第一章 章节习题集答案

第一章函数与极限第一节映射与函数一、填空题1.函数ln(2)y x =+的定义域为[1,)(2,1]+∞-- .2.设函数2(1)f x x x +=+，则=)(x f x x -2.3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则(e )xf 的定义域为(,0]-∞.4.已知()sin f x x =,[]2()1f x x ϕ=-,则()x ϕ=2arcsin(1)x -,其定义域为5.设2,0,()e ,0,x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩()ln x x ϕ=，则复合函数[]()f x ϕ=2ln ,1,01x x x x ⎧-≥⎨<<⎩.6.设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]()f f x =1.7.函数(10)y x =-≤<二、单项选择题1.函数lnarcsin 23x xy x =+-的定义域为C .A．(,3)(3,2)-∞-- B.(0,3)C.[3,0)(2,3]- D.(,)-∞+∞2.设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >，则()f x 的定义域为B.A.[1,1]a +B.[1,1]a -- C.[1,1]a a -+ D.[1,1]a a -+3.函数11x y x -=+的反函数是D .A.11x y x -=+ B.11xy x-=+ C.11x y x +=- D.11x y x+=-4.设()f x 为奇函数，()x ϕ为偶函数，且[()]f x ϕ有意义，则[()]f x ϕ为B.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不正确三、解答题1.判断函数(ln y x =+的奇偶性，并求其反函数.解：因为()ln(ln(()f x x x f x -=-==-=-，所以()f x 是奇函数.由e yx =，e yx --=，得e e 2y y x --=，所以反函数为e e 2x xy --=2.设)(x f 满足c b a xcx bf x af ,,()1()(=-+均为常数，且)b a ≠,求)(x f .解：x cx bf x af =-+)1()()1(令t x =-1,则t x -=1,故t c t bf t af -=+-1)()1(.xcx bf x af -=+-∴1)()1(.(2)联立(1),(2)得到1(1)(22xbcx ac b a x f ---=.四、证明2()1xf x x =+在其定义域内有界.证明：,x R ∀∈取12M =,使得21()122x x f x M x x =≤==+，所以()f x 在其定义域R 内有界.第二节数列的极限一、单项选择题1.数列极限lim n n y A →∞=的几何意义是D .A．在点A 的某一邻域内部含有{}n y 中的无穷多个点B.在点A 的某一邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点C.在点A 的任何一个邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点D.在点A 的任何一个邻域外部至多含有{}n y 中的有限多个点nn n 632-∞→A.65-B.31 C.35 D.13.数列有界是数列收敛的C条件.A.充分B.充要C.必要D.两者没有关系二、利用数列极限的定义证明:1cos lim0n nn→∞+=.证明：对0ε∀>，要使1cos 1cos 20n n n n nε++-=≤<，只需2n ε>.0ε∀>,取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，就有1cos 0n n ε+-<成立，所以1cos lim0n nn→∞+=.第三节函数的极限一、单项选择题1.=+→x x x 1lim2A.A.32 B.1C.21 D.2.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则C.A.()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B.()f x 在点0x 的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C.()f x 在点0x 的函数值可以不存在D.若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值∞→32x x A.1B.21 C.0D.不存在4.极限0limx x x→=D .A.1B.1- C.0D.不存在二、利用函数极限的定义证明:236lim 53x x x x →--=-.证明：0ε∀>，要使26533x x x x ε---=-<-，只需取δε=，则当03x δ<-<时，就有26533x x x x ε---=-<-成立,所以236lim 53x x x x →--=-.第四节无穷小与无穷大一、单项选择题1.下列命题正确的是C.A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是C.A.1sin(0)x x→ B.1e (0)xx →C.2ln(1)(0)x x +→ D.21(1)1x x x -→-3.下列命题正确的是D.A.两个无穷小的商仍然是无穷小B.两个无穷大的商仍然是无穷大C.112--x x 是1→x 时的无穷小D.1-x 是1→x 时的无穷小4.(附加题)设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则下列命题正确的是B.A.若{}n x 发散，则{}n y 发散B.若1n x ⎧⎫⎨⎩⎭为无穷小，则{}n y 必为无穷小C.若{}n x 无界，则{}n y 必有界 D.若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小提示：已知n n x y 为无穷小，当1n x 为无穷小时，必有1()n n n ny x y x =⋅为无穷小；否A，例n x n =发散，21n y n=收敛；否C，例1(1),1(1)n n n n x n y n ⎡⎤⎡⎤=+-⋅=--⋅⎣⎦⎣⎦均无界；否D，例21n x n=有界，n y n =非无穷小.第五节极限运算法则一、填空题1.21lim2x x x x →+=++12. 2.121lim1x x x →+=-∞.3.22121lim1x x x x →-+=-0.4.212lim3n n n →∞+++=+ 12.5.若232lim43x x x kx →-+=-，则常数k =3-.提示：由已知，得23lim(2)0x x x k →-+=，3k ∴=-.6.设213lim 112x a x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭，则常数a =2.提示：由已知，222113lim ,lim()012x x a x x a x x x →→--=∴--=-，从而2a =.7.e 1lim e 1n nn →∞-=+1.提示：11e 1e lim lim 11e 11en n n n n n→∞→∞--==++8.=-+++∞→)2324(lim 2x x x x 21.9.11021lim 21xx x-→-=+-1，1121lim 21xx x+→-=+1，所以11021lim21xx x →-+不存在.提示：11lim 20,lim 2x xx x -+→→==+∞10.已知21sin ,0()1,0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=>⎪⎩,则0lim ()x f x →=0.二、计算题1.220()lim h x h x h→+-解：1.2222220000()22limlim lim lim(2)2h h h h x h x x xh h x xh h x h x h h h →→→→+-++-+===+=.2.231lim (2sin )x x x x x→∞-++解：因为2332111lim lim 011x x x x x x x x→∞→∞--==++，而2sin x +为有界函数，所以根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，知231lim (2sin )0x x x x x→∞-+=+.3.322232lim 6x x x x x x →-++--解：32222232(1)(2)(1)2lim lim lim 6(3)(2)35x x x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+++++===----+-.4.21lim1x x →-解：211lim1x x x →→=-1x →=14x →=.5.lim x →+∞解：lim x →+∞=limxlimlimx x ==1=-.6.求)1111(lim 31xx x ---→.解：原式32112lim x x x x --+=→)1)(1()2)(1(lim21x x x x x x ++-+-=→112lim21-=+++-=→x x x x .第六节极限存在准则两个重要极限一、填空题1.0sin lim x x x →=1；sin lim x xx→∞=0.提示：0sin lim1x x x →=；sin 1lim lim sin 0x x x x x x →∞→∞=⋅=.2.0sin limsin x x x x x →-=+0；sin lim sin x x xx x→∞-=+1.提示：00sin 1sin lim lim 0sin sin 1x x x x x x x x x x →→--==++；11sin sin lim lim 11sin 1sin x x xx x x x x xx→∞→∞-⋅-==++⋅.3.1lim 1kxx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭e k-（k 为正整数）.提示：.()11lim 1lim 1e kxx k k x x x x ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4.10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭12e-.提示：11221200lim 1lim 1e22xxx x x x ---→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.二、计算题1.30tan sin limx x xx →-解：3200tan sin sin 1cos lim lim cos x x x x x x x x x x →→--=⋅2220002sin sinsin 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭. 2.011limsin x x→解：000011limlim lim lim sin sin sin 2x x x x x x x x x →→→→-=⋅.3.0x →解：原式2220002sin 1sin cos 1cos 2lim 6lim 6lim 311cos sin 32x x x x x x x x x x x x x →→→---====-⋅.4.lim n →∞⎛⎫+解：<++<，又1,1n n n n ====，所以根据夹逼准则知，lim 1n →∞⎛⎫+++=⎪⎭.第七节无穷小的比较一、填空题1.当0x →时，sin 3x 是2x 的低阶无穷小；2sin x x +是x 的等价（或同阶）无穷小；1cos sin x x -+是2x 的低阶无穷小；cos 1x -是2arcsin x 的同阶无穷小；1(1)1nx +-是x n的等价（或同阶）无穷小；32x x -是22x x -的高阶无穷小.提示：222000sin 32sin 1cos sin lim,lim 2,lim,x x x xx x x xx xx →→→+-+=∞==∞13222000cos 11(1)1lim ,lim 1,lim 0arcsin 22nx x x x x x x x x x x n→→→-+--=-==-.2.已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a =32-.提示：12230021(1)1233lim lim 1,1cos 1322x x axax a a x x →→+-==-==---.二、计算题1．21tan 1limx x x →-解：2000tan 1tan 1122lim lim lim 2x x x x xx x x x →→→--===--.2.2220(sec 1)lim3sin x x x x →-解：22222222240002(sec 1)(1cos )1lim lim lim3sin 3cos 312x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪--⎝⎭===⋅⋅.3.0tan 2tan lim3sin sin 2x x x x x→--解：000sin 2sin sin tan 2tan cos 2cos cos 2cos lim lim lim 13sin sin 23sin sin 2sin (32cos )x x x x x xx xx x x x x x x x x x →→→--⋅===---.4.20sin cos 1limsin 3x x x x x →+--解：200sin cos 11limlim sin 333x x x x x x x x →→+-==-.第八节函数的连续性与间断点一、填空题1.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续，则常数,a b 应满足的关系为a b =.提示：()2(0)lim (0)x f a bxa f --→=+==，0sin (0)lim x bxf b x-+→==.2.设0()1,0ln(1),0x f x x bx x x <=-=⎨⎪+⎪->⎪⎩在0x =处连续，则常数a =22，b =1.提示：0(0)lim lim lim x x x axf x ----→→→===，(0)1f =-，00ln(1)(0)lim lim x x bx bxf b x x--+→→+=-=-=-.3.()sin xf x x=的可去间断点为0x =；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为2x =.4.若函数e ()(1)x af x x x -=-有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，则常数a =e .提示：由已知，1e lim (1)x x a x x →--存在，所以1lim(e )0xx a →-=，从而e a =.二、单项选择题1.0x =是1()sin f x x x=的A .A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点提示：01lim ()lim sin0x x f x x x→→==2.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩D.A.在0,1x x ==处都间断B.在0,1x x ==处都连续C.在0x =处连续，1x =处间断D.在0x =处间断，1x =处连续提示：(0)1,(0)0(0)f f f -+=-==；(1)(1)1,(1)1f f f -+===.3.设函数42,0(),0x f x xk x ≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =B .A.4B.14C.2D.12提示：021lim ()limlim ,(0)4x x x f x f k x →→→===.4.函数111122,0()221,0x x x x x f x x --⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪=⎪⎩在0x =处B .A.左连续B.右连续C.左右均不连续D.连续提示：110lim 20,lim 2xxx x -+→→==+∞，从而(0)1(0),(0)1(0)f f f f -+=-≠==.三、讨论函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩在0x =处的连续性.解：111(0)lim ln(1)0(0),(0)lim ee x x xf x f f -+-+--→→=+====，所以()f x 在0x =处不连续，且0x =是第一类跳跃型间断点.四、若2,0()0e (sin cos ),x x a xf x x x x +≤⎧=⎨>+⎩在-∞(，)∞+内连续，求a .解：由于)(x f 在0=x 处连续,所以)0()0()0(f f f ==-+.(0)lim ()lim e (sin cos )1x x x f f x x x +++→→==+=,a a x x f f x x =+==--→→-)2(lim )(lim )0(0,a f =)0(.故1=a .五、设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩.试讨论()g x 在0x =处的连续性.解：()0011lim ()lim lim 令x x t t x g x f f t a x →→→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭，(0)0g =，所以当0a =时，()g x 在0x =处连续，当0a ≠时，()g x 在0x =处间断.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、填空题1.设,0()1,0a x x f x x x +≤⎧=>⎩在(,)-∞+∞内连续，则常数a =12.2.设22,1()1,1x bx x f x x a x ⎧++≠⎪=-⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞处连续，则常数a =1，b =-3.提示：由题意知，1lim ()(1)x f x f a →==，则212lim1x x bx a x→++=-21lim(2)0x x bx →∴++=，则3b =-，进而1a =.3.211lim cos1x x x →-=-cos 2. 4.()2cot 2lim 1tan xx x→+=e .5.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭4e-.提示：41122412lim lim 1e 11xx x xx x x x x -++--→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6.已知lim 82xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数a =ln 2.提示：332233lim lim 1e 822x a x x axx a x aax a a x a x a →∞→∞--⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3ln 8,ln 2a a ==.7.203sin (1)cos lim (1cos )x x x x x →++=+12.8.0x →=12.提示：原式limx→=0x →=22012limsin 222x x x x x →⋅==⋅.9．函数21()23f x x x =--的连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞．二、单项选择题1.当1→x 时,函数1211e 1x x x ---的极限等于D .A.2B.0C.∞D.不存在但不为∞2.设()f x 在2x =连续，(2)3f =，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭D .A.0B.2C.3D.34提示：22222142113lim ()lim ()lim ()(2)244244x x x x f x f x f x f x x x x →→→-⎛⎫-====⎪---+⎝⎭.三、讨论11()1exxf x -=-的连续性，若有间断点，指出其类型.解：()f x 为初等函数，故在其定义区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞内均连续，在其无定义点0,1x x ==间断.据011lim ()lim1ex x x xf x →→-==∞-，知0x =为第二类无穷间断点；据11111111lim ()lim 0,lim ()lim 11e1exx x x x x xxf x f x --++→→→→--====--，知1x =为第一类跳跃间断点.第十节闭区间上连续函数的性质一、单项选择题1.方程sin 2x x +=有实根的区间为A.A.π,32⎛⎫⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭提示：令()sin 2f x x x =+-，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可.2.方程(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)x x x x x x x x x ---+---+---(2)(3)(4)0x x x +---=有D 个实根.A.0B.1C.2D.3提示：令()(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)f x x x x x x x x x x =---+---+---(2)(3)(4)x x x +---，又(1)0,(2)0,(3)0,(4)0f f f f <><>，则由零点定理知，方程在(1,2),(2,3),(3,4)分别至少存在一个根；又()f x 是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根.二、证明题1.证明方程e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.证明：令()e 2xf x x =--，则()f x 在[0,2]上连续，且2(0)10,(2)e 40f f =-<=->，根据零点定理，至少存在一点(0,2)ξ∈，使()0f ξ=，所以方程()0f x =，即e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.2.设()f x 在[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明：令()()F x f x x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()()0F a f a a =-<，()()0F b f b b =->，根据零点定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()f ξξ=.3.附加题设()f x 在[,)a +∞上连续，lim ()0x f x →+∞=.证明()f x 在[,)a +∞上有界.证明：由lim ()0x f x →+∞=，对10,X a ε=>∃>，当x X >时，有()()01f x f x ε=-<=，即()f x 在(,)X +∞上有界；又()f x 在[,]a X 上连续，故()f x 在[,]a X 上有界，所以存在10,M >使[]1(),,f x M x a X ≤∀∈，取{}1max 1,M M =，则对[],x a ∀∈+∞()f x M <，即()f x 在[,)a +∞上有界.第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.()03limsin tan ln 12x x x x →=-+14-.提示：()20003331lim lim lim 4sin tan tan (cos 1)222ln 12x x x xx x x x x x x x →→→-⋅===---+.2.2131lim2x x x →-=+-26-.提示：21lim26x x x x →→==-+-.3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中b a ,为常数，则a =7，b =5.4.若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a =-2.提示：由题意知，20sin 2e 1lim ax x x x →+-20sin 2e 1lim 22ax x x a a x x →⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，从而2a =-.5.曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的C.A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦D .A.22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B.22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C.22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D.22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3.下列各式中正确的是D.A．01lim 1exx x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e xx x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.11lim 1e xx x --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4.设0→x 时，tan e 1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n =A.A.1B.2C.3D.4提示：由题意知，当0→x 时，tan e 1tan xx x - 从而n 取1.5.曲线221e 1ex x y --+=-D .A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是C.A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B.1sin ,(0,)x x x∈+∞C.11sin ,(0,1]x x x∈ D.1sin ,(0,)x x x∈+∞三、计算题（每小题7分，共49分）1.2x →解：2222(1)(2)(413)(1)(413)9limlim 4(2)42x x x x x x x →→→+-+===-.2.()21ln(1)lim cos x x x +→解：()()2211ln(1)ln(1)0limcos lim 1cos 1x x x x x x ++→→=+-222001cos 112limlim ln(1)2eeex x x x x x →→---+===.3.()1lim123nnnn →∞++解：()1312333,31233n n n nnnn<++<⋅∴<++<⋅Q1n =，()1lim 1233nnnn →∞∴++=.4．21sinlimx x x解：2111sinsin sinlim lim limlim 112x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅⋅.5.设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .解：()()()()()()22ln 1ln 2ln 1limln 12lim n n f f f n f f f n n n →∞→∞+++=⎡⎤⎣⎦L L ()()222ln 12ln ln limlim22n n n n a n aan n →∞→∞++++===L .6.1402e sin lim 1e xx x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002e sin 2e sin 2lim lim 1111e 1e x x x x x x x x x x --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ +=-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，11114444000e 2e 12e sin 2e sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x x xx x x x x x x x x x x x x +++-→→→-⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭301lim 1e xx +-→=+=，所以，原式1=.7.已知(lim 1x x →-∞=，求,.a b解：左边22(1)lim limlim x x x x a x b x →-∞→-∞⎡⎤--+⎢==，右边1=，故[]lim (1)1x a x b →-∞--=+，则1,2a b ==-．四、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题8分）解：当a b =时，()0f x ≡，此时()f x 在0x =处连续；当a b ≠时，000011lim ()lim lim lim ln (0)0x x x x x x x x a b a b af x f x x x b→→→→---==-=≠=，故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．五、附加题设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题7分）证明：设1()()2F x f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，而1(0)(0)2F f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()11110222F f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，211(0)(0)022F F f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若1(0)02F F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即(0)0F =或102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，此时取0ξ=或12ξ=即可；若1(0)02F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，由零点定理知：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使()0Fξ=，即1()2f fξξ⎛⎫=+⎪⎝⎭．。

新课程标准数学必修1第一章课后习题解答第一章 集合与函数概念1．1集合练习（P5）1.(1)中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A.(2)∵A={x |x 2=x }={0，1}，∴-1∉A. (3)∵B={x |x 2+x -6=0}={-3，2}，∴3∉A.(4)∵C={x ∈N|1≤x ≤10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∴8∈C ，9.1∉C.2.(1){x |x 2=9}或{-3，3}; (2){2，3，5，7};(3){(x ，y )|⎩⎨⎧+=+=6-2x y 3x y }或{(1，4)};(4){x ∈R |4x -5<3}或{x |x <2}. 练习（P7）1.∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }.2.(1)a ∈{a ，b ，c }. (2)∵x 2=0，∴x =0.∴{x |x 2=0}={0}.∴0∈{0}.(3)∵x 2+1=0，∴x 2=-1.又∵x ∈R ，∴方程x 2=-1无解.∴{x ∈R |x 2+1=0}=∅.∴∅=∅. (4). (5)∵x 2=x ，∴x =0或x =1.∴{x |x 2=x }={0，1}.∴{0}{0，1}.(6)∵x 2-3x +2=0，∴x =1或x =2.∴{x |x 2-3x +2=0}={1，2}.∴{2，1}={1，2}.3.(1)由于1是任何正整数的公约数，任何正整数都是自身的公约数，所以8的公约数是1，2，4，8，即B={1，2，4，8}.∴AB.(2)显然B ⊆A ，又∵3∈A ，且3∉B ，∴B A. (3)4与10的最小公倍数是20，4与10的公倍数应是20的倍数，显然A=B.练习（P11）1.A∩B={5，8}，A ∪B={3，5，6，7，8}.2.∵x 2-4x -5=0，∴x =-1或x =5.∴A={x |x 2-4x -5=0}={-1，5}，同理，B={-1，1}.∴A ∪B={-1，5}∪{-1，1}={-1，1，5}，A∩B={-1，5}∩{-1，1}={-1}.3.A∩B={x |x 是等腰直角三角形}，A ∪B={x |x 是等腰三角形或直角三角形}.4.∵B={2，4，6}，A={1，3，6，7}，∴A∩(B)={2，4，5}∩{2，4，6}={2，4}， (A)∩(B)={1，3，6，7}∩{2，4，6}={6}.习题1.1 A 组（P11）1.(1)∈ (2)∈ (3)∉ (4)∈ (5)∈ (6)∈2.(1)∈ (2)∉ (3)∈3.(1){2，3，4，5}; (2){-2，1};(3){0，1，2}.(3)∵-3<2x -1≤3，∴-2<2x ≤4.∴-1<x ≤2.又∵x ∈Z ，∴x =0，1，2.∴B={x ∈Z |-3<2x -1≤3}={0，1，2}.4.(1){y |y ≥-4}; (2){x |x ≠0}; (3){x |x ≥54}. 5.(1)∵A={x |2x -3<3x }={x |x >-3}，B={x |x ≥2}，∴-4∉B ，-3∉A ，{2}B ，B A.(2)∵A={x |x 2-1=0}={-1，1}，∴1∈A ，{-1}A ，∅A ，{1，-1}=A. (3);. 6.∵B={x |3x -7≥8-2x }={x |x ≥3}，∴A ∪B={x |2≤x <4}∪{x |x ≥3}={x |x ≥2}，A∩B={x |2≤x <4}∩{x |x ≥3}={x |3≤x <4}.7.依题意，可知A={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以A∩B={1，2，3，4，5，6，7，8}∩{1，2，3}={1，2，3}=B ，A∩C={1，2，3，4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}={3，4，5，6}=C.又∵B ∪C={1，2，3}∪{3，4，5，6}={1，2，3，4，5，6}.∴A∩(B ∪C)={1，2，3，4，5，6，7，8}∩{1，2，3，4，5，6}={1，2，3，4，5，6}.又∵B∩C={1，2，3}∩{3，4，5，6}={3}，∴A ∪(B∩C)={1，2，3，4，5，6，7，8}∪{3}={1，2，3，4，5，6，7，8}=A.8.(1)A ∪B={x |x 是参加一百米跑的同学或参加二百米跑的同学}.(2)A∩C={x |x 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}.9.B∩C={x |x 是正方形}， B={x |x 是邻边不相等的平行四边形}，A={x |x 是梯形}.10.∵A ∪B={x |3≤x <7}∪{x |2<x <10}={x |2<x <10}，∴(A ∪B)={x |x ≤2或x ≥10}.又∵A∩B={x |3≤x <7}∩{x |2<x <10}={x |3≤x <7}，∴(A∩B)={x |x <3或x ≥7}. (A)∩B={x |x <3或x ≥7}∩{x |2<x <10}={x |2<x <3或7≤x <10}，A ∪(B)={x |3≤x <7}∪{x |x ≤2或x ≥10}={x |x ≤2或3≤x <7或x ≥10}.习题1.2 A 组（P24）1.∵A={1，2}，A ∪B={1，2}，∴B ⊆A ，∴B=∅，{1}，{2}，{1，2}.2.集合D={(x ，y )|2x -y =1}∩{(x ，y )|x +4y =5}表示直线2x -y =1与直线x +4y =5的交点坐标;由于D={(x ，y )|⎩⎨⎧=+=54y x 1y -2x }={(1，1)}，所以点(1，1)在直线y =x 上，即D C. 3.B={1，4}，当a =3时，A={3}，则A ∪B={1，3，4}，A∩B=∅;当a ≠3时，A={3，a }，若a =1，则A ∪B={1，3，4}，A∩B={1};若a =4，则A ∪B={1，3，4}，A∩B={4};若a ≠1且a ≠4，则A ∪B={1，a ，3，4}，A∩B=∅.综上所得，当a =3时，A ∪B={1，3，4}，A∩B=∅;当a =1，则A ∪B={1，3，4}，A∩B={1};当a =4，则A ∪B={1，3，4}，A∩B={4};当a ≠3且a ≠1且a ≠4时，A ∪B={1，a ，3，4}，A∩B=∅.4.作出韦恩图，如图1-1-3-16所示，图1-1-3-16由U=A ∪B={x ∈N|0≤x ≤10}，A∩(B)={1，3，5，7}，可知B={0，2，4，6，8，9，10}.1．2函数及其表示练习（P19）1.(1)要使分式741+x 有意义，需4x+7≠0，即x≠47-. 所以这个函数的定义域是(-∞，47-)∪(47-，+∞); (2)要使根式有意义，需1-x≥0，且x+3≥0，即-3≤x≤1.所以这个函数的定义域是［-3，1］.2.(1)f(2)=28，f(-2)=-28，f(2)+f(-2)=0;(2)f(a)=3a 3+2a ，f(-a)=-3a 3-2a ，f(a)+f(-a)=0.3.(1)两个函数的对应法则相同，而表示导弹飞行高度与时间关系的函数y=500x-5x 2是有实际背景的，这里x≥0;函数y=500x-5x 2，x ∈R ，这两个函数的定义域不同，故这两个函数不相等.(2)函数g(x)=x 0=1(x≠0)与函数f(x)=1，x ∈R 的对应法则相同，但定义域不同，所以不是相等的函数.已知函数解析式求函数值及不同变量的函数值的关系.练习（P23）1.设矩形一边长为xcm ，则另一边长为22x -50=22500x -.由题意，得y=x 22500x -，x ∈(0，50).2.图(A)与事件(2).图(B)与事件(3).图(D)与事件(1)吻合得最好.图(C)可叙述为:我出发后,为了赶时间,加速行驶,走了一段后,发现时间还早,于是放慢了速度.3.解析:由绝对值的知识，有f(x)=⎩⎨⎧<+-≥-.2,2,2,2x x x x 所以，f(x)=|x-2|的图象如下图所示.图1-2-2-234.与A 中元素60°对应的B 中的元素是23;与B 中元素22相对应的A 中的元素是45°. 习题1.2 A 组（P24）1.(1)(-∞，4)∪(4，+∞). (2)R .(3)要使分式有意义，只需x 2-3x+2≠0，即x≠1，且x≠2，所以这个函数的定义域是(-∞，1)∪(1，2)∪(2，+∞).(4)要使函数有意义，只需⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠-≥-,1,40104x x x x 即x≤4，且x≠1. 所以这个函数的定义域是(-∞，1)∪(1，4］. 2.(1)g(x)=xx 2-1=x-1，x≠0，该函数虽然与f(x)的对应关系相同，但是定义域不同， 所以f(x)与g(x)不相等. (2)g(x)=(x )4=x 2，x≥0，该函数虽然与f(x)的对应关系相同，但是定义域不同，所以f(x)与g(x)不相等. (3)g(x)=36x =x 2，x ∈R ，该函数与f(x)的对应关系相同，定义域相同，所以f(x)与g(x)相等.3. (1) (2)x ∈R ，y ∈R . x ∈(-∞，0)∪(0，+∞)，y ∈(-∞，0)∪(0，+∞).图1-2-2-24 图1-2-2-25(3) (4)x ∈R ，y ∈R . x ∈R ，y ∈［-2，+∞).图1-2-2-26 图1-2-2-27 4.f(2-)=8+52，f(-a)=3a 2+5a+2，f(a+3)=3a 2+13a+14; f(a)+f(3)=3a 2-5a+16.5.(1)点(3，14)不在f(x)的图象上;(2)f(4)=-3;(3)x=14.6.解析:由韦达定理知1+3=-b ，1×3=c ，∴b=-4，c=3.∴f(x)=x 2-4x+3.∴f(-1)=(-1)2-4×(-1)+3=8. 答案：f(-1)=8.7. (1) (2)图1-2-2-28 图1-2-2-29 8.y=x 10 x ∈(0，+∞)，y=21l-x x ∈(0，21l)， y=22x d - x ∈(0，d)，l=2x+x 20(x>0)，l=2202+d . 9.由题意，可知容器内溶液高度为x 的体积等于注入的溶液的体积，即π(2d )2·x=vt ，整理得x=24d v π·t. 当容器注满时有π(2d )2h=vt ，得t=vh d 42π. 所以该函数的定义域是t ∈［0，v h d 42π］，值域是x ∈［0，h ］. 10.共8个映射.图1-2-2-30B 组1.(1)［-5，0］∪［2，6);(2)［0，+∞);(3)［0，2)∪(5，+∞).2.图1-2-2-31(1)点(x ，0)和(5，y)，即纵坐标为0或横坐标为5的点不能在图象上. (2)略.3.略.4.(1)t=512342x x -++，x ∈［0，12］;(2)t=58320+≈3小时. 1．3 函数的基本性质练习（P32）1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看，在生产劳动力较少的情况下，随人数的增加效率随着增大，但是到了一定数量后，人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩，出现了怠工等现象.2.图象如图1-3-2-2所示，图1-3-2-2函数的单调增区间为［8,12)，［13,18)；函数的单调减区间为［12,13)，［18,20］.3.函数的单调区间是［-1,0),［0,2),［2,4),［4,5］.在区间［-1,0),［2,4)上是减函数；在区间［0,2),［4,5］上是增函数.4.证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=(-2x 1+1)-(-2x 2+1)=2(x 2-x 1).∵x 1<x 2，∴x 2-x 1>0.∴f (x 1)>f (x 2).∴函数f (x )=-2x +1在R 上是减函数.5.如图1-3-2-3所示，图1-3-2-3从图象上可以发现f （－2）是函数的一个最小值.练习（P36）1.（1）对于函数f （x ）=2x 4+3x 2，其定义域为（－∞,+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=2（－x ）4+3（－x ）2=2x 4+3x 2=f （x ）,所以函数f （x ）=2x 4+3x 2为偶函数.（2）对于函数f （x ）=x 3－2x ，其定义域为（－∞，+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=（－x ）3－2（－x ）=－x 3+2x =－（x 3－2x ）=－f （x ）,所以函数f （x ）=x 3－2x 为奇函数.（3）对于函数f (x )=xx 12+，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=x x -+-1)(2=xx 12+-=－f （x ）, 所以函数f (x )=xx 12+-为奇函数. （4）对于函数f (x )=x 2+1，其定义域为（－∞，+∞）.因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=(-x )2+1=x 2+1=f （x ）,所以函数f (x )=x 2+1为偶函数.2.f (x )的图象如图1-3-2-4所示，g (x )的图象如图1-3-2-5所示.图1-3-2-4 图1-3-2-5习题1.2 A 组（P39）1.（1）函数的单调区间是(-∞,25］,(25,+∞). 函数y =f (x )在区间(-∞,25］上是减函数，在区间(25,+∞)上是增函数. （2）函数的单调区间是(-∞,0］,(0,+∞).函数y =f (x )在区间(0,+∞)上是减函数，在区间(-∞,0］上是增函数. 图略.2.（1）设0<x 1<x 2，则有f (x 1)-f (x 2)=(x 12+1)-(x 22+1)=x 12-x 22=(x 1-x 2)(x 1+x 2).∵0<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1+x 2<0. ∴f (x 1)>f (x 2). ∴函数f (x )在(-∞,0)上是减函数.（2）设0<x 1<x 2，则有f (x 1)-f (x 2)=(111x -)-(121x -)=21x 11x -=2121x x x x -. ∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0. ∴f (x 1)<f (x 2). ∴函数f (x )在(-∞,0)上是增函数.3.设x 1、x 2是（－∞，+∞）上任意两个实数，且x 1＜x 2.则y 1－y 2=（mx 1+b ）－（mx 2+b ）=m （x 1－x 2）.∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0.当m ＜0时，∴y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2.∴此时一次函数y =mx +b （m ＜0）在（－∞，+∞）上是减函数.同理可证一次函数y =mx +b （m ＞0）在（－∞,+∞）上是增函数.综上所得，当m ＜0时，一次函数y =mx +b 是减函数；当m ＞0时，一次函数y =mx +b 是增函数.4.心率关于时间的一个可能的图象，如图1-3-2-6所示，图1-3-2-65.y =502x -+162x -2100=501-(x 2-8100x )-2100=501-(x -4050)2+307 050. 由二次函数的知识,可得当月租金为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大收益为307 050元.6.图略，函数f (x )的解析式为⎩⎨⎧<-≥+.0),1(,0),1(x x x x x x B 组1.（1）函数f (x )在(-∞,1)上为减函数，在［1,+∞)上为增函数；函数g (x )在［2,4］上为增函数.（2）函数f (x )的最小值为－1，函数g (x )的最小值为0.2.设矩形熊猫居室的宽为x m ，面积为y m 2，则长为2330x -m ， 那么y =x 2330x -=21(30x -3x 2)=23-(x -5)2+275.所以当x =5时，y 有最大值275, 即宽x 为5 m 时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，最大面积是275m 2. 3.函数f (x )在(-∞,0)上是增函数.证明：设x 1<x 2<0，则-x 1>-x 2>0.∵函数f (x )在(0,+∞)上是减函数，∴f (-x 1)<f (-x 2).∵函数f (x )是偶函数，∴f (-x )=f (x ).∴f (x 1)<f (x 2).∴函数f (x )在(-∞,0)上是增函数.第一章 复习参考题A 组（P44）1.（1）A={－3，3}；（2）B={1，2}；（3）C={1，2}.2.（1）线段AB 的垂直平分线；（2）以定点O 为原心，以3 cm 为半径的圆.3.属于集合的点是△ABC 的外接圆圆心.4.A={－1,1}，（1）若a =0，则B=∅，满足B ⊆A ；（2）若a =－1，则B={－1}，满足B ⊆A ；（3）若a =1，则B={1}，满足B ⊆A.综上所述，实数a 的值为0,-1,1.5.A∩B={（x ,y ）｜⎩⎨⎧=+=0y 3x 0y -2x }={（x ,y ）|⎩⎨⎧==0y 0x }={（0,0）}; A∩C={（x ,y ）|⎩⎨⎧==3y -2x 0y -2x }=∅； B∩C={（x ,y ）｜⎩⎨⎧==+3y -2x 0y 3x }={（x ,y ）｜⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5953y x }={（53,59-）}; （A∩B ）∪（B∩C ）={(0,0),(53,59-)}. 6.(1)要使函数有意义,必须|x |-2≥0,即x ≤-2或x ≥2,所以函数的定义域为{x |x ≤-2或x ≥2};（2）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≥+≥-,05,02x x 即⎩⎨⎧-≥≥,5,2x x 得x ≥2.所以函数的定义域为{x ｜x ≥2}；（3）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠-≥-,05||,04x x 即x ≥4，且x ≠5. 所以函数的定义域为{x ｜x ≥4，且x ≠5}.7.（1）f （a ）+1=111++-a a =12+a ; （2）f （a +1）=)1(1)1(1+++-a a =a a +-2. 8.（1）∵f （－x ）=22)(1)(1x x ---+=2211xx -+，∴f （－x ）=f （x ）. （2）∵f （x 1）=22)1(1)1(1x x -+=221111x x -+=222211x x x x -+=1122-+x x =2211x x -+-,∴f （x 1）=－f （x ）. 9.二次函数f (x )的对称轴是直线x =8k ，则有8k ≤5或8k ≥20.解得k ≤40或k ≥160，即实数k 的取值范围是(-∞,40］∪［160,+∞).10.（1）函数y =x -2是偶函数； （2）它的图象关于y 轴对称；（3）函数在（0，+∞）上是减函数；（4）函数在（－∞，0）上是增函数.B 组 1.同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人.提示：由题意知有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，所以15+8+14=37，知共有37人次参加比赛.由已知共有28名同学参赛，且没有人同时参加三项，而37－28=9，知共有9名同学参加两项比赛.已知同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，因此同时参加田径和球类的有3人；又已知有15人参加游泳比赛，因此只参加游泳一项的有9人.2.实数a 的取值范围为{a ｜a ≥0}.3.∵（A ∪B ）=（A ）∩（B ）={1，3}，A∩（B ）={2，4}，∴B={1,2,3,4}.∴B={5,6,7,8,9}.4.f （1）=1×（1+4）=5; f （－3）=－3×（－3－4）=21; f （a +1）=⎩⎨⎧-<++-≥++.1),3)(1(,1),5)(1(a a a a a a 5.证明：（1）f )2(21x x +=a ·221x x ++b =22221b ab b ax x +++=21（ax 1+b ）+21（ax 2+b ）=21［f （x 1）+f （x 2）］， ∴f （221x x +）=21［f （x 1）+f （x 2）］. （2）g （221x x +）=（221x x +）2+a ·221x x ++b =21（21x +ax 1+b ）+21（22x +ax 2+b ）－41（x 1－x 2）2 =21［g （x 1）+g （x 2）］－41（x 1－x 2）2, ∵－41（x 1－x 2）2≤0, ∴g （221x x +）≤21［g （x 1）+g （x 2）］. 6.（1）奇函数f （x ）在［－b ,－a ］上是减函数；（2）偶函数g （x ）在［－b ,－a ］上是减函数.7.若全月纳税所得额为500元，则应交纳税款为500×5%＝25（元）.此时月工资为800＋500＝1 300（元）；若全月纳税所得额为2000元，则应交纳税款为500×5%＋1500×10%＝175（元）.此时月工资为800＋500＋1500＝2800（元）.由于此人交纳税款为26.78元，则此人的工资在区间（1300，2800）内，所以他当月的工资、薪金所得是800＋500＋1.02578.26-≈1317.8（元）.奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立.(3)f (-x )=f (x )⇔f (x )是偶函数，f (-x )=-f (x )⇔f (x )是奇函数.(4)f (-x )=f (x )⇔f (x )-f (-x )=0,f (-x )=-f (x )⇔f (x )+f (-x )=0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y =f (x )和y =g (x )的奇偶性相同，那么复合函数y =f ［g (x )］是偶函数，如果函数y =f (x )和y =g (x )的奇偶性相反，那么复合函数y =f ［g (x )］是奇函数，简称为“同偶异奇”.(6)如果函数y =f (x )是奇函数，那么f (x )在区间(a ,b )和(-b ,-a )上具有相同的单调性；如果函数y =f (x )是偶函数，那么f (x )在区间(a ,b )和(-b ,-a )上具有相反的单调性.(7)定义域关于原点对称的任意函数f (x )可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f (x )=2)()(2)()(x f x f x f x f -++--.(8)若f (x )是(-a ,a )(a ＞0)上的奇函数，则f (0)＝0；若函数f (x )是偶函数，则f (x )=f (-x )=f (|x |)=f (-|x |).若函数y =f (x )既是奇函数又是偶函数，则有f (x )=0。

《管理学》习题集第一章管理与管理学一、单项选择：1、管理活动的本质是：A、对人的管理B、对物的管理C、对资金的管理D、对技术的管理2、管理的目的：A、获取信息B、协调各方关系C、寻求市场机会D、实现组织目标3、以前常说，“外行不能领导内行”，但现在的实践证明，“外行”领导“内行”也能有许多成功的事例，甚至有时比内行领导内行更成功。

从管理学的角度分析。

业务上的外行更适合担任：A、基层管理者，因为管理的内容比较简单B、中层管理者，因为对中层管理者来说业务并不重要C、高层管理者，因为高层管理者重在决策，而不是具体业务D、外行在任何情况下，都可以领导内行4、从发生的时间顺序看，下列四种管理职能的排列方式，哪一种更符合逻辑？A、计划、控制、组织、领导B、计划、领导、组织、控制C、计划、组织、控制、领导D、计划、组织、领导、控制5、下列能区别管理职位和非管理职位的是：A、工资金额的多少B、是否协调他人的工作C、是否组织新的项目D、是否拥有技术技能6、管理的普遍性意味着：A、管理不重要B、有最好的管理模式C、一切组织都需要管理D、所有的管理者采用同样的模式7、将管理要素按目标的要求结合成一个整体，体现了管理的（）职能。

A. 计划B. 组织C. 领导D. 控制8、下列（）性质不属于管理的特性。

A. 综合性B. 应用性C. 精确性D. 艺术性9、一艘船要顺利驾驶到目的地，船长的角色职能包括：设计方向的领航员，实际控制方向和舵手，轮船的设计者或选用者，以及全体船员形成支持、参与和沟通关系的促进者。

这些是组织中的（）职能。

A. 计划、控制、组织和领导B. 计划、组织、领导和控制C. 领导、计划、组织和控制D. 领导、组织、计划和控制10、某大企业人才济济、设备精良，长期以来以管理正规有序而自翔。

但近来该企业业绩不佳，尤其是干群士气低落，管理人员和技术人员的流失率逐年升高。

从管理职能分析，该企业最有可能是（）工作存在问题。

第3章课后习题解析及答案3.1第1章习题解答1．简要解释下列名词术语【答】数字计算机：一种能存储程序，能自动连续地对各种数字化信息进行处理的快速工具。

硬件：是指组成计算机系统的设备实体，如CPU、存储器、I/O设备等。

软件：泛指各类程序、文档等。

CPU：即中央处理器，是由运算器和控制器组成的计算机硬件系统的核心部件。

主存储器：位于主机内部，用来存放CPU需要使用的程序和数据的部件。

外存储器：位于主机外部，用来存放大量的需要联机保存、但CPU暂不使用的程序和数据的部件。

外部设备：位于主机之外，和主机进行信息交换的输入设备或输出设备。

信息的数字化表示：注意，信息的数字化表示包含了两层含义，即：用数字代码表示各种信息，用数字信号（电平、脉冲）表示数字代码。

存储程序工作方式：事先编制程序，事先存储程序，自动、连续地执行程序。

模拟信号：在时间上连续变化的电信号，用信号的某些参数模拟信息。

数字信号：在时间上或空间上断续变化的电信号，依靠彼此离散的多位信号的组合表示信息。

脉冲信号：在时间上离散的电信号，利用脉冲的有无表示不同的状态。

电平信号：在空间上离散的电信号，利用信号电平的高低表示不同的状态。

系统软件：为保证计算机系统能够良好运行而设置的基础软件。

应用软件：用户在各自的应用领域中为解决各类问题而编写的软件。

操作系统：负责管理和控制计算机系统的硬件资源、软件资源与运行的核心软件，为用户提供软件的开发环境和运行环境。

语言处理程序：将源程序转换为目标程序的一类系统软件，包括各种解释程序、编译程序、汇编程序。

物理机：是指能够执行机器语言程序的实际的计算机。

虚拟机：是指通过配置软件，扩充机器功能后所形成的计算机。

总线：一组能为多个部件分时共享的公共的信息传送线路。

数据通路宽度：是指数据总线一次能并行传送的数据位数。

数据传输率：是指数据总线每秒钟传送的数据量。

接口：泛指两个部件的交接部分。

通道：能够执行专用的通道指令，用来管理I/O操作的控制部件。

第一章质点运动学1-1质点作曲线运动，在时刻 t 质点的位失为r ，速度为v ,速率为v , t 至（t t 路程为 s ，位失大小的变化量为 r （或称 r ），平均速度为v ,平均速率为v 。

（1）根据上述情况，则必有（ B ） 时间内的位移为 r ，(A) r s r (B) r s r ，当 t 0时有 dr ds dr (C ) r r s ，当 t 0时有 dr dr ds (D)r s r ，当 t 0时有 dr dr ds （2）根据上述情况,则必有 （ C )(A) v vj 7 v (B) v vj v v(C ) v v 侗 v (D) v vj v v1-2 一运动质点在某瞬时位于位失 r （x, y ）的端点处，对其速度的大小有四种意见，即 dr （1）巴；（2） dr ；（3） ds . (4) J (dx )2 (dy ) dt dt dtXdt dt下述判断正确的是 :（ D )（A ）只有（1） (2) 正确； (A ) 只有 ( 2）正确（A ）只有（2） (3) 正确； (A ) 只有 ( 3) (4) 正确 1-3质点作曲线运动, r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，s 表示路程，a t 表示切向加速度。

/、 dv/、 dr / 、ds v ； (4) dv (1) 一a ； (2)— v ； (3)— dt dt dt dt对下列表达式，即 a t 下述判断正确的是（ D ） （A ）只有（1）（ 4 ）是对的；（A ）只有（2）（ 4）是对的 （A ）只有（2 ）是对的；（A ）只有（3）是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时，则有（ B ） （A ）切向加速度一定改变，法向加速度也改变 （B ） 切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 （C ） 切向加速度可能不变，法向加速度不变 （D ） 切向加速度一定改变，法向加速度不变 1-5有一质点作直线运动，其运动方程为 x =6t -2t （SI 制），试求: （1） 第二秒内的平均速度； （2） 第三秒末的速度； （3） 第一秒末的加速度；（4） 质点作什么类型的运动？(5 0解：⑴ 先求出质点在第二秒内的位移。

第 1 页 共15 页 选修2-3 第一章章节习题集1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、课时过关·能力提升1.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( ) A.12B.28C.32D.640解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+20=32. 答案:C2.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A .60B .48C .36D .24解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B . 答案:B3.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为( )A.8B.15C.35D.53 解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有35种不同的发送方法. 答案:C4.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A ,B 的值,则可表示出的不同直线的条数为( ) A.19B.20C.21D.22解析:当A 或B 中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB ≠0时,A 有5种选法,B 有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线. 答案:D5.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( ) A.60种B.40种C.20种D.10种解析:设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共10 种情况,假设A,B 两人拿到自己的外衣,则C,D,E 三人不能拿到自己的外衣,则只有C 取D,D 取E,E 取C,或C 取E,D 取C,E 取D 两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×10×2=202=20种情况. 答案:C6.将4位老师分配到3个学校去任教,共有分配方案( ) A .81种B .12种C .7种D .256种解析:每位老师都有3种分配方案,分四步完成,故共有3×3×3×3=81种. 答案:A7.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、人分别从事翻译、导游、导游、导游、导购、导购、导购、保洁四项不同的工作保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A .280种 B .240种 C .180种D .96种解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B 答案:B8.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( ) A .360B .240C .120D .60解析:因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数. 答案:C9.圆周上有2n 个等分点(n 大于2),任取3点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为 .解析:先在圆周上找一点,因为有2n 个等分点,所以应有n 条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有2n 个,所以一共有2n (n-1)个符合题意的直角三角形. 答案:2n (n-1)10.如图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 .解析:由题图可知,从A 到B 有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 答案:1911.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传给甲,则共有种不同的传递方法.解析:分两类:第一类,若甲先传给乙,则有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法;同理,第二类,甲先传给丙,也有3种不同的传法.共有6种不同的传递方法. 答案:612.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A 爬到相对顶点C 1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?解:从总体上看有三类方法:分别经过AB,AD,AA1从局部上看每一类又需分两步完成,故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.13.用n种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.当n=6时,该板报有多少种书写方案?解:第一步选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;第二步选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角用的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩色粉笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法.共有6×5×4×5=600种不同的书写方案.14.用0,1,0,1,……,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于100的无重复数字的自然数.解:由于0不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有9种选择,十位和个位各有10种选法由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×10×10=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×9×8=648.(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是4×9×8=288.(4)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择,个位数字也有9种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的个数是9×9=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是10+81=91.1.2 排列与组合1.2.1 排列一、课时过关·能力提升1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?上面四个问题属于排列问题的是( )A.①②③④B.②④C.②③D.①④解析:∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,如,∴②是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小一定;在双曲线=1中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线.故③不是排列问题,④是排列问题.答案:B2.某年级一天有6节课,需要安排6门课程,则该年级一天的课程表的排法有( )A.66种B.36种C.种D.12种解析:本题相当于对6个元素进行全排列,故有种排法.答案:C3.设m∈N*,则乘积m(m+1)(m+2)2)……(m+20)可表示为 ( )A. B. C. D.解析:由排列数公式,=(m+20)(m+19)(m+18)…(m+1)m.答案:D4.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有( )A.12种B.16种C.24种D.32种解析:将三个人插入五个空位中间的四个空当中,有=24种坐法.答案:C5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120解析:个位数字有种排法,十位、百位、千位有种排法,从而共=48个不同的四位偶数答案:C6.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是( )A. B. C. D.解析:第一步先排5个独唱节目共种;第二步排舞蹈,不相邻则用插空法,且保证不放到开头,从剩下5个空中选3个插空共有种,故一共有种.答案:C7.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有( )A.48种B.192种C.240种D.288种解析:(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有种排法,而女生可互换位置,所以共有种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有种,这时男生甲若插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为=192.答案:B8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( )A.120个B.80个C.40个D.20个解析:由题意知可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有个;第二类,十位数字取6,有个;第三类,十位数字取5,有个;第四类,十位数字取4,有个.所以一共有=40个.答案:C9.张先生和王先生两对夫妇各带1名小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两名小孩一定要排在一起,则这6人的入园排法共有 .解析:分三步完成:第1步,将两位爸爸排在两端,有种排法;第2步,将两名小孩看作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置,有种排法;第3步,两个小孩之间还有种排法.因此,这6人的入园排法共有=24种.答案:24种10.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修班开了4个,选课结束后,有四名选修英语的同学甲、乙、丙、丁要求改修数学,为照顾各班平衡,数学选修班每班只接收1名改修数学的同学.那么甲不在(1)班,乙不在(2)班的分配方法有 .解析:先分甲,第一类,当甲在(2)班时,分配乙、丙、丁有种方法.第二类,当甲不在(2)班时,则甲有种分法,再分乙有种分法,分配丙、丁有种分法.因此,总共有=14种分法.答案:14种11.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?(1)偶数不相邻;(2)偶数一定在奇数位上;(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.解:(1)用插空法,共有=1 440个.(2)先把偶数排在奇数位上有种排法,再排奇数有种排法共有=576个.(3)1和2排列有种方法,在1和2之间放一个奇数有种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有种排法,故共有=720个.12.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站?现在有多少个车站?解:∵原有n个车站,∴原有客运车票种.又现有(n+m)个车站,∴现有客运车票种.由题设知:=62,∴(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,∴2mn+m2-m=62,∴n=(m-1)>0,∴(m-1),∴62>m(m-1),即m2-m-62<0.又∵m>1,∴1<m<,∴1<m≤8.当m=2时,n=15.当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.∴n=15,m=2.∴原有车站15个,现有车站17个.1.2.2 组合一、课时过关·能力提升1.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )A.45种B.56种C.90种D.120种解析:用排除法,不同的选法种数为=45.答案:A2.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为 ( )A.210B.126C.70D.35解析:从7种中取出3种有=35种取法,比如选出a,b,c种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种,故不同的改变方法有2×35=70种.答案:C3.有15盏灯,要求关掉6盏,且相邻的灯不能全关掉,两端的灯不能关掉,则不同的关灯方法有( )A.28种B.84种C.180种D.360种解析:将9盏灯排成一排,关掉的6盏灯插入9盏亮灯的中间8个空隙中的6个空隙中,有=28种方法.答案:A4.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( )A.2B.3C.4D.5解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.依题意得=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.答案:A5.中小学校车安全引起社会的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为( )A. B.C. D.解析:首先每个学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空,比如说用9面小旗隔开,就可以隔成10部分.所以是在39个空中选9个空进行插空.故不同的方案种数为.答案:D6.已知一组曲线y=ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为 ( )A.9B.10C.12D.14解析:y'=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成2条曲线,有组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成3条曲线,有组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成2条曲线,有组.故共有=14组相互平行的切线.答案:D7.5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是 ( )A.120B.72C.60D.36解析:将甲球放入A盒后分两类,一类是除甲球外,A盒还放其他球,共=24种放法,另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案:C8.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 .(用数字作答)解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140种.答案:140种9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 .(用数字作答)解析:分两种情况:第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234个,共有90+234=324个.答案:324个10.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种的菜.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备 种不同的素菜(结果用数值表示)解析:在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是=10.若选择方式至少为200种,设素菜为x种, 则有≥200,即≥20,化简得x(x-1)≥40,解得x≥7.所以,至少应准备7种素菜.答案:711.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,不同的取法种数为 .解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.答案:5612.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有=1个信息 由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.13.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=1911.3 二项式定理1.3.1 二项式定理一、课时过关·能力提升1.的展开式中倒数第3项的系数是( )A.·2B.·26C.·25D.·22解析:的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6=·(2x)2··22·x-8.该项的系数为·22.答案:D2.的展开式中的常数项为-220,则a的值为 ( )A.1B.-1C.2D.-2解析:T k+1=·a k.∵T k+1为常数项,∴-k=0,∴k=3.∴·a3=-220,∴a=-1.答案:B3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是( )A.3B.6C.9D.21解析:由已知x3=[2+(x-2)]3=·23+·22·(x-2)+·2·2·((x-2)2+(x-2)3.所以a2=·2=6.答案:B4.的展开式中含x3项的二项式系数为( )A.-10B.10C.-5D.5解析:T k+1=·x 5-k=(-1)k·x5-2k,令5-2k=3,则k=1故x3项的二项式系数为=5答案:D5.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于 ( )A.45B.55C.70D.80解析:由二项式定理,得(1+)5=1+·()2+·()3+·()4+·()5=1+5+20+20+20+4=41+29,即a=41,b=29,故a+b=70.答案:C6.(1-)6(1+)4的展开式中x的系数是( )A.-4B.-3C.3D.4解析:方法一:(1-)6的展开式的通项为(-)m,(1+)4的展开式的通项为)n,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数等于·(-1)0··(-1)1··(-1)2·=-3.方法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4(1-)2=(1-x)4(1-2+x).于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数为·1+·(-1)1·1=-3.答案:B7.若x>0,设的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为 .解析:由T3=x,T4=,则M+N=≥2.当且仅当,即x=时,等号成立答案:8.二项式的展开式中,常数项的值为 .答案:0,1,2,……,n)的部分图象如图,则a= .9.已知(ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a2x2+a1x+a0(x∈N*),点A i(i,a i)(i=0,1,2,解析:由展开式得T k+1=(ax)n-k=a n-k·x n-k,由题图可知a1=3,a2=4,即a=3,且a2=4,化简得na=3,且=4,解得a=.答案:10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明:32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(·8n+1+·8n+…+·8+1)-24n+37=3×64(·8n-1 +·8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(·8n-1+·8n-2+…+)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除11.(1)求(1+x)2(1-x)5的展开式中x3的系数;(2)已知展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如果有,请求出来.解:(1)(1+x)2的通项为T r+1=·x r,(1-x)5的通项为T k+1=(-1)k·x k,其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x3的系数为-=5.(2)展开式的通项为T k+1=(x)n-k·=·2k·(k=0,1,2,…,n),由题意,得20+2+22=129所以1+2n+2n(n-1)=129,则n2=64,即n=8.故T k+1=·2k·(k=0,1,2,…,8),若展开式存在常数项,则=0,解之,得k=∉Z,所以展开式中没有常数项若展开式中存在一次项,则=1,即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T7=26x=1 792x.1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、课时过关·能力提升1.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中含的项是( )A. B.C. D.解析:由的展开式中各项系数之和为128可得2n =128,n=7.其通项T k+1=(3x )7-k =(-1)k ·37-k,令7-=-3,解得k=6,此时T 7=.答案:C 2.的展开式中第8项是常数项,则展开式中系数最大的项是( )A.第8项B.第9项C.第8项、第9项D.第11项、第12项 解析:展开式中的第8项为)n-7为常数,即=0,解得n=21.故展开式中系数最大的项为第11项、第12项.答案:D 3.若(x+3y )n展开式的系数和等于(7a+b )10展开式中的二项式系数之和,则n 的值为( ) A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b )10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n =210,解得n=5.答案:A4.已知+2+22+…+2n =729,则的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n =3n=729,解得n=6.则=32.答案:B5.(1+x )n(3-x )的展开式中各项系数的和为1 024,则n 的值为( ) A .8B .9C .10D .11解析:由题意知(1+1)n (3-1)=1 024,即2n+1=1 024,故n=9. 答案:B6.若(1-2x )2 015=a 0+a 1x+…+a 2 015x2 015(x ∈R ),则+…+的值为( ) A.2 B.0C.-1D.-2 解析:令x=0,则a 0=1,令x=,则a 0++…+=0,故+…+=-1.答案:C7.(x+1)9按x 的升幂排列二项式系数最大的项是( ) A .第4项和第5项 B .第5项 C .第5项和第6项 D .第6项解析:展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大. 答案:C8.在(a-b )10的二项展开式中,系数最小的项是 .解析:在(a-b )10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T 6=a 5(-b )5=-252a 5b 5.答案:-252a 5b 59.设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11= . 解析:∵(x-1)21的展开式的通项为T k+1=x 21-k (-1)k ,∴a 10+a 11=(-1)11+(-1)10=-=-=0.答案:0 10.若(2x+)4=a 0+a 1x+…+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为 .解析:令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+)4,令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(-2+)4,(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4)·)·((a 0-a 1+a 2-a 3+a 4)=(2+)4(-2+)4=1. 答案:111.若(2x-3y )10=a 0x 10+a 1x 9y+a 2x 8y 2+…+a 10y 10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解:(1)各项系数之和即为a 0+a 1+a 2+…+a 10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a 0+a 2+a 4+…+a 10,偶数项系数的和为a 1+a 3+a 5+…+a 9. 由(1)知a 0+a 1+a 2+…+a 10=1,①令x=1,y=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510,②①+②得,2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510,则奇数项系数的和为;①-②得,2(a 1+a 3+…+a 9))=11-5510,则偶数项系数的和为12.已知(+3x 2)n 展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.解:令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n =4n展开式二项式系数和为+…+=2n ,由题意有4n -2n=992.即(2n )2-2n -992=0,(2n -32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T 3=)3·(3x 2)2=90x 6, T 4=)2(3x 2)3=270.(2)设展开式中第k+1项的系数最大.由T k+1=)5-k ·(3x 2)k =3k,得⇒⇒≤k≤.因为k∈Z,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=34=405.13.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般的有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.解:(1)=1 140(2)+…+,证明如下:左边=+…++…+=…==右边.。

第1章土的组成一、简答题1.什么是土的颗粒级配？什么是土的颗粒级配曲线？2.土中水按性质可以分为哪几类？3.土是怎样生成的？有何工程特点？4.什么是土的结构？其基本类型是什么？简述每种结构土体的特点。

5.什么是土的构造？其主要特征是什么？6.试述强、弱结合水对土性的影响。

7.试述毛细水的性质和对工程的影响。

在那些土中毛细现象最显著？8.土颗粒的矿物质按其成分分为哪两类？9.简述土中粒度成分与矿物成分的关系。

10.粘土的活动性为什么有很大差异？11.粘土颗粒为什么会带电？二、填空题1.根据土的颗粒级配曲线，当颗粒级配曲线较时表示土的级配良好。

2.工程中常把的土称为级配良好的土，把的土称为级配均匀的土，其中评价指标叫。

3.不同风化作用产生不同的土，风化作用有、、。

4. 粘土矿物基本上是由两种原子层(称为晶片)构成的，一种是，它的基本单元是Si—0四面体，另一种是，它的基本单元是A1—OH八面体。

5. 不均匀系数Cu、曲率系数Cc 的表达式为Cu＝、Cc＝。

6. 砂类土样级配曲线能同时满足及的土才能称为级配良好的土。

7. 土是的产物，是各种矿物颗粒的集合体。

土与其它连续固体介质相区别的最主要特征就是它的和。

8. 土力学是利用一般原理和技术来研究土的物理性质以及在所受外力发生变化时的应力、变形、强度、稳定性和渗透性及其规律一门科学。

9.最常用的颗粒分析方法有法和法。

10. 著名土力学家的《土力学》专著问世，标志着现代土力学的开始。

三、选择题1．在毛细带范围内，土颗粒会受到一个附加应力。

这种附加应力性质主要表现为( )(A)浮力； (B)张力； (C)压力。

2．对粘性土性质影响最大的是土中的( )。

(A)强结合水； (B)弱结合水； (C)自由水； (D)毛细水。

3．土中所含“不能传递静水压力，但水膜可缓慢转移从而使土具有一定的可塑性的水，称为( )。

(A)结合水； (B)自由水； (C)强结合水； (D)弱结合水。