习题八
8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解: 如题8-1图示
(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷
2
2
2
0)
3
3
(
π4
1
30
cos
π4
1
2
a
q q
a
q'
=
︒
ε
ε
解得q
q
3
3
-
='
(2)与三角形边长无关．
题8-1图题8-2图
8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O点的场强．
解: 如8-7图在圆上取ϕ
Rd
dl=
题8-7图
ϕ
λ
λd
d
d R
l
q=
=，它在O点产生场强大小为
2
0π4d d R
R E εϕ
λ=
方向沿半径向外 则 ϕϕελ
ϕd sin π4sin d d 0R
E E x =
=
ϕϕελ
ϕπd cos π4)cos(d d 0R
E E y -=
-=
积分R
R E x 000
π2d sin π4ελ
ϕϕελπ
==
⎰
0d cos π400
=-=⎰
ϕϕελ
π
R
E y
∴ R
E E x 0π2ελ
=
=，方向沿x 轴正向．
8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强． 解: 高斯定理0
d ε∑⎰
=
⋅q S E s
ϖ
ϖ
取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=
则 rl E S E S
π2d =⋅⎰ϖ
ϖ
对(1) 1R r <
0,0==∑E q
(2) 21R r R << λl q =∑
∴ r
E 0π2ελ
=
沿径向向外
(3) 2R r >
=∑q
∴ 0=E
题8-12图
8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ， 两面间， n E ϖϖ
)(21210
σσε-=
1σ面外， n E ϖ
ϖ)(21210
σσε+-= 2σ面外， n E ϖϖ
)(21210
σσε+=
n ϖ
：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．
题8-16图
8-16 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，
AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，
求移动过程中电场力作的功． 解: 如题8-16图示
0π41ε=
O U 0)(=-R
q
R q
0π41ε=
O U )3(R q
R q -R
q 0π6ε-
= ∴ R
q
q U U q A o C O 00π6)(ε=
-=
8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O 点处的场强和电势． 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =
则θλd d R q =产生O 点E ϖ
d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向
题8-17图
θεθ
λπ
π
cos π4d d 22
2
0⎰⎰-==R R E E y
R 0π4ελ=
［)2sin(π-2
sin π-］
R
0π2ελ
-=
(2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U
⎰
⎰===A
B
20
0012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ 同理CD 产生 2ln π40
2ελ
=
U
半圆环产生 0
034π4πελ
ελ==
R R U
∴ 0
032142ln π2ελελ+=
++=U U U U O 8-22 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm ，
A 与C 相距2.0 mm ．
B ，
C 都接地，如题8-22图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A 板的电势是多少?
解: 如题8-22图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ
题8-22图
(1)∵ AB AC U U =，即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴
2d d 21===AC
AB
AB AC E E σσ 且 1σ+2σS
q A
=
得 ,32S q A =
σ S
q A 321=σ 而 711023
2
-⨯-=-
=-=A C q S q σC C
10172-⨯-=-=S q B σ
