函数几何题

一题小测验·初中函数几何大题

（16分+4分）已知两个二次函数的关系式分别为c bx ax y ++=2

1，

a bx x y ++=c 22。其中y 1交X 轴两点的横坐标分别为1，4。若当两二次函数同

时交于X 轴至少一点时，我们命名该交点为“交谊点”。 （1）请计算Y 1与Y 2的交谊点（如若没有请说明理由） （2）若a 大于0，请表示Y2＞0时X 的取值范围。（3分）

（3）设a=-2，在Y1与Y2交谊点的右侧部分为Y1对应的图像,左侧部分为Y2对应的图像。请表示Y 3的函数解析式，并在一个平面直角坐标系中画出该函数图像。（1+2+2=5分）

（4）在（3）的条件下，若Y 3=0的解分别为l,m,n(l ＜m ＜n)，计（m,0）为C 点，计Y 3中x=0时的对应点为B 点，A 点为Y 3图像上的任意一点，顺次连接A 、B 、C 三点构成三角形ABC 。计▲ABC 的面积为S 。请计算并说明：当X =m+n 2

时，S

的值。（4分）

【附加题】在（4）的条件下，请直接写出▲ABC 面积S 与X 的函数解析式并计算出对应的取值范围。（4分）

【参考答案，步骤不唯一】

（1）（5分）解：由题意得x=1，4是二元一次方程ax2+bx+c=0的解，∴a≠0（1分）

由韦达定理得b

−a

=1+4=5,∴b=−5a

同理c

a

=1×4=4，∴c=4a（2分）

∴y2=4ax2−5ax+a

∵a≠0，∴4ax2−5ax+a=0的解为x1=1,x2=1

4

∴Y1与Y2的交谊点为（1，0）。（2分）

（2）（3分）∵a＞0，c=4a，∴c＞0

∵y2=4ax2−5ax+a，a≠0

∴y2=0的解与a（a≠0）在实数范围的取值无关。（2分）∵c＞0，∴y2开口方向向上

∴当y2＞0时，x<1

4

或x＞1。（1分）

（3）（4）∵a=-2。

∴y1=-2x2+10x-8，y2=-8x2+10x-2。

由题意列得

Y3=−2x2+10x−8(x≥1)

−8x2+10x−2(x≤1)（1分）

【列表（1分）作图（2分）过程略】

（4）（4分）由（3）得l=1

4

,m=1,n=4。

∴x=m+n

2=5

2

，在Y3中当x=5

2

时，y=9

2

。

如图所示：可利用补全图形法。

S=0.75

[附加题]请自行尝试，平日测验不会遇到这样复杂的题目，可以与自己的老师交流。

附件：（用geogebra

作图软件打开）配套图像配套图像geogebra-export.ggb