，∠C=78°，则∠D=______，∠A=______．12．梯形ABCD中，AD∥CB，AB⊥BC，∠C=60°，BC=CD=4cm，则AD=______，AB=_____，S梯形ABCD=_______．13．直角梯形的一条腰长12cm，这条腰与上底的夹角为135°，则这个梯形的上、下底相差为______cm．14．（2006·湖北常德）等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm，•则等腰梯形的下底角为________．15．（2006·河南课改）如图4，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B 的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD=6km，则AB=______km．16．•写出等腰梯形ABCD（••AB•∥CD）••特有而一般梯形不具有的三个特性：__________________________．三、解答题17．（2006·北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90•°，•∠C=45°，BE⊥CD于点E，AD=1，CD=22．求：BE的长．18．（2006·河南）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB．试判断△ADE的形状，并给出证明．19．（2006·贵州课改）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=DC，P•为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA=PD．（1）写出图中三对全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择（1）中写出的全等三角形中任意一对进行证明．20．（2006·江苏南通）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E．求证：四边形ABFE是等腰梯形．21．已知梯形ABCD，其中AB∥CD．现要求添加一个条件，例如BC=AD，使梯形ABCD 是等腰梯形，那么除了BC=AD外，还可添加一个什么条件，能使梯形ABCD是等腰梯形？•甲、乙、丙、丁四名同学分别添加了一个条件：甲：∠A=∠B；乙：∠B+∠D=180°；丙：∠A=∠D；丁：此梯形是轴对称图形．哪些同学的条件符合要求？给种理由．能添加其他的一个条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？22．阅读材料：如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点P．求证：S四边形ABCD=12AC·BD．证明：∵AC⊥BD，∴1,21.2ACDABCS AC PDS AC BP∆∆⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩gg∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=12AC·PD+12AC·BP=12AC（PD+PB）=12AC·BD．解答问题：（1）上述证明得到的性质可叙述为_______________．（2）已知：如图甲，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，•且相交于点P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述性质求梯形的面积．（3）如图乙，用一块面积为800cm2的等腰梯形彩纸做风筝，•并用两根竹条作梯形的对角线固定风筝，对角线恰好互相垂直，问竹条的长是多少？甲乙23．要剪切如图19-3-17所示的甲、乙两种直角梯形零件，•且使两种零件的数量相等，现有两种面积相等的矩形铁板，第一种长500mm，宽300mm，•第二种长600mm，•宽250mm 可供选用．（1）填空：为了充分利用材料，应选用第_____种铁板，•这里一块铁板最多能剪甲、乙两种零件共______个，剪下这几个零件后，剩余的边角料的面积是_____mm2．（2）画图：选出要用的铁板示意图，•在上面画出剪切线并把边角余料用阴影表示出来．答案:1．A 2．C 3．D 4．C 5．B6．A 点拨：正确的是②．7．B 点拨：平移一对角线，可得出等边三角形．8．C 点拨：由等腰梯形对角线相等可得出．9．B 点拨：真命题有③④．10．D 11．102°125°12．2cm 3cm 63cm213．214．60°15．316．AD=BC；∠A=∠B；∠C=∠D17．点拨：过D作DF⊥BC于F，在等腰Rt△DFC中，用勾股定理求出FC=2，所以BC=3，•在等腰Rt△BEC中，再由勾股定理求出BE=32218．解：△ADE是等边三角形．理由如下：∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，∴∠B=∠C．∵E为BC的中点，∴BE=CE．在△ABE和△DCE中，∵AB DCB C BE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△DCE，∴AE=DE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形．∴AB=DE．∵AB=AD，∴AD=AE=DE．∴△ADE为等边三角形．19．解：（1）△APB≌△DPC，△ABE≌△DCF，△BEP≌△CFP，△BFP≌△CEP （2）假设是△ABP≌△DCP证明：∵PA=PD，∴P点在线段AD的中垂线上．又∵ADCB为等腰梯形，AD、BC分别为上下底，由对称轴可知P点也是在BC的中垂线上，∴PB=PC，∴△ABP≌△CDP．20．证明：过点D作DG⊥AB于G．在直角梯形ABCD中，∠DCB=∠CBA=90°，•∵∠DGB=90°，∴四边形DGBC是矩形，∴DC=BG．又∵AB=2CD，∴AG=GB，∴DA=DB，∠DAB=∠DBA．又∵EF∥AB，AE与BF相交于D点，∴四边形ABFE是等腰梯形．21．解：甲、乙、丁三位同学的条件均符合要求．理由：甲从同一底上两个角进行限定．乙则从对角及邻角之间关系进行限定，由于AB∥CD，故∠B+∠C=180°，从而可由∠B+∠D=180°，得∠C=∠D．• 丁则从对称性进行限定，这些条件都能使梯形ABCD成为等腰梯形．对于丙的限定，由于∠A+∠D=180°，故∠A=∠D=90°，从而梯形ABCD是直角梯形，可添加∠C=∠D或AC=BD．22．解：（1）叙述：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．（2）S梯形=25cm2．（3）∵ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴S梯形ABCD=12AC·BD=12AC2=800．∴AC=BD=40cm．答：竹条的长是40cm．23．解：（1）两块铁板的面积都是150000mm2，第一块铁板可剪出甲、乙零件各2•个，第二块铁板可剪出甲、乙零件各1个，为了充分利用铁板，故应选用第一种铁板，•最多能剪出甲、乙两种零件共4件，这时剩余的边角料的面积为[500×300-（100+300）•×200-（100+300）×150]mm2=10000mm2（2）如图所示剪切线，阴影部分为余料．。

19.3梯形
梯形问题中经常用到的辅助线
1．下列说法中正确的是(
) A ． 等腰梯形两底角相等 B ． 等腰梯形的一组对边相等且平行
C ． 等腰梯形同一底上的两个角都等于90°
D ． 等腰梯形的四个内角中不可能有直角
2．已知等腰梯形的周长25cm ，上、下底分别为7cm 、8cm ，则腰长为_____cm ．
3．等腰梯形中一个锐角为70°，则另外三个角分别为____， ____， ____．
4.5. 已知：如图，在等腰梯形ABCD 高DF =2，求腰DC 如果将本题改为 (1)已知下底、腰、高，求上底；
(2)已知上底、下底、腰，求高．你能解决这个问题吗？
说出你的思路．
B
C A B C
D F
6已知：如图，四边形ABCD 是等腰梯形，AD =BC ，AD =5，CD =2，AB =8，求梯形ABCD 的面积．
7.已知：如图，等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AD =3cm ，BC =7cm ． 求梯形的面积．
8. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，
∠D =150°，CD =8cm ，则AB = ．
D A B C
F A B
D A B D C。

19.3 梯形一、课前预习(5分钟训练)1.下列命题中,是假命题的是( )A.四条边都相等的四边形是菱形B.有三个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形2.如图,四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，则AC=__________，∠BAD=_________，∠BCD=_________________，等腰梯形这个性质用文字语言可表述为__________________.3.已知等腰梯形的一个内角为100°,则其余三个角的度数分别是____________________.4.如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=4，BC=7，求∠B的度数.二、课中强化(10分钟训练)1.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是( )A.正方形B.矩形C.等腰梯形D.直角梯形2.若等腰梯形两底之差等于一腰的长,那么这个梯形一内角是( )A.90°B.60°C.45°D.30°3如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB≠AD,对角线AC、BD相交于点O.如下四个结论:①梯形ABCD是轴对称图形;②∠DAC=∠DCA;③△AOB≌△DOC;④△AOD∽△BOC.请把其中正确结论的序号填在横线上:____________________.4.观察下图所示图形并填表:5.如图,在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=6，BC=8，且AB∥DE，则△DEC的周长是( )A.3B.12C.15D.196.如图,已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=DB，AD≠BC.求证：四边形ABCD是等腰梯形.7.如图,已知梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连结AC、BF.(1)求证：AB=CF；(2)四边形ABFC是什么四边形?并说明你的理由.三、课后巩固(30分钟训练)1.下列各命题正确的是( ),2是同类二次根式； B.梯形同一底上的两个角相等A.18C.过一点有且只有一条直线与已知直线平行；D.两条直线被第三条直线所截,同位角相等2.四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶1∶2,则四边形ABCD的形状是( )A.菱形B.矩形C.等腰梯形D.平行四边形3.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点,若EF=18 cm,MN=8 cm,则AB的长等于( )A.10 cmB.13 cmC.20 cmD.26 cm4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,CA平分∠BCD,CD=5,则AD的长是( )A.6B.5C.4D.35.如图是一块待开发的土地，规划人员把它分割成①号区、②号区、③号区三块，拟在①号区种花，②号区建房，③号区种树，已知图中四边形ABCD与四边形EFGH是两个相同的直角梯形，则①号区种花的面积是__________________.6.如图,在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形面积是49 cm2，则AF=_____________.7.如图,在梯形ABCD中，已知AB∥CD，点E为BC的中点，设△DEA的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，则S1与S2的关系为________________.8.如图,梯形ABCD中，∠ADC=120°，对角线CA平分∠DCB，E为BC的中点，试求△DCE 与四边形ABED面积的比.9.如图,在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD是对角线，将△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置，试判定四边形AEBC的形状，并证明你的结论.10.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠ADC=120°.(1)求证:BD⊥DC;(2)若AB=4,求梯形ABCD的面积.11.如图,在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点.（1）求证：△ABM≌△DCM.（2）四边形MENF是什么图形？请证明你的结论.（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由.参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.下列命题中,是假命题的是( )A.四条边都相等的四边形是菱形B.有三个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形答案:D2.如图,四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，则AC=__________，∠BAD=_________，∠BCD=_________________，等腰梯形这个性质用文字语言可表述为__________________.答案:BD ∠CDA ∠ABC 等腰梯形的对角线相等，等腰梯形同一底上的两个角相等3.已知等腰梯形的一个内角为100°,则其余三个角的度数分别是____________________.答案:80°,80°,100°4.如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=4，BC=7，求∠B的度数.解：过点A作AE∥DC交BC于E.∵AD∥BC，四边形AECD是平行四边形,∴EC=AD=3，DC=AE.∴BE=BC－CE=7－3=4.∵等腰梯形两腰相等，∴CD=AB=4.∴AE=AB=BE=4.∴△ABE是等边三角形.∴∠B=60°.二、课中强化(10分钟训练)1.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是( )A.正方形B.矩形C.等腰梯形D.直角梯形解析：由特殊四边形的对角线性质知：正方形、矩形、等腰梯形对角线相等，直角梯形对角线不相等.因此应选D.答案:D2.若等腰梯形两底之差等于一腰的长,那么这个梯形一内角是( )A.90°B.60°C.45°D.30°解析：如图,过点D作DE∥AB,交BC于点E.由已知得出△DEC是等边三角形,所以∠C=60°.答案:B3如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB≠AD,对角线AC、BD相交于点O.如下四个结论:①梯形ABCD是轴对称图形;②∠DAC=∠DCA;③△AOB≌△DOC;④△AOD∽△BOC.请把其中正确结论的序号填在横线上:____________________.解析：等腰梯形是轴对称图形,所以①对;AD一定不等于CD,所以②错;③④易证正确.所以①③④正确.答案:①③④4.观察下图所示图形并填表:解析：第一个梯形周长是5,后面每增加一个梯形,其周长增加4.答案:21 25 4n+15.如图,在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=6，BC=8，且AB∥DE，则△DEC的周长是( )A.3B.12C.15D.19解析：由AD∥BC，AB∥DE知四边形ABED为平行四边形,所以AB=DE=6，BE=AD=5.所以EC=BC－BE=8－5=3.故△DEC的周长=6+6+3=15.故应选C.答案:C6.如图,已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=DB，AD≠BC.求证：四边形ABCD是等腰梯形.答案:证明：∵AB=DC，AC=DB，BC=CB,∴△ABC≌△DCB（SSS）.∴∠ABC=∠DCB.作AE∥DC交BC于E，则∠1=∠DCB(如图).∴∠ABC=∠1.∴AB=AE.又AB=DC,∴AE=DC.又AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形.∴AD∥BC.又∵AD≠BC，AB=DC，∴四边形ABCD是等腰梯形.7.如图,已知梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连结AC、BF.(1)求证：AB=CF；(2)四边形ABFC是什么四边形?并说明你的理由.答案: (1)证明：∵AB∥DC，∴∠EAB=∠CFE.∵E 是BC 的中点， ∴CE=BC （中点定义）.又∵∠CEF=∠BEA ，∴△CEF ≌△BEA. ∴AB=CF.(2)解:四边形ABFC 是平行四边形.理由如下:由（1）证明可知，AB 与CF 平行且相等，所以四边形ABFC 是平行四边形. 三、课后巩固(30分钟训练) 1.下列各命题正确的是( )A.18,2是同类二次根式；B.梯形同一底上的两个角相等C.过一点有且只有一条直线与已知直线平行；D.两条直线被第三条直线所截,同位角相等 解析：选项A:2318 ;选项B:应为等腰梯形同一底上的两个角相等; 选项C:应为过直线外一点; 选项D:应为两条平行直线. 答案:A2.四边形ABCD 中,∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D=2∶1∶1∶2,则四边形ABCD 的形状是( )A.菱形B.矩形C.等腰梯形D.平行四边形 解析：∵∠A=∠D,∠B=∠C, ∴四边形ABCD 是等腰梯形. 答案:C3.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点,若EF=18 cm,MN=8 cm,则AB 的长等于( )A.10 cmB.13 cmC.20 cmD.26 cm 解析：∵EM=FN=21(EF －MN)=5 cm, CD=2EM=10 cm, AB+CD=2EF=36 cm,∴AB=36－CD=26 cm. 答案:D4.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,CA 平分∠BCD,CD=5,则AD 的长是( )A.6B.5C.4D.3 解析：∵AD ∥BC,∴∠DAC=∠ACB. ∵CA 平分∠BCD,∴∠ACD=∠ACB. ∵∠DAC=∠ACD,∴AD=CD=5. 答案:B5.如图是一块待开发的土地，规划人员把它分割成①号区、②号区、③号区三块，拟在①号区种花，②号区建房，③号区种树，已知图中四边形ABCD 与四边形EFGH 是两个相同的直角梯形，则①号区种花的面积是__________________.解析：因为四边形ABCD 与四边形EFGH 是两个相同的直角梯形，所以面积相等，即①号区面积+②号区面积=②号区面积+③号区面积，所以①号区面积=③号区面积.由图可知③号区的形状是梯形，其上底为200－4=196 m ，下底是200 m ，高为2 m ，因此面积为21（196+200）×2=396 m 2. 答案:396 m 26.如图,在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，且AC ⊥BD ，AF 是梯形的高，梯形面积是49 cm 2，则AF=_____________.解析：由等腰梯形的性质知AC=BD.平移对角线BD 可得平行四边形AEBD ，从而AE=BD=AC ，EB=AD.因AC ⊥BD,易知∠EAC=90°，再由等腰三角形的三线合一及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AF=EC 21=21（EB+BC ）=21（AD+BC ）.根据S 梯形ABCD =21(AD+BC)·AF=AF 2=49，可得AF=7.答案:7 cm7.如图,在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，点E 为BC 的中点，设△DEA 的面积为S 1，梯形ABCD 的面积为S 2，则S 1与S 2的关系为________________.解析：E 点是BC 的中点，故可延长DE 、AB 相交于点F ，将梯形面积转化为三角形的面积.延长DE 、AB 相交于点F.∵AB ∥CD ，∠C=∠1，∠2=∠F,又CE=BE ，∴△DCE ≌△FBE.∴S △DEC =S △FBE ,DE=EF.因此S △ADE =S △FEB .所以S 梯形ABCD =S △ADF .故S 1=221S . 答案:S 1=221S 8.如图,梯形ABCD 中，∠ADC=120°，对角线CA 平分∠DCB ，E 为BC 的中点，试求△DCE 与四边形ABED 面积的比.解：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB=DC ，∴∠B=∠DCB ，∠DCB+∠ADC=180°，∠DAC=∠ACB.∵∠ADC=120°，∴∠B=∠DCB=60°.∵CA 平分∠DCB ，∴∠ACB=∠ACD=30°.∴∠B+∠ACB=90°.∴∠BAC=90°.∴AB=BC 21. ∵E 为BC 的中点， ∴BE=CE=BC 21. ∴AB=BE.∵∠DAC=∠ACB=30°，∠ACD=30°，∴AD=DC=AB.∴AD=BE.又∵AD ∥BC ，∴四边形ABED 是平行四边形.设平行四边形ABED 的BE 边上的高是h ，则△DCE 的CE 边上的高也是h. ∴2121=∙∙=∆h BE h CE S S ABED DCE四边形. 9.如图,在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 是对角线，将△ABD 沿AB 向下翻折到△ABE 的位置，试判定四边形AEBC 的形状，并证明你的结论.答案:证明：四边形AEBC 是平行四边形.证明如下：在等腰梯形ABCD 中,∵AB ∥CD ，∴AD=BC ，AC=BD.又∵AB=BA ，∴△ABC ≌△BAD.∴∠ABC=∠BAD.由题意可知△ABE ≌△ABD ，∴AD=AE ，∠BAE=∠BAD.∴AE=BC ，∠BAE=∠ABC ，AE ∥BC.∴四边形AEBC 是平行四边形.10.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC=AD,∠ADC=120°.(1)求证:BD ⊥DC;(2)若AB=4,求梯形ABCD 的面积.答案:(1)证明:∵AD ∥BC,AB=DC=AD,∴ABCD 是等腰梯形.∴∠BAD=∠ADC=120°,∠ADB=∠ABD=21(180°－∠BAD)=30°. ∴∠BDC=∠ADC －∠ADB=90°.∴BD ⊥DC.(2)解:过点D 作DE ⊥BC 于E,过A 作AF ⊥BC 于F.在Rt △DCE 中,DC=AB=4,∠C=60°,∴DE=DC·sinC=4sin60°=32.∴BC=2CE+EF=2×2+4=8.∴S 梯形ABCD =21×(4+8)×31232 . 11.如图,在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点.（1）求证：△ABM ≌△DCM.（2）四边形MENF 是什么图形？请证明你的结论.（3）若四边形MENF 是正方形，则梯形的高与底边BC 有何数量关系？并请说明理由.答案:（1）证明：∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AB=DC,∠A=∠D.∴AM=DM.∴△ABM ≌△DCM.（2）解：四边形MENF 是菱形.由△ABM ≌△DCM,得MB=MC ，∵E 、F 分别是BM 、CM 的中点，∴ME=BM 21,MF=MC 21,NF=BM 21,NE=MC 21. ∴ME=MF=FN=NE.∴四边形MENF 是菱形.（3）解：梯形的高等于底边BC 的一半，连结MN.∵MENF 是正方形，∴∠BMC=90°.∵MB=MC,N 是中点，∴MN ⊥BC 且MN=BC 21.。

Ａ D C B A D E
C B A
D C
E B 19.3 梯形水平测试
1. 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC BD ，相交于点O ，有如下四个结论：①AC=BD ；②AC BD ⊥；③等腰梯形ABCD 是中心对称图形；④△AOB ≌△DOC ．则正确的结论是（ ）
Ａ．①④ Ｂ．②③
Ｃ．①②③ Ｄ．①②③④
图1 图2 2. 如图2，等腰梯形ABCD 下底与上底的差恰好等于腰长，DE AB ∥．则DEC ∠等于（ ）
Ａ．75° Ｂ．60° Ｃ．45° Ｄ．30°
3. 如图3，梯形ABCD 中，AD BC ∥．90C =o
∠，且AB AD =．连结BD ，过A 点作BD 的垂线，交BC 于E ．如果3cm EC =，4cm CD =，那么，梯形ABCD 的面积是___________2cm ．
图3 图4 4. 如图4，已知等腰梯形ABCD 的周长是20AD BC ，，
∥120AD BC BAD <∠=o ，，对角线AC 平分BCD ∠，则ABCD S 梯形= ．
5. 如图是一个等腰梯形状的水渠的横切面图，已知渠道底宽2BC =m ，渠底与渠腰的夹角120BCD =o ∠，渠腰5CD =m ，求水渠的上口AD 的长．
A B C
D
6. 如图所示，已知在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E为BC上的点，且EA＝ED，∠
AEB＝75°，∠DEC＝45°，试说明AB＝BC．
参考答案
1、A
2、B
3、26
4、AD的长为9m
5、理由略。