随机过程第1章 预备知识(补充)

第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。

若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。

k k 1 k 1 k
则称P为（Ω，F）上的概率，（Ω，F，P）称 为概率空间，P（A）为事件A的概率。
由此定义出发，可推出概率的其它一些性质：
(4) P(F) 0;
(5) 若A, B F , A B, 则P( B A) P( B) P( A), 且P( B) P( A)
FY ( y ) P(Y y ) P( X , Y y ) F (, y )
分别称FX(x)和FY(y)为 F ( x, y ) 关于X和关于Y的 边缘分布函数。
离散型随机变量（X，Y）边缘分布律计算如下
P( X xi ) pi pij

, i 1,2,
设X，Y是两个随机变量，若对任意实数x，y有
P( X x, Y y) P(( X x) (Y y)) P( X x)P(Y y)
则称X，Y为相互独立的随机变量。
若X，Y为相互独立随机变量，则有
F ( x, y ) FX ( x) FY ( y ) f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
注：所谓某个事件在 试验中是否出现，当且仅 当该事件所包含的某个样本点是否出现，因此 一个事件实际上对应于的一个确定的子集。 事件的概率论运算 Ω子集的集合论运算。
样本空间 W 也是一个事件， 称 W 为必然事件，
空集 F 称为不可能事件。
注：由于事件是集合，故集合的运算（并、交、 差、上极限、下极限、极限等）都适用于事件。
定义1.5 设（ Ω ，F，P）是概率空间，X=X(e) ＝（X1(e),…,Xn(e)）是定义在Ω上的n维空间Rn中 取值的向量函数。如果对于任意x=(x1,…,xn) ∈Rn， {e:X1(e) ≤x1,…,Xn(e) ≤xn} ∈F，则称X=X(e)为n维 随机变量。称

1.4.3 独立性
定义 1.11
(1)设{A i，i I}是F的事件族，如果对I的每个非空 有限子集{i1，...,ik }，有 P（ A i j）= P（A i j） 则称{A i，i I}关于P是相互独立的.
j=1 j=1 k k
(2)设{Ai，i I}是F 的 子代数族，如果对I的每个非空 有限子集{i1，...,ik }，Ai j Ai j 使得上式成立，则称 {Ai，i I}是相互独立的.
p p
(4)设{F （ n x）}是分布函数列，如果F(x):单调不减， 使得对F (x)的所有连续点x有 lim Fn (x)=F(x),则称 n {F （ }弱收敛于F(x)； n x） 再设{X n }是一列以{F （ n x）}为分布函数的r.v.列， 如果{F （ } 敛于F(x)， 则称{X n }依分布收敛。 n x）弱收
n
(9)若X , Y 是两个独立的随机变量，函数(x，y)使得 E(| (X,Y))<,则 E[ (X，Y)|Y] E[ (X，y)] |y=Y a.s
作业：
结合《概率论》和第一章的内容，写出学习心得. 要求：1. 可就某个知识点或某个定理、引理或例题等， 用自己的语言写出； 2. 也可以写一点对《应用随机过程 》这们课的一些想 法（例如希望通过学习这门课学点什么 等）.

B
X dP=[P(B)] E（X I B）.
-1
性质：
（1） 若X L1，则 E[E（X |B） ]=EX。
（2） 若X是B随机变量， 则 E（X |B） =X， a.s.。
（3） 若X=Y， a.s. 且X L 1， 则E（X|B）=E（Y|B），a.s.
（4） 若a,b是实数，X，Y L 1， 则E[（aX+bY）|B ]=aE(X|B )+bE(Y|B )，a.s.

上的概率,称(Ω,F,PB)是条件概率空间.
徐
概率空间
四、全概率公式与Bayes公式 定理：设 (Ω,F, P)是概率空间,若 1) A i∈F, 且 P(Ai)>0 ，(i=1,2, …); 2)
i 1
Ai Ω , Ai A j .

完备性 条件.
徐
概率空间
则对任意B∈F 有 1)
Ak Ak 1 B k , ˆ
kn kn
An+1
n 1,2,
徐
其中B1,B2,…互不相容，由完全可加性有
概率空间
1 P ( A1 ) P B k P Ak Ak 1 0 k 1 k 1
lim P Bn 0 P An P A P An A 0.
n
P An P A
( as
n )
徐
概率空间
4）多除少补原理 设 Ai F, i 1,2, , n , 有
n n P Ai P Ai i 1 i 1
P Ai P Ai i 1 i 1
Ai F i 1,2, , Ai A j , i j ,
称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A 的概率. 三元体(Ω,F, P)称为概率空间.
徐
概率空间
二、概率性质 设(Ω,F, P)是概率空间,则概率P 有如下性质: 1) P(φ)=0;
n
lin P An P A.
徐
n 1
概率空间
A
证：在推论2中
令 Bn An A, 则 B1 B2 ,

概率空间
(1) Ω∈F ; (2) 若A∈F ,则A=Ω\A∈F ; (3) 若An∈F ,n=1,2,…,则 n 1 An∈F , 那么F 称为ς-代数(Borel域).(Ω,F )称为可测空间,F中 的元素称为事件. 由定义1.1且有: (4) υ∈F ; (5) 若A,B∈F ,则A\B∈F ; n n (6) 若Ai∈F ,i=1,2,…,则 i 1 Ai, i 1 Ai, i 1 Ai∈F . 定义1.2 设(Ω,F )是可测空间,P(· )是定义在F 上的实值 函数.若 (1) 任意A∈F ,0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1;
y1
yn
n维随机变量及其概率分布
率密度. 定义1.6 设{Xt,t∈T}是一族随机变量,若对任意的n≥2, t1,t2,…,tn∈T, x1,x2,…,xn∈R, 有 n P( X t≤x1, X t≤x2,…, X t≤xn)= i 1 P( X t xi ) 1 2 n 则称{Xt,t∈T}是独立的. • 若{Xt,t∈T}是一族独立的离散型随机变量, 则上式等 n 价于P( X t1 =x1, X t2 =x2,…, X t n=xn)= i 1 P( X t xi ) ; 若{Xt,t∈T}是一族独立的连续型随机变量, 则上式等 n 价于 f t1 ,t2 ,,tn(x1,x2,…,xn)= i 1 f t ( xi ), 其中 f t1 ,t2 ,,tn 1, (x x2,…,xn)是随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合概率密度且 f ti ( xi ) 是随机变量 X t 的概率密度,i=1,2,…,n. • 独立性是概率论中的重要概念,独立性的判断通常是根 据经验或具体情况来决定的.
n维随机变量及其概率分布
是右连续函数; (3)对于Rn中的任意区域(a1,b1;…;an,bn),其中ai≤bi, i=1,2,…,n, 成立 n F(b1,b2,…,bn)- i 1 F(b1,…,bi-1,ai,bi+1,…,bn)

P (Ω ) = 1 ；
对任意两两不交的至多可数集 {An } ⊂ F ， P⎛ ⎜ U An ⎞ ⎟ = P ( An ) ⎝n ⎠ ∑ n
称 P(⋅) 为 F 上的概率测度， (Ω, F , P) 称为概率空间。
1
1.4 随机变量的概念 定义：设 (Ω, F , P ) 为一概率空间， X = X ( w) 为 Ω 上的一个实值函数，若对 任意实数 x ，X −1 ((−∞, x) ) ∈ F ， 则称 X 为 (Ω, F , P ) 上的一个 （实） 随机变量。 称 F ( x) = P( X < x ) = P( X ∈ (−∞, x)) = P X −1 ((−∞, x) ) 为随机变量 X 的 分布 函数。 随 机 变 量 实 质 上 是 (Ω, F ) 到 (R, B ( R ) ) 上 的 一 个 可 测 映 射 ( 函 数 ) 。 记
_______
2
α 1 , α 2 Lα m ， ∑∑ ϕ (t l − t k )α l α k ≥ 0 ；
l =1 k =1
m
m
5) ϕ ( w) 为 R n 上的连续函数。 6) 有限多个独立随机变量和的特征函数等于各自特征函数的乘积； 7) 设 X = (ξ1 , Lξ n ) 为 n 维 随 机 向 量 ， 特 征 函 数 为 ϕ ( w1 ,L wn ) , 则
n→∞
敛到随机变量 X ；
2)
若 E X n 存在， 且 lim E X n − X
n→∞
p
p
则称 X 1 , X 2 , L X n ,L p 阶收敛到 = 0，
随机变量 X ，特别当 p = 2 ，称为均方收敛。
3) 4)
若 P lim X n = X = 1 ，称 X 1 , X 2 , L X n ,L 几乎必然收敛到随机变量 X 。

������ = ������1, ������2, ������3, ������4, ������5, ������6
基本
概念 ℱ = ������, ������1, ������2, ������3 , ������4, ������5, ������6 , Ω - ℱ为-代数， ������, ℱ 为可测空间
代数
•
若������������ ∈ ℱ ,则‫ڂ‬������������=1 ������������ , ‫ځ‬������������=1 ������������ , ‫ځ‬���∞���=1 ������������ ∈ ℱ （有限并，有限
概率 交，可列交事件）
空间
独立 事件
中南民族大学经济学院
3
《随机过程》第1章-预备知识
1 概率空间
例：抛掷一枚骰子，观察出现的点数。
背景
������ = 1,2,3,4,5,6
基本
概念 ������ = 1,3,5 ⊆ Ω ������ = 2,4,6 ⊆ Ω
-
代数 骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”, “点数不大于6”,“点数为偶数” 等都为随机事件.
-
代数 （3）若������������ ∈ ℱ, ������ ∈ ������，则‫ڂ‬���∞���=1 ������������ ∈ ℱ(可列并事件）
概率
空间 则称ℱ为-代数， (������, ℱ)为可测空间。
独立 事件
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6
《随机过程》第1章-预备知识
背景 例：抛掷一枚骰子，������������表示出现������点。
∞
∞
概率 空间

0
−∞
半环 C 上定义如下的集函数
P ((a,b]) = F (b) − F (a), ∀(a,b]∈C .
由测度扩张定理，P 可扩张为 σ(C )上的概率测度，至此，本例的概率空间(Ω，F，P)构造完
毕．□
注 在本例中，如果认为每个样本点ω的出现机会均等，那么可取 f (·)为常值，易知，f(x)
注 (1) 在应用概率的减法公式 P(B − A) = P(B) − P( A) 时，务必注意条件 A ⊂ B 是否满
足，若不然，则结论未必成立．此时，可采用一般情形下的减法公式，
P(B − A) = P(B) − P( AB), ∀A, B ∈ F .
(1.1.1)
(2) 在 Jordan 公式中取 n = 2、3，就得到两个常用公式
∪ ∪ ∞
k −1
单调增的，即，An
⊂
An+1
(n
≥
1)
，此时，lim n→∞
An
=
Ak
k =1
，令 Bk
=
Ak
−
i =1
Ai
=
Ak
−
Ak −1
(k
≥ 1) ，
∪ ∑ ∞
∞
其中约定：A0=φ. 显然，事件列{Bn，n=1,2,…}两两互斥且 Ak = Bk ，故
k =1
k =1
———————— ① 关于集列的单调性与集列的极限概念参见本章附录中的相关内容．
{ } 间．例如，取 Ω 的非空真子集 A，令 F = A, Ac ,∅, Ω ，则 F 是事件域且 F1 ⊂ F ⊂ F2 ．
通常称（Ω，F ）为可测空间，称 F 中的元 A 为可测集．对可测空间（Ω，F ）装备测 度 μ，就构成测度空间（Ω，F，μ）．若所装备的测度还满足 μ(Ω) = 1，则称（Ω，F，μ）为 概率测度空间，简称概率空间．按概率论的记法，以 P 替换 μ，记作概率空间（Ω，F，P）．

(t) n(n 1)( pet 1 p)n2 ( pet )2 n( pet 1 p)n1 pet ,
E(X ) (0) np ， E(X 2 ) (0) n(n 1) p2 np ， D( X ) E[X 2 ] [EX ]2
其分布函数为
F(x) pk P{X xk }
xk x
xk x
连续型随机变量 X 的分布用概率密度 f(x)描述，其分布函数为：
x
F (x) f (t)dt
分布函数 F(x)的性质
（1） 0 F(x) 1
（2） F() 0, F() 1
（3） F(x) 是单调不减函数， a b 则 F(a) F(b)
定义 2 两个随机变量 X 与 Y，如果满足 P{ω∈Ω :X(ω) ≠Y(ω) }=0,则称它们是 等价的。
注：为简单起见，习惯将{ω:X(ω) ≥x}记为{X≥x}，其他记号类似。
常用的随机变量：离散型随机变量、连续型随机变量。 离散性随机变量 X 的概率分布用如下分布列描述：
pk = P{X = xk }, k = 1,2, …
第三节 数字特征、矩母函数与特征函数 1.Riemann—Stietjes 积分 定义 1 设 g(x) ，F(x) 为有限区间 (a,b] 上的实值函数，a x0 x1 xn b 为
(a,b] 的 一 个 分 割 ， 令 F(xi ) F(xi ) F(xi1) ， i [xi1, xi ] ， 1 i n ，
d 维正态分布
密度函数 f (x)
1
exp{(x ) (x )}
d
1
(2 ) 2 | | 2
Γ 分布
密度函数
f
(x)
s
(s)
x s1e x

1 n 即P X i mx 1 n i 1
Dy D
中心极限定理
• 令X1, …,Xn为一系列独立随机变量, 均值为 ，方差为 ，则当
的分布趋于正态分布。 大量独立的随机变量之和的极限分布为正态 分布。
多次抛掷硬币实验中出现正面的平均比率 每次实验均抛掷了大量硬币
x mx f ( x )dx
2
x mx
x mx f ( x )dx
2
由于f(x)>0，因此
Dx 2
x mx
f ( x )dx 2 P[ x mx ]
Dx
P[ x m x ]
2
Chebyshev定理
当独立试验次数足够大，随机变量X的观察值的算 术平均值以概率收敛于数学期望。 “以概率收敛”即当实验次数n足够大时，对任意 小的正数 和 有 1 n
例：掷一个色子的期望E(X)
练习：试求前面所讲几个典型随机变量的期望
• 定理：X是一随机变量，F(x)为分布函数， y=g(x)是连续函数，若 g ( x)dF ( x存在，则 )
EY E[ g ( X )] g ( x)dF( x)

• 推论：如果a，b为常数，则

(7) Continuity for above: 若 En 单调递减，则
lim P( En ) P( En )
n n 1
• 条件概率 • 乘法公式 • 全概率公式
P( EF ) P( E F ) P( F )
P( E1 E2 En ) P( E1 ) P( E2 E1 ) P( E3 E1 E2 ) P( En E1 E2 En 1 )

第一章 一、 填空1.设{t X ，t T ∈}是一族独立的随机变量，则对于任意2n ≥和12,,...,t t ,n t T ∈12,,...,,n x x x R ∈有1212(,,...,)n t t t n P X x X x X x ≤≤≤=（ ）。

答案：1()int i i P X x =≤∏2.若2EX <∞，2EY <∞,则2()EXY ≤（ ）。

答案：22EX EY （Schwarz 不等式）3.设随机变量X 的特征函数为()X g t ，Y aX b =+，其中a ，b 为任意实数，则Y 的特征函数()Y g t =（ ()itb X e g at ）。

解：()()()()[][][]()it aX b i at X ibt ibt i at X ibt Y X g t E e E e e e E e e g at +====。

4.若12,,...X X 是相互独立且同分布的非负整数值随机变量，N 是与12,,...X X 独立的非负整数值随机变量，并且1,N X 的母函数分别为()G s 和()P s 。

则1Nk k Y X ==∑的母函数()H s =（(())G P s ）。

解：0()()kk H s P Y k s ∞===∑=0(,())kk l P Y k N l s ∞∞====∑=00()()k k l P N l P Y k s ∞∞====∑∑=00()()k l k P N l P Y k s ∞∞====∑∑=01()()lkj l k j P N l P X k s∞∞=====∑∑∑0()[()][()]ll P N l P s G P s ∞===∑。

5.设12,,...X X 为一列独立同分布的随机变量，随机变量N 只取正整数值，且N 与{}n X 独立，则1()Ni i E X ==∑（1()()E X E N ）。

解：1111()[(|)](|)()N N Ni i i i i n i E X E E X N E X N n P N n +∞========∑∑∑∑1111111()()()()()()n n i n n E X P N n nE X P N n E X np N n +∞+∞+∞==========∑∑∑∑1()()E X E N =6.若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 二、解答与证明题1.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则()1EX P '=(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2 证明:(1)因为()0kkk P s p s∞==∑，则()11k k k P s kp s∞-='=∑，令1s →，得()11kk EX P kp ∞='==∑ 。

f (t ) dt < ∞ ）的才能进行。
∫
∞ −∞
车 辆 随 机 振 动 理 论 及 应 用
3、付氏变换的性质
（1）如果f(t)是实函数，则F(ω)一般为复函数，且实 部为偶函数，虚部为奇函数。 （2）奇偶虚实定理 如果f(t)是实的偶函数，则F(ω)也是实的偶函数； 如果f(t)为实的奇函数，则F(ω)为虚的奇函数。 （3）线性叠加定理：假设α、β为常数，则
18飞飞4方脉冲函数的频谱图续周期函数的频谱为离散谱非周期函数的频谱为连续谱反之亦然19三付氏变换及其性质飞飞1付氏变换对周期函数ft有付氏级数和付氏系数对于非周期函数ft有如下关系飞飞1付氏变换续f称为ft的付里叶变换简称为付氏变换记为飞飞2付氏变换的含义非周期函数ft是由无穷多个复振幅为fd的谐波叠加而成的而且频率是连续的
车 辆 随 机 振 动 理 论 及 应 用
2、付氏系数
Ø付氏级数中的系数a0、an、bn，称为付氏系数。
a0 =
an =
2 T
∫
T
2 −T
2
x(t )dt
dt T∫ 2 2 T2 bn = ∫ − T x(t ) sin nωtdt 2 T
(n = 1， 2， 3L)
车 辆 随 机 振 动 理 论 及 应 用
4、方脉冲函数的频谱图
Ø令τ/T=1/3，则复振幅的模为
E nπτ E nπ sin = sin nπ T nπ 3 Eτ E c0 = = T 3 cn =
(n = ±1， ± 2 L)
Ø得到频谱图
ü离散的点 üΔω=ω1 ü复振幅的模
马 天 飞
15 16
0.25
0.60 0.45 0.30 0.15 0.00 20 50 80 110

A ) P( A ) （Boole's inequality，布尔不等式：
n n 1 n 1 n
假定一些事件组成了一个可数的集合， 那么这集合中的至少一个事件发生的概率不大于每个事件 发生的概率的和。 ） ；
当 An , n 1, 2, 两两互不相容时，则 P(
A ) P( A ) ；
15收敛性151极限定理1强大数定律如果2中心极限定理如果独立同分布且具有均值和方差152收敛性1依概率收敛对于随机变量序列如果存在随机变量x使得对任意的依概率收敛于x记为上有lim是其对应的分布函数序列如果3依概率收敛与依分布收敛的关系依概率收敛强于依分布收敛即依概率收敛依分布收敛
第一章 预备知识
1.1 概率空间
概率论的一个基本概念是随机试验：其结果在事先不能确定的试验。随机试验具有三 个特征： （1）可以在相同的条件下重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，但预先知道试验的所有可能的结果； （3）每次试验前不能确定哪个结果会出现。 随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间，记为 。 中的元素 称为样本点或基本事件， 的子集 A 称为事件。样本空间 称为必然事件，空集 称为不 可能事件。 定义 1.1：设 是一个样本空间， F 是 某些子集组成的集合族，如果满足： （1） F ； （2）若 A F ，则 A \ A F ；
n
n
定义 1.3：假设对样本空间 的每一个事件 A 定义了一个数 P( A) ，且满足以下三条公
理：
-1-
（1）非负性： 0 P( A) 1； （2）规范性： P() 1 ， P() 0 ； （3）可列可加性：对任意的两两互不相容事件 A1 , A2 , ，即 Ai Aj , i j ，有

第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量，分布函数离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数2．n 维随机变量其联合分布函数离散型联合分布列连续型联合概率密度3 .随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量连续型随机变量方差：反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量）：相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。

独立不相关4•特征函数离散连续重要性质：，，，5 •常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差0 — 1分布二项分布泊松分布均匀分布略正态分布指数分布6.N维正态随机变量的联合概率密度，，正定协方差阵二.随机过程的基本概念1.随机过程的一般定义设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。

简记为。

含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。

另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。

当固定时，是随机变量。

当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。

分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。

也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。

2 .随机过程的分布律和数字特征用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。

随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。

随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。

在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。

（1）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。

（2）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。

（3）协方差函数且有（4）相关函数（3）和（4）表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。

(5)互相关函数：，是两个二阶距过程，则下式称为它们的互协方差函数。

，那么，称为互相关函数。

c12 c 22 cn2
c1 n ⎞ ⎟ c2n ⎟ ⎟ ⎟ c nn ⎟ ⎠
为 n 维随机变量的 协方差矩阵 .
定理：( X 1 ,
当 ρXY = 0 时, X 和 Y 不相关.
, X n ) 的协方差阵B 是对称，非负定的。
证明：对任意
x Bx = ∑
T i =1 n n n
x T = ( x1 , x2 ,
(
))
)
⎡ n = E ⎢∑ ⎣ i =1
n
∑x x (X
j =1 i j
n
i
⎤ − EX i ) X j − EX j ⎥ ⎦
(
证明： 对任意的实数t,
E[ X + Yt ]2 = t 2 EY 2 + 2tE[ XY ] + EX 2 ≥ 0 Δ = b 2 − 4ac = ( 2 E[ XY ]) − 4 EY 2 EX 2 ≤φ( t ) = E (e itX ) = 1i e itc = e itc , t ∈ R. Ex.2 两点分布
X 0 1 PX 1-p p
X c PX 1
Ex.3 指数分布 f ( x ) = ⎨
⎧λ e − λ x , ⎪ ⎪0, ⎩
x ≥ 0; x < 0.
(λ > 0)
φ(t ) = E e itX = ∫ e itx λe −λx dx
0
( )
2
+∞
φ(t ) = E eitX
( )
= ∫0 λe − λx costxdx + i λ ∫0 e − λx sintxdx
=λ
=
+∞
+∞
= eit⋅0 (1 − p) + eit⋅1 p