微专题圆锥曲线几何条件的处理策略

微专题圆锥曲线几何条件的处理策略

圆锥曲线处理心法：

一、几何条件巧处理，事半功倍！二、谋定思路而后动，胸有成竹！三、代数求解不失分，稳操胜券！四、解后反思收货大，触类旁通！

1.平行四边形处理策略

例1.（2015，新课标2理科20）已知椭圆2

2

2

:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．

(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(

,)3

m

m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．

【答案】(Ⅰ)详见解析；

（Ⅱ）能，4

4+【解析】试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线l 过点(

,)3

m

m 列方程求k 的值．试题解析：(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx b =+代入2

2

2

9x y m +=得2

2

2

2

(9)20k x kbx b m +++-=，故12229

M x x kb

x k +=

=-+，2

99M M b y kx b k =+=

+．于是直线OM 的斜率9

M OM M y k x k

==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．

（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(

,)3

m

m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,

y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩

得222

2

981P k m x k =+，即几何性质代数实现

对边平行斜率相等，或向量平行

对边相等长度相等，横（纵）坐标差相等对角线互相平分

中点重合

P x =

．将点(

,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)

M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =

=

2(3)

23(9)

mk k k -⨯

+

．解得14k =-

24k =+．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l

的斜率为

4

4+OAPB 为平行四边形．

考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．

2.直角三角形处理策略

例2.椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3

2

（1）求椭圆的方程；2

21

4

x y +=（2）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率解析：（2）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立

22

414

y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22

(14)32600k x kx +++=，222(32)240(14)64240

k k k ∆=-+=-令0∆>，解得2

154k >

。设,E F 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则1223214k x x k +=-+，12

2

60

14x x k =+（1）当EOF ∠为直角时，所以0OE OF ∙= ，即12120x x y y +=，所以2

1212(1)4()160k x x k x x ++++=所以22

22

15(1)32401414k k k k +-+=++

，解得k =（2）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角，此时1OE k k ∙=-，所以

1111

4

1y y x x -∙=-几何性质

代数实现

（1）两边垂直斜率乘积为-1，或向量数量积为0（2）勾股定理

两点的距离公式（3）斜边中线性质（中线等于斜边一半）

两点的距离公式

即2

21

11

4x y y =-①又2

21114

x y +=②，将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去）

将123y =

代入①得1x =

11

4y k x -==k 值均符合题意，综上，k

的值为k =

和k =3.等腰三角形处理策略例3.在直角坐标系xOy

中，已知点(A B ,E 为动点，且直线EA 与直线EB 斜率之积为12

-，（1）求动点E 的轨迹C 方程；

（2）设过点F(1,0)的直线l 与椭圆C 交于两点,M N ,若点P 在y 轴上，且||||PM PN =，求点P

的纵坐标的范围

解析：（1）设动点E 的坐标为(,)x y

，依题意可知1

2=-

整理得221(2x y x +=≠，

所以动点E 的轨迹C

的方程为2

21(2

x y x +=≠（2）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0，

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入2

212

x y +=，

并整理得，2

2

2

2

(21)4220k x k x k +-+-=，2

880

k ∆=+>设11(,)M x y ，22N(,)x y ，则2122421k x x k +=+，1222

21

x x k -=

+几何性质

代数实现

（1）两边相等两点的距离公式

（2）两角相等

底边水平或竖直时，两腰斜率相反

（3）三线合一（垂直且平分）

垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式