2017-2018年江苏省徐州市高二上学期期中数学试卷及答案

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。

高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上.1．（5分）已知直线l的斜率为﹣1，则它的倾斜角为．2．（5分）已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣y=0，则它的圆心坐标为．3．（5分）若直线a和平面α平行，且直线b⊂α，则两直线a和b的位置关系为．4．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a=．5．（5分）已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为．6．（5分）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是．7．（5分）已知P，Q分别为直线x+3y﹣9=0和x+3y+1=0上的动点，则PQ的最小值为．8．（5分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面说法正确的有．①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．9．（5分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是．10．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为．11．（5分）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相同的四段弧，则ab=．12．（5分）已知正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm．则它的侧面积为cm2．13．（5分）已知点A（1，2），B（﹣3，﹣1），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是．14．（5分）已知线段AB的长为2，动点C满足（μ为常数，μ＞﹣1），且点C始终不在以点B为圆心为半径的圆内，则μ的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：CD⊥PA．16．（14分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；（2）在△ACD中，求CD边上的高所在直线方程；（3）求四边形ABCD的面积．17．（15分）已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x 上．（1）求圆C的方程；（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m 过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．18．（15分）斜棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥面ABC，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC=60°，E，F分别为A1C1和AB的中点．（1）求证：平面CEF⊥平面ABC；（2）若三棱柱的所有棱长为2，求三棱柱F﹣ECB的体积；（3）D为棱BC上一点，若C1D∥EF，请确定点D位置，并证明你的结论．19．（16分）已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且圆C在x轴、y轴上截得的弦长AB和MN分别为和．（1）求圆C的方程；（2）若圆心C位于第四象限，点P（x，y）是圆C内一动点，且x，y满足，求的范围．20．（16分）已知，B（0，2），C（1，0），斜率为的直线l过点A，且l和以C为圆C相切．（1）求圆C的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得，若存在，求出所有的点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若不过C的直线m与圆C交于M，N两点，且满足CM，MN，CN的斜率依次为等比数列，求直线m的斜率．高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上.1．（5分）已知直线l的斜率为﹣1，则它的倾斜角为．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣y=0，则它的圆心坐标为（﹣1，）．【分析】根据圆的一般方程的特征，求得圆的圆心坐标．【解答】解：圆C的方程为x2+y2+2x﹣y=0，即（x+1）2+（y﹣）2 =，则圆心坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．【点评】本题主要考查圆的一般方程的特征，属于基础题．3．（5分）若直线a和平面α平行，且直线b⊂α，则两直线a和b的位置关系为平行或异面．【分析】以正方体AC1为载体，得到直线a∥平面α，直线b在平面α内，则直线a与b的位置关系可能平行、可能异面．【解答】解：如图，在正方体AC1中，直线A1B1∥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，A1B1∥AB，A1B1与BC异面．∴直线a∥平面α，直线b在平面α内，则直线a与b的位置关系可能平行、可能异面．故答案为：平行或异面．【点评】本题考查直线与直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中两直线的位置关系的合理运用．4．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a=．【分析】根据直线方程求出两直线的斜率，根据两直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出实数a．【解答】解：∵直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，∴斜率之积等于﹣1，他们的斜率分别为和，∴×=﹣1，∴a=，故答案为．【点评】本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直，斜率之积等于﹣1．5．（5分）已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴的交点为（4，0）、（0，2），经过O、A、B三点的圆即△OAB的外接圆，又由△OAB为直角三角形，则其外接圆直径为|AB|，圆心为AB的中点，则有2r==2，即r=，圆心坐标为（2，1），则要求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题考查圆的标准方程，注意△OAB为直角三角形．6．（5分）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是2．【分析】利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=1；圆锥的高为：=2．故答案为：2．【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．（5分）已知P，Q分别为直线x+3y﹣9=0和x+3y+1=0上的动点，则PQ的最小值为．【分析】由题意可得，PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，再利用两条平行直线间的距离公式d=，求得PQ的最小值．【解答】解：P，Q分别为直线x+3y﹣9=0和x+3y+1=0上的动点，则PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，为=，故答案为：．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式d=应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．8．（5分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面说法正确的有①④．①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．【分析】①根据面面垂直的判定可判断正误；②分别在两个互相垂直的平面内的两条直线不一定垂直；③m、n可能平行，可能异面；④根据线面平行的性质可判定．【解答】解：对于①，若m⊂α，m⊥β，根据面面垂直的判定可得α⊥β，故正确；对于②，若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m、n不一定垂直，故错；对于③，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m于n可能平行，可能异面，故错；对于④，若m∥α，m⊂β，α∩β=n，根据线面平行的性质可判定m∥n，故正确．故答案为：①④．【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行、垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．9．（5分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是x+2y﹣3=0．【分析】在直线x﹣2y+1=0上任取两点，分别求出这两点关于直线x=1的对称点，由此能求出直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程．【解答】解：在直线x﹣2y+1=0上任取两点（1，1），（0，），这两点关于直线x=1的对称点分别为（1，1），（2，），过这两点的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+2y﹣3=0．故答案为：x+2y﹣3=0．【点评】本题考查与直线关于直线对称的直线方程的求法，解题时要认真审题，注意对称思想的合理运用．10．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为．【分析】由正四棱柱的底面边长与侧棱长，可以求出四棱柱的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的体积．【解答】解：因为正四棱柱底面边长为1，侧棱长为，所以它的体对角线的长是：2．所以球的直径是：2，半径为1．所以这个球的体积是：．故答案为：．【点评】本题考查正四棱柱的外接球的体积．考查空间想象能力与计算能力，是基础题．11．（5分）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相同的四段弧，则ab=﹣7．【分析】推导出圆心（1，2）到直线l1：y=x+a和l2：y=x+b的距离都是2，从而求出a=1﹣2，b=1+2或a=1+2，b=1﹣2．由此能求出ab的值．【解答】解：如图，∵直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相同的四段弧，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=，OA=OB=OC=OD=r=2，E、F是AB和CD的中点，则OE=OF===2．∴圆心（1，2）到直线l1：y=x+a和l2：y=x+b的距离都是2，∴，解得a=1﹣2，b=1+2或a=1+2，b=1﹣2．∴ab=（1+2）（1﹣2）=﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查两数积的求法，考查直线、圆、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．12．（5分）已知正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm．则它的侧面积为18 cm2．【分析】利用三棱锥的体积求出底面面积，得到底面边长，求解侧面积即可．【解答】解：正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm．可得底面正三角形的面积为：，解得S=9．设底面边长为xcm．由题意可得：，解得x=6．侧面斜高h==2．∴它的侧面积S=3××6×2=18．故答案为：18．【点评】本题考查了正三角形的面积计算公式、正三棱锥的性质、勾股定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）已知点A（1，2），B（﹣3，﹣1），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是（1，3）．【分析】先求得|AB|=5，根据题意可得两点M，N到直线AB的距离为2．求出AB的方程为3x﹣4y+5=0，当圆上只有3个点到直线AB的距离为2时，求得r 的值，即可求得满足条件的r的取值范围．【解答】解：由题意可得|AB|==5，根据△MAB和△NAB的面积均为5，可得两点M，N到直线AB的距离为2．由于AB的方程为，即3x﹣4y+5=0．若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则有圆心（0，0）到直线AB的距离=r﹣2，解得r=3，又圆上的点到AB的距离最大值为1+r（只有一个点），故当r≤1时1+r≤2，不可能存在两点到AB的距离都是2．故r＞1此时AB与圆相交要满足题意，则r﹣1＜2得r＜3∴1＜r＜3故答案为：（1，3）．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．14．（5分）已知线段AB的长为2，动点C满足（μ为常数，μ＞﹣1），且点C始终不在以点B为圆心为半径的圆内，则μ的范围是（﹣1，﹣]∪[，+∞）．【分析】以线段AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设点C（x，y），利用坐标表示以及点C不在以点B为圆心为半径的圆内，从而求出μ的范围．【解答】解：以线段AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示；设点C（x，y），则A（﹣1，0），B（1，0），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y）；由，得（﹣1﹣x）（1﹣x）+（﹣y）2=μ，∴u=x2+y2﹣1；①又点C不在以点B为圆心为半径的圆内，∴（x﹣1）2+y2≥，即x2+y2﹣2x+1≥；②由①②得μ≥2x﹣，其中x≤或x≥；当x≤时，μ≤﹣，当x≥时，μ≥；又μ＞﹣1，∴μ的范围是﹣1＜μ≤﹣或μ≥．故答案为：（﹣1，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了圆与不等式的应用问题，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：CD⊥PA．【分析】（1）推导出四边形ABCM是平行四边形，从而AM∥BC，由此能证明AM∥平面PBC．（2）由PD=PC，点M是CD的中点，得PM⊥CD，由AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，得CD⊥AM，从而CD⊥平面PAM，由此能证明CD⊥PA．【解答】证明：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点∴AB CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AM∥BC，∵AM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AM∥平面PBC．（2）∵PD=PC，点M是CD的中点，∴PM⊥CD，∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，∴CD⊥AM，∵PM∩AM=M，∴CD⊥平面PAM，∵PA⊂平面PAM，∴CD⊥PA．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．（14分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；（2）在△ACD中，求CD边上的高所在直线方程；（3）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）法一：设D（x，y），由，能求出D点坐标．法二：求出AC中点为，该点也为BD中点，设D（x，y），由此能求出D点坐标；（2）求出CD边的斜率，从而得到CD边上的高的斜率，由此能求出CD边上的高所在的直线方程．（3）法一：求出直线BC，从而求出A到BC的距离，再求出BC，由此能求出四边形ABCD的面积．法二：求出，，，由余弦定理得，从而，由此能求出四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）解法一：设D（x，y），∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），，∴（﹣1，﹣6）=（2﹣x，3﹣y），∴x=3，y=9，即D（3，9）．解法二：∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），∴AC中点为，该点也为BD中点，设D（x，y），则可得D（3，9）；（2）∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），∴CD边的斜率k CD==6，∴CD边上的高的斜率为，∴CD边上的高所在的直线方程为y﹣5=﹣（x+1），即x+6y﹣29=0．（3）解法一：∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）．∴直线BC：=，即x﹣y+1=0，∴A到BC的距离为d=，又BC==4，∴四边形ABCD的面积为．解法二：∵，，∴由余弦定理得∴∴四边形ABCD的面积为．【点评】本题考查点的坐标、直线方程、四边形面积的求法，考查直线、中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．17．（15分）已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x 上．（1）求圆C的方程；（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m 过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．【分析】（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，利用待定系数法能求出圆C的方程．（2）动直线l的方程为（x+2y﹣7）m+2x+y﹣8=0，列出方程组求出动直线l过定点M（3，2），从而求出直线m：y=x﹣1，由此能求出圆心C（2，4）到m的距离．【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣4，E=﹣8，F=﹣5，∴圆C的方程：x2+y2﹣4x﹣8y﹣5=0；（2）动直线l的方程为（x+2y﹣7）m+2x+y﹣8=0．则得，∴动直线l过定点M（3，2），∴直线m：y=x﹣1，∴圆心C（2，4）到m的距离为，∴PQ的长为．【点评】本题考查圆的方程、线段长的求法，考查直线、圆、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．（15分）斜棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥面ABC，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC=60°，E，F分别为A1C1和AB的中点．（1）求证：平面CEF⊥平面ABC；（2）若三棱柱的所有棱长为2，求三棱柱F﹣ECB的体积；（3）D为棱BC上一点，若C1D∥EF，请确定点D位置，并证明你的结论．【分析】（1）只需证明EC⊥AC，利用侧面AA1C1C⊥面ABC即可证明平面CEF⊥平面ABC；（2）可得CE为三棱锥E﹣BCF的高，求得，可得；（3）利用线面平行的判定、性质可得D为棱BC中点点【解答】解：（1）；（2）∵CE⊥面ABC，∴CE为三棱锥E﹣BCF的高，在Rt△CC1E中，可得，又∵，∴；（3）D为棱BC中点点，∵C1D∥EF，∴C1，D，E，F共面，．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明、体积计算、考查使平面垂直的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（16分）已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且圆C在x轴、y轴上截得的弦长AB和MN分别为和．（1）求圆C的方程；（2）若圆心C位于第四象限，点P（x，y）是圆C内一动点，且x，y满足，求的范围．【分析】（1）设圆心为（a，b），半径为r，利用待宝系数法能求出圆C的方程．（2）由圆心C在第四象限，得圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，从而，，进而，由此能求出的范围．【解答】解：（1）设圆心为（a，b），半径为r，则有得或，圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=9或．（2）∵圆心C在第四象限，∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，∴，，∴，∵x，y满足，∴（或），又∵P在圆C内，满足（x﹣1）2+（y+2）2＜9且∴4y2+8y﹣5＜0，解得，∴．∴的范围[﹣，10）．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查向量和数量积的取值范围的求法，考查直线、圆、和向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．20．（16分）已知，B（0，2），C（1，0），斜率为的直线l过点A，且l和以C为圆C相切．（1）求圆C的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得，若存在，求出所有的点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若不过C的直线m与圆C交于M，N两点，且满足CM，MN，CN的斜率依次为等比数列，求直线m的斜率．【分析】（1）求出l：x﹣2y+4=0，从而求出圆C的半径r=，由此能求出圆C的方程．（2）设P（x，y），则由PB2=8PA2，得7x2+7y2+16x﹣20y+22=0，再由点P在圆C 上得：3x﹣2y+5=0，由此能求出点P的坐标．（3）设直线m：y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），直线m与圆（x﹣1）2+y2=5联立，得（1+k2）x2+2（kb﹣1）x+b2﹣4=0，由k2=k CM k CN，得：，由此能求出直线m的斜．【解答】解：（1）∵，B（0，2），C（1，0），斜率为的直线l过点A，∴l：x﹣2y+4=0，∵直线l和圆C相切，∴设圆C的半径为r，则，∴圆C：（x﹣1）2+y2=5．（2）设P（x，y），则由PB2=8PA2，得7x2+7y2+16x﹣20y+22=0，又∵点P在圆C上，∴，相减得：3x﹣2y+5=0，代入x2+y2﹣2x=4，得13x2+22x+9=0，解得x=﹣1或，∴点的坐标为P（﹣1，1）或；（3）若直线m的斜率不存在，则MN的斜率也不存在，不合题意：若直线m的斜率不存在，设直线m：y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），直线m与圆（x﹣1）2+y2=5联立，得（1+k2）x2+2（kb﹣1）x+b2﹣4=0，由k2=k CM k CN，得，即k2（x1x2﹣x1﹣x2+1）=（kx1+b）（kx2+b）．整理得：，∵m不过C点，∴k+b≠0，∴上式化为k（x1+x2）+b﹣k=0．将代入得：k2b﹣k+k3﹣b=0，即（k2﹣1）（k+b）=0，∵k+b≠0，∴k2=1，∴直线m的斜率为±1．【点评】本题考查圆的方程、点的坐标的求法，考查直线的斜率是否的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21。

江苏省徐州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）直线x=1的倾斜角和斜率是（）A . 45°，1B . 90°，不存在C . 135°， -1D . 180°，不存在2. （2分） (2015高一下·万全期中) 下列不等式中成立的是（）A . 若a＞b，则ac2＞bc2B . 若a＞b，则a2＞b2C . 若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D . 若a＜b＜0，则＞3. （2分）已知等比数列{an}的首项a1=1公比q=2，则log2a1+log2a2+...+log2a11=（）A . 50B . 35C . 55D . 464. （2分） (2016高一下·平罗期末) 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为（）A . 2B .C . 2D . 45. （2分）(2018·广东模拟) 若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有（）A . 条B . 条C . 条D . 条或条6. （2分）已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为（）A . 4πB . 8πC . 12πD . 16π7. （2分） (2016高二下·韶关期末) 已知a、b、c是△ABC的三个内角A、B、C对应的边，若a=2，b=2 ，sinB+cosB= ，则角A的大小为（）A . πB . πC .D . π或8. （2分）右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形.则该几何体的表面积是（）A .B .C . 8D . 16二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）直线和直线l2垂直，则直线l2的倾斜角的大小是________．10. （1分）(2017·新课标Ⅰ卷理) 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为________．11. （1分）(2017·衡阳模拟) 已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V 球= ，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为________．12. （1分）(2017·海淀模拟) 设D为不等式（x﹣1）2+y2≤1表示的平面区域，直线x+ y+b=0与区域D有公共点，则b的取值范围是________．13. （1分） (2018高三上·昭通期末) 若x，y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2-6x的最小值为________．14. （1分） (2016高二上·忻州期中) 设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．15. （1分）(2013·江苏理) 在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an 的最大正整数n的值为________．三、解答题 (共4题；共40分)16. （5分） (2016高二上·郴州期中) 在△ABC中，设．（Ⅰ）求B 的值（Ⅱ）求的值．17. （10分）(2017·厦门模拟) 已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn﹣2an=n﹣4．（1）证明{Sn﹣n+2}为等比数列；（2）设数列{Sn}的前n项和Tn，比较Tn与2n+2﹣5n的大小．18. （10分）(2017·晋中模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l．（1）求证：l∥EF；（2）求PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P﹣AE﹣B的余弦值．19. （15分） (2017高一下·盐城期末) 如图，已知动直线l过点，且与圆O：x2+y2=1交于A、B 两点．（1）若直线l的斜率为，求△OAB的面积；（2）若直线l的斜率为0，点C是圆O上任意一点，求CA2+CB2的取值范围；（3）是否存在一个定点Q（不同于点P），对于任意不与y轴重合的直线l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共40分)16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、第11 页共11 页。

江苏省徐州市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2017高二下·三台期中) 若m＜n＜0，则下列不等式中正确的是（）A .B . |n|＞|m|C .D . m+n＞mn2. （1分）(2019·江西模拟) 设等差数列的前项和为，若，，则（）A .B .C .D .3. （1分） (2017高二上·江门月考) 在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B＝（）A . ±B .C . －D .4. （1分）函数的最小值为（）A . －4B . －3C . 3D . 45. （1分）在正项等比数列中，若（）A . 16B . 32C . 36D . 646. （1分）在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，则等于（）A .B .C . -1D . 17. （1分）某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是（）A . 10B . 8C . 6D . 128. （1分） (2019高二上·辽宁月考) 设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则（）A . 8B .C . 1D .9. （1分）在中,分别为内角的对边，且则等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 120°10. （1分） (2015高二上·邯郸期末) 已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A . ﹣4B . 4C . ﹣2D . 211. （1分）已知△ABC中，BC=1，AB= ，AC= ，点P是△ABC的外接圆上的一个动点，则•的最大值是（）A . 2B .C .D .12. （1分） (2018高三上·湖南月考) 中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（）A . 35B . 65C . 70D . 60二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，﹣1为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状为________．14. （1分）等差数列{an}中，已知S4=2，S8=7，则a17+a18+a19+a20 的值等于________．15. （1分）三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高均为3丈的标杆BC和DE，前后标杆相距1000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A、C、F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A、E、G三点也共线，问岛峰的高度AH=________步（古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步）16. （1分） (2016高一上·浦东期中) 若关于x的不等式（a﹣1）x2+2（a﹣1）x﹣4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是________三、解答题 (共6题；共7分)17. （1分） (2018高一下·金华期末) 已知函数的最大值为 .（1）求的值及的单调递减区间；（2）若，，求的值.18. （2分）(2013·上海理) 已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足，求．19. （1分）(2020·榆林模拟) 如图，设椭圆的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且 0，若过 A，Q，F2三点的圆恰好与直线相切，过定点 M（0，2）的直线与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线的斜率，在x轴上是否存在点P（，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围．20. （1分）(2020·西安模拟) 已知函数 .（I）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.21. （1分）我市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A，B，C三种玩具共100个，且C玩具至少生产20个．每天生产时间不超过10小时，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如下表：玩具名称A B C工时（分钟）574利润（元）563（1）用每天生产A玩具个数x与B玩具个数y表示每天的利润ω（元）（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？22. （1分）已知数列的前n项和，其中．（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共7分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2017-2018学年江苏省徐州市高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知复数z满足：（1﹣i）z=4+2i（i为虚数单位）则z的虚部为2．（5分）用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为．3．（5分）若∁=∁，则x的值为4．（5分）已知复数z，满足：（﹣1+2i）+=5﹣6i，则|z|的值为5．（5分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．6．（5分）已知C n0+2C n1+22C n2+23C n3+…+2n C n n=729（n∈N*），则C n1+C n2+C n3+…+C n n的值为．7．（5分）已知f（n）=1+++…+（n∈N*），经计算的f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，则对于任意n（n∈N*）有不等式成立．8．（5分）如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．9．（5分）凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形对角线的条数f（n+1）为（用f（n）和n来表示）．10．（5分）设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N*），若a1+a2+…a n=63，则展开式中系数最大的项是．11．（5分）把53名同学分层若干小组，使每组至少一人，且任意两组的人数不等，则最多分成个小组．12．（5分）将A，B，C，D，E五个字母排成一排，求A，B均在C的同侧，则不同的排法共有种．（结果用数值作答）13．（5分）六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2+BD2=2（AB2+AD2），那么在图乙中所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若设底面边长和侧棱长分别为a，b，c，AC+BD+CA+DB等于（用a，b，c表示）14．（5分）如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形，若m：n=47：25，则正三角形ABC的边长是．二、解答题（共6小题，满分90分）解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（14分）已知z=（a+i）2，（a∈R），i是虚数单位．（1）若z为纯虚数，求a的值；（2）若复数z在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．16．（14分）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3125的数．17．（14分）已知（1﹣2）n的展开式中，所有项的二项式系数之和为128．（1）求展开式中的有理数；（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和．18．（16分）（1）已知n∈N*，求证：﹣＞﹣（2）若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x+y＞2，求证和中至少有一个小于2．19．（16分）将正整数作如下分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15），（16，17，18，19，20，21），…分别计算各组包含的正整数的和如下，（1）求S7的值；（2）由S1，S1+S3，S1+S3+S5，S1+S3+S5+S7的值，试猜想S1+S3+S5+…+S2n﹣1的结果，并用数学归纳法证明．20．（16分）已知椭圆C：x2+y2=r2有以下性质：①过圆C上一点M（x0，y0）的圆的切线方程是x0x+y0y=r2．②若M（x0，y0）为圆C外一点，过M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0x+y0y=r2；③若不在坐标轴上的点M（x0，y0）为圆C外一点，国M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则OM垂直AB，即k AB•k OM=﹣1，且OM平分线段AB．（1）类比上述有关结论，猜想过椭圆C′：=1（a＞b＞0）上一点M（x0，y0）的切线方程（不要证明），（2）过椭圆C′：=1（a＞b＞0）外一点M（x0，y0）作两直线，与椭圆相切于A，B两点，求过A，B两点的直线方程，（3）若过椭圆C′：=1（a＞b＞0）外一点M（x0，y0）（M不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切与A，B两点，求证k AB•k OM为定值，且OM平分线段AB．2017-2018学年江苏省徐州市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知复数z满足：（1﹣i）z=4+2i（i为虚数单位）则z的虚部为3【解答】解：由（1﹣i）z=4+2i，得z=，∴z的虚部为3．故答案为：3．2．（5分）用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为a，b都不能被5整除．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故答案为：a，b都不能被5整除．3．（5分）若∁=∁，则x的值为3【解答】解：由∁=∁，得，解得x=3．∴x的值为3．故答案为：3．4．（5分）已知复数z，满足：（﹣1+2i）+=5﹣6i，则|z|的值为10【解答】解：∵（﹣1+2i）+=5﹣6i，∴，∴|z|=||=10．故答案为：10．5．（5分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．6．（5分）已知C n0+2C n1+22C n2+23C n3+…+2n C n n=729（n∈N*），则C n1+C n2+C n3+…+C n n的值为63．【解答】解：由二项式定理得（1+2）n=1•+2•C n1+22C n2+…+2n C n n，所以3n=729，解得n=6，所以C n0+C n1+C n2+…+C n n=2n=26=64，所以C n1+C n2+C n3+…+C n n=64﹣1=63．故答案为：63．7．（5分）已知f（n）=1+++…+（n∈N*），经计算的f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，则对于任意n（n∈N*）有不等式f（2n）≥（n∈N*）成立．【解答】解：观察已知中等式：f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，…，则f（2n）≥（n∈N*）故答案为：f（2n）≥（n∈N*）8．（5分）如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．【解答】解：在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，由题意可知，|BF|2+|AB|2=|AF|2，∴b2+c2+c2=a2+c2+2ac，∵b2=c2﹣a2，整理得c2=a2+ac，∴e2﹣e﹣1=0，解得，或（舍去）．故黄金双曲线的离心率e得．9．（5分）凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形对角线的条数f（n+1）为f（n+1）=f（n）+n﹣1（用f（n）和n来表示）．【解答】解：凸n+1边形的对角线条数f（n+1）可看作是凸n边形的对角线条数f（n）加上从第n+1个顶点出发的n﹣2条对角线和凸n边形的一条边之和，即f（n+1）=f（n）+（n﹣2）+1=f（n）+n﹣1．故答案为：f（n+1）=f（n）+n﹣1．10．（5分）设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N*），若a1+a2+…a n=63，则展开式中系数最大的项是20x3．【解答】解：在（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n中，x=0解得：a0=1，当x=1时，2n=a0+a1+a2+…+a n=1+63=64，∴n=6；∴展开式中系数最大的项为x3=20x3．故答案为：20x3．11．（5分）把53名同学分层若干小组，使每组至少一人，且任意两组的人数不等，则最多分成9个小组．【解答】解：因为每一小组至少有1人，且任意两组的人数不相等．可以假设按要求分成10组的最少人数是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55＞53，所以至多分成9小组．故答案为：912．（5分）将A，B，C，D，E五个字母排成一排，求A，B均在C的同侧，则不同的排法共有80种．（结果用数值作答）【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将A、B、C排成一列，要求A，B均在C的同侧，有ABC，BAC，CBA，CAB，共4种情况，②A、B、C排好后，有4个空位，在4个空位中，任选1个，安排D，有4种情况，排好后，有5个空位，在5个空位中，任选1个，安排E，有5种情况，则D、E的安排方法有4×5=20种安排方法；则不同的排法共有4×20=80种；故答案为：8013．（5分）六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2+BD2=2（AB2+AD2），那么在图乙中所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若设底面边长和侧棱长分别为a，b，c，AC+BD+CA+DB等于4（a2+b2+c2）（用a，b，c表示）【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，有AC2+BD2=2（AB2+AD2），∴在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中：，，∵底面边长和侧棱长分别为a，b，c，∴AC+BD+CA+DB===4（a2+b2+c2）．故答案为：4（a2+b2+c2）．14．（5分）如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形，若m：n=47：25，则正三角形ABC的边长是12．【解答】解：设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x•x=x2，∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（）×=，∴黑色菱形的面积S′=（x﹣）（）=（x﹣2）2，若m：n=47：25，则=，解得x=12或x=（舍），∴△ABC的边长是12．故答案为：12．二、解答题（共6小题，满分90分）解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（14分）已知z=（a+i）2，（a∈R），i是虚数单位．（1）若z为纯虚数，求a的值；（2）若复数z在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．【解答】解：z=（a+i）2=a2﹣1+2ai，a∈R，i是虚数单位；（1）若z为纯虚数，则，解得a=1或a=﹣1，∴实数a的值是1或﹣1；（2）若复数z在复平面上对应的点在第四象限，则，解得a＜﹣1，∴实数a的取值范围是a＜﹣1．16．（14分）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3125的数．【解答】解：（1）先排个位，再排首位，其余的位任意排，根据分步计数原理，共有A31A31A42=144（个）．（2）以0结尾的四位偶数有A53=60个，以2或4结尾的四位偶数有A21A41A42=96，则共有60+96=156（个）．（3）要比3125大的数，若4、5作千位时，则有2A53=120个，若3作千位，2、4、5作百位时，有3A42=36个，若3作千位，1作百位时，有2A31=6 个，所以共有120+36+6=162（个）．17．（14分）已知（1﹣2）n的展开式中，所有项的二项式系数之和为128．（1）求展开式中的有理数；（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和．【解答】解：（1）∵（1﹣2）n的展开式中，所有项的二项式系数之和为2n=128，∴n=7，故它的展开式通项公式为T r+1=•（﹣2）r•，故当r=0，2，4，6时，可得它的有理项分别为T1=1，T3=•4x=84x，T5=•16x2=560x2，T7=•64x3=448x3．（2）对于（1﹣2）n的=（1﹣2）7的展开式，展开后，所有项的系数的绝对值之和，即（1+2）7的展开式的各项系数和，令x=1，可得（1+2）7的展开式的各项系数和为37=2187．18．（16分）（1）已知n∈N*，求证：﹣＞﹣（2）若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x+y＞2，求证和中至少有一个小于2．【解答】证明：（1）要证：﹣＞﹣⇐+＞+⇐（+）2＞（+）2，⇐n+1+n+2+2＞n+n+3+2⇐＞⇐n2+3n+2＞n2+3n⇐2＞0，显然成立．∴﹣＞﹣成立．（2）假设：≥2，≥2．∵x，y∈R*，∴．∴2+x+y≥2x+2y，∴x+y≤2，这与x+y＞2矛盾，…（11分）∴假设不成立．所以和中至少有一个小于2．…（12分）19．（16分）将正整数作如下分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15），（16，17，18，19，20，21），…分别计算各组包含的正整数的和如下，（1）求S7的值；（2）由S1，S1+S3，S1+S3+S5，S1+S3+S5+S7的值，试猜想S1+S3+S5+…+S2n﹣1的结果，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）S7=22+23+24+25+26+27+28=175．（2）S1=1，S1+S3=16S1+S3+S5=81S1+S3+S5+S7=256猜想S1+S3+S5+…+S2n﹣1=n4（n∈N*），下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当n=1时，结论成立；（ⅱ）假设当n=k时结论成立，即S1+S3+S5+…+S2k﹣1=k4（k∈N*），那么当n=k+1时，S2k+1=k（2k+1）+1+k（2k+1）+2+…+k（2k+1）+2k+1=（2k+1）2k+=4k3+6k2+4k+1，则S1+S3+S5+…+S2k﹣1+S2k﹣1=k4+4k3+6k2+4k+1=（k+1）4，所以当n=k+1时，猜想成立．综上（ⅰ）（ⅱ），S1+S3+S5+…+S2n﹣1=n4（n∈N*）．20．（16分）已知椭圆C：x2+y2=r2有以下性质：①过圆C上一点M（x0，y0）的圆的切线方程是x0x+y0y=r2．②若M（x0，y0）为圆C外一点，过M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0x+y0y=r2；③若不在坐标轴上的点M（x0，y0）为圆C外一点，国M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则OM垂直AB，即k AB•k OM=﹣1，且OM平分线段AB．（1）类比上述有关结论，猜想过椭圆C′：=1（a＞b＞0）上一点M（x0，y0）的切线方程（不要证明），（2）过椭圆C′：=1（a＞b＞0）外一点M（x0，y0）作两直线，与椭圆相切于A，B两点，求过A，B两点的直线方程，（3）若过椭圆C′：=1（a＞b＞0）外一点M（x0，y0）（M不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切与A，B两点，求证k AB•k OM为定值，且OM平分线段AB．【解答】解：（1）过椭圆C′：=1（a＞b＞0）上一点M（x0，y0）的切线方程为+=1；（2）过椭圆C′：=1（a＞b＞0）外一点M（x0，y0）作两直线，与椭圆相切于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）的结论可得A处的切线方程为+=1，B处的切线方程为+=1，又两切线都过M，可得+=1，+=1，由过A，B两点确定一条直线可得过AB的直线方程为+=1；（3）证明：由（2）可得过AB的直线方程为+=1，可得k AB=﹣，k OM=，则k AB•k OM=﹣；由A，B都在椭圆上，可得+=1，+=1，相减可得+=0，设AB的中点为N（m，n），可得x1+x2=2m，y1+y2=2n，则k AB==﹣，又k AB=﹣，k OM=，可得k ON=k OM，则OM过AB的中点，即OM平分线段AB．。

2017-2018学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填在答题卡相应位置上）1．（5分）命题“∃x∈R，使得x2＞0”的否定是．2．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角是．3．（5分）点P（3，﹣2，4）关于点A（0，1，﹣2）的对称点的坐标是．4．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是．5．（5分）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是．6．（5分）已知两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=1互相平行，则a等于．7．（5分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是．8．（5分）圆x2+（y+1）2=3绕直线kx﹣y﹣1=0旋转一周所得的几何体的表面积为．9．（5分）若过点M （0，2 ）作圆x2+y2﹣2x﹣1=0的切线，则切线长为．10．（5分）分别过点A（1，3）和点B（2，4）的直线l1和l2互相平行且有最大距离，则l1的方程是．11．（5分）设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能使“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是；（填所有正确条件的代号）①x，y，z为直线；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线．12．（5分）已知方程=x+m有两个不相等的实数根，则实数m的范围．13．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上，则实数k的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC．（1）取CD的中点为F，AE的中点为G，证明FG∥面ABC；（2）证明AD⊥CE．16．（14分）已知三角形三个顶点是A（﹣5，0），B（4，﹣4），C（0，2），（1）求BC边上的中线所在直线方程；（2）求BC边上的高AE所在直线方程．17．（14分）如图已知在三棱柱ABC﹣﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．（1）求证：平面ABC1∥平面MNQ；（2）求证：平面PCC1⊥平面MNQ．18．（16分）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：，中至少有一个小于2．19．（16分）已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为5，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得A，B关于过点P（﹣2，4）的直线l对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．2017-2018学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填在答题卡相应位置上）1．（5分）命题“∃x∈R，使得x2＞0”的否定是∀x∈R，使得x2≤0．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使得x2＞0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，使得x2≤0故答案为：∀x∈R，使得x2≤0．2．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角是π．【解答】解：直线x+y﹣3=0 即y=﹣x+，故直线的斜率等于﹣，设直线的倾斜角等于α，则0≤α＜π，且tanα=﹣，故α=，故答案为：．3．（5分）点P（3，﹣2，4）关于点A（0，1，﹣2）的对称点的坐标是（﹣3，4，﹣8）．【解答】解：设点P（3，﹣2，4）关于点A（0，1，﹣2）的对称点的坐标为（a，b，c），则由中点坐标公式得：，解得a=﹣3，b=4，c=﹣8，∴点P（3，﹣2，4）关于点A（0，1，﹣2）的对称点的坐标是（﹣3，4，﹣8）．故答案为：（﹣3，4，﹣8）．4．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是2x+y﹣2=0．【解答】解：设与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是2x+y+m=0，把点（1，0）代入可得：2+0+m=0，解得m=﹣2．∴要求的直线方程为：2x+y﹣2=0．故答案为：2x+y﹣2=0．5．（5分）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．【解答】解：命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．故答案为：“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．6．（5分）已知两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=1互相平行，则a等于1或﹣3．【解答】解：两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，所以=≠解得a=﹣3，或a=1．故答案为：1或﹣3．7．（5分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=．【解答】解：将直线x+y=6化为x+y﹣6=0，圆的半径r==，所以圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=．答案：（x﹣2）2+（y+1）2=8．（5分）圆x2+（y+1）2=3绕直线kx﹣y﹣1=0旋转一周所得的几何体的表面积为12π．【解答】解：显然直线过圆心（0，﹣1），故旋转一周所得几何体为球，球的半径为，∴S=4πR2=4π•3=12π．球故答案为12π．9．（5分）若过点M （0，2 ）作圆x2+y2﹣2x﹣1=0的切线，则切线长为．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，∴圆心A坐标（1，0），半径|AN|=，又M（0，2），∴|AM|==，则切线长|MN|==．故答案为：10．（5分）分别过点A（1，3）和点B（2，4）的直线l1和l2互相平行且有最大距离，则l1的方程是x+y﹣4=0．【解答】解：∵分别过点A（1，3）和点B（2，4）的直线l1和l2互相平行且有最大距离，故此最大距离为|AB|=，∵K AB==1，故l1的斜率为﹣=﹣1，故l1的方程为y﹣3=﹣1（x﹣1），即x+y﹣4=0，故答案为：x+y﹣4=0．11．（5分）设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能使“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是③④；（填所有正确条件的代号）①x，y，z为直线；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线．【解答】解：①x，y，z为正方体从一个顶点出发的三条直线，故①错误；②x，y，z为正方体中交于一点的三个平面，故②错误；③由垂直于同一平面的两条直线平行，故③正确；④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，故④正确；故答案为：③④．12．（5分）已知方程=x+m有两个不相等的实数根，则实数m的范围[1，）．【解答】解：由关于x的方程=x+m，可设y=x+m，和y=，﹣1≤x≤1，由y=，可得x2+y2=1，因为﹣1≤x≤1，所以y=，﹣1≤x≤1，表示圆的上半部分；①当直线x﹣y+m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==1，解得m=，由图象可知m＞0，所以m=；②当直线经过点（﹣1，0）时，直线满足﹣1+m=0，解得m=1；所以要使关于x的方程=x+m有两个不同实数解，则实数m的取值范围是[1，）．故答案为：[1，）．13．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是[，1] ．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上，所以函数的最小值为：f（）==．最大值为：f（1）=2﹣2+1=1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上，则实数k的最小值为﹣．【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1关于x轴的对称图形是：圆D：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆D上存在点N在直线kx+y+3=0上，又直线kx+y+3=0过定点P（0，﹣3），∴直线与圆D相切时，有d=r，即=1，解得k=﹣或k=0，∴实数k的最小值为﹣．故答案为：﹣．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC．（1）取CD的中点为F，AE的中点为G，证明FG∥面ABC；（2）证明AD⊥CE．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）取AB中点H，连接GH，CH，因为G是AE中点，所以HG BE，又因为矩形BCDE，所以BE∥=CD，且F是CD中点，所以HG∥=CF，所以四边形FGHC是平行四边形，所以FG∥CH，又因为FG⊄平面ABC，CH⊂平面ABC，所以FG∥面ABC；（2）取BC中点Q，连接AQ，DQ，因为AC=AB，所以AQ⊥BC，因为侧面ABC⊥底面BCDE，AQ⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCDE=BC，所以AQ⊥平面BCDE，因为CE⊂平面BCD，所以CE⊥AQ又在矩形BCDE中，BC=2，CD=，BE=，CQ=1，所以，所以Rt△CDQ∽Rt△BCE，所以∠DQC=∠CEB，所以∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90°，所以CE⊥DQ因为AQ∩DQ=Q，且AQ，DQ⊂平面ADQ，所以CE⊥平面ADQ，AD⊂平面ADQ，所以AD⊥CE．…．（14分）16．（14分）已知三角形三个顶点是A（﹣5，0），B（4，﹣4），C（0，2），（1）求BC边上的中线所在直线方程；（2）求BC边上的高AE所在直线方程．【解答】解：（1）∵B（4，﹣4），C（0，2），∴BC的中点坐标为D（2，﹣1），可得直线AD的斜率为k AD==﹣，因此直线AD方程为y=﹣（x+5），化简得x+7y+5=0，即为BC边上的中线所在直线方程；（2）∵直线BC的斜率为k BC==﹣，∴BC边上的高AE的斜率为k==，由此可得直线AE的方程为y=（x+5），化简得2x﹣3y+10=0即BC边上的高AE所在直线方程2x﹣3y+10=0．17．（14分）如图已知在三棱柱ABC﹣﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．（1）求证：平面ABC1∥平面MNQ；（2）求证：平面PCC1⊥平面MNQ．【解答】证明：（1）∵N，Q分别是BB1，B1C1的中点，∴NQ∥BC1（1分）又∵NQ⊂平面MNQ，BC1⊄平面MNQ，∴BC1∥平面MNQ（4分）∵AB∥MN，MN⊂平面MNQ，AB⊄平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．（5分）又∵AB∩BC1=B，∴平面ABC1∥平面MNQ．（7分）（2）∵AC=BC，P是AB的中点，∴AB⊥PC （8分）∵AA1⊥面ABC，CC1∥AA1，∴CC1⊥面ABC，而AB在平面ABC内，∴CC1⊥AB，（9分）∵CC1∩PC=C∴AB⊥面PCC1；（10分）又∵M、N分别是AA1、BB1的中点，四边形AA1B1B是平行四边形，MN∥AB，∴MN⊥面PCC1（12分）∵MN在平面MNQ内，∴面PCC1⊥面MNQ；（14分）18．（16分）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：，中至少有一个小于2．【解答】证明：假设都不小于2，则，因为a＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，1+1+a+b≥2（a+b），即2≥a+b，这与已知a+b＞2相矛盾，故假设不成立．综上中至少有一个小于2．19．（16分）已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为5，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得A，B关于过点P（﹣2，4）的直线l对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设⊙C的方程为（x﹣m）2+y2=25（m＞0），由题意设，解得m=1．故⊙C的方程为（x﹣1）2+y2=25．（2）由题设知，故12a2﹣5a＞0，所以，a＜0，或．故实数a的取值范围为．（3）设存在实数a，使得A，B关于l对称．∴PC⊥AB，又a＜0，或，即，∴，∴存在实数，满足题设．20．（16分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，可设A（x1，0），B（x2，0），由韦达定理可得x1x2=﹣2，若AC⊥BC，则k AC•k BC=﹣1，即有•=﹣1，即为x 1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾，故不出现AC⊥BC的情况；（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价，可得D=m，F=﹣2，圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0，由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1，则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0，另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），则由相交弦定理可得|OA|•|OB|=|OC|•|OH|，即有2=|OH|，再令x=0，可得y2+y﹣2=0，解得y=1或﹣2．即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．。

2016～2017学年度第一学期期中考试高二数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 210x y +-= 2． 22(2)(1)5x y -++= 3．4π4． ()22113x y ++=5．[)∞+，1- 6.0=a 或7=a 7．30x y +-=或01=--y x 8． 6 9． -1 10. 32-<m 或21>m 11.①② 12．24713． 98 14．[]152+，二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 证明：（1）如图，连结A 1C ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形． 又因为N 为线段AC 1的中点， 所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． ……………… 2分 因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC ． ……………… 4分 又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分 （2）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD ． …………………… 8分 因为AD ⊥DC 1，DC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1，所以AD ⊥平面BB 1C 1C ． …………………… 10分 又BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC ． …………………… 12分 又由（1）知，MN ∥BC ，所以MN ⊥AD ． …………………… 14分16.（本小题满分14分）解：（1）由03422<+-a ax x 得()()03<--a x a x ，又0>a ，所以a x a 3<<，当1=a 时，31<<x ，即p 为真时，实数x 的取值范围是31<<x ………………2分ABCDMNA 1B 1C 1（第15题）1332x x x -≤≤⎧⎨≤->⎩或由⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-02321x x x 得解得32≤<x ，即q 为真时，实数x 的取值范围是32≤<x ，……………4分若q p ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是()3,2……………6分（2）由（Ⅰ）知p ：3a x a <<，则p ⌝：x a ≤或3x a ≥，………………8分q ：23x <≤，则q ⌝：2x ≤或3x >，………………10分 p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则p q ⌝⇒⌝，且q p ⌝⇒⌝/，∴02,33,a a <≤⎧⎨>⎩解得12a <≤，故实数a 的取值范围是(1,2]．………………14分17. （本小题满分14分）解：（1）证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC ．因为平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面BCE ． ……………… 3分 因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥AB ．因为CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，所以CE ⊥平面ABE ． ………………………… 6分 因为CE ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE ． ………………………… 8分 （2）连结BD 交AC 于点O ，连结OF ．因为DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ，所以DE //OF ． ………………………… 12分 又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点，所以F 为BE 中点，即BM BF ＝12． ………………………… 14分18. （本小题满分16分）解：（1）圆22:(1)(2)5,(1,2),5(5)C x y a C r a a ++-=--=-< …… 2分据题意：253CM a a =<-⇒< …… 4分因为,1,11CM AB CM AB CM AB k k k k ⊥⇒=-=-⇒=ABCDEF(第17题图）O所以直线l 的方程为10x y -+= …… 6分（2）由CN=2MN ，得983231-x 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛y , …… 10分依题意，圆C 与圆22128()()339x y -+-=有公共点， 故2253a --≤4232253a+-≤ ， …… 13分解得3739a -≤≤. …… 15分 又因为由（1）知3a <，所以33a -<≤ …… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）直线l 过定点()23,0- ，当m 取一切实数时，直线l 与圆O 都有公共点等价于点（﹣2，0）在圆O 内或在圆O 上， 所以． ……………2分解得．所以r 的取值范围是[，+∞）； ……………4分 （2）设坐标为（﹣2，0）的点为点A ，则|OA|=2．则当直线l 与OA 垂直时，由垂径定理得直线l 被圆O 截得的弦长为()13232-522= ； ……………6分当直线过圆心时，弦长最大，即x 轴被圆O 截得的弦长为2r=8； 所以直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是[132，8]． ……………8分 （3）对于圆O 的方程x 2+y 2=1，令x=±1，即P （﹣1，0），Q （1，0）． 设M （s，t ），则直线PM方程为．解方程组，得，同理可得：． …………… 10分所以圆C 的圆心C 的坐标为，半径长为，又点M （s ，t ）在圆上，又s 2+t 2=1．故圆心C 为，半径长．所以圆C 的方程为， …………… 12分即=0即，又s 2+t 2=1故圆C 的方程为， …………… 14分令y=0，则（x ﹣3）2=8，所以圆C 经过定点，y=0，则x=，所以圆C 经过定点且定点坐标为 …………… 16分20. （本小题满分16分）解：(1)圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意； ……………2分 当斜率存在时，设直线:43,430,l y kx kx y =+-+=即 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，所以2|443|34,,31k k k+==-+解得所以直线3:43,3120.3l y x x y =-++-=即 故所求直线0,3120.l x x y =+-=为或 ……………5分（2）以OM 为直径的圆的方程为222(1)()124t t x y -+-=+其圆心为(1,)2t,半径214t r =+ ……………7分 因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2 所以圆心到直线3450x y --=的距离21d r =- 2t=……………9分 所以32552t t--=，解得4t = 所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-= ……………10分 （3）方法一：由平几知：2ON OK OM =⋅ 直线OM ：2t y x =，直线AN ：2(1)y x t=-- ……………12分由22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+22222411(1)224444K M t t t ON x x t ∴=+⋅+=+⋅⋅=+所以线段ON 的长为定值2. ……………16分 方法二:设00(,)N x y ，则000000(1,),(2,)(2,),(,)FN x y OM t MN x y t ON x y =-==--=0000,2(1)0,22FN OM x ty x ty ⊥∴-+=∴+=又2200000000,(2)()0,22MN ON x x y y t x y x ty ⊥∴-+-=∴+=+=所以，22002ON x y =+=为定值.。

高二数学参考答案一、填空题：1．,x≤ 2．π∀∈使得20x R3．（-3，4，-8）4．220+-=x y5．若0b≠,则220a≠或0a b+≠ 6. 1或－37．(x－2)2+(1)2= 8．12π9．3 10. 4=011. ③④12．12m≤<13． 14．-43二、解答题15．（本小题满分14分）证明：(1)取BE的中点为,P连,PF,PG则BC||,FPGP||ABABC面FGP∴面||FG面∴||ABC…………………6分（2）取BC中点M，连接DF交CE于点O，AB AC=，∴⊥，又面ABC⊥面BCDE，∴⊥面BCDE ，∴⊥. ………………….10分∠∠22 ∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即⊥，CE ∴⊥面，CE AD ∴⊥． ………………….14分16. 解：（1）750x y ++= ………………….7分（2）23100x y -+=. ………………….14分17. （本小题满分14分）证明：(1)11B BC ∆中,因为N ,Q 分别为1B B ,11B C 的中点, 1//QN BC ∴,又1QN ABC ⊄平面,11BC ABC ⊂平面，所以1//QN ABC 平面 …………………………3分矩形11A B BA 中,因为M ,N 分别为1AA ,1BB 的中点,//MN AB ∴，又1MN ABC ⊄平面,1AB ABC ⊂平面1//MN ABC ∴平面 …………………………6分平面1//MNQ ABC 平面 …………………………7分(2)因为1AA ABC ⊥平面,,AB CP ABC ⊂平面,故1AA AB ⊥,1AA CP ⊥由(1)//MN AB 得1AA MN ⊥,又11//AA CC ,所以1CC MN ⊥. …………………………9分又因为P 为AB 的中点,AC BC =,所以CP AB ⊥因为CP AB ⊥,1CP AA ⊥所以11CP AA B B ⊥平面,又因为11MN AA B B ⊂平面,所以,CP MN ⊥, …………………………11分又因为1MN CC ⊥,所以1MN PCC ⊥平面, (13)分又MN MNQ ⊂平面,所以1MNQ PCC ⊥平面平面. …………………………14分18. （本小题满分16分）证明：假设11,b a a b ++ 都不小于2， …………………………2分则112,2b a a b ++≥≥…………………………6分因为0,0a b >>，所以12,12b a a b +≥+≥， …………………………8分112()a b a b +++≥+ ……………………10分即2a b ≥+， …………………12分这与已知2a b +>相矛盾，故假设不成立 …………………… 14分综上11,b a a b ++中至少有一个小于2. ………… 16分19. （本小题满分16分）解：(1)设⊙C 的方程为22()25x m y -+=(0)m >解由题意设0m =>⎩ …………………………2分故1m =.故⊙C的方程为22(1)25x y -+=. …………………………4分(2)由题设5< …………………………6分故21250a a ->, …………………………8分所以0a <或512a >. 故实数a 的取值范围为5(,0)(,)12-∞⋃+∞ …………………………10分 (3)存在实数a ,使得,A B 关于l 对称.∴PC AB ⊥ , …………………………12分又0a <或512a >即⎪⎩⎪⎨⎧><-=-⋅12501)34(a a a 或 …………………………14分∴34a =，∴存在实数34a =,满足题设 …………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）设()()12,0,,0A x B x ，则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-. …………………………2分又C 的坐标为（0，1），故的斜率与的斜率之积为2111x x -•- 由⊥得1210x x +=； 矛盾 …………………………4分所以不能出现⊥的情况. …………………………6分（2）的中点坐标为（2122x ，）， 可得的中垂线方程为22x 122y x x -=-（）. …………………………8分由已知可得12x x m +=-，所以的中垂线方程为2m x =-.…………………………10分word. 联立222{ 122m x x y x x =--=-，，又22220x mx +-= ，可得2{ 12m x y =-=-，，…………………………6分所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（122m --，），半径r =………14分故圆在y轴上截得的弦长为3=， 即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. …………………………16分最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。

2017-2018学年江苏省徐州五中高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是．2．（5分）经过点P（1，2）且与直线3x+4y+9+0垂直的直线方程是．3．（5分）已知正四棱柱的底面边长为2cm，高为1cm，则正四棱柱的侧面积是cm2．4．（5分）圆心是（﹣1，0）且过原点的圆的方程是．5．（5分）已知m为实数，直线l1：mx+y+3=0，l2：（3m﹣2）x+my+2=0，则“m=1”是“l1∥l2”的条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．6．（5分）设直线y=x与圆C：x2+y2﹣2ay=0相交于A，B两点，若，则圆C的半径为．7．（5分）已知圆柱M的底面半径为3，高为2，圆锥N的底面直径和高相等，若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为．8．（5分）已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β，③若α∥β，m∥α，n∥β，则m||n，④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，其中是真命题的是．（填写所有真命题的序号）9．（5分）圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣5=0与圆C2：x2+y2﹣8x+4y+7=0的公切线有条．10．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥O﹣ABD 的体积为V1，四棱锥O﹣ADD1A1的体积为V2，则的值为．11．（5分）已知命题p：|x﹣2|≤1，命题q：（x﹣a）（x﹣a+4）≤0，若p是q 成立的充分非必要条件，则实数a的取值范围是．12．（5分）关于x的方程有两个不同的实数根，则k的范围为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x=0．若直线y=k （x+2）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围为．14．（5分）已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．二、解答题：（本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）设命题p：a∈R，a2﹣2a﹣3＞0；命题q：不等式x2+ax+1＞0∀x∈R 恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．16．（14分）如图，在三棱椎P﹣ABC中，D，E，F分别是棱PC、AC、AB的中点，且PA⊥面ABC．（1）求证：PA∥面DEF；（2）求证：面BDE⊥面ABC．17．（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．18．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．19．（16分）已知圆O：x2+y2=1和A（4，2）（1）过点A向圆O引切线l，求切线l的方程．（2）设P为圆A：（x﹣4）2+（y﹣2）2=9上的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B．试探究：平面内是否存在一定点C，使得为定值，若存在，求出此定值，若不存在，说明理由．20．（16分）已知圆M的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0，以坐标原点为圆心的圆N，圆N内切于圆M．（1）求圆N的方程；（2）圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求•的取值范围；（3）过点M作两条直线分别与圆N相交于A、B两点，且直线MA和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN和AB是否平行？请说明理由．2017-2018学年江苏省徐州五中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是∃x0∈R，≤0．【解答】解：∵命题∀x∈R，2x＞0是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：∃x0∈R，≤0故答案为：∃x0∈R，≤02．（5分）经过点P（1，2）且与直线3x+4y+9+0垂直的直线方程是4x﹣3y+2=0．【解答】解：设经过点P（1，2）且与直线3x+4y+9+0垂直的直线方程为：4x﹣3y+m=0，解得：m=2．直线方程为：4x﹣3y+2=0．故答案为：4x﹣3y+2=0．3．（5分）已知正四棱柱的底面边长为2cm，高为1cm，则正四棱柱的侧面积是8cm2．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为2cm，高为1cm，∴正四棱柱的侧面积S=4×1×2=8（cm2）．故答案为：8．4．（5分）圆心是（﹣1，0）且过原点的圆的方程是（x+1）2+y2=1．【解答】解：圆心为（﹣1，0）且过原点的圆的半径为：r=1．∴所求圆的标准方程为：（x+1）2+y2=1．故答案为：（x+1）2+y2=1．5．（5分）已知m为实数，直线l1：mx+y+3=0，l2：（3m﹣2）x+my+2=0，则“m=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．【解答】解：当m=1时，方程可化为l1：x+y+3=0，l2：x+y+2=0，显然有“l1∥l2”成立；而若满足“l1∥l2”成立，则必有，解得m=1，或m=2，不能推出m=1，故“m=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要6．（5分）设直线y=x与圆C：x2+y2﹣2ay=0相交于A，B两点，若，则圆C的半径为．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay=0转化为：x2+（y﹣a）2=a2，直线y=x与圆C：x2+y2﹣2ay=0相交于A，B两点，则：C（0，a）到直线x﹣y=0的距离为d=，圆的半径为：r=|a|，则：|AB|=2=2，解得：a2=6，所以：r=|a|=．故答案为：7．（5分）已知圆柱M的底面半径为3，高为2，圆锥N的底面直径和高相等，若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为6．【解答】解：设圆锥N高为h，则圆锥的底面半径为r=，∵圆柱M的底面半径为3，高为2，圆柱M和圆锥N的体积相同，∴，解得h=6．∴圆锥N的高为6．故答案为：6．8．（5分）已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β，③若α∥β，m∥α，n∥β，则m||n，④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，其中是真命题的是①④．（填写所有真命题的序号）【解答】解：由平面α，β，直线m，n，知：在①中，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥n，故①正确；在②中，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若α∥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误；在④中，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确，故答案为：①④．9．（5分）圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣5=0与圆C2：x2+y2﹣8x+4y+7=0的公切线有3条．【解答】解：圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣5=0化为标准方程是（x+2）2+（y﹣2）2=13，其中圆心为C1（﹣2，2），半径为r1=；圆C2：x2+y2﹣8x+4y+7=0化为标准方程是（x﹣4）2+（y+2）2=13，其中圆心为C2（4，﹣2），半径为r2=；∴两圆的圆心距为|C1C2|==2=r1+r2，∴圆C1与圆C2外切，公切线有3条．故答案为：3．10．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥O﹣ABD 的体积为V1，四棱锥O﹣ADD1A1的体积为V2，则的值为．【解答】解：设AB=a，AD=b，A1A=c．则V1===．V2=•==．∴=．故答案为．11．（5分）已知命题p：|x﹣2|≤1，命题q：（x﹣a）（x﹣a+4）≤0，若p是q 成立的充分非必要条件，则实数a的取值范围是[3，5] ．【解答】解：p：|x﹣2|≤1，即1≤x≤3，命题q：（x﹣a）（x﹣a+4）≤0∵p是q成立的充分非必要条件，∴p⇒q，（x﹣a）（x﹣a+4）0的解为x=a，或x=a﹣4，∴，即3≤a≤5，故答案为：[3，5]12．（5分）关于x的方程有两个不同的实数根，则k的范围为．【解答】解：由题意可得，曲线y=的图象和直线y=kx+2有2个不同的交点．而曲线y=即（x﹣1）2+y2=1，表示以点A（1，0）为圆心、半径为1的半圆，直线y=kx+2经过定点B（0，2），如图所示：设圆A与x轴交点为O（0，0），C（2，0），直线BO的斜率k BC=﹣1，设切线BD的斜率为k′，则切线方程为y﹣2=k′x，即k′x﹣y+2=0，再根据圆心A（1，0）到直线BD的距离等于1可得=1，解得k′=﹣，故实数k的取值范围为[﹣1，﹣）．故答案为：[﹣1，﹣）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x=0．若直线y=k （x+2）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围为[﹣1，1] ．【解答】解：设过P所作的圆的两条切线为PA、PB，切点是A、B，连结CA、CB，则由两切线相互垂直得四边形PACB是边长为2的正方形，∴CP=2，又直线y=k（x+2）上存在一点满足条件，∴圆心C（2，0）到直线y=k（x+2）的距离d≤2，即，解得﹣1≤k≤1．∴k的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．14．（5分）已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为[] ．【解答】解：如图圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a﹣4）∴|PO|min=|MO|﹣1，|PO|max=|MO|+1，∵，∴由，解得：2．故答案为：[]二、解答题：（本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）设命题p：a∈R，a2﹣2a﹣3＞0；命题q：不等式x2+ax+1＞0∀x∈R 恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．【解答】解：由题知p，q一真一假．…（1分）由p真得（a﹣3）（a+1）＞0，a＞3 或a＜﹣1，…（3分）由q真得a2﹣4＜0，﹣2＜a＜2，…（5分）所以得p真q假时即a≤﹣2或或a＞3…（9分）P假q真时即﹣1≤a＜2…（13分）综上知a范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，2）∪（3，+∞）．…（14分）16．（14分）如图，在三棱椎P﹣ABC中，D，E，F分别是棱PC、AC、AB的中点，且PA⊥面ABC．（1）求证：PA∥面DEF；（2）求证：面BDE⊥面ABC．【解答】证明：（1）因为D，E分别为PC，AC的中点，所以DE∥PA．又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF．（2）因为D，E，F分别人棱PC，AC，AB的中点，PA=6，BC=8，所以DE∥PA，DE=PA=3，EF=BC=4．又因为DF=5，故DF2=DE2+EF2，所以∠DEF=90．，即DE⊥EF．又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC．因为AC∩EF=E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC．又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．17．（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．【解答】解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1），3x+y+2=0．（2）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2=（2﹣0）2+（0+2）2=8，∴．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．18．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．【解答】（1）证明：因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB．又因为CP⊥PB，且PB∩AB=B，AB，PB⊂平面PAB，所以CP⊥平面PAB，又因为PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA．（2）证明：在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC=BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC．又l⊥平面ABC，所以l∥PD．又l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，所以l∥平面PBC．19．（16分）已知圆O：x2+y2=1和A（4，2）（1）过点A向圆O引切线l，求切线l的方程．（2）设P为圆A：（x﹣4）2+（y﹣2）2=9上的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B．试探究：平面内是否存在一定点C，使得为定值，若存在，求出此定值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设切线l方程为y﹣2=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+2=0，由圆心（0，0）到切线的距离等于半径r=1，得：，解得…（4分）∴切线l方程为．…（6分）（2）假设存在这样的点C（a，b），点P的坐标为（x，y），相应的定值为λ，根据题意可得，∴…（8分）即x2+y2﹣1=λ2（x2+y2﹣2ax﹣2by+a2+b2）（*），又点P在圆上∴（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，即x2+y2=8x+4y﹣11，代入（*）式得：8x+4y﹣12=λ2[（8﹣2a）x+（4﹣2b）y+（a2+b2﹣11）]…（11分）若系数对应相等，则等式恒成立，∴，解得，…（14分）∴可以找到这样的定点R，使得为定值．如点R的坐标为（2，1）时，比值为；点C的坐标为时，比值为…（16分）20．（16分）已知圆M的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0，以坐标原点为圆心的圆N，圆N内切于圆M．（1）求圆N的方程；（2）圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求•的取值范围；（3）过点M作两条直线分别与圆N相交于A、B两点，且直线MA和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN和AB是否平行？请说明理由．【解答】解：圆M的方程可整理为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8，故圆心M（1，1），半径R=2．（1）圆N的圆心为（0，0），因为|MN|=＜2，所以点N在圆M内，故圆N只能内切于圆M．设其半径为r．因为圆N内切于圆M，所以有：|MN|=|R﹣r|，即=|2﹣r|，解得r=．或r=3（舍去）；所以圆N的方程为x2+y2=2．（2）由题意可知：E（﹣，0），F（，0）．设D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，得|DO|2=|DE|×|DF|，即：×=x2+y2，整理得：x2﹣y2=1．而（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=（﹣﹣x）（﹣x）+（﹣y）（﹣y）=x2+y2﹣2=2y2﹣1，由于点D在圆N内，故有，由此得y2＜，所以•∈[﹣1，0）．（3）因为直线MA和直线MB的倾斜角互补，故直线MA和直线MB的斜率存在，且互为相反数，设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为﹣k．故直线MA的方程为y﹣1=k（x﹣1），直线MB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣1），由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0．因为点M在圆N上，故其横坐标x=1一定是该方程的解，可得x A=，同理可得：x B=，所以k AB====1=k MN．所以，直线AB和MN一定平行．。