第一课图论课件着色的计数与色多项式
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图论课件第七章图的着色
顶点着色：给每个顶点分配一个 颜色，使得相邻顶点不同色
全着色：给每个顶点和每条边都 分配一个颜色，使得相邻顶点、 边都不同色
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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边着色：给每条边分配一个颜色， 使得相邻边不同色
部分着色：只给部分顶点和边分 配颜色，部分顶点和边不参与着 色
图的着色应用
图的着色概述
图的着色应用
旅行商问题
定义：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，指的是给定一组城市和每 对城市之间的距离，要求找到访问每个城市一次并返回到原点的最短路径。
应用场景：旅行商问题在许多领域都有应用，如物流、运输、电路设计等。
图的着色在旅行商问题中的应用：通过给城市着色，可以将问题转化为图 的着色问题，从而利用图的着色算法来求解旅行商问题。
图的着色的应用案
06
例
地图着色问题
定义：地图着色问题是一个经典的组合优化问题，旨在为地图上的 国家或地区着色，使得相邻的国家或地区没有相同的颜色。
背景：地图着色问题在计算机科学、数学和地理学等领域都有广泛 的应用。
应用案例：地图着色问题可以应用于许多实际场景，如地图制作、 交通规划、网络设计等。
图的着色在排课问题中的应用：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的着色算 法进行求解，从而得到最优的排课方案
图的着色算法在排课问题中的优势：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的 着色算法进行求解，从而得到最优的排课方案，避免了传统排课方法的繁琐和主观性
图的着色在排课问题中的实际应用案例：以某高校为例，通过运用图的着色算法进行排课， 成功解决了该校的排课问题，提高了排课效率和教学质量
贪心策略：在图的着色问题中，贪心策略是选择与当前未着色顶点相邻的未使用颜色进行着色。
全着色：给每个顶点和每条边都 分配一个颜色，使得相邻顶点、 边都不同色
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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边着色：给每条边分配一个颜色， 使得相邻边不同色
部分着色：只给部分顶点和边分 配颜色，部分顶点和边不参与着 色
图的着色应用
图的着色概述
图的着色应用
旅行商问题
定义：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，指的是给定一组城市和每 对城市之间的距离，要求找到访问每个城市一次并返回到原点的最短路径。
应用场景：旅行商问题在许多领域都有应用，如物流、运输、电路设计等。
图的着色在旅行商问题中的应用：通过给城市着色，可以将问题转化为图 的着色问题，从而利用图的着色算法来求解旅行商问题。
图的着色的应用案
06
例
地图着色问题
定义：地图着色问题是一个经典的组合优化问题，旨在为地图上的 国家或地区着色，使得相邻的国家或地区没有相同的颜色。
背景：地图着色问题在计算机科学、数学和地理学等领域都有广泛 的应用。
应用案例：地图着色问题可以应用于许多实际场景，如地图制作、 交通规划、网络设计等。
图的着色在排课问题中的应用：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的着色算 法进行求解，从而得到最优的排课方案
图的着色算法在排课问题中的优势：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的 着色算法进行求解，从而得到最优的排课方案，避免了传统排课方法的繁琐和主观性
图的着色在排课问题中的实际应用案例：以某高校为例，通过运用图的着色算法进行排课， 成功解决了该校的排课问题，提高了排课效率和教学质量
贪心策略：在图的着色问题中，贪心策略是选择与当前未着色顶点相邻的未使用颜色进行着色。
图论(王树禾编著)PPT模板
2
0
2
0
感谢聆听
长算法
03
3.3极大平 面图
06
习题
04
第四章匹配理论及其应用
第四章匹配理论及 其应用
4.1匹配与许配 4.2匹配定理 4.3匹配的应用 4.4图的因子分解 习题
05
第五章着色理论
第五章着色理 论
5.1图的边 着色
5.6Rams
01
5.2图的顶
e y 数 06
着色
02
05
5.5独立
集
04
5.4颜色多 项式
10.1图的线性空间 10.2图矩阵 习题
11
第十一章图论中的NPC问题
第十一章图论中的 NPC问题
11.1问题、实例和算法的时间复杂 度 11.2Turing机和NPC 11.3满足问题和Cook定理 11.4图论中的一些NPC问题 习题
12习题解答与ຫໍສະໝຸດ 示习题解答与提示13
参考文献
参考文献
04
2.4求最优 树的算法
02
2.2生成树 的个数
05
2.5有序二 元树
03
2.3求生成 树的算法
06
2.6n顶有序 编码二元树
的数目
第二章树
*2.7最佳追捕问题 习题
03
第三章平面图
第三章平面图
01
3.1平面图 及其平面嵌
入
04
3.4平面图 的充要条件
02
3.2平面图 Euler公式
05
*3.5平面嵌 入的灌木生
08
第八章最大流的算法
第八章最大流的算 法
8.12F算法 *8.2Dinic分层算法 8.3有上下界网络最大流的算法 8.4有供需要求的网络流算法 习题
chap12 图的着色
v∈V(G) v∈V(G)
若没有优于的k边着色，则称是最优k边着色。 注意这里没有要求是图G的正常k边着色 显然C(v) ≤ dG(v)。对任意v∈V(G)，都有C(v) = dG(v)成立，当且仅当是正常k边着色。
2016/12/5 离散数学 21
定义12.2.3的例：
如下图G的两个2边着色：
2016/12/5 离散数学Fra bibliotek4独立集都是同色顶点
定理12.1.1 对任何p阶图G , 有 p /(G) (G) p – (G)+1， 其中，(G)是G的最大独立集元素个数。 证明：设S是G的一个最大独立集，|S|=(G)=， V(G)–S={v1,v2,…,vp-}。定义点着色为：u∈S， (u)=1；vi∈V(G)–S， (vi)=i+1。则是G的一个 正常(p–+1)着色，于是，(G) p–(G)+1。 设(G) =k，则存在划分V(G)=V1∪∪ Vk使 得Vi中的点均着第 i 种色，于是Vi是G的独立集， 从而|Vi| (G), i=1, , k。故p=| V1 |+ +| Vk | k (G) = (G) (G)，即 p /(G) (G)。
2016/12/5 离散数学 8
临界点的度不小于色数减一
性质2：若顶点v是图G的临界点，则有 d(v)＜(G)–1 d(v)≥(G)–1。 v 证明；由性质1，G–v有正常((G)–1)着 色。 … 若d(v)＜(G)–1，则在的(G)–1种 颜色中至少有一种颜色i，使得任何与v … 邻接的顶点u，(u) ≠i 。于是，可以在G 中将v着颜色i，其余顶点的着色与相同， (G)–1 这样就得到了G的一个正常((G)–1)着色， 此与 (G)的定义相矛盾。故d(v)≥(G)–1。 性质2之逆不真。
若没有优于的k边着色，则称是最优k边着色。 注意这里没有要求是图G的正常k边着色 显然C(v) ≤ dG(v)。对任意v∈V(G)，都有C(v) = dG(v)成立，当且仅当是正常k边着色。
2016/12/5 离散数学 21
定义12.2.3的例：
如下图G的两个2边着色：
2016/12/5 离散数学Fra bibliotek4独立集都是同色顶点
定理12.1.1 对任何p阶图G , 有 p /(G) (G) p – (G)+1， 其中，(G)是G的最大独立集元素个数。 证明：设S是G的一个最大独立集，|S|=(G)=， V(G)–S={v1,v2,…,vp-}。定义点着色为：u∈S， (u)=1；vi∈V(G)–S， (vi)=i+1。则是G的一个 正常(p–+1)着色，于是，(G) p–(G)+1。 设(G) =k，则存在划分V(G)=V1∪∪ Vk使 得Vi中的点均着第 i 种色，于是Vi是G的独立集， 从而|Vi| (G), i=1, , k。故p=| V1 |+ +| Vk | k (G) = (G) (G)，即 p /(G) (G)。
2016/12/5 离散数学 8
临界点的度不小于色数减一
性质2：若顶点v是图G的临界点，则有 d(v)＜(G)–1 d(v)≥(G)–1。 v 证明；由性质1，G–v有正常((G)–1)着 色。 … 若d(v)＜(G)–1，则在的(G)–1种 颜色中至少有一种颜色i，使得任何与v … 邻接的顶点u，(u) ≠i 。于是，可以在G 中将v着颜色i，其余顶点的着色与相同， (G)–1 这样就得到了G的一个正常((G)–1)着色， 此与 (G)的定义相矛盾。故d(v)≥(G)–1。 性质2之逆不真。
图论 图的着色
X(G(V1,V2))=
X(G)=2 G为二部图
Th5.1：如果图G的顶点次数≤ρ，则G是ρ+1可着色的。
Th5.2：如果G是一个简单连通的非完全图，如果它的最大顶点次 数为ρ(ρ≥3)，则称G为ρ可着色的。
下面的讨论的图为平面图：
Th5.3：每个平面图都是6可着色的。 Th5.4：每个平面图都是5可着色的。 Th5.5：每个平面图都是4可着色的。
ρ ≤ X’(G)≤ ρ+1
对任意图判断X’(G)= ρ 或X’(G)= ρ+1没有解决，但对于一些特殊图， 答案是清楚的。
对于n个点圈图： 2 or 3
.13：对于n(n>1)的完全图，
X’(kn)=n (n为奇数）X’(kn)=n-1(n为偶数) Th5.15：如G为具有最大顶点次数ρ的二部图，则X’(G)= ρ。
Corollary 5.9：地图4色定理 平面图的4色定理。 Th5.10：设G为一张每个顶点都是3次的地图，则 G为3可面着色G的每个面皆被偶数条边所围 Th5.11：如果每个3正规的地图是4可面着色的，则4色定理成立。
5.3 边的着色
G是k可边着色的：如果图G的所有的边皆可用k种颜色着色，使得 任何两条相邻的边均具有不同的颜色，则称G是k边着色的。 k为G的边色数：如果G为k可边着色的，但不是k-1可边着色的，则 称k为G的边色数，记为：X’(G)。 Th5.12：如果G为简单图且它的最大顶点次数为ρ
第五章 图的着色
5.1 色数 5.2 地图的着色 5.3 边的着色
5.1 色数
G为k可着色的：设G是一个无自环图，如果对它的每个顶点可以用 k种颜色之一着色，使得没有两个相邻的顶点有相同的颜色，则称G 是k可着色的。
《图论》图的着色(课堂PPT)
PK3(3) = 6
19
6.2 色数多项式
a
a
a
b
cb
cb
c
a
a
a
b
cb
cb
c
PK3(3)=6
20
6.2 色数多项式
➢ 若干特殊图的 PG(k) 1) 零图： G=(V, E) ，n=|V|，|E|=0，PG(k)=kn 2) 树：根节点在 k 种颜色中任取，非根节点选取 与其父亲节点不同的颜色。 PG(k)=k(k-1)n-1 3) 完全图： PG(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 4) 非连通图：设图G由不连通的G1和G2构成，则 由乘法原理：PG(k)=PG1(k)PG2(k)
6
6.1 色数
[临界图] G=(V, E)，若对G的任一真子图H均有
(H)<(G)，则称G为一个临界图。
➢ k 色临界图称为 k-临界图。
[性质]
① 任何 k 色图通过对边的反复删减测试最后可以得
到其 k-临界子图。
② 临界图是连通图。
证：设G1、G2为临界图G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}。不妨设 (G)=(G1)，而
① 在图G中任取一边 e； ② 在图G中去掉 e，得新图G1；
在图G中收缩 e 的两端点，得新图G2，由上述有 PG(k) = PG1(k) - PG2(k)
③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为零图。 ④ 利用 n 阶零图的 P(k)=kn 构造图G的色数多项式。
① 若 n=2，则G为 K2，PG(k)=k(k1)=k2k。
② 若 n>2，则G除一个 K2 外其它为孤立点：
PG(k)=k(k1)kn-2=knkn-1。
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6.2 色数多项式
a
a
a
b
cb
cb
c
a
a
a
b
cb
cb
c
PK3(3)=6
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6.2 色数多项式
➢ 若干特殊图的 PG(k) 1) 零图： G=(V, E) ，n=|V|，|E|=0，PG(k)=kn 2) 树：根节点在 k 种颜色中任取，非根节点选取 与其父亲节点不同的颜色。 PG(k)=k(k-1)n-1 3) 完全图： PG(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 4) 非连通图：设图G由不连通的G1和G2构成，则 由乘法原理：PG(k)=PG1(k)PG2(k)
6
6.1 色数
[临界图] G=(V, E)，若对G的任一真子图H均有
(H)<(G)，则称G为一个临界图。
➢ k 色临界图称为 k-临界图。
[性质]
① 任何 k 色图通过对边的反复删减测试最后可以得
到其 k-临界子图。
② 临界图是连通图。
证：设G1、G2为临界图G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}。不妨设 (G)=(G1)，而
① 在图G中任取一边 e； ② 在图G中去掉 e，得新图G1；
在图G中收缩 e 的两端点，得新图G2，由上述有 PG(k) = PG1(k) - PG2(k)
③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为零图。 ④ 利用 n 阶零图的 P(k)=kn 构造图G的色数多项式。
① 若 n=2，则G为 K2，PG(k)=k(k1)=k2k。
② 若 n>2，则G除一个 K2 外其它为孤立点：
PG(k)=k(k1)kn-2=knkn-1。
图论讲义第6章-图的着色问题
| c1 (ν ) | = 1 ，其中 ci (υ ) 表示 υ 阶第 i 类图的集合。这 v →∞ | c (ν ) ∪ c (ν ) | 1 2
vk
… v3 v2
i4 i3 i2
u
… H2
ik i0
…
im ik
i1
vm
v1
v
但是，因 vk 在 H 1 中的度为 2（恰与一条 i0 色边和一条 ik 色边相关联） ，故它在 H 2 中的 。这与 H 2 是奇圈矛盾。 （注意 vk 必在分支 H 2 中，因它与 度为 1（仅与一条 i0 色边相关联） 。由此可知反证法假设不能成立。证毕。 vk－1 有 i0、ik 交错路（ H 1 的一段）相连） 对于有重边的图 G，设 μ (G ) 表示 G 中边的最大重数，Vizing 实际上证明了一个更一般 的结论： Δ (G ) ≤
（其中 v0 点的关联边有可能是同一种色） 。按这 样可得 G*的一个边 2-染色 c = ( E1 , E 2 ) ， 种办法给 G*的边染色后，去掉 v0 及其关联的边，便得到 G 的一个边 2-染色。对于 G 中偶 度点，它关联的边及其颜色与 G*中相同；对 G 的任何奇度点 v，在 G 中比在 G*中少关联一 条边，但只要 d G ( v ) > 1 , 便有 d G ( v ) ≥ 3 , 故由染色的方法知，与 v 点关联的边中两种颜色 的都有。这说明 G 的边 2-染色 c = ( E1 ∩ E (G ), E 2 ∩ E (G )) 即为所求的边 2-染色。证毕。
… H1 vk-1
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
图论课件第七章图的着色
总结词
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
图论课件--与色数有关的几类图和完美图
证明：只需证明：m=3n-6即可。
一方面：G是可平面图，有：m≦3n-6;
另一方面：设G是唯一4可着色的可平面图，п是一种4 着色方案，色组记为Vi(1≦i≦4).
因为i≠j时，G[Vi∪Vj] 是连通的，所以:
m(G[Vi Vj ]) ni n j 1
4
于是： m(G) (ni n j 1) 3n 6 i1 j i
例如，在下图G中，由黄色、红色色组导出的子图是 连通的。
v1
v2
v5
v3
v4
G
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定理3 (夏特朗）每个唯一n (n≥2)可着色图是(n-1)连通的。
证明：设G是唯一n可着色图(n≥2)。
情形1，如果G是完全图，则G=Kn,显然G是n-1连通的。
所以，m=3n-6,即G是极大可平面图。
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
3、不含三角形的k色图
定义3 若图G的点色数是k，且G中不含有三角形，称G 是一个不含三角形的k色图。
例如：
不含三角形的三色图
不含三角形的4色图
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
以，k(G)≦Δ(G);
情形2， H是完全图Hk
在这种情况下，由于G是连通的非完全图，那么在H 之外，必然有边和H相连，即Δ≥K(H)=k(G);
数学建模之着色
x1
x2
x3
x4
红线：第1节 兰线：第2节 绿线：第3节 黑线：第4节
y1
y2
y3
y4
y5
安排4个节课， 11 11 [ ] 2, { } 3. 4 4
可安排4个教室4个节课的课表。
x1
x2
x3
x4
红线：第1节 兰线：第2节 绿线：第3节 黑线：第4节 5 6
y1
y2
y3
y4
y5
1 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4
着色理论
1.图的边着色 定义：将简单图的边集E划分成m个非空子集，即
E (G) Ei
i 1
m
, Ei E j
, i j, Ei ,
i, j 1,2,, m. 将Ei中的边用第i种颜色上色，则
称对G的边进行了一个m边着色，记成 C=(E1,E2, …,Em).若每个Ei(i=1,2, …,3)皆是G的一个 匹配，则称C是G的m边正常着色。当G可以m边正 常着色而不能m-1边正常着色，称m为G的边色数，
假设n=2k时问题有解。
证明n=2(k+1)时成立.
若与顶点v关联的某边染有颜色i，则称颜色i在顶 点v上表现。 引理1 设G不是奇圈的连通图，则G存在一个二边 着色，使两种颜色在每个度数不小于2的顶点上表 现。 证明 假设G是非平凡图。
G是Euler图时。若G是偶圈，则G的正常2 边着色具有所要求的性质。否则，G必有一 个度数至少为4的点v0. 设v0e1v1e2…env0是G的 Euler环游，并且设
E1={ei∣i是奇数}， E2={ei∣i是偶数}
则G的二边着色(E1，E2)具有所要求的性质，因为G 的每个顶点都是v0e1v1e2…env0的内点。
图论图着色
源自v2v1v0
v4
v5
(b)去掉v0后结点v1与v3处在 同一个连通分支中,v1 与v3有一通路，其中点的颜色红黄交替出现，它与 v0构成一回路C(同一个连通分支)，也就是约当曲线， 这时结点v2处在曲线的内部而结点v5则处在线的外 部，v2与v5的任何连线必与曲线C相交，与平面图的 条件矛盾。因此约当曲线C必然将黑白集中的结点分 成两个连通分支，使v2与v5分别处于两个连通分支中 （也就是v2与v5不连通）， v 于是问题回到(a)，可将v2 v v (或v5)所在的分支中的黑 v 白色对换，于是与v0邻接 v v 的5个结点也只着了4种颜 色， v0就可着第5种颜色。
独立集特点 (1)图G的每一个结点构成一个独立集。 (2)极大独立集不是唯一的，它的基数不一定 是最大的，但它的元素数目已达到极限， 即不可能再加入其他结点而不破坏它的独 立性。 (3)最大独立集必然也是极大独立集而且元素 数目是最多的。 (4)任一完全图Kn的独立数I(Kn)＝1 (5)偶图G只有两个极大独立集，即是它的两 个互补结点子集V1和V2
v1 e1 c1 e3 c3 v3 v0 e2 c2 v2
定理6.4 若G是偶图，则 ψ e (G ) = Δ (最大结点次数) 证：设G的两个互补结点子集为Vl和V2，若|V1|<|V2|，则 在V1中增加一些结点成为V1’使|V1’|=|V2|， 对xi∈V1’及yj∈V2，若G中无边(xi，yj)，则增加一条 边(xi,yj)，通过以上的增添，图G=(V，E)成为图GΔ＝ (V’，E1’)， GΔ 是 Δ次正则偶图，（ 由定理5.4的推论可知）它 有一完美匹配M1，令E2’＝E1’一M1，得到图 G Δ-1＝ (V’，E2’)，则 G Δ-1是(Δ一1)次正则偶图，它也有一 完美匹配M2， 如此继续下去可以得到M1，M2,..., MΔ 个完美匹 配，每一个完美匹配可着一种颜色，使得到G的边 着 色，即 ψ e (G ) = Δ
v4
v5
(b)去掉v0后结点v1与v3处在 同一个连通分支中,v1 与v3有一通路，其中点的颜色红黄交替出现，它与 v0构成一回路C(同一个连通分支)，也就是约当曲线， 这时结点v2处在曲线的内部而结点v5则处在线的外 部，v2与v5的任何连线必与曲线C相交，与平面图的 条件矛盾。因此约当曲线C必然将黑白集中的结点分 成两个连通分支，使v2与v5分别处于两个连通分支中 （也就是v2与v5不连通）， v 于是问题回到(a)，可将v2 v v (或v5)所在的分支中的黑 v 白色对换，于是与v0邻接 v v 的5个结点也只着了4种颜 色， v0就可着第5种颜色。
独立集特点 (1)图G的每一个结点构成一个独立集。 (2)极大独立集不是唯一的，它的基数不一定 是最大的，但它的元素数目已达到极限， 即不可能再加入其他结点而不破坏它的独 立性。 (3)最大独立集必然也是极大独立集而且元素 数目是最多的。 (4)任一完全图Kn的独立数I(Kn)＝1 (5)偶图G只有两个极大独立集，即是它的两 个互补结点子集V1和V2
v1 e1 c1 e3 c3 v3 v0 e2 c2 v2
定理6.4 若G是偶图，则 ψ e (G ) = Δ (最大结点次数) 证：设G的两个互补结点子集为Vl和V2，若|V1|<|V2|，则 在V1中增加一些结点成为V1’使|V1’|=|V2|， 对xi∈V1’及yj∈V2，若G中无边(xi，yj)，则增加一条 边(xi,yj)，通过以上的增添，图G=(V，E)成为图GΔ＝ (V’，E1’)， GΔ 是 Δ次正则偶图，（ 由定理5.4的推论可知）它 有一完美匹配M1，令E2’＝E1’一M1，得到图 G Δ-1＝ (V’，E2’)，则 G Δ-1是(Δ一1)次正则偶图，它也有一 完美匹配M2， 如此继续下去可以得到M1，M2,..., MΔ 个完美匹 配，每一个完美匹配可着一种颜色，使得到G的边 着 色，即 ψ e (G ) = Δ
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0.6 0.4 x 0.2
(2)
G2
Pk (G2) k(k 1)(k 2)(k 3) 2k(k 1)(k 2) k(k 1) k(k 1)(k2 3k 3)
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例2 求N4(G), N5(G)。
G 9
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解：通过观察枚举求Nr(G)
G
1) N4(G):
G
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N4(G)=6
2) N5(G):
G
解：(1) G的补图为：
G
(2) 求出关于补图的伴随多项式系数ri (1≦i≦6)
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1) r = 6
2) r = 5
r6 N6 (G) 1
G
r5 N5 (G) 5
3) r =4
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0.6 0.4 x 0.2
(4) 求出G的色多项式
Pk (G) k(k 1)(k 2) 2k(k 1)(k 2)(k 3) k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)
k (k 1)(k 2)(k 2 5k 7)
注：在例4中，k=3时，P3(G)=6, 由此可以推出G的点 色数为3.
由色多项式递推公式得：
Pk (G) Pk (G e) Pk (G e) k n (a1 1)k n1 (a2 b2 )k n2 ... (1)n1(an1 bn2 )k
0.6 0.4 x 0.2
(3)
G3
—
—
Pk (G3) k(k 1)(k3 5k 2 10k 7)
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0.5 n 0
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1 2 1.5 t1
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注：递推计数法的计算复杂度是指数型的。
2、理想子图计数法
(1) 预备知识 定义1：设H是图G的生成子图。若H的每个分支均为 完全图，则称H是G的一个理想子图。用Nr(G)表示G的具 有r个分支的理想子图的个数。
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0.5 n 0
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本次课主要内容
着色的计数与色多项式 (一)、色多项式概念 (二)、色多项式的两种求法 (三)、色多项式的性质
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(一)、色多项式概念
求出了色多项式，可以由多项式推出点色数。但是， 求色多项式的计算量是很大的。递推方法是指数类计算 量，而理想子图法中主要计算量是找出所有理想子图， 这也不是多项式时间算法。
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下面，我们对定理3作证明。
定理3 若G有t个分支H1,H2,…Ht,且Hi的伴随多项式为 h (Hi, x), i=1,2,…,t, 则：
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Pk (G e) k n a1k n1 a2k n2 ... (1)n1 an1k , ai 0
同样，可设G·e的色多项式为：
Pk (G e) k n1 b1k n2 b2k n3 ... (1)n2 an2k , bi 0
例1 求出下面各图的色多项式。
G1
G2
G3
5
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(1)
G1
Pk (G1) k(k 1)(k 2) k(k 1) k3 2k 2 k
也可由推论： (k 1)Pk (K2 ) k3 2k2 k
G1
注：对递推公式的使用分析：
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(1) 当图G的边数较少时，使用减边递推法：
Pk (G) Pk (G e) Pk (G e)
(2) 当图G的边数较多时，使用加边递推法： Pk (G e) Pk (G) Pk (G e)
所以，我们得到：qr (G) Nr (G).....(1 r V )
(2) 色多项式求法----理想子图法
上面定理2实际上给我们提供了色多项式的求法：用k种颜 色对单图G正常着色，可以这样来计算着色方式数：色组为1 的方式数+色组为2的方式数+…+色则为n的方式数。即有如下 计数公式：
n
Pk (G) Ni (G)[k]i ,其中，[k]i k(k 1)(k 2)...(k i 1) i 1
t
h(G, x) h(Hi , x) i 1
分析：由伴随多项式定义：h(G,
x)
n
Nk
(G )x k
k 1
所以，我们只需要证明 Nk (G) 等于 t h(Hi , x) 的k
次项系数即可。
i 1
ni
设 V (G) n V (Hi ) ni h(Hi , x) aij x j , j 1, 2,..., t j 1
推论：设G是单图，e=uv是G的一条边，且d(u)=1,则：
Pk (G) (k-1)Pk (G u)
证明：因为G是单图，e=uv, d(u)=1,所以G·e = G-u。 另一方面，Pk(G-e)=kPk(G-u) 所以， Pk (G) Pk (G e) Pk (G e)
kPk (G u) Pk (G u) (k-1)Pk (G u)
2
H2
3
G
解: (1) 画出G的补图 (2) 求出补图中个分支的伴随多项式
h(H1, x) x h(H2 , x) x x2 h(H3 , x) x x2
(3) 求出补图的伴随多项式
h(G, x) x(x x2 )2 x3 2x4 x5
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0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
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0.5 n 0
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t
ni n j 1
一方面：
t
h(Hi , x)
i 1
t ni
aij x j
i1 j 1
该多项式中 xk 的系数rk为：
rk
a a 1i1 2i2
atit
i1 i2 it k
另一方面：设Mj是Hj中具有ij个分支的Hj的理想子图。 当i1+i2+…+it=k时，M1∪ M2 ∪… ∪Mt必是G的具有k个 分支的理想子图。
Nk (G)
Ni1 (H1)Ni2 (H2 ) Nit (Ht )
i1 i2 it k
a a 1i1 2i2
atit
i1 i2 it k
所以得：
h(G,
x)
t
h(Hi
,
x)
i 1
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(三)、色多项式的性质
r
因为Vi∩Vj=Φ(i≠j),所以
G[Vi ] 是
i 1
G 的理想子图。
这说明：G的任一r色划分必然对应 G 的一个理想子图。 容易知道，这种对应是唯一的；
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另一方面，对于 G 的任一具有r个分支的理想子图， 显然它唯一对应G中一个r色组。
G
N5(G)=5
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0.5
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定理2 设qr(G)表示将单图G的顶点集合V划分为r个不 同色组的色划分个数，则：
qr (G) Nr (G).....(1 r V )
证明：一方面，设G的任一r色划分为：｛V1,V2,…,Vr｝。 于是，对于1≦i≦r, GVi 是 G 的完全子图。
(2) 若G为空图，则Pk(G)=kn。 (3) Pk(Kn)=k(k-1)…(k-n+1)。
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0.6 0.4 x 0.2
(二)、色多项式的两种求法
1、递推计数法
定理1 设G为简单图，则对任意 e E(G) 有： Pk (G) Pk (G e) Pk (G e)