《直线中的几类对称》专题

例析“直线关于直线对称”问题2019-10-21⾼中数学解析⼏何《直线⽅程》部分涉及点关于点、直线关于点、点关于直线、直线关于直线对称四类问题，现就个⼈在教学中有关直线关于直线对称问题加以分析：（⼀）求已知直线与对称轴平⾏的直线⽅程例求已知直线L1：2x+3y-4=0关于直线2x+3y-6=0的对称直线L的⽅程。

解：由题意知：L1与对称直线2x+3y-6=0平⾏可设其对称直线的⽅程为2x+3y+C=0L1到2x+3y-6=0的距离等于L到对2x+3y-6=0的距离所求直线L的⽅程为：2x+3y-8=0评析：此题为求已知直线与对称轴平⾏的对称问题，解题时，只需利⽤平⾯⼏何知识，即平⾏间的距离相等便能使问题得到解决。

（⼆）求已知直线与对称轴相交的直线⽅程例求已知直线L1：x-y-1=0关于直线2x-y=0的对称直线L的⽅程。

解法1：由x-y-1=02x-y=0得x=-1y=-2（-1，-2）为两已知直线交点，且（-1，-2）也在直线L上。

设所求直线L的斜率为k，则：所求直线L的⽅程为y+2=7（x+1）即为：7x-y+5=0解法2：由解法1知交点为（-1，-2），在L1：x-y-1=0上设其⼀点为（1，0），则（1，0）关于2x-y=0对称点B（x0，y0）即：直线L1：x-y-1=0关于直线2x-y=0对称直线L的⽅程为7x-y+5=0解法3：设所求直线L上任意⼀点P（x0，y0），P点关于2x-y=0的对称点为P1（x1，y1），则P1在直线x-y-1=0上。

即：7x-y+5=0为所求直线L的⽅程评析：此类问题为求已知直线与对称轴相交的直线⽅程，⽅法有3种，各有优势。

其中第1种解法是由轴对称性质，对称轴与两条直线夹⾓相等，然后使⽤到⾓公式求出直线斜率，再利⽤点斜式求出所求直线⽅程；第⼆种⽅法是在已知直线上任找⼀点（特殊点也可），从⽽求出该点关于定直线的对称点，然后根据两点式求出直线⽅程，充分利⽤垂直平分来求解对称的直线⽅程；第三种⽅法由两条直线关于定直线对称，则这两条直线中任何⼀条直线上任意⼀点关于对称轴的点必在另⼀条直线上，对称轴是这两点的中垂线，由此可写出两点坐标间的关系式，⽤代⼊法求出直线⽅程。

直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223xx ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）.点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为133,,.221AA x y y k x '++-⎛⎫= ⎪-⎝⎭由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-•--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为31,.55⎛⎫-- ⎪⎝⎭三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 由题意，所给的两直线l 1，l 2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.解 由⎩⎨⎧=+-=--03302y x y x 解得l 1，l 2的交点⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,25•••A ， 设所求直线l 的斜率为k ，由到角公式得，kk 31313113+-=⨯+-，所以k=-7. 由点斜式，得直线l 的方程为7x+y+22=0.点评 本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.（4）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可.（5）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y= -x+c 的对称直（曲）线为f(-y+c ，-x+c). 即把f(x ，y)=0中的x 换成-y+c ，y 换成-x+c.练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.C(7,0)已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.C (3,-6)2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程2l ：3x-y-10=03求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.解：设A(4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为A ′(x 1,y 1) ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=++⨯++⨯145400212042451111x y y x解得：⎩⎨⎧-=-=8611y x ∴A ′(－6，－8)∴A(4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为(－6，－8)4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。

解题宝典值域.三、巧用几何法求最值三角函数的性质求得最值，中代数式的几何意义，如将（x ，y ）看作一cos 2x +sin 2x =1看作一个单位圆，将y =x 2物线，等等.然后画出相应的几何图形，曲线、几何图形的位置关系，应的关系式，即可求得三角函数的最值.例5.求函数y =4sin x +12cos x -4的最值.解：y =4sin x +12cos x -4=2·sin x +14cos x -2，可将y =2·sin x +14cos x -2看作点M (cos x A (-14,2)连线的斜率的2倍，设直线l 的方程为y =kx -2k -14且M 在圆心为O (0,0)，半径为1的圆上.过点A 作圆O 的切线，切点分别为B ,C ，由图可知，原点O (0,0)到直线l 于1，则-32≤2k ≤56，所以y max =56,y min =-32.有关直线对称的问题比较常见,但却是比较容易出错的一类题目.常见的有关直线对称的问题有：（1）两条直线关于点对称；（2）两条直线上的点关于点对称；（3）两个点关于直线对称；（4）两条直线关于某条直线对称.下面结合实例探讨一下这四类对称问题的解法.一、两条直线关于点对称如果两条直线关于点对称，那么这两条直线平行.对于这类问题，一般有两种求解思路：①因为对称点到这两条直线的距离是相等的，所以可以根据两条平行直线之间的距离公式：d =|C 1-C 2|A 2+B 2求解；②在一条直线上任选一个点，并在另外一条直线上找到该点的对称点，将问题转化成两条直线上的点关于点对称的问题来求解.例1.已知直线L 1的方程为：2x +5y -7=0，求这条直线关于点（2，4）对称的直线L 2的方程.解法一：先在直线L 1上任选一个点M 1(x 1,y 1),再设直线L 2上关于点（2，4）对称的点为N (x ,y ).根据中点坐标公式可得x 1+x2=2，y 1+y 2=4，则x 1=4-x ，y 1=8-y ，将其代入直线L 1的方程2x 1+5y 1-7=0，可得：2(4-x )+5(8-y )-7=0，化简得2x +5y -41=0，所以直线L 2的方程为2x +5y -41=0.解法二：不妨设直线L 2的方程为：2x +5y +a =0，由于两条直线是关于点（2，4）对称的，所以直线L 1和L 2平行，且到点M (2,4)的距离相等,则由点到直线的距离公式可得：|4+20-7|22+52=|4+20+a |22+52，解得a =-41，所以直线L 2的方程为2x +5y -41=0.解法一是通过确定两条直线上的对称点，将两直44解题宝典线关于点对称的问题转化为两条直线上的点关于点对称的问题，利用中点坐标公式求解；解法二是根据两条直线与对称点之间的位置关系，确定对称点到两条直线之间的距离，进而根据点到直线的距离公式进行求解.二、两条直线上的点关于点对称当遇到两条直线上的点关于某个点对称的问题时，一定要明确两对称点的坐标与其中点的坐标之间的关系.如果一条直线上的点M (x 1,y 1)与另外一条直线上的点N (x 2,y 2)关于点K (a ,b )对称，则K (a ,b )为MN 的中点，此时需根据中点坐标公式建立关系式或方程组ìíîïïïïa =x 1+x 22,b =y 1+y 22,通过解方程求得问题的答案.例2.已知直线L 1:x +3y -6=0和直线L 2:x -2y +3=0，直线过点K (-1,-3)，且与直线L 1，L 2，分别相交于M ,N 两点，若M 和N 两点关于点K 对称，求直线L 的方程.解：设点M (a ,b )，则N (-2-a ,-6-b )，由于M 、N 两点分别在L 1,L 2上，所以ìíîa +3b -6=0,(-2-a )-2(-6-b )+3=0,解得ìíîïïa =515,b =-75,所以M (515,-75)，则N (-615,-235),故直线L 的方程为4x +23y +35=0.解答这道题，一定要抓住关键信息：M 、N 两点分别在L 1,L 2上，且关于点K 对称，这说明M 、N 两点的坐标分别满足直线L 1和L 2的方程，且其中点为K ，据此建立方程组，求出点M 、N 的坐标，即可根据直线的两点式方程求出直线L 的方程.三、两个点关于直线对称当两个点关于直线对称时，可将该直线视为对称轴，那么这两个点的中点在对称轴上，且这两个点所在的直线和对称轴互相垂直.根据中点坐标公式和直线的斜率公式建立方程组，即可解题.例3.已知光线经过点K （-3，4），被直线L ：x-y +3=0反射，反射光线经过点T （2，6），求反射光所在直线的方程.解：设点K （-3，4）关于直线L ：x -y +3=0对称的点为K ′(m ,n )，那么反射光所在的直线经过点K ′，于是ìíîïïïïn -4m -(-3)=-1,-3+m 2-n +42+3=0,解方程可得n =0，m =1，所以K ′(1,0)，而反射光线经过了点T (2,6)，所以反射光线所在直线的斜率为6-02-1=6.则反射光线所在直线的方程为6x -y -6=0.本题实质上是两个点关于直线对称问题，根据中点的坐标公式建立关于M 、M′及其中点的关系式，并根据直线的斜率公式求得反射光线所在直线的斜率，即可解题.四、两条直线关于某条直线对称两条直线关于某一条直线对称的问题，一般都可以转化成点关于直线对称的问题.如果直线L 1和直线L 2关于直线L 3对称（直线L 1和L 2不平行），就可以在直线L 1上任取一个点（非交点）P ，并求出该点关于直线L 3对称的点P′，此时P 与P′关于直线L 3对称，根据中点坐标公式和直线的斜率公式进行求解即可.例4.已知直线L 1：x -y =0和直线L 2:2x -y -2=0,求L 2关于L 1对称的直线L 3的方程.解：将直线L 1和直线L 2的方程联立，可得：ìíîx -y =0,2x -y -2=0,解得：ìíîx =2,y =2,所以直线L 1和L 2的交点坐标为（2,2），且L 3必过此点.在直线L 2上任取点（0，-2），其关于直线L 1对称的点是（-2,0），显然这两点的连线与L 3垂直，则直线L 3的斜率为2-02-(-2)=12，所以直线L 3的方程为x -2y +2=0.直线L 1和L 2不平行，则必相交，于是将两直线的方程联立，求得其交点的坐标.而直线L 3必过此点，所以只需根据直线L 1和L 2上关于该交点对称的点的连线与直线L 3垂直的关系，建立关系式，即可求得直线L 3的斜率.总之，解答有关直线对称的问题，需抓住几个关键点：(1)明确直线、点之间的位置关系；（2）灵活运用图形的对称性；（3）合理建立关于点、直线的方程（组）.虽然有关直线对称的问题比较复杂，但是同学们在学习的过程中只要注意总结几类对称问题的通性通法，并通过练习熟练掌握解答这几类问题的方法、技巧，就能在考试时从容应对这类问题.（作者单位：江苏省滨海中学）45。

高中数学专题--- 对称问题基本方法：对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：1. 点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题）设点()000,P x y ，对称中心为(),A a b ，则点()000,P x y 关于(),A a b 的对称点为()002,2P a x b y '--.2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：设点()000,P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(),P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求得(),P x y '''.特殊情形：①点()000,P x y 关于直线x a =对称的点为()002,P a x y '-；②点()000,P x y 关于直线y b =对称的点为()00,2P x b y '-；③若对称轴的斜率为1±，则可把()000,P x y 直接代入对称轴方程求得对称点P '的坐标.一、典型例题1．已知椭圆C ：2214x y +=，A 为椭圆左顶点，设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．2．已知椭圆22143x y +=与直线y kx m =+相交于不同的两点,M N ，如果存在过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l ,使得点M N ,关于l 对称，求实数m 的取值范围.二、课堂练习1．已知椭圆22184x y +=，上顶点为,P O 为坐标原点，设线段PO 的中点为M ，经过M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，()3,0C -，若点A 关于x 轴的对称点在直线BC 上，求直线l 方程.2．已知椭圆22:194x y C +=. 点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.三、课后作业1．已知椭圆:Γ221106x y+=.ABC∆的顶点都在椭圆Γ上，其中,A B关于原点对称，试问ABC∆能否为正三角形？并说明理由.2．已知椭圆2212yx+=，记椭圆的右顶点为C，点(),D m n（0n≠）在椭圆上，直线CD交y轴于点M，点E与点D关于y轴对称，直线CE交y轴于点N．问：x轴上是否存在点Q，使得OQM ONQ∠=∠（O为坐标原点）？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．3．已知椭圆22413yx+=，右顶点为A，设直线l：1x=-上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D. 若APD线AP 的方程.。

⼈教版⼋年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题第⼗三章《轴对称》⼀、知识点归纳（⼀）轴对称和轴对称图形1、有⼀个图形沿着某⼀条直线折叠，如果它能够与另⼀个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果⼀个图形沿⼀条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意⼀对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应⾓相等。

5．画⼀图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（⼆）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是⼀个具有特殊形状的图形，把⼀个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成⼀个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）所以线段的垂直平分线能够看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）⽤坐标表⽰轴对称2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹⾓平分线对称点P（x，y）关于第⼀、三象限坐标轴夹⾓平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第⼆、四象限坐标轴夹⾓平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平⾏于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三⾓形1、等腰三⾓形性质：性质1：等腰三⾓形的两个底⾓相等（简写成“等边对等⾓”）性质2：等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线、底边上的⾼相互重合。

浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。

对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称：线（直线或曲线）关于点成中心对称：点关于线成轴对称：线（直线或曲线）关于线成轴对称。

无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。

这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。

本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。

一、中心对称：即关于点的对称问题泄义：把一个图形绕某个点旋转180。

后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。

这个点叫做对称中心。

性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。

1.点关于点对称例1. 求P （3, 2）关于M （2, 1）的对称点P'的坐标。

分析：由中心对称的性质得M点是PP，的中点，可求P‘（1, 0）。

小结：P （x°,yo）戻WbM称点：》p,（2a—x°,2b-y。

）（依据中点坐标公式）。

特例P （xo,y o）一「辿辿-■> p，（一X。

，一％）。

2.直线关于点对称例2. 求直线L：x+y-l=0关于M （3. 0）的对称直线1=的方程。

分析：思路一：在直线L上任取一点P （x, y）,则它关于何的对称点Q （6-x, 一y）,因为Q 点在h上，把Q点坐标代入直线1冲，便得到12的方程：x+y—5二0。

思路二：在h上取一点P （1, 0）,求岀P关于M点的对称点Q的坐标（5, 0）。

再由kn=k i=,可求岀直线h的方程x+y—5二0。

思路三：由k”二血,可设h Ax+By+C二0关于点M（x o,yo）的对称直线为Ax+By+C' =0|Axo + Byo + C I lAxo + Byo + C*且一二一，求出C及对称直线1）的方程x+y-5二0。